教学参考高一北师大数学必修3同步作业：第1章 第4节 数据的数字特征3 含答案

§4数据的数字特征知识点一众数、中位数、平均数[填一填]1．众数(1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．(2)特征：一组数据的众数可能多个，也可能没有，它反映了该组数据的频率分布．2．中位数(1)定义：一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．(2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．3．平均数(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商叫作这组数据的平均数，数据x1，x2，…，x n的平均数为x＝x1＋x2＋…＋x nn.(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的平均水平，但平均数受数据中的每一个数据的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．[答一答]1．一组数据的平均数是否一定能说明现实中的平均水平？提示：在用平均数估计总体时，样本中的每一个数据都会影响到平均数的大小，因此在实际操作中，一定要注意异常数据对平均数的影响，以便作出正确估计．比如：某地区的年平均家庭年收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭年收入普遍较高．但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭年收入计算出来的，那么，它就既不能代表贫困家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入．知识点二标准差、方差、极差[填一填]4．标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算s＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2].可以用计算器或计算机计算标准差．(2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小．5．方差(1)定义：标准差的平方，即s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]．(2)特征：与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动的大小．(3)取值范围：s2≥0.6．极差(1)定义：一组数据的最大值和最小值的差称为这组数据的极差．(2)特征：表示该组数据之间的差异情况．[答一答]2．怎样正确理解标准差与方差．提示：①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．②标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．③因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．1．三种数字特征应注意以下四点(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述它的某种集中趋势．(4)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．2．关于方差、标准差应注意以下几点(1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周围的程度，标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．(2)若样本数据都相等，则s＝0.(3)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量．(4)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标准差．类型一平均数、中位数、众数【例1】据报道，某销售公司有33名职工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示(单位：万元)：部门 A B C D E F G人数11215320 每人所创年利润 5.55 3.53 2.52 1.5(2)假设部门A所创年利润从5.5万元提高到30万元，部门B所创年利润由5万元提高到20万元，那么新的平均数、中位数、众数、极差又是多少？(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平？【思路探究】(1)(2)根据表中数据及平均数、中位数、众数、极差的定义求解．(3)分析各统计量与公司职工每人所创年利润的关系→看其是否偏离一般情况【解】(1)x＝5.5＋5＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×2033≈2.1(万元)，中位数为1.5万元，众数为1.5万元，极差为4万元．。

数据的数字特征 同步练习一、选择题1.刻画数据离散程度的统计量有（ ） A.极差 B.方差与标准差C.极差、方差与标准差D.平均数与标准差答案：C2.如果数据x1，x2，…，xn 的平均数为x ，方差为s2，则3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均数和方差分别为（ ） A. x 和s2 B.3x +5和9s2 C.3x +5和s2D.3x +5和9s2+30s+25答案：B3.标准差的计算公式是（ ） A.n 1ni 1=∑xiB.n 1ni 1=∑(xi －x )2 C.21)(1x x n i ni -∑=D.n 1n i 1=∑|xi －x |答案：C4.已知n 个数据x1，x2，…，xn ，那么n 1［(x1－x )2+(x2－x )2+…+(xn －x )2］是（ ）A.sB.s2C.xD.中位数答案：B5.数据3，7，4，6，5的平均数为（ ）A.7B.6C.5D.4答案：C 二、填空题答案：1.2 0.87.5个数据的和为405，其中一个数据为85，那么另4个数据的平均数是 . 答案：80 三、解答题8.已知两组数据：甲：9.9，10.3，9.8，10.1，10.4，10，9.8，9.7. 乙：10.2，10，9.5，10.3，10.5，9.6，9.8，10.1. 分别计算这两组数据的方差，并判断哪组数据波动大.答案：s 甲2=0.055,s 乙2=0.105,乙组数据比甲组数据波动大.9.某单位为了寻找高产稳定的油菜品种，选了三个不同的油菜品种进行试验，每一品种在五试评定哪一个品种既高产又稳定.答案：第一个油菜品种既高产又稳定.10.某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98;乙车间：110，115，90，85，75，115，110.(1)这种抽样是何种抽样方法？答案：系统抽样方法.(2)估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间产品较稳定.答案：x甲==100;x乙==100;s甲2=3.4286;s乙2=228.5714.甲车间产品较乙车间产品稳定.。

信达数据的数字特征同步练习思路导引1.在8个试验点对两个早稻品种进行栽培对比试验，它们在各试验点的单位面积产量如下（单位：kg ）： 甲 402 492 495 409 460 420 456 501 乙 428 466 465 428 436 455 449 459 在这些试验点中哪种水稻的产量比较稳定？解：比较甲、乙两组数据标准差的大小.S 甲=37.5，S 乙=14.7.S 乙<S 甲，这说明在这些试验点乙种水稻比甲种水稻的产量稳定. 2.下列数据是30个不同国家中每100000名男性患某种疾病的死亡率：27.0 23.9 41.6 33.1 40.6 18.8 13.7 28.9 13.2 14.5 27.0 34.8 28.9 3.2 50.1 5.6 8.715.27.15.216.5 13.819.211.215.710.05.61.5 33.89.2（1）作出这些数据分布的频率分布直方图； （2）请由这些数据计算平均数、标准差等，并对它们的含义进行解释.解：（1）画频率分布直方图.频000.0亡率图←标准差可以反映数据的离散程度，比较标准差的大小.←先作频率分布表，统计数据.（2）平均数是19.3；标准差是12.7.说明30个国家中每十万名男性患某种疾病的平均死亡率为19.3%；但各个国家的差异较大.3.在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”，“去年，在50名员工中，最高年收入达到了100万，他们年收入的平均数是3.5万”.（1）你是否能够判断自己可以成为此公司的一名高收入者？（2）如果招聘员继续告诉你，“员工收入的变化范围是从0.5万到100万”，这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定？为什么？（3）如果招聘员继续给你提供如下信息，员工收入的中间50%（即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的）的变化范围是1万到3万，你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定？（4）为什么平均数比中间50%高很多？你能估计出收入的中位数是多少吗？解：（1）不能判断一定能成为此公司的一名高收入者.（2）由此可知员工收入的变化范围及平均数.高收入者只是极少数，不能作为受聘的决定.（3）大部分员工的收入是1万到3万，这也是我们受聘该公司后最有可能的收入状况.（4）收入极高的少数人对平均数影响较大，他们的收入与平均数相差太多.可以估计收入的中位数大约是2万元. ←中位数、众数、平均数可以从不同角度反映这组数据的特征.信达。

课时作业5 数据的数字特征时间：45分钟 满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．在某次考试中，10名同学的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为( C )A ．84,68B ．84,78C ．84,81D ．78,81解析：将所给数据按从小到大的顺序排列得68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79,83，它们的平均数为81，即中位数为81.2．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为8,12,10,11,9，估计此人每次上班途中平均花费的时间为( D )A ．8分钟B ．9分钟C ．11分钟D ．10分钟解析：估计此人每次上班途中平均花费的时间为8＋12＋10＋11＋95＝10(分钟)．3．样本数据：2,4,6,8,10的标准差为( D ) A ．40 B ．8 C ．210D ．2 2解析：直接把数据代入标准差公式可得．4．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 为( A )A ．21B ．22C ．20D ．23 解析：由x ＋232＝22，得x ＝21.5．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩统计，如下表，则这100人成绩的标准差为( B )A. 3 C ．3D.85解析：∵x ＝20×5＋10×4＋30×3＋30×2＋10×1100＝3，∴s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝1100[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝160100＝85，∴s ＝2105.6．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( C )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：本题考查了数理统计中的平均数、中位数、方差、极差及条形图等问题． x －甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，x －乙＝15(5×3＋6＋9)＝6，甲的成绩的方差为15(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为15(12×3＋32×1)＝2.4.故选C.数理统计有关知识是每年高考必考，常涉及直方图、平均数、方差等内容．对于统计的考查多以容易题出现，解答时只需细心一些即可．7．甲、乙、丙、丁四人参加亚运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和标准差见下表：甲 乙 丙 丁 平均数x 8.5 8.8 8.8 8 标准差s3.53.52.18.7A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：从平均数来看，乙、丙的平均值最大，从标准差来看，丙的标准差最小，因此，应选择丙参加比赛．8．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x ，方差为s 2，则( A )A.x ＝5，s 2<2B.x ＝5，s 2>2C.x >5，s 2<2D.x >5，s 2>2解析：∵18(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝5，∴19(x 1＋x 2＋…＋x 8＋5)＝5，∴x ＝5.由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，∴s 2<2，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)9．一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x ＝15.解析：由中位数的定义知x ＋172＝16，∴x ＝15.10．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差是a ，那么另一组数据x 1－2，x 2－2，…，x n－2的方差是a .解析：将一组数据同时减去一个数，所得新数据的方差与原数据的方差相等． 11．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(1)平均命中环数为7； (2)命中环数的标准差为2. 解析：本题考查平均数与标准差．(1)平均数＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7；(2)标准差＝＝2注意：方差与标准差的区别．三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：每户丢弃旧塑料袋个数2 3 4 5 户数6161513(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．解：(1)平均数x ＝150×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝18550＝3.7.众数是3，中位数是4.(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为 s 2＝150×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2＝150×48.5＝。

一、选择题1．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数为：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A．92,2B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.82．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数据的众数为5，那么数据的中位数是() A．7 B．5 C．6 D．113．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x，样本标准差分别为s A和s B，则()BA.x A>x B，s A>s BB.x A<x B，s A>s BC.x A>x B，s A<s BD.x A<x B，s A<s B4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均数为x，则()A．m e＝m0＝x B．m e＝m0<x C．m e<m0<x D．m0<m e<x5．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是()A．57.2 3.6 B．57.256.4 C．62.863.6 D．62.8 3.6二、填空题6．一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x＝________.7．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝________.8．(湖北高考)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7, 8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________． 三、解答题9．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天(1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数； (2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．10．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：(1)请你对下面的一段话给予简要分析： 甲了85分，在班里算是上游了！”(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．答 案1. 解析：选 B 去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为x ＝90＋90＋93＋94＋935＝92，方差为s 2＝15×[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝15×(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.2. 解析：选B 这组数据的众数为5，则5出现的次数最多， ∴x ＝5，那么这组数据按从小到大排列为－3,5,5,7,11，则中位数为5.3. 解析：选B A 中的数据都不大于B 中的数据，所以x A <x B ，但A 中的数据比B 中的数据波动幅度大，所以s A >s B .4. 解析：选D 易知中位数的值m e ＝5＋62＝5.5，众数m 0＝5，平均数x ＝130×(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)≈6，所以m 0<m e <x .5. 解析：选D 设该组数据为x 1，x 2，…，x n ，则1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＝2.8，1n [(x 1－2.8)2＋(x 2－2.8)2＋…＋(x n －2.8)2]＝3.6， 所以，所得新数据的平均数为1n [(x 1＋60)＋(x 2＋60)＋…＋(x n ＋60)]＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＋60＝2.8＋60＝62.8.所得新数据的方差为1n [(x 1＋60－62.8)2＋(x 2＋60－62.8)2＋…＋(x n ＋60－62.8)2]＝1n [(x 1－2.8)2＋(x 2－2.8)2＋…＋(x n －2.8)2] ＝3.6.6. 解析：由中位数的定义知x ＋172＝16，∴x ＝15. 答案：157. 解析：计算可得两组数据的平均数均为7， 甲班的方差s 2甲＝(6－7)2＋02＋02＋(8－7)2＋025＝25；乙班的方差s 2乙＝(6－7)2＋02＋(6－7)2＋02＋(9－7)25＝65.则两组数据的方差中较小的一个为s 2甲＝25. 答案：258. 解析：(1)由公式知，平均数为110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7；(2)由公式知，s 2＝110(0＋1＋0＋4＋4＋9＋4＋9＋0＋9)＝4⇒s ＝2.答案：（1）7 （2）29. 解：(1)平均数x ＝150×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝18550＝3.7.众数是3，中位数是4.(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为s2＝150×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝150×48.5＝0.97，所以标准差s≈0.985.10. 解：(1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游．但也不能单以班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好．(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率．。

数据的数字特征教案数据的数字特征教案一、教材内容分析数据的数字特征是北师大版必修三第一章第4节内容，本节内容与现实生活息息相关如; 统计学最关心的是：我们的数据能提供哪些信息．为了能从数据中得到信息，除了对数据进行整理外，人们还用这些数据生成一些新的数，用它们来反映这组数据的特性，给出我们需要的信息，从而从整体上更好地把握总体的规律．二、学生学习情况分析：学生在上一节中学习了统计图表，利用统计图表表达和分析数据，也是用图表体现样本估计总体的思想。

本节是从多个数据加工成几个数据来反映样本特征，从而估计总体特征。

在初中学生学习了各数据特征，对基本概念比较熟悉，本节是对初中知识的深化。

三、设计思路（1）、教法构想本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息。

（2）学法指导学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合。

四、教学过程设计（一）、教学目标1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。

2、通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力。

（二）、教学重、难点教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

（三）、教学实施“用数据说话”是我们经常听到的一句话，数据在我们日常生活中处处存在，例如股市的涨跌，GDP的增长，物价的涨幅等等无不与数据有关，本节课我们就来研究数据的数字特征。

初中我们就已经学习过一些刻画数据数字特征的统计量，请同学们回忆这些统计量都有哪些？Ⅰ 提出问题什么叫平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差？它们各有什么意义？设计意图：旨在复习几个统计量的概念Ⅱ 应用示例例1下图从甲乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用如下茎叶图表示（打出幻灯片2）：观察此图，找出每组数据的众数，中位数，平均数，极差，方差。

学案 必修三 第一章 第四节 数据的数字特征一、学习目标1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。

2、通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力。

二、重点、难点重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

难点：正确理解样本的随机性，合理选择抽签法与随机数法. 根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

三、课前预习1一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的 。

数据12,,,n x x x 的平均数为 。

平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平。

2一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于 的数称为这组数据的中位数。

一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的 。

3一组数据中出现次数的 数称为这组数据的众数。

一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的 。

4一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的 ，表示该组数据之间的差异情况。

5 是样本数据到平均数的平均距离，一般用 表示，通常用公式 来计算。

反映了数据的 。

方差越大，数据的离散程度 。

6 等于方差的正的平方根，即s 围绕平均数的波动程度的大小。

四、堂中互动 【教师点拨】：描述数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数。

要正确理解各种数的意义根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

（1）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数。

（2）公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时，众数往往经常被使用。

【教师点拨】刻画数据离散程度的统计量有极差、方差和标准差。

[核心必知]1．众数、中位数、平均数（1）众数的定义：一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数,一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．(2)中位数的定义及求法:把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数（或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．（3）平均数：①平均数的定义：如果有n个数x1、x2、…、x n，那么错误!＝错误!,叫作这n个数的平均数．②平均数的分类：总体平均数：总体中所有个体的平均数叫总体平均数．样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数．2．标准差、方差(1）标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝错误!.(2)方差的求法：标准差的平方s2叫作方差．s2＝错误!［（x1－错误!)2＋(x2－错误!）2＋…＋(x n－错误!）2］．其中，x n是样本数据，n是样本容量，错误!是样本均值．(3)方差的简化计算公式：s2＝错误![(x错误!＋x错误!＋…＋x错误!)－n错误!2]＝错误!（x错误!＋x错误!＋…＋x错误!）－错误!2.3．极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．4．数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．[问题思考］1．一组数据的众数一定存在吗？若存在，众数是唯一的吗？提示:不一定．若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数；不是,可以是一个，也可以是多个．2．如何确定一组数据的中位数？提示：（1）当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数．（2）当数据个数为偶数时，中位数为排列在最中间的两个数的平均值．讲一讲1。

据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元）如下：（1)(2）假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事长的工资从5 500元提升到30 000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元)（3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法．[尝试解答］(1)平均数是错误!＝1 500＋错误!≈1 500＋591＝2 091（元）．中位数是1 500元,众数是1 500元．(2)新的平均数是错误!′＝1500＋错误!≈1 500＋1 788＝3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．（3）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．1．众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量．2．众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．3．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述它的某种集中趋势．练一练1．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下:(1）求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；(2）假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么?如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．解：（1)平均数为错误!（1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2）＝320(件)，中位数为210件,众数为210件．(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额。

§4数据的数字特征一、非标准1.某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手成绩的方差是( )A.0.127B.0.016C.0.08D.0.216解析:∵×(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,∴s2=×[(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2]=0.016.答案:B2.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个.命中个数的茎叶图如图所示.则下面结论中错误的是( )A.甲的极差是29B.乙的众数是21C.甲罚球命中率比乙高D.甲的中位数是24解析:甲的极差为37-8=29,A正确;乙的众数为21,B正确;由茎叶图知,甲罚球命中个数集中在20~30之间;而乙罚球命中个数集中在10~20之间,故C正确;甲的中位数为=23.D错误.答案:D3.某商场一天中售出某品牌运动鞋13双,其中各种尺码鞋的销量如下表所示,则这13双鞋的尺码组成的一组数据中,众数和中位数分别为( )鞋的尺码(单位:cm) 23.52424.52526销售量(单位:双)1 2 2 5 3A.25cm,25cmB.24.5cm,25cmC.26cm,25cmD.25cm,24.5cm解析:易知众数为25cm,因为共有13个数据,所以中位数应为第7个数据,而尺码为23.5cm到24.5cm的共有5个数据,且尺码为25cm的有5个数据,因此第7个数据一定是25cm,即中位数为25cm.答案:A4.一组数据中的每一个数据都减去80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是( )A.81.2,4.4B.78.8,4.4C.81.2,84.4D.78.8,75.6解析:原数据的平均数应为1.2+80=81.2,原数据的方差与新数据的方差相同,即为4.4.答案:A5.已知样本甲和乙分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为,样本标准差分别为s甲和s 乙,则( )A.,s甲>s乙B.,s甲>s乙C.,s甲<s乙D.,s甲<s乙解析:甲中的数据都不大于乙中的数据,所以,但甲中的数据比乙中的数据波动幅度大,所以s甲>s乙.答案:B6.在一次数学测验中,某小组10名学生分别与全班的平均分85分的差是:2,3,-3,-5,12,8,2,-10,-2,5,那么这个小组的平均分是分.解析:这个小组的平均分是85+=85+1.2=86.2(分).答案:86.27.已知甲、乙两人在相同条件下练习射击,每人打5发子弹,命中环数如下:甲 6 8 9 9 8乙17 7 7 9则两人射击成绩的稳定程度是.解析:∵=8,=8,而=1.2,=1.6,,∴甲的稳定性较强.答案:甲比乙稳定8.若一组数据x1,x2,…,x n的方差为9,则数据3x1,3x2,…,3x n的方差为,标准差为.解析:数据3x1,3x2,…,3x n的方差为32×9=81,标准差为=9.答案:81 99.从甲、乙两种玉米苗中各抽10株,分别测得它们的株高如下(单位:cm):甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42;乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.问:(1)哪种玉米的苗长得高?(2)哪种玉米的苗长得齐?解:(1)×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=×300=30(cm),×(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=×310=31(cm),所以,即乙种玉米的苗长得高.(2)×[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2]=×1042=104.2(cm2),×[(27-31)2×2+(16-31)2×3+(44-31)2×2+(40-31)2×3]=×1288=128.8(cm2),所以,即甲种玉米的苗长得齐.10.一名射击运动员射击8次所中环数如下:9.9,10.3,9.8,10.1,10.4,10,9.8,9.7.(1)这8次射击的平均环数是多少?标准差是多少?(2)环数落在①-s与+s之间;②-2s与+2s之间的各有几次?所占百分比各是多少?解:(1)=10(环);s2=[(9.9-10)2+(10.3-10)2+(9.8-10)2+(10.1-10)2+(10.4-10)2+(10-10)2+(9.8-10)2+(9.7-10)2]=(0.01+0.09+…+0.09)==0.055,所以s=≈0.235(环).(2)①-s≈10-0.235=9.765,+s≈10+0.235=10.235,在这两个数据之间的数有5个,占到=62.5%.②-2s≈10-0.235×2=9.53,+2s≈10+0.235×2=10.47,在这两个数据之间的数有8个,占到100%.。