ds4-4山东建筑大学线性代数课件
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山东大学本科线性代数作业卷答案-2页数:3
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山东大学专升本网络教育《线性代数》模拟题及答案页数:11
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山东大学《线性代数》课件03线性方程组
Imn 0 0 1 br1 br(nr)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
显然：A I 行最简形
1 A 2
2 3
1
1
1 0
2 1
1 3
1 0
2 1
1 3
4 7 1 r2 2r1 0 1 3
0
0
0
1 0 5 1 0 5 0 1 3 0 1 3
1,2是解向量，则 1 2也是解向量。
性质2： 是解向量，则 k也是解向量。
令 V A O
则V 构成一个向量空间。
称为方程组 的解空间。
若齐次线性方程组的解空间存在一组基 1,2 ,,s , 则方程组的全 部解就是 k11 k22 kss , 这称为方程组的通解。
由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。
x2
b21xr 1
b2(nr) xn
0
真未知量
xr br1xr 1 br(nr) xn 0
xr1, xr2 ,, xn
自由未知量
x1
x2
(b11xr 1 (b21xr 1
br(nr) xn ) b2(nr) xn )
x1,
x2
,,
xr
由自由未知量
xr 1, xr 2 ,, xn 惟一确定
3 0
xx1235xx33
2 1 1 3 0 0
x3 1,
x1 5 x2 3
基础解系为 (5,3,1)T 通解为 k k(5,3,1)T
步骤： (1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得 到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；
4-1,2山东建筑大学线性代数课件
∴向量组 A 线性相关，
22
（3）m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n小于向量个数 m 时一定线性相关.
若向量组 A 线性 无关，则向量组 B也线性无关；
若向量组 B线性相关， 则向量组 A 也线性相关.
证 若向量组 B 线性相关，∴存在不全为零的数 k1 , k2 ,, km , 使
k1b1 k2b2 kmbm 0
即
k1a1 k2a2 kmam 0
且 k1ar 1,1 k2ar 1,2 kmar 1,m 0
(a1
,
a
2
,,
am
)
k2
j
,
kmj
从而
k11
(b1
,
b2
,,
bs
)
(a1
,
a2
,,
am
)
k21
k12
k22
k1s
k2s
.
km1 km2 kms
矩阵 Kms (kij ) 称为这一线性表示的系数矩阵.
8
向量组 B:b1,b2 , ,bl , 能由向量组 A : a1, a2 ,, am , 线性表示
给定向量组 A : a1, a2 ,, am , 和向量 b, 如果存在一组数
1, 2 ,, m , 使 b 1a1 2a2 mam ,
则称向量 b 是向量组 A 的线性组合, 这时称 向量 b 能由向量组 A 线性表示.
也就是方程组 x1a1 x2a2 xmam b 有解.
6
定理1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充分必要条件是矩阵
2
在点空间取定 坐标系以后, 空间中的点 P( x, y, z)与3维向量 r (x, y, z)T 之间有一一对应的关系, 因此, 向量空间可以类比为 取定了坐标系的点空间.
ds4-4对称矩阵的对角化 山东建筑大学
0
1
2
1 2
0
1 2
7
P不唯一
此例中对应于2 3 4 ，若求得方程 A 4Ex 0得基础解系
1
1 1,
1
2 1 .
则首先需要把它们规范正交化：
1
1
取 1 1,
2
2
1, 2 1 , 1
1
1 1 1
1 3
1 1 1
2 3
2 1 1
.
再单位化，即得 p2
1 2
于是
1 1, 2 3
1 0
0 3
,
n
1 0
0 3n
对于 1 1,
A
E
1 1
11
1 0
01,
得 1 11,
9
对于
1
3,
A 3E
1 1
11
10
1 0
,
得2 11,
1 1
P (1,2 ) 1 1,
P 1
1 2
1 1
11
An
Pn P 1
1 2
11
1110
0 3n
1 1
2
3
4
时，A 4E
0
1
1
0 1 1
0 0
1 0
01, x3 x2
0 0 0
得基础解系
2
1 0.
0
3 1,
基础解系中两向量恰好正交，
0
1
单位化即得两单位正交的特征向量
于是得正交矩阵
0
1 p2 0. 0
1 0
0
1
p3
பைடு நூலகம்
线性代数PPT全集
a31 a32 b3
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
则三元线性方程组的解为:
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23 ,
Pn = n (n–1) (n–2) ··· 2 1 = n!
二、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序. 以 n 个不同的自然数为例, 规定由小到大 为标准次序.
定义: 在一个排列 i1 i2 ···is ···it ···in 中, 若数 is>it, 则称这两个数组成一个逆序.
它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上 既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁 琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加 强这些方面的训练。
第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换
及线性方程组
第四章 向量组的线性相关性
第五章 相似矩阵及二次型
基础 基本内容
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
的系数行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
(2)a12:
a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,
两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;
线性代数第一章ppt
线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
线性代数完整版ppt课件
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
线性代数知识点全面总结PPT课件
量 组 的
维 向 量 线性相关
判定 概念 判定
充要条件
线
概念
充分条件
性 相
线性无关
判定
充要条件 充分条件
关 性
概念
向
极大无关组 求法
量
概念
空
向量空间的基
间
线 Ax = b
解
有解判定R(A)≠R(B)无解 的
性 方 程 组
初行变换等阶梯形
R(A)=R(B)有解 结
构
R(A)=n仅有零解 基
Ax = 0
2、矩阵的乘法
(1)(AB)C = A ( BC ) ;
(2) A ( B + C ) =
(3) (kA)(lB) = (kl)AB;
(4) AO =OA = O.
3、矩阵的转置
(1)(AT)T = A; (3)(kA)T =kAT;
(2) (A+B)T = AT+BT; (4) (AB)T = BTAT.
A
A12
A22
An1
An2
A1n A2n
Ann
概 如果AB=BA=E,则A可逆， 念 B是A的逆矩阵.
用定义
逆 矩求
用伴随矩阵 A1 1 A
A
阵
法
分块对 A
角矩阵
0
0 1 A1
B
0
0 0
B1
B
A1 0
0
A1
B1
0
|A| ≠ 0 , A
证 法
可|A逆| =.0 , A不可 逆AB .= E , A与B互逆.
总 有 解R(A)<n有非零解
A+B = ( aij + biAj与) B同型
线性代数-山大全套课件
几种特殊的矩阵
1. 行矩阵； 2. 列矩阵； 3. 零矩阵； 4. n阶方阵； 5. 三角矩阵； 6. 对角矩阵（Diagonal Matrix）； 7. 单位矩阵（Identity Matrix）.
矩阵相等
如果两个矩阵A，B有相同的行数和相同的列数，并 且对应位置的元均相等，则称矩阵A与矩阵B相等， 记为A＝B
k 1
n
矩阵乘法的运算律
A( BC) ( AB)C ( A B)C AC BC A( B C ) AB AC k ( AB) (kA) B A(kB) 注意：两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵。因此
由AB＝0不能推出A＝0或B＝0 由AB＝AC且A为非零矩阵不能推出B＝C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0, BA 0 0 0 AB A 0 0 1 , B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
a11 A a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a11 a12 a13 a14 A11 A12 A11 A12 a , a24 a23 a24 a22 A 21 A 22 21 A21 a31 a32 A22 a33 a34 a34
1.1 矩阵及其运算
本节学习内容
1.
2. 3.
线性方程组及其矩阵表示 矩阵的基本运算及性质 逆矩阵
线性代数介绍
线性代数中的“线性”是指研究的内容是“线性关 系”，即运算方面只有加法、减法和数乘运算。 线性代数的研究对象，主要是接下来将要学习的矩阵。
ds4-3 相似矩阵 山东建筑大学
定理 3 n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是对应于的每个 特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该 特征值的重数。
8
例4-22设
A
0 1
0 1
1 x,
问x为何值时，矩阵A能对角化？
1
0
0
0 1
解 A E 1 1 x 12 1
1 0
1 1, 2 3 1
对单根1 1, 可求得1个线性无关的特征向量. 故矩阵A可对角化需对应重根2 3 1有2个线性无关的特征向量.
同，从而 A 与 B 的特征值也相同.
证 ∵ A 与 B 相似，∴有可逆矩阵 P， 使 P 1 AP B,
∴ B E P 1 AP P 1EP P 1A E P
P 1 A E P A E
2
1
推论
1
若
n
阶矩阵AΒιβλιοθήκη 与对角矩阵2相似
n
则 1, 2 ,, n 即是 A 的 n 个特征值.
4
例4-18
设
A
3 5
11,
4 0
02
验证存在可逆矩阵P 11
-15，
使得A与相似, 并求A10.
证明
5
由P可逆，且P1
6 1
6
1
6 1
6
，则
5 1
P
1
A
P
6 1
6
6 1
6
3 5
故A与相似。A10 P10
1111
P1 11
1 -5
4 0
1 -5
410 0
02
0 210
5
6 1
复习
1. 如何求一个 n 阶方阵 A 的特征值、特征向量？
8
例4-22设
A
0 1
0 1
1 x,
问x为何值时，矩阵A能对角化？
1
0
0
0 1
解 A E 1 1 x 12 1
1 0
1 1, 2 3 1
对单根1 1, 可求得1个线性无关的特征向量. 故矩阵A可对角化需对应重根2 3 1有2个线性无关的特征向量.
同，从而 A 与 B 的特征值也相同.
证 ∵ A 与 B 相似，∴有可逆矩阵 P， 使 P 1 AP B,
∴ B E P 1 AP P 1EP P 1A E P
P 1 A E P A E
2
1
推论
1
若
n
阶矩阵AΒιβλιοθήκη 与对角矩阵2相似
n
则 1, 2 ,, n 即是 A 的 n 个特征值.
4
例4-18
设
A
3 5
11,
4 0
02
验证存在可逆矩阵P 11
-15，
使得A与相似, 并求A10.
证明
5
由P可逆，且P1
6 1
6
1
6 1
6
，则
5 1
P
1
A
P
6 1
6
6 1
6
3 5
故A与相似。A10 P10
1111
P1 11
1 -5
4 0
1 -5
410 0
02
0 210
5
6 1
复习
1. 如何求一个 n 阶方阵 A 的特征值、特征向量？
线代第一章-线性代数 山东建筑大学
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
a11 a21 an1
DT
a12
a22
an2
a1n a2n ann
转置行列式
性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D DT
6
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
例：
3 4 7 r1 r2 135
xi x j ni j1
数学归纳法
证毕
29
例6
a n (a 1)n (a n)n
a n1 (a 1)n1 (a n)n1
Dn1
a
a 1 a n
1
1
1
(a i) (a j) (i j)
1
n(n1) a (1) 2
a n1 an
1
a 1 (a 1)n1 (a 1)n
0 16 2 7
0 0 10 15
0 0 8 10
00 0 5 2
40 [注]：计算数字行列式，一个重要的方法就是将其
化为上（下）三角形行列式。
14
3111
例2： 计算 D 1 3 1 1
1131 1113
6666
解: D r1 r2 r3 r4 1 3 1 1
1131 1113
1111
an1 an2 ann
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
an1 an2 ann
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain 23
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② 由性质1，2可知，最大无关组 S0 的任何线性组合
x k11 k22 ktt
都是方程(2)的解，因此它是方程(2)的通解。 齐次线性方程组解集的最大线性无关组称为该方程组的基础解系.
15
求基础解系
设系数矩阵A 的秩为r,并不妨设A 的前r个列向量线性无关,
1
0
b11
b1, n r
x1
b11
b12
b1,nr
xr
br
1
br
2
br
,nr
xr1 c1 1 c2 0 cnr 0
xr
2
0
1
0
xn
0
0
1
把上式记作: x c11 c22 cnr nr
17
可知，解集中任一向量x都能由1 ,2 ,nr 线性表示 又因为矩阵(1 ,2 , ,nr )中有n-r阶子式 Enr 0 故 R(1 ,2 ,nr ) n r ξ 1,ξ 2 ,,ξ nr 线性无关. 根据最大无关组的等价定义,可知1 ,2 , ,nr是解集的最大 无关组。即1 ,2 , ,nr 是方程组（1）的基础解系。
即两向量组能相互线性表示, 故 s r , r s 同时成立,
故s=r.
7
推论2 设 Cmn Ams Bsn，则 R(C)≤R(A), R(C)≤R(B).
证 设矩阵 C 和 A 用其列向量表示为 C (c1,c2 ,,cn ),
A (a1 , a2 ,, as ), 而 B (bij )sn , 由
4 3
5
,
AX B, X ?
A | B初 等行变换
EEr
O
|
CC
O
X C.
对矩阵 a1, a2 , b1, b2 实行初等行变换变为最简形矩阵
2 3 5 4
a1
,
a2
,
b1
,
b2
0 1 3
2 1
1
6 5
9
4
3 5
r1 r3
r3 2r1 r4 3r1
1 1 5 3
0 2 6 4
又如，向量空间 V x 0, x2,, xn T | x2,, xn R
的一个基可取为：e2 0,1,0,,0T ,e3 0,0,1,0,,0T , , en 0,0,,0,1T ,
并由此可知它是一个 n-1 维向量空间.
再如，由向量组 a1, a2 ,, am 所生成的向量空间
V x 1a1 2a2 mam | 1, 2 ,, m R ,
复习
1.向量组的秩及其最大无关组的定义 2. 向量组的秩及其最大无关组的求法 3.最大无关组的等价定义 4.封闭向量空间的定义 封闭：设 V 是一个集合，若 a,b V, R, 则 a b V；b V, 则称 V 对于加法及乘数运算是封闭的. 定义6 设 V 为 n 维非空 向量集合，且集合 V 对于加法及乘数 两种运算封闭，则称集合 V 为向量空间.
所以向量组a1, a2 与 b1, b2 等价.
证二 显然 a1, a2线性无关，b1,b2 也线性无关.
2 3 5 4
而
a1
,
a2
,
b1
,
b2
0 1 3
2 1
1
6 5
9
4 35
1 1 5 3
0 1 3 2
0 0
0 0
0 0
0 0
知 Ra1, a2 , b1, b2 = 2. 因此 a1, a2 与 b1, b2 都是向量组a1, a2 , b1, b2的最大
示为 V x 1a1 2a2 rar | 1,2,,r R .
3
2 2 1
例13.
设
A
a1 , a2 , a3
2
1
2 ,
1 2 2
1 4 B 0 3,
4 2
验证a1, a2 , a3 是 R3 的一个基，并把b1,b2 用这个基线性表示.
解 要证a1, a2 , a3 是 R3 的一个基， 只须证 a1, a2 , a3 线性无关.
即只须证 A ~ E.
2 2 1
A B 2 1 2
1 4 r1 r3 1 2 0 3 r2 2r1 20 13
2 4 2 26 08 37
1 2 2 4 2 r3 2r1 20 26 13 17 48
r1 1 1
0 r3 2r2 0
2 3 0
2 6
9
4 8
1 5 10
1 4 8
~ ~ 1
r3
2r2
0
0
1 7 0
1 5 0
1 4 0
r2 (7)
r1 r2
1
0
0
0
1 0
2 7
5 7 0
3
7
4 7
0
21
便得
x1
x2
2
7 5
7
x3 x3
3
7 4
7
x4 x4
()
令
x3 x4
1 0
及
0 1
,
则对应有
x1 x2
b11
(c1
,
c2
,,
cn
)
(a1
,
a
2
,,
a
s
)
b21
b12
b22
b1n
b2n
,
bs1 bs2 bsn
知矩阵 C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示,
因此 R(C) R( A). CT BT AT ,
由上述证明知 R(CT ) R(BT ),
即 R(C) R(B).
8
因B0组能由B组线性表示, B 组能由 A 组线性表示, A 组能由 A0组线性表示, 故B0组能由A0组线性表示,即存在系数矩阵
K sr (kij ) 使
(b1
,
b2
,
,
br
)
(a1
,a2
,
,as
)
k11
k1r
ks1 ksr
6
如果 r > s , 则方程组
K
sr
x1
0
(简记为Kx = 0)
02 30
53 12
155 69
14540
10
r2
2
1
00
r3 5r2 r4 2r2
00 0
1 5 3
12 63 42
05 02
105 06
10040
r1 1
11 0
r1 r2
0 0
01 25 13
1 3 2
0 0
0 0
0 0
X
2 3
21.
∵ |X|=1≠0, ∴X 可逆， 取 Y = X －1，
所以向量组 B 满足定义5所规定的最大无关组的条件.
9
2 3
例6
已知
a1, a2
0
1 3
2 1
1
,
5
b1
,
b2
6 5 9
证明向量组 a1, a2 与 b1, b2 等价.
证一 要证存在二阶方阵 X、Y， 使
b1, b2 a1, a2 X , a1, a2 b1, b2 Y .
4
x1
x
x2
,
xn
则(1)式可写成向量方程 Ax 0
2
(1)
13
若 x1 11, x2 21, , xn n1 为 (1) 的解,
11
则
x
ξ1
21
n1
满足方程(2)
称之为方程组(1)的解向量,它也就是向量方程(2)的解.
根据向量方程(2), 讨论解向量的性质.
性质1 若 x ξ 1, x ξ 2 为(2)的解,则 x ξ 1 ξ 2 也是(2)的解.
于是
A
的行最简形矩阵为 B
0
0
1
br1
br
,nr
,
0
0
0
与B 对应,即有方程组
x1 b11 xr1 b1
br,nr xn .
( 3)
16
把 xr1 ,, xn作为自由未知数，并令它们依次等于c1 ,cnr 可得方程组（1）的通解:
显然与向量组 a1, a2 ,, am 等价， 所以向量组 a1, a2 ,, am 的一个最大
无关组就是 V 的一个基，向量组的秩就是 V 的维数.
（3）若向量空间 V Rn , 则 V 的维数不会超过 n，并且，当
V 的维数为 n 时，V = Rn.
（4）若向量组 a1,a2 ,,ar 是向量空间 V 的一个基，则 V 可以表
xr
有非零解, 从而方程组 (a1, a2 ,, as )Kx 0 有非零解,
即 (b1, b2 ,, br )x 0 有非零解, 与 B0 组线性无关矛盾,
因此 r > s 不能成立, 所以 r s.
推论1 等价的向量组的秩相等.
证 设向量组 A 与向量组 B 的秩依次为 s 和 r, 因两向量组等价,
( 3)
依次可得
x1 b11 b12
,
,
xr br1 br2
b1,n
r
, ,
br,nr
19
合起来便得基础解系：
b11
b12
br
1
ξ1 1 ,
br
2
ξ2 0 ,
,
0
1
0
0
b1,n r
br
,nr
ξnr 0 .
注意 基础解系不是唯一的, 因此通解的表达式也不是唯一的.
x k11 k22 ktt
都是方程(2)的解，因此它是方程(2)的通解。 齐次线性方程组解集的最大线性无关组称为该方程组的基础解系.
15
求基础解系
设系数矩阵A 的秩为r,并不妨设A 的前r个列向量线性无关,
1
0
b11
b1, n r
x1
b11
b12
b1,nr
xr
br
1
br
2
br
,nr
xr1 c1 1 c2 0 cnr 0
xr
2
0
1
0
xn
0
0
1
把上式记作: x c11 c22 cnr nr
17
可知，解集中任一向量x都能由1 ,2 ,nr 线性表示 又因为矩阵(1 ,2 , ,nr )中有n-r阶子式 Enr 0 故 R(1 ,2 ,nr ) n r ξ 1,ξ 2 ,,ξ nr 线性无关. 根据最大无关组的等价定义,可知1 ,2 , ,nr是解集的最大 无关组。即1 ,2 , ,nr 是方程组（1）的基础解系。
即两向量组能相互线性表示, 故 s r , r s 同时成立,
故s=r.
7
推论2 设 Cmn Ams Bsn，则 R(C)≤R(A), R(C)≤R(B).
证 设矩阵 C 和 A 用其列向量表示为 C (c1,c2 ,,cn ),
A (a1 , a2 ,, as ), 而 B (bij )sn , 由
4 3
5
,
AX B, X ?
A | B初 等行变换
EEr
O
|
CC
O
X C.
对矩阵 a1, a2 , b1, b2 实行初等行变换变为最简形矩阵
2 3 5 4
a1
,
a2
,
b1
,
b2
0 1 3
2 1
1
6 5
9
4
3 5
r1 r3
r3 2r1 r4 3r1
1 1 5 3
0 2 6 4
又如，向量空间 V x 0, x2,, xn T | x2,, xn R
的一个基可取为：e2 0,1,0,,0T ,e3 0,0,1,0,,0T , , en 0,0,,0,1T ,
并由此可知它是一个 n-1 维向量空间.
再如，由向量组 a1, a2 ,, am 所生成的向量空间
V x 1a1 2a2 mam | 1, 2 ,, m R ,
复习
1.向量组的秩及其最大无关组的定义 2. 向量组的秩及其最大无关组的求法 3.最大无关组的等价定义 4.封闭向量空间的定义 封闭：设 V 是一个集合，若 a,b V, R, 则 a b V；b V, 则称 V 对于加法及乘数运算是封闭的. 定义6 设 V 为 n 维非空 向量集合，且集合 V 对于加法及乘数 两种运算封闭，则称集合 V 为向量空间.
所以向量组a1, a2 与 b1, b2 等价.
证二 显然 a1, a2线性无关，b1,b2 也线性无关.
2 3 5 4
而
a1
,
a2
,
b1
,
b2
0 1 3
2 1
1
6 5
9
4 35
1 1 5 3
0 1 3 2
0 0
0 0
0 0
0 0
知 Ra1, a2 , b1, b2 = 2. 因此 a1, a2 与 b1, b2 都是向量组a1, a2 , b1, b2的最大
示为 V x 1a1 2a2 rar | 1,2,,r R .
3
2 2 1
例13.
设
A
a1 , a2 , a3
2
1
2 ,
1 2 2
1 4 B 0 3,
4 2
验证a1, a2 , a3 是 R3 的一个基，并把b1,b2 用这个基线性表示.
解 要证a1, a2 , a3 是 R3 的一个基， 只须证 a1, a2 , a3 线性无关.
即只须证 A ~ E.
2 2 1
A B 2 1 2
1 4 r1 r3 1 2 0 3 r2 2r1 20 13
2 4 2 26 08 37
1 2 2 4 2 r3 2r1 20 26 13 17 48
r1 1 1
0 r3 2r2 0
2 3 0
2 6
9
4 8
1 5 10
1 4 8
~ ~ 1
r3
2r2
0
0
1 7 0
1 5 0
1 4 0
r2 (7)
r1 r2
1
0
0
0
1 0
2 7
5 7 0
3
7
4 7
0
21
便得
x1
x2
2
7 5
7
x3 x3
3
7 4
7
x4 x4
()
令
x3 x4
1 0
及
0 1
,
则对应有
x1 x2
b11
(c1
,
c2
,,
cn
)
(a1
,
a
2
,,
a
s
)
b21
b12
b22
b1n
b2n
,
bs1 bs2 bsn
知矩阵 C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示,
因此 R(C) R( A). CT BT AT ,
由上述证明知 R(CT ) R(BT ),
即 R(C) R(B).
8
因B0组能由B组线性表示, B 组能由 A 组线性表示, A 组能由 A0组线性表示, 故B0组能由A0组线性表示,即存在系数矩阵
K sr (kij ) 使
(b1
,
b2
,
,
br
)
(a1
,a2
,
,as
)
k11
k1r
ks1 ksr
6
如果 r > s , 则方程组
K
sr
x1
0
(简记为Kx = 0)
02 30
53 12
155 69
14540
10
r2
2
1
00
r3 5r2 r4 2r2
00 0
1 5 3
12 63 42
05 02
105 06
10040
r1 1
11 0
r1 r2
0 0
01 25 13
1 3 2
0 0
0 0
0 0
X
2 3
21.
∵ |X|=1≠0, ∴X 可逆， 取 Y = X －1，
所以向量组 B 满足定义5所规定的最大无关组的条件.
9
2 3
例6
已知
a1, a2
0
1 3
2 1
1
,
5
b1
,
b2
6 5 9
证明向量组 a1, a2 与 b1, b2 等价.
证一 要证存在二阶方阵 X、Y， 使
b1, b2 a1, a2 X , a1, a2 b1, b2 Y .
4
x1
x
x2
,
xn
则(1)式可写成向量方程 Ax 0
2
(1)
13
若 x1 11, x2 21, , xn n1 为 (1) 的解,
11
则
x
ξ1
21
n1
满足方程(2)
称之为方程组(1)的解向量,它也就是向量方程(2)的解.
根据向量方程(2), 讨论解向量的性质.
性质1 若 x ξ 1, x ξ 2 为(2)的解,则 x ξ 1 ξ 2 也是(2)的解.
于是
A
的行最简形矩阵为 B
0
0
1
br1
br
,nr
,
0
0
0
与B 对应,即有方程组
x1 b11 xr1 b1
br,nr xn .
( 3)
16
把 xr1 ,, xn作为自由未知数，并令它们依次等于c1 ,cnr 可得方程组（1）的通解:
显然与向量组 a1, a2 ,, am 等价， 所以向量组 a1, a2 ,, am 的一个最大
无关组就是 V 的一个基，向量组的秩就是 V 的维数.
（3）若向量空间 V Rn , 则 V 的维数不会超过 n，并且，当
V 的维数为 n 时，V = Rn.
（4）若向量组 a1,a2 ,,ar 是向量空间 V 的一个基，则 V 可以表
xr
有非零解, 从而方程组 (a1, a2 ,, as )Kx 0 有非零解,
即 (b1, b2 ,, br )x 0 有非零解, 与 B0 组线性无关矛盾,
因此 r > s 不能成立, 所以 r s.
推论1 等价的向量组的秩相等.
证 设向量组 A 与向量组 B 的秩依次为 s 和 r, 因两向量组等价,
( 3)
依次可得
x1 b11 b12
,
,
xr br1 br2
b1,n
r
, ,
br,nr
19
合起来便得基础解系：
b11
b12
br
1
ξ1 1 ,
br
2
ξ2 0 ,
,
0
1
0
0
b1,n r
br
,nr
ξnr 0 .
注意 基础解系不是唯一的, 因此通解的表达式也不是唯一的.