2016届高考数学文一轮复习课时提升练第3章第3节三角函数的图象与性质新人教版

三角函数的图象与性质(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·广州模拟)既是偶函数又在区间(0,π)上单调递减的函数是( )A.y=sin2xB.y=sinxC.y=cos2xD.y=cosx【解析】选D.函数y=sin2x与y=sinx都是奇函数,故A,B不符合题意,函数y=cos2x,y=cosx都是偶函数,y=cos2x在(0,π)上不单调,y=cosx符合题意.【加固训练】在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围为( )A.∪B.C. D.∪【解析】选B.画出y=sinx,y=cosx在(0,2π)内的图象,它们的交点横坐标为,,由图象可知x的取值范围为.2.下列函数中,周期为1的奇函数是( )A.y=1-2sin2πxB.y=sinC.y=tan xD.y=sinπxcosπx【解析】选D.化简函数表达式y=1-2sin2πx=cos是偶函数,周期为1,y=sin的周期为1,是非奇非偶函数,y=tan x是奇函数,周期为2,y=sinπxcosπx=sin2πx是奇函数,周期为1.3.(2016·黄冈模拟)函数f(x)=sin在区间上的最小值是( )A.-1B.-C.D.0【解题提示】先确定2x-的范围,再根据正弦曲线的单调性求最小值.【解析】选B.因为x∈,所以2x-∈,根据正弦曲线可知,当2x-=-时,f(x)取得最小值-.【加固训练】1.(2016·大同模拟)已知函数f(x)=sin(x-φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )A.x=B.x=C.x=D.x=【解题提示】利用函数图象的平移和对称性求解.【解析】选A.由于f=sin(x-φ),且f(x)dx=0,得到f(x)的对称中心为,所以φ=,x-=+kπ,k∈Z,所以x=+kπ,k∈Z,所以f(x)的图象的一条对称轴是x=.【一题多解】本题还可以采用如下解法:由题意可知f(x)的对称中心为,所以f(x)=sin,把x=代入得f=sin=1,恰好取得最大值,所以A正确.2.已知函数f(x)=sin-1,则下列命题正确的是( )A.f(x)是周期为1的奇函数B.f(x)是周期为2的偶函数C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数【解析】选B.由已知化简得f(x)=-cos(πx)-1,所以f(x)是周期为2的偶函数.4.(2016·广州模拟)如果函数y=3sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,那么|φ|的最小值为( )A. B. C. D.【解析】选A.依题意得,sin=±1,则+φ=kπ+(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z),因此|φ|的最小值是.5.(2016·榆林模拟)函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为( )【解题提示】首先根据函数的奇偶性进行排除,然后再根据函数的图象特征取最佳值排除剩余选项.【解析】选C.因为f(-x)=-(1-cosx)sinx,即f(-x)=-f(x),而定义域x∈[-π,π]关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,排除B.又当x=时,f=sin=1>0,排除A.当x=时,f=sin=>1,排除D.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·杭州模拟)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为.【解题提示】本题考查了三角恒等变换知识,可先降幂,再化为一个角的三角函数.【解析】y=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+=sin+,所以T==π.答案:π7.(2016·深圳模拟)设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3= .【解题提示】将左边函数化为一种三角函数式的形式,结合三角函数图象即得.【解析】设f(x)=sinx+cosx=2sin,因为x∈[0,2π],所以x+∈,根据方程恰有三个解,结合三角函数图象易得x1=0,x2=,x3=2π,所以x1+x2+x3=.答案:8.(2015·天津高考)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.【解析】由f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且f(x)的图象关于直线x=ω对称,可得2ω≤,且f(ω)=sin ω2+cosω2=,所以sin=1,所以ω2+=⇒ω=.答案:(20分钟40分)1.(5分)已知函数y=2cosx的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是( )A.2B.3C.+2D.2-【解析】选B.因为当≤x≤π时,y=2cosx是单调减函数,且当x=时,y=2cos=1,当x=π时,y=2cosπ=-2,所以-2≤y≤1,即y的值域是[-2,1],所以b-a=1-(-2)=3.2.(5分)已知函数f(x)=2sin,x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为( )A. B. C.π D.2π【解析】选C.由f(x)=1,得sin=,所以ωx1+=,或ωx2+=,所以ω(x2-x1)=.又因为x2-x1=,故ω=2,所以T==π.【加固训练】已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在同一周期内当x=时取最大值,当x=时取最小值,与y轴的交点为(0,),则f(x)的解析式为.【解析】由题设知T=2=π,又T=,所以ω=2,由2×+φ=得φ=;由=Asin,得A=2,所以f(x)=2sin.答案:f(x)=2sin3.(5分)(2016·郑州一模)若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是( )A. B.C.[1,2]D.[0,2]【解析】选A.由-+2kπ≤ωx-≤+2kπ,k∈Z得-+≤x≤+,k∈Z,取k=0,得-≤x≤,因为函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,所以≥,即ω≤.又ω>0,所以ω的取值范围是.4.(12分)已知函数y=cos.(1)求函数的最小正周期.(2)求函数的对称轴及对称中心.(3)求函数的单调增区间.【解析】(1)由题可知ω=,T==8π,所以函数的最小正周期为8π.(2)由x+=kπ(k∈Z),得x=4kπ-(k∈Z),所以函数的对称轴为x=4kπ-(k∈Z);又由x+=kπ+(k∈Z),得x=4kπ+(k∈Z);所以函数的对称中心为(k∈Z).(3)由2kπ+π≤x+≤2kπ+2π(k∈Z),得8kπ+≤x≤+8kπ(k∈Z);所以函数的单调递增区间为,k∈Z.5.(13分)(2016·益阳模拟)已知函数f(x)=2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值集合.(2)求函数的单调区间.(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.【解析】(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值为2;故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z理得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(3)由2x-=+kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z.即函数f(x)的图象的对称轴为x=+kπ,k∈Z.由2x-=kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,即对称中心为,k∈Z.。

课时作业17 三角函数的图象和性质一、选择题1．(2015·安徽“江南十校”联考)已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2 B ．3 C.3＋2 D ．2－ 3解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]， 所以b －a ＝3.故选B. 答案：B2．(2014·怀化模拟)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4 B .π3 C.π2 D .3π4解析：由于直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0＜φ＜π，所以φ＝π4.答案：A3．(2014·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )解析：由－π2＋k π＜2x －π3＜π2＋k π(k ∈Z )， 得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 答案：B4．(2015·韶关调研)函数y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数解析：y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4＝－sin2x ，所以f (x )是最小正周期为π的奇函数，故选A.答案：A5．(2015·南昌联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (x )的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：依题意得，2π|ω|＝2π3，|ω|＝3，又ω＞0，因此ω＝3，所以3x ＋π6＝k π＋π2，解得x ＝k π3＋π9，当k ＝0时，x ＝π9.因此函数f (x )的图象的一条对称轴方程是x ＝π9.答案：A6．(2015·济南调研)已知f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A ．π，[0，π]B ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4C ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8D ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 解析：由f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x －22cos2x ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.∴T ＝2π2＝π.又∵2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间．故选C. 答案：C 二、填空题7．(2014·北京顺义一模)函数f (x )＝sin2x ＋2sin 2x －1(x ∈R )的最小正周期为__________，最大值为__________．解析：由已知得f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，故最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为 2.答案：π 28．(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为__________．解析：因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝cos φsin x －sin φcos x ＝sin(x －φ)，又－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1.答案：19．已知函数f (x )＝|cos x |·sin x ，给出下列五个说法： ①f ⎝⎛⎭⎪⎫2 014π3＝－34；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增；④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0成中心对称． 其中正确说法的序号是__________．解析：对①：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 014π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫670π＋4π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫670π＋4π3 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3sin 4π3 ＝－34，①正确；对②：⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12≠⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12，故②不正确； 对③：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )＝cos x sin x ＝12sin2x ，易知f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增，故③正确； 对④：⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12≠⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12，故函数f (x )的周期不是π；对⑤：－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－x ＝－⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－x ＝|sin x |cos x ，f (x )＝|cos x |sin x ，显然二者不恒相等，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0不是f (x )的中心对称点．答案：①③ 三、解答题10．(2014·福建卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解析：方法一：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1 ＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 11．(2014·北京朝阳一模)已知函数f (x )＝2sin x cos x －3cos2x . (1)求f (0)的值及函数f (x )的单调递增区间； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：(1)因为f (x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以f (0)＝－ 3.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.所以，当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值－3； 当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f (x )取得最大值2.12．(2015·荆门调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解析：f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a＝3－32，b＝8.综上所述，a＝32－3，b＝5或a＝3－32，b＝8.。

第3讲 三角函数的图象与性质1．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π12对称的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 2．(2017年重庆适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π63．(2016年新课标Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图X3­3­1，则( )图X3­3­1A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 4．(2017年茂名一模)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)和g (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，则f (x )的取值范围是( )A ．[－3,3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，3 32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32 5．(2013年大纲)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图X3­3­2，则ω＝( )图X3­3­2A ．5B ．4C ．3D ．26．函数y ＝|tan x |cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <3π2，且x ≠π2的图象是( )A BC D7．(2017年新课标Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减 8．(2016年江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与函数y ＝cos x 的图象的交点个数是______．9．(2017年浙江温州中学统测)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于π2，若将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，则y ＝g (x )是减函数的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，010．(2012年新课标)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0,2] 11．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．12．是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋a cos x＋58a－32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，请说明理由．第3讲 三角函数的图象与性质1．C 解析：将x ＝π12代入选项A ，B ，C ，D 中，只有选项C 取得最大值y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝sin π2＝1，所以关于直线x ＝π12对称，且T ＝2π2＝π.2．A 解析：依题意，得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6单调递增．结合各选项知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3.故选A. 3．A 解析：由图知，A ＝2，周期T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2ππ＝2.所以y ＝2sin(2x ＋φ)．因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1.所以2π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝－π6.所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A. 4．D 解析：因为函数f (x )和g (x )的图象的对称轴完全相同，故f (x )和g (x )的周期相同，所以ω ＝2，f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，得2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.根据余弦函数的单调性，当2x ＋π3＝π，即x ＝π3时，f (x )min ＝－3；当2x ＋π3＝π3，即x ＝0时，f (x )max＝32.所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.故选D. 5．B 解析：设函数的最小正周期为T ，由题图可知T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.6．C 解析：方法一，y ＝|sin x |·cos x|cos x |，分类讨论．方法二，y ＝|tan x |cos x 的符号与cos x 相同．故选C.7．D 解析：函数的最小正周期为T ＝2π1＝2π，则周期为2k π()k ∈Z .所以f (x )的一个周期为－2π.故选项A 正确；将x ＝8π3代入f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＝cos 3π＝－1为最小值．因此直线x ＝8π3为对称轴．故选项B 正确；将x ＝π6代入f (x ＋π)，得cos3π2＝0.故选项C 正确；由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，4π3.函数在该区间显然不单调．故选项D 错误．故选D.8．7 解析：由sin 2x ＝cos x ⇒cos x ＝0或sin x ＝12.因为x ∈[0,3π]，所以x ＝π2，3π2，5π2，π6，5π6，13π6，17π6，共7个．9．A 解析：因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3，T 2＝π2，所以T ＝2πω＝π.则ω＝2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.故g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝2sin 2x ，故其单调递减区间为2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )，当k ＝0时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4为函数g (x )的一个单调递减区间，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.故选A.10．A 解析：方法一，ω＝2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4不合题意，排除D ；ω＝1⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4合题意，排除B ，C.故选A. 方法二，由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4.由题意知，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2.∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2.∴12≤ω≤54.故选A. 11．解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4.由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上所述，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.12．解：y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12， 当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1.令t ＝cos x ，则0≤t ≤1.∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1. 当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a2时．y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)．当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)．综上所述，存在a ＝32符合题意．。

课时提升作业(十七)三角函数的图象与性质(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=-4sin x+1,x ∈[-π,π]的单调性是( ) A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数B.在,22ππ-[]上是增函数,在[-π,-2π]和[2π,π]上都是减函数 C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数D.在[2π,π]和[-π,-2π]上是增函数,在[-2π,2π]上是减函数【解析】选D.由正弦函数的图象知,函数y=4sin x,x ∈[-π,π]时,在[-2π,2π]上是增函数,在[-π,-2π]和[2π,π]上是减函数.所以函数y=-4sin x+1在[-2π,2π]上是减函数,在[-π,-2π]和[2π,π]上是增函数,故选D. 2.(2015·济南模拟)下列函数中周期为π且为偶函数的是 ( )A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos【解析】选A.y=sin =-cos2x 为偶函数,且周期是π,所以选A.3.(2015·郑州模拟)如果函数y=3sin(2x+φ)的图象关于直线x=6π对称,则|φ|的最小值为( )A. 6πB.4π C.3π D.2π【解析】选A.由题意,得sin(2×6π+φ)=±1. 所以3π+φ=2π+k π,即φ=6π+k π(k ∈Z), 故|φ|min =6π.4.已知函数f(x)=cos x 在区间[a,b]上是减函数,且f(a)+f(b)=0,则a+b 的值可能是( )A.0B.πC.2πD.3π 【解题提示】结合余弦函数f(x)=cos x 的图象解答. 【解析】选B.因为f(a)+f(b)=0,所以f(a)=-f(b).由余弦函数f(x)=cos x 的图象知 区间[a,b]的中点是2π+2k π,(k ∈Z), 所以a+b=2(2π+2k π)=π+4k π(k ∈Z), 故a+b 的可能值是π.5.(2015·大连模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R,其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=2π时,f(x)取得最大值,则( )A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数【解题提示】先由题中条件确定ω与φ的值,再验证各选项即可. 【解析】选A.因为f(x)的最小正周期为6π,所以ω=13, 因为当x=2π时,f(x)有最大值,所以13×2π+φ=2π+2k π(k ∈Z),φ=3π+2k π(k ∈Z),因为-π<φ≤π,所以φ=3π.所以f(x)=2sin(x3+3π),由此函数验证易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上均没单调性,在区间[4π,6π]上是增函数. 二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数的定义域是 . 【解析】由tan x-1≥0,得tan ≥1.所以k π+4π≤x<k π+2π (k ∈Z).答案:[k π+4π,k π+2π)(k ∈Z)7.cos 23°,sin 68°,cos 97°从小到大的顺序是 . 【解析】sin 68°=sin(90°-22°)=cos 22°. 因为余弦函数y=cos x 在[0,π]上是单调递减的. 且22°<23°<97°,所以cos 97°<cos 23°<cos 22°. 答案:cos 97°<cos 23°<sin 68°8.(2015·天津模拟)函数f(x)=-sin(2x-4π),x ∈[0, 2π]的最大值是 .【解题提示】先由x 的取值范围确定2x-4π的范围,再根据正弦曲线求解.【解析】因为x ∈[0, 2π], 所以-4π≤2x-4π≤34π. 根据正弦曲线,得当2x-4π=-4π时.sin(2x-4π)取得最小值为-2.故f(x)=-sin(2x-4π)的最大值为2.答案:2【误区警示】解答本题易忽视函数表达式前面的负号而误填1. 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.若x ∈[0,π],且满足cos x ≤0,求函数的最大、最小值. 【解题提示】先求x 的取值范围,然后换元求解. 【解析】由x ∈[0,π],且满足cos x ≤0,得 x ∈[2π,π].=令t=sin x,则t ∈[0,1],=所以y max =min =2. 10.已知函数f(x)=2sin(2ωx+4π)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间[0,2π]上的单调性. 【解析】(1)因为f(x)=2sin(2ωx+4π)的最小正周期为π,且ω>0.从而有22πω=π,故ω=1.(2)因为f(x)=2sin(2x+4π).若0≤x ≤2π,则4π≤2x+4π≤54π.当4π≤2x+4π≤2π,即0≤x ≤8π时, f(x)单调递增;当2π<2x+4π≤54π,即8π<x ≤2π时,f(x)单调递减. 综上可知,f(x)在区间[0, 8π]上单调递增,在区间(8π,2π]上单调递减.(20分钟 40分)1.(5分)(2015·哈师大附中模拟)若函数f(x)=Asin 2ωx(A>0,ω>0)在x=1处取得最大值,则函数f(x+1)为( ) A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数【解析】选A.因为f(x)=Asin 2ωx 在x=1处取得最大值,故f(1)=A,即 sin 2ω=1,所以2ω=2π+2k π,k ∈Z.因此,f(x+1)=Asin(2ωx+2ω) =Asin(2ωx+2π+2k π)=Acos 2ωx,故f(x+1)是偶函数.2.(5分)(2015·邯郸模拟)已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[,]34ππ-上的最小值是-2,则ω的最小值为( )A.23B.32C.2D.3 【解题提示】结合正弦函数的图象解答.【解析】选B.因为ω>0,所以-3πω≤ωx ≤4πω,由题意,结合正弦曲线易知,- 3πω≤-2π,即ω≥32.故ω的最小值是32.3.(5分)(2015·浦东模拟)若Sn=sin 7π +sin 27π+…+sin n 7π(n ∈N *),则在S 1,S 2,…,S 100中,正数的个数是( ) A.16 B.72 C.86 D.100【解析】选C.因为函数f(x)=sinx7π的最小正周期为 T=14,又sin 7π>0,sin 27π>0,…,sin 67π>0,sin 77π=0,sin 87π<0,…,sin 137π<0,sin 147π=0,所以在S 1,S 2,S 3,…,S 13,S 14中,只有S 13=S 14=0,其余均大于0.由周期性可知,在S 1,S 2,…,S 100中共有14个0,其余都大于0,即共有86个正数.【加固训练】若f(x)=sin(x+4π),x ∈[0,2π],关于x 的方程f(x)=m 有两个不相等实数根x 1,x 2,则x 1+x 2等于( )A. 2π或52πB.2π C. 52πD.不确定【解析】选A.对称轴x=4π+k π∈[0,2π], 得对称轴x=4π或x=54π, 所以x 1+x 2=2×4π=2π或x 1+x 2=2×54π=52π, 故选A.4.(12分)已知函数f(x)=2asin(2x-3π)+b 的定义域为[0, 2π],函数的最大值为1,最小值为-5,求a 和b 的值.【解题提示】先求出2x-3π的范围,再分a>0,a<0两类情况讨论,列出a,b 的方程组,可求解. 【解析】易知a ≠0.因为0≤x ≤2π,所以-3π≤2x-3π≤23π. 所以-2≤sin(2x-3π)≤1. 若a>0,则2a b 1,b 5,+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得a 12b 23⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩若a<0,则2a b 5,b 1,+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得a 12b 19⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩综上可知或. 5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(34π,0)对称. (1)求φ,ω的值.(2)求f(x)的单调递增区间. (3)x ∈3[,]42ππ-,求f(x)的最大值与最小值. 【解析】(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)是R 上的偶函数, 所以φ=2π +k π,k ∈Z,且0≤φ≤π,则φ=2π, 即f(x)=cos ωx.因为图象关于点M(34π,0)对称, 所以ω×34π=2π+k π,k ∈Z,且0<ω<1,所以ω=23.(2)由(1)得f(x)=cos 23x,由-π+2k π≤23x ≤2k π且k ∈Z 得,3k π-32π≤x ≤ 3k π,k ∈Z,所以函数的递增区间是[3k π-32π,3k π],k ∈Z.(3)因为x ∈[-34π,2π],所以23x ∈[-2π,3π], 当23x=0时,即x=0,函数f(x)的最大值为1,当23x=-2π时,即x=-34π,函数f(x)的最小值为0. 【加固训练】设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=8π. (1)求φ.(2)求函数y=f(x)的单调增区间.【解析】(1)令2×8π+φ=k π+2π,k ∈Z,所以φ=k π+4π,又-π<φ<0,则-54<k<-14,所以k=-1,则φ=-34π.(2)由(1)得:f(x)=sin(2x-34π),令-2π+2k π≤2x-34π≤2π+2k π,k ∈Z,可解得8π+k π≤x ≤58π+k π,k ∈Z,因此y=f(x)的单调增区间为[8π+k π, 58π+k π],k ∈Z.关闭Word 文档返回原板块。

3-3 三角函数的图象与性质练习 文[A 组·基础达标练]1．[2015·某某期末]函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2π B．π C.π2D ．4π 答案 A解析 ∵f (x )＝1－2sin 2x 2＝cos x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π，故选A.2．[2016·某某八校联考]若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 B解析 由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.3．[2015·某某一模]使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ值可以是( ) A.π4B.π2 C ．π D.3π2答案 C解析 要使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z ，故选C.4．[2015·某某一模]若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A ．2 B.12C ．3 D.13答案 B解析 由y ＝2cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝1，即2cos 2π3ω＝1，即cos 2π3ω＝12.经验证，得出选项B 符合．5．[2015·某某二模]若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π8－t ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－3，则实数m 的值等于( ) A ．－1 B ．±5 C ．－5或－1 D ．5或1 答案 C 解析 由f ⎝⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t 得函数的对称轴为x ＝π8.故当x ＝π8时，函数取得最大值或最小值，于是有－2＋m ＝－3或2＋m ＝－3，即m ＝－1或－5，故选C.6．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 解法一(图象特征)：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 取k ＝－1，则x ＝－π4.解法二(验证法)：x ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C正确；而x ＝－π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 也不正确．7．[2015·某某一模]函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 ∵0≤x ≤9，∴0≤π6x ≤3π2，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，即－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2. ∴函数的最大值与最小值之和为2－ 3.8．[2016·某某名校联考]已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22sin x cos x ，则下列结论正确的是( )A ．两个函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0成中心对称图形 B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称图形C ．两个函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同 答案 C解析 令f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g (x )＝22sin x cos x ＝2sin2x .对于A 、B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－2≠0，所以A 、B 都不正确．对于C ，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，又由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )，易知C 正确．对于D ，f (x )的最小正周期为2π，g (x )的最小正周期为π，D 不正确．故选C.9．函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最大值为________．答案3解析 ∵f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1时，f (x )取得最大值 3.10．已知函数f (x )＝|cos x |·sin x ，给出下列五个说法： ①f ⎝⎛⎭⎪⎫2014π3＝－34；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增；④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0成中心对称．其中正确说法的序号是________．答案 ①③ 解析 ①f ⎝⎛⎭⎪⎫2014π3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫671π＋π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫671π＋π3·sin ⎝⎛⎭⎪⎫671π＋π3＝cos π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3＝－34，正确． ②令x 1＝－π4，x 2＝5π4，则|f (x 1)|＝|f (x 2)|，但x 1－x 2＝－6π4＝－3π2，不满足x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )，不正确．③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin2x ，2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z －12sin2x ，2k π＋π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增，正确． ④f (x )的周期为2π，不正确．⑤∵f (－π＋x )＝－|cos x |sin x ，f (－x )＝－|cos x |sin x ， ∴f (－π＋x )＋f (－x )≠0，∴f (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0成中心对称，∴不正确． 综上可知，正确说法的序号是①③.11．[2016·某某一检]已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解 (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos2x 2＋12sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 12．[2016·某某调研]函数f (x )＝p sin ωx (p >0，ω>0)的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，AC ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2，C ＝2π3，求△ABC 周长的最大值． 解 (1)依题意p ＝2，∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为半个周期，∴T 2＝π2，T ＝π，∴ω＝2πT＝2，f (x )＝2sin2x . (2)AC ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＝2sin B ，A ＝π3－B,0<B <π3，又AB sin C ＝BC sin A ＝ACsin B＝2， ∴AB ＝2sin C ＝2×32＝3，BC ＝2sin A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ， ∴△ABC 的周长l ＝AB ＋BC ＋AC ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＋2sin B ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin B ＋32cos B ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋ 3.又∵0<B <π3，∴π3<B ＋π3<2π3，∴当B ＋π3＝π2，即B ＝π6时，△ABC 的周长l 取得最大值2＋ 3.[B 组·能力提升练]1．已知f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>0，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 B解析 f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝b a .∵f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π6是函数f (x )的图象的一条对称轴，即π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>0，∴φ的取值可以是－5π6，∴f (x )＝a 2＋b 2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6，由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k∈Z )得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，故选B.2．[2015·某某一模]函数f (x )＝|sin x |＋2|cos x |的值域为( ) A ．[1，5] B ．[1,2] C ．[2，5] D ．[5，3] 答案 A解析 ∵f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＋2|cos(x ＋π)|＝|－sin x |＋2|－cos x |＝|sin x |＋2|cos x |，∴f (x )为周期函数，其中一个周期为T ＝π，故只需考虑f (x )在[0，π]上的值域即可．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5sin(x ＋α)，其中cos α＝15，sin α＝25，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝5，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x ＋β)，其中cos β＝15，sin β＝－25，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝5，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴f (x )的值域为[1，5]．3．[2015·某某一模]已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2015)＝________.答案 4030解析 f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋A 2＋1.由相邻两条对称轴间的距离为2，知T2＝2，得T＝4＝2π2ω，ω＝π4，由f (x )的最大值为3得A ＝2.又f (x )的图象过点(0,2)，∴cos2φ＝0，∴2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，又0<φ<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin πx 2＋2.∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，f (4)＝2，又f (x )的周期为4,2015＝4×503＋3，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2015)＝503×(1＋2＋3＋2)＋1＋2＋3＝4030.4．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求f (x )的单调增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z .∴函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z .(2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.。

§4.3 三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (2)y ＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数．( √ )(3)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．( × ) (4)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( × ) (5)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1.( × ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．(2014·陕西)函数f (x )＝cos(2x －π6)的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π答案 B解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3 答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 3．(2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6 答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得 sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.4．函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________． 答案 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为{x |－3≤x <－π2或0<x <π2}.题型一 求三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为_________________________________________．答案 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； ③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．(2)(2013·天津)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．0 答案 (1){x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z } (2)B解析 (1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知， 函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，令y ＝2x －π4，则sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin y 在y ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值为sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22. 题型二 三角函数的单调性、周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.思维升华 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．(2014·北京)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三 三角函数的奇偶性和对称性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 (1)π6(2)A解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z ， 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.思维升华 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．(1)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( ) A ．(－π8，0)B ．(0,0)C ．(－18，0)D ．(18，0)(2)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点(π4，0)对称；②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________．答案 (1)C (2)②④解析 (1)由条件得f (x )＝2sin(ax ＋π4)，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin(2πx ＋π4)．将x ＝－18代入得函数值为0.(2)∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π3(k ∈Z )．∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y ＝sin(2x ＋π3)，由图象及性质可知②④正确．三角函数的单调性、对称性、周期性典例：(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12] D ．(0,2](2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3(3)(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 思维点拨 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)利用正弦型函数图象的对称性求周期．解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]，∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. (2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案 (1)A (2)C (3)π温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象与其对称轴的交点是最值点.方法与技巧1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质． 失误与防范1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况． 3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的．A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 答案 C解析 f (x ＋π)＝lg|sin(x ＋π)|＝lg|sin x |，所以周期为π，对f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|－sin x |＝lg|sin x |，所以为偶函数，故选C.2．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．[－π8，3π8]B ．[π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]答案 C解析 由f (π8)＝－2得 f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ) ＝－2sin(π4＋φ)＝－2， 所以sin(π4＋φ)＝1. 因为|φ|<π，所以φ＝π4. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 当k ＝1时，－3π8≤x ≤π8，故选C. 3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2 答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2.4．(2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /⇒φ＝π2. ∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件． 5．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A ．[0,1]B ．[12，1]C ．[－1,2]D ．[0,2]答案 A解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x 2. ∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．6．函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________． 答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z ) 解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得 2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )． 所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )． 7．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T 2＝2.8.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.答案 3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2， 所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)， 所以0＝A tan(2×3π8＋φ)， 即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3. 9．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ， 又－π<φ<0，则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 10．设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx 8＋1. (1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sinπx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4 ＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin(πx 4－π3)， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (2)方法一 在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3] ＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)． 当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3， 因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为 g (x )max ＝3cos π3＝32. 方法二 区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]， 且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为 y ＝f (x )在[23，2]上的最大值． 由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)， 当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为 g (x )max ＝3sin π6＝32. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋24答案 A解析 函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原函数式为y ＝sin(2x ＋φ)，又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点(π6，1)，且|φ|<π2.代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin(2x ＋π6)，令x ＝0，可得y ＝12. 12．已知函数f (x )＝2m sin x －n cos x ，直线x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则n m等于( ) A.332B. 3 C ．－233D.33答案 C 解析 由x ＝π3是函数f (x )图象的对称轴易得 f (0)＝f (2π3)， ∴－n ＝2m sin 2π3－n cos 2π3， ∴－n ＝3m ＋n 2， ∴3m ＝－32n ， ∴n m ＝－233. 13．函数y ＝tan(2x ＋π4)的图象与x 轴交点的坐标是_______________. 答案 (k π2－π8，0)(k ∈Z ) 解析 由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得， x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan(2x ＋π4)的图象与x 轴交点的坐标是(k π2－π8，0)(k ∈Z )． 14．给出下列命题：①函数f (x )＝4cos(2x ＋π3)的一个对称中心为(－5π12，0)； ②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为[－1，22]； ③若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β.其中所有真命题的序号是________．答案 ①②解析 对于①，令x ＝－512π，则2x ＋π3＝－56π＋π3＝－π2，有f (－512π)＝0，因此(－512π，0)为f (x )的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f (x )的值域为[－1，22]，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°>60°，但sin 390°＝12<sin 60°＝32，故③为假命题，所以真命题为①②.15．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

第三节三角函数的图象与性质三角函数的图象及性质能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性．知识点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质易误提醒1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 必记结论 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是奇函数．[自测练习]1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z 解析：由3x ≠π2＋k π，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .答案：D2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点． 答案：B4．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．答案：5 3π4＋2k π(k ∈Z )考点一 三角函数的定义域、值域|1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈ZD ．R解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 答案：C2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．0D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案：⎣⎡⎦⎤－1，221．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数值域(最值)的三种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域．(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． (3)数形结合法，作出三角函数图象可求．考点二 三角函数的单调性|(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．三角函数的单调区间的求法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可．若ω为负，则要先把ω化为正数．(2)图象法：作出三角函数的图象，根据图象直接写出单调区间．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，又y ＝sin t 在区间⎝⎛⎭⎫π2，32π上递减．∴π2ω＋π4≥π2，且ωπ＋π4≤32π，解之得12≤ω≤54.答案：A2．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调区间．解：把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x <k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z .故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性|正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有： 1．三角函数的周期性． 2．三角函数的奇偶性．3．三角函数的对称轴或对称中心． 4．三角函数性质的综合应用． 探究一 三角函数的周期性1．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为________． 解析：∵y ′＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期T ′＝π， ∴T ＝T ′2＝π2.答案：π22．(2015·高考湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易知|PQ |2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝⎝⎛⎭⎫2π2ω2＋(22)2，ω＝π2. 答案：π2探究二 三角函数的奇偶性3．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.答案：C探究三 三角函数的对称轴或对称中心4．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.答案：B5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .即k ＝－1，则x ＝－π4.答案：C探究四 三角函数性质的综合应用6．(2015·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 解析：∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4. ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称． 答案：C7．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．11.换元法求三角函数的最值问题【典例】 (1)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． (2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x 或令t ＝sin x ＋cos x ．转化为二次函数最值问题．[解] (1)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]． 又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y 大＝f (2)＝32＋ 2.[方法点评] (1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可设sin x ＝t ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[跟踪练习] 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由π6≤x ≤7π6，知－12≤sin x ≤1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782A 组 考点能力演练1．(2015·唐山期末)函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D ．4π解析：∵f (x )＝1－2sin 2x 2＝cos x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π，故选A.答案：A2．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C.答案：C3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．πD.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3.答案：A4．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0，∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0， ∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2π≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2. 答案：B5．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( ) A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 B ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎫0，π4上单调递减 解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝－π6， 则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，故选D. 答案：D6．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1<πk<2，即k <π<2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx －π4，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－14，34.答案：⎣⎡⎦⎤－14，34 8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题的是________．解析：f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故③是真命题；因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，故④是真命题． 答案：③④9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． 解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π， ∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2. (2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时， sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．(2016·长沙模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ， 所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，π，sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈ ⎣⎡⎦⎤0，32，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12. B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：由周期公式T ＝2π2＝π. 答案：B2．(2015·高考四川卷)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x解析：采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.答案：A3．(2015·高考浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) 4．(2014·高考北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：π5．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.。

4-3三角函数的图象与性质A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )． A ．最小正周期为2 π的奇函数 B ．最小正周期为2 π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x .∴f (x )是最小正周期为π的奇函数． 答案 C2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12解析 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x ＝π12.本题也可用代入验证法来解． 答案 D3．(2012·南昌质检)函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )． A ．2π B.3π2 C ．π D.π2解析 依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.故最小正周期为2π.答案 A4．(★)下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析 (筛选法)∵函数的周期为π.∴排除C 、D ，∵函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，∴排除B. 答案 A【点评】 本题采用了筛选法，体现了筛选法的方便、快捷、准确性，在解选择题时应注意应用.5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )．A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数． 答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．若函数f (x )＝cos ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．解析 f (x )＝cos ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx＝cos ωx sin ωx ＝12sin 2ωx ， ∴T ＝2π2ω＝π.∴ω＝1. 答案 17．(★)(2011·开封质检)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________．解析 (回顾检验法)据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 π6【点评】 本题根据条件直接求出θ的值，应将θ再代入已知函数式检验一下. 8．(★)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2x 2＋x2x 2＋cos x 的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f (x )＝1＋x ＋sin x2x 2＋cos x，f (x )－1为奇函数，则m －1＝－(M －1)，所以M ＋m ＝2.答案 2【点评】 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解.三、解答题(共23分) 9．(11分)设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知： 定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }．(2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3，∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3，∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．10．(12分)(2011·中山模拟)已知f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .(1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝13，求f (α)的值； (2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． 解 (1)由题设知，f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin 2α＝13＝2sin α·cos α＞0，α∈[0，π]，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＋cos α＞0.由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43， 得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝23 3. (2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，又0≤x ≤π，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(★)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )． A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 C【点评】 本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问题，再用数形结合来解决，但换元后注意新元的范围.2．(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )．A.23B.32 C ．2 D ．3解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 B二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·绍兴模拟)关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析 函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T 2＝π2知①错．利用诱导公式得f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝ 4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，知②正确．由于曲线f (x )与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－π6代入得f (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝4sin 0＝0， 因此点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是f (x )图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f (x )的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x ＝－π6时y ＝0，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－π6不是图象的对称轴，因此命题④不正确． 答案 ②③4．函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以2sin π4ω＝3，且0＜π4ω＜π2，因此ω＝43. 答案 43三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·南通调研)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，则－54＜k ＜－14，k ∈Z ， ∴k ＝－1，则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 6．(12分)已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0得g (x )＞1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

课时作业18 三角函数的图象与性质一、选择题1．函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx 的最小正周期为( ) A ．2π B.3π2C ．πD.π2解析：f(x)＝(1＋3tanx)cosx ＝cosx ＋3sinx cosx ·cosx ＝2cos(x －π3)，则T ＝2π.答案：A2．(2016·吉林延吉月考)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则( ) A ．函数f(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．函数f(x)的图象关于直线x ＝π3对称C ．函数f(x)的图象向右平移π3个单位后，图象关于原点对称D ．函数f(x)在区间(0，π)内单调递增解析：因为函数的最小正周期T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π3＋π6＝sin π3＝32，所以A ，B 错误．将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin x 2的图象，关于原点对称，所以C 正确．由－π2＋2kπ≤12x ＋π6≤π2＋2kπ(k ∈Z)，得－4π3＋4kπ≤x≤2π3＋4kπ(k ∈Z)，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－4π3＋4kπ，2π3＋4kπ，k ∈Z ，所以D 错误，故选C.答案：C3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的一个单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫3π4，7π4 B.⎝⎛⎭⎫－π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫－π2，π2 D.⎝⎛⎭⎫－3π4，π4 解析：y ＝sin(π4－x)＝－sin(x －π4)，故由2kπ＋π2≤x －π4≤2kπ＋3π2，解得2kπ＋34π≤x≤2kπ＋74π(k ∈Z)．因此，函数y ＝sin(π4－x)的单调增区间为[2kπ＋34π，2kπ＋74π](k ∈Z)．答案：A4．(2016·北京石景山一模)把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4解析：将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象，x ＝－π2是该图象的一条对称轴方程．答案：A5．(2016·衡水调研)已知f(x)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.若a ＝f(lg5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1解析：因为f(x)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π42＝1＋sin2x 2，令lg5＝t ，则lg 15＝－t ，所以a ＝f(lg5)＝1＋sin2t 2，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝1－sin2t 2，所以a ＋b ＝1. 故选C. 答案：C6．(2016·陕西西安八校联考)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知πω6＋π6＝kπ＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.答案：B7．(2016·南昌大学附中月考)设f(x)＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是( )A ．f(0)＝1B ．f(0)＝0C ．f′(0)＝1D ．f′(0)＝0解析：f(x)＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，有φ＝kπ＋π2，k ∈Z.∴f(x)＝±cosωx.而f′(x)＝±ωsinωx ，∴f′(0)＝0，故选D.答案：D8．(2016·云南统考)已知函数①y ＝sinx ＋cosx ，②y ＝22·sinxcosx ，则下列结论正确的是( )A ．两个函数的图象均关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4轴对称C ．两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同解析：设f(x)＝sinx ＋cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，g(x)＝22sinxcosx ＝2sin2x.对于A 、B ，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π4＝－2≠0，易知A 、B 都不正确．对于C ，由－π2＋2kπ≤x ＋π4≤π2＋2kπ(k ∈Z)，得f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π4＋2kπ，π4＋2kπ (k ∈Z)，由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ(k ∈Z)，得g(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋kπ，π4＋kπ(k ∈Z)，易知C 正确．对于D ，f(x)的最小正周期为2π，g(x)的最小正周期为π， D 不正确. 故选C.答案：C9．(2016·北京顺义一模)已知函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数； ②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f(x)图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0；④函数f(x)的单调递增区间为[kπ＋π6，kπ＋2π3]，k ∈Z.其中正确的结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由已知得，f(x)＝cos(2x ＋π3)－cos2x ＝cos2xcos π3－sin2xsin π3－cos2x ＝－sin(2x ＋π6)，不是奇函数，故①错．当x ＝2π3时，f(2π3)＝－sin(4π3＋π6)＝1，故②正确；当x ＝5π12时，f(5π12)＝－sinπ＝0，故③正确；令2kπ＋π2≤2x ＋π6≤2kπ＋3π2，k ∈Z, 得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.答案：C10．(2016·山西太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称解析：∵f(x)的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ的图象，又g(x)的图象关于原点对称， ∴－2π3＋φ＝kπ，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋kπ，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴⎪⎪⎪⎪2π3＋kπ<π2，∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A 、C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误． 答案：B 二、填空题11．(2016·河北唐山一模)已知函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π2，则函数在[0,2π]上的零点个数为________．解析：由已知得f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的周期为π，即2πω＝π，得ω＝2. ∴f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 当f(x)＝0时，2x ＋π6＝π2＋kπ(k ∈Z)，即x ＝kπ2＋π6，则当x ∈[0,2π]时f(x)有4个零点．答案：412．设函数f(x)＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________. 解析：由题意得f′(x)＝3cos(3x ＋φ)，f(x)＋f′(x)＝2sin(3x ＋φ＋π3)是奇函数，因此φ＋π3＝kπ(其中k ∈Z)，φ＝kπ－π3.又0<φ<π，所以φ＝2π3. 答案：2π313．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(π2<φ<π)的图象，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.解析：注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－(－2π3)＝2π，T＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.答案：1214．(2016·皖南八校一模)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，a .当a ＝π3时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a 的取值范围是________． 解析：若－π6≤x≤π3，则－π3≤2x≤2π3，－π6≤2x ＋π6≤5π6. 此时－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 即f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1. 若－π6≤x≤a ，则－π3≤2x≤2a ，－π6≤2x ＋π6≤2a ＋π6. 因为当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12，所以要使f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1， 则π2≤2a ＋π6≤7π6，即π3≤2a≤π， 所以π6≤a≤π2，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，1 ⎣⎡⎦⎤π6，π2 三、解答题15．已知函数f(x)＝4cosωx·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0，π2]上的单调性．解：(1)f(x)＝4cosωx·sin(ωx ＋π4)＝22sinωx·cosωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx)＋ 2 ＝2sin(2ωx ＋π4)＋ 2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x≤π2时f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．16．(2016·湖北部分重点中学联考改编)已知函数f(x)＝3sin2x －2sin 2x －1. (1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)若不等式|f(x)－m|<3，对任意x ∈⎝⎛⎦⎤π12，π3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f(x)＝3sin2x －2sin 2x －1 ＝3sin2x －(1－cos2x)－1 ＝3sin2x ＋cos2x －2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2. ∴最小正周期为T ＝π，最小值为－4. (2)由(1)知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2， 当x ∈⎝⎛⎦⎤π12，π3时，2x ＋π6∈⎝⎛⎦⎤π3，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤12，1，则－1≤f(x)≤0. 又对任意x ∈⎝⎛⎦⎤π12，π3，|f(x)－m|<3⇔⎩⎪⎨⎪⎧＋3，－3恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧min ＋3，max －3，即－3<m<2.故m 的取值范围是(－3,2)．。

[推荐学习]高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时训练理第3节三角函数的图象与性质【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.(2015高考四川卷)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) (A)y=cos(2x+) (B)y=sin(2x+)(C)y=sin 2x+cos 2x (D)y=sin x+cos x解析:选项A,y=cos(2x+)=-sin 2x,符合题意.2.(2016合肥质检)下列关系式中正确的是( C )(A)sin 11°<cos 10°<sin 168°(B)sin 168°<sin 11°<cos 10°当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( A )(A)f(2)<f(-2)<f(0) (B)f(0)<f(2)<f(-2) (C)f(-2)<f(0)<f(2) (D)f(2)<f(0)<f(-2)解析:因为f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期为π,且x=,x=分别是经过最小值点,最大值点的对称轴.即f(x)在(,)上为减函数,又f(-2)=f(π-2), f(0)=f(),<<π-2<2<.所以f()>f(π-2)>f(2).即f(0)>f(-2)>f(2).故选A.6.(2016济南调研)关于函数f(x)=sin(2x+)与函数g(x)=cos(2x-),下列说法正确的是( D )(A)函数f(x)和g(x)的图象有一个交点在y轴上(B)函数f(x)和g(x)的图象在区间(0,π)内有3个交点(C)函数f(x)和g(x)的图象关于直线x=对称(D)函数f(x)和g(x)的图象关于原点(0,0)对称解析:g(x)=cos(2x-)=cos(2x--)=cos[-(2x-)]=sin(2x-),由f(0)=,g(0)=-,故A错;易知f(x)和g(x)的图象在(0,π)内有2个交点,B错;由f(π-x)=sin[2(π-x)+]=-sin(2x-)≠g(x). f(x)和g(x)的图象不关于直线x=对称,C错; 由f(-x)=sin[2(-x)+]=-sin(2x-)=-g(x),f(x)和g(x)的图象关于原点(0,0)对称,选D.7.(2016合肥质检)设y=sin(ωx+ϕ) (ω>0,ϕ∈(-,))的最小正周期为π,且其图象关于直线x=对称,则在下面四个结论中:①图象关于点(,0)对称;②图象关于点(,0)对称;③在[0,]上是增函数;④在[-,0]上是增函数. 正确结论的编号为.解析:因为T=π,所以ω=2,所以y=sin(2x+ϕ).因为图象关于直线x=对称,所以+ϕ=+kπ(k∈Z),所以ϕ=+kπ(k∈Z).又因为ϕ∈(-,),所以ϕ=.所以y=sin(2x+).当x=时,y=sin(+)=,故①不正确;当x=时,y=0,故②正确;当x∈[0,]时,2x+∈[,],y=sin(2x+)不是增函数,即③不正确;当x∈[-,0]时,2x+∈[0,]⊆[0,],故④正确.答案:②④8.若f(x)=sin(x+),x∈[0,2π],关于x的方程f(x)=m有两个不相等实数根x1,x2,则x1+x2等于.解析:对称轴x=+kπ∈[0,2π], 得对称轴x=或x=,所以x1+x2=2×=或x1+x2=2×=,答案:或9.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间[0,]上的最大值是,则ω= .解析:由0≤x≤,得0≤ωx≤<,则f(x)在[0,]上单调递增,又在这个区间上的最大值是,所以2sin =,又0<<,所以=,解得ω=.答案:10.(2015高考北京卷)已知函数f(x)=sincos-sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.解:(1)因为f(x)=sin x-(1-cos x)=sin(x+)-,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤.当x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f(-)=-1-.11.(2015高考重庆卷)已知函数f(x)=sin sin x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在上的单调性.解:(1)f(x)=sin(-x)sin x-cos2x=cos xsin x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin(2x-)-,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为. (2)当x∈[,]时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在[,]上单调递增;在[,]上单调递减.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016黄山质检)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在x=1处取最大值,则( D ) (A)f(x-1)一定是奇函数(B) f(x-1)一定是偶函数(C)f(x+1)一定是奇函数(D)f(x+1)一定是偶函数解析:由f(x)=Asin(ωx+ ),且f(x)在x=1处取得最大值,得f(x)关于x=1对称,则f(x+1)关于y轴对称,即f(x+1)一定是偶函数.13.(2016赤峰质检)函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)的图象如图所示,其中A>0,ω>0,|ϕ|<,则关于f(x)的说法正确的是( D )(A)对称轴方程是x=+2kπ(k∈Z)(B)ϕ=-(C)最小正周期为π(D)在区间(-,-)上单调递减解析:-(- )=π=×,故ω=1,由题图知-+φ=k π,k∈Z,A=1,又|φ|<,故φ=,所以函数f(x)=sin(x+).函数f(x)图象的对称轴方程为x+=kπ+,即x=+kπ(k∈Z),选项A中的说法不正确;选项B中的说法不正确;函数f(x)的最小正周期为2π,选项C中的说法不正确;由2kπ+≤x+≤2kπ+,得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递减区间是[2kπ+,2kπ+](k∈Z),令k=-1,得函数f(x)的一个单调递减区间为[-,-],即[-,-],由于(-,-),即(-,-)⊆[-,-],所以函数f(x)在(-,-)上单调递减.故选D. 14.函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π]的最小值是.解析:设sin x-cos x=t,t=sin(x-),因为x∈[0,π],所以x-∈[-,π],所以t∈[-1,],sin xcos x=,所以y=t+=-(t-1)2+1,当t=-1时,y=-1.min答案:-115.(2015金华模拟)已知f(x)=2sin (2x+)+a+1.(1)若x∈R,求f(x)的单调递增区间;(2)当x∈[0,]时,f(x)的最大值为4,求a的值;(3)在(2)的条件下,求满足f(x) =1且x∈[-π,π]的x的取值集合.解:(1)f(x)=2sin (2x+)+a+1,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,可得x∈[kπ-,kπ+](k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)当x=时,f(x)取最大值f()=2sin +a+1=a+3=4,所以a=1.(3)由f(x)=2sin (2x+)+2=1可得sin(2x+)=-,则2x+=+2kπ,k∈Z或2x+=π+2kπ,k∈Z, 即x=+kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,又x∈[-π,π],可解得x=-,-,,,所以x的取值集合为(-,-,,].16.已知a>0,函数f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,当x ∈[0,]时,-5≤f(x)≤1.(1)求常数a,b的值;(2)设g(x)=f(x+)且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.解:(1)因为x∈[0,],所以2x+∈[,].所以sin(2x+)∈[-,1],所以-2asin(2x+)∈[-2a,a].所以f(x)∈[b,3a+b].又因为-5≤f(x)≤1,所以b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.(2)由(1)得a=2,b=-5,所以f(x)=-4sin(2x+)-1,g(x)=f(x+)=-4sin(2x+)-1=4sin(2x+)-1,又由lg g(x)>0得g(x)>1,所以4sin(2x+)-1>1,所以sin(2x+)>,所以2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z.所以g(x)的单调增区间为(kπ,kπ+],k∈Z. 又因为当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递减,即kπ+<x<kπ+,k∈Z.所以g(x)的单调减区间为(kπ+,kπ+),k∈Z.精彩5分钟1.(2015邯郸模拟)已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[-,]上的最小值是-2,则ω的最小值为( B )(A) (B) (C)2 (D)3解题关键:利用数形结合分析[-,]上的最值.解析:因为ω>0,所以-ω≤ωx≤ω,由题意,结合正弦曲线易知,-ω≤-,即ω≥.故ω的最小值是.2.(2015大连模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+ϕ),x∈R,其中ω>0,-π<ϕ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则( A )(A)f(x)在区间[-2π,0]上是增函数(B)f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数(C)f(x)在区间[3π,5π]上是减函数(D)f(x)在区间[4π,6π]上是减函数解题关键:先由题中条件确定ω与ϕ的值,再验证各选项即可.解析:因为f(x)的最小正周期为6π,所以ω=, 因为当x=时,f(x)有最大值,所以×+ϕ=+2kπ(k∈Z),ϕ=+2kπ(k∈Z),因为-π<ϕ≤π,所以ϕ=.所以f(x)=2sin(+),由此函数验证易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上不是单调函数,在区间[4π,6π]上是增函数.。

课时提升练(十八) 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2014·陕西高考)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是 ( )A.π2B.π C ．2π D ．4π【解析】 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B.【答案】 B2．(2013·浙江高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ＝π2不成立；若φ＝π2，则f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．【答案】 B3．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－3，则实数m 的值等于( )A ．－1B ．±5C ．－5或－1D ．5或1【解析】 由题意得函数的对称轴为x ＝π8，故当x ＝π8时，函数取得最大值或最小值，所以－2＋m ＝－3或2＋m ＝－3.∴m ＝－1或m ＝－5.【答案】 C4．函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋x 是( )A ．非奇非偶函数B ．仅有最小值的奇函数C ．仅有最大值的偶函数D ．有最大值又有最小值的偶函数 【解析】 f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋x ＝2cos 2x －1＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.显然有最大值又有最小值，而且在R 上有f (－x )＝f (x )，所以正确答案为D.【答案】 D5．已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1【解析】 由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，∴ω≥2.【答案】 A6．已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【解析】 ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (0)，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数，∴f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，即c ＜a ＜b .【答案】 B 二、填空题7．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．【解析】 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z. 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z8．(2014·江苏高考)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．【解析】 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.【答案】π69．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R ，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－5π12对称．其中正确命题的序号是________．(填入所有正确命题的序号)【解析】 由f (x 1)＝f (x 2)＝0得，x 1－x 2必是半个最小正周期的整数倍，由于f (x )的最小正周期是π，故①错；f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故②正确；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，所以③正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝－4，所以④正确． 【答案】 ②③④ 三、解答题10．(2014·福建高考)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解】 法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .11．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域． 【解】 (1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ， 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]．12．已知a ＞0，函数f (x )＝－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg(g (x ))＞0，求g (x )的单调区间．【解】 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1 ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，∴a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 又∵lg(g (x ))＞0，∴g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12. ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z .其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z .当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6(k ∈Z )，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．。

全国通用高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质教师用书文新人教A 版———————————————————————————————— [考纲传真] 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z值域[－1,1] [－1,1]R单调性递增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2k ∈Z ，递减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 k ∈Z递增区间：[2k π－π，2k π] k ∈Z ，递减区间：[2k π，2k π＋π]k ∈Z递增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性对称中心 (k π，0)k ∈Z对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0k ∈Z 对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0k ∈Z对称轴 x ＝k π＋π2(k ∈Z)对称轴x ＝k π(k ∈Z)周期性 2π 2ππ1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( ) (2)函数y ＝sin x 的图象关于点(k π，0)(k ∈Z)中心对称．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)y ＝sin |x |是偶函数．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．(2017·云南二次统一检测)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象关于( ) A ．原点对称 B ．y 轴对称C ．直线x ＝5π2对称D ．直线x ＝－5π2对称A [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝－sin 2x 是奇函数，则图象关于原点对称，故选A.] 3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈ZD [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z.] 4．(2017·长沙模拟(一))函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πC [令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3，故选C.]5．(教材改编)函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________．2 {x |x ＝6k π，k ∈Z} [f (x )min ＝4－2＝2，此时，13x ＝2k π(k ∈Z)，x ＝6k π(k ∈Z)，所以x 的取值集合为{x |x ＝6k π，k ∈Z}．]三角函数的定义域与值域(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [(1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sinx＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2，∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.][规律方法] 1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x ，cos x ，sin x cos x 或sin x ±c os x 换成t ，转化为二次函数求解．[变式训练1] (1)已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．2B ．3 C.3＋2D ．2－ 3(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值. 【导学号：31222113】(1)B [∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，∴b －a ＝3.](2)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22，3分∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22，7分∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.12分三角函数的单调性(1)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2](2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________． (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) [(1)由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.(2)由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所求函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．][规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法(1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x 的系数为正数，以防止把单调性弄错．2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．[变式训练2] (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【导学号：31222114】(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) (2)32 [(1)由－π2＋k π＜2x －π3＜π2＋k π(k ∈Z)，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)． (2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.]三角函数的奇偶性、周期性、对称性☞角度1 奇偶性与周期性的判断(1)(2014·全国卷Ⅰ)在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③(2)函数y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(1)C (2)A [(1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.(2)y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝－sin 2x ，所以f (x )是最小正周期为π的奇函数．]☞角度2 求三角函数的对称轴、对称中心(2016·安徽江南十校3月联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0A [由f (x )＝sin (ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)， ∴φ＝π3＋2k π(k ∈Z)，由|φ|＜π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z)， 得x ＝2k π－2π3(k ∈Z)，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z)，当k ＝0时，f (x )图象的一个对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.]☞角度3 三角函数对称性的应用(1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2(2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－ 3B ．－33 C. 2 D.22(1)A (2)B [(1)由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.(2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫10π3，即sin 0＋a cos 0＝sin 10π3＋a cos 10π3，解得a ＝－33.] [规律方法] 1.对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (3)借助函数的图象．[思想与方法]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的形式，再用换元法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．2．求三角函数值域(最值)的常用方法：(1)将函数变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．(2)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题．3．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)． [易错与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．求y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0)的单调区间，要注意ω的正负，只有当ω＞0时，才能将“ωx ＋φ”整体代入相应单调区间．3．利用换元法求三角函数最值时，注意cos x (或sin x )的有界性．4．正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形．课时分层训练(十九) 三角函数的图象与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) D ．RC [由cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z.] 2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝( )【导学号：31222115】A ．1 B.12 C ．－1D ．－12A [由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.]3．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；B 项，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．]4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( ) 【导学号：31222116】A ．1B ．2C ．4D ．8B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.]5．(2017·重庆二次适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6 C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，2π3D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，5π6A [依题意得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x－π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6单调递增．因此结合各选项知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，故选A.]二、填空题6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z) [由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x,2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z)．] 7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．2或－2 [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.] 8．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________. 【导学号：31222117】⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z [由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.]三、解答题9．(2016·北京高考)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．[解] (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.4分 依题意，得πω＝π，解得ω＝1.6分(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z).8分由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z).12分10．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，3分所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.6分(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.7分 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；9分当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州二次质量预测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( ) 【导学号：31222118】A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称B [由题意得函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2×π4＝－sin 2x ，易知其为奇函数，由－π2＋2k π＜2x ＜π2＋2k π，k ∈Z 得－π4＋k π＜x ＜π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，故选B.]2．设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [∵f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6∈[－2,2]．又∵|f (x )|≤a恒成立，∴a ≥|f (x )|max ，∴a ≥2.]3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．[解] ∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ).2分(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.5分(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.6分又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.9分令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.12分。