2010年华南理工数学分析考研试题及解答

2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)若011lim[()]1xxa e xx，则a 等于（Ａ）０（Ｂ）１（Ｃ）２（Ｄ）３(2)设1y ,2y 是一阶线性非齐次微分方程y p x y q x 的两个特解. 若常数,使12y y 是该方程的解,12y y 是对应的齐次方程的解, 则（A ）11,22(B)11,22(C)21,33(D)22,33（3）设函数(),()f x g x 具有二阶导数，且()0g x 。

若0()g x a 是()g x 的极值，则f g x在0x 取极大值的一个充分条件是(A)0f a (B)0f a (C)0f a (D) 0f a （4）设1010ln ,,xf x xg xx h xe ，则当x 充分大时有(A)g x h x f x .(B) h x g x f x . (C)f xg xh x .(D)g xf xh x .(5)设向量组12:,,,rI 可由向量组12II :,,,s线性表示, 则列命题正确的是(A) 若向量组I 线性无关, 则r s (B) 若向量组I 线性相关, 则r s (C) 若向量组II 线性无关, 则r s (D) 若向量组II 线性相关, 则rs(6)设A 为4阶对称矩阵,且20AA若A 的秩为3,则A 相似于(A)1110(B)1110(C)1110(D)1110(7) 设随机变量X 的分布函数0,01(),0121,1xxF x x e x ，则1P X (A) 0 (B) 1(C)112e(D) 11e(8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度2()f x 为[1,3]上均匀分布的概率密度,12(),0()(0,0)(),0af x x f x abbf x x为概率密度,则,a b 应满足(A)234a b (B) 324a b (C) 1a b (D) 2a b 二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) （9）设可导函数y y x 由方程22sin x y x t e dt x t dt 确定，则______x dy dx（10）设位于曲线21()(1ln )yexx x 下方, x 轴上方的无界区域为G , 则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为_________。

20XX年考研数学一真题一、选择题（ 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1) 极限(A)1(B)(C)(D)【考点】 C。

【解析】【方法一】这是一个“”型极限【方法二】原式而(等价无穷小代换 )则【方法三】对于“”型极限可利用基本结论：若,,且则,求极限由于则【方法四】综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2)设函数由方程确定，其中为可微函数，且,则。

(A)(B)(C)(D)B。

【答案】【解析】因为,所以综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分(3) 设为正整数，则反常积分的收敛性(A)仅与的取值有关(B)仅与的取值有关(C)与的取值都有关(D)与的取值都无关【答案】 D。

【解析】本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在和时无界在反常积分中，被积函数只在时无界。

由于，已知反常积分收敛，则也收敛。

在反常积分中，被积函数只在时无界，由于(洛必达法则 )且反常积分收敛，所以收敛综上所述，无论取任何正整数，反常积分收敛。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(4)(A)(B)(C)(D)D。

【答案】【解析】因为综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(5)设为矩阵，为矩阵，为阶单位矩阵，若,则(A)秩秩(B)秩秩(C)秩秩(D)秩秩【答案】 A。

【解析】因为为阶单位矩阵，知又因,故另一方面，为矩阵，为矩阵，又有可得秩秩综上所述，本题正确答案是A。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩(6) 设为4阶实对称矩阵，且，若的秩为3，则相似于(A)(B)(C)(D)【答案】D。

【解析】由知，那么对于推出来所以的特征值只能是、再由是实对称矩阵必有，而是的特征值，那么由,可知 D正确综上所述，本题正确答案是D。

华南理工大学考研真题2010计算机专业综合831华南理工大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：计算机专业综合（数据结构和操作系统）适用专业：计算机技术共 4 页数据结构部分一、选择题（每小题2分，共20分）1．判断一个循环队列QU(最多元素为m0)为满队列的条件是（）。

A、QU->front==QU?rearB、QU->front!=QU?rearC、 QU->front==(QU?rear+1)%m0D、QU->front!=(QU?rear+1)%m02．向一个栈顶指针为HS的链栈中插入一个s所指结点时，则执行（）。

A、HS?next=s;B、s?next=HS?next; HS?next=s;C、s?next=HS; HS=s;D、s?next=HS; HS=HS?next;3．设矩阵A是一个对称矩阵，为了节省存储，将其下三角部分按行序存放在一维数组B[1,n(n-1)/2]中，对下三角部分中任一元素a i,j(i≥j),在一维数组B中下标k的值是（）。

A、i(i-1)/2+j-1B、i(i-1)/2+jC、i(i+1)/2+j-1D、i(i+1)/2+j4. 设有一个无向图G=(V,E)和G'=(V',E')，如果G'为G的生成树，则下面不正确的说法是( )。

A. G'为G的子图B. G'为G的一个无环子图C. G'为G的极小连通子图且V'=VD. G'为G的连通分量5.在线索化二叉树中，t所指结点没有左子树的充要条件是（）。

A、t?left=NULLB、t?ltag=1C、t?ltag=1且t?left=NULLD、以上都不对6. 具有五层结点的二叉平衡树至少有（）个结点。

A、10B、12C、15D、177. 采用邻接表存储的图的深度优先遍历算法类似于二叉树的（）。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及参考答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

（1）、极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎛⎫= ⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、e a b- D 、eb a-【解析与点评】方法一222ln 1()()()()lim lime lime()()xx x xx x a x b x a x b x x x xx a x b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞⎛⎫== ⎪-+⎝⎭()()2()()()()limelime a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x -+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞==e a b -=方法二22()()lim lim 1()()()()x xx x x x x a x b x a x b x a x b →∞→∞⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()()()()()()()lim 1lim 1()()()()x a x b a b x abxxa b x ab x a x b x x a b x ab a b x ab x a x b x a x b -+-+⋅-+-+→∞→∞⎛⎫⎛⎫-+-+=+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()lim()()()ee x a b x abxa b x a x b →∞-+--+==考点：第二个重要极限，初等函数运算，复合函数极限运算法则，极限运算，无穷小量替换 （2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy u y∂∂+=∂∂（ B ） A 、x B 、z C 、x - D 、z -【解析与点评】 等式两边求全微分得：12d d 0y z F F x x ⎛⎫⎛⎫''⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 1222d d dz d 0x y y x x z xF F x x --''+=12(d d )(dz d )0F x y y x F x z x ''⇒⋅-+⋅-= 12122dz d d yF zF F x y xF F '''+∴=-''所以有，1212222yF zF F zF z z xy x y z u y xF F F ''''+∂∂+=-==∂∂'''（3）、设,m n是正整数，则反常积分x ⎰的收敛性( D )A 、仅与m 的取值有关B 、仅与n 的取值有关C 、与,m n 的取值都有关D 、与,m n 的取值都无关 【解析与点评】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有=+⎰对于的瑕点0x =，当0x +→21ln (1)mnx x -=-等价于221(1)mm nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故收敛；对于)的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<时12122ln (1)2(1)nmnmx x <-<-，而2112(1)mxd x-⎰显然收敛，故收敛。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A) 1. (B) e . (C) a be -. (D) b ae-.(2) 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(3) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B)仅与n 的取值有关. (C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (4) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (5) 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )(A) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D) 秩()r A n =,秩()r B n =. (6) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 设随机变量X 的分布函数0,1(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A) 0. (B)12. (C) 112e --. (D) 11e --. (8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A) 234a b +=. (B) 324a b +=. (C) 1a b +=. (D) 2a b +=.二、填空题(9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == .(10)2π=⎰.(11) 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.(12) 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .(13) 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = .(14) 设随机变量X 的概率分布为{}!C P X k k ==,0,1,2,k = ,则()2E X = .三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． (16)(本题满分10分)求函数()()2221x t f x xt e dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. (18)(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直,求点P 的轨迹C ,并计算曲面积分2x y zI ∑-=,其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.(20)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解.( I ) 求λ,a ；( II ) 求方程组Ax b =的通解. (21)(本题满分11 分)已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,且Q 的第三列为T. ( I ) 求矩阵A ；( II ) 证明A E +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,)x xy y f x y Ae -+-=,x -∞<<+∞,y -∞<<+∞,求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x ．设总体X其中参数()0,1θ∈未知,以i N 表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3i =).试求常数123,,a a a ,使31iii T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C).【解析】本题属于未定式求极限,极限为1∞型,故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2ln lim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim ln x x x x a x b e →∞⋅-+=, 其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a be-,所以应该选择(C).(2)【答案】 (B).【解析】12221212222x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (3) 【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(4)【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (5)【答案】 (A).【解析】由于AB E =,故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==,故选A. (6)【答案】 (D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8)【答案】 (A).【解析】根据题意知,()221x f x -=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题 (9) 【答案】0.【解析】因为 ()()22ln 1ln 1ttt dy t e dx e-+==-+-, ()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦,所以220t d y dx ==. (10)【答案】 4π-.t =,2x t =,2dx tdt =,利用分部积分法, 原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰.(11) 【答案】0.【解析】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()0122111x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰()()0122122xx dx x x dx -=++-⎰⎰1322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(12) 【答案】23. 【解析】 ()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdz dxdydz d rdr dz d r rdrππππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r dr πθπ⎛⎫-⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰. (13)【答案】6a =.【解析】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2,所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换：123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.(14) 【答案】2.【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑,整理得到1C e -=,即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布,则()()1,1E X D X ==,根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦. 三、解答题(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=,解得特征根121,2λλ==,所以对应齐次方程的通解为212x x c y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()x y x ax b e =+,则()()*22x y axax bx b e '=+++,()()*2422x y axax bx a b e ''=++++,代入原方程,解得1,2a b =-=-,故特解为*(2)xy x x e =--． 故方程的通解为*212(2)x x x c y y y C e C e x x e =+=+-+． (16)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .(17)【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(18)【解析】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++, 所以,当21x <,即11x -<<时,原级数绝对收敛.当21x >时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时,11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为[]1,1-.(II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑,其中令12111(1)()21n n n S x x n -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-,所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-,从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-, 故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰,()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的,所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅,[]1,1x ∈-.(19)【解析】 ( I )令()222,,1F x y z x y z yz =++--,故动点(),,P x y z 的切平面的法向量为()2,2,2x y z zy --,由切平面垂直xOy ,故所求曲线C 的方程为222120x y z yz z y ⎧++-=⎨-=⎩. ( II ) 由⎩⎨⎧=-=-++,02,1222y z yz z y x 消去z ,可得曲线C 在xOy 平面上的投影曲线所围成的xOy 上的区域223:{(,)|1}4D x y x y +≤,由()()x x yz z y x '='-++1222,由dxdy zy yzz y dxdy y z x z dS 24412222--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=,故(2DDDx y zI x dxdy xdxdy ∑-==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Dπ==⋅=. (20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21)【解析】 ( I )由于二次型在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,所以A 的特征值为1231,0λλλ===.由于Q 的第3列为,0,22T ⎛ ⎝⎭,所以A 对应于30λ=的特征向量为22T⎛ ⎝⎭,记为3α. 由于A 是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于121λλ==的特征向量为()123,,Tx x x α=,则30T αα=,130x =. 求得该方程组的基础解系为()()120,1,0,1,0,1TTαα==-,因此12,αα为属于特征值1λ=的两个线性无关的特征向量.由于12,αα是相互正交的,所以只需单位化：())1212120,1,0,1,0,1T Tααββαα====-. 取()1230,,10002Q ββα⎛⎪⎪==⎝⎭,则110T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭,且1T Q Q -=, 故 1102201011022TA Q Q ⎛⎫- ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. ( II )A E +也是实对称矩阵,A 的特征值为1,1,0,所以A E +的特征值为2,2,1,由于A E +的特征值全大于零,故A E +是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy +∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---==-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】()()()22123~,1,~,,~,N B n N B n N B n θθθθ--()()()()31122331i i i E T E a N a E N a E N a E N =⎛⎫==++ ⎪⎝⎭∑()()221231a n a n a n θθθθ=-+-+()()212132na n a a n a a θθ=+-+-.因为T 是θ的无偏估计量,所以()E T θ=,即得()()12132010na n a a n a a =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩,整理得到10a =,21,a n = 31a n=.所以统计量()()12323111110T N N N N N n N n n n n=⨯+⨯+⨯=⨯+=⨯-.注意到1(,1)N B n θ- ,故()()()11211D T D n N D N n n⎡⎤=⨯-=⨯⎢⎥⎣⎦()11n θθ=-.。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)极限2lim ( )()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(A)1 (B)e(C)a be-(D)b ae-答案：C 详解：2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=2233221ln ()()()()lim lim lim xxx x bx abxx x x a x b a bx a x b x ax bx abx x x e e ee⎛⎫-+-- ⎪⋅ ⎪-+--+⎝⎭-+-→∞→∞→∞===(2)设函数(),z z x y =，由方程(,)0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '=，则x z x y u y ∂∂+∂∂=( ) (A)x (B)z (C)x - (D)z -答案：B详解：12221222,1x z y z y zF F F F F z x x x x x F F F x⎛⎫⎛⎫''-+-''⋅+⋅⎪ ⎪'∂⎝⎭⎝⎭=-=-=''∂'⋅112211y x F F F z x xF F F x'⋅''∂=-=-=-''∂'⋅1212222yF zF yF F z z z xyz xxF F F ''''+⋅∂∂+=-=='''∂∂(3)设,m n是正整数，则反常积分0⎰的收敛性(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 取值有关 (C)与,m n 取值都有关 (D)与,m n 取值都无关 答案：C 详解：11222111111111ln 1(ln (1))1111mmn mm np p p nnx p p m dx p x p np -∞∞∞⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-= ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰2121121n mm np n m m nn m p m n -∞--⎧>⎪⎛⎫⎪=⎨⎪-⎝⎭⎪≤⎪⎩∑收敛，发散， (4)()()2211limnnx i j nn i n j→∞--=++∑∑(A)()()12111x dx dy x y++⎰⎰(B)()()10111x dx dy x y ++⎰⎰(C)()()1100111dx dy x y ++⎰⎰(D)()()112111dx dy x y++⎰⎰答案：D详解：()()22211112limlim11nnnnx x i j i j nnn i nji j n n n n →∞→∞----=⎛⎫++⎛⎫⎛⎫+⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑2211111lim11n nx i j inj n n →∞--=⋅⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑∑()()112111dx dy x y=++⎰⎰(5)设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB =E ，则( ) (A)秩(),r A m =秩()r B m =(B)秩(),r A m =秩()r B n = (C)秩(),r A n =秩()r B m = (D)秩(),r A n =秩()r B n =答案：A解析：由于A B E =，故()()r A B r E m ==，又由于()(),()()r A B r A r A B r B ≤≤，故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==，故选A 。

华南理工大学2010年数学分析考研试题一．求解下列各题1.确定α与β，使)lim0n n αβ→∞−−=.2.讨论函数()f x ，()g x 在0x =处的可导性，其中(),,x x f x x x −⎧=⎨⎩为无理数，为有理数，和()22,,x x g x x x ⎧−⎪=⎨⎪⎩为无理数，为有理数.3.已知()f x 在[)0,+∞上连续，且满足()0f x x ≤≤，[)0,x ∈+∞，设10a ≥，()1n n a f a +=，1,2n =⋯，证明（1){}n a 收敛；（2）若lim n n a l →∞=，则()f l l =.4.判断下面的级数的收敛性()()()21111nnn x x x x ∞=+++∑⋯，0x ≥.5.讨论函数()(),1cos y y f x y e x ye =+−的极大值和极小值.6.计算33323Sx dydz y dzdx z dxdy ++∫∫，其中S 为球面2222x y z a ++=的外侧.二．设p 为正常数，函数()()cos p f x x =，证明：当01p <≤时，()f x 在[)0,+∞上一致连续.三．证明ax bx bxya e e e dy x −−−−=∫，并计算积分0ax bxe e dx x−−+∞−∫，()0b a >>.四．令()()ln 1,0,,,0,xy x f x y xy x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩证明(),f x y 在其定义域上是连续的.五．求积分D I dxdy =∫∫其中D由曲线1+=和x c =，y c =所围成，且,,0a b c >.六．设f 为定义在(),a +∞上的函数，在每一有限区间(),a b 上有界，且()()lim 1x f x f x A →+∞+−=⎡⎤⎣⎦，证明()lim x f x A x→+∞=.七．设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，证明()()()()()01limnbi i i ai f g x f x g x dx λξθ∆→=∆=∑∫，其中∆为[],a b 的任一分割，01:n a x x x b ∆=<<<=⋯，[]1,,i i i i x x ξθ−∈，1,2,,i n =⋯，1i i i x x x −∆=−，(){}1max i i nx λ≤≤∆=∆.华南理工大学2010年数分考研试题解答一．1.解由条件知，lim 0n n n βα→∞⎞−=⎟⎟⎠，从而有lim 0n n βα→∞⎞−−=⎟⎟⎠，lim n n βα→∞⎞=−=⎟⎟⎠)limn β→∞=n →∞=24n →∞−===α=β=2.解显然()00f =，()00g =，()()0f x f x −≤,()()20g x g x −≤,()f x ,()g x 均在0x =处连续，当x 沿着无理点趋向0时，有()()0110f x f x −=−→−−，当x 沿着有理点趋向0时，有()()0110f x f xx x−==→−，()()0limx f x f x →−−不存在，所以()f x 在0x =处不可导.当x 沿着无理点趋向0时，有()()2000g x f x x x x −−==−→−，当x 沿着有理点趋向0时，有()()2000g x g x x x x −==→−，于是有()()0lim00x g x g x →−=−存在，所以()g x 在0x =处可导，且()00g ′=.3.证明（1）有题设条件，知()2110a f a a ≤=≤，()10n n n a f a a +≤=≤，于是{}n a 单调递减，有下界，根据单调有界定理，知{}n a 收敛.（2）设lim n n a l →∞=，由于()f x 在[)0,+∞上连续，在()1n n a f a +=中，令n →∞，取极限，得()f l l =.4.解设()()()()2111nn nx u x x x x =+++⋯，显然当0x =时，()00n u =，()10n n u ∞=∑收敛，当0x >时，()0n u x >，()()11,011limlim,1120,1n n n n nx x u x xx u x x x ++→∞→∞<<⎧⎪⎪===⎨+⎪>⎪⎩，于是0x ≥，()1n n u x ∞=∑收敛.5.解()()1sin y fe x x∂=+−∂，()cos y y y fe x ye e y∂=−+∂()cos 1y e x y =−+⎡⎤⎣⎦.易知(,)f x y 的驻点集为()(){}2,0,(21),2:k k k Z ππ+−∈，又由()1cos y xx f e x =−+，sin y xy f e x =−，(cos 2)y yyf e x y =−−，知(2,0)20|01k Hf π−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠是负定矩阵，2((21),2)210|0k e Hf e π−+−−⎛⎞+=⎜⎟−⎝⎠，于是(,)f x y 在(){}2,0:k k Z π∈处取的最大值2，且(,)f x y 无极小值，也无最小值。

《高等数学》试卷（试卷号：2010期中 时间90分钟，总分100）学院（系） 专业班 姓 名： 成绩报告表序号：一、（6*4）1．求极限()1lim arcsin cos x x x x →+解 原式=()()arcsin cos 111arcsin cos 100lim 1arcsin cos 1lim 1arcsin cos 1x x xx x x x x x x x x +-+-→→⎡⎤++-=++-⎢⎥⎣⎦由于0arcsin cos 1arcsin cos 1limlimlim101x x x x x xx xxx→→→+--=+=+=故 原式=()0arcsin cos 1lim1arcsin cos 10lim 1arcsin cos 1x x x xx x x x x e →+-+-→⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦2．求极限21lim ln 1x x x x →+∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 原式()()22100ln 1ln 11lim lim t t x t t t tt t →=→+-+⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦()0011111limlim 2212t t t t t →→-+===+3．求极限01lim x x x →⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦,(其中[ ]表示取整函数). 解 由取整函数定义1111x x x ⎡⎤≤<+⎢⎥⎣⎦,从而111111x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=⋅≤⋅<⋅+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭又()00lim 1lim 11x x x →→=+=, 由夹逼准则有01lim 1x x x →⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦另解: 令11,01t t x x ⎡⎤=+≤<⎢⎥⎣⎦,则()00011lim lim lim 1101x x x x x t xt x x →→→⎡⎤⎛⎫⋅=⋅-=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭4．设函数()f x 在0x 可导，求极限()()42lim1coshh fxhf x →+--解 由函数()f x 在0x 可导可得()()()()()000000limh f x h f x f x f x f x h+-→+-'''===从而()()()()()()()4440000002422limlim2lim11cosh2h h h f x hf x f x hf x f x hf x hh →→→+-+-+-==-()()0022f x f x +''==二、[3小题，共19分] 解答题5、(7分)设cos sin t tx e ty e t⎧=⎪⎨=⎪⎩确定函数()y y x =，求22,dy d y dx dx 解s i n c o ss i n c o s,c o s s i nc o s s i nt t ttdy e t et t t dxe t et t t ++==-- 22sin cos cos sin d y d dy d t t dxdx dx dx t t +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()()()2223cos sin sin cos 12cos sin cos sin cos sin tttt t t t e t e tt t et t -++==---6、(7分)设y f ⎛= ⎝，已知()fx 可导，求22d y dx解()131221122dy f u xxf dx----⎛''=⋅=-⎝, ()()5332222231311122224d y x f u x f x f u f dxx -------⎛⎛''''''=⋅⋅+⋅=+ ⎝⎝ 7、（5分）设(ln cos y =，求dy解()()()1112221111sin sin 1cos cos 2dy du v dt v t d x u vv-==-=-+=三、 [20分] 8、（6分）设())()()()1bx b f x x a x ++=+-有无穷间断点10x =和可去间断点21x =，求,a b的值解 由有无穷间断点10x =,可知()()()011lim0,0,0,0,11x a a b b f x b b→⋅-=⇒=⇒=≠≠-+⋅又有可去间断点21x =,可知()1lim x f x →存在,进而()()1lim 10x x f x →-=,即)()101bb a+=+,从而b =9、（6分）求曲线ln 1xy y +=在点()1,1处的法线方程 解 由隐函数由导数的法则,10y xy y y ''++⋅=令1,1x y ==得()1,112y '=-故所要求的法线方程为()11112y x -=---,即21y x =-10、（8分）设()21,00,0x xe x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩，求导函数()f x '，并试证()f x '在0x =处连续解 当0x =时 ()221100limlim 0xxx x xe f ex--→→-'=== 当0x ≠时()22211132221xxx f x ex ee x x ----⎛⎫⎛⎫'=+⋅⋅-=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()21221,00,0x e x f x x x -⎧⎛⎫⋅+≠⎪ ⎪'=⎨⎝⎭⎪=⎩ 从而()()22212220212lim lim 1lim 12lim t xt x x t t t f x ee t x e--→→→∞→∞+⎛⎫'=⋅+=⋅+= ⎪⎝⎭ ()2242limlim002ttt t t f tee→∞→∞'====,故()f x '在0x =处连续四、 [15分]证明问题11、（5分）用N ε-定义证明：2lim cos1n nπ→∞=证 由于222221281cos2sin2nnn n πππ⎛⎫-=≤< ⎪⎝⎭从而 对1280,N εε⎡⎤∀>∃=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,有1281,n N ε≥+>即21281cos n n πε-<<由数列极限的定义2lim cos1n nπ→∞=12、[10分]设()f x '在[],a b 上连续，开区间(),a b 内()f x ''存在，且()()0f a f b ==，并存在一点(),c a b ∈使()0f c >。

2010年考研数学三真题及答案解析2010年考研数学三真题⼀.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a =A0 B1 C2 D32.设21,y y 是⼀阶线性⾮齐次微分⽅程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数µλ,使21y y µλ+是该⽅程的解，21y y µλ-是该⽅程对应的齐次⽅程的解，则A 21,21==µλ B 21,21-=-=µλ C 31,32==µλ D 32,32==µλ3.设函数f(x),g(x)具有⼆阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极⼤值的⼀个充分条件是A 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f 4设1010)(,)(,ln)(x e x h x x g x x f ===则当x 充分⼤时有Ag(x)Cf(x)5设向量组线性表⽰，，，：，可由向量组s I βββααα??21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性⽆关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性⽆关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ??????? ??0111B-0111 For personal use only in study and research; not for commercial useC ??????? ??--0111D---0111 7.设随机变量X 的分布函数≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0 B 21 C 121--e D 11--e8.For personal use only in study and research; not for commercial use9.10.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满⾜：A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 ⼆.填空题11.For personal use only in study and research; not for commercial use 12. 13.设可导函数y=y(x),由⽅程??=+-xyx t dt t x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy14.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下⽅，x 轴上⽅的⽆界区域为G ，则G 绕x轴旋转⼀周所得空间区域的体积为____________15.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________16.For personal use only in study and research; not for commercial use 17.18.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________ 19.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31 =+==-B A B A ，则_________1=+-B A20.For personal use only in study and research; not for commercial use 21. 22.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>?∑=则计量的简单随机样本。

2010考研数学答案解析【篇一：2010考研数学一(真题解析分开版)】ss=txt>数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) 222y?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)1. 曲线拐点a（1，0）b（2，0） c（3，0）d（4，0） 2. 设数列?an?单调递减，liman??n无界，则幂级数?0,sn??ak(n?1,2,?）k?1n?a(x?1)kk?1nn的收敛域a(-1,1] b[-1,1) c[0,2) d(0,2]3.设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)?0,f?(0)?0，则函数z?f(x)lnf(y)在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件af(0)?1,f??(0)?0 bf(0)?1,f??(0)?0cf(0)?1,f??(0)?0df(0)?1,f??(0)?04.设i??0lnsinxdx,j??0lncotxdx,k??0lncosxdx则i、j、k的大小关系是???a ijkb ikjc jikd kji5.设a为3阶矩阵，将a的第二列加到第一列得矩阵b，再交换b ?100??100?????p1??111?,p2??001?,???000???010??的第二行与第一行得单位矩阵。

记a=?1?1ap1p2bp2p1 dp1p2 cp2p1则6.设a?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，a*是a的伴随矩阵，若(1,0,1,0)t 是方程组ax?0的一个基础解系，则a*x?0的基础解系可为a?1,?3 b?1,?2 c?1,?2,?3 d?2,?3,?47.设f1(x),f2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x),f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是af1(x)f2(x) b2f2(x)f2(x) cf1(x)f2(x) df1(x)f2(x)?f2(x)f1(x)8.设随机变量x与y相互独立，且ex与ey存在，记u=max{x,y},v={x,y},则e(uv)=a euevb exeyc eueyd exev二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)9.曲线y??0tantdt(0?x?)的弧长s=____________4x?10.微分方程y??y?e?xcosx满足条件y(0)=0的解为y=____________ 11.设函数f(x,y)??0xy?2fsintdt，则221?t?xx?0?__________12.设l是柱面方程为x2?y2?1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往zy2_ 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分xzdx?xdy?dz?__________213.若二次曲面的方程为x2?3y2?z2?2axy?2xz?2yz?4，经正交变换化为y12?4z12?4，则a?_______________三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)ln(1?x)ex?115求极限lim( )x?0x116设z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，?2z且在x=1处取得极值g(1)=1,求?x?yx?1,y?117求方程karctanx?x?0不同实根的个数，其中k为参数。

华南理工大学期末考试2010《复变函数-B 》参考答案1，填空题。

(每题5分，合计30分)（1）已知 1002(1)(2)z i i -=+++，则z 的虚部为411sin(2arctan )2552--或（2）设C 为正向圆周||3z =，则积分1sin C zdz z+=⎰2πi（3）函数 2(2)2w x y ixy =++在如下范围内可导：1=-y（4）在映射2w z =下，区域||10arg 2w w π<<<， 的原像为531rg (0)()rg (0)()4444z z z ππππππ<∈∈-， A ，，或a ，，-（5）计算积分1()izz i edz -+=⎰1111(2)(12)(2)(cos12sin1)(2cos1sin1)(2cos12sin1)(2cos1sin1)-----+-+=++++-=++++-i i e i e i e i e e i（6）函数231()cosf z z z=在:0||D z <<∞的洛郎展开式为 26620011(1)(1)(2)!(2)!∞∞-==-=-∑∑nnn n n n z n z n z2，计算题，(每题5分，合计30分)。

（1）计算 L n (43)i + 的值解：3Ln(43)ln(43)2ln 52arctan 4ππ+=++=++i i k i k i i2)2211[cos(ln2)sin(ln2)]22πππ-+-====+i k i k i ke e e e i（2）求解方程5sh4z i=25551sh 1(2)()04242212,2,ln2222z zz z z zze ez i i e ie e i e ie i i z Ln i z k i iππ--=⇔=⇔--=--=⇔=⇔==±++（3）分别用定义和柯西--黎曼条件判断函数()||f z z=是否可导，是否解析？解：=u∂=∂ux，∂=∂uy，并且在（0，0）处偏导数不存在。

2010年考研数学三真题一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a =A0 B1 C2 D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则For personal use only in study and research; not for commercial useA 21,21==μλ B 21,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 32,32==μλ3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是For personal use only in study and research; not for commercial useA 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f 4设1010)(,)(,ln)(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有Ag(x)<h(x)<f(x) Bh(x)<g(x)<f(x)For personal use only in study and research; not for commercial useCf(x)<g(x)<h(x) Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>sFor personal use only in study and research; not for commercial useC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111 For personal use only in study and research; not for commercial useC ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0111 7.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0 B 21 C 121--e D 11--e8.For personal use only in study and research; not for commercial use9.10.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二.填空题11.For personal use only in study and research; not for commercial use 12.13.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xyx t dt t x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy14.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为____________15.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________16.For personal use only in study and research; not for commercial use 17.18.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________ 19.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A20.For personal use only in study and research; not for commercial use 21. 22.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。

831华南理工大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：计算机专业综合（数据结构和操作系统）适用专业：计算机技术共 4 页数据结构部分一、选择题（每小题2分，共20分）1．判断一个循环队列QU(最多元素为m0)为满队列的条件是（）。

A、QU->front==QUÆrearB、QU->front!=QUÆrearC、 QU->front==(QUÆrear+1)%m0D、QU->front!=(QUÆrear+1)%m02．向一个栈顶指针为HS的链栈中插入一个s所指结点时，则执行（ ）。

A、HSÆnext=s;B、sÆnext=HSÆnext; HSÆnext=s;C、sÆnext=HS; HS=s;D、sÆnext=HS; HS=HSÆnext;3．设矩阵A是一个对称矩阵，为了节省存储，将其下三角部分按行序存放在一维数组B[1,n(n-1)/2]中，对下三角部分中任一元素a i,j(i≥j),在一维数组B中下标k的值是（）。

A、i(i-1)/2+j-1B、i(i-1)/2+jC、i(i+1)/2+j-1D、i(i+1)/2+j4. 设有一个无向图G=(V,E)和G'=(V',E')，如果G'为G的生成树，则下面不正确的说法是( )。

A. G'为G的子图B. G'为G的一个无环子图C. G'为G的极小连通子图且V'=VD. G'为G的连通分量5.在线索化二叉树中，t所指结点没有左子树的充要条件是（）。

A、tÆleft=NULLB、tÆltag=1C、tÆltag=1且tÆleft=NULLD、以上都不对6. 具有五层结点的二叉平衡树至少有（）个结点。