山大2017春季班期末考试 线性代数一(答案)

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。

（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。

（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

① n 2② 12-n③ 12+n④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

大一线性代数期末试题及答案__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _诚信应试 ,考试舞弊将带来严重结果！线性代数期末考试一试卷及答案号位座注意事项： 1.考前请将密封线内填写清楚；2.所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；线3 ．考试形式：开（闭）卷；4. 本试卷共五大题，满分100 分，考试时间 120 分钟。

题号一二三四五总分得分评卷人业一、单项选择题（每题 2 分，共 40 分）。

专1．设矩阵A为2 2矩阵, B为2 3矩阵, C为3 2矩阵，则以下矩阵运算无心义的是【】) 封题答A. BACB. ABC C .BCA D. CAB不院 2. 设 n 阶方阵 A 知足 A2内＋ E =0 ，此中 E是 n 阶单位矩阵，则必有【】学线 A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1封密1( 3. 设 A 为 n 阶方阵，且队列式det(A)= , 则 det(-2A)= 【】－2 nA. －2B.C. －2nD. 14. 设 A 为 3 阶方阵，且队列式det(A)=0 ，则在 A的行向量组中【】A. 必存在一个行向量为零向量B. 必存在两个行向量，其对应重量成比率号密学 C. 存在一个行向量，它是其他两个行向量的线性组合D. 随意一个行向量都是其他两个行向量的线性组合5．设向量组a1, a2,a3线性没关，则以下向量组中线性没关的是【】A．a1a2, a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2C. a2,2a3,2a2 a3D. a1－ a3, a2 , a1名姓6. 向量组 (I): a1 , , a m (m 3) 线性没关的充足必需条件是【】A.(I) 中随意一个向量都不可以由其他m-1 个向量线性表出B.(I)中存在一个向量, 它不可以由其他m-1 个向量线性表出C.(I)中随意两个向量线性没关D. 存在不全为零的常数k1, , k m ,使 k1 a1 k m a m 07．设a为m n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax 0存在非零解的充足必需条件是【】A．A的行向量组线性有关B. A 的列向量组线性有关C. A的行向量组线性没关D. A 的列向量组线性没关a1 x1 a2 x2 a3 x3 0 8. 设a i、b i均为非零常数（i =1， 2， 3），且齐次线性方程组b2 x2 b3 x3 0b1 x1的基础解系含 2 个解向量，则必有【】a1 a20 B. a1 a20 a1 a2 a3 D.a1 a3A.b3 b1 b2 C.b2 b3 b1 b2b2 b19. 方程组2 x1 x2 x3 1有解的充足必需的条件是【】x1 2x2 x3 13 x1 3x2 2x3 a 1A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110.设η1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系，则以下向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】A. 可由η12 3线性表示的向量组 B. 123等秩的向量组，η，η与η，η，ηC. η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1-η3 ，η1-η2-η 311. 已知非齐次线性方程组的系数队列式为0，则【】A. 方程组有无量多解B. 方程组可能无解，也可能有无量多解C. 方程组有独一解或无量多解D. 方程组无解12.n 阶方阵 A 相像于对角矩阵的充足必需条件是 A 有 n 个【】A. 互不同样的特点值B. 互不同样的特点向量C. 线性没关的特点向量D. 两两正交的特点向量13. 以下子集能作成向量空间R n的子空间的是【】A. {( a1, a2, , a n) | a1a2 0}nB. {( a1 ,a2 , , a n ) | a i 0}i 1nC. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i z, i 1,2, ,n}D.{( a 1 ,a 2 , , a n ) | a i1}14. 若 2 阶方阵 A 相像于矩阵 B1 0i 12 ,E 为 2 阶单位矩阵 , 则方阵 E – A 必相像于矩阵- 3【 】1B.-1 0 0 0 - 1A.1 - 4C.4D.1 4- 2-2 -41 0 015. 若矩阵 A0 2 a 正定 , 则实数 a 的取值范围是【】0 a 8A ． a < 8B. a ＞ 4C ． a ＜ -4 D． -4 ＜ a ＜ 4二、填空题 （每题2 分，共 20 分）。

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

线性代数期末考试题、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题5分，共25分）1 -3 11.若0 5 X =°，则；t = 。

-1 2 -2| f x2 . X3 = 02. ___________________________________________________________________ 若齐次线性方程组+^X2 +x3=0只有零解，则人应满足_____________________________________ 。

x1 +x2 +x3 = 03. 已知矩阵A, B, C =（q ）s n,满足AC二CB，则A与B分别是 _____________ 阶矩阵。

4•已知矩阵A为3 3的矩阵，且|A| = 3，则|2A| = ___________ 。

5. n阶方阵A满足A2 -3A - E = 0，则A A=。

二、选择题（每小题5分，共25分）6•已知二次型f • X；• 5x2 2tX i X2 -2^X3 - 4X2X3 ,当t取何值时，该二次型为正定？（）4 - 4 4 4 4 1A. —— <t W0B. ——<t < —C. 0<t< —D. —一c t< 一一5 5 5 5 5 2q 4 2''1 2 3"7.已知矩阵A =0 -3 4 B = 0X6 ，且A ~ B，求x的值（）<0 4<0 0 5」3」A.3B.-2C.5D.-58 •设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A^OB. A，HOC. r（A） = nD. A的行向量组线性相关9 •过点（0, 2, 4）且与两平面x 2z =1和y -3z =2的交线平行的直线方程为（）A.xy-2 z -4B.x y —2 z-4-2 _ 3-1 2_ 3 -2 C.xy 2 z 4 D.x y 2 z 4-2312 32.已知矩阵'3 1、 10 A =,其特征值为（)-1A.初=2,為 =4B.人二=_2,九2C.=4D. Z_1 :=2丄2 =-4 三、解答题（每小题10分，共50分）15.证明：若A 是n 阶方阵，且 从丁=|，A = —1,证明 A+I =0。

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

线性代数课后习题答案山大
《线性代数课后习题答案山大》
在学习线性代数课程的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要环节。

为了帮助学生更好地掌握线性代数的知识，我们整理了一些课后习题的答案，
以便同学们在学习中进行参考和对比。

1. 矩阵A与B的乘积AB存在的充要条件是什么？如果AB存在，它的秩是多少？答：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，AB存在。

如果AB存在，它的秩等于
矩阵A的秩。

2. 设A为n阶方阵，证明：A与A'的秩相等。

答：A与A'的秩相等是因为A与A'的秩都等于A的秩。

3. 设A为n阶方阵，证明：A与A'的行秩相等。

答：A与A'的行秩相等是因为A与A'的行空间相同。

4. 设A为n阶方阵，证明：A与A'的列秩相等。

答：A与A'的列秩相等是因为A与A'的列空间相同。

5. 设A为n阶方阵，证明：A与A'的零空间维数之和等于n。

答：A与A'的零空间维数之和等于n是因为A与A'的秩加上零空间维数等于n。

通过以上习题答案的整理，我们可以更好地理解线性代数中的一些概念和定理。

希望同学们在学习线性代数的过程中，能够加深对知识点的理解，提高解题能力，为今后的学习和工作打下坚实的基础。

2、n2, 当 n 为偶数时为偶排列，当 n 为奇数时为奇排列. 4、29.
1、12.
2、 x2 y2 .
4
∑ 3、 x = 0 或 − ai . i =1
4、 λ = ±1, 2 .
三、证明题
证明提示: 由于 f(x)是关于 x 的二次多项式，在[0，1]中可导，又可计算出 f (0) = f (1) = 0 ，
3、解方程 D4( x) =
a1 a1
a1 + x
a2 a2 a2 + x a2
a3 a3 + x
a3 a3
a4 + x a4 = 0 . a4 a4
4、已知下列齐次线性方程组有非零解，求参数λ的值。
（5
− λ）x1 −6 x1
−4 x2 +(7 − λ )x2
−7 x3 +11x3
=0 =0
6 x1
（B）若 AX=0有非零解，则 AX=b有无穷多解；
（C）若 AX=b有无穷多个解，则 AX=0仅有零解；
（D）若 AX=b有无穷多个解，则 AX=0有非零解。
（7）非齐次线性方程组 AX=b中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A的秩为 r，则
（）
（A）r=m时，方程组 AX=b有解； （B）r=n时，方程组 AX=b有唯一解；
《线性代数》补充练习二
一、选择题：
（1）设 n阶方阵 A的秩 r<n，则在 A的 n个行向量中（ ）
（A）必有 r个行向量线性无关； （B）任意 r个行向量均可构成极大无关组；
（C）任意 r个行向量均线性无关；（D）任一个行向量均可由其他 r个行向量线性表示
（2）若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则（ ）

0 0 3 0 1 0 （C） 1 0 1
1 0 3 0 1 0 （B） 0 0 1 1 0 0 0 1 0 （D） 0 3 1
解 由题意矩阵A应为第三行乘以－3加至第一行的初等矩阵. 所以应选(B).
1 2 3.已知 A 满足 A2 4 A 3E 0，求 A3，A4 . 1 3 解 由 A2 4 A 3E 0 得 A2 4 A 3E， 于是 A3 A( 4 A 3E ) 4 A2 3 A 4( 4 A 3E ) 3 A 1 2 1 0 1 26 13 A 12 E 13 12 ; 1 3 0 1 13 27 A4 A(13 A 12 E ) 13 A2 12 A 13(4 A 3E ) 12 A 1 2 1 0 1 80 40 A 39 E 40 39 . 1 3 0 1 40 81
本科线性代数作业卷(一)答案
一、填空题
2 1.设A＝ 3 ，则A 2 ________ ，A n＝ ________ . 4
22 4 2 2 9 , 解 A 3 16 42 2n A n＝ 3 n 4n
解 易见 P E (1,3)，Q E (2,3)均为初等矩阵. E (1,3)左乘 A 相当于把 A的第一、三行交换，故 E 20 (1,3) A 是把 A 的第一、三行交换20次，结果 仍为A. 同理可知 AE 21 (2,3)相当于把 A 的第二、三行交换21次，结果是把 A 的第二、三行交换了位置. 1 3 2 故 P AQ ＝ 4 6 5. 7 9 8
3

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1.若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1.若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）3.向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（）4.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。

（） 5.若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1.设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。

①n2②12-n③12+n ④42.n 维向量组s ααα，，， 21（3?s ?n ）线性无关的充要条件是（）。

①s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ②s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④s ααα，，， 21中不含零向量 3.下列命题中正确的是()。

①任意n 个1+n 维向量线性相关 ②任意n 个1+n 维向量线性无关 ③任意1+n 个n 维向量线性相关 ④任意1+n 个n 维向量线性无关4.设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是()。

线性代数模拟题一．单选题.1. 设五阶行列式ij a m =，依下列次序对ij a 进行变换后，其结果是（ C ）． 交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素．（A ）m 8； (B)m 3-； (C)m 8-； (D)m 41． 2. 如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则（ D ）． （A ）0=k 或1=k ；（B ）1=k 或2=k ；（C ）1-=k 或1=k ；（D ）1-=k 或3-=k ．3. 设A ，B ，C ，I 为同阶矩阵，若I ABC =，则下列各式中总是成立的有（ A ）． （A ） I BCA =； (B) I A C B =； (C) I BAC =； (D) I C B A =．4. 设A ，B ，C 为同阶矩阵，且A 可逆，下式（ A ）必成立． （A ）若AC AB =，则C B =； (B) 若CB AB =，则C A =； (C) 若BC AC =，则B A =； (D) 若O BC =，则O B =．5. 若向量组s ααα,....,,21的秩为r ，则（ D ） （A ）必定r<s(B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关 (C )向量组中任意r 个向量线性无关(D)向量组中任意个1+r 向量必定线性相关6. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（ C ）(A)133221,,αααααα+++ ; (B) 123211,,αααααα+++ ; (C)133221,,αααααα--- ; (D) 1332213,2,αααααα+++ .7. 设A 、B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，I 为n 阶单位矩阵，则（ D ） (a)λI-A ＝λI-B (b)A 与B 有相同的特征值和特征向量(c)A 与B 都相似于一个对角矩阵 (d)kI-A 与kI-B 相似（k 是常数）8. 当（C ）时，A 为正交矩阵，其中 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c b a A 0 (a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 . 9. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ A ） (A)14433221,,,αααααααα++++线性无关;(B) 14433221,,,αααααααα----线性无关;(C)14433221,,,αααααααα-+++线性无关; (D)14433221,,,αααααααα--++线性无关.10. 当=A （ B ）时，有A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321332211321321321333c c c b b b c a c a c a c c c b b b a a a ． （A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-103010001；（B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010301；（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010300；（D ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-130010001．二．计算题或证明题1. 设A ～B,试证明(1)A m ～B m (m 为正整数)（2）如A 可逆，则B 也可逆，且A －1～B －12. 如n 阶矩阵A 满足A 2=A ，证明：A 的特征值只能为0或-1。

一、填空题（36分）
1、若矩阵A 满足__A T =A_，则称A 为对称矩阵.
2、设A ，B 是两个3阶矩阵，且det A=-2.det B=-1.则
=. 32 3、
，则齐次线性方程组AX-0必有_
非零__解 4、设mxn 矩阵A 的秩为r ，则非齐次线性方程组Ax=B 有解的充分必要条件是_()B A R r =__
5、二次型)(.,,.........2,1n x x x f ,如果对任意一组不全为零的实数n c c c ,......2,1,
0),......,(21>n c c c f 则称)(.,,.........2,1n x x x f 为___正定__
6、如果向量a.β是正交的，则（a.β）=.＿0＿
7、设AB 是两个3阶矩阵，且det A=-2.det B=-1，则
. 32 8、若数
为矩阵A 的特征值，则齐次线性方程组AX=0必有__非零___解 10、设A.B 是两个3阶矩阵，且det A=-2.det B=-1，则
32 11、设mxn 矩阵A 的秩为r.则非齐次线性方程组Ax=B 有解的充分必要条件是
_()B A R r =__ 12、设A 是mxn 矩阵，B 是pxm 矩阵，则
是＿p n ⨯＿ 矩阵.
二、计算题（107分）
13、解线性方程组：
解： 该线性方程组的增广矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=05986741212060311512b A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1155912001230072106031~1510912002120135706031~95109127702120135706031~b A。

线性代数习题参考答案(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。

(2) i = ，j = 时，排列1274i56j9为偶排列。

(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。

若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。

(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。

2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。

(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。

3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。

对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n2n 。

4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么 5．n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。

×××大学线性代数期末考试题一、填空题〔将正确答案填在题中横线上.每一小题2分,共10分〕1. 假如022150131=---x ,如此=χ__________. 2．假如齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,如此λ应满足.3．矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，,满足CB AC =,如此A 与B 分别是阶矩阵.4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性. 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ,如此=-1A .二、判断正误〔正确的在括号内填"√〞,错误的在括号内填"×〞.每一小题2分,共10分〕1. 假如行列式D 中每个元素都大于零,如此0〉D .〔 〕2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合.〔 〕3. 向量组m a a a ，，， 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,如此向量组s a a a ，，， 21线性相关.〔 〕4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ,如此A A =-1.〔 〕 5. 假如λ为可逆矩阵A 的特征值,如此1-A 的特征值为λ. < >三、单项选择题 <每一小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内.每一小题2分,共10分>1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,如此=T A A 〔 〕.①n2②12-n ③12+n ④42. n 维向量组s ααα，，， 21〔3 ≤ s ≤ n 〕线性无关的充要条件是〔 〕. ①s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ②s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④s ααα，，， 21中不含零向量3. 如下命题中正确的答案是< >.① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的答案是< >.① 假如A ,B 均可逆,如此B A +可逆 ② 假如A ,B 均可逆,如此 A B 可逆 ③ 假如B A +可逆,如此 B A -可逆 ④ 假如B A +可逆,如此 A ,B 均可逆5. 假如4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的根底解系,如此4321νννν+++是0=X A 的〔〕①解向量② 根底解系③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 < 每一小题9分,共63分>1. 计算行列式x ab c d a x b c d a b x c d abcx d++++.解·2. 设B A AB 2+=,且A ,410011103⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 求B .解.A B E A =-)2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)2(1E A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B3. 设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式'(),X C B E -=求X . 4. 问a 取何值时,如下向量组线性相关？123112211,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭.5. λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解,无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解.①当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解； ②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 6. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示.7. 设100010021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求A 的特征值与对应的特征向量.五、证明题 <7分>假如A 是n 阶方阵,且，I AA =T，1-=A 证明 0=+I A .其中I 为单位矩阵. ×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 52. 1≠λ3. n n s s ⨯⨯，4. 相关5. E A 3- 二、判断正误1. ×2. √3. √4. √5. × 三、单项选择题1. ③2. ③3. ③4. ②5. ① 四、计算题 1. 2.A B E A =-)2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)2(1E A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B3. 4.)22()12(812121212121212321-+=------=a a aa aa a a ，，当21-=a 或1=a 时,向量组321a a a ，，线性相关. 5.① 当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解； ②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 6.如此 ()34321=a a a a r ，，，,其中321a a a ，，构成极大无关组,321422a a a a ++-= 7.特征值1321===λλλ,对于λ1＝1,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-020*******A E λ,特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001l k 五、证明题∴()02=+A I , ∵()0=+A I一、选择题〔此题共4小题,每一小题4分,总分为16分.每一小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求〕1、设A ,B 为n 阶方阵,满足等式0=AB ,如此必有〔 〕<A>0=A 或0=B ; <B>0=+B A ； 〔C 〕0=A 或0=B ; <D>0=+B A . 2、A 和B 均为n 阶矩阵,且222()2A B A AB B +=++,如此必有〔 〕 <A> A E =；<B>B E =； 〔C 〕A B =.<D> AB BA =.3、设A 为n m ⨯矩阵,齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是〔 〕 <A>A 的列向量线性无关； <B>A 的列向量线性相关； 〔C 〕 A 的行向量线性无关； <D>A 的行向量线性相关.4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是〔 〕 <A>A 的秩小于n ；<B>0A ≠；<C> A 的特征值都等于零；<D>A 的特征值都不等于零； 二、填空题〔此题共4小题,每题4分,总分为16分〕5、假如4阶矩阵A 的行列式5A =-,A *是A 的伴随矩阵,如此*A =.6、A 为n n ⨯阶矩阵,且220A A E --=,如此1(2)A E -+=.7、方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解,如此a =.8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,如此t 的取值X 围是. 三、计算题〔此题共2小题,每题8分,总分为16分〕9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式四、证明题〔此题共2小题,每一小题8分,总分为16分.写出证明过程〕 11、假如向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关.证明： <1> 1α能有23,αα线性表出； <2>4α不能由123,,ααα线性表出.12、设A 是n 阶矩方阵,E 是n 阶单位矩阵,E A +可逆,且1()()()f A E A E A -=-+. 证明〔1〕 (())()2E f A E A E ++=； 〔2〕 (())f f A A =.五、解答题〔此题共3小题,每一小题12分,总分为32分.解答应写出文字说明或演算步骤〕13、设200032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求一个正交矩阵P 使得1P AP -为对角矩阵.14、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321xa x x ax x x x x x 与方程组12321-=++a x x x 有公共解. 求a 的值.15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,1η,2η,3η是它的三个解向量,且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ηη求该方程组的通解.解答和评分标准一、选择题1、C ；2、D ；3、A ；4、A.二、填空题5、-125;6、2π；7、-1；8、53>t . 三、计算题9、解：第一行减第二行,第三行减第四行得：第二列减第一列,第四列减第三列得：00011000011x x D y y-=- 〔4分〕按第一行展开得 按第三列展开得2201x D xyx y y-=-=. 〔4分〕10、解：把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子⎪⎭⎫⎝⎛+∑=n i i x 13,再通过行列式的变换化为上三角形行列式2212113313nn n n i i n x x x x D x x x =+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑〔4分〕1133n n i i x -=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑〔4分〕 四、证明题 11、证明：<1>、 因为332,ααα，线性无关,所以32αα，线性无关., 又321ααα，，线性相关,故1α能由32αα，线性表出. <4分> 123()3r ααα=，，,〔2〕、〔反正法〕假如不,如此4α能由321,ααα，线性表出, 不妨设3322114ααααk k k ++=.由〔1〕知,1α能由32αα，线性表出, 不妨设32211αααt t +=.所以3322322114)(αααααk k t t k +++=,这明确432,ααα，线性相关,矛盾. 12、证明〔1〕1(())()[()()]()E f A E A E E A E A E A -++=+-++1()()()()()()2E A E A E A E A E A E A E -=++-++=++-= 〔4分〕〔2〕1(())[()][()]f f A E f A E f A -=-+由〔1〕得：11[()]()2E f A E A -+=+,代入上式得11()()22E A E A A =+--= 〔4分〕 五、解答题 13、解：〔1〕由0E A λ-=得A 的特征值为11λ=,22λ=,35λ=. 〔4分〕〔2〕11λ=的特征向量为1011ξ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,22λ=的特征向量为2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 35λ=的特征向量为3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 〔3分〕〔3〕因为特征值不相等,如此123,,ξξξ正交. 〔2分〕〔4〕将123,,ξξξ单位化得1011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,2100p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3011p ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭〔2分〕〔5〕取()123010,,00P p p p ⎛⎫ ⎪ ⎪ == ⎝ 〔6〕1100020005P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭〔1分〕14、解：该非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次方程组为因3)(=A R ,如此齐次线性方程组的根底解系有1个非零解构成,即任何一个非零解都是它的根底解系. 〔5分〕另一方面,记向量)(2321ηηηξ+-=,如此直接计算得0)6,5,4,3(≠=T ξ,ξ就是它的一个根底解系.根据非齐次线性方程组解的结构知,原方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=543265431k k x ηξ,R k ∈. 〔7分〕15、解：将①与②联立得非齐次线性方程组:假如此非齐次线性方程组有解, 如此①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解.对③的增广矩阵A 作初等行变换得:→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112104102101112a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11000)1)(2(0001100111a a a a a . 〔4分〕1°当1a =时,有()()23r A r A ==<,方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解,此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→0000000000100101A ,如此方程组③为齐次线性方程组,其根底解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101,所以①与②的全部公共解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101k ,k 为任意常数. 〔4分〕2° 当2a =时,有()()3r A r A ==,方程组③有唯一解, 此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→0000110010100001A ,故方程组③的解为:011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,即①与②有唯一公共解011x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 〔4分〕线性代数习题和答案第一局部选择题 <共28分>一、单项选择题〔本大题共14小题,每一小题2分,共28分〕在每一小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分. 1.设行列式a a a a 11122122=m,aa a a 13112321=n,如此行列式aa a a a a 111213212223++等于〔 〕A.m+nB. -<m+n>C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,如此A -1等于〔 〕A. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A*是A的伴随矩阵,如此A *中位于〔1,2〕的元素是〔〕A.–6B. 6C. 2D.–24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,如此必有〔〕A.A =0B. B≠C时A=0C.A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.3×4矩阵A的行向量组线性无关,如此秩〔A T〕等于〔〕A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,如此〔〕A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs〔αs+βs〕=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs〔αs-βs〕=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,如此A中〔〕A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,如此如下结论错误的答案是〔〕A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,如此必有〔〕A.秩<A><nB.秩<A>=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n<≥3>阶方阵,如下陈述中正确的答案是〔〕A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,如此α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使<λE-A>α=0,如此λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不一样的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,如此α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,如此必有〔〕A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,如此如下结论错误的答案是〔〕A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行〔列〕向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.如此〔〕A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有一样的特征值D. A与B合同14.如下矩阵中是正定矩阵的为〔 〕A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二局部 非选择题〔共72分〕二、填空题〔本大题共10小题,每一小题2分,共20分〕不写解答过程,将正确的答案写在每一小题的空格内.错填或不填均无分. 15.11135692536=.16.设A =111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪,B =112234--⎛⎝ ⎫⎭⎪.如此A +2B =. 17.设A =<a ij >3×3,|A |=2,A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式〔i,j=1,2,3〕,如此<a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23>2+<a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23>2+<a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23>2=.18.设向量〔2,-3,5〕与向量〔-4,6,a 〕线性相关,如此a=.19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,假如η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,如此它的通解为.20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r<<n>,如此齐次线性方程组Ax=0的一个根底解系中含有解的个数为.21.设向量α、β的长度依次为2和3,如此向量α+β与α-β的内积〔α+β,α-β〕=.22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,A 有2个特征值-1和4,如此另一特征值为.A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,如此α所对应的特征值为. 24.设实二次型f<x 1,x 2,x 3,x 4,x 5>的秩为4,正惯性指数为3,如此其规X 形为.三、计算题〔本大题共7小题,每一小题6分,共42分〕25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求〔1〕AB T ；〔2〕|4A |. 26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B . 28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；假如是,如此求出组合系数.29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：〔1〕秩〔A 〕；〔2〕A 的列向量组的一个最大线性无关组.30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D . 31.试用配方法化如下二次型为标准形f<x 1,x 2,x 3>=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换.四、证明题〔本大题共2小题,每一小题5分,共10分〕32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且〔E -A 〕-1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个根底解系.试证明 〔1〕η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解；〔2〕η0,η1,η2线性无关. 答案：一、单项选择题〔本大题共14小题,每一小题2分,共28分〕1二、填空题〔本大题共10空,每空2分,共20分〕15. 616. 337137--⎛⎝ ⎫⎭⎪17. 418. –1019. η1+c<η2-η1>〔或η2+c<η2-η1>〕,c 为任意常数 20. n -r21. –522. –223. 124. z z z z 12223242++-三、计算题〔本大题共7小题,每一小题6分,共42分〕25.解〔1〕AB T=120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 〔2〕|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-. 所以|4A |=64·〔-2〕=-128 26.解 311251342011153351111113100105530------=-----=5111111550----=5116205506255301040---=---=+=. 27.解 AB =A +2B 即〔A -2E 〕B =A ,而 〔A -2E 〕-1=2231101211431531641--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-.所以B=<A-2E>-1A=143153164423110123-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1035011200880014141035011200110000−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为〔2,1,1〕.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,即-++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x xx xx xx x x.方程组有唯一解〔2,1,1〕T,组合系数为〔2,1,1〕.29.解对矩阵A施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102000620328209632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.〔1〕秩〔B〕=3,所以秩〔A〕=秩〔B〕=3.〔2〕由于A与B的列向量组有一样的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组.〔A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是〕30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=〔2,-1,0〕T, ξ2=〔2,0,1〕T. 经正交标准化,得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪. 对角矩阵D=100010008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.〔也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.〕31.解 f<x1,x2,x3>=〔x1+2x2-2x3〕2-2x22+4x2x3-7x32=〔x1+2x2-2x3〕2-2〔x2-x3〕2-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪,即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩.经此变换即得f<x1,x2,x3>的标准形 y12-2y22-5y32.四、证明题〔本大题共2小题,每一小题5分,共10分〕32.证由于〔E-A〕〔E+A+A2〕=E-A3=E,所以E-A可逆,且〔E-A〕-1= E+A+A2.33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.〔1〕Aη1=A〔η0+ξ1〕=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b, 所以η1,η2是Ax=b的2个解.〔2〕考虑l0η0+l1η1+l2η2=0, 即〔l0+l1+l2〕η0+l1ξ1+l2ξ2=0.如此l0+l1+l2=0,否如此η0将是Ax=0的解,矛盾.所以l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关.。