数据的数字特征

教案《数据的数字特征》第一章：数据的描述1.1 数据的概念与分类理解数据的概念掌握数据的分类：定量数据、定性数据1.2 数据的收集与整理学习数据收集的方法理解数据整理的意义掌握数据整理的基本技巧第二章：平均数2.1 平均数的定义与计算理解平均数的概念学会计算简单数据的平均数2.2 平均数的作用与局限性理解平均数在数据分析中的作用认识平均数的局限性第三章：中位数3.1 中位数的定义与计算理解中位数的概念学会计算简单数据的中位数3.2 中位数的作用与局限性理解中位数在数据分析中的作用认识中位数的局限性第四章：众数4.1 众数的定义与计算理解众数的概念学会计算简单数据的众数4.2 众数的作用与局限性理解众数在数据分析中的作用认识众数的局限性第五章：方差5.1 方差的定义与计算理解方差的概念学会计算简单数据的方差5.2 方差的作用与局限性理解方差在数据分析中的作用认识方差的局限性第六章：标准差6.1 标准差的定义与计算理解标准差的概念学会计算简单数据的标准差6.2 标准差的作用与局限性理解标准差在数据分析中的作用认识标准差的局限性第七章：离散系数7.1 离散系数的定义与计算理解离散系数的概念学会计算简单数据的离散系数7.2 离散系数的作用与局限性理解离散系数在数据分析中的作用认识离散系数的局限性第八章：数据的关系与趋势8.1 数据的关系：相关系数理解相关系数的概念学会计算简单数据的相关系数8.2 数据的趋势：趋势线理解趋势线的作用学会绘制简单数据的趋势线第九章：数据的分布9.1 数据的正态分布理解正态分布的概念学会识别正态分布的数据9.2 数据的偏态分布理解偏态分布的概念学会识别偏态分布的数据回顾本章所学的内容理解各种数字特征在数据分析中的应用10.2 数据的数字特征应用实例通过实例分析，运用所学知识解决实际问题重点和难点解析重点一：数据的分类数据的分类是理解后续数字特征的基础。

定量数据和定性数据的区别需要学生深刻理解，这将直接影响到对平均数、中位数、众数等概念的理解。

高中必修二数学教案《数据的数字特征》教材分析在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。

（由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。

）在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地领悟它们各自的特点，在详尽的问题中依照情况有针对性地选择一些合适的数字特点。

学情分析在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生会很自然地想到义务教育阶段时学习过的极差和方差。

在教学时，可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，学生经历分析数据、作出推断的过程，可以进一步体会统计对决策的作用。

教学目标1、通过实例，理解数据的数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数，理解不同数字特征的优势与不足。

2、会用求和符号表示平均数，掌握求和符号的性质。

3、能根据现实问题的需要选择适当的数字特征来表达数据信息，体会数字特征在分析数据时的重要作用，培养数学抽象能力、数学运算能力、数据分析素养。

教学重点平均数、中位数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

教学难点根据问题的需要，选择适当的数字特征来表达数据的信息。

教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、情境导学如下是某学校高一（1）班和高一（2）班某一次期中考试的语文成绩，试从不同的角度对两班成绩进行对比。

在日常生活中，当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值。

例如，上述情境中的两个班的成绩，我们可以从最值、平均数、中位数、方差等角度进行比较。

二、学习新知1、最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况。

一般地，最大值用max表示，最小值用min表示。

日常生活中，有时我们只关心数据的最值。

比如，高考部分科目实行“一年多考”，最终取的是多次考试成绩中的最大值；举重比赛中，选手有三次“试举”机会，其中成绩的最大值将计入总成绩；末位淘汰的比赛中，积分最小值对应的团体或个人将被淘汰出局；等等。

《数据的数字特征》讲义在当今这个数字化的时代，数据无处不在。

无论是科学研究、商业决策，还是日常生活中的各种活动，我们都在不断地产生和处理着大量的数据。

而要理解和分析这些数据，就需要了解数据的数字特征。

这些数字特征能够为我们提供有关数据的重要信息，帮助我们做出更明智的决策。

一、平均数平均数是最常见的数据特征之一。

它表示一组数据的平均水平。

计算平均数的方法很简单，就是将所有数据相加，然后除以数据的个数。

例如，有一组数据：10，20，30，40，50。

那么这组数据的平均数就是：（10 ＋ 20 ＋ 30 ＋ 40 ＋ 50）÷ 5 ＝ 30平均数在很多情况下都非常有用。

比如，在评估学生的考试成绩时，我们可以计算班级的平均分数来了解整体的学习水平；在计算工人的平均工资时，可以了解员工的收入状况。

然而，平均数也有其局限性。

如果数据中存在极端值（极大值或极小值），那么平均数可能会被扭曲。

例如，一个班级里大多数学生的成绩都在 70 分到 90 分之间，但有一个学生考了 20 分，这会拉低班级的平均成绩，导致平均数不能准确反映大多数学生的真实水平。

二、中位数中位数是将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列后，位于中间位置的数值。

如果数据个数是奇数，那么中位数就是中间的那个数；如果数据个数是偶数，中位数则是中间两个数的平均值。

还是以上面那组数据为例：10，20，30，40，50。

将其从小到大排列为：10，20，30，40，50。

因为数据个数是 5，为奇数，所以中位数就是 30。

如果数据变为：10，20，30，40，50，60。

那么从小到大排列为：10，20，30，40，50，60。

数据个数是 6，为偶数，中位数就是（30＋ 40）÷ 2 ＝ 35中位数的优点在于它不受极端值的影响。

在前面提到的班级成绩例子中，如果存在极端低分，中位数可能更能反映班级成绩的中等水平。

三、众数众数是一组数据中出现次数最多的数值。

数字特征知识点总结数字特征的基本概念数字特征是数据集中的一种统计量，用来描述和量化数据的属性和特性。

它们通常使用在描述性统计和数据分析中，可以帮助我们更好地理解数据的分布、中心趋势、离散程度和相关性等方面。

常见的数字特征包括均值、中位数、标准差、最大值、最小值、四分位数等。

这些数字特征可以直观地反映数据集的特征和规律，帮助我们进行深入的数据分析和挖掘。

常见的数字特征1. 均值（Mean）：均值是一个数据集中所有数值的平均值，它可以反映数据的集中趋势。

均值的计算方法是将所有数值相加，然后除以数据集的大小。

2. 中位数（Median）：中位数是数据集中所有数值按大小排列后的中间值，它可以反映数据的中间位置。

如果数据集的大小为奇数，则中位数为中间的数值；如果数据集的大小为偶数，则中位数为中间两个数值的平均值。

3. 众数（Mode）：众数是数据集中出现次数最多的数值，它可以反映数据的集中趋势。

一个数据集可能有一个众数，也可能有多个众数。

4. 标准差（Standard Deviation）：标准差是数据集中所有数值与均值之间的差异程度的一种度量，它可以反映数据的离散程度。

标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。

5. 最大值（Maximum）和最小值（Minimum）：最大值是数据集中的最大数值，最小值是数据集中的最小数值。

6. 四分位数（Quartiles）：四分位数是将数据集按大小分成四等份后的三个分割点，分别是上四分位数、中位数和下四分位数。

它们可以帮助我们了解数据的分布情况和中位数的位置。

以上是常见的数字特征，它们可以帮助我们更全面地了解和描述数据集的特性和属性。

在接下来的部分，我们将介绍数字特征的计算方法和应用场景。

数字特征的计算方法计算数字特征的方法根据不同的特征有所不同，这里我们将介绍常见数字特征的计算方法。

1. 均值的计算方法：均值的计算方法是将所有数值相加，然后除以数据集的大小。

数字特征总结数字特征是指数据集中的数字变量或特征。

在数据分析和机器学习中，数字特征提供了对数据的量化描述，帮助我们理解数据的分布、趋势和关系。

本文将总结数字特征的常见统计量、分布和常见处理方法。

常见统计量均值（Mean）均值是一组数据的平均值，是最常用的统计量之一。

计算均值的公式如下：mean = (x1 + x2 + ... + xn) / n其中，x1, x2, …, xn 为给定的数据，n 为数据的个数。

中位数（Median）中位数是将一组数据从小到大排列后，位于中间位置的数值。

如果数据个数为奇数，则中位数为排序后的中间值；如果数据个数为偶数，则中位数为排序后中间两个数的平均值。

众数（Mode）众数是一组数据中出现次数最多的数值。

一个数据集可能存在多个众数，也可能没有众数。

方差（Variance）方差是一组数据与均值之间的差异程度的度量。

方差越大，数据分散度越大；方差越小，数据分散度越小。

计算方差的公式如下：variance = ((x1 - mean)^2 + (x2 - mean)^2 + ... + (xn - mean)^2) / n 其中，x1, x2, …, xn 为给定的数据，mean 为数据的均值，n 为数据的个数。

标准差（Standard Deviation）标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。

标准差越大，数据越分散；标准差越小，数据越聚集。

计算标准差的公式如下：standard deviation = sqrt(variance)其中，variance 为数据的方差。

常见分布正态分布（Normal Distribution）正态分布是最常见的概率分布之一，具有钟形曲线的形状。

在正态分布中，均值、中位数和众数相等，分布呈对称性。

偏态分布（Skewed Distribution）偏态分布是指分布曲线不对称的概率分布。

正偏态分布的分布曲线右侧较长，左侧较短；负偏态分布的分布曲线左侧较长，右侧较短。

5.1.2 数据的数字特征【导学聚焦】【问题导学】预习教材内容，思考以下问题： 1．数据的数字特征主要有哪些？ 2．实际问题是如何用数字特征刻画的？ 3．方差与标准差有什么关系？【新知初探】1．最值一组数据的最值指的是其中的 与 ，最值反应的是这组数最 的情况．一般地，最大值用 表示，最小值用 表示． 2．平均数(1) x －＝1n (x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )＝ ；其中符号“∑”表示 ，读作“西格玛”. (2)求和符号的性质： ①∑i ＝1n(x i ＋y i ) ＝ ；②∑i ＝1n( kx i ) ＝ ；③∑i ＝1nt ＝ ；④1n ∑i ＝1n(ax i ＋b )＝ ． 3．中位数、百分位数(1)如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称 为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数．(2)设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，x3，…，x n，计算的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数．特别地，规定：0分位数是(即最小值)，100%分位数是(即最大值)．4．众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的，出现次数最多的数据称为这组数据的．5．极差、方差与标准差(1)极差：一组数的极差指的是这组数的减去所得的差．(2)方差：s2＝．(3)如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的方差为；(4)方差的算术平方根为．标准差描述了数据相对于平均数的．【自我检测】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)中位数是一组数据中间的数．()(2)众数是一组数据中出现次数最多的数．()(3)一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．()奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为()A．减少计算量B．避免故障C．剔除异常值D．活跃赛场气氛已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________，25%分位数为________．样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．【探究互动】探究点一利用概念求平均数、中位数、众数【例1】某电冰箱专卖店出售容积为182 L、185 L、228 L、268 L四种型号的同一品牌的冰箱，每出售一台，售货员就做一个记录，月底得到一组由15个268，66个228，18个185和11个182组成的数据．(1)这组数据的平均数有实际意义吗？(2)这组数据的中位数、众数分别是多少？(3)专卖店总经理关心的是中位数还是众数？【规律方法】一组数据中出现次数最多的数据是众数，它是我们关心的一种集中趋势，通常选择众数进行决策．【跟踪训练】若数据3.2，3.4，3.2，x，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________．探究点二利用三数——平均数、众数、中位数解决问题【例2】某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．【规律方法】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用．【跟踪训练】小王数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10%、30%、60%量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少？探究点三极差、方差与标准差【例3】某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩(单位：环)相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业)．甲、乙两人射箭成绩统计表(1)a＝________；x－乙＝________；(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；(3)①观察图，可看出________的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”)．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断．②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．【规律方法】此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a的值进而利用方差的意义比较稳定性即可．【跟踪训练】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)：(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．【达标反馈】1．已知一组数据2，1，x ，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是( ) A ．2 B ．2.5 C ．3D ．52．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13，那么另一组数据3x 1－2，3x 2－2，3x 3－2，3x 4－2，3x 5－2的平均数和方差分别为( ) A ．2，13B ．2，1C ．4，23D ．4，33．样本101，98，102，100，99的标准差为( ) A. 2 B ．0 C ．1 D ．24. i ＝15（2i －1）＝ .5．甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13，乙所得环数如下：2，5，6，9，8，则成绩比较稳定的是________．【参考答案】【新知初探】1．最值 最大值 最小值 极端 max min2．平均数 (1) 1n ∑i ＝1nx i ＝nt求和(2) ①∑i ＝1nx i ＋∑i ＝1ny i②k ∑i ＝1nx i③nt ④a x －＋b3．中位数、百分位数 (1) x n ＋1 x n ＋x n ＋12 (2)i ＝np %xi 0x i ＋x i ＋12x 1x n4．众数 频数众数 5．极差、方差与标准差 (1)最大值最小值(2) 1n ∑i ＝1n (x i －x －)2(3) a 2s 2 (4)标准差离散程度【自我检测】答案：(1)× (2)√ (3)√解析：选C.因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平． 答案：6 5解析：由题意知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1.所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：2【探究互动】探究点一 利用概念求平均数、中位数、众数 【例1】【解】 (1)这组数据的平均数没有实际意义，对专卖店经营没有任何参考价值． (2)这组数据共有110个，中位数为228，众数为228.(3)专卖店总经理最关心的是众数，众数是228，说明容积为228 L 型号的冰箱销售量最大，它能为专卖店带来较多的利润，所以这种型号的冰箱要多进些． 【跟踪训练】解析：由题意x ＋3.42＝3.5，x ＝3.6，所以众数是3.2，平均数是16(3.2＋3.4＋3.2＋3.6＋3.9＋3.7)＝3.5. 答案：3.2 3.5探究点二 利用三数——平均数、众数、中位数解决问题 【例2】【解】 (1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73， 乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72， 丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74， 所以候选人丙将被录用．(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3， 乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2， 丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8， 所以候选人甲将被录用． 【跟踪训练】解：小王平时测试的平均成绩x －＝89＋78＋853＝84(分)．所以84×10%＋90×30%＋87×60%10%＋30%＋60%＝87.6(分)．所以小王该学期的总评成绩应该为87.6分． 探究点三 极差、方差与标准差 【例3】【解】 (1)由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30， 则a ＝30－7－7－5－7＝4，x －乙＝30÷5＝6，故答案为：4，6； (2)如图所示：(3)①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，故答案为：乙； s 2乙＝15[(7－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2]＝1.6， 由于s 2乙＜s 2甲，所以上述判断正确．②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中． 【跟踪训练】解：(1) x －甲＝18(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，x －乙＝18(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分)．甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分． (2)由(1)知x －甲＝x －乙＝85分，所以s 2甲＝18[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5， s 2乙＝18[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41. ①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同； ②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为x －甲＝x －乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲的成绩较稳定；④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力． 综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．【达标反馈】1．解析：选B.由众数的意义可知x ＝2，然后按照从小到大的顺序排列这组数据，则中位数应为2＋32＝2.5.2．答案：D3．解析：选A.样本平均数x －＝100，方差为s 2＝2， 所以标准差s ＝2，故选A.4. 解析： i ＝15(2i －1)＝1＋3＋5＋7＋9＝25.答案：255．解析：由题意知x －乙＝6，s 2乙＝6<s 2甲，则乙的成绩比较稳定． 答案：乙。

教案《数据的数字特征》一、教学目标：1. 理解数据的数字特征的概念和意义。

2. 学会计算数据的众数、平均数、中位数、方差等数字特征。

3. 能够运用数字特征对数据进行分析和解释。

二、教学内容：1. 数据的数字特征的定义和意义。

2. 众数的计算方法和应用。

3. 平均数的计算方法和应用。

4. 中位数的计算方法和应用。

5. 方差的计算方法和应用。

三、教学过程：1. 导入：通过实例引入数据的数字特征的概念，激发学生的兴趣。

2. 众数：讲解众数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握众数的计算和应用。

3. 平均数：讲解平均数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握平均数的计算和应用。

4. 中位数：讲解中位数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握中位数的计算和应用。

5. 方差：讲解方差的定义和计算方法，通过例题让学生掌握方差的计算和应用。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解数据的数字特征的概念和计算方法。

2. 例题解析法：通过例题让学生理解和掌握数据的数字特征的计算和应用。

3. 练习法：通过练习题让学生巩固和加深对数据的数字特征的理解和应用。

五、教学评价：1. 课堂问答：通过提问了解学生对数据的数字特征的概念和计算方法的掌握情况。

2. 练习题：通过练习题的完成情况了解学生对数据的数字特征的计算和应用的能力。

3. 课后作业：通过课后作业的完成情况了解学生对数据的数字特征的理解和应用的情况。

六、教学资源：1. 教学PPT：用于展示数据的数字特征的概念和计算方法。

2. 练习题库：用于巩固学生的学习和检测学生的掌握情况。

3. 数据分析软件：用于展示数据的数字特征在实际应用中的效果。

七、教学环境：1. 教室：提供宽敞的学习空间和舒适的学习环境。

2. 计算机：用于展示PPT和数据分析软件。

3. 投影仪：用于展示PPT和数据分析软件。

八、教学拓展：1. 数据的数字特征在实际应用中的案例分析。

2. 数据的数字特征在其他学科中的应用。

3. 数据的数字特征的进一步研究和发展。

数据的数字特征教案一、教学目标1. 让学生理解数据的数字特征的概念。

2. 让学生学会计算数据的众数、中位数、平均数、方差和标准差。

3. 培养学生运用数字特征分析数据的能力，提高数据处理和解决问题的能力。

二、教学内容1. 众数：一组数据中出现次数最多的数。

2. 中位数：将一组数据从小到大排列，位于中间位置的数。

3. 平均数：一组数据的总和除以数据的个数。

4. 方差：衡量一组数据波动大小的量。

5. 标准差：方差的平方根，衡量一组数据离散程度的量。

三、教学重点与难点1. 教学重点：众数、中位数、平均数、方差和标准差的计算方法及其应用。

2. 教学难点：方差和标准差的计算方法，以及如何运用数字特征分析数据。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究问题来学习数据的数字特征。

2. 利用实例和练习题，让学生动手计算和分析数据，提高实际操作能力。

3. 采用小组讨论和汇报的形式，培养学生的合作意识和沟通能力。

五、教学过程1. 导入：通过一个现实生活中的问题，引出数据的数字特征的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解：讲解众数、中位数、平均数、方差和标准差的定义和计算方法。

3. 练习：让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。

4. 案例分析：给出一个实际案例，让学生运用数字特征分析数据，解决问题。

6. 作业布置：布置一些有关数据的数字特征的练习题，让学生课后巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习题，评估学生对数据的数字特征的理解和应用能力。

2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生的合作意识和沟通能力。

3. 案例分析报告：评估学生在案例分析中的分析能力和解决问题的能力。

七、教学拓展1. 介绍其他数据的数字特征，如极值、范围、四分位数等。

2. 介绍方差和标准差的计算公式及其推导过程。

3. 探讨数据的数字特征在实际应用中的重要性，如统计学、经济学、生物学等领域。

八、教学资源1. 教案、PPT和教学素材。

数据的数字特征教案一、教学目标1. 让学生理解众数、平均数、中位数、方差等基本概念。

2. 培养学生运用数字特征分析数据的能力。

3. 引导学生通过实际问题，感受数字特征在生活中的应用。

二、教学内容1. 众数的定义及其求法。

2. 平均数的定义及其求法。

3. 中位数的定义及其求法。

4. 方差的定义及其求法。

5. 数字特征在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：众数、平均数、中位数、方差的定义及其求法。

2. 教学难点：方差的计算及其实际应用。

四、教学方法1. 采用讲解法，讲解众数、平均数、中位数、方差的定义及其求法。

2. 采用案例分析法，分析数字特征在实际问题中的应用。

3. 采用小组讨论法，让学生分组讨论，培养学生的合作能力。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引出数据的数字特征这一概念。

2. 讲解：讲解众数、平均数、中位数、方差的定义及其求法。

3. 案例分析：分析数字特征在实际问题中的应用，如统计考试成绩、分析商品销售数据等。

4. 小组讨论：让学生分组讨论，运用所学知识分析数据。

6. 作业布置：布置练习题，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对众数、平均数、中位数、方差概念的理解。

2. 练习题：布置相关的练习题，让学生独立完成，检验学生对知识点的掌握程度。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和分析问题的能力。

七、教学拓展1. 引入更多类型的数据特征，如标准差、离差等。

2. 探讨数字特征在实际领域中的应用，如经济学、生物学等。

八、教学资源1. 教材：《数学统计基础》、《数据分析与应用》等。

2. 网络资源：相关在线教程、视频讲解等。

3. 实际案例数据：收集各类实际数据，用于案例分析。

九、教学建议1. 注重学生的基础知识培养，加强对众数、平均数、中位数、方差概念的理解。

2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的分析问题和解决问题的能力。

3. 布置多样化的作业，让学生在实践中巩固知识。

5．1.2 数据的数字特征学习目标 1.理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释．知识点一 最值、平均数、中位数、百分位数、众数1．一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max 表示，最小值用min 表示． 2．平均数如果给定的一组数是x 1，x 2，…，x n ，则这组数的平均数为x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn ，简记为x ＝1n i ＝1nx i . 如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，且a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x ＋b . 3．中位数如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称x n ＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n ＋x n ＋12为这组数的中位数． 4．百分位数设一组数按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x n ，计算i ＝np %的值，如果i 不是整数，设i 0为大于i 的最小整数，取xi 0为p %分位数；如果i 是整数，取x i ＋x i ＋12为p %分位数．特别地，规定：0分位数是x 1(即最小值)，100%分位数是x n (即最大值)． 5．众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个． 知识点二 极差、方差与标准差 1．极差一组数据中最大值减去最小值所得的差称为这组数据的极差．2．方差如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则方差可用求和符号表示为s 2＝1n ∑i ＝1n(x i －x )2.此时，如果a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2. 3．标准差方差的算术平方根称为标准差．标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，一般用s 表示． s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].1．中位数是一组数据中间的数．( × ) 2．众数是一组数据中出现次数最多的数．( √ )3．一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．( √ ) 4．一组数据10,11,9,8,6,12,4的25%分位数是6.( √ )一、利用概念求平均数、中位数、百分位数、众数 例1 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数分别为 甲：18 19 20 20 21 22 23 31 31 35 乙：11 17 19 21 22 24 24 30 30 32则这10天甲的日加工零件的平均数为________；乙的日加工零件的众数与中位数分别为________和________． 答案 24 24与30 23解析 甲每天加工零件的个数分别为18,19,20,20,21,22,23,31,31,35， 所求平均数为x 甲＝110×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.乙每天加工零件的个数分别为11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，故众数为24与30. 中位数为12×(22＋24)＝23.反思感悟 平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．跟踪训练1 十名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( ) A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >c >a答案 B解析 从小到大排列此数据为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17. 平均数为110(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7；数据17出现了三次，17为众数；在第5位、第6位均是15，故15为中位数．所以这组数据的平均数是14.7，中位数是15，众数是17. 二、极差、方差、标准差的计算及应用例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 mm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解 (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s 2甲>s 2乙， 所以乙机床加工零件的质量更稳定． 延伸探究在本例中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？解 甲的数据为99＋10,100＋10,98＋10,100＋10,100＋10,103＋10，平均数为100＋10＝110， 方差为16[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝73. 反思感悟 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定．跟踪训练2某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：甲组：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；乙组：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；(2)哪一组的成绩较稳定？解(1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，平均分为x甲＝110×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，方差为s2甲＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，标准差为s甲＝s2甲＝119≈10.91(分)．乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，平均分为x乙＝110×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，方差为s2乙＝110×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，标准差为s乙＝s2乙＝75.25≈8.67(分)．(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定．从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定．1．2019年某高一学生下学期政治考试成绩为79798484868487909097则该生政治考试成绩的平均数和众数依次为()A．8584 B．8485C．8684 D．8486答案 C解析由题意可知，平均数x＝79＋79＋84＋84＋86＋84＋87＋90＋90＋9710＝86，众数为84.2．某地铁运行过程中，10个车站上车的人数统计如下：70,60,60,50,60,40,40,30,30,10，则这组数据的众数、极差的和为()A ．120B ．165C ．160D ．150 答案 A解析 这组数据的众数是60，极差为70－10＝60，它们的和为120. 3．计算∑i ＝13(2i ＋1)等于( )A ．6B ．9C ．10D ．15 答案 D解析 ∑i ＝13(2i ＋1)＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋(2×3＋1)＝3＋5＋7＝15.4．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：甲 乙 丙 丁 平均成绩x 8.5 8.8 8.8 8 方差s 23.53.52.18.7则应派________参赛最为合适． 答案 丙解析 由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．5．样本中共有5个个体，其值分别为a ,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为________． 答案 2解析 由题意知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1.所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.1．知识清单：(1)数据的数字特征的计算方法． (2)数据的数字特征的应用． 2．常见误区：(1)数据同时增加或减少相同的数，平均数变化，方差不变． (2)方差、标准差的计算．。

数字特征的知识点总结一、数字特征的定义和基本概念1. 数字特征的定义：数字特征是对事物、数据或者模式的某种属性或特征进行数字化的描述。

它可以是一个数值、一个统计量、一个概率分布、一个向量等，用来表示事物的某些属性、状态、规律等。

2. 数字特征的基本概念：数字特征包括数据的描述性统计量、数据的分布特征、数据的频域特征、数据的空域特征等。

它可以用来描述数据的集中趋势、离散程度、分布形态、相关性、周期性等。

3. 数字特征的作用：数字特征可以用来度量数据的不同属性和特征，帮助人们理解事物的规律和特点，进行数据的分析、聚类、分类、回归、识别等。

二、数字特征的常用描述性统计量1. 均值：均值是一组数据的平均值，用来表示数据的集中趋势。

2. 中位数：中位数是一组数据的中间值，用来表示数据的分布特征。

3. 众数：众数是一组数据中出现次数最多的数值，用来表示数据的分布特征。

4. 标准差：标准差是一组数据的离散程度的度量，用来表示数据的离散程度。

5. 方差：方差是一组数据的离散程度的度量，用来表示数据的离散程度。

6. 偏度：偏度是一组数据的分布形态的度量，用来表示数据的分布形态。

7. 峰度：峰度是一组数据的分布形态的度量，用来表示数据的分布形态。

三、数字特征的常用分布特征1. 正态分布特征：正态分布是一种对称的分布形态，具有单峰性、对称性、均值等于中位数等特点。

2. 偏态分布特征：偏态分布是一种不对称的分布形态，具有偏度大于零或者小于零的特点。

3. 峰态分布特征：峰态分布是一种尖峰或者扁峰的分布形态，具有峰度大于零或者小于零的特点。

4. 均匀分布特征：均匀分布是一种等概率分布形态，具有概率密度在一段区间内等概率分布的特点。

四、数字特征的常用频域特征1. 傅立叶变换特征：傅立叶变换是一种把时域信号转换成频域信号的变换方法，用来表示信号的频域特征。

2. 离散傅立叶变换特征：离散傅立叶变换是一种把离散信号转换成频域信号的变换方法，用来表示信号的频域特征。