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第四章 随机变量的数字特征㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义(1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为{}⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞∞- d )( )()( ，，连续型离散型x x xf x X x X kk k P E其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望1、离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量的概率分布为，若，则称级数为随机变量的数学期望（或称为均值），记为, 即2、两点分布的数学期望设服从0—1分布，则有，根据定义，的数学期望为.3、二项分布的数学期望设服从以为参数的二项分布，，则。
4、泊松分布的数学期望设随机变量服从参数为的泊松分布，即，从而有。
①常见的连续型随机变量的数学期望1)均匀分布设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a ，b ] (a <b ),它的概率密度函数为:= 则=∴ E (ξ)=(a+b )/2． 即数学期望位于区间的中点．2)正态分布设随机变量ξ服从正态分布，ξ～N(μ,σ2)，它的概率密度函数为:(σ>0，- <μ<+ )则令得∴ E(ξ)=μ .3)指数分布设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为，则.(2) 随机变量的函数的数学期望设)(xgy=为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量)(XgY=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数),(YXgZ=，有类似的公式：(){}⎪⎩⎪⎨⎧===⎰∑∞∞．；（连续型）离散型－d)()()()(xxfxgxXxgXgY kkkPEE()(){}()()()()⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰∑∑∞∞-∞∞-．；连续型离散型dd,,,,,yxyxfyxgyYxXyxgYXgZi jjijiPEE设(,)X Y为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),,1,2,,i j ijP X a Y b p i j====如果级数(,)i j ijj ig a b p∑∑绝对收敛，则(,)X Y的函数(,)g X Y的数学期望为[(,)](,)i j ijj iE g X Y g a b p=∑∑；特别地();()i ij j iji i j iE X a p E Y b p==∑∑∑∑.设X为连续型随机变量，其概率密度为()f x，如果广义积分()()g x f x dx+∞-∞⎰绝对收敛，则X的函数()g X的数学期望为[()]()()E g X g x f x dx+∞-∞=⎰．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分(,)(,)g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰； 特别地()(,)E x xf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰,()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰.注：求E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数Z= E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。
第四章 数字特征前面我们介绍了随机变量及其分布，对于一个随机变量，只要知道了它的分布（分布函数或分布律、分布密度），它取值的概率规律就全部掌握了。
但在实际问题中，一个随机变量的分布往往不易得到，且常常只需知道随机变量的某几个特征就够了。
例如检查棉花的质量时，我们关心的是棉花纤维的平均长度和纤维长度与平均长度的偏差大小，这些数字反映了随机变量的一些特性，我们称能够反映随机变量特征的数字为随机变量的数字特征。
本章将介绍几个最常用的数字特征：数学期望、方差、协方差和相关系数。
第一节 数学期望一、离散型随机变量的数学期望数学期望反映的是随机变量取值的集中位置的特征，能够满足这一要求的自然是随机变量的平均取值，那么这个平均取值如何得到呢？怎样定义，我们先看一个例题例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：该班同学的平均年龄为：4092115201519118⨯+⨯+⨯+⨯=a8.194092140152040151940118=⨯+⨯+⨯+⨯=若令X 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则X 的分布律为于是，X 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为4092140152040151940118)(⨯+⨯+⨯+⨯==a X E8.19==∑ii i p x定义1：设X 为离散型随机变量，其分布律为i i p x X P ==}{， ,2,1=i如果级数 绝对收敛，则此级数为X 的数学期望（或均值），记为 E(X)，即 ∑=ii i p x X E )(意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值。
如果级数 不绝对收敛，则称数学期望不存在。
例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数为X1，乙中的环数为X2，已知 X1和X2的分布律分别为：问谁的平均击中环数高？解：甲的平均击中环数为 E(X1)=8 0.3+9 0.1+10 0.6=9.3 乙的平均击中环数为 E(X2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1 可见E(X1)> E(X2)，即甲的平均击中环数高于乙的平均击中环数。
随机变量的数字特征——总结第四章 随机变量的数字特征㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置．1、数学期望的定义(1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为{}⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞∞- d )( )()( ，，连续型离散型x x xf x X x X kk k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在．①常见的离散型随机变量的数学期望1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为，若，则称级数为随机变量的数学期望（或称为均值），记为, 即2、两点分布的数学期望 设服从0—1分布，则有，根据定义，的数学期望为. 3、二项分布的数学期望 设服从以为参数的二项分布，，则。
4、泊松分布的数学期望 设随机变量服从参数为的泊松分布，即，从而有。
①常见的连续型随机变量的数学期望1)均匀分布设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a ，b ] (a <b ),它的概率密度函数为:随机变量的数字特征——总结= 则=∴ E(ξ)=(a+b)/2．即数学期望位于区间的中点．2)正态分布设随机变量ξ服从正态分布，ξ～N(μ,σ2)，它的概率密度函数为:(σ>0，- <μ<+)则令得∴ E(ξ)=μ .3)指数分布设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为 ，则.(2) 随机变量的函数的数学期望设为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变)(xgy=量，则随机变量的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出的概)(XgY=Y率分布再求其数学期望；对于二元函数，有类似的公式：),(YXgZ=(){}⎪⎩⎪⎨⎧===⎰∑∞∞．；（连续型）离散型－d)()()()(xxfxgxXxgXgY kkkPEE()(){}()()()()⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰∑∑∞∞-∞∞-．；连续型离散型dd,,,,,yxyxfyxgyYxXyxgYXgZi jjijiPEE设(,)X Y为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),,1,2,,i j ijP X a Y b p i j====如果级数(,)i j ijj ig a b p∑∑绝对收敛，则(,)X Y的函数(,)g X Y的数学期望为随机变量的数字特征——总结[(,)](,)ijijjiE g X Y g a b p =∑∑； 特别地();()i ijj ijiij iE X a p E Y b p==∑∑∑∑.设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分 ()()g x f x dx+∞-∞⎰绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为[()]()()E g X g x f x dx+∞-∞=⎰．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分(,)(,)g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰；特别地()(,)E x xf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰,()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰.注：求E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数Z= E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。
第四章 随机变量的数字特征1. 把刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征，如期望、方差、协方差、相关系数等。
2. 随机变量的期望反映了随机变量取值的集中位置。
离散型随机变量的期望设离散型随机变量X 的分布律为P ｛X =x k ｝=p k ，k=1，2，…若级数∑ix i p i 绝对收敛（即级数∑i丨x i 丨p i 收敛），则定义X 的数学期望（简称均值或期望）为E （X ）=∑ix i p i注：当X 的可能取值为有限多个x 1，x 2，…，x n 时，E （X ）=∑=ni 1x i p i 当X 的可能取值为可列多个x 1，x 2，…，x n ，…时，E （X ）=∑∞=1i x i p i三种重要离散型随机变量的数学期望：3. 离散型随机变量函数的数学期望 设离散型随机变量X 的分布律为P ｛X =x k ｝=p k ，k=1，2，…令Y =g （X ），若级数∑∞=1k g （x k ）p k 绝对收敛，则随机变量Y 的数学期望为E （Y ）= E[g （X ）] =∑∞=1k g （x k ）p k4. 连续型随机变量的期望三种重要连续型随机变量的数学期望：5. 连续型随机变量函数的数学期望2017.4单解：6. 二维随机变量的期望二维随机变量函数的期望7. 期望的性质（1）常数的期望等于这个常数，即E （C ）=C ，其中C 为常数证明 常数C 作为随机变量，它只可能取一个值C ，即P ｛X =C ｝=1，所以E （C ）=C ⋅1=C（2）常数与随机变量X 乘积的期望等于该常数与随机变量X 的期望的乘积，即E （C X ）=C ⋅E （X ） （3）随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即E （X +Y ）= E （X ）+ E （Y ） 推广：E （C 1X +C 2Y ）= C 1E （X ）+ C 2E （Y ），其中C 1，C 2为常数 一般地，设X 1，X 2，…，X n ，为n 个随机变量，则有E （∑=ni iX 1）=∑=ni iX E 1)(E （∑=ni ii X C 1）=∑=ni iiX E C 1)( 其中C i（i=1，2，…）为常数（4）两个相互独立的随机变量乘积的期望等于期望的乘积，即若X ，Y 是相互独立的随机变量，则E （XY ）= E （X ）E （Y ）由数学归纳法可证得：当X1，X2，…，X n相互独立时有E（X1，X2，…，X n）= E（X1）E（X2）…E（X n）2018.4单解：指数分布的期望值为 1，故E（X）= E（Y）=21，所以E（X Y）= E（X）E（Y）=412018.4计解：（1）平均收益率E（X）=1%×0.1+2%×0.2+3%×0.1+4%×0.3+5%×0.2+6%×0.1=3.6%（2）预期利润10×3.6%=0.36万元2017.10单解：E（-3X +2）=-3 E（X）+2=-3×51+2=572017.4填解：E（X+Y）= E（X）+ E（Y）=20×0.1+2=48. 方差反映了随机变量偏离中心——期望的平均偏离程度。
第四章 随机变量的数字特征㈠ 考试内容 随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量简单函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质㈡ 考试要求1、理解随机变量的数字特征（数学期望、方差，标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质；掌握常用分布（二项分布、超几何分布、泊松分布、一维和二维均匀分布、指数分布、一维和二维正态分布）的数字特征（解题时可以直接利用这些数字特征）．2、会求随机变量简单函数的数学期望． 一维随机变量的数字随特征一、随机变量的数学期望例1 某商店向工厂进货，该货物有四个等级：一、二、三和等外，产品属于这些等级的概率依次是：0.50、0.30、0.15、0.05. 若商店每销出一件一等品获利10.50元，销出一件二、三等品分别获利8元和3元，而销出一件等外品则亏损6元，问平均销出一件产品获利多少元？解：假设该商店进货量N 极大，则平均说来其中有一等品N 50.0件，二等品和三等品和等外品数分别为N 30.0件、N 15.0件、N 05.0件. 这N 件产品总的销售获利为)6(05.0315.0830.05.1050.0-⨯+⨯+⨯+⨯N N N N （元）故平均获利为元）(8.7)6(05.0315.0830.05.1050.0)]6(05.0315.0830.05.1050.0[1=-⨯+⨯+⨯+⨯=-⨯+⨯+⨯+⨯N N N N N（一）离散型随机变量的数学期望定义： 设随机变量X 的分布列为)21(}{ ，，===i p x X p ii ，若级数∑∞=1i i i p x 绝对收敛，则称∑∞=1i i i p x 为随机变量X 的数学期望，记作EX ，即∑∞==1i i i p x EX如果级数∑∞=1i i i p x 发散，则称X 的数学期望不存在.（二）连续型随机变量的数学期望定义：设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，若积分⎰∞+∞-dx x f x )(绝对收敛，则称积分⎰∞+∞-dx x f x )(为X的数学期望，记为EX ，即⎰∞+∞-=dx x f x EX )(；若积分⎰∞+∞-dx x f x )(发散，则称X 的数学期望不存在.（三） 随机变量函数的数学期望定理：设X 是一个随机变量，)(x g 为连续实函数.（1）若X 是离散型随机变量，其概率分布为 ，，，21}{===i p x X p i i ，若级 数∑∞=1)(i i i p x g 绝对收敛，则)(X Eg 存在，且∑∞===1)()(i i i p x g X Eg EY（2）若X 是连续型随机变量，其密度函数为)(x f X ，若积分⎰∞+∞-dx x f x g X )()(绝对收敛，则)(X Eg 存在，⎰∞+∞-==dxx f x g X Eg EY X )()()(例2解：甲、乙射手命中环数)(1.94.0103.093.08)(4.95.0104.091.08环环乙甲=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EX EX二、 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征．在上一节例2那么甲、乙射手命中环数X )(0.91.0108.091.08环甲=⨯+⨯+⨯=EX)(0.92.0106.092.08环乙=⨯+⨯+⨯=EX甲：2)(EX X E -=2.01.0)910(8.0)99(1.0)98(222=⋅-+⋅-+⋅- 乙：2)(EX X E -=4.02.0)910(6.0)99(2.0)98(222=⋅-+⋅-+⋅-定义：设X 是一个随机变量，如果2)( EX X E -存在，则称2)( EX X E -为X 的方差，记作DX ，即2)(EX X E DX -=，称DX 为标准差或均方差. 常用下面的公式：22)( EX EX DX -=例3 在有N 个人的团体中普查某种疾病患病情况需逐个验血，若血样呈阴性则无此疾病，呈阳性则患有该疾病. 为了能减少逐个检验的工作量，统计学家想出一种方法：把k 个人)2≥k （的血样混合后再检验，若呈阴性，则k 个人都没有此疾病，这时k 个人只需作一次检验；若呈阳性，则需要对这k 个人逐一再进行检验，这时k 个人共需要检验1+k 次. 若该团体中患该疾病的概率为p ，且每个人是否患该疾病是相互独立的. 问这种验血方法能否减少验血次数，若能减少，可以减少多少工作量？解：设X 为以k 人一组检验时，该团体中每个人需要验血的次数. 按题意，X 是只可能取两个值的随机变量，其分布为则每人平均的验血次数为 []k p p k p k EX k k k 1)1(1)1(111)1(1+--=--⋅⎪⎭⎫⎝⎛++-⋅=)1.0(=p 时k ＝4EX =0.5939例5 设X 的概率分布如下表所示，求2)(EX X E -解：先求EX2.1103210611010=⨯+⨯+⨯=EX则 36.0103)2.12(106)2.11(101)2.10()(2222=⨯-+⨯-+⨯-=-EX X E例6 随机变量X 的分布密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,2)(x x x f ，求EX ， )(b aX E +，2EX ，DX解： 322)(10===⎰⎰∞+∞-dx x x dx x f x EX=+)(b aX E b a dx x b ax dx x f b ax +=⋅+=+⎰⎰∞+∞-322)()()(10212)(10222=⋅==⎰⎰∞+∞-dx x x dx x f x EX 所以 1813221)(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-= EX EX DX常见的概率分布的数学期望和方差 两点分布（贝努里分布）1,0)1()(1=-==-x p p x X p x xp p p EX =⋅+-⋅=1)1(0 p p p EX =⋅+-⋅=2221)1(0)1()1()(222p q pqp p p p EX EX DX -==-=-=-=二项分布),(p n Bk n k kn k n k k n q p C p p C k X p --=-==)1(}{ )1(p q -=，=k 0，1，…，n.npq p np q p k n k n np q p k n k n k qp C kk X p k EX n k n k nk n k nk nk kn k kn k kn=+=---=-⋅=⋅==⋅=---====--∑∑∑∑1110)()!()!1()!1()!(!!}{同理可得22)1(p n n EX -= ，npq p np EX EX DX =-=-=)1()(22泊松分布)(λpλλ-==e k k X p k!}{，k = 0，1，2，…其中0>λ为参数，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记作)(~λp X .∑∑∑∞=--∞=--∞=-=⋅=-==⋅=1101)!1(!!k k k k kke ek eek kek k EX λλλλλλλλλλλ同理 λλλ=-=+=2222)(EX EX DX EX ， 均匀分布],[b a U⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它，，01)(bx a a b x f则称X 服从],[b a 上的均匀分布，记作)(~b a U X ，.2)(b a dx a b x dx x f x EX b a ba +=-=⋅=⎰⎰ 3)(2222a ab b dx x f x EX b a ++=⋅=⎰ 12)()(222a b EX EX DX -=-=指数分布)(λExp一个随机变量X ，如果其密度函数为⎩⎨⎧<≥=-000)(x x e x f x ，，λλ其中0>λ为参数，则称X 服从参数为λ的指数分布，记作)(~λExp X .⎰⎰∞+-∞+--==0x x xde dx e x EX λλλ[]λλλ1=+-=⎰∞+-+∞-dx e xe x x222λ=EX22222112)(λλλ=-=-=EX EX DX正态分布),(2σμN一个连续型随机变量X ，如果其密度函数为 )(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f u x σσπ其中σμ、为常数，+∞<<-∞μ，0>σ，则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记作)(~2σμ，N X . ⎰∞+∞---=dx exEX x 222)(21σμσπσμ-=x t μπμμσπ==+-∞+∞--∞+∞-⎰⎰dt edt et t t 222221)(21dxex DX x 222)(221)(σμσπμ--∞+∞-⎰-=σμ-=x tdt et t 222221-∞+∞-⎰σπ⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤+-=⎰∞+∞--∞+∞--dt e te t t 222222πσππσ222=2σ= 例1 某厂生产罐装咖啡，每罐标准重量为一磅，长期生产实践表明自动包装机包装的每罐咖啡的重量X 服从参数50.0=σ磅的正态分布. 为了使重量少于1磅的罐头数不超过10%，应把自动包装线控制的平均值μ调节到什么位置上？解：由题设)50.0(~2，μN X ，若把自动包装线控制的μ值调节到1磅位置，则有：5.0)0(50.011}1(=Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=<X p即重量少于1磅的罐头占全部罐头数的50%，这显然不符合要求（如图2-14）. 所以应该把自动包装线控制的μ值调到比1磅大一些的位置，使得=<}1{X p 1.0)50.01(≤-Φμ 或 9.0)50.01(≥-Φμ 查附表1可得 9.090147.0)29.1(>=Φ，得 6450.129.150.01=⨯+=μ.即将包装控制的平均值μ调节到1.0645处，可使得少于1磅的罐头数不超过10%.例2 进行一次考试，如果所有考生的分数可近似地表示为正态分布，则通常认为这次考试是可取的，教师经常用考试的分数去估计正态分布的参数μ和2σ，然后把分数超过σμ+的评为A 等，分数在μ到σμ+的评为B 等，分数在σμ-和μ之间的评为C 等，分数在σμ-和σμ2-之间的评为D 等，分数小于σμ2-评为E 等，试计算各等级所占的比例.解：A 等比例：1587.0)1(1)(1)(=Φ-=+≤-=+>σμσμX p X pB 等比例：3413.0)(=+≤<σμμX pC 等比例：3413.0)(=≤<-μσμX pD 等比例：1359.0)2(=-≤<-σμσμX pE 等比例：0228.0)2(=-≤σμX p例3 一道选择题，应该有多少种选择答案，答对者应该给多少分，答错者应该罚多少分，才能使猜答案者没有收获呢？解：设一道题有m 个选择答案，其中有一个答案是正确的，答对者给a 分，答错者罚b 分，不答者得0分；以X 表示乱猜答案者所得的分数，那么b a m ,,的设计要满足0≤EX ，这里以0=EX 为标准.X 的分布列为X a b -pm 1 m11-于是)11()(1m b m a EX -⋅-+⋅=，当0=EX 时，1-=m ab 即为选择b a m ,,所要满足的关系式，下面例4（分赌本问题）数学期望的概念最早来源于赌博. 17世纪中叶一个赌徒向数学家帕斯卡（1623~1662）提出一个使他苦恼长久的分赌本问题：甲、乙两位赌徒相约，用掷硬币进行赌博，谁先赢三次就得全部赌本100法郎. 当甲赢了二次而乙只赢一次时，他们都不愿意再赌下去了，问赌本应如何分呢？1654年帕斯卡提出如下解决方法：在甲已赢二次而乙只赢一次时，最多只需再玩二次即可结束这场赌博，而再玩二次可能会出现的结果有以下四种：X ，它只能取两个值：010021==x x ，，取这些值的概率分别为43}(11===p x X p ，41}(22===p x X p这时甲能够赢得的法郎数的期望值为：752211=⋅+⋅p x p x 法郎.例5 （报童的策略）假设报童销售报纸每份0.4元，其成本为0.25元. 报社规定销售者不能将卖不完的报纸退回. 如果报童每日的报纸销售量服从区间[200，400]上的均匀分布，为使他的期望利润达到最大，他每天应定多少份报纸（假设一天只定购一次）？解：设报童每天定购a 份报纸，销售的份数为X ，据题意X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，04002002001)(x x f X用Y 表示每日所获得的销售利润，则Y 是X 的函数，有⎩⎨⎧<-≥==a X a X a X a X g Y ，；，25.04.015.0)(因此，利润期望值为 ⎰==400200)()()(dx x f x g X Eg EY4055.01000)25.04.0(200115.020012200400-+-=-+=⎰⎰a a dx a x adx a a令 055.0500=+-=ada dEY ，解得275=a 又因为 0500127522<-==a daEY d 所以，当275=a （份）时，期望利润最大，且最大利润约为35.6元. 二维随机变量的数字特征 定理：设)(Y X ，为二维随机变量，),(y x g 为二元连续实函数，令),(Y X g Z =(1)若) (Y X ，是离散型随机变量，其概率分布 {} ，，，， j i p y Y x X p ij j i 21==== 则当ij i j j i p y x g ∑∑∞=∞=11),(绝对收敛时，),(Y X Eg 存在，且 ==),(Y X Eg EZ ij i j jip yx g ∑∑∞=∞=11),((2)若),(Y X 是二维连续型随机变量，其密度函数为), (y x f ，则当广义积分⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f y x g ),()(，绝对收敛时，),(Y X Eg 存在，且⎰⎰∞+∞-∞+∞-==dxdy y x f y x g Y X Eg EZ )()()(，，，例1 设二维随机变量)(Y X ，的概率分布为求 EX 解：对于离散型分布，可先求出X 的边缘分布，如表中所示，则23823 861)( 21=⨯+⨯==⋅=∑=i i i x X p x EX 49),( 2141j ∑∑=====⋅⋅=i j i i i y Y x X p y x EXY=DX 4382)233(86)231()()23()(222122=⋅-+⋅-==⋅-=-∑=i i i x X p x EX X E例2 设随机变量X 和Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧+∞<<+∞<<=+-其它,00;0,),()(y x e y x f y x求EXY . 解：10)(===-∞+∞+-∞+∞++-⎰⎰⎰⎰dy ye dxxe dxdy xyeEXY yxy x(4.2a )数学期望的性质(1) 对于任意常数c ，有c Ec =．(2) 对于任意常数λ，有EX X E λλ=． (3) 对于任意m X X X ,,,21 ，有()m m EX EX EX X X X E +++=+++ 2121．(4) 如果m X X X ,,,21 相互独立，则()m m EX EX EX X X X E 2121=．方差的性质(1) 0≥X D ，并且0=X D 当且仅当X （以概率１）为常数；(2) 对于任意实数λ，有X X D D 2λλ=；(3) 若m X X X ,,,21 两两独立或两两不相关，则()m m X X X X X X D D D D +++=+++ 2121．例3 利用期望和方差的性质，求二项分布随机变量X 的期望和方差.解：X 表示n 重贝努里试验中事件A 发生的次数，可以把X 看作是n 个相互独立的、具有相同0-1分布的随机变量i X 之和，即∑==+⋅⋅⋅++=ni i n X X X X X 121i X 的概率分布为n i p p X p p X p i i ，，，， 21)10(,1}0{)1(=<<-==== 而 )1 ( ,p q pq DX p EX i i -=== n i ,,2,1 = 则 ∑∑=====ni i ni i np EX X E EX 11)(npq X D X X X D DX i ni n ==+⋅⋅⋅++=∑=121)(例4 一机场送客车载20位旅客自机场出发，该车共设有10个车站．若某站无人下车就不停车，令X 表示停车次数，求EX （假设每位旅客在各站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立）.解：引入随机变量⎩⎨⎧=个车站有人下车第个车站无人下车第i i X i ,1,0 )10,,2,1( =i ．有 ∑==101i iXX ，且根据题意，任一乘客在第i 站下车的概率为101，则 201011}0{⎪⎭⎫ ⎝⎛-==i X p ，2010111}1{⎪⎭⎫ ⎝⎛--==i X p因此 2020109110111}1{1}0{0⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⋅+=⋅=i i i X p X p EX )10,,2,1( =i ，因而 ()784.810911020101101≈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==i i i i EX X E EX （次） 协方差与相关系数 协方差定义： )(Y X ，是二维随机变量，设EX 和EY 都存在，如果[]))((EY Y EX X E --存在，则称其为随机变量X 与Y 的协方差，记作) cov(Y X ，，即[])()() cov(EY Y EX X E Y X --=，通常我们将上式简化为EY EX EXY Y X ⋅-=)cov(，来计算协方差.推论：设X 和Y 为任意两个随机变量，如果其方差均存在，则Y X ±的方差也存在，且 )cov(2)(Y X DY DX Y X D ，±+=± 例1 设二维连续型随机变量)(Y X ，的联合密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它，，，，0 20 10 ) (31) (y x y x y x f计算)cov(Y X ，和)832(+-Y X D .解：先计算EX 、EY 和EXY95)(312010=+=⎰⎰dydx y x x EX ，911)(312010=+=⎰⎰dydx y x y EY32)(312010=+=⎰⎰dydx y x y x EXYEY EX EXY Y X ⋅-=)cov(，8119119532-=⨯-=又因为 187)(31202102=+=⎰⎰dydx y x x EX ，916)(31202102=+=⎰⎰dydx y x y EY所以 16213)95(187)(222=-=-=EX EX DX同理可得 8123=DY根据方差的性质，有)cov(1294)832(Y X DY DX Y X D ，-+=+-812458111281239162134=-⨯-⨯+⨯=)(相关系数定义：)(Y X ，是二维随机变量，设X 和Y 的方差均存在，且都不为零，则称DYDX Y X XY )cov(，=ρ 为X 与Y 的（线性）相关系数.由于DY DX EY Y EX X E Y X ⋅≤--≤))(()cov( ，，所以1≤XY ρ. XY ρ与协方差) cov(Y X ，同号，当0>XY ρ时，称X 与Y 之间为正相关；当0<XY ρ时，称X 与Y 之间为负相关.例2 设X 和Y 是两个随机变量， b aX Y +=（b a a 、，0≠为常数），DX 存在且不为零，求XY ρ. 解：据协方差的性质，有 aDX X X a b aX X Y X ==+=)cov()cov()cov(，，， DX a b)(aX D DY 2=+=于是 a aDXa DX a DX DY DX Y X XY ===2)cov(，ρ故：当 10 10-=<=>XY XY a a ρρ时，；时，.定理：设)(Y X ，是二维随机变量，DY DX 、均存在且为正，则1=XY ρ的充要条件是Y X 与具有线性关系，即存在常数0≠a 及常数b ，使得{}1=+=b aX Y p且当 10；时，=>XY a ρ当 10 -=<XY a ρ时，. 四个等价的结论：（1）0)cov(=Y X ，； （2）EXEY EXY =； （3）X 与Y 不相关； （4）DY DX Y X D +=±)(； 例3 设θ服从[]ππ，-上的均匀分布，令θsin =X ，θcos =Y ，判断X 与Y 是否相关，是否独立.解：由于 0sin 21==⎰-ππθθπd EX ，0cos 21==⎰-ππθθπd EY0cos sin 21==⎰-ππθθθπd EXY ⎰-===-=ππθθπ21)(sin 21)(2222d EX EX EX DX ⎰-===-=ππθθπ21)(cos 21)(2222d EY EY EY DY 所以 0)cov(=-=EXEY EXY Y X ，即 0),cov(==DYDX Y X XY ρ，从而X 与Y 不相关；但很显然，122=+Y X ，即X 与Y 并不独立.协方差具有以下性质： 设随机变量X 和Y 的方差存在，则它们的协方差也存在． （1）)cov()cov(X Y Y X ，，=； （2）)cov()cov(Y X ab bY aX ，，= ，其中 b a ， 为任意常数； （3），， X C 0) cov(=其中C 为任意常数； （4）)cov()cov()cov(2121Y X Y X Y X X ，，，+=+； （5）如果X 与Y 相互独立，则0cov =），（Y X .(6) 对于任意X 和Y ，有()Y XY X D D ≤,cov ．(7) 对于任意X 和Y ，有),cov(2)(Y X Y X Y X ±+=±D D D ．相关系数的性质 相关系数的如下三条基本性质，决定了它的重要应用．设ρ是X 和Y 的相关系数，,,,,222121Y X Y X D D E E ====σσμμ(1) 11≤≤-ρ．(2) 若X 和Y 相互独立，则ρ=0；但是，当ρ=0时X 和Y 却未必独立． (3) 1=ρ的充分必要条件是X 和Y （以概率１）互为线性函数．4、随机变量的相关性 假设随机变量X 和Y 的相关系数ρ存在．若ρ= 0，则称X 和Y 不相关，否则称X 和Y 相关．(1) 若两个随机变量独立，则它们一定不相关，而反之未必；(2) 若X 和Y 的联合分布是二维正态分布，则它们“不相关”与“独立”等价． 矩与协方差阵定义：设X 与Y 为随机变量，如果)21( ，，=k EX k 存在，则称k EX 为X 的k 阶原点矩，记为k μ；如果 ) 2 1 ( )( ，，=-k EX X E k 存在，则称k EX X E )(-为X 的k 阶中心矩，记为k v ；如果])([(l kEY Y EX X E --）存在，则称之为X 与Y 的l k +阶混合中心矩.显然，X 的数学期望EX 是X 的一阶原点矩，方差DX 是X 的二阶中心矩，协方差)cov(Y X ，是X与Y 的二阶混合中心矩. 一般地，设n 维随机变量），，（n X X X , 21⋅⋅⋅的二阶中心矩 )]([(j j i i ij EX X EX X E --=）σ n.j i ，，，， 21= 都存在，则称矩阵∑⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2 1 222 21 1 12 11 nn n n n n σσσσσσσσσ 为n 维随机变量），，（n X X X ⋅⋅⋅ 21的协方差阵. 根据协方差的性质，有i j j i σσ= )(j i ≠)21( n j i ，，，， =，因而协方差阵是对称方阵.记)2 1( ，，，， n j i ji ij ij ==σσσρ称为i X 与j X 的相关系数，其中ii i i DX σσ==，则称矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2 1 222 21 1 12 11 nn n n n n R ρρρρρρρρρ 为n 维随机变量），，（n X X X , 21⋅⋅⋅的相关阵，R 是主对角元素都是1的对称方阵. 典型例题分析例4.1（函数的方差） 已知随机变量X 的分布函数为：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--=． 若 ，若，若，＜若 1x , 1 x ,0.75x ,x ,0 x F 100125.01则⎪⎭⎫⎝⎛+21X X D = ．分析 由分布函数，可得随机变量X 的概率分布．，125.025.04125.04111,025.02125.021125.050.025.0101~2222=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-X X X X X X X E D E例4.2（函数的期望） 设随机变量X 分布函数为F (x )，则随机变量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=01,,0 ,0,0,1 X X X Y 若若若的数学期望=Y E ．分析 随机变量Y 只有1-和1两个可能值．．；， )]0()00([1)0(1)00( )0(1}0{}1{ )00(}0{}1{F F F F Y F X Y F X Y +--=-+--=-=>==-=<=-=E P P P P例4.4（函数的期望） 设随机变量X 服从参数为0.5的泊松分布，则随机变量)1(1X Y +=的数学期望Y E = ．分析 事实上，有．)e 1(2e 2e e 2e 2! 5.0e2! )1(5.0e 5.01e ! 5.011115.05.05.05.05.015.0015.005.0----∞=-∞=+-∞=--=-=-=+=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=∑∑∑m mk k k km k k k XY E E例4.6（标准差） 假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布．已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20米，则随机测量误差的标准差σ= ．分析 由条件“无系统误差”知，测量误差X 服从正态分布),0(2σN ，因此{}．，，20.1096.12096.12095.020 20 ≈===⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=≤σσσσX X P P ，例4.8(方差) 设随机变量X 和Y 独立同正态分布()21,0N ，则 Y X -D = ．分析 易见，)(Y X -E = 0，)(Y X -D = 1，故Y X U -=～N (0,1)．因此，()()．；，ππππ2112d e22 d e21 22202222-=-==+======-⎰⎰∞-∞∞--U U U U U U U xx x x U Y X x x E E D E D E E E E 22 例4.9 100次独立重复试验成功次数的标准差的最大值等于 ．分析 100次独立重复试验成功的次数X 服从参数为）（p ,100的二项分布．由于当p =0.5时，)1(p p -取最大值．这时2525.0100100=⨯==pq X D ，可见标准差的最大值等于5．例4.11（二项分布） 有若干瓶超过保质期的饮料，假设其中变质的期望瓶数为18瓶，标准差为4瓶．则变质饮料的瓶数X 的概率分布是 ．分析 假设总共有n 瓶超过保质期的饮料，p 是其中变质饮料的瓶数所占的比重．显然变质饮料的瓶数X 服从参数为（n ,p ）的二项分布．现在求n 和p ．由条件知．，，，91162164)1( 182==⇒==-===p n p np X np X D E例4.12（协方差） 假设随机变量X 和Y 的方差都等于1，X 和Y 的相关系数为0.25，则随机变量YX U +=和Y X V 2-=的协方差为 ．分析 已知 ()25.0,1===Y X Y X cov ，D D ．因此，有()()()()()．25.125.021),cov(2),cov(2,,2,)2,cov()2,cov(2,, -=--=--=-+-=-+-=-+=Y X Y X Y Y X Y Y X X X Y X Y Y X X Y X Y X V U D D cov cov cov cov cov例4.19 对于任意随机变量X 和Y ，如果()()Y X Y X -=+D D ，则(A) X 和Y 独立． (B) X 和Y 不独立．(C) Y X XY D D D =． (D) Y X XY E E E =． [ D ]分析 由()()，Y X Y X -=+D D 可见，，，Y Y XY Y Y XY Y X Y X Y X Y X Y X E E E E E E D D D D ==-=-+=++0),cov(),cov(2),cov(2例4.23 设X 在区间[－1,1]上均匀分布，则X U arcsin =和X V arccos =的相关系数等于(A) 1-． (B) 0． (C) 0.5． (D) 1． [ A ] 分析 由于X U arcsin =和X V arccos =有明显的线性关系：2arccos arcsin π=+X X ，可见X U arcsin =和X V arccos =相关系数ρ的绝对值等于1．因为X arcsin 和X arccos 增减变化趋势恰好相反，所以立即可以断定1-=ρ．例4.26 假设试验E 以概率p 成功，以概率p q -=1失败，分别以X 和Y 表示在n 次独立地重复试验中成功和失败的次数，则X 和Y 的相关系数ρ等于(A)1-． (B) 0． (C) 1/2． (D) 1． [ A ]分析 因为X +Y =n ，即X 和Y 互为线性函数，故X 和Y 的相关系数ρ=±1．由于Y =n －X ，可见X 和Y 为负相关，故1-=ρ． 〖计算题〗例4.29 (期望的应用) 自动生产线加工的零件的内径X (mm)服从正态分布)1,(μN ，内径小于10或大于12mm 的为不合格品，其余为合格品．每件产品的成本为10元,内径小于10mm 的可再加工成合格品，尚需费用5元．全部合格品在市场上销售，每件合格品售价20元．问零件的平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均销售利润最大？解 每件产品的销售利润L 与自动生产线加工的零件的内径X (mm)有如下关系：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤<==.12 , 10,1210 , 01 ,10 , 5 X X X X L L 若若若{}{}{}()()[]()()[]()()，1010 512 02 12 11010 510 12 10 12 10105121010--Φ--Φ=-Φ---Φ+-Φ--Φ=>-<+≤≤=μμμμμμX X X L P P P E其中()x Φ是标准正态分布函数，()()x x ϕ='Φ——标准正态密度．因此，有()()()．，，， 4ln 2)10()12( ee40e25e220 01051220d d 222)10(2)12(2)10(2)12(2222=---==+-=-+--=--------μμππμϕμϕμμμμμX L E由此，可见当31.10≈μmm 时，平均利润最大．例4.31（函数的期望） 假设某季节性商品，适时地售出1kg 可以获利s 元，季后销售每千克净亏损t 元．假设一家商店在季节内该商品的销售量X （kg ）是一随机变量，并且在区间),(b a 内均匀分布．问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大？解 根据条件随机变量X 的概率密度为：()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=，若不然．，，若 0 1b x a ab x f 以表示)(h P Y =销售利润，它与季初应安排商品的数量h 有关．由条件，知⎪⎩⎪⎨⎧>≤--==．，若，，若h X sh h X t X h sX h P Y )()( 为求使期望利润最大的h ，我们计算销售利润)(h P Y =的数学期望．为此，首先注意到：b h a <<，销售利润)(h P Y =的数学期望为：；sh x x f h x x xf t s x x f sh x x f ht x x xf t s xx f sh x x f ht x t s x x f sh x x f t x h sx h P Y hhhh h hh hh +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+=+-+=+--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞000000d )(d )()(d )(1d )(d )()(d )(d )(])([d )(d )(])([)(E E对求导并令其等于0，得，0d )()(d )()()()(d d 00=++-=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=⎰⎰s x x f t s s x x f h hf h hf t s h Yh h E ．，ts tasb h t s s a b a h x x f h++=+=--=⎰00d )( 于是，季初安排0h 千克商品，可以使期望销售利润最大，例4.34（数学期望） 独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p ．假设前5次试验每次的试验费用为10元，从第6次起每次的试验费用为5元．试求这项试验的总费用的期望值a ．解 (1) 以X 表示试验的总次数，首先求X 的概率分布．设k A ={第k 次试验成功}（k =1,2,…），则p A k =)(P ；X 的概率分布为{}),2,1()(111 ====--n pq A A A n X n n n P P ，其中p q -=1．于是试验的总次数X 服从参数为p 的几何分布． (2) 现在求试验的总费用的期望值a ．由条件知，试验的总费用为 ()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤=．若，若，若，若X X X X X X X X Y 5 , 5 525 , 10 5 , 5 5 505 , 10 该项试验的总费用Y 是一随机变量，其期望值为()，∑∑∑∑∞=-=-∞=-=-++=++==15151161511255552510n n n n n n n n q nq p nqp pqn npqY a E()；，256256651165151116511651d d 1d p q q q q q qq q q nq q q q q t nt n n n n q n n +-=-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--==∑∑⎰∑=-==-p q p q q q p q q p q q p nq p n n n n n n 1)1(11d d d d d d 21111=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∑∑∑∞=∞=∞=-；()．5561515112526552555q q q pq nq p nqp a n n n n ++-=++=∑∑∞=-=- 例如，设p = 0.8, q = 0.2，得=a 12.498元；设p = q = 0.5，得=a 19.6875元；设p = 0.2, q = 0.8，得=a 41.808元；设p = 0.1, q = 0.9，得=a 70.4775元．例4.35（变量和的期望） 假设n 个信封内分别装有发给n 个人的通知，但信封上各收信人的地址是随机填写的．以X 表示收到自己通知的人数，求X 的数学期望和方差．解 (1) 记k A ={第k 封信的地址与内容一致}．第k 个人的通知随意装入n 个信封中的一个信封，恰好装进写有其地址的信封的概率等于１/n ，故)(k A P =１/n ．同理)()1(1)()()(j i n n A A A A A i j i j i ≠-==P P P ．引进随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=,, 0 , , 1 不出现若出现若k A k A k U (k =1,…,n )，则n U U U X +++= 21．从而，有．．；； 111)](1)[( 1)(1)(P }1{212=⨯=+++=-=-======nn U U U X nn A A U n A U n A U n k k k k k k k E E E E P P D P E P(2) 对于任意j i ≠，乘积j i U U 只有０和１两个可能值，且()11)()()(}1{-====n n A A A A A U U i j i j i j i P P P P ．因此，对于任意j i ≠，有()()2111,cov nn n U U U U U U j i j i j i --=-=E E E ．(3) 最后求方差D X ．()()()． 11)1(1)1(1,cov 1,cov )()(222111222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-⨯=-+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=∑∑∑≠==n n n n n n n n U U n n U n U U U U U X X X j i ji n k k n m m m D D E E E E D注 该题的解法具有典型性：求解时并没有直接利用X 的概率分布，仅利用数学期望和方差的性质．当然，也可以先求X 的概率分布，然后再根据定义求数学期望．然而,求概率分布需要相当繁杂的计算,并且由此概率分布求数学期望并非易事．例4.38（函数的期望） 求{}1 , min X E ，假设随机变量X 服从柯西分布，其概率密度为()()∞<<∞-+=x x x f 11)(2π．解 由于{}⎪⎩⎪⎨⎧≥<=，，若，，若1 1 1 1 , min x x x X 可见{}()()()()()．１－１－１－ 212ln 11d21d21d1d1d1 , min 12212212+=+++=+++++=⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞ππππππx xx xx x xx xx xx X E 例4.39（数学期望） 假设一种电器设备的使用寿命X （单位：小时）是一随机变量，服从参数为λ=0.01的指数分布．使用这种电器每小时的费用为C 1=3元，当电器工作正常时每小时可获利润C 2=10元．此设备由一名工人操作，每小时报酬为C 3=4元，并且按约定操作时间为h 小时支付报酬．问约定操作时间h 为多少时，能使期望利润最大？解 以Y 表示销售利润，则由条件知 ()⎪⎩⎪⎨⎧≤-->--=．，若，，若 )( 312312h X h C X C C h X h C C C Y 由条件知，随机变量X 的分布函数和概率密度相应为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-；，，，0 0 0e 1)(x x x F x λ 和 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-；，，，0 0 0e )(x x x f x λλ．其中01.0=λ．期望销售利润为{}{}()()[]()[]；h C h h C C h C C h C h C C C x x C C h X h C h X h C C C x x f x g Y h h h h h hx31112111233120123312e e )(e )(e 1e )(d e )()(d )()(-+-+-=+--+----=-+≤->--==----------∞∞-⎰⎰λλλλλλλλλλλλP P E()[]；0e )(e 11)(d d 3123112=--=-++---=---C C C C h h C C hYh hλλλλλE 123ln1C C C h --=λ．将C 1=3元，C 2=10元．C 3=4元，以及λ=0.01代入，得9.55≈h 小时．例4.45（相关系数） 假设随机变量X 和Y 的数学期望都等于１，方差都等于2, 其相关系数为0.25，求随机变量Y X U 2+=和Y X V 2-=的相关系数ρ．解 首先求U 和V 的数学期望和方差．()()．，1232-=-==+=Y X V Y X U E E E E ，由条件知()5.02125.0,cov =⨯⨯=Y X ， ()()()()．，1,cov 22,cov 1,cov 22,cov ==-=-=-Y X Y X Y X Y X ()(),122,cov 242=++=+=Y X Y X Y X U D D D D()()82,cov 242=-++=-=Y X Y X Y X V D D D D ．注意到, 224Y X UV -=， ()3222=+==Y Y Y X E D E E , 有()()．6312344,cov 2222-=+-=--=--=-=V U Y X VU Y X V U UV V U E E E E E E E E E E从而，随机变量Y X U 2+=和Y X V 2-=的相关系数为()6124.046646,cov -=-=-==V U V U D D ρ． 例4.47(相关系数) 假设随机变量1021,,,X X X 独立同分布，且方差存在．求随机变量651X X X U +++= 和 1065X X X V +++=的相关系数ρ．解 记)10,,2,1( ===i b X a X i i D E ，．由于1021,,,X X X 独立，可见(61,,X X )和(107,,X X )独立，以及(41,,X X )和(65,X X )独立．因此．b X X X X X X X X X X X X X X X X V U 2)(),cov(),cov(),cov(),cov(65656565656110561=+=+=++=+++=++++=D D D于是，由D U = D V =6b ，可见31622===b b V U bD D ρ． 4.56（相关性和独立性） 对于任意二随机事件A 和B ，设随机变量⎪⎩⎪⎨⎧-=，不出现若出现若 ,1, ,1A A X ⎪⎩⎪⎨⎧-=；不出现若出现若 , 1 ,,1B B Y 试证明“随机变量X 和Y 不相关” 当且仅当“事件A 和B 独立”．证明 易见事件A 和B 独立当且仅当事件A 与B 独立．记 ()1p A =P ，()2p B =P ，()12p B A =P ．有()()121-=-=p A A X P P E ； ()()122-=-=p B B Y P P E ． 现在求E XY ．显然，XY 只有1和－1两个可能值．{}{}{}()()()()[]{}{}{}{}()．；．；；211221212112211221124),cov(12241224112 1111211,11,11p p p Y X Y X Y X p p p p Y X p p p XY XY XY p p p XY XY p p p B A B A B A B A Y X Y X XY -=-=+--=+--=-=-==++-==-=-=+--=+-+=+=-==+====E E E E E P P E P P P P P P P P P由此可见，随机变量X 和Y 不相关的充分和必要条件是，事件A 和B 独立，即()()()02112=-=-B A B A p p p P P P ．由独立事件的性质知，若事件A 与B 独立，则事件A 与B 也独立．从而随机变量X 和Y 不相关当且仅当事件A 和B 独立． 1（87数4）（8分）已知离散型随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P （1）写出X 的分布函数)(x F ；（2）求X 的数学期望和方差。
