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例 1.设:n n f R R →，且()1nf C R ∈，满足()()f x f yx y -≥-，对于任意,nx y R∈，都成立.试证明f 可逆，且其逆映射也是连续可导的. 证明 显然，对于任意,n x y R ∈，x y ≠，有()()f x f y ≠，f 是单射，所以1f -存在，由()()11f x f y x y ---≤-，知1f -连续，由()()f x f y x y -≥-，得对任意实数0,t ≠向量,n x h R ∈,有()()f x th f x t h +-≥，在()()f x th f x ht+-≥中令0t →，取极限，则有 得()Jf x h h ≥，任何,n x h R ∈,从而必有|()|0Jf x ≠，Jf 可逆，由隐函数组存在定理，所以1f-存在，且是连续可微的。
例2. 讨论序列()sin n ntf t n t=在()0,+∞上一致收敛性. 解 方法一 显然()11n f t n t≤⋅，对任意()0,t ∈+∞，有()lim 0n n f t →∞=，()sin n nt ntf t t n t n t=≤=， ()0lim 0n t f t +→=，关于n 是一致的；对任意0δ>，当[),t δ∈+∞时，()11n f t n δ≤⋅， 于是(){}n f t 在[),δ+∞上是一致收敛于0的， 综合以上结果，故(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的.方法二 由()sin sin 1n nt nt nt f t n tn tn t n=≤≤≤， 即得(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的 例3、 判断1nn nx ∞=∑在1x >上是否一致收敛. 例4. 设()f x 在(),-∞+∞上一致连续，且()f x dx +∞-∞⎰收敛，证明()lim 0x f x →∞=.例5.求有曲面2221x y za b c⎛⎫++= ⎪⎝⎭所围成的立体的体积其中常数,,0a b c >.例6、 设D 为平面有界区域，(),f x y 在D 内可微，在D 上连续，在D 的边界上(),0f x y =，在D 内f 满足方程f f f x y∂∂+=∂∂. 试证：在D 上(),0f x y ≡.证明 因为(),f x y 在D 上连续， 设()(),max ,x y DM f x y ∈=，则0M =，假若0M >，则存在()00x y D ∈，使得()00f x y M =， 于是有()000f x y x ∂=∂，()000fx y y∂=∂， 这与()()00000f f x y f x y x y ⎛⎫∂∂+=> ⎪∂∂⎝⎭矛盾，假若0M <，亦可得矛盾.同理，对()(),min ,x y Dm f x y ∈=，亦有0m =，故(),0f x y =，(),x y D ∈.华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答一．求解下列各题 1、设0a ≠，数列{}n x 满足lim 0n n n x ax a→∞-=+，证明lim n n x a →∞=。
2008年华南理工数学分析考研试题及解答n例1.设f:Rn?Rn，且f?C1?R???，满足f?x??f?yx?y，对于任意n，都成立.试证明f可逆，且其逆映射也是连续可导的. x,y?R证明显然，对于任意x,y?Rn，x?y，有f?x??f?y?，f 是单射，所以f?1存在，f?1?x??f?1?y??x?y，知f?1连续，f?x??f?y??x?y，得对任意实数t?0,向量x,h?Rn,有f?x?th??f?x??th，f?x?th??f?x??h在中令t?0，取极限，则有t得Jf(x)h?h，任何x,h?Rn,从而必有|Jf(x)|?0，Jf可逆，隐函数组存在定理，所以f?1存在，且是连续可微的。
例2. 讨论序列fn?t??sinnt在?0,???上一致收敛性. nt11解方法一显然fn?t???，nt对任意t??0,???，有limfn?t??0，n??fn?t??sinntnt??t，ntntt?0?limfn?t??0，关于n是一致的；对任意??0，当t???,???时，fn?t??11?，n?于是?fn?t??在??,???上是一致收敛于0的，综合以上结果，故?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的.1 方法二fn?t??sinntnt?sinntnt?nt1?，ntn即得?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的例3、判断?n?1?n在x?1上是否一致收敛. xn????例4. 设f?x?在???,???上一致连续，且?2f?x?dx收敛，证明limf?x??0. x??2?xy?z例5.求有曲面????2?1所围成的立体的体积其中常数a,b,c?0. ?ab?c例6、设D为平面有界区域，f?x,y?在D内可微，在D上连续，在D的边界上f?x,y??0，在D 内f满足方程试证：在D上f?x,y??0. ?f?f??f. ?x?y证明因为f?x,y?在D上连续，设M?maxf?x,y?，?x,y??D则M?0，假若M?0，则存在?x0y0??D，使得f?x0y0??M，于是有?f?f?x0y0??0，?x0y0??0，?x?y??f?f?这与????x0y0??f?x0y0??0矛盾，??x?y?假若M?0，亦可得矛盾. 同理，对m?minf?x,y?，亦有m?0，?x,y??D故f?x,y??0，?x,y??D. 华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答一．求解下列各题1、设，数列{x}满足lima?0nn??xn?axn?a。
《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学本科生期末考试 《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷（A ）卷注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 5个 大题，满分100分， 考试时间120分钟。
《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷一、填空题（每小题3分，共15分） １. 函数()1212x xe ef x e e+=-的间断点及其类型为0x =是跳跃间断点，12x =是无穷间断点；２. 已知函数()y y x =由方程yxx y =所确定，则曲线()y y x =在点()1,1处的切《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷线方程为0x y -= ；３. 设xy xe =，则()n d y =()xnx n e dx + ；４. 220x t d e dt dx -⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰42x xe - ；５. 反常积分()22ln dx x x +∞=⎰1ln 2．二、计算下列各题（每小题8分，共16分） 1. 求极限()11limxx x ex→+-《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷解：()()()()()()()11ln 101ln 12001limlim1ln 1lim 41ln 1lim 6282x xxx x x x x x x eeexxx x x e x x x e x e +→→+→→+--=-++=⋅+-+==-分分分或()()()1ln 1110020011lim lim ln 1lim 4111lim 6282x x x x x x x e e x e x xx x e x x e x e +-→→→→⎡⎤-⎢⎥+-⎣⎦=+-=-+==-分分分2.计算定积分21dxx ⎰ 解：2321434tan,sec,cos4sin16sin t83x t dx tdttdttππππ===⎰⎰令则分＝－分分三、解答下列各题（每小题10分，共40分）1.设()1110,1,2,,nx x n+===试证明数列{}n x收敛，并求lim.nnx→∞证明：（1）()1110343,3,1,2,nx x x n=≥=≥≥=，用归纳法可证，即数列{}nx有下界；3分（2）1320,n n nx xx x x+-+-==<即，数列{}n x 单调减少。
880华南理工大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回） 科目名称：分析化学适用专业：分析化学 共 7 页一．单项选择题（共20题，每空1.5分，共计30分）1. 甲乙丙丁四人同时分析一矿物中的含硫量，取样均为3.5 g ，下列哪份报告的数据合理（ ）A. 甲：0.04%B. 乙：0.042%C. 丙：0.0421%D. 丁：0.04211%2. 消除分析方法中存在的系统误差，可以采用的方法是（ ）A. 增大试样称量质量B. 用两组测量数据对照C. 增加测定次数D. 进行仪器校准3. 浓度为c HCl （mol ⋅L -1）的HCl 和c NaOH （mol ⋅L -1）的NaOH 混合溶液的质子平衡方程为（ ）A.B. [][]HCl c OH H +=−+[][]HCl NaOH c OH c H +=+−+C. [][]−+=+OH c H NaOHD. [][]NaOH HCl c c OH H ++=−+4. 某二元弱酸H 2B 的pKa 1和pKa 2为3.00和7.00，pH=3.00的0.20 mol ⋅L -1H 2B 溶液中，HB -的平衡浓度为（ ）A. 0.15 mol ⋅L -1B. 0.050 mol ⋅L -1C. 0.10 mol ⋅L -1D. 0.025 mol ⋅L -15. 以H 2C 2O 4⋅2H 2O 作基准物质，用来标定NaOH 溶液的浓度，现因保存不当，草酸失去了部分结晶水，若用此草酸标定NaOH 溶液，NaOH 的浓度将（ ）A. 偏低B. 偏高C. 无影响D. 不能确定6. 以EDTA 为滴定剂，下列叙述中哪项是错误的（ ）A. 在酸度较高的溶液中，可能形成MHY 络合物；B. 在碱度较高的溶液中，可能形成MOHY 络合物；C. 不论形成MHY 或MOHY 均有利于滴定反应；D. 不论形成MHY 或MOHY 均不有利滴定反应7. 用EDTA 法测定Fe 3+、Al 3+、Ca 2+、Mg 2+混合溶液中的Ca 2+、Mg 2+的含量，如果Fe 3+、Al 3+的含量较大，通常采取什么方法消除其干扰（ ）A. 沉淀分离法B. 控制酸度法C. 络合掩蔽法D. 溶剂萃取法8. 在含有Fe 3+和Fe 2+的溶液中，加入下列何种溶液，Fe 3+/Fe 2+电对的电位将升高（不考虑离子强度影响）（ ）A. 邻二氮菲B. HClC. H 3PO 4D. H 2SO 49. 已知1 mol.l -1 H 2SO 4溶液中，，，在此条件下用KMnO V 45.1'Mn /MnO 24=ϕθ+−V 68.0'Fe /Fe 23=ϕθ++4标准溶液滴定Fe 2+，其化学计量点的电位为（ ）A. 0.38 VB. 0.73 VC. 0.89 VD. 1.32 V10. 佛尔哈德法测定时的介质条件为（ ）A. 稀硝酸介质B. 弱酸性或中性C. 和指示剂的PKa 有关D. 没有什么限制11. 在以下各类滴定中，当滴定剂与被滴物质均增大10倍时，滴定突跃范围增大最多的是（ ）A. NaOH 滴定HAcB. EDTA 滴定Ca 2+C. K 2Cr 2O 7滴定Fe 2+D. AgNO 3滴定Cl -12. 在沉淀过程中，与待测离子半径相近的杂质离子常与待测离子一起与沉淀剂形成（ ）。
2004年和2005年华南理工数学分析考研试题及解答华南理工大学2004年数学分析考研试题及解答1 求极限«Skip Record If...»。
解由«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
2 设«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»。
解对«Skip Record If...»两边求导，有«Skip Record If...»，于是有 «Skip Record If...»，«Skip Record If...»，对«Skip Record If...»两边求导，得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
3 设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，试证：«Skip Record If...»收敛，并求«Skip Record If...»。
