指数函数及其性质教学设计公开课

课题 : § 2.1.2指数函数及其性质
一、教学设计思路：
1、函数及其图像在高中数学中占有重要的位置，如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图像语言有机的结合起来，应用多媒体课件辅助教学；通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望和好奇心。

我们知道：函数的表示法有3种：列表、图像、解析法，以往函数的学习大多只关注图像的作用，这其实只借助了图像的直观性。

只是从一个角度看函数是片面的。

本节课，力图让学生从不同角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法，以便迁移到其他函数的研究中去。

2、本节课我努力做到：
①在课堂活动中通过同伴合作，自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式；
②在教学过程中努力做到生生对话，师生对话，且在对话之后重视体会、总结、反思、力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握学习研究数学的方法；
③通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

二、教案
三教学反思与评价：
通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望和好奇心，树立数形结合思想，学会“看图说话，并加强指数运算的计算能力。

通过练习使学生掌握指数函数的简单性质.。

指数函数教学设计课题指数函数科目数学教学对象高一学生提供者课时 1 课时单位一、教材内容分析本节课是中等职业学校基础模块数学上册第四章第二节《指数函数》，是在学生系统学习了函数的基本概念、表示方法、单调性、奇偶性及一次、二次函数图象，掌握了实指数幂及其运算的基础上引入的。

指数函数是高中阶段接触的第一类重要的基本初等函数，本节课将从一尺之棰，日取其半和木马病毒的自我复制的实际问题引入，引出指数函数的概念，接着研究指数函数的图像和性质，从而深化学生对指数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究对数函数幂函数等其它函数打下基础。

另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了指数函数的知识，例如细胞分裂，放射性物质衰变，贷款利率等，所以学习这一节具有很大的现实价值。

二、教学目标（知识，技能，情感态度、价值观）1.知识和技能：⑴理解指数函数的概念⑵掌握指数函数的图像、相关性质及简单的运算及应用2.过程与方法：⑴通过观察函数图像归纳总结出指数函数的性质⑵引导学生进一步体会数形结合的思想，培养学生的识图能力和分析、归纳、总结的技巧3.情感、态度、价值观⑴通过实例引入，让学生深切感受到生活中处处有数学，激发学习的兴趣和动力⑵学习过程中经历了通过图像探究函数性质的过程，使学生体会到认识事物的特殊性与一般性之间的关系⑶通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神三、教学重点与难点1.教学重点：理解指数函数的定义,把握图象和性质.2.教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质四、学习者特征分析1.智力因素 :⑴知识基础：系统学习了函数的基本概念、表示方法、单调性、奇偶性及一次、二次函数图象及性质，掌握了实指数幂及其运算⑵认知能力：学生对函数有了一定的理解认识，已初步掌握用函数的观点来分析问题和解决问题⑶认知结构变量：指数函数是高中阶段接触的第一类重要的基本初等函数，本节课主要是引导学生通过观察函数图像来总结归纳出函数的性质，内容新鲜且抽象，对识图能力和分析、归纳、总结的能力要求较高，学习起来会感到困难。

高中数学《指数函数及其性质》公开课优秀教学设计本节课主要讲解指数函数及其性质，是高中数学中的一个基本初等函数。

通过研究，学生可以深化对函数概念的理解与认识，初步培养学生的函数应用意识，为今后研究其它初等函数奠定基础。

教学目标包括知识与技能目标、过程与方法目标和情感态度与价值观目标。

学生已有一定的函数基础知识，但思维的全面性、深刻性以及数形结合的思想需要进一步培养和加强。

教学重点是指数函数的概念和性质，教学难点是用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数概念和性质。

为了突破难点，需要寻找新知生长点，建立新旧知识的联系，在理解概念的基础上充分结合图象，利用数形结合来扫清障碍。

教学方法采用“诱思探究”教学模式和“情景式”教学模式，创设问题情景，强化指数函数概念的形成，突出图象的作用，注意数学与生活和实践的联系。

本节课介绍了指数函数及其性质，是高中数学中的一个基本初等函数。

通过研究，学生可以深化对函数概念的理解与认识，初步培养学生的函数应用意识，为今后研究其它初等函数奠定基础。

教学目标包括知识与技能目标、过程与方法目标和情感态度与价值观目标。

学生已有一定的函数基础知识，但思维的全面性、深刻性以及数形结合的思想需要进一步培养和加强。

教学重点是指数函数的概念和性质，教学难点是用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数概念和性质。

为了突破难点，需要寻找新知生长点，建立新旧知识的联系，在理解概念的基础上充分结合图象，利用数形结合来扫清障碍。

教学方法采用“诱思探究”教学模式和“情景式”教学模式，创设问题情景，强化指数函数概念的形成，突出图象的作用，注意数学与生活和实践的联系。

根据注重提高学生数学思维能力的理念，教师指导学生采用自主、合作、探究的研究方法。

首先，帮助学生再现原有认知结构，为理解指数函数的概念和性质做好准备。

其次，在研究指数函数的性质时，引导学生运用分类讨论、数形结合等常见数学思想方法。

第三，通过互相交流和自主探究，让学生变被动的接受为主动地合作研究，从而完成知识的内化过程。

《指数函数》公开课教案指数函数公开课教案一、教学目标1. 通过本节课的研究，学生能够理解指数函数的基本概念。

2. 学生能够掌握指数函数的图像、定义域、值域以及特点。

3. 学生能够运用指数函数解决实际问题。

二、教学内容本节课的教学内容将涵盖以下几个方面：1. 指数函数的定义和基本性质。

2. 指数函数的图像、定义域和值域。

3. 指数函数的特殊情况：零指数、负指数和分数指数。

4. 指数函数的应用：指数增长和指数衰减。

三、教学步骤第一步：引入通过一个生动的例子引入指数函数的概念，比如说明指数函数在金融领域中的应用。

第二步：讲解指数函数的定义和基本性质详细讲解指数函数的定义，以及指数函数与幂函数的区别。

介绍指数函数的基本性质，如指数函数的图像总是经过点(0,1)、指数函数的值域是正实数等。

第三步：讲解指数函数的图像、定义域和值域通过绘制指数函数的图像，让学生直观地了解指数函数的变化趋势和特点。

讲解指数函数的定义域和值域，并与其他函数进行比较。

第四步：讲解指数函数的特殊情况介绍指数函数的特殊情况，如零指数、负指数和分数指数。

讲解它们在指数函数图像中的影响和数学意义。

第五步：讲解指数函数的应用通过实际问题的解决，引导学生运用指数函数来描述和分析指数增长和指数衰减的现象。

引导学生理解指数函数的实际应用场景。

第六步：课堂练安排一些练题和问题，巩固学生对指数函数的理解和应用能力。

四、教学资源和评估方式本节课所需的教学资源包括课件、绘图工具和练题。

评估方式可以采用课堂讨论、课后练和小测验的形式。

五、教学延伸为了帮助学生更好地理解和运用指数函数，建议学生在课后进行更多的题训练，并深入探究指数函数在其他学科中的应用。

以上是本节课《指数函数》的公开课教案，希望能够帮助学生全面掌握指数函数的基本概念和应用。

指数函数及其性质教学设计〔共8篇〕第1篇：《指数函数及其性质》教学设计《指数函数及其性质》教学设计尚义县第一中学乔珺一、指数函数及其性质教学设计说明新课标指出：学生是教学的主体，老师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的根底上，建构新的知识体系。

我将以此为根底对教学设计加以说明。

数学本质：探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象打破，体会数形结合的思想。

通过分类讨论，通过研究两个详细的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。

引导学生探究出指数函数的一般性质，从而对指数函数进展较为系统的研究。

二、教材的地位和作用：本节课是全日制普通高中标准实验教课书《数学必修1》第二章2.1.2节的内容，研究指数函数的定义，图像及性质。

是在学生已经较系统地学习了函数的概念，将指数扩大到实数范围之后学习的一个重要的根本初等函数。

它既是对函数的概念进一步深化，又是今后学习对数函数与幂函数的根底。

因此，在教材中占有极其重要的地位，起着承上启下的作用。

此外，《指数函数》的知识与我们的日常消费、生活和科学研究有着严密的联络，尤其表达在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这局部知识还有着广泛的现实意义。

三、教学目的分析^p ：根据本节课的内容特点以及学生对抽象的指数函数及其图象缺乏感性认识的实际情况，确定在理解指数函数定义的根底上掌握指数函数的图象和由图象得出的性质为本节教学重点。

本节课的难点是指数函数图像和性质的发现过程。

为此，特制定以下的教学目的： 1〕知识目的〔直接性目的〕：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用、能根据单调性解决根本的比拟大小的问题.2〕才能目的〔开展性目的〕：通过教学培养学生观察、分析^p 、归纳等思维才能，体会数形结合和分类讨论思想，增强学生识图用图的才能。

《指数函数的图象和性质》教学设计◆教学目标1．能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象，探索并了解指数函数的单调性与特殊点．2．结合指数函数图象与性质的研究，进一步体会研究具体函数的一般思路和方法，提升直观想象核心素养．◆教学重难点◆教学重点：指数函数的图象和性质．教学难点：根据图象，抽象概括出指数函数的性质，以及对指数函数性质的理解．◆课前准备PPT课件，计算器，GGB课件．◆教学过程（一）整体感知，明确任务引导语：对于具体的函数，我们一般按照“背景—概念—图象和性质—应用”的路径进行研究．前面一节我们从具有现实背景的问题中，学习得到了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质，并灵活应用．根据我们在第三章研究幂函数的经验思考：如何研究一个函数的性质？研究一个函数的性质主要是研究哪些方面？师生活动：教师引导学生类比研究幂函数的学习，提出研究指数函数的图象和性质的方法和内容．预设的答案：研究指数函数的图象和性质，首先要作出函数的图象，其次再根据图象概括函数的性质，最后还可以由性质进一步分析函数的图象．按照函数研究的一般过程，需要研究指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，以及其特有的一些性质．设计意图：通过回顾以往研究幂函数图象和性质的方法和内容，提出研究指数函数的图象和性质的方法和内容，明确本节课研究的重点，并引出问题1．（二）新知探究1．研究指数函数的图象和性质问题1：首先画出指数函数的图象，我们先从简单的函数y=2x开始．请同学们利用计算器完成x，y的对应值表1，并用描点法画出函数y=2x的图象．师生活动：学生独立完成后展示交流，全班师生形成共识即可．预设的答案：完成的表1，和画出的函数y=2x的图象（图1）如下．表1x y-2 0.25-1.5 0.35-1 0.5-0.5 0.710 10.5 1.411 21.52.832 4设计意图：从一个具体的简单的指数函数开始进行研究，巩固描点法，为后续的研究作好铺垫．问题2：为了得到指数函数y=a x(a＞0，且a≠1)的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察．用同样的方法，在同一直角坐标系内画出函数1()2xy=的图象，并与函数y=2x的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数y=2x的图象，画出函数1 () 2xy=的图象？师生活动：学生先用描点法画出函数1()2xy=的图象，通过观察作出猜想．然后教师引导学生从指数的运算性质考虑分析．预设的答案：因为1()22x xy-==，点(x，y)与点(-x，y)关于y轴对称，所以函数y=2x的图象上任意一点P(x，y)关于y轴的对称点P1(-x，y)都在函数1()2xy=的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．根据这种对称性，就可以利用图1一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数y=2x的图象，画出1()2xy=的图象．如图2所示．设计意图：通过探究，学生体会到可以用已知函数图象和对称性来作新函数的图象，并从中学习用联系的观点看问题，以及通过逻辑推理获得数学结论的思维方式．另外，这样探究还便于将指数函数y=a x分为0＜a＜1和a＞1两类，从而分别对两类图象的共同特点进行归纳．问题3：选取底数a（a＞0，且a≠1）的若干个不同的值，例如11 3,4,,34a a a a====，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写出指数函数y=a x（a＞0，且a≠1）的定义域、值域、单调性、奇偶性，等等．师生活动：在已经画出y=2x和1()2xy=图象的基础上，学生利用计算器可以画出这些函数的图象．教师也可以展示GGB课件“4.2指数函数第二课时-不同底数的指数函数图象”，并演示动画效果，得到a取任意值时函数y=a x的大量图象．学生根据这些图象直观地归纳出它们的共同特点，教师予以补充完善，并引导学生进行规范：要将指数函数y=a x分为0＜a＜1和a＞1两类进行讨论．预设的答案：选取底数a的若干值，例如113,4,,34a a a a====，利用信息技术画出图象，如图3．发现指数函数y=a x的图象按底数a的取值，可分为0＜a＜1和a＞1两种类型．因此指数函数的性质也可以分0＜a＜1和a＞1两种情况进行研究，设计的表格如表2．图2表20＜a＜1 a＞1图象定义域R值域(0，+∞)性质（1）过定点(0，1)，即x=0时，y=1 （2）减函数（2）增函数（3）非奇非偶函数，即无奇偶性设计意图：利用GGB动画演示能便捷地做出大量图象，易于归纳，底数a的取值自然地变化，所作函数的图象也自然地产生了，而非事先规定的．在此过程中，有意识地向学生渗透数形结合的思想方法，引导学生“以形助数”，先观察图象得到图象的特征，然后再将图象特征转化为函数性质，达到提升学生直观想象核心素养的目的．2．指数函数的应用例3比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5，1.73；（2）0.8−√2，0.8−√3；（3）1.70.3，0.93.1．师生活动：学生独立完成后展示交流．师生总结求解要点：每一组中的两个值都可以看作某个指数函数的函数值，从而利用指数函数的单调性进行比较．对于（1）（2），两个值可以看作同一个指数函数的两个函数值，直接利用其单调性进行比较．对于（3）1.70.3和0.93.1不能看作同一个指数函数的两个函数值．可以利用函数y=1.7x和y=0.9x的单调性，以及“x=0时，y=1”这条性质把它们联系起来．预设的答案：解：（1）1.72.5和1.73可看作函数y=1.7x当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值．因为底数1.7＞1，所以指数函数y=1.7x是增函数．因为2.5＜3，所以1.72.5＜1.73．（2）同（1）理，因为0＜0.8＜1，所以指数函数y=0.8x是减函数．因为-√2＞-√3，所以0.8−√2＜0.8−√3．图3（3）由指数函数的特性知1.70.3＞1.70=1，0.93.1＜0.90=1，所以1.70.3＞0.93.1．设计意图：利用指数函数的单调性比较两个数的大小，根据问题的特点构造适当的指数函数．学生能够进一步熟悉指数函数的性质，并形成用函数观点解决问题的意识．例4如图4，某城市人口呈指数增长．（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？师生活动：首先由教师引导学生对问题进行分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期；（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系．然后由学生独立完成后展示交流．预设的答案：解：（1）观察图4，发现该城市人口经过20图4年约为10万，经过40年约为20万，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从20万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．设计意图：利用指数函数的图象分析和解决问题，建立函数图象与概念、性质的联系，进一步促使学生形成用函数观点解决问题的意识．（三）归纳小结，布置作业问题4：本节课研究指数函数的图象和性质的方法是什么？从哪几方面概括了指数函数的性质？分别是什么？师生活动：先让学生进行思考并做适当交流，再让学生发言，教师予以补充完善．预设的答案：本节课选取了大量不同的底数a，在同一直角坐标系中画出相应的指数函数图象，通过观察，并结合函数的解析式，分析得到指数函数的图象特点及函数性质．从定义域、值域、定点、单调性和奇偶性，概括了指数函数的性质．具体性质略．设计意图：研究一个函数的图象和性质，是研究函数的基本过程“背景—概念—图象和性质—应用”中的“图象和性质”环节，通过不断强化这一研究过程的方法，使学生逐步掌握研究一个数学对象的基本方法．同时强调根据图象概括函数的性质时，应该关注哪几方面．。

指数函数优秀公开课教案(比赛课)指数函数优秀公开课教案（比赛课）一、教学目标1. 学会定义指数函数，并了解其特征和性质。

2. 掌握指数函数的图像、定义域、值域等基本概念。

3. 能够运用指数函数解决实际问题。

4. 发展学生的逻辑思维和问题解决能力。

二、教学内容1. 指数函数的定义和性质：指数函数的定义，特殊指数函数的性质等。

2. 指数函数的图像与性质：指数函数的基本图像，对称轴、单调性、零点等。

3. 指数函数的定义域与值域：通过图像讨论指数函数的定义域和值域。

4. 指数函数与实际问题：运用指数函数解决实际问题的例子。

三、教学过程1. 导入：通过一个有趣的问题引入指数函数的概念。

2. 理论讲解：逐步介绍指数函数的定义、性质和图像等内容，提醒学生注意重点。

3. 实例分析：通过一些简单实例分析，引导学生理解指数函数的定义域、值域等概念。

4. 练演练：组织学生进行课堂练，加深对指数函数的理解和运用能力。

5. 拓展活动：提供一些更高级的实际问题，激发学生思维，培养解决问题的能力。

6. 总结归纳：对本节课所学内容进行总结，强化学生对指数函数的理解。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、回答问题的准确性等。

2. 课后作业：布置适当数量的作业，以检验学生对指数函数的掌握情况。

3. 测验考核：进行小测验，测试学生对指数函数知识的掌握程度。

4. 互动讨论：鼓励学生参与讨论，促进学生之间的互相研究和思想碰撞。

五、教学资源1. PowerPoint课件：包含指数函数的定义、性质和图像等内容。

2. 实例分析练题：提供一些简单实例用于学生练。

3. 拓展问题手册：包含更高级的实际问题，用于激发学生的思维。

六、教学反思本节课注重在培养学生对指数函数的理解和应用能力上。

通过生动的实例和练，能够帮助学生掌握指数函数的相关知识，并应用于解决实际问题。

在教学过程中，适时鼓励学生的互动和讨论，促进学生之间的研究和思想碰撞。

2.1.2 指数函数及其性质整体设计教课剖析有了前方的知识贮备,我们就能够理所应当地学习指数函数的观点,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质 .教材为了让学生在学习以外就感觉到指数函数的实质背景,先给出两个详细例子:GDP的增长问题和碳 14 的衰减问题 .前一个问题 ,既让学生回首了初中学过的整数指数幂,也让学生感遇到此中的函数模型,而且还有思想教育价值.后一个问题让学生领会此中的函数模型的同时,激发学生研究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲念,为新知识的学习作了铺垫 .本节安排的内容蕴涵了很多重要的数学思想方法,如推行的思想 (指数幂运算律的推行 )、类比的思想、迫近的思想 (有理数指数幂迫近无理数指数幂)、数形联合的思想 (用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时 ,编写时充足关注与实质问题的联合,表现数学的应用价值 .依据本节内容的特色,教课中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创建教课情况 ,为学生的数学研究与数学思想供给支持.三维目标1.经过实质问题认识指数函数的实质背景,理解指数函数的观点和意义,依据图象理解和掌握指数函数的性质,领会详细到一般数学议论方式及数形联合的思想.2.让学生认识数学来自生活,数学又服务于生活的真理.培育学生察看问题、剖析问题的能力,培育学生谨慎的思想和科学正确的计算能力.3.经过训练评论,让学生更能娴熟指数幂运算性质.展现函数图象,让学生经过察看,从而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简短美和一致美.要点难点教课要点：指数函数的观点和性质及其应用.教课难点：指数函数性质的归纳、归纳及其应用.课时安排3课时教课过程第 1 课时指数函数及其性质(1)导入新课思路 1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的3,写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 的关系式 ,它是41函数关系式吗？假如 ,请计算若要使存留的污垢不超出原有的,则起码要漂洗几次？教师164指引学生剖析 ,列出关系式y=()x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位4置上 ,这样的函数叫指数函数,引出本节课题 .121思路 2.教师复习发问指数幂的运算性质,并要修业生计算 23,20,2-2,16 4 ,27 3 ,492 .再发问如何画函数的图象 ,学生思虑 ,分组沟通11,再,写出自己的答案 8,1,,2,9, ,先成立平面直角坐标系47描点 ,最后连线 .点出本节课题 .1思路 3.在本章的开头 ,问题（ 2）中时间t 和碳 14 含量 P 的对应关系P=［ ( 1) 5730 ］ t ,假如我2们用 x 表示时间 ,y 表示碳 14 的含量 ,则上述关系可表示为y= ［ ( 12 1) 5730 ］ x ,这是我们习惯上的函数形式 ,像这种自变量在指数的地点上的函数 , 我们称为指数函数 ,下边我们给出指数函数确实切观点 ,从而引出课题 . 推动新课 新知研究 提出问题1.一种放射性物质不停衰减为其余物质,每经过一年剩留量约是本来的 84%,求出这种物质经过 x 年后的剩留量 y 与 x 的关系式是 _________.(y=0.84 x )2.某种细胞分裂时 , 由一个分裂成两个 ,两个分裂成四个 ,四个分裂成十六个 ,挨次类推 ,一个这 样的细胞分裂 x 次后 ,获得的细胞个数 y 与 x 的关系式是 _________.(y=2 x ) 提出问题(1) 你能说出函数 y=0.84 x 与函数 y=2x 的共同特色吗 ?(2) 你能否能依据上边两个函数关系式给出一个一般性的观点?(3) 为何指数函数的观点中明确规定 a>0,a ≠ 1? (4) 为何指数函数的定义域是实数集?(5) 如何依据指数函数的定义判断一个函数是不是一个指数函数？请你说出它的步骤 .活动：先让学生认真察看 ,沟通议论 ,而后回答 ,教师提示点拨 ,实时鼓舞夸奖给出正确结论的学 生 ,指引学生在不停研究中提高自己的应用知识的能力 ,教师巡视 ,个别指导 ,针对学生共性的问题集中解决 .问题 (1) 看这两个函数的共同特色 ,主假如看底数和自变量以及函数值.问题 (2) 一般性的观点是指用字母表示不变化的量即常量.问题 (3) 为了使运算存心义 ,同时也为了问题研究的必需性 .问题 (4) 在(3) 的规定下 ,我们能够把 a x 当作一个幂值 ,一个正数的任何次幂都存心义 .问题 (5) 使学生回想指数函数的定义 ,依据指数函数的定义判断一个函数是不是一个指数函数,紧扣指数函数的形式 .议论结果： (1)对于两个分析式我们看到每给自变量 x 一个值 ,y 都有独一确立的值和它对应 ,再就是它们的自变量 x 都在指数的地点上 ,它们的底数都大于0,但一个大于 1,一个小于与 2 固然不一样 ,但它们是两个函数关系中的常量 ,因为变量只有 x 和 y.(2) 对于两个分析式 y=0.84 x 和 y=2 x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a 来表示 ,这样我们获得指数函数的定义:一般地 ,函数 y=a x (a>0,a ≠叫1)做指数函数 ,此中 x 叫自变量 ,函数的定义域是实数集 R. (3)a=0 时,x>0 时 ,a x 总为 0;x ≤0时,a x 没存心义 .1a<0 时 ,如 a=-2,x= 1,a x =(-2) 2 =- 2 明显是没存心义的 .2a=1 时 ,a x 恒等于 1,没有研究的必需 .所以规定 a>0,a ≠1此.解说只需能说明即可 ,不要深入 .(4) 因为 a>0,x 能够取随意的实数 ,所以指数函数的定义域是实数集R.(5) 判断一个函数是不是一个指数函数,一是看底数是不是一个常数,再就是看自变量是不是一个 x 且在指数地点上 ,知足这两个条件的函数才是指数函数.提出问题(1) 前方我们学习函数的时候 ,依据什么思路研究函数的性质 ,对指数函数呢 ?(2) 前方我们学习函数的时候 ,如何作函数的图象 ?说明它的步骤 .(3) 利用上边的步骤 ,作函数 y=2x 的图象 .1 (4) 利用上边的步骤 ,作函数 y=(2)x 的图象 .(5) 察看上边两个函数的图象各有什么特色 ,再画几个近似的函数图象,看能否也有近似的特点?(6) 依据上述几个函数图象的特色,你能归纳出指数函数的性质吗?(7) 把 y=2x和 y=(1 )x 的图象 ,放在同一坐标系中 ,你能发现这两个图象的关系吗 ?2(8) 你能证明上述结论吗 ?(9) 可否用 y=2 x的图象画 y=( 12)x 的图象 ?请说明画法的原因 .活动： 教师指引学生回首需要研究的函数的那些性质 ,共同议论研究指数函数的性质的方法 , 重申数形联合 ,重申函数图象在研究函数性质中的作用 ,注意从详细到一般的思想方法的运用,浸透归纳能力的培育,进行讲堂巡视 ,个别指导 ,投影展现画得好的部分学生的图象,同时投影展现课本表 21,22 及图 2.12,2.13 及 2.14,实时评论学生 ,增补学生回答中的不足 .学生独立思虑 ,提出研究指数函数性质的思路 ,独立绘图 ,察看图象及表格,表述自己的发现 ,同学们互相沟通 , 形成对指数函数性质的认识 ,介绍代表发布本组的集体的认识.议论结果： (1)我们研究函数时 ,依据图象研究函数的性质,由详细到一般 ,一般要考虑函数的定义域、值域、单一性、奇偶性,有时也经过画函数图象 ,从图象的变化状况来看函数的性质.(2) 一般是列表 ,描点 ,连线 ,借助多媒体手段画出图象 ,用计算机作函数的图象 .(3) 列表 .x -3.00-1.50 -1.00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00y=2 x1 1 1 1248 4 2作图如图 2-1-2-1图 2-1-2-1(4) 列表 .x-2.50-2.00 -1.50 -1.00 0.001.00 1.502.00 2.501 x 1 1 24y=()4122作图如图 2-1-2-2图 2-1-2-2(5)经过察看图2121,可知图象左右延长,无止境说明定义域是实数 .图象自左至右是上涨的,说明是增函数 ,图象位于 x 轴上方 ,说明值域大于 0.图象经过点（ 0,1）,且 y 值散布有以下特色 ,x<0时 0<y<1,x>0 时 y>1. 图象不对于 x 轴对称 ,也不对于 y 轴对称 ,说明函数既不是奇函数也不是偶函数 .经过察看图2122,可知图象左右延长,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是降落的,说明是减函数 ,图象位于x 轴上方 ,说明值域大于0.图象经过点（ 0,1） ,x<0 时 y>1,x>0 时 0<y<1.图象不对于x 轴对称 ,也不对于y 轴对称 ,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.能够再画以下函数的图象以作比较,y=3x,y=6 x,y=(13)x,y=(1) x.从头察看函数图象的特色,推6广到一般的情况.（6）一般地 ,指数函数y=a x在 a>1 和 0<a<1 的状况下 ,它的图象特色和函数性质以下表所示.图象特色函数性质a＞ 10＜ a＜ 1a＞ 10＜ a＜1向 x 轴正负方向无穷延长函数的定义域为 R图象对于原点和y 轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x 轴上方函数的值域为 R +函数图象都过定点（ 0,1）a0=1自左向右 ,图象渐渐上涨自左向右 ,图象渐渐降落增函数减函数在第一象限内的图象纵坐在第一象限内的图象纵坐1x ＞ 0,a x＞ 1x＞ 0,a x＜1标都大于 1标都小于在第二象限内的图象纵坐在第二象限内的图象纵坐x＜ 0,a x＜1x＜ 0,a x＞1标都小于 1标都大于 1一般地 ,指数函数 y=a x在底数 a＞ 1 及 0＜ a＜ 1 这两种状况下的图象和性质以下表所示：a＞10＜ a＜ 1图象①定义域： R②值域：（ 0,+ ∞）性质③过点（ 0,1） ,即 x=0 时 y=1④在 R 上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;当 x＞ 0 时 ,y＞ 1当x＞0时,0＜y＜1（7）在同一坐标系中作出y=2x和 y=( 1)x两个函数的图象,如图 2-1-2-3.经过认真研究发现, 2它们的图象对于y 轴对称 .图 2-1-2-3(8) 证明 :设点 p(x 1,y 1) 是 y=2x 上的随意一点 ,它对于 y 轴的对称点是 p 1(-x 1,y 1), 它知足方程 y=( 1) x =2-x,即点 p 1(-x 1,y 1)在 y=(122)x的图象上 ,反之亦然 ,所以 y=2x和 y=( 1)x 两个函数的图2象对于 y 轴对称 .(9) 因为 y=2 x 和 y=(1 )x 两个函数的图象对于 y 轴对称 ,所以能够先画此中一个函数的图象,利2,同学们必定要掌握这种作图的方法,对此后的学用轴对称的性质能够获得另一个函数的图象 习特别有利处 . 应用示例思路 1例 1 判断以下函数是不是一个指数函数？2xxx(a>y=x ,y=8 ,y=2 4·,y=(2a-1) 12,a ≠ 1),y=(-4) xxx3,y= π,y=6 +2.活动：学生察看, 小组议论 , 试试 解决以上 题目 ,学生 紧扣指数 函数的定义解题 ,因为2xx3x的形式 ,教师重申 x的形式的重要性 ,即 a 前方的系数为y=x ,y=2 ·4,y=6 +2 都不切合 y=a y=a 1,a 是一个正常数（也但是一个表示正常数的代数式） ,指数一定是 x 的形式或经过转变后能化为 x 的形式 .解： y=8x,y=(2a-1) x(a>变式训练12,a ≠ 1),y=(-4) x x 是指数函数 ;y=x 2 x x3 不是指数函数 .,y= π ,y=2 ·4,y=6 +2函数 y=2 3xx-x,y=a +k,y=a ,y=(2a-2) x(a>0,a ≠中1)是指数函数的有哪些?答案： y=2 3x =(2 3) x ,y=a -x =( 1 )x ,y=(2 )-2 x= ［ ( 2 )-2 ］ x 是指数函数 .aa :a例 2 比较以下各题中的两个值的大小（ 1） 1.72.5 与 1.73;(2)0.8 -0.1 与 0.8-0.2 ;(3)1.7 0.3 与 0.93.1.活动：学生自己思虑或议论,回想比较数的大小的方法 ,联合题目实质 ,选择合理的 ,再写出（最好用实物投影仪展现写得正确的答案） ,比较数的大小 ,一是作差 ,看两个数差的符号 ,若为正 , 则前方的数大 ; 二是作商 ,但一定是同号数 ,看商与 1 的大小 ,再决定两个数的大小 ;三是计算出每个数的值 ,再比较大小 ; 四是利用图象 ;五是利用函数的单一性 .教师在学生中巡视其余学生的解答 ,发现问题实时纠正并实时评论 .解法一：用数形联合的方法 ,如第（ 1）小题 ,用图形计算器或计算机画出y=1.7 x 的图象 ,如图2-1-2-4.图 2-1-2-4在图象上找出横坐标分别为 2.5、3 的点 ,明显 ,图象上横坐标为 3 的点在横坐标为2.5 的点的上方 ,所以 1.72.5<1.73,同理 0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1.解法二：用计算器直接计算： 1.7 2.5 3≈ 3.77,1.7≈ 4.91,所以 1.72.5<1.73.同理 0.8-0.1<0.8-0.2 ,1.70.3>0.93.1.解法三：利用函数单一性 ,①1.72.5 与 1.73 的底数是 1.7,它们能够当作函数y=1.7x ,当 x=2.5 和 3 时的函数值； 因为 1.7>1, 所以函数 y=1.7 x在 R 上是增函数 ,而 2.5<3,所以1.72.53 ；<1.7②0.8-0.1 与 0.8-0.2 的底数是 0.8,它们能够当作函数y=0.8 x ,当 x=-0.1 和 -0.2 时的函数值；因为0<0.8<1, 所以函数 y=0.8 x 在 R 上是减函数 ,而 -0.1>-0.2, 所以 0.8-0.1<0.8-0.2；③因为 1.7 0.33.10.3 3.1>1,0.9 <1, 所以 1.7 >0.9 . ,但解法三不合适 .因为 1.70.3 与 0.93.1 不评论： 在第（ 3）小题中 ,能够用解法一、解法二解决 能直接当作某个函数的两个值,所以 ,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1 比较大小 ,从而比较 1.70.3与 0.93.1的大小 ,这里的 1 是中间值 . 思虑在上边的解法中你以为哪一种方法更适用 ?活动：学生对上边的三种解法作比较 ,解题有法但无定法,我们要采纳多种解法,在多种解法中选择最优解法 ,这要经过频频练习 ,加强来实现 .变式训练1.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.2 0.8,按大小次序摆列 a,b,c.答案： b<a<c(a 、 b 可利用指数函数的性质比较 ,而 c 是大于 1 的 ).11 2.比较 a 3 与 a2 的大小（ a ＞ 0 且 a ≠0） .1111答案： 分 a ＞ 1 和 0<a<1 两种状况议论 .当 0<a<1 时 ,a 3 >a 2 ;当 a>1 时 ,a 3 <a 2 . 例 3 求以下函数的定义域和值域:12 | x|2 x 1(1)y=2 x 4 ;(2)y=(x 1 .3);(3)y=10活动： 学生先思虑 ,再回答 ,因为指数函数 y=a x ,(a ＞ 0 且 a ≠ 1)的定义域是 R, 所以这种近似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求,教师合时点拨和提示,求定义域 ,只需使指数存心义即可 ,转变为解不等式 .1解： (1) 令 x-4≠0,则 x ≠4,所以函数 y=2 x 4 的定义域是｛ x ∈ R ∣x ≠4｝,111又因为4 ≠ 1,即函数 y=2 x 4 的值域是｛ y|y>0 且 y ≠1｝ .≠ 0,所以 2xx 4(2) 因为 -|x| ≥所0,以只有 x=0. 所以函数 y=( 2)|x|的定义域是｛ x ∣ x=0 ｝ .而 y=(2322)|x|=( )0=1, 即函数 y=( )|x|的值域是｛ y ∣ y=1｝ .33 32x≥ 0,得 2x(3) 令≥ 0,x 1 x 1即x1≥ 0,解得 x<-1 或 x≥ 1, x12 x1所以函数y=10x 1的定义域是｛ x∣ x<-1 或 x≥1｝ .因为2x-1≥ 0,且2x≠ 2,所以2x1≥0且 2 x1≠1.x1x1x 1x 12x1故函数 y=10x 1的值域是｛ y∣ y≥1,y ≠10｝.评论：求与指数函数相关的定义域和值域时,要注意到充足考虑并利用指数函数自己的要求,并利用好指数函数的单一性,特别是第 (1)题千万不可以遗漏y>0.变式训练求以下函数的定义域和值域:(1)y=(1)2 x x2;(2)y=32 x 11;(3)y=a x-1(a>0,a≠ 1).29答案： (1)函数 y=( 1)2 x x2的定义域是R ,值域是［1,+ ∞）;(2)函数 y= 32x 11的定义域229是［1,+ ∞）,值域是［ 0,+ ∞）;(3) 当 a>1 时 ,定义域是 {x|x ≥ 0},当 0<a<1 时 ,定义域是 {x|x ≤ 0}, 2值域是［ 0,+ ∞）.思路 2例 1 一种放射性物质不停衰减为其余物质,每经过一年剩留量约是本来的84%, 求出这种物质的剩留量随时间（年）变化的函数关系式,作出它的图象 ,并从图象上求出经过多少年剩留量是本来的一半？（结果保存一个有效数字）活动：师生共同剖析,先求出分析式 ,列出数值对应表,再描点 ,画出图象后 ,利用图象求解,由学生回答 ,学生有困难 ,教师能够提示,认真审题 ,利用代数式分别表示出经过 1 年 ,2 年,3 年 ,的剩留量 ,归纳出关系式,取几个要点点 ,作出函数图象,在纵轴上取表示0.5 的点 ,作纵轴的垂线交图象于一点 ,过这一点作横轴的垂线,横轴与垂线交点的横坐标即为所求的年数.解：设最先的质量为1,时间用变量x 表示 ,剩留量用y 表示 ,则经过 1 年 ,y=1 ×84%=0.84 1；经过 2 年 ,y=1 ×0.84 ×0.84=0.84 2; 这样 ,可归纳出 ,经过 x 年,y=0.84 x,x∈N * .x0123456y10.840.710.590.500.420.35画出指数函数y=0.84 x的图象 ,如图 2-1-2-5.从图上能够看出y=0.5 时 ,只需 x=4.图 2-1-2-5答：约经过 4 年 ,剩留量是本来的一半.评论：实质问题中要注意自变量的取值范围.例 2 比较以下两个数的大小:1 23 (1)30.8,30.7;(2)0.75 -0.1,0.750.1 ;(3)1.8 0.6,0.81.6;(4)( ) 3,25 .3活动： 教师提示学生指数函数的性质,依据学生的解题状况实时评论学生.解法一： 直接用科学计算器计算各数的值,再对两个数进行大小的比较 :对(1) 因为 30.8=2.408225,3 0.7=2.157669, 所以 30.8>30.7; 对(2) 因为 0.75 -0.10.1所以 0.75-0.10.1=1.029186,0.75 =0.971642, >0.75 ;对(3) 因为 1.80.6=1.422864,0.8 1.6=0.699752, 所以 1.80.6>0.81.6 ;对(4) 因为 (12 3)3=2.080084,2 5 2 3=0.659754, 所以 ( 1) 3 >2 5.33解法二： 利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较 :对(1) 因为函数 y=3x 在 R 上是增函数 ,0.8＞0.7,所以 30.8>30.7 ;对(2) 因为函数 y=0.75 x 在 R 上是减函数 ,0.1＞ -0.1,所以 0.75-0.1 >0.750.1;对(3) 由指数函数的性质知 1.80.6>1.80=1=0.8 0>0.81.6 ,所以 1.80.6>0.81.6;对(4) 由指数函数的性质知 (121 ) 3>( 3331 235 ,所以 (3>2 5 .) =1=2 >2 )3解法三 :利用图象法来解 ,详细解法略 .评论： 在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时 ,第一把这两个数看作指数函数的两个函数值 ,利用指数函数的单一性比较 .若两个数不是同一函数的两个函数值 ,则追求一此中间量 ,两个数都与这此中间量进行比较 ,这是常用的比较数的大小的方法,而后得两个数的大小,数学上称这种方法为 “中间量法 ”. 变式训练比较 n 1 a n 与 n a n 1 (a>0,a ≠ 1,n ∈N * ,n>2)的大小关系 .nn解： 因为 n 1a n=a n 1 , n a n 1 =a n 1 ,而 n ∈N * ， n>2,所以nn 1=1>0,即n n 1n1n1)n 1n.n(nnnnn所以：当 a>1 时 an 1>a n1 ，即 n 1a n> nan 1；当 0<a<1 时 an 1<an 1,即n 1a n< n a n 1 .知能训练课本 P 58 练习1、 2.【增补练习】1.以下关系中正确的选项是()A.( 1 )32<( 1 ) 2 <( 1 ) 13B.( 1 )31<(1 ) 32<(1 ) 3225 12225121 1 1212121 1 C.() 3 <( ) 33D.(3 <() 3 <() 35 2<())2 225答案： D2.函数 y=a x(a>0,a ≠对1)随意的实数x,y 都有 ()A.f(xy)=f(x)f(y)·B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y)·D.f(x+y)=f(x)+f(y)答案： C3.函数 y=a x+5+1(a>0,a≠恒1)过定点 ________.答案：（ -5,2）拓展提高研究一：在同一坐标系中作出函数y=2x,y=3 x,y=10 x的图象 ,比较这三个函数增添的快慢 .活动：学生深刻回首作函数图象的方法, 沟通作图的领会. 列表、描点、连线, 作出函数y=2x,y=3 x,y=10 x的图象 ,如图 2-1-2-6.x-2-1012310y=2x0.250.512481024 xy=30.110.331392759049y=10 x0.010.111010010001010图 2-1-2-6从表格或图象能够看出:(1)x<0 时,有 2x>3x>10 x;(2)x>0 时,有 2x<3x<10 x;x x(3) 当 x 从 0 增添到 10,函数 y=2 的值从 1 增添到 1 024, 而函数 y=3 的值从 1 增添到 59 049.x x x x这说明 x>0 时 y=3 比 y=2的函数值增添得快.同理 y=10 比 y=3的函数值增添得快.所以得：一般地,a>b>1 时 ,(1)x<0 时 ,有 a x<b x<1;(2)x=0 时,有 a x=b x=1;(3)x>0 时,有 a x>b x>1;(4)指数函数的底数越大 ,x>0 时其函数值增添就越快 .研究二：分别画出底数为 0.2、 0.3、 0.5 的指数函数的图象 (图 2-1-2-7), 比较底数为 2、 3、5 的指数函数的图象 ,研究指数函数 y=a x(0<a<1) 中 a 对函数的图象变化的影响 .图 2-1-2-7由此得：一般地 ,0<a<b<1 时 ,(1)x>0 时,有 a x<b x<1;(2)x=0时 ,有 a x=b x=1;(3)x<0时 ,有 a x>b x>1;(4)指数函数的底数越小 ,x>0 时 ,其函数值减少就越快 .讲堂小结1.指数函数的定义 .2.指数函数的图象和性质 .3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形联合的思想(方法 ), 它是一种特别重要的数学思想和研究方法 .4.利用指数函数的单一性比较几个数的大小,特别是中间变量法 .作业课本 P59习题 2.1A 组 5、 6、 8、 10.设计感想本节课是在前方研究了函数性质的基础上,研究详细的初等函数 ,它是重要的初等函数 ,它有着丰富的内涵 ,且和我们的实质生活联系亲密,也是此后学习对数函数的基础,在指数函数的观点解说过程中 ,既要向学生说明定义域是什么,又要向学生交代，为何规定底数 a 是大于0 而不等于 1 的 ,本节内容讲堂容量大,要提高讲堂的效率和节奏 ,多运用信息化的教课手段 ,顺利达成本堂课的任务 .(设计者：韩双影 )。