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433华南理工大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：自控基础综合适用专业：控制理论与控制工程交通信息工程及控制控制理论与控制工程系统分析与集成控制理论与控制工程检测技术与自动化装置系统工程模式识别与智能系统3. 一非线性系统的结构如图2所示，其中非线性环节的参数K＝1，a＝0.5。
设原系统处于静止状态。
()()t R t r 10⋅=ee &−1) 试在相平面上绘出输入时，R 0>0，的相轨迹。
()()t t V t r 10⋅=ee &−2) 试在相平面上绘出输入时，V 0>0,的相轨迹。
3) 说明死区非线性特性引入对系统输入响应动态性能的影响。
(此题25 分)4. 如图3所示的离散系统中，采样周期 =0.2秒，放大系数K=1，试求⑴系统的开环脉冲传递函数G(z)、闭环脉冲传递函数Φ(z)；⑵判断系统的稳定性;⑶。
(此题16 分)(附的Z 变换: s T ()a z z −/)(,)()(s nT c t t r 时1=n a )u uy y y 10107+=+−&&&&5．设系统运动方程为：，要求：（1）写出系统的能控标准型并绘出其相应的模拟结构图；（2）写出系统的能观标准型并绘出其相应的模拟结构图；（3）写出系统的对角线标准型，并绘出相应的模拟结构图。
(此题22 分),101201u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=&[]x y 11=6．已知系统的状态空间表达式为。
求：（1）利用李雅普诺夫第二方法判断该系统平衡状态的稳定性；(2) 若系统输入,)(t t u =，求系统的状态方程的解;（3）对该系统进行精确离散化，并判断离散化后系统的能控能观性和画出离散化后系统的模拟结构图。
此时，采样周期T＝1。
(此题28 分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10)0()0(21x x。
华南理工大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上作答无效，请在答题卡上作答，试后本卷与答题卡一同交回）科目名称：高等代数适用专业：基础数学，计算数学，概率论与数理统计，应用数学1.假设P 为任意给定的一个数域而C 为复数域，()f x 为P 上的次数大于0的多项式.证明如果()f x 在P 上没有重因式，那么()f x 在C 上没有重根. （10分）2.将复数域C 看成为实数域R 上的线性空间.对于,C αβ∈，定义(,).f αβαββα=+问f 是否是一个内积，为什么？ （10分）3.设1241102413004171207A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，()1234,,,X x x x x =，()'f x XAX =.问()f x 是否是一个正定二次型，为什么？ （10分） 4设线性方程组213400x x x x +=+=的解空间为W.求向量（2,3,4,5）在W 上的内射影以及到W 的距离. （15分）五 设P []X 为数域P 上的的多项式换，D 为P []x 上的微分变换，即D （f(x)）=f ’(x). (1)求D 的所有的不便子空间；（2）证明D 在其所有犯人有限维的不变子空间上都不能对角化。
（20分）六 设n 阶矩阵A 对于任意的n 维列向量X 满足X ’AX=0 （1）证明当A 为对称矩阵是A=0; (2)如果矩阵A 不是对称的，A 未必是零矩阵 （15分）七 设U 为正交矩阵，f(x)=2x +2.证明（1）U 的特征根的模为1；（2）f(U)可逆 八 设σ为数域P 上的n 维向量空间V 上的一个线性变换，f(x)为P 上的多项式，σ的最小多项式为m （x ），则f(x)可逆⇔m(x),f(x)互素 （20分）九 设A=00...0100...10 01...0010...00⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为2n+1阶实对称矩阵，试求正交矩阵P ，使得1P -AP=D 为对称矩阵，并求D （20分）十 证明（1）n 阶实反对称矩阵的特征根为纯虚数或者为零；（2）n 阶实反对称矩阵的行列式大于等于零(15分)。
华南理工大学《高等数学》试卷
（试卷号：2007期中时间120分钟，总分100）学院（系）专业班
姓名：成绩报告表序号：
1、（6*6）
1．当时，无穷小量与是等价无穷小，求常数
2．指出函数的间断点，并判断它们的类型
3．求过坐标原点且与曲线相切的切线方程
4．设函数，求
5、设函数由所确定，求
6、设函数由所确定，求在处的值
2、[每小题8分，共24分] 计算题
1、求极限
2、A. 求函数的极值
B. 已知，求使成立的
3、设（1）讨论在处的可导性；（2）讨论在处的连续性
3、（1*10）
A、当时，证明不等式成立
B、设在上连续，证明存在，使
4、[10分]
（A）设曲线在A（1，0）点处的切线和法线分别与Y轴交于B点和C 点，求常数使三角形ABC的面积最小
（B）设由所确定，求
5、[10分]
（A）讨论曲线与的交点的个数
（B）（1）设，求的表达式
（2）求不定积分
6、[10分]
（A）设在上有界且可导，证明方程至少有一个实根
（B）设函数在上连续，且，证明存在一点使。
华南理工大学《复变函数》试卷含答案2007考卷(A 、B),考试范围是：第一章到第六章第一节,即$1.1-$6.1,有星号内.考试范围是：第一章到第五章,有星号内容不考.诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学考试2007《复变函数-A 》试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：闭卷；. 填空题（每空4分,共20分） 1. 设复数21=z , 则.___________=z2. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析,C 是D 内任意一条简单正向闭曲线,则积分()__________.Cf z dz =?3. 设C 为沿原点0=z 到点i z +=1地直线段, 则2______________.Czdz =?4. 幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 地收敛半径为__________.R =5．函数zz f 1cos1)(=在孤立奇点2211ππ+=z 处地留数Res 1[(),]_______.f z z =. 选择题（每题4分,共20分） 1. 设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有,12||||21=+z z 则动点),(y x 地轨迹是 ( ).(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线2．若曲线20082007:=Z C ,则积分34(1)(1)Cdz z z -+?地值是( )．(A) 2007 (B) 2008 (C) 0 (D) 13. 设),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析,下列函数为D 内解析函数地是( )．(A) ),(),(y x iu y x v + (B) ),(),(y x iu y x v -(C) ),(),(y x iv y x u - (D)xv i x u ??-??4. 设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心地圆环内地罗朗展开式有m 个, 那么)(=m ．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45．设)(z f w =在0z 解析,且0)(0≠'z f ,则映射)(z f w =具有( )． (A) 只把0z 地一个邻域内某一小三角形映成含)(00z f w =地一个三角形；(B) 把0z 地一个邻域内任一小三角形映成含)(00z f w =地一个曲边三角形,二者近似相似；(C) 把充分小地圆周r z z =-0映成三角形；(D) 把含0z 地充分小地三角形映成圆周．三. (10分) 求解方程083=+z . 四. (10分) 计算复数 Ln (34)i -+．五.(10分) 计算积分221(1)(4)Cdz z z ++?, 3:2C z =,C 为正向曲线．六.(10分) 将函数)1()2ln(--z z z 在110<-<="">七. (10分) 计算积分+πθθ20cos 35d ．八. (5分) 计算2()1ze f z z =-在∞处地留数．. (5分) 计算积分152243 (1)(2)Cz dz z z ++?,:3C z =,C 为正向曲线． ,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学考试2007《复变函数-B 》试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：闭卷；. 填空题（每小题4分,共20分）设z=(1+i)100,则Imz= . 设C 为正向圆周|ξ|=2,f(z)=sinπζζζ3-?zd C,其中|z|<2,则'=f ()1 . 罗朗级数∑∑∞=∞=--+-10)21()1()2(1n n n nnz z 地收敛圆环为__________, 和函数为__________．积分||71______________1cos z zdz z =+=-?． . 函数)(z f w =在区域D 内解析,D z ∈0且0)(0≠'z f ,则)(z f w =在0z 具有两个性质______________,______________,此时称)(z f w =在0z 是保形地.二. 单项选择题（每小题4分,共20分）1. 方程2Re 1z =所表示地平面曲线为（）．A. 圆B. 直线C. 椭圆D. 双曲线2. 若函数()f z 在正向简单闭曲线C 所包围地区域D 内解析,在C 上连续,且z a =为D 内任一点,n 为正整数,则积分1()()n C f z dz z a +-?等于（）． A.(1)2()(1)!n if a n π++B.2()!if a n π C. ()2()n ifa πD.()2()!n i f a n π3. 1-=z 是函数4cot (1)zz π+地（）．A. 3阶极点B. 4阶极点C. 5阶极点D. 6阶极点4. 设()Q z 在点z=0处解析,)1()()(-=z z z Q z f ,则Res [(),0]f z 等于（）．A. (0)QB. (0)Q -C. (0)Q 'D. (0)Q '-5. 设)(z f w =在0z 解析,且0)(0≠'z f ,则映射)(z f w =具有( )． A. 只把0z 地一个邻域内某一小三角形映成含)(00z f w =地一个三角形；B. 把0z 地一个邻域内任一小三角形映成含)(00z f w =地一个曲边三角形,二者近似相似；C. 把充分小地圆周r z z =-0映成三角形；D. 把含0z 地充分小地三角形映成圆周．三. (10分) 将zzz f sin )(=在圆环∞<<||0:z D 内展开成罗朗级数．四. (10分) 计算留数Res 6,0shz z ??地值．五.（10分）设()cos f z z z =,计算积分()if z dz ?．六. (10分) 计算积分34(1)(1)Cdzz z -+?,其中C ：|1|1z -=地正向．七. (10分) 在指定区域,把函数()f z 展开为洛朗级数．ln ()(1)zf z z =-,0|1|1z <-< 八. （5分）设1()sinf z z i=-, （1）求)(z f 在0||z i <-<+∞地洛朗级数；（2）在扩充复平面求)(z f 所有孤立奇点处地留数．九. （5分）设33(1)(3)()(sin )z z f z z π+-=, （1）求()f z 地所有孤立奇点并判断其类型；（2）求Res [](),3f z ． A 卷参考答案：一．（20分）（1）1 （2）0 （3）2 （4）2（5）2214125(2)2πππ=+ 二．（10分）（1）B （2）C （3）B （4）C （5）B 三（10分）解：因为388(cos sin ),z i ππ=-=+所以, 222(cossin),0,1,2.33k k z i k ππ++=+=（6分）即方程有三个解：11z=,22z =-,31z =-（10分）四．（10分）解：根据对函数地定义有(34)ln 34(34)Ln i i iArg i -+=-++-+ （6分）4ln 5(arctan 2)3i k ππ=+-+0,1, 2...k =±± （10分）五．（10分）解：令221()(1)(4)f z z z =++ ,则()f z 在Ｃ内有两个一阶极点,i i -,由留数定理得()2(Re [(),]Re [(),])cf z dz i s f z i s f z i π==-?（6分）2(()()()())lim lim z iz ii z i f z z i f z π→→-=-++＝０（10分）六．（10分）解：七.（10分）解：令1211,,cos 0.5(),21053cos [5 1.5()]231032(31)(3)i i i i z z z z e dz e id e e d dz iz z zidz z z idzz z θθθθθθπθθ-======+=+++-=++-++?则从而有在1z =内被积函数只有一个奇点13-,且为一阶级点,所以 23232221ln(2)ln[1(1)][(1)0.5(1)(1)...]3111(1)(1)(1)...1(1)(2)ln(2)1.(1)11[10.5(1)(1)...][1(1)(1)...]3510.5(1)(1)...6z z z z z z z z z z ln z z z z z zz z z z z z -=--=--+-+-+==--+---++---=--=-+-+-+--+--=-+---+所以132212Re [,]053cos (31)(3)3223(3)2z d i i s z z ii z πθπθππ=--=-+++-=+=八．（10）分解：()f z 在复平面内有两个奇点1,-1,根据留数定理有11Re [(),](Re [(),1]Re [(),1]22122z z z z s f z s f z s f z e e z z e e ==-∞=-+-=--=-+九．（10分）解：设152243()(1)(2)z f z z z =++,则()f z 得所有有限奇点均在3z =内部,由留数定理得： 1()2Re [(),]2Re [(),]nkk f z i s f z z i s f z ππ===-∞∑?另一方面：2152232422430224311Re [(),]Re [(),0]21()1Re [.,0]11(1)(2)1Re [,0](1)(12)1(1)(12)1z s f z s f z z s z z z s z z z z z =-∞==++=++=++= 所以所求积分为：2i πB卷答案：。
