2018届高三数学文科二轮复习：专题检测(十三) 点、直线、平面之间的位置关系

课时巩固过关练(十三)点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m＝α∩β，则l⊥αB．若l∥m，m＝α∩β，则l∥αC．若α∥β，l与α所成的角和m与β所成的角相等，则l∥mD．若l∥m，α∥β，l⊥α，则m⊥β解析：对于A，l可能在平面α内也可能在平面α外，错误；对于B，l可能在平面α内，错误；对于C，l，m可能平行、相交、异面，错误；对于D，因为l∥m，l⊥α，所以m⊥α，又α∥β，所以m⊥β，正确．答案：D2．(2016·北京海淀期中)设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：l，m，n均为直线，m，n在平面α内，l⊥α⇒l⊥m且l⊥n.反之，由l⊥m且l⊥n不一定能推出l⊥α，当m∥n时，l也可能平行于α.故“l⊥α”是“l ⊥m且l⊥n”的充分不必要条件．故选A.答案：A3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④解析：对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：AB∥PN，AB⊄平面MNP，即可得到AB∥平面MNP，图形②、③都不可以，故选C.答案：C4．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为()A.12 B ．1C.32 D ．2 解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66.由面积相等得DB 1·B 1F ＝DF ·B 1E ，即66×x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12. 答案：A5．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部解析：由BC 1⊥AC ，BA ⊥AC ，得AC ⊥平面ABC 1，因此平面ABC ⊥平面ABC 1，因此C 1在底面ABC 上的射影H 在直线AB 上．答案：A二、填空题6．三棱锥S －ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，给出以下结论：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°；②直线SB ⊥平面ABC ；③平面SBC⊥平面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是12a .其中正确结论的序号是__________．解析：由题意知AC ⊥平面SBC ，又SB ⊂平面SBC ，故AC ⊥SB ，又SB ⊥AB ，∴SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，①②③正确；取AB 的中点E ，连接CE (如图)，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离，为①平行于同一平面的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；那么它和这个平面内的任何直线都平行；一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直．上的射影，给出下列结论：⊥BC；④AE⊥平面__________．所在的平面，AB是⊙O的直径，∴，∴CB⊥AF.又的中点．求证：B三点共线，∵P，，OP⊄平面D1BQ，∴(2)∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥P A.∵QB⊂平面D1BQ，P A ⊄平面D1BQ，∴P A∥平面D1BQ.又PO∥平面D1BQ，P A∩PO＝P，P A⊂平面P AO，PO⊂平面P AO，∴平面D1BQ∥平面P AO.10．(2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需要说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并说明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG ∥平面ACH .证明如下：因为ABCD －EFGH 为正方体，所以BC∥FG ，BC ＝FG .又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH .于是BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH .同理BG ∥平面ACH .又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .(3)连接FH ，BD ，因为ABCD －EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH ，因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG ，又EG ⊥FH ，DH ∩FH ＝H ，所以EG ⊥平面EFHD .又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG .同理DF ⊥BG .又EG ∩BG ＝G ，所以DF ⊥平面BEG .11．(2016·浙江瑞安联考)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上．(1)求证：BC ⊥A 1B ；(2)若AD ＝3，AB ＝BC ＝2，P 为AC 的中点，求二面角P －A 1B －C 的平面角的余弦值．解：(1)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴A 1A ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BC .∵AD ⊥平面A 1BC ，且BC ⊂平面A 1BC ，∴AD ⊥BC .又AA 1⊂平面A 1AB ，AD ⊂平面A 1AB ，A 1A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面A 1AB .又A 1B ⊂平面A 1AB ，∴BC ⊥A 1B .(2)由(1)知BC ⊥平面A 1AB ，AB ⊂平面A 1AB ，从而BC ⊥AB ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B －xyz .∵AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上，∴AD ⊥A 1B .在Rt △ABD 中，AD ＝3，AB ＝2，sin ∠ABD ＝AD AB ＝32，∠ABD ＝60°.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥AB .在Rt △ABA 1中，AA 1＝AB ·tan60°＝23，则B (0,0,0)，A (0,2,0)，C (2,0,0)，P (1,1,0)，A 1(0,2，23)，＝(1,1,0)，＝(0,2，23)，＝(2,0,0)．。

第二章 直线与平面的位置关系 测试题一、选择题 1．设，为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l ⊂，m ⊂β，有如下的两个命题：①若∥，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则⊥．那么( )．A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题2．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )． A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1角为60° 3．关于直线m ，n 与平面，，有下列四个命题：①m ∥，n ∥且∥，则m ∥n ； ②m ⊥，n ⊥且⊥，则m ⊥n ； ③m ⊥，n ∥且∥，则m ⊥n ；④m ∥，n ⊥且⊥，则m ∥n ．其中真命题的序号是( )． A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线 其中假．命题的个数是( )． A ．1B ．2C ．3D ．45．下列命题中正确的个数是( )．(第2题)①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的．．．．是( )．A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( )．A．4 B．3 C．2 D．110．异面直线a ，b 所成的角60°，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )．A ．[30°，90°] B．[60°，90°] C ．[30°，60°]D ．[30°，120°] 二、填空题11．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为 ．12．P 是△ABC 所在平面外一点，过P 作PO ⊥平面，垂足是O ，连PA ，PB ，PC ．(1)若PA ＝PB ＝PC ，则O 为△ABC 的 心； (2)PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PC ⊥PB ，则O 是△ABC 的 心；(3)若点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等，则O 是△ABC 的 心； (4)若PA ＝PB ＝PC ，∠C ＝90º，则O 是AB 边的 点； (5)若PA ＝PB ＝PC ，AB ＝AC ，则点O 在△ABC 的 线上． 13．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 ．14．直线l 与平面 所成角为30°，l ∩＝A ，直线m ∈，则m 与l 所成角的取值范围 是 ．15．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为 ．16．直二面角－l －的棱上有一点A ，在平面，内各有一条射线AB ，AC 与l 成45°，AB ⊂，AC ⊂，则∠BAC ＝ ．J(第13题)三、解答题17．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC ⊥AD ；(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值；(3)设二面角A －BC －D 的大小为，猜想为何值时，四面体A －BCD 的体积最大．(不要求证明)18． 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ．(1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.(第18题)(第17题)19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，1．SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝(1)求四棱锥S—ABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．(提示：延长BA，CD相交于点E，则直线SE是所求二面角的棱.)(第19题)20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在AA1上取一点P，过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.)(第20题)第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案一、选择题1．D 解析：命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线n，l ⊂，m⊂，且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面不垂直平面，(第1题)故②是假命题；命题①显然也是假命题，2．D解析：异面直线AD与CB1角为45°．3．D解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．5．B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l与无公共点，l与平面内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B． (第5题)6．B解析：设平面过l1，且l2∥，则l1上一定点P与l2确定一平面，与的交线l3∥l2，且l3 过点P. 又过点P与l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1和l3的平面是唯一的，即过l1且平行于l2的平面是唯一的.7．C解析：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．8．D解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B 解析：因为①②④正确，故选B ．10．A 解析：异面直线a ，b 所成的角为60°，直线c ⊥a ，过空间任一点 P ，作直线 a ’∥a ， b ’∥b ， c ’∥c . 若a ’，b ’，c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30° 角，否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b 与c 所成角的范围为[30°，90°] ．二、填空题 11．313212S S S ．解析：设三条侧棱长为 a ，b ，c ．则 21ab ＝S 1，21bc ＝S 2，21ca ＝S 3 三式相乘： ∴ 81a 2 b 2 c 2＝S 1S 2S 3， ∴ abc ＝23212S S S ． ∵ 三侧棱两两垂直， ∴ V ＝31abc ·21＝313212S S S ．12．外，垂，内，中，BC 边的垂直平分．解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心； (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心； (4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上． 13．60°．解析：将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为60°．14．[30°，90°]．解析：直线l 与平面所成的30°的角为m 与l所成角的最小值，当m 在内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m 与l 所成角的的最大值为90°．15．36．解析：作等积变换：4331⨯×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝4331⨯·h ，而h ＝36． 16．60°或120°．解析：不妨固定AB ，则AC 有两种可能． 三、解答题17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ，∴BC ⊥AD ． (第17题) 解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ， ∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3． 又DO ＝23BD ＝23，在Rt △DEO 中，sin＝DODE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23．(3)当 ＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ， ∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51， (第18题)又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M 底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯，∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41． (2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线． 又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ， ∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ， (第19题)即所求二面角的正切值为22． 20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO ＝6．∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1＝21·PO ·QR ·BB 1 ＝21×10×6 ＝30．(第20题)。

章末检测卷(二）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题1。

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC与直线BC1所成的角为( ）A.30° B。

60° C.90° D.45°解析连接A1C1,A1B,则AC∥A1C1,因为△A1BC1是正三角形，所以∠A1C1B＝60°,即直线AC与直线BC1所成的角为60°.答案B2。

设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( ）A。

若a、b与α所成的角相等，则a∥bB.若a∥α,b∥β，α∥β,则a∥bC。

若a⊂α，b⊂β，a∥b,则a∥βD。

若a⊥α,b⊥β，α⊥β，则a⊥b解析A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行、相交或异面;C中的α、β可以平行或相交。

答案D3。

设m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面（)A。

若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥n，m⊥α，则n⊥αD。

若m∥α,α⊥β，则m⊥β解析A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行,可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α,m∥β时，α，β可能平行也可能相交,故错误；C项，当m∥n，m⊥α时,n⊥α,故正确;D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误.故选C.答案C4。

如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B。

AC⊥平面ABB1A1C。

AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D。

A1C1∥平面AB1E解析由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1,C正确。

答案C5.设l为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）A。

若l∥α，l∥β，则α∥βB。

【原创】《博雅高考》2015届高三数学二轮专题拉分训练卷：点、直线、平面之间的位置关系（含解析）一、选择题：共8题每题5分共40分1．已知平面，直线，且有，则下列四个命题正确的个数为①若∥则；②若∥则∥；③若则∥；④若则；A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】本试题主要考查空间中线面位置关系.由题意，①若∥，则一定成立。

对于②若∥则∥；对于③若则∥；对于④若则2．设是两条不同的直线,是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若且，则B.若且，则C.若且，则D.若且，则【答案】B【解析】本题考查点线面之间的位置关系. 若且，则平行、垂直、相交都有可能，A错误；若且，则B正确；若且，则，C错误；若且，则平行或相交，D错误.选B. 3．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为A.2B.C.D.1【答案】D【解析】连接AC,交BD于O,连接EO,过点O作OH⊥AC1于点H,则OH即为所求距离.因为AB=2,所以AC=2,又CC1=2,所以∠C1AC=45°,所以OH=sin 45°=1.4．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,A1D=,若E为线段A1D的中点,则BE与平面ABCD所成的角的正切值为A. B. C. D.【答案】C【解析】过点E作EF⊥AD,垂足为F,连接BF,则EF⊥平面ABCD,因为BF⊂平面ABCD,所以EF⊥BF,所以在Rt△BEF中,∠EBF就是BE与平面ABCD所成的角.因为EF⊥AD,AA1⊥AD,所以EF∥AA1.又E是A1D的中点,所以EF是△AA1D的中位线,所以EF=AA1=,在Rt△AFB 中,BF==,所以tan∠EBF===.5．已知三棱锥S-ABC中,底面ABC是边长为2的等边三角形,SA⊥底面ABC,SA=3,那么直线AB 与平面SBC所成的角的正弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】如图, 取BC的中点D,连接SD,AD,过点A作AE⊥SD,连接BE,则∠ABE即为所求角.因为SA=3,AB=BC=AC=2,所以AD=,AE=,所以sin∠ABE===. 6．设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列命题:①⇒β∥γ②⇒m⊥β③⇒α⊥β④⇒m∥α.其中真命题的序号是A.①④B.②③C.②④D.①③【答案】D【解析】平行于同一个平面的两个平面平行,所以①正确; m∥n,n⊂α,m有可能在平面α内,所以④错.7．下列命题正确的是A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,那么这两条直线平行B.若一个平面内的三个点到另一个平面的距离相等,那么这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,那么这两个平面平行【答案】C【解析】A错,如正四棱锥的各侧棱与底面所成的角都相等,但侧棱不平行;B错,如一个平面内共线的三个点到另一平面的距离相等,那么这两个平面可能相交或平行;D错,若两个平面都垂直于第三个平面,这两个平面有可能相交.8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小A.变大B.变小C.不变D.有时变大有时变小【答案】C【解析】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理. 因为平面，所以，又，所以平面，所以，即，故选C.二、填空题：共5题每题5分共25分9．设是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若，且，则”为真命题的是．(填正确条件的代号)①为直线；②为平面；③为直线，为平面；④为直线，为平面.【答案】③【解析】本题考查点线面之间的位置关系.为直线，若，且，则，①不正确；为平面，若，且，则或相交，②不正确；为直线，为平面，若，且，则成立，所以③正确；为直线，为平面，若，且，则或在平面y内，④错误.所以真命题是③.10．如图，已知边长为2的正△，顶点在平面内，顶点在平面外的同一侧，点分别为在平面上的投影，设，直线与平面所成的角为.若△是以为直角的直角三角形，则的范围为_______.【答案】【解析】本题考查了空间角的求法.如图，由题意知，C A C CC BA CC C A B A =⋂⊥⊥''','',''',所以'''A CC B A 平面⊥,所以C A B A ''⊥,所以''CB A ∠即为直线与平面所成的角，所以ϕ=∠''CB A ，所以2'''''tan B A C A B A ==ϕ,设)2(,'',','<≤===b a c C B b CC a BB ，取BC 的中点M ，过M 点做平面α的垂线'MM ，则'M 为''C B 的中点，所以224'',4''),(21)''(21'b C A a B A b a CC BB MM -=-=+=+=，连M A M A ','',所以在'''C A B Rt ∆中，22''''cC B M A ==，22244c b a =-+-在M M A Rt ''∆中，222''''M A MM M A =+,即222)3()2()2(=++b a c ，所以22)(12b a c +-=，即2=ab ，即a b 2=，所以22<≤a a ，所以212≤<a ，所以⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈-===23,22242'''''tan 2a B A C A B A ϕ.φαM'MB'A'C'BC11．如图,A 、B 、C 、D 为空间中的四个不同点.在△ABC 中,AB=2,AC=BC=.等边三角形ADB以AB 为轴运动.当平面ADB ⊥平面ABC 时,CD= .【答案】2【解析】如图, 取AB 的中点E,连接DE,CE.因为△ADB 是等边三角形,所以DE ⊥AB.当平面ADB ⊥平面ABC 时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE ⊥平面ABC,可知DE ⊥CE.由已知可得DE=,EC=1,在Rt △DEC 中,CD==2.12．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，则下列命题：①E 、C 、D 1、F 四点共面； ②CE 、D 1F 、DA 三线共点；③EF 和BD 1所成的角为90°；④A 1B ∥平面CD1E中，正确的是 .【答案】①②④【解析】本题考查空间中点、线、面的位置关系. 对于①，显然，所以四点共面，①正确；对于②，显然，则点为平面与平面的公共点，又平面平面，所以，即三线共点，②正确；对于③，显然与不垂直，又，所以与不垂直，③不正确；对于④，因为，所以平面，④正确；故填①②④.13．如下图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,若△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形,则棱锥F-OBED的体积为.【答案】【解析】由已知条件得OB=OA=1,OE=OD=2,∠EOB=60°,则S△EOB=,S△OED=,所以S四边形=S△EOB+S△OED=.OBED如图,过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ,由平面ABED ⊥平面ACFD 知,FQ 就是四棱锥F-OBED 的高,且FQ=,所以V F-OBED =FQ ·S 四边形OBED =.三、解答题：共2题 每题12分 共24分14．如图，在三棱柱中，已知，，，.(1)求证：；(2)设 ()，且平面与平面所成的锐二面角的大小为30°，试求的值.【答案】解：(1)因为侧面AB ⊥11BB C C ,1BC ⊂侧面11BB C C，故1AB BC ⊥,在1BCC △中,1111,2,3BC CC BB BCC π===∠=由余弦定理得：2222211112cos 12212cos33BC BC CC BC CC BCC π=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1BC 故22211BC BC CC +=,所以1BC BC ⊥, 而1,BC AB B BC ABC =∴⊥I 平面(2)由(1)可知，1,,AB BC BC 两两垂直.以B 为原点，1,,BC BA BC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则1(0,0,0),(0,1,0),(B A B -，(1,0,0)C,1C .所以1(CC =-u u u u r ,所以()CE λ=-u u u r,(1)E λ∴-则1(1,),(1,AE AB λ=--=--u u u r u u u r . 设平面1AB E 的法向量为(),y,z n x =r，则由1n AE n AB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩v u u u v v u u u v ,得100n AE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩v u u u vv u u u v,即1-)00x y z x y λ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩（，令z =，则333333,,(,2222x y n λλλλλλ--==∴=----r 是平面1AB E 的一个法 向量.AB ⊥Q 侧面11BB C C ,(0,1,0)BA =u u u r是平面1BEB 的一个法向量，222332cos ,23331()()(3)22n BAn BA n BAλλλλ⋅-〈〉===-⨯++--∴v u u u v u u u r v v u u u v .两边平方并化简得22-5+3=0λλ，所以λ=1或32λ=(舍去)【解析】本题主要考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用。