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II
美国经济学家柯布和数学家道格拉斯指出： 1899-1922年间，美国的的生产函数为
Q AL K 1
其中， A=0. 1， = 3 4
这一时期，一个百分点的劳动所引起的产量 增长，大约三倍于每增加一个百分点的资本 所引起的产量的增长
技术进步
Output Level
y’’ y’ y’ = f(x’)描述了技术能力, x’ 单位投入,最多获得y’ 单位产 出 x’ Input Level x y = f(x)
等成本线类似于消费者的预算线
生产者最优决策
MAX Q(L,K) s.t. C=wL+rK
TRS
K w L r
K*
L*
生产者最优决策的数学推理
可求解L，K，进而求出最大化利润
dx2 MP TRS 1 dx1 MP2
dxK MPL w TRS dxL MPK r
f(x1,x2)= f(x1’,x2’) f(x1,x2) tx1+(1-t) x1’ tx2+(1-t) x2’ 如果是等于，则 等产量线是直线 f(x1’,x2’)
X1
练习
如果生产要素必须以固定的比率投入生产，那么 相应的等产量曲线将（ ） A、凹向原点 B、是直线 C.、是一个直角 D、以上都不是
1. 利润最大化企业的目标函数 2. 该目标函数的一阶条件和二阶条件(复旦,2008)
练习
生产函数为
f ( x1 , x2 ) x1 x2
，
产品价格为P，生产要素价格分别是w1,w2 求要素需求函数。并求产出供给函数(上海财 大,2008)
短期利润最大化
~ ). y f ( x1 , x 2
图形上,等产量线与等成本线相切
MP L MPk w r
追加的单位货币,不管是买L,还是买K,带来的 边际产量相等
pMP L w
生产要素的边际产品价值等于其价格
生产要素使用的边际收益等于边际成本 生产要素的价格由什么决定？
练习
企业F是追求利润最大化的,其生产技术为 y=f(x1,x2),是完全竞争市场,产品价格为P,生产要素 价格分别是w1,w2
~ py w1 x1 w 2 x 2 .
对X1取导数等于0
pMP 1 w 1
边际产品价值等于要素价格 工资水平由什么决定？
如果：
P*MP1＞W1，则利润随着x1增加递增 P*MP1＜W1，则利润随着x1增加递减
练习
假定企业的生产函数为
f (l, k ) 2 kl
如果资本存量固定在9个单位上（K=9），产品价格（P） 为每单位6元，工资率（w）为每单位2元，请确定： （1）该企业的规模收益状态； （2）企业应雇用的最优的（能使利润最大的）劳动数 量； （3）如果工资提高到每单位3元，最优的劳动数量是多 少？（天津财经学院2000研）
多增加一单位的投入要素，使产量增加多少 生产函数的导数（偏导数）
y f ( x1 , , xn )
y MP i xi
MR p * MP i 要素的边际收益
边际产量递减（marginal products diminishing）
当技术条件以及其它要素投入保持不变时，随着一种投入 要素的增加，它的边际产量是递减的． 边际收益(报酬)递减
生产集(production sets)
Output Level
y’
所有技术上可行的投入 和产出的组合,构成生产 集
y”
x’ Input Level
x
生产函数(Production Functions)
：一定技术条件下，投入和产出的对应关系
y f ( x1 , , xn )
input bundle: (x1, x2, … , xn).
规模报酬(收益)递增
f ( k x1 , k x2 , , k xn ) k f ( x1 , x 2 , , x n )
规模报酬(收益)递减
f ( k x1 , k x2 , , k xn ) k f ( x1 , x 2 , , x n )
规模报酬不变(Constant returns-to-scale)
中级微观经济学第七讲
生产者行为
要解决的问题
生产者最优化：利润最大化 短期利润最大化 长期利润最大化
经济利润
厂商所获得的利润为
投入和产出是流量概念 利润也是个流量概念
厂商要决定的是在生产计划约束给定的条件 下选择能够实现最高利润的生产计划 Q：什么是约束条件？
A：技术约束
f ( x1 , x2 ) Ax x
a b 1 2
参数A：代表生产规模，表示当每种投入都使用一 单位时产量将是多少 参数a和b：衡量的是产量如何随着投入品的变动 而变动
柯布-道格拉斯生产函数是良好性 状等产量线的范例
x2
f ( x1 , x2 ) Ax x
良好性状有哪四个 特点?
a b 1 2
技术替代率
在维持产量不变的条件下,增加一单位某种要素 投入量时,所减少的另一种要素的投入量
TRS
x2 x1
技术替代率(Technical Rate-ofSubstitution)
度量两种投入之间的替代关系
等产量线的斜率，是负值
f ( x1 , x2 ) f 0 , 两边微分得: ff dx f f dx 0 dx1 dx2 0 2 1 x11 x2x2
output: y Technology:
y f ( x1 , , xn )
等产量线
x2
等产量线：一种用来表示 生产关系的简便工具，是 恰好足够生产某一既定数 量产出的投入1和投入2 的所有可能的组合
Q3 Q2 Q1
x1
固定比例生产技术
固定投入比例生产函数,也称为里昂惕夫生 产函数，指在每一个产量水平上任何一对要 素投入量之间的比例都是固定的生产函数
y a b1 bx1 x 2 . x2
The technical rate-of-substitution is
a1 b dx 2 y / x1 ax1 x 2 ax 2 . a b1 dx1 y / x2 bx1 bx1 x 2
技术替代率替减
维持产量不变,当一种生产要素的投入量不断增加 时,每一单位的这种生产要素所能替代的另一种生 产要素的数量是递减的
x’
2x’ Input Level
x
规模报酬递增(increasing returns-to-scale)
Output Level
Increasing returns-to-scale
f(2x’) 2f(x’) f(x’) x’ 2x’ Input Level
y = f(x)
x
Output Level
y = f(x) y’
x’
x
边际报酬递减规律
事实上，边际产量是先增加，后减小。最后都会递减。 原因：可变投入和不变投入之间存在一个最佳的数量组 合比例
达到最佳组织比例之前,可变投入的增加,使边际产量增加， 最佳比例时，边际产量达到最大值，超过最佳比例时， 边际产量减小 边际报酬递减规律决定了产量曲线的形状，呈倒U形
技术(Technologies)
生产者(Firms) 投入与产出：生产要素,生产出产品. 技术：指生产者从投入到产出的过程
生产要素：土地，劳动，资本，原材料和管理 资本物品：本身就是制成品的生产投入 金融资本：开办企业或维持经营所需要的货币。
技术：只有某些投入组合才有可能生产出既定的 产量。——自然条件对厂商施加的技术约束 技术约束:厂商的生产计划要受到技术可行性的 约束。 生产集：构成技术上可行的生产方法的所有投入 和产出组合的集合。
f ( x1 , x2 ) f 0 , 两边微分得:
dx2 f f TRS / dx1 x1 x2 dx2 MP 1 TRS dx1 MP2
技术替代率：Cobb-Douglas Example
a b y f ( x1 , x 2 ) x1 x2
y a1 b ax1 x 2 x1
短期产量曲线
边际量与平均量
边际量是曲线上相应点的斜率,即导数
平均量是曲线上相应点与原点连线的斜率 边际量大于平均量时，平均量上升
边际量小于平均量时，平均量下降
边际量与平均量相交于平均量的极值点
练习
设某厂商品总产量函数为：TP=70L+15L2-L3 。求： （1）当L=7时，边际产量MP是多少？ （2）L的投入量为多大时，边际产量MP将开始递减？（同 济大学1998研） L的投入量为多大时，总产量达到最大值。
规模报酬(Returns-to-Scale)
当各种投入要素按某种比例同步变化时，产 出变化的比例情况
规模报酬(收益)不变
f ( kx 1 , kx 2 , , kx n ) kf ( x 1 , x 2 , , x n )
f (kx 1 , kx 2 , , kx n ) kf ( x 1 , x 2 , , x n )
Increasing returns-to-scale
y = f(x)
Decreasing returns-to-scale
x Input Level
C-D函数判断规模报酬
a b y f ( x1 , x 2 ) x1 x 2
y f ( x1 , x 2 ) ( x1 ) ( x 2 ) x x
(1)当K、L同比例增加λ 倍时，有
F(λ K，λ L)=2(λ K)1/2(λ L)1/2＝ 2λ K1/2L1/2=λ F(K，L)
