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一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是代数学中常见的一种求解问题的方法，它可以描述一个变量的取值范围。
在实际问题中，一元二次不等式的解法及其应用广泛存在于各个领域。
本文将介绍一元二次不等式的解法，并探讨其在实际应用中的具体案例。
一、一元二次不等式的解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过以下步骤进行求解。
步骤一：化简方程首先，我们需要将一元二次不等式化简为标准形式，即将不等式的右边移动到左边，使得不等式的右边等于零。
步骤二：求解方程在化简为标准形式后，我们将不等式转化为等式，即求解ax^2+bx+c=0的方程。
通过因式分解、配方法、求根公式等方法，我们可以得到方程的根。
步骤三：确定范围在得到方程的根后，我们需要使用数轴或数表来确定解的范围。
根据方程的根的位置和曲线的走势，我们可以判断出不等式的解在数轴上的位置。
步骤四：确定不等号最后，根据方程和不等式的关系，确定不等号的方向。
如果方程的根对应的点满足不等式，那么不等号应为“≥”或“≤”；如果方程的根对应的点不满足不等式，那么不等号应为“>”或“<”。
通过以上步骤，我们可以得到一元二次不等式的解的具体范围和形式。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用广泛存在于各个领域，如经济学、物理学、工程学等。
下面我们将介绍一些具体的应用案例。
1. 经济学应用在经济学中，一元二次不等式可以用于描述成本、收益、销售额等变量之间的关系。
例如，某公司的利润可以用一元二次不等式P(x) = -2x^2 + 30x - 50来表示，其中x表示销售量。
通过求解不等式P(x) > 0，可以确定该公司的利润为正的销售范围，从而帮助决策者制定合适的销售策略。
2. 物理学应用在物理学中，一元二次不等式可以用于描述运动过程中的问题。
例如，一个物体的运动方程可以表示为一元二次不等式h(t) = -16t^2 + vt+ h0，其中h(t)表示物体的高度，t表示时间，v为初速度，h0为初始高度。
一元二次不等式一元二次不等式是数学中常见的一种形式，它可以描述一个二次函数与一个常数之间的关系。
本文将探讨一元二次不等式的基本概念、解法以及一些相关的应用。
一、基本概念一元二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 （或 < 0 或≥ 0 或≤ 0）的不等式，其中 a、b、c 是实数（a ≠ 0）。
在解一元二次不等式之前，我们需要了解一些基本概念。
1. 判别式对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，判别式Δ = b^2 - 4ac 是一个重要的指标。
当Δ > 0时，方程有两个不等的实数解；当Δ = 0 时，方程有一个实数解；而当Δ < 0 时，方程无实数解。
2. 开区间与闭区间在解一元二次不等式时，我们需要用到开区间和闭区间的概念。
开区间 (a, b) 表示实数 x 的取值范围为 a < x < b；闭区间 [a, b] 表示实数 x 的取值范围为a ≤ x ≤ b。
在计算中，根据具体问题选择合适的区间。
二、解一元二次不等式为了解一元二次不等式，我们分为三种情况进行讨论：开口向上的情形、开口向下的情形和特殊情形。
1. 开口向上的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c > 0，其中 a > 0。
为了求解此类不等式，首先我们需要求出二次函数的零点，即求解方程 ax^2 + bx + c = 0。
当方程有实数解时，我们可以得到两个实数根 x1 和 x2。
然后，我们在这两个实数根的左右两侧进行讨论，确定不等式的解集。
2. 开口向下的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c < 0，其中 a < 0。
与开口向上的情形类似，我们也需要先求解二次函数的零点，并在零点的左右两侧进行讨论。
3. 特殊情形特殊情况指的是不等式的判别式Δ = 0 或Δ < 0。
当Δ = 0 时，不等式有一个实数解，解集为该实数解所在的点；当Δ < 0 时，不等式无实数解，解集为空集。
《一元二次不等式的应用》教学设计1. 能从实际情境中抽象出一元二次不等式.2. 通过解一元二次不等式解决实际问题.重点：利用一元二次不等式解决实际问题.难点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型． 一、新课导入温故知新：同学们，我们在上节课学习了一元二次不等式及其解法，有图像法和判别式法两种方法，一般步骤为： （1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；（2）计算相应的判别式；（3）当△≥0时，求出相应的一元二次方程的根；（4）根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集.想一想：同学们，了解了一元二次不等式的解法后，我们应如何运用呢？面对生活中一些常见的实际问题，你能否运用一元二次不等式解决出来呢？答案：结合一元二次不等式及其解法，了解一元二次不等式的现实意义，把实际问题中的文字语言转化为数学语言，构建数学模型，解决实际问题.设计意图：通过对旧知的复习，巩固学生对一元二次不等式的求解基础，并且引出新的课题，激发学生的学习兴趣，让学生在对新问题的挑战中，进一步深化数学建模思想，对这个强有力的学科工具的运用方法更加灵活多变．三、应用举例例1：某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满.该农家院欲提高档次，并提高租金.经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间.每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大?分析：首先将大问题转化为几个小问题，然后分步完成：（1）你能用含x 的表达式分别表示租金提高空间、每间客房日租金提高值和租金总收入吗?（2）租金总收入y 与每间客房日租金提高的比例x 的函数关系如何?（3）利用题目中所给的不等关系求解.解： 设每间客房日租金提高x 个10元，即每间客房日租金提高到(80+10x)元，则客房出租数减少x(x ∈N)间，此时客房的租金总收入为(80+10x)(20−x)元.又因为每天客房的租金总收人不低于1800元，所以(80+10x)(20−x)≥1800.化简，得 x 2−12x +20≤0.解得 2≤x ≤10.由题意可知：每间客房日租金不得超过130元，即80+10x ≤130，所以x ≤5.◆教学目标 ◆教学重难点 ◆◆教学过程◆因此，x=2，3，4，5，该农家院每间客房日租金提高的空间是20元，30元，40元，50元.想一想：遇到文字类的应用题，我们应该如何巧妙将文字语言转化为数学语言呢？答案：遇到大篇幅的文字不要慌，善用分步思想将大问题转化为小问题，首先用一个未知量表示多个未知量，然后列出未知量之间的关系表达式，求出结果.例2：为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y=−10x+500.（1）设袁阳每月获得的利润为w（单位:元），写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系.（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?分析：选取合适的字母表示题中的未知数，用未知数表示出销售利润和销售量，再代入题目中所给关系式求解.解：(1)依题意可知每件的销售利润为(x−10)元，每月的销售量为(−10x+500)件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为w=(x−10)(−10x+500).(2)由每月获得的利润不小于3000元，得(x−10)(−10x+500)≥3000.化简，得x2−60x+800≤0.解得20≤x≤40.又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25.设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p=(12−10)(−10x+500)=−20x+1000.由20≤x≤25，得500≤−20x+1000≤600.故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[500，600]元.知识点：与一元二次不等式有关的实际应用问题，经常涉及物价、路程、产值、环保等最值问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确立相应的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答．操作步骤如下：（1）理解题意，搞清量与量之间的关系；（2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；（3）解这个一元二次不等式，得到实际问题的解.设计意图：我们主要针对常见的一元二次不等式及其解法的应用进行展开，其中较为重要的应该是数学建模的能力以及把文字语言转换成数学语言的能力，因此在这一部分例题的选取中，都会出现体现上述能力的模块，由此丰富学生的解题技巧，让他们感知数学在实际生活中运用的魅力所在.四、课堂练习1. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，要求十二月份的销售额不少于193.6万元，求这两个月的平均增长率最少为多少.2. 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出350−10a件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要至少盈利400元，最少进货多少件?每件商品应最少定价多少?3. 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，问h应怎样确定?4.求某摩托车生产企业，上年度投入的成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆本年度为适应市场需要，计划提高产品档次.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例业为0.75x，同时预计销售量增加的比例为0.6x.已知年利润= (出厂价-投入成本)*年销售量.为使本季度的年利润比上年增加，投入成本增加的比例x应在什么范围？5.某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳锐10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式;（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.分析：重复上题步骤，将大问题转化为几个小问题，然后分步完成：（1）你能用含x的表达式分别表示投入的成本、出厂价和年销售量吗?（2）本年度的预期年利润y与投入成本增加的比例x 的函数关系如何?要得出预期年利润y与投入成本增加的比例x的函数关系，我们首先要用含x的表达式分别表示投入的成本、出厂价和年销售量，而后代入题目所给公式，即可求出一元二次函数关系表达式.参考答案：1. 10％.解析：设这两个月的平均增长率是x，则根据题意，得200(1−20%)(1+x)2≧193.6，即(1+x)2≥1.21，解这个方程，得x1≥0.1，x2≤−2.1(舍去).答：这两个月的平均增长率最少是10%.2.100件，25元.解析：根据题意，得(a−21)(350−10a)≥400，整理，得a2−56a+775=0，解这个方程，得a1≥25 ， a2≤31.因为21×(1+20%)=25.2，所以a2=31不合题意舍.350−10a=350−10×25=100(件).答：至少需要进货100件，每件商品最低应定价25元.3.2≤k≤8.解析：设产销量为每年x万瓶，则销售收人每年70x万元，从中征收的税金为70x×k%万元，其中x=100−10k.由题意，得70(100−10k)k%≥112整理得k2−10k+16≤0，解得2≤k≤8.因此当2≤k≤8(单位:元)时，每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元.4. (0，3)解析：根据题意，提高产品档次后得成本为1+x，出厂价为1.2(1+0.75x)，年销售量为1000(1+0.6x)，则预期年利润y与投入成本增加的比例x的函数关系为y=[1.2(1+0.75x)−1−x]×1000(1+0.6x)=−60x2+20x+200(0<x<1)，所以为使若本年度的年利润比上年有所增加，则−60x2+20x+200>(1.2−1)×1000，解得0<x<3即投入成本增加的比例x应在(0，3)内.5.0<x≤20.解析：（1）降低税率后的税率为(10−x)%，农产品的收购量为a(1+2x%)万担，收购总金额为200a(1+2x%)万元.依题意: y=200a(1+2x%)(10−x)%=1a(100+2x)(10−x)(0<x<10).50（2）原计划税收为200a×10%=20a(万元).依题意得a(100+2x)(10−x)≥20a×83.2%，化简得x2+40x−84≤0，−42<x<2.又因为0<x<10，所以0<x≤20，所以，x的取值范围是0<x≤20.五、课堂小结1．利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：（1）选取合适的字母表示题中的未知数；（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；（3）求解所列出的不等式（组）；（4）结合题目的实际意义确定答案.六、布置作业教材第39页练习题1、2.。
一元二次不等式的应用题一元二次不等式的应用题，听起来好像跟数学教室里的黑板有点沾边，其实它可是生活中的小秘密呢。
想象一下，有一天你要买水果，正好看中了一堆橙子。
老板说，每个橙子两块钱，买十个就给你打八折，哎呀，简直划算得让人心动。
不过，你的口袋里只有十五块钱，这可就要好好算一算了。
要是你只想买几个橙子，能不能既享受打折，又不超出预算呢？这可得用到一元二次不等式了，嘿，别急，让我们一起来算算。
设定变量，假设你想买x个橙子，那么价格就是2x块钱。
要是你买十个，就会是20块钱，打八折后就是16块，想想都让人流口水。
可是你得记住，手里只有15块，不能让小钱袋失望啊。
所以，就有了不等式：2x ≤ 15。
把这个不等式简化一下，得出x ≤ 7.5，哎，这可真是个有意思的结果，不能买半个橙子，那也就是说你最多只能买七个橙子，真是妙啊。
然后再来点儿实际的，看看如果你想买的橙子再多一些，比如你想买八个。
这时候，价钱就是2×8=16块，哎呀，超出预算了！这可不行，买八个橙子可不只是一点点超预算，简直就是让人心疼。
于是，不得不承认，买七个才是最理智的选择。
生活中就是这样，很多事情都得算计好，才能不让自己为难。
生活就像一道不等式，你得找到那个平衡点，太多了就出问题，太少了也不满足。
这让我想起小时候的家长们，总是告诉我们，要会过日子，不能贪心，不能一口吃个胖子。
买水果就像是理财，有时候你买得多了，结果只会让自己空着手回家，满心失落。
你看看那些精明的顾客，总是抓住最佳时机，选择对的数量，既省钱又开心，这可不是随便谁都能做到的。
说到这里，咱们再回过头，来看看这不等式到底有什么实用的地方。
就好比在生活中，许多问题都能转化成数学题。
想要实现某个目标，得先设定好条件，就像做菜前得准备好食材一样。
你在追求梦想的时候，心里也得有数。
要是你想考个好大学，就得明确目标和规划，怎么学习，怎么安排时间，这些都是一元二次不等式的变形，懂了吗？再比如，有些人想减肥，去健身房挥汗如雨。
高一数学 一元二次不等式综合应用
知识回顾：一元二次不等式解法总结：
（1）22730x x -+≤； （2）2310x x -++<
区间的概念：不等式的解集经常用区间来表示
区间是指介于某两个实数之间的全体实数．这两个实数叫做区间的端点．要求,,.a b R a b ∈<且
}{b x a x << 称为开区间（closed intervai ）
，记为),(b a ； }{b x a x ≤≤ 称为闭区间（open intervai ）
，记为],[b a ； }{b x a x <≤ 称为左闭右开区间，记为),[b a ；如: {25}x x -≤<=[2,5)-
}{b x a x ≤< 称为左开右闭区间，记为(,]a b ．
以上都是有限区间，以下是无限区间：
}{),[a x x a ≥=+∞、()}{,a x x a >=+∞、(]}{,a x x a ≤=∞-}{),(b x x b <=-∞、 实数集R=),(+∞-∞，“∞-”读作“负无穷大”，“∞+”读作“正无穷大”．
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度． 如：{2}[2,)x x ≥-=-+∞；又如{3}(,3)x x <-=-∞-
例2．（1）写出一个以()(),25,A =-∞-+∞为解集的一个一元二次不等式.
（2）写出一个以3⎡+⎣为解集的一个一元二次不等式.
例3．已知集合{}2230A x x x =-->，{}20B x x ax b =++≤，若R A
B =，(]3,4A B =，
求a ，b 的值.
例4．已知集合{}2280A x x x =--<，{}0B x x a =-≤.
（1）若A B =∅，求a 的取值范围； （2）若A
B A =，求a 的取值范围.
例5.求下列不等式的解集
（1）24410x x ++> （22305
x -+
<
（3）220x x -+ （4）216249x x -≤-
例6.（1）若关于x 的不等式230x x c -+<的解集为∅，则c 的取值范围为 .
（2）关于x 的不等式23208
x kx ++>对于一切实数x 都成立，则k 的取值范围是 . （3）若关于x 的不等式210ax bx ++>的解集为{}|3x x ≠-，求,a b 的值.
例7.解关于x 的不等式：22280x ax a --<．
例8. 已知集合{}2540A x x x =-+≤与(){}2220B x x a x a =-++≤满足B A ⊆，求a 的范围.
例9．集合{}2|20A x x x =+-≥，(){}
2|220B x x a x a =-++>，满足A B =R ，求a 的范围．
例10．已知m ∈R ，解关于x 的不等式()22120mx m x +-->．
例11．问：实数m 为何值时，关于x 的不等式2054x mx <++≤的解集中只含一个元素？
例12．若关于x 的不等式22(45)2(1)30m m x m x +---+<无解，求m 的取值范围．
例13．已知关于的方程2290x mx -+=的两个实根分别是αβ、，且
4βααβ+<，求m 的范围．
例14．设(){}2221(2)0A x x a x a a =-+++-<，{}
23B x x =>，又B A ⊇，求实 数a 的取值范围.
例15．是否存在,a b ，使得关于x 的不等式20ax x b ++>的解集为11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
？ 若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.
例16．关于x 的不等式()211a
x a x -<-的解集非空，则a 的取值范围是______________．
例17．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，求关于x 的不等式
20ax bx c -+≤的解集.。
