平面直角坐标系中的位似变换

第3章图形的相似3.6位似第2课时位似变换与作图图 3— 6 — 41【探究】 以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标特点1.如图3— 6— 42,在直角坐标系中，△ OAB 三个顶点 的坐标分别为 O(0, 0) , A(3, 0) , B(2 , 3).按要求完成下 列问题：(1) 将点O, A, B 的横、纵坐标都乘2,得到三个点O , A', B ',请你在坐标系中找到这三个点； (2)以这三个点为顶点的三角形与厶OAB 位似吗？为什 么？(3) 如果位似，指出其位似中心和相似比.(4) 如果将点O, A , B 的横、纵坐标都乘一2呢？图 3— 6 — 422. (1)如图3 — 6— 43在直角坐标系中，四边形 ABCD的顶点坐标分别为 A(4 , 2) , B(8 , 6) , C(6 , 10) , D( — 2, 16).将点A , B , C, D 的横、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形 ABCD 位似吗？如果位似，指出其位似中心和位似比；(2) 你能自己在直角坐标系中创作一个多边形，仿照上 面的要求操作，得到相同的结论吗？ (3)通过前面的探究，你发现了什么？创设情境 导入 新课 如图3-6 — 41,在直角坐标系中，△ OAE 三个顶点的坐 标分别为0(0, 0)，A(3，0)，B(2，3)，按要求完成下列问 题：(1)将点O, A ，B 的横、纵坐标都乘 2，得到三个点， 以这三个点为顶点的三角形与厶 OAB 是位似图形吗？如果 是，指出其位似中心和位似比;⑵如果将点O, A ，B 的横、纵坐标都乘—2呢?4 B中举一反三，善于发 现，勤于探究，敢于 质疑，学会总结，形 成自主学习的良好 习惯，为新课的学习 做好铺垫，有利于帮 助学生体会新旧知 识之间的联系与转 化•活动 实践 探究 交流新 知r1 L 亠』 ~i _ 1 a 1 L 十呻rHi・呻r TT +T 1 i*r ~i~cuII 1i 1 _rTr nr i L .1.J i II i> -I l i r -!!-1 L 丄J-r T i » L J. J h ii-h d - H h 1 ~ F ~ 1 L J. J Hr L 丄斗 ■ i —r——冷-1ir r —i=F i通过课件展示 作图的步骤及过程， 不仅能吸引学生的 注意力，同时，让学 生学会听课、观察、 对比.通过仔细观 察，对比自己的作图 过程，掌握在直角坐 标系中作多边形的 位似图形的方法，并 能对作图方法进行 初步归纳(用自己的 语言描述).通过［探 究］的第1题第⑷ 问引导学生初步发 现规律•教师要及时抓住这些学生资源， 引发学生思考，引导学 生探究，必要时可用课件展示一例， 最终形成统一结论. 并 鼓励和表扬学生的质疑精神和求变思维.1请同学们自己完成问题.2 •让学生动手在直角坐标系中创作一个多边形，并将 顶点的横、纵坐标都乘同一个数， 得到新坐标，画出新多边 形，判断两个多边形是否为位似图形，并求出位似中心和位似比.此过程教师巡视学生的操作， 并适时给予必要的指导. 3•将较好的学生作图进行展示，并由学生说明作图的 步骤和判断方法.归纳：一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍 数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似 图形. 【应用举例】例1［教材P99例］如图3 — 6— 44，在平面直角坐标系中，已知平行四边形 OABC 的顶点坐标分别为 0(0, 0), A(3, 0) , B(4, 2) , C(1 , 2).以坐标原点 O 为位似中心， 将 OABC 放大为原图形的3倍.图 3— 6 — 45活动 开放 训练 体现 应用yLr~r ~r ~ i • ■1 4 I ■ 1 » 1 1 «1 4 4 ■ • » 1 1 4 |4I1*||■,1f r rr r r ：「丁 w ■/ r ■ r r r ' i /1 I a /■ ■ ■ i i a 戸「■尸H L「・「r f 1 1 yCi .................................................. .......t!■ii 甩』■ pi —. i i — 1鼻• d-2:■-泌：■-匾［出工144■1»11 1对本节知识进 行巩固练习，以达到 熟练掌握的目的.分层设练，使学 生的知识、技能呈螺 旋式上升，也是一种 对思维与能力的训 练•图 3-6 — 43图 3— 6 — 44解：将平行四边形OABC勺各顶点的坐标分别乘3,得0(0, 0) , A (9 , 0) , B' (12 , 6) , C (3 , 6)，依次连接点O, A' , B' , C',则四边形OA B' C'即为所要求的图形，如图3-6-45所示.变式一 如图3— 6— 46，在直角坐标系中，四边形OABC ； 的顶点坐标分别是 0(0, 0) , A(3, 0) , B(4 , 4) , C( — 2, 3).画出四边形 OABC 以 O 为位似中心的位似图形， 使它与四边形OABC 勺位似比是2 : 1.变式二 如图3 — 6 — 47,在平面直角坐标系中，以原 点O 为位似中心，用上一节课的方法画出五边形 OBCDE 勺位 似图形，使它与五边形 OBCD 的位似比为1 : 2.比较两个图 形对应点的坐标，你能发现什么？【拓展提升】例2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ ABC 和厶DEF 的顶点坐标分别为 A(1 , 0) , B(3 , 0) , C(2, 1) , D(4, 3), E(6 , 5) , F(4, 7).按下列要求画图：以 O 为位似中心，将 △ ABC 向y 轴左侧按比例尺 2 ：1放大得△ ABC 的位似图形 △ A i BC i ,并解决下列问题：(1) 顶点 A i 的坐标为 ________ , B i 的坐标为 ________ , G 的坐标为 ________ ;(2) 请你利用旋转、平移两种变换，使AA 1B 1C 1通过变换 得到AA 2BG ,且AA 2B 2C 2恰与△ DEF 拼成一个平行四边形(非 正方形)，写出符合要求的变换过程yf r T ■ r n - r ■ r T - f "n" r -I-1 * r 1 ■ r图 3— 6 —47有助于提咼学 生对知识的理解与 综合应用，同时可以 激发学生学数学的 兴趣和信心.【当堂训练】 活动 四： 课堂 总结 反思1.课本P 99中的练习. 2. 课本P 100习题3.6中的T 3, T 4.【知识网络】位似以坐标原点为位似中心 的位似变换的坐标特点不以坐标原点为位似中心的位似变换的坐标变换规律【教学反思】① ［授课流程反思］在引入时设置了图片、问题、回顾知识等多种方式，能最大 程度地调动学生学习的积极性. 学生已有了前一课时学习的 图形放大与缩小的活动经验， 可以让学生通过小组的形式自 主学习，合作交流，自学完成② ［讲授效果反思］数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有 的知识经验基础之上， 教师应激发学生的学习积极性. 本节课中，让学生自己通过观察、 动手操作的方法画出放大或缩 小后的图形，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的 数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经 验.学生做题有点难度， 应让学生多练习，然后总结做题方 法.③ ［师生互动反思］④［习题反思］当堂检测，及时 反馈学习效果•提纲挈领，重点 突出.反思，更进一步提升.。

第2课时 平面直角坐标系中的位似变换1.理解位似图形的坐标变化规律；（难点）2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.（重点）一、情景导入观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？二、合作探究 探究点：平面直角坐标系中的位似变换 【类型一】 求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标在平面直角坐标系中，已知点A（6，4），B （4，－2），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ）A.（3，2）B.（12，8）C.（12，8）或（－12，－8）D.（3，2）或（－3，－2）解析：根据题意画出相应的图形，找出点A 的对应点A ′的坐标即可.如图，△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形，可求得点A 的对应点的坐标为（3，2）或（－3，－2）.故选D. 方法总结：位似图形与位似中心有两种情况：（1）位似图形在位似中心两侧；（2）位似图形在位似中心同侧.若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解.【类型二】 在平面直角坐标系中画位似图形如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （2，4），C （4，5），D （3，1）围成四边形ABCD ，作出一个四边形ABCD 的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：1，位似中心是坐标原点.解析：以坐标原点O 为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可.解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2），顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.则四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的一个位似图形.方法总结：画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k（或除以±k），可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可.三、板书设计平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.位似变换是特殊的相似变换.以学生的自主探究为主线，培养学生的探索精神和合作意识.注重数形思想的渗透，通过坐标变换，在平面坐标系中，让学生画图、观察、归纳、交流，得出结论.在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律.通过交流合作，体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心.。

第2课时 平面直角坐标系中图形的位似变换知识点 1 位似变换与坐标的变化1．如图22－4－14，在平面直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则点C 的坐标为( )图22－4－14A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)2．教材练习第1题变式△ABC 的顶点坐标为A (0，2)，B (－3，5)，C (－6，3)．按如下方式对△ABC 进行变换，不是位似变换的是( )A ．(x ，y )→(23x ，23y )B ．(x ，y )→(－2x ，－2y )C ．(x ，y )→(y ，x )D ．(x ，y )→(2x ，2y )3．如图22－4－15，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO 与△A ′B ′O ′是以点P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P 的坐标为( )图22－4－15A ．(0，0)B ．(0，1)C ．(－3，2)D ．(3，－2)4．2018·邵阳如图22－4－16，在平面直角坐标系中，已知点A (2，4)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B .以坐标原点O 为位似中心将△AOB 缩小为原图形的12，得到△COD ，则CD 的长是( )图22－4－16A ．1B ．2C ．4D ．2 55．如图22－4－17，等腰三角形OBA 和等腰三角形ACD 是位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是________．图22－4－176．在平面直角坐标系中有四个点A (0，－2)，B (3，2)，C (1，－1)，D (－2，3)．如果将各点的横、纵坐标都乘3，得到点A ′，B ′，C ′，D ′，那么四边形A ′B ′C ′D ′与四边形ABCD 的相似比为________．7．如图22－4－18，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶ 2.若点A 的坐标为(0，1)，则点E 的坐标是________．图22－4－188．在平面直角坐标系中，已知A (8，4)，B (8，0)两点，以坐标原点O 为位似中心，相似比为14，把线段AB 缩小后得到线段A ′B ′，则线段A ′B ′的长等于________．知识点 2 在平面直角坐标系中画位似图形9．如图22－4－19，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (0，－3)，B (3，－2)，C (2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位．(1)画出△ABC 向上平移6个单位得到的△A 1B 1C 1；(2)以点C 为位似中心，在网格中画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且△A 2B 2C 2与△ABC 的相似比为2∶1，并直接写出点A 2的坐标．图22－4－1910．如图22－4－20，已知点O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)．(1)以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大为原来的2倍(即新图形与原图形的相似比为2∶1)，得到△OB′C′，画出图形；(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出点M的对应点M′的坐标．图22－4－2011．若△ABC 的顶点坐标分别为(3，2)，(4，3)，(6，5)，△DEF 的顶点坐标分别为(32，1)，(2，32)，(3，52)，则△DEF 与△ABC 的对应边的比为( )A ．2∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶412．2018·潍坊在平面直角坐标系中，P (m ，n )是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的2倍，则点P 的对应点的坐标为( )A ．(2m ，2n )B ．(2m ，2n )或(－2m ，－2n )C ．(12m ，12n )D ．(12m ，12n )或(－12m ，－12n )13．如图22－4－21，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)，以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( )图22－4－21A ．－12aB ．－12(a ＋1)C ．－12(a －1)D ．－12(a ＋3)14．如图22－4－22，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是________．图22－4－2215．如图22－4－23，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为(4，0)，(8，2)，(6，4)．已知△A1B1C1的两个顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)．若△ABC和△A1B1C1是位似图形，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为________．图22－4－2316．如图22－4－24，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为________．图22－4－2417．如图22－4－25，△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)，B(4，2)，C(2，1)．(1)作出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点A 1，B 1，C 1的坐标； (2)以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A 2B 2C 2，使AB A 2B 2＝12.图22－4－25教师详解详析1．A [解析] 由A(6，3)，B(6，0)，知线段AB ＝3.因为AB ⊥x 轴，线段AB 到线段CD 的变换是以原点O 为位似中心且相似比为13的位似变换，所以CD ＝1，OD ＝2，即C(2，1)．故选A.2．C3．C [解析] 如图所示，点P 即为所求，故点P 的坐标为(－3，2)．4．B 5.(－2，0) 6．3∶1 7．(2，2)8．1 [解析] 根据A(8，4)，B(8，0)可得AB ＝4.因为相似比为14，所以把线段AB 缩小后的线段A′B′的长等于14AB ＝1.9．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．点A 2的坐标为(－2，－2)．10．解：(1)分别延长BO ，CO 到点B′，C′，使OB′，OC′的长度是OB ，OC 长度的2倍，顺次连接三点即可．如图．(2)B′(－6，2)，C′(－4，－2)．(3)点M 的对应点M′的坐标为(－2x ，－2y)． 11．B12．B [解析] 通过位似把△AOB 放大到原来的两倍，则对应点的横、纵坐标分别乘2或－2，故点P(m ，n)的对应点的坐标为(2m ，2n)或(－2m ，－2n)．13．D [解析] 把图形向右平移1个单位，则点C 与坐标原点O 重合，点B′的横坐标变为a ＋1，此时△ABC 以原点为位似中心的位似图形是△A′B′C ，则与点B′对应的点B 的横坐标为－12(a ＋1)，把该点向左平移1个单位，则得到点B 的坐标为－12(a ＋1)－1，即为－12(a ＋3)．14．(1，0) 或(－5，－2) 15.(3，4)或(0，4)16．(53，－4) [解析] 如图，作出△AOB 的位似图形△AO′B′，过点B′作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为E.∵△AB′O′是△ABO 关于点A 的位似图形， ∴AO AO′＝BEB′C. ∵点A 的坐标为(3，0)，点O′的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(2，－3)， ∴AO ＝3，AO′＝4，BE ＝3，∴34＝3B′C ，∴B′C ＝4.易得△O′B′C ∽△OBE ，∴OE CO′＝BEB′C ，即2CO′＝34，∴CO′＝83，∴OC ＝83－1＝53， ∴点B′的坐标为(53，－4)．17．解：(1)△A 1B 1C 1如图所示，A 1(1，－3)，B 1(4，－2)，C 1(2，－1)．(2)△A 2B 2C 2如图所示．。

第二十二章相似形22.4 图形的位似变换第2课时图形在平面直角坐标系中的位似变换一、教学目标1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．二、教学重点及难点重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．三、教学用具多媒体课件四、相关资料《坐标系中的位似》动画、《平面直角坐标系中的位似》微课五、教学过程【情景引入】观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？【探究新知】发布任务：1. 如下图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为31，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？2. 如下图，△ABC 三个顶点坐标分别为A (2,3)，B (2,1)，C (6,2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？总结：位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．此图片是动画缩略图，本资源为《坐标系中的位似》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，适用于《坐标系中的位似》的教学.若需使用，请插入【数学探究】坐标系中的位似.【新知运用】在平面直角坐标系中，已知点E (－4，2)，F (－2，－2)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是( )A ．(2，－1)B ．(－8，4)C ．(－8，4)或(8，－4)D ．(－2，1)或(2，－1)解析：根据题意画出相应的图形，找出点E 的对应点E′的坐标即可．答案：如图，△E′F′O 与△E″F″O 即为所求的位似图形，可求得点E 的对应点的坐标为(－2，1)或(2，－1)．故选D.本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了图形在平面直角坐标系中的位似，并通过讲解实例巩固所学的知识点，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】平面直角坐标系中的位似.【随堂检测】1. 如图，在平面直角坐标系中，A (1，2)，B (2，4)，C (4，5)，D (3，1)围成四边形ABCD ，做出一个四边形ABCD 的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点．解：以坐标原点O为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标乘以2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标乘以－2，此题做出一个即可．如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A′(2，4)，B′(4，8)，C′(8，10)，D′(6，2)，顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，则四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的一个位似图形．2. 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2.解析：(1)根据网格找到点A，B，C关于y轴的对称点A1，B1，C1的位置，然后顺次连接；(2)连接A1O并延长至A2，使A2O＝2A1O.连接B1O并延长至B2，使B2O＝2B1O.连接C1O并延长至C2，使C2O＝2C1O，然后顺次连接即可．解：(1)△A1B1C1如图所示；(2)△A2B2C2如图所示．六、课堂小结这节课你学到了哪些新知识呢？在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，他们的相似比为|k|.设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识。