九年级数学下册高频考点专训第2课时平面直角坐标系中的位似

第2课时 平面直角坐标系中的位似1．学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换；(重点)2．掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律．(难点)一、情境导入观察如图所示的坐标系．试着发现坐标系中几个图形间的联系，然后自己作出一个类似的图形．二、合作探究探究点一：平面直角坐标系中的位似【类型一】 利用位似求点的坐标如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( )A ．(3，3)B ．(4，3)C ．(3，1)D ．(4，1)解析：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半，∴端点C 的坐标为(3，3)．故选A.方法总结：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k ，则原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题【类型二】 在坐标系中画位似图形在13×13的网格图中，已知△ABC 和点M (1，2)．(1)以点M 为位似中心，位似比为2，画出△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′；(2)写出△A ′B ′C ′的各顶点坐标．解析：(1)利用位似图形的性质及位似比为2，可得出各对应点的位置；(2)利用所画图形得出对应点坐标即可．解：(1)如图所示，△A ′B ′C ′即为所求；(2)△A ′B ′C ′的各顶点坐标分别为A ′(3，6)，B ′(5，2)，C ′(11，4)．方法总结：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题【类型三】 在坐标系中确定位似比△ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13)，则△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是________． 解析：∵△ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13)，∴△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是1∶3. 方法总结：以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：位似在坐标系中的简单应用【类型一】 确定图形的面积如图，原点O 是△ABC 和△A ′B ′C ′的位似中心，点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，△ABC 的面积是32，则△A ′B ′C ′的面积是________．解析：∵点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，原点O 是位似中心，∴△ABC 和△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，∴△ABC 和△A ′B ′C ′的面积比是1∶4，又∵△ABC 的面积是32，∴△A ′B ′C ′的面积是6. 方法总结：位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型二】 位似变换与平移、旋转、轴对称的综合如图，点A 的坐标为(3，4)，点O 的坐标为(0，0)，点B 的坐标为(4，0)．(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为(________)，△A 1O 1B 1的面积为________；(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，则点A 2的坐标为(________)；(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，则点A 3的坐标为(________)；(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，若点B 4在x 轴的负半轴上，则点A 4的坐标为(________)，△A 4O 4B 4的面积为________．解析：(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为(2，4)，△A 1O 1B 1的面积为12×4×4＝8；(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，则点A 2的坐标为(－3，－4)；(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，则点A 3的坐标为(3，－4)；(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，若点B 4在x 轴的负半轴上，则点A 4的坐标为(－6，－8)，△A 4O 4B 4的面积为12×8×8＝32.故答案为(1)2，4；8；(2)－3，－4；(3)3，－4；(4)－6，－8；32.方法总结：此题主要考查了图形的旋转以及平移和位似变换、三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．三、板书设计位似变换的坐标特征：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k ，则原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )．这节课主要是让学生感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐标的变化而变化，教学过程中要提高学生学习积极性、使心情愉悦、思维活跃，这样才能真正激发学生学习数学的兴趣，提高课堂学习效率.。

第2课时平面直角坐标系中的位似图形基础题知识点以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律1．(武汉中考）如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6）,B(8,2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的错误!后得到线段CD，则端点C的坐标为（ )A．（3，3） B．(4，3)C．（3，1） D．（4，1）2．如图，已知O是坐标原点，△OBC与△ODE是以O点为位似中心的位似图形，且△OBC与△ODE的相似比为1∶2，如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y)，则M在△ODE中的对应点M′的坐标为( )A．（－x,－y） B．(－2x，－2y)C．(－2x,2y) D．(2x，－2y）3．△ABC和△A′B′C′关于原点位似，且点A(－3,4),它的对应点A′(6，－8)，则△ABC与△A′B′C′的相似比是________．4．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心,点A（1,0）与点A′(－2,0）是对应点,点B(2,2），则B′点的坐标________．5．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示），则大鱼上的一点(a，b)对应小鱼上的点的坐标是________________．6．如图,在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′（6，2）．(1）若点A(错误!，3），则A′的坐标为________；(2)若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积＝________．7．如图，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0）,A(1,2)，B(3，0)．以O为位似中心，画出一个△OA′B′，使得△OA′B′与△OAB的相似比为2∶1，并写出点A′和点B′的坐标．8．如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，－1），（2，1)．(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OB C放大到两倍（即新图与原图的相似比为2),画出图形；(2）分别写出B，C两点的对应点B′,C′的坐标．中档题9．如图，平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则( )A．将各点横坐标乘2,纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似B．将各点纵坐标乘2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似C．将各点横，纵坐标都乘2，得到的鱼与原来的鱼位似D．将各点横坐标乘2，纵坐标乘错误!,得到的鱼与原来的鱼位似10．（孝感中考)在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2），F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为错误!，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是( ）A．(－2，1） B．（－8，4）C．(－8,4)或(8,－4） D．（－2，1)或(2，－1）11．(荆州中考)如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,点O为位似中心，相似比为1∶错误!，点A的坐标为(0，1），则点E的坐标是________．12．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A（1，0)与A′(－2，0)是对应点，△ABC的面积是错误!,则△A′B′C′的面积是________．13．如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，点F 的坐标为（1，1)，点C 的坐标为(4，2）,则这两个正方形位似中心的坐标是________．14．已知△ABC 的三个顶点坐标如下表：(1)将下表补充完整,并在直角坐标系中画出△A ′B ′C ′；（2)观察△ABC 与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．综合题15．已知，△DEF 是△ABC 的位似三角形(点D ，E ，F 分别对应点A ，B ，C)，原点O 为位似中心,△DEF 与△ABC 的位似比为k.(1）若位似比k ＝12,请你在平面直角坐标系的第四象限中画出△DEF；（2)若位似比k ＝m ，△ABC 的周长为C,则△DEF 的周长＝________； (3）若位似比k ＝n ，△ABC 的面积为S ，则△DEF 的面积＝________．参考答案基础题1．A 2.B 3.1∶2 4.(－4，－4）5。

位似知识点九年级下在九年级下册的数学课程中，有一部分内容让我印象深刻，那就是“位似”这个知识点。

位似是指两个图形形状相似，但是大小不一样。

这个知识点在我们日常生活中也有很多应用。

首先，我们来了解一下什么是位似。

位似是指两个图形形状相似，但是大小不一样。

在位似的图形中，对应边的长度比值是相等的，对应角度也是相等的。

这样，我们可以通过已知图形的形状和大小来推导出未知图形的形状和大小。

位似的应用非常广泛。

举个例子，我们在设计海报、广告等宣传资料时，经常需要把一个大的设计图缩小到适合打印或展示的尺寸。

这时，我们可以利用位似的原理，在小尺寸的布局上保持图形比例和结构，从而保持整体的美观和可读性。

另一个例子是地图的缩放。

当我们使用地图应用或者导航软件时，经常需要根据实际的需要放大或缩小地图。

这时，地图软件就会利用位似的原理，保证地图上的道路、建筑等元素的比例和位置不变，从而帮助我们更方便地导航。

位似的知识点还可以应用在建筑设计中。

例如，设计师可以通过位似的原理，根据实际的建筑尺寸，制作一比一的模型，从而帮助他们更加直观地观察和调整建筑的外形和内部结构。

这样的模型在建筑设计和施工中都起到了重要的作用。

除了上述的实际应用外，位似的知识点还有一些有趣的数学问题。

比如，我们可以讨论一个玩具小人沿着位似的路径移动，走过相同的距离需要多少次步行。

或者我们可以研究一个位似的模型放大或缩小后，其中某个维度的变化比例是多少。

总结来说，位似的知识点在九年级下册的数学课程中起到了很重要的作用。

它不仅在我们的日常生活中有广泛的应用，还能启发我们的思维，帮助我们解决实际问题。

通过掌握位似的原理和技巧，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高我们的数学水平。

第2课时平面直角坐标系中的位似落红不是无情物，化作春泥更护花。

出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》李坑学校李忠华1．学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换；(重点)2．掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律．(难点)一、情境导入观察如图所示的坐标系．试着发现坐标系中几个图形间的联系，然后自己作出一个类似的图形．二、合作探究探究点一：平面直角坐标系中的位似【类型一】利用位似求点的坐标如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C的坐标为( )A．(3，3) B．(4，3)C．(3，1) D．(4，1)解析：∵线段AB的两个端点坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为(3，3)．故选A.方法总结：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点(x，y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx，ky)或(－kx，－ky)．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】在坐标系中画位似图形在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．(1)以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．解析：(1)利用位似图形的性质及位似比为2，可得出各对应点的位置；(2)利用所画图形得出对应点坐标即可．解：(1)如所示，△A′B′C′即为所求；(2)△A′B′C′的各顶点坐标分别为A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．方法总结：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】在坐标系中确定位似比△ABC三个顶点A(36)、B(6，2)、C(2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13)，则△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是________．解析：∵△ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13，∴△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是1∶3. 方法总结：以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：位似在坐标系中的简单应用【类型一】 确定图形的面积如图，原点O 是△ABC △A ′B ′C ′的位似中心，点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，△ABC 的面积是32，则△A ′B ′C ′的面积是________．解析：∵点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，原点O 是位似中心，∴△ABC 和△A ′B ′C ′的位比是1∶2，∴△ABC 和△A ′B ′C ′的面积比是1∶4，又∵△ABC 的面积是32，∴△A ′B ′C ′的面积是6. 方法总结：位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型二】 位似变换与平移、旋转、轴对称的综合如图，点A 的坐标为(3，4)，点O 的坐标为(0，0)，点B 的坐标为(4，0)．(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为(________)，△A 1O 1B 1的面积为________；(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，则点A 2的坐标为(________)；(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，则点A 3的坐标为(________)；(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，若点B 4在x 轴的负半轴上，则点A 4的坐标为(________)，△A 4O 4B 4的面积为________．解析：(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为(2，4)，△A 1O 1B 1的面积为12×4×4＝8；(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，则点A 2的坐标为(－3，－4)；(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，则点A 3的坐标为(3，－4)；(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，若点B 4在x 轴的负半轴上，则点A 4的坐标为(－6，－8)，△A 4O 4B 4的面积为12×8×8＝32.故答案为(1)2，4；8；(2)－3，－4；(3)3，－4；(4)－6，－8；32.方法总结：此题主要考查了图形的旋转以及平移和位似变换、三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．三、板书设计位似变换的坐标特征：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k ，则原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )．这节课主要是让学生感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐标的变化而变化，教学过程中要提高学生学习积极性、使心情愉悦、思维活跃，这样才能真正激发学生学习数学的兴趣，提高课堂学习效率.【素材积累】1、只要心中有希望存摘，旧有幸福存摘。