指数函数及其性质学案(2)

4.1.2 指数函数的性质与图像（二）素养目标·定方向课程标准学法解读1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养． 2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从_______到______相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝⎛⎭⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数___________．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1．知识点解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的_______求解；(2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的_______求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝b x (b ＞0且b ≠1)的图像求解． 知识点与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)函数的性质有： ①函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有_______的定义域．②当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有_______的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有________的单调性．思考：(1)指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的单调性取决于哪个量？ (2)如何判断形如y ＝f (a x )(a ＞0且a ≠1)的函数的单调性？关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用 典例剖析典例1 比较下列各组数的大小： (1)1.72.5,1.73； (2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1； (4)55，33，2．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较． 对点训练1．比较下列各题中两个值的大小． (1)0.3x 与0.3x ＋1； (2)⎝⎛⎭⎫12－2与212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域 典例剖析典例2 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域．规律方法：复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域． 对点训练2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的单调递减区间是_________，值域是_________． 题型指数函数性质的综合应用 典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,8) B ．[4,8) C ．(1，＋∞)D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x 是R 上的奇函数．①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≤x 0，g x ，x ＞x 0的单调性(1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)． (2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)． 2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小． 对点训练3．(1)若将本例(1)中的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，其他条件不变，试求a 的范围；(2)已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，总存在 x 2∈[－2,2]，使得f (x 1)≤g (x 2)，求实数m 的取值范围．易错警示典例剖析典例4 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x＋1的值域．[错解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34， 所以函数的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞．参考答案必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)下上(2)由大变小知识点解指数型不等式(1)单调性(2)单调性(3)①相同②相同相反思考：提示：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝a x(a ＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1解：(1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y＝0.8x，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得1．70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝122＝(23)16＝816，33＝313＝(32)16＝916而8＜9.∴816＜916，即2＜33，又2＝122＝(25) 110 ＝32110 ，55＝515 ＝(52) 110 ，而25＜32，∴55＜2． 总之，55＜2＜33． 对点训练1．解：(1)∵y ＝0.3x 为减函数， 又x ＜x ＋1，∴0.3x ＞0.3x ＋1． (2)化同底为：(12)－2＝22，与212 ，∵函数y ＝2x 为增函数，2＞12．∴22＞212 ，即(12)－2＞212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域 典例剖析典例2 解：令t ＝－x 2＋x ＋2， 则y ＝⎝⎛⎭⎫12t，因为t ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上是减函数， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞； 又t ≤94，所以⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫1294， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎡⎭⎫⎝⎛⎭⎫1294，＋∞． 对点训练2．【答案】 [1，＋∞) ⎝⎛⎦⎤－∞，32【解析】令t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t，利用二次函数的性质可得函数t 的增区间为[1，＋∞)，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的减区间是[1，＋∞)；因为t ≥－1， 所以f (x )≤32，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32．题型指数函数性质的综合应用 典例剖析典例3 (1) 【答案】B【解析】因为分段函数为增函数，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥6－a 2，解得4≤a ＜8．(2) 解：①因为f (x )为R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1， 因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． ②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )， 即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3， 由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2． 对点训练3．解：(1)因为函数f (x )满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，所以函数f (x )在定义域上是增函数， 则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＞1，a ≥32.得32≤a ＜2．(2)因为f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数， 所以f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1∈(0,3]， 则当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－3,3]， 若对于∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]， 使得g (x 2)≥f (x 1)， 则等价为g (x )max ≥3，因为g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， x ∈[－2,2]，所以g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ， 则满足8＋m ≥3解得m ≥－5．易错警示典例剖析典例4 [正解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34． 因为t ＞0，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数， 所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)． 参考答案。

2.1.2指数函数及其性质学习目标1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)知识梳理教材整理1指数函数的定义阅读教材，完成下列问题．指数函数的定义一般地，函数(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R.练一练1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝－2x是指数函数．()(2)函数y＝2x＋1是指数函数．()(3)函数y＝(－2)x是指数函数．()教材整理2指数函数的图象和性质阅读教材，完成下列问题．R练一练2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(2)当a>1时，对于任意x∈R，总有a x>1.()(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．()类型一：指数函数的概念例1 (1)下列一定是指数函数的是( ) A ．y ＝a x B ．y ＝x a (a >0且a ≠1) C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝(a －2)a x(2)函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3 D ．a >0且a ≠1名师指导1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1；2．求指数函数的解析式常用待定系数法．跟踪训练1 (1)若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (x )＝________. (2)已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 类型二：指数函数的定义域和值域 例2 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝√1−3x ； (2)y ＝(23)√−|x|； (3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. 名师指导1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同．2．函数y＝a f(x)的值域的求解方法如下：(1)换元，令t＝f(x)；(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；(3)求t＝f(x)的值域t∈M；(4)利用y＝a t的单调性求y＝a t，t∈M的值域．3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．跟踪训练2 求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x−3；(2)y＝221()2x x.探究共研型类型三：指数函数的图象探究1指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象过哪一定点？函数f(x)＝a x－1＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？探究2若函数y＝a x＋b(a>0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则a，b满足什么条件？例3(1)在同一坐标系中画出函数y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是()(2)函数y ＝a－|x |(0＜a ＜1)的图象是( )名师指导指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系． (1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小． (2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .跟踪训练3 定义一种运算：g ⊙h ＝⎩⎪⎨⎪⎧gg ≥hhg <h ，已知函数f (x )＝2x ⊙1，那么函数y ＝f (x －1)的大致图象是( )课堂检测1．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( ) A ．(2)x B ．2x C.⎝⎛⎭⎫12xD.⎝⎛⎭⎫22x2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－89，8 B.⎣⎡⎦⎤－89，8 C.⎝⎛⎭⎫19，9D.⎣⎡⎦⎤19，93．已知1>n >m>0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )4．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0, 且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________． 5．设f (x )＝3x ，g(x )＝⎝⎛⎭⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g(x )的图象；(2)计算f (1)与g(－1)，f (π)与g(－π)，f (m )与g(－m )的值，从中你能得到什么结论？参考答案知识梳理教材整理1 指数函数的定义 y ＝a x ； x 练一练1【答案】 (1)× (2)× (3)×【解析】 (1)由指数函数的定义形式可知(1)(2)(3)均错误． 教材整理2 指数函数的图象和性质 (0，＋∞) ；(0,1)；增函数；减函数；y 轴 练一练2【答案】 (1)√ (2)× (3)×【解析】 (1)因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图象一定在x 轴的上方． (2)当x ≤0时，a x ≤1.(3)因为f (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以函数f (x )＝2－x在R 上是减函数． 类型一：指数函数的概念 例1 【答案】 (1)C (2)C【解析】 (1)A 中a 的范围没有限制，故不一定是指数函数；B 中y ＝x a (a >0且a ≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C 中y ＝⎝⎛⎭⎫12x 显然是指数函数；D 中只有a －2＝1即a ＝3时为指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.跟踪训练1 【答案】 (1)3x (2) ⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) 【解析】 (1)由题意设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)， 则f (2)＝a 2＝9.又因为a >0，所以a ＝3. 所以f (x )＝3x .(2)由题意可知{ 2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 类型二：指数函数的定义域和值域例2 解：(1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝ √1−3x 的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1.所以√1−3x ∈[0,1)，即函数y ＝ √1−3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0， 所以函数y ＝ (23)√−|x|的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以y ＝ (23)√−|x| ＝(23)0＝1，即函数y= (23)√−|x|的值域为{y |y ＝1}．(3)因为对于任意的x ∈R ， 函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义， 所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R . 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2 ＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 跟踪训练2 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠3}． 令t ＝1x−3，则t ≠0，∴y ＝2t >0且2t ≠1， 故函数的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)函数的定义域为R ，令t ＝2x －x 2， 则t ＝－(x －1)2＋1≤1，∴y ＝(12)t ≥ (12)1＝12，故函数的值域为[12，+∞）.探究共研型类型三：指数函数的图象探究1 【答案】 指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(0,1)；在f (x )＝a x －1＋2中令x －1＝0，即x ＝1，则f (x )＝3，所以函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,3)． 探究2 【答案】 如图，由图可知0<a <1，b ≤－1.例3【答案】 (1)D (2)A【解析】(1)∵a 为直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距，对应函数y ＝x ＋a 单调递增， 又∵当a ＞1时，函数y ＝a x 单调递增，当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 单调递减，A 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＜1，不符合以上两条；B 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足0＜a ＜1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＞1，不符合以上两条；C 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而函数y ＝x ＋a 单调递减，不符合以上两条， ∴只有选项D 的图象符合以上两条，故选D. (2)y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0＜a ＜1，∴1a＞1，故当x ＞0时，函数为增函数，当x ＜0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.跟踪训练3 【答案】 B【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x ≥01x <0，∴f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥11x <1，∴其图象为B ，故选B.课堂检测 1．【答案】 A【解析】 由题意，设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x . 2．【答案】 A【解析】 y ＝3－x －1，x ∈[－2,2)是减函数， ∴3－2－1<y ≤32－1，即－89<y ≤8.3．【答案】 C【解析】 由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C. 4．【答案】 (0,1)【解析】 因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a＞1，解得0＜a ＜1.5． 解：(1)函数f (x )，g(x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g(－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π， f (m )＝3m ，g(－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m＝3m.。

第2课时指数函数的图象和性质(二）必备知识·探新知基础知识知识点1 比较幂的大小比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．知识点2 有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域形如y＝a f(x）的函数的定义域就是f（x）的定义域．求形如y＝a f(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝a u的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．求形如y＝f(a x)的函数的值域，要先求出u＝a x的值域，再结合y＝f（u）确定出y＝f(a x）的值域．（2）判断复合函数的单调性令u＝f（x),x∈［m，n]，如果复合的两个函数y＝a u与u＝f(x）的单调性相同，那么复合后的函数y＝a f（x)在[m，n］上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减），那么复合函数y＝a f(x）在［m，n]上是减函数．（3）研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f（x）与f（－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．基础自测1．已知错误!a〉错误!b，则a,b的大小关系是（ B )A．1>a〉b>0 B．a<bC．a>b D．1〉b〉a〉0［解析］因为y＝错误!x在（0，＋∞)上是单调递减函数，错误!a> b，所以a<b，故选B．错误!2．设f（x)＝错误!|x｜，x∈R，那么f（x)是（ D ）A ．奇函数且在（0,＋∞)上是增函数B ．偶函数且在（0,＋∞）上是增函数C ．奇函数且在(0,＋∞）上是减函数D ．偶函数且在（0，＋∞）上是减函数［解析] 因为f （－x )＝错误!|－x |＝错误!｜x ｜＝f (x )，所以f (x ）为偶函数．又当x 〉0时，f （x ）＝错误!x 在（0，＋∞）上是减函数，故选D ．3．若2x ＋1＜1，则x 的取值范围是（ D ）A ．（－1，1)B ．（－1，＋∞)C ．（0,1)∪（1，＋∞)D ．（－∞，－1）[解析] 不等式2x ＋1＜20，因为y ＝2x 是定义域R 上的增函数，所以x ＋1＜0，即x ＜－1.4．当x ∈［－1,1］时，函数f (x )＝3x －2的值域是（ C )A ．[1，错误!]B ．[－1,1]C ．[－53，1]D ．[0,1]［解析］ 因为f (x ）＝3x －2是[－1，1］上的增函数，所以3－1－2≤f (x ）≤3－2,即－错误!≤f(x)≤1.5．已知a＝错误!，函数f(x)＝a x，若实数m,n满足f（m）〉f(n），则m,n的大小关系为__m〈n__.[解析] ∵a＝错误!∈（0，1），∴f（x）＝a x为减函数,故由a m〉a n，解得m〈n.关键能力·攻重难题型探究题型一指数型函数的单调性例1 讨论函数f(x)＝(错误!)x2－2x的单调性，并求其值域．［分析] 此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数,因此可根据复合函数的单调性对其讨论．[解析］解法一:∵函数f(x）的定义域为(－∞，＋∞），设x1、x2∈（－∞,＋∞)且有x1〈x2，(1)当x1〈x2≤1，x1＋x2〈2，即有x1＋x2－2〈0.又∵x2－x1〉0,∴（x2－x1）（x2＋x1－2)<0，则知（错误!）(x2－x1）（x2＋x1－2）〉1。

2.1.2指数函数及其性质的应用(2)班级： 姓名： 编者：阮娟萍 高一数学备课组 问题引航1.能熟练说出指数函数的性质。

2.会求简单复合函数的性质。

3.会利用指数函数的性质比较幂值的大小。

自主探究1．函数)1,0(≠>=a a y a x 的定义域是 ，值域 ． 2．函数)1,0(≠>=a a y a x ．当ａ＞１时，若ｘ＞０时，ｙ １，若ｘ＜０时，ｙ １；若ｘ＝１时，ｙ １；当０＜ａ＜１时，若ｘ＞０时，ｙ １，若ｘ＜０时，ｙ １；若ｘ＝１时，ｙ １．3．函数)1,0(≠>=a a y a x 是 函数（就奇偶性填）． 互动探究1．函数y=a x+2－3(a ＞0且a ≠1)必过定点________．2．函数y ＝a |x|(0＜a ＜1)的图像是（ ）3．比较下列各题中两个值的大小:(1) 35.27.1 ,7.1 (2) 2.01.08.0 ,8.0--(3) 1.33.09.0 ,7.1 (4) 比较2131a a 与的大小，)1,0(≠>a a 且当堂检测 １．函数2121x x y -=+是（ ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数 ２．函数21x y =的单调递减区间是（ ）Ａ．（－∞，＋∞） Ｂ．（－∞，０）Ｃ．（０，＋∞） Ｄ．（－∞，０）和（０，＋∞）3．若函数x a y )12(+=是减函数，则a 的取值范围是__________________.4．函数y=4x 与函数y=4-x 的图像关于________对称．*5.已知的大小关系是则c b a c b a ,,,2.1,8.0,8.08.09.07.0===？自我评价你对本节课知识掌握的如何（ ）A.非常好B.较好C.一般D.较差E.很差。

指数函数图像与性质教学设计精选10篇指数函数及其性质教学设计解读篇一《2.1.2 指数函数及其性质(2 》教学设计【学习目标】1.知识与技能①.熟练掌握指数函数概念、图象、性质。

②.掌握指数函数的性质及应用。

③.理解指数函数的简单应用模型, 认识数学与现实生活及其他学科的联系。

2.情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。

②培养学生观察问题，分析问题的能力。

③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；3.过程与方法让学生通过观察函数图象，进而研究指数型函数的性质, 主要通过小组讨论、小组展示、及时评价完成整个导学过程【学习重点】熟练掌握指数函数的的概念，图象和性质及指数型增长模型。

【学习难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、指数型函数的图象，性质。

【导学过程】教学内容师生互动设计意图互查每组两名同学互查识记内容教师提问记忆方法，学生回答，其他同学可以相互借鉴。

复习指数函数的图象及性质，为本节课中的内容储备知识基础。

展系吗？→请用一句话概括下图是指数函数2x y =, 3xy =, 0.3x y =, 0.5x y =的图象，请指出它们各自对应的图象。

教师随时点评，引导，欣赏，鼓励。

每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。

其他同学可让学生从图象直观的理解指数函数，从变化中找到不变的规律，提高学生的总结归纳能示交流结论：针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。

力教学内容师生互动设计意图展示交流探究二：指数形式的函数定义域、值域：求下列函数的定义域、值域：(121 x y =+,(2y =,(3 1 4 2x y-=.首先提问给出的三个函数是否是指数函数，加深学生对指数函数概念的理解。

学生小组讨论，交流。

每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。

其他同学可针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。

所给函数虽然不是指数函数，但是由指数函数得到的复合函数，其性质与指数函数密切相关，通过训练能够培养学生的创造性思维能力。

2.1.2 指数函数及其性质(二)自主学习学习目标1．理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题．2．理解指数函数的底数a 对函数图象的影响．基础自测1．下列一定是指数函数的是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝x x (x >0，且x ≠1)C ．y ＝(a －2)x (a >3)D ．y ＝(1－2)x2. 指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <13．函数y ＝πx 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)4．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )A ．a <2B ．a >2C ．－1<a <0D ．0<a <1题型探究类型一 比较大小问题【例1】 比较下列各题中两个值的大小：(1)3π与33.14； (2)0.99－1.01与0.99－1.11； (3)1.40.1与0.90.3.规律方法 比较两指数大小时，若底数相同，则先构造出该底数的指数函数，然后利用单调性比较；若底数不同，则考虑选择中间量，通常选择“1”作为中间量．变式迁移1 比较⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412的大小．类型二 解简单的指数不等式【例2】 如果a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．规律方法 解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为变式迁移2 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是____________．类型三 指数函数的最值问题【例3】 (1)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值； (2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值．规律方法 指数函数y ＝a x (a >1)为单调增函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最小值a s ；当x ＝t 时，函数有最大值a t .指数函数y ＝a x (0<a <1)为单调减函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最大值a s ；当x ＝t 时，函数有最小值a t .变式迁移3 (1)函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a 的值；(2)0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值和最小值．课堂小结1．指数函数的定义及图象是本节的关键．通过图象可以求函数的值域及单调区间．2．利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小．(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小．(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小．3．通过本节的学习，进一步体会分类讨论思想在解题中的应用．当堂检测一、选择题1．下图分别是函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，a ，b ，c ，d 分别是四数2，43，310，15中的一个，则相应的a ，b ，c ，d 应是下列哪一组( )A.43，2，15，310B.2，43，310，15C.310，15，2，43D.15，310，43，2 2．已知a ＝30.2，b ＝0.2－3，c ＝(－3)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a3．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(12，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，12)4．设13<(13)b <(13)a <1，则( ) A ．a a <a b <b a B ．a a <b a <a b C ．a b <a a <b a D ．a b <b a <a a5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ， x >14－a 2x ＋2， x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)二、填空题6．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x －2的值域是____________．7．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是____________．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是__________．三、解答题9．解不等式a x ＋5<a 4x －1 (a >0，且a ≠1)．10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )>0.【参考答案】基础自测1．C 2.C 3.A 4.C题型探究【例1】 解 (1)构造函数y ＝3x .∵a ＝3>1，∴y ＝3x 在(－∞，＋∞)上是增函数．∵π>3.14，∴3π>33.14.(2)构造函数y ＝0.99x .∵0<a ＝0.99<1，∴y ＝0.99x 在(－∞，＋∞)上是减函数．∵－1.01>－1.11，∴0.99－1.01<0.99－1.11.(3)分别构造函数y ＝1.4x 与y ＝0.9x .∵1.4>1,0<0.9<1，∴y ＝1.4x 与y ＝0.9x在(－∞，＋∞)上分别为增函数和减函数．∵0.1>0，∴1.40.1>1.40＝1.∵0.3>0，∴0.90.3<0.90＝1，∴1.40.1>1>0.90.3，∴1.40.1>0.90.3.变式迁移1 解 将⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412分成如下三类：(1)负数⎝⎛⎭⎫－233； (2)大于0小于1的数⎝⎛⎭⎫3412；(3)大于1的数⎝⎛⎭⎫4313，223.∵⎝⎛⎭⎫4313<413，而413＝223， ∴⎝⎛⎭⎫－233<⎝⎛⎭⎫3412<⎝⎛⎭⎫4313<223. 【例2】 解 (1)当0<a <1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6.(2)当a >1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，x 的取值范围是：当0<a <1时，x ≥－6；当a >1时，x ≤－6.变式迁移2 (12，＋∞) 解析 a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1. ∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 在R 上是增函数．∴x >1－x ，解得x >12. ∴x 的取值范围是(12，＋∞)． 【例3】 解 (1)①若a >1，则f (x )在[1,2]上递增，最大值为a 2，最小值为a .∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去). ②若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减，最大值为a ，最小值为a 2.∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)， 综上所述，所求a 的值为12或32. (2)设t ＝a x ，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，对称轴为t ＝－1.①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∵t ＝a x 在[－1,1]上递增，∴0<1a≤t ≤a ； ∴y ＝(t ＋1)2－2当t ∈[1a，a ]时递增． 故当t ＝a 时，y max ＝a 2＋2a －1.由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去，∵a >1)．②若0<a <1，t ＝a x 在[－1,1]上递减，t ∈[a ，1a]， y max ＝a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)． 综上，可得a ＝13或3. 变式迁移3 解 (1)∵f (x )＝a x 在[1,2]上是单调函数，∴f (x )在1或2时取得最值．∴a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3，∵a >0，∴a ＝2.(2)y ＝12·22x －3·2x ＋5＝12(22x －6·2x )＋5 ＝12(2x －3)2＋12. ∵x ∈[0,2]，1≤2x ≤4，∴当2x ＝3时，y 最小值＝12， 当2x ＝1时，y 最大值＝52. 当堂检侧1．C2．B 【解析】c <0，b ＝53>3,1<a <3，∴b >a >c .3．B 【解析】函数y ＝(12)x 在R 上为减函数， ∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. 4．C 【解析】由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .5．D 【解析】因为f (x )在R 上是增函数，故结合图象知 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >14－a 2>04－a 2＋2≤a，解得4≤a <8.6.⎣⎡⎦⎤－53，1 7．c >a >b 【解析】y ＝0.8x 为减函数，∴0.80.7>0.80.9，且0.80.7<1，而1.20.8>1，∴1.20.8>0.80.7>0.80.9.8．(－∞，－1)【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12得x ∈∅； 当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；因此当x <0时，由2x －1<－12得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)．9．解 当a >1时，原不等式可变为x ＋5<4x －1.解得x >2；当0<a <1时，原不等式可变为x ＋5>4x －1.解得x <2.故当a >1时，原不等式的解集为(2，＋∞)； 当0<a <1时，原不等式的解集为(－∞，2)．10．(1)解 由2x －1≠0，得x ≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)解 由于函数f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x －1＋12·(－x )3 ＝－⎝⎛⎭⎫2x 1－2x ＋12x 3＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3 ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)证明 当x >0时，12x －1>0，x 3>0， ∴f (x )>0，又∵f (x )为偶函数，∴x <0时，f (x )>0，综上所述，对于定义域内的任意x 都有f (x )>0.。

普通高中课程标准实验教科书 [北师版] –必修1第三章 指数函数与对数函数§3.3指数函数§3.3.3指数函数的图象和性质（第二课时）（教案）[教学目标] 1、知识与技能（1）进行学习指数函数的图像和性质,并用来解答．（2）能够画出指数函数的图像,总结出指数函数的性质,并通过图像和性质比较指数的大小和解简单的指数不等式． 2、 过程与方法（1）让学生掌握指数函数的图像和性质,进一步体会指数函数的性质与底数的关系． （2）通过特殊到一般的研究方法研究一个陌生问题是一种常规的思维方式,是由表及里的上升循环过程,学习指数函数的性质是为了更好的研究具体函数． 3、情感．态度与价值观使学生通过学习指数函数的图像,了解到指数函数具有的性质．在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程、数形结合的方法等,增强学习指数函数的积极性和自信心．[教学重点]: 指数函数的图像和性质．[教学难点]：指数函数的图像和性质与底数的关系[学法指导]：学生思考、探究．[讲授过程]【新课导入】[互动过程1]复习：指数函数x在底数1a >及01a <<这两种情况下的图像和性质：练习1:比较下列数的大小关系:（1）0.39与0.79;（2）0.50.7与0.450.7[互动过程2]根据指数函数的性质,我们就可以解方程x264=．你能解指数不等式吗?怎样解？例2（1）求不等式x432>成立的x 的集合；（2）已知45a >求数a 的取值范围．分析：对于指数不等式,即比较不等式左右两边数的大小,可以把两边的数化为同底数,根据指数函数的单调性比较出来,也可以直接利用计算器算出数值进行比较．解:（1）x 432>即为2x522>,因为x y 2=在R 上是增函数,所以2x 5>,5x 2>．所以满足x432>的x 的集合为5{x |x }2>．（2）由于45<45a >所以函数x y a =为减函数,所以0a 1<<．练习2：（1）求不等式x1273>成立的x 的集合;（2）已知5a >求数a 的取值范围．解:（1）x1273>即为3x 133->,因为xy 3=在R 上是增函数,所以3x 1>-,1x 3>-．所以满足x1273>的x 的集合为1{x |x }3>-．（2）由于5>且5a >所以函数x y a =为增函数,所以a 1>．[互动过程3]例3．请你在同一坐标系中画出函数xy 2=和x1y ()2=的图像,说出其自变量,函数值及其图象间的关系．解：在同一坐标系中画出函数x y 2=和x1y ()2=的图像如图所示,从图中可以看出,当函数xy 2=和函数x1y ()2=的自变量的取值互为相反时,其函数值是相等的,因而两个函数的图像关于y 轴对称．猜想：函数xa y =与xay )1(=的图像之间有什么关系？能说明吗?分析：函数xa y =图像上的点(,)xx a 关于y 轴对称的点(,)xx a --，该点坐标还可可表示为1(,())x x a --在x a y )1(=的图像上；x a y )1(=图像上的点1(,())x x a 关于Y 轴对称的点1(,())x x a-，该点坐标还可可表示为(,)x x a --在xa y =图像上。

第2课时 指数函数y=a x (0<a<1)的图象和性质◆ 知识点一 指数函数的图象和性质函数y=a x (a>1)y=a x (0<a<1)图象性 质定义域 R值域过定点单调性 在R 上为 在R 上为 函数值 变化当x>0时,y>1 当x>0时, 当x<0时,0<y<1当x<0时,◆ 知识点二 指数函数y=a x 与y=b x (0<a<b<1)的特点如图.(1)当x<0时,a x >b x >1; (2)当x=0时,a x =b x =1; (3)当x>0时,0<a x <b x <1.【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)将函数y=(12)x的图象向右平移1个单位长度,即得到函数y=(12)x -1的图象. ()(2)(12)x <(13)x.( )(3)若a 2<a -1(a>0,且a ≠1),则y=a x 在R 上为减函数. ()◆ 探究点一 比较大小例1 (1)已知a=0.92,b=270.8,c=√243,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a<b<cB .a<c<bC .c<a<bD .b<a<c(2)比较下列各组中两个数的大小:①0.8-0.1与0.8-0.2;②(1π)2与(13)-1.3.变式 (多选题)[2024·江西赣州高一期中] 若a=20.6,b=40.4,c=0.20.8,则( )A .b>aB .a>bC .a>cD .ab>c[素养小结]对于两个相同底数的式子,要利用相应指数函数的单调性,通过自变量的大小关系直接判断相应函数值的大小;当两个式子不能化为相同底数时,我们可以找到一个中间值,将这两个数分别与中间值进行比较,常用的中间值有0,1等.拓展 (1)关于x 的不等式10·(12)x -(14)x>16的解集为 .(2)如果a -5x >a x+7(0<a<1),那么x 的取值范围为 .◆ 探究点二 指数函数图象的识别与应用例2 函数y=3x ,y=5x,y=(14)x在同一平面直角坐标系中的大致图象是 ()变式 已知y 1=(13)x,y 2=3x ,y 3=10-x ,y 4=10x ,则在同一平面直角坐标系内,它们的大致图象为( )ABCD[素养小结](1)不同底数的指数函数的图象在同一平面直角坐标系中的相对位置关系是:在y 轴右侧的图象从下到上相应的底数由小变大;在y 轴左侧的图象从下到上相应的底数由大变小. (2)对于指数函数y=a x (a>0,a ≠1),其图象一定出现在x 轴上方.若指数型函数的图象出现在x 轴下方或与x 轴相切,则可以通过平移变换和对称变换实现.拓展 直线y=2a 与函数y=|a x -1|(a>0且a ≠1)的图象有两个公共点,则实数a 的取值范围是 .第2课时 指数函数y=a x (0<a<1)的图象和性质【课前预习】知识点一(0,+∞) (0,1) 增函数 减函数 0<y<1 y>1知识点二诊断分析(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)函数y=(12)x 的图象向右平移1个单位长度得到函数y=(12)x -1的图象.(2)当x>0时,有(12)x >(13)x ;当x=0时,有(12)x =(13)x =1;当x<0时,有(12)x <(13)x.(3)因为2>-1,a 2<a -1(a>0,且a ≠1),所以0<a<1,y=a x 在R 上为减函数. 【课中探究】探究点一例1 (1)A [解析] 因为y=3x为增函数,所以c=√243=352>32.4=270.8=b ,即b<c.又a=0.92<0.90=1=270<270.8=b ,即a<b ,所以a<b<c.故选A .(2)解:①因为0<0.8<1,所以指数函数y=0.8x 在R 上是减函数,又-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.②因为(1π)2<1,(13)-1.3>1,所以(1π)2<(13)-1.3.变式 ACD [解析] 因为a=20.6>20=1,b=40.4=(22)0.4=20.8>20.6=a ,c=0.20.8<0.20=1,且c>0,所以b>a>1>c>0,且ab>c.故选ACD .拓展 (1)(-3,-1) (2)(-76,+∞) [解析] (1)由题知(14)x-10·(12)x+16<0,整理得[(12)x]2-10·(12)x+16<0,即[(12)x-8][(12)x-2]<0,可得2<(12)x<8,即(12)-1<(12)x<(12)-3,解得-3<x<-1.(2)当0<a<1时,y=a x 在R 上是减函数,∵a -5x >a x+7,∴-5x<x+7,解得x>-76,即x 的取值范围是(-76,+∞).探究点二例2 B [解析] 函数y=3x ,y=5x 是R 上的增函数,其图象都是上升的,排除C,D;在第一象限内,底数越大的指数函数的图象越靠近y 轴,排除A .故选B .变式 A [解析] y 2=3x与y 4=10x在R 上为增函数,y 1=(13)x与y 3=10-x=(110)x在R 上为减函数.在第一象限内作直线x=1,该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数,则从上到下各点的纵坐标对应的底数依次为10,3,13,110,故选A .拓展 0<a<12[解析] 当a>1时,在同一平面直角坐标系中作出直线y=2a 和函数y=|a x -1|的图象(如图①),由图象可知,直线y=2a 与函数y=|a x -1|的图象只能有一个公共点,此时不满足题意.当0<a<1时,作出直线y=2a 和函数y=|a x -1|的图象(如图②),若直线y=2a 与函数y=|a x -1|的图象有两个交点,则由图象可知0<2a<1,所以0<a<12.故实数a 的取值范围是0<a<12.。