七年级数学上册53解一元一次方程件新版冀教版

了解一元三次和一元四次方程的解法塔塔利亚发现的一元三次方程的解法一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0，如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。

所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a—b的形式，这里a和b是待定的参数。

代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p（a—b)+q 整理得a3—b3 =（a—b)（p+3ab）+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时3ab+p=0.这样上式就成为 a3-b3=q，两边各乘以27a3，就得到 27a6—27a3b3=27qa3，由p=—3ab可知27a6 + p = 27qa3。

这是一个关于a3的二次方程,所以可以解得a。

进而可解出b和根x。

费拉里与一元四次方程的解法卡当在《重要的艺术》一书中公布了塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式之后，塔塔利亚谴责卡当背信弃义，提出要与卡当进行辩论与比赛.这场辩论与比赛在米兰市的教堂进行,代表卡当出场的是卡当的学生费拉里.费拉里(Ferrari L.，1522～1565）出身贫苦，少年时代曾作为卡当的仆人。

卡当的数学研究引起了他对数学的热爱，当其数学才能被卡当发现后，卡当就收他作了学生.费拉里代替卡当与塔塔利亚辩论并比赛时，风华正茂，他不仅掌握了一元三次方程的解法，而且掌握了一元四次方程的解法,因而在辩论与比赛中取得了胜利，并由此当上了波伦亚大学的数学教授。

一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的启发而得到的.一元三次方程是在进行了巧妙的换元之后,把问题归结成了一元二次方程从而得解的.于是,如果能够巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。

费拉里的方法是这样的：方程两边同时除以最高次项的系数可得4320x bx cx dx e ++++= （1）移项可得432x bx cx dx e +=--- (2） 两边同时加上21()2bx ，可将（2）式左边配成完全平方，方程成为 222211()()24x bx b c x dx e +=--- （3） 在（3）式两边同时加上2211()24x bx y y ++ 可得 2211[()]22x bx y ++ 222111()()424b c y x by d x y e =-++-+- （4) （4）式中的y 是一个参数。

5.3 解一元一次方程第1课时 利用移项合并同类项解一元一次方程教 学 过 程设计意图1.创设情境，引入课题复习回顾1.等式的基本性质：性质1：等式两边同时____________________________， 所得结果仍是等式.性质2：等式两边同时____________________________，所得结果仍是等式.2.利用等式的基本性质解一元一次方程.师生活动：教师带领学生复习上节课的内容，学生举手回答，教师补充、指正.这节课我们就来学习求解一元一次方程.课题利用移项合并同类项解一元一次方程课型新授课教学内容 教材第163-165页的内容教学目标1.理解移项法则，学会解“ax ＋b ＝cx ＋d ”类型的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想．2.能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步体会方程模型思想的作用及应用价值.教学重难点教学重点： 确定实际问题中的相等关系，建立形如ax ＋b ＝cx ＋d 的方程，利用移项与合并同类项解方程. 教学难点： 确定相等关系并列出一元一次方程，正确地进行移项并解出方程.2.类比探究，学习新知【探究】教师活动：提出问题，上一节课利用等式的性质解一元一次方程，具体的步骤是什么？请学生用此方法写出解方程5x=3x+8的具体步骤，发现了什么？能否将解题过程再简化一些呢？解方程：5x=3x+8.方程两边都减去3x ，得5x -3x=3x+8-3x ， 即 2x=8. 方程的两边同除以2，得x=4. x=4就是方程5x=3+8的解.教师活动：我们可以借助下面框图所示的步骤来理解上面解方程的过程：师生活动：引导学生得出移项的概念，总结注意事项.【归纳总结】在解方程的过程中，等号的两边加上或减去方程中某一项的变形过程，相当于将这一项改变符号后，从等号的一边移到另一边.这种变形过程叫作移项. 【问题1】移项的依据是什么？【师生活动】学生思考后得出：移项的依据为等式的性质1. 【问题2】以上解方程中“移项”起了什么作用？【师生活动】学生思考回答，师生共同整理：通过移项，可以简化方程，使含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a 的形式.【师生活动】教师展示教材163页例题，教师引导学生完成，规范学生的解题步骤，培养学生良好的解题习惯.【例1】解下列方程： (1)5x-2＝2x-10；(2)13231+=x x .在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神.让学生掌握移项的原则和方法,体会移项的要领和简捷性.解：(1)移项，得5x-2x ＝-10+2. 合并同类项，得3x ＝-8. 将x 的系数化为1，得x ＝-83.(2)移项，得.13231=-x x .合并同类项，得131=-x .将x 的系数化为1，得x ＝－3.【归纳总结】一般地，对于形如ax=b （a ≠0,a,b 是已知数）的一元一次方程，方程两边同除以a ，得到方程的解是x=ba .3.学以致用，应用新知 【例1】解下列方程：(1)3x ＋7＝32－2x ；(2)x －3＝32x ＋1.解：(1)移项，得3x ＋2x ＝32－7. 合并同类项，得5x ＝25. 系数化为1，得x ＝5. (2)移项，得x －32x ＝1＋3.合并同类项，得－12x ＝4.系数化为1，得x ＝－8.【例2】某制药厂制造一批药品，若用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t ；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100 t ．新、旧工艺的废水排量之比为2∶5，两种工艺的废水排量各是多少？解:设新工艺的废水排量为2xt ，则旧工艺的废水排量为5xt. 根据题意，得5x －200＝2x ＋100. 移项，得5x －2x ＝100＋200. 合并同类项，得3x ＝300.通过让学生解决生活中的实际问题，进一步理解合并同类项的概念及法则，培养计算能力，激发学习兴趣.系数化为1，得x＝100.所以2x＝200，5x＝500.答：新工艺的废水排量为200t，旧工艺的废水排量为500t.4.随堂训练，巩固新知1.下列变形过程中，属于移项的是( )A．由3x＝－1，得x＝－1 3B．由x4＝1，得x＝4C．由3x＋5＝0，得3x＝－5D．由－3x＋3＝0，得3－3x＝0答案：C2.解下列方程：①4x＝9＋x；解：移项，得4x－x＝9.合并同类项，得3x＝9.系数化为1，得x＝3.②8y－3＝5y＋3；解：移项，得8y－5y＝3＋3.合并同类项，得3y＝6.系数化为1，得y＝2.③4x＋5＝3x＋3－2x.解：移项，得4x－3x＋2x＝－5＋3. 合并同类项，得3x＝－2.系数化为1，得x＝－2 3 .3.A厂库存钢材为100吨，每月用去15吨；B厂库存钢材82吨，每月用去9吨．问经过多少个月后，两厂库存钢材相等？教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对列方程和解方程有一个整体全面的认识，同时也帮助学生养成良好的学习习惯.解：设经过x个月后，两厂库存钢材相等．依题意，得100－15x＝82－9x，解得x＝3.答：经过3个月后，两厂库存钢材相等．（4）由于疫情防控的需要，七(1)班统一购置一定数量的口罩．若每个学生发3个口罩，则多36个口罩；若给每个学生发4个口罩，则少8个口罩．请问该班有多少名学生？解：设该班有x名学生，依题意，得3x＋36＝4x－8，解得x＝44.答：该班有44名学生．5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：(1）本节课学习了哪些主要内容？(2）移项的依据是什么？移项起到什么作用？移项时应该注意什么问题？(3）解ax+b=cx+d型方程的步骤是什么？(4）用方程来解决实际问题的关键是什么？6.布置作业课本P164练习1-3题，习题A组第1题．板书设计利用移项、合并同类项解一元一次方程提纲挈领，重点突出.教后反思本节课先利用等式的基本性质来解方程，从而引出了移项的概念，然后让学生利用移项的方法来解方程．学生在移项过程中，大致会遇到以下几种比较常见的情况：①含未知数的项不知道如何处理；②移项没有变号；③没移动的项也改变了符号；第一种情况在授课过程中强调不够，后面的两种情况出现最多，因此在教学设计当中应给学生进行针对性训练．引导学生正确地解方程．反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.。

5.3 解一元一次方程第2课时用去括号、去分母解一元一次方程课时目标1.掌握去括号、去分母解一元一次方程的方法,并能灵活运用解方程的一般步骤,提高学生的运算能力.2.通过解方程时去括号、去分母的过程,体会转化思想.3.通过归纳解一元一次方程的一般步骤,体会解方程的程序化思想方法.学习重点掌握用去括号、去分母的方法解一元一次方程.学习难点解方程时如何去括号、去分母.课时活动设计复习引入上节课我们学习了用移项解一元一次方程,请同学们回顾用移项解一元一次方程的步骤,并举手回答.设计意图:温故而知新,回忆上节课所学知识,为本节课的学习作铺垫.探究新知探究1去括号请学生尝试解方程6(2x-5)+20=4(1-2x).思考:与前面所解方程相比,这个方程多了什么?根据有理数混合运算法则,我们应该做什么?试着解一下.学生回答:多了括号,应先去括号.解:去括号,得12x-30+20=4-8x.移项,得12x+8x=4+30-20.合并同类项,得20x=14.将x 的系数化为1,得x =710.教师归纳:①去括号的实质是乘法对加法的分配律,去括号要先去小括号,再去中括号,最后去大括号,也可以由外向内;②当括号前是“-”时,去括号后,括号内的每一项都要改变符号.探究2 去分母请学生尝试解方程13(x -1)-16(x -2)=12(4-x ).让学生用自己的方法解这道题,再小组交流,明确方法.教师选取两名具有代表性的学生板演展示.学生1:去括号,得13x -13-16x +13=2-12x. 移项,得13x -16x +12x =2-13+13.合并同类项,得23x =2. 将x 的系数化为1,得x =3. 学生2:可将方程化为x -13-x -26=4−x 2.去分母,得2(x -1)-(x -2)=3(4-x ). 去括号,得2x -2-x +2=12-3x. 移项,得2x -x +3x =12+2-2. 合并同类项,得4x =12. 将x 的系数化为1,得x =3. 对于这种方程,用哪种方法较简单? 思考:如何去分母?去分母时应注意什么?每一项乘分母的最小公倍数,且当分子是多项式时需要加括号.教师引导学生总结归纳出解一元一次方程的步骤及每一步的依据和注意事项:设计意图:巩固所学解一元一次方程的一般步骤以及每一步经常出现的问题,让学生在解方程中避免出现类似错误,正确的解方程.培养学生合作交流的能力,体现学生的主体作用;培养学生语言表达能力,学会用数学的语言表达现实世界.典例精讲例1解方程:(1)x-12-2x-33=1;(2)1-2y-56=3−y4.解:(1)去分母,得3(x-1)-2(2x-3)=6.去括号,得3x-3-4x+6=6.移项,得3x-4x=6+3-6.合并同类项,得-x=3.将x的系数化为1,得x=-3.(2)去分母,得12-2(2y-5)=3(3-y).去括号,得12-4y+10=9-3y.移项,得-4y+3y=9-12-10.合并同类项,得-y=-13.将y的系数化为1,得y=13.例2 如图,在长方形ABCD 中,AB =12 cm,BC =9 cm,动点P 沿AB 边从点A 开始,向点B 以2 cm/s 的速度运动,动点Q 沿DA 边从点D 开始,向点A 以1 cm/s 的速度运动,P ,Q 同时开始运动,用t (s)表示移动的时间.(1)用含t 的代数式表示DQ = t cm;AQ = (9-t ) cm;AP = 2t cm;PB = (12-2t ) cm .(2)求当t 为何值时,AQ 长度的一半比PB 长度的13多1 cm . 解:(2)由题意,得9−t 2=12−2t 3+1,解得t =3.所以当t =3时,AQ 长度的一半比PB 长度的13多1 cm .设计意图:通过例题讲解,学生进一步理解去括号法则和去分母的方法,培养学生的知识应用能力,初步体会方程思想和数形结合的思想.巩固训练 1.把方程x 2-x -13=1去分母后,正确的是( C ) A .3x -2x -1=1 B .3x -2x -1=6 C .3x -2x +2=6D .3x -2x -2=62.下列变形正确的是(D) A .6x -5=3x +7变形,得6x -3x =-7+5 B .3x =2变形,得x =-23C .3(x -1)=2(x +3)变形,得3x -1=2x +6D .23x -2=12x +4变形,得4x -12=3x +24 3.解方程:(1)3(2x +1)-(3x -1)=7; (2)2−x 2=x -26.解:(1)去括号,得6x +3-3x +1=7. 移项,得6x -3x =7-3-1. 合并同类项,得3x =3. 将x 的系数化为1,得x =1.(2)去分母,得3(2-x)=x-2.去括号,得6-3x=x-2.移项,得-3x-x=-2-6.合并同类项,得-4x=-8.将x的系数化为1,得x=2.设计意图:通过练习,进一步巩固本节课所学知识,查漏补缺,培养学生自我纠错能力.课堂小结解一元一次方程的步骤及每一步的依据和注意事项:设计意图:通过表格的形式让学生归纳解一元一次方程的步骤,并明确每一步的依据和注意事项,既可以使学生牢固地掌握本节内容又能培养学生的归纳总结能力和缜密的计算能力.1.教材第167,168页习题A组第1,2题,B组第3,4题.第2课时用去括号、去分母解一元一次方程1.解带括号的一元一次方程.2.解含有分母的一元一次方程.3.解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项(化为ax=b的形式,其中a,b是已知数);(5)将未知数的系数化为1(化为x=a的形式).教学反思。

6.2.1方程的简单变形（1）一、教学目标通过天平实验，让学生在观察、思考的基础上归纳出方程的两种变形，并能利用它们将简单的方程变形以求出未知数的值。

二、教学重点重点：方程的两种变形。

三、教学难点难点：由具体实例抽象出方程的两种变形。

四、教学方法三疑三探五、教学过程（一）自探提示一：让我们先做个实验，拿出预先准备好的天平和若干砝码。

测量一些物体的质量时，我们将它放在天干的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于平衡状态时，显然两边的质量相等。

如果我们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同质量的砝码，天平仍然平衡。

如果把天平看成一个方程，课本第4页上的图，你能1、从刚才的演示中你发现了什么？2、等式的性质的内容是什么？（二）解疑合探一1、小组交流。

2、在学生小组交流过程中，遇到解决不了的疑难问题，师生共同讨论、探究，加以解决。

3、教师归纳：等式性质一：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式 , 所得结果仍是等式.等式性质二：等式两边同时乘同一个数 (或除以同一个非零的数)，所得结果仍是等式。

问：若把方程两边都加上同一个数，方程的解有没有变?如果把方程两边都加上(或减去)同一个整式呢?让同学们看图6.2.2。

左天平两盘内的砝码的质量关系可用方程表示为3x＝2x+2，右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的?把天平两边都拿去2个大砝码，相当于把方程3x＝2x+2两边都减去2x，得到的方程的解变化了吗?如果把方程两边都加上2x呢?由图6.2.1和6.2.2可归结为；方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。

让学生观察(3)，由学生自己得出方程的第二个变形。

即方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变：（三）自探提示二：通过对方程进行适当的变形．可以求得方程的解。

出示例1．解下列方程(1)x－5＝7 (2)4x＝3x－4例2．解下列方程(1)－5x＝2 (2)3/2x＝1/3找四名同学演板。

5.3 解一元一次方程第1课时用移项解一元一次方程课时目标1.掌握用移项解一元一次方程的方法,能熟练地解一元一次方程.2.理解并掌握移项法则,进一步发展学生的运算能力.3.通过对一元一次方程解法及步骤的探究,体会化归思想,发展学生分析和解决问题的能力.学习重点学会用“移项与合并同类项”解一元一次方程.学习难点理解移项法则的依据.课时活动设计复习引入利用等式的基本性质,将下列方程化成x=a的形式.(1)x+2=5;(2)7x=5x-6.解:(1)方程两边都减去2,得x+2-2=5-2.即x=3.(2)方程两边都减去5x,得7x-5x=5x-6-5x.即2x=-6.方程两边都除以2,得2x2=-6 2.即x=-3.设计意图:通过上面两小题,对等式的基本性质进行巩固、回忆,为讲解本节课内容奠定基础.探究新知探究 移项的概念及依据问题:把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分4本,正好分完,如果每人分2本,则剩余10本,问这个班共有多少名学生?追问:根据上述问题,可以列出怎样的方程? 解:设这个班共有x 名学生,可列方程4x =2x +10. 思考:如何解这个方程呢?学生回答:利用等式的基本性质来求方程4x =2x +10的解. 解:方程的两边都减去2x ,得4x -2x =2x +10-2x. 所以2x =10.方程两边同除以2,得x =5. x =5就是方程4x =2x +10的解.我们可以借助下面框图所示的步骤来理解上面解方程的过程:教师归纳:在解方程的过程中,等号的两边加上或减去方程中某一项的变形过程,相当于将这一项改变符号后,从等号的一边移到另一边,这种变形过程叫作移项.思考:观察上述方程,移项过程中每一步的依据是什么?如何移项的? 依据有等式的性质1和2,合并同类项.通常把含有未知数的各项都移动到等式左边,而把常数项移到等式右边,化成“x =a ”的形式.移项过程中,符号发生改变,变成相反的.设计意图:通过合作探究学会利用等式的基本性质解一元一次方程,理解并掌握移项的方法,提高学生的运算能力.典例精讲 例 解方程:(1)5x -2=2x -10; (2)13x =23x +1. 解:(1)移项,得5x -2x =-10+2.合并同类项,得3x =-8. 将x 的系数化为1,得x =-83. (2)移项,得13x -23x =1. 合并同类项,得-13x =1. 将x 的系数化为1,得x =-3. 总结用移项解一元一次方程的步骤: 1.移项; 2.合并同类项;3.将未知数的系数化为1.设计意图:通过例题讲解,总结解题步骤,及时巩固所学,培养积极思考的习惯,并规范书写格式.巩固训练1.当x = -3 时,代数式3x -5与1+5x 的值相等.2.解方程:(1)4x +5=2x -13; (2)-0.4x +0.5=-0.5x +0.2. 解:(1)移项,得4x -2x =-13-5. 合并同类项,得2x =-18. 将x 的系数化为1,得x =-9. (2)移项,得-0.4x +0.5x =0.2-0.5. 合并同类项,得0.1x =-0.3. 将x 的系数化为1,得x =-3.3.下面的移项对不对?如果不对,错在哪里?应怎样改正? (1)从7+x =13得到x =13+7; (2)从5x =4x +8得到5x -4x =8; (3)从3x =2x +5得到3x -2x =5.解:(1)不对,移项没有变号,应得到x =13-7. (2)对.(3)对.4.已知x=4是方程ax-1=20+a的解,求a的值.解:因为x=4,所以4a-1=20+a,解得a=7.所以a的值为7.设计意图:对课堂教学及时反馈,通过自主答题、讨论交流,查漏补缺,强化自我纠错能力.课堂小结1.什么是移项?2.用移项解一元一次方程的步骤是什么?设计意图:先让学生独立思考,再小组合作交流,形成良好的学习思路.总结本节课的收获与不足,让学生体会成功的喜悦,加深自身学习数学的信心.1.教材第164,165页习题A组第1题,B组第2,3题,C组第4,5题.第1课时用移项解一元一次方程1.移项的概念.2.用移项解一元一次方程的步骤:移项:合并同类项;将未知数的系数化为1.注意事项:移项要变号.教学反思。

用移项法解一元一次方程例1 下列方程的解法对不对？如果不对，应当怎样改正？解方程 2x-3=-x-4解：移项，得2x-x=4-3∴ x=1分析：判断解方程过程是否正确，关键在于能否正确运用有关的运算性质及法则，本题犯了移项没变号，没移项乱变号的错误．正确解法：移项，得2x+x=-4+33x=-1例2 解下列方程：分析：(1)、(2)、(3) 题都是一元一次方程的最简形式，在方程两边同除以未知数的系数就可求出x．第(4)题是比例的形式，应当先运用比例的基本性质，把它转化为ax=b的形式后，再求解．解：例3 下列各题中变形属于移项的是 [ ]A．由2x=4 得x=2B．由7x+3=x+5 得7x+3=5+xC．由8-x=x-5 得-x-x=-5-8D．由x+9=3x-1 得3x-1=x+9分析：根据移项变符号的法则．解：A．是把x的系数化成1的变形；B．x+5变成5+x是用加法交换律的变形；C．是移项的变形；D．是应用等式的对称性“A=B则B=A”的变形．∴变形属于移项的是C．例4 判断下面的移项对不对，如果不对应怎样改正？（1）从x+3=5，得到x=5＋3；（2）从x-2=4x，得到x-4x=2；（3）从12(5)3(5)2x x--+=--，得到132(5)(5)2x x=-+-。

（4）从-3(x-4)-2=5，得到 5-2=3(x-4)；（5）从11(1)(1)223x x x--++=-，得到112(1)(1)23x x x-=+--。

分析：判断移项是否正确，只要仔细观察各项的符号变化正确不正确即可．解：(1)不对，等号左边的+3移到等号的右边应改变符号．正确的应为：x=5-3．(2)对．(3)对．(4)不对．等号右边的5移到等号左边后应变为-5．正确的应为：-5-2=3(x-4)．(5)不对．方程中的各项移到等号的另一边时，已经改变了符号．不应再将x-1变为x+1，x+1变为x-1了．正确的应是：说明：移项是解方程的基础，必须熟练掌握．将方程中的某一项移到方程的另一边，只需改变这项的符号，而不能再改变这项中的其他符号。