人教新课标版数学高一必修1学案 2.1.2指数函数及其性质(二)

2.1.2 指数函数及其性质知识清单1．指数函数的概念一般地，______________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质a >1 0<a<1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性 质 过定点过点______，即x ＝____时，y ＝____函数值 的变化 当x >0时，______； 当x <0时，________ 当x >0时，________； 当x <0时，________单调性是R 上的________是R 上的________基础练习一、填空题1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是______．(填序号)①y ＝(－4)x ；②y ＝πx ；③y ＝－4x ；④y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)． 2．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则a 的值为________． 3．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是________．(填序号)4．已知f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x，那么f (2)＝________.5．如图是指数函数 ①y ＝a x ； ②y ＝b x ； ③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是________．6．函数y ＝(12)x －2的图象必过第________象限．7．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值为____．8．若函数y ＝a x －(b －1)(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 需满足的条件为________．9．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 二、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7； (2)1314⎛⎫⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭； (3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m 3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关于垃圾的体积V (m 3)与垃圾体积的加倍的周期.(1) (2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？ (3)如果n ＝－2，这时的n ，V 表示什么信息？(4)写出n 与V 的函数关系式，并画出函数图象(横轴取n 轴)． (5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？12．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是________．(填序号)13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ，y 都有f (x y )＝yf (x )． (1)求f (1)的值；(2)若f (12)>0，解不等式f (ax )>0.(其中字母a 为常数)．能力提升一、填空题1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则P 、Q 的关系为________． 2．函数y ＝16－4x 的值域是________．3．函数y ＝a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是________．4．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则下列命题正确的是________．(填序号)①f (x )与g (x )均为偶函数；②f (x )为偶函数，g (x )为奇函数； ③f (x )与g (x )均为奇函数；④f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的解析式为________． 6．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是________．7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________．9．函数y ＝2212x x-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．二、解答题10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性； (2)求函数y ＝2212x x --的单调区间．11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12]．(1)设t ＝2x ，求t 的取值范围； (2)求函数f (x )的值域．12．函数y ＝2x －x 2的图象大致是________．(填序号)13．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求f [f (0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.知识清单1．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) R 2.(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 基础练习 1．②解析 ①中－4<0，不满足指数函数底数的要求，③中因有负号，也不是指数函数，④中的函数可化为y ＝a 2·a x ，a x 的系数不是1，故也不是指数函数． 2．2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2. 3．②解析 该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x 的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x <0时的函数图象．4．－19解析 当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝3－x ，即－f (x )＝(13)x ，∴f (x )＝－(13)x .因此有f (2)＝－(13)2＝－19.5．b <a <1<d <c解析 作直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系． 6．二、三、四解析 函数y ＝(12)x 的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y ＝(12)x －2的图象，所以观察y ＝(12)x －2的图象可知．7.18解析 由题意a 2＝4，∴a ＝2.f (－3)＝2－3＝18.8．a >1，b ≥2解析 函数y ＝a x －(b －1)的图象可以看作由函数y ＝a x 的图象沿y 轴平移|b －1|个单位得到．若0<a <1，不管y ＝a x 的图象沿y 轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当a >1时，由于y ＝a x 的图象必过定点(0,1)，当y ＝a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b －1≥1，得b ≥2.因此，a ，b 必满足条件a >1，b ≥2. 9．[0,8)解析 y ＝8－23－x ＝8－23·2－x ＝8－8·(12)x＝8[1－(12)x ]．∵x ≥0，∴0<(12)x ≤1，∴－1≤－(12)x <0，从而有0≤1－(12)x <1，因此0≤y <8.10．解 (1)考察函数y ＝0.2x . 因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数．又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考察函数y ＝(14)x .因为0<14<1，所以函数y ＝(14)x 在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以1314⎛⎫ ⎪⎝⎭>2314⎛⎫ ⎪⎝⎭1.(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，所以2－1.5<30.2.11．解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50 000×28＝12 800 000(m 3)．(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50 000×2－1＝25 000(m 3)．(3)如果n ＝－2，这时的n 表示6年前，V 表示6年前垃圾的体积． (4)n 与V 的函数关系式是V ＝50 000×2n ，图象如图所示．(5)因为对任意的整数n,2n >0，所以V ＝50 000×2n >0，因此曲线不可能与横轴相交． 12．①解析 由题意f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；2x ， x <0.13．解 (1)令x ＝1，y ＝2，可知f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.(2)设0<x 1<x 2，∴存在s ，t 使得x 1＝(12)s ，x 2＝(12)t ，且s >t ，又f (12)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f [(12)s ]－f [(12)t ]＝sf (12)－tf (12)＝(s －t )f (12)>0，∴f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (ax )>0，x >0，f (1)＝0， ∴0<ax <1，当a ＝0时，x ∈∅，当a >0时，0<x <1a ，当a <0时，1a<x <0，不合题意．故x ∈∅.综上：a ≤0时，x ∈∅；a >0时，不等式解集为{x |0<x <1a}．能力提升 1．Q P解析 因为P ＝{y |y ≥0}，Q ＝{y |y >0}，所以Q P . 2．[0,4)解析 ∵4x >0，∴0≤16－4x <16， ∴16－4x ∈[0,4)． 3．3解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3. 4．②解析 f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．5．f (x )＝－e －x －2解析 ∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2. 6．c <a <b解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12，∴b >a >1.又0<c <1，∴c <a <b . 7．19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 8．(－∞，－1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)． 9．[1，＋∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)．10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)．又由y ＝2u 的增减性得()12g x<()22g x ，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )为R 上的增函数．(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．根据(1)可知y ＝2212x x --在[1，＋∞)上为增函数． 同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12]上单调递增，∴t ∈[22，2]．(2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，g (t )在[22，1]上递减，在[1，2]上递增，比较得g (22)<g (2)． ∴f (x )min ＝g (1)＝2， f (x )max ＝g (2)＝5－2 2.∴函数的值域为[2,5－22]． 12．①解析 当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞， 所以排除③、④.当x ＝3时，y ＝－1，所以排除②.13．(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1＝0，∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517.(2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则22x>12x>0,22x－12x>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝212121212121x x x x ---++ ＝()()()21212222121x x x x -++>0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．(3)解 由0<f (x －2)<1517得f (0)<f (x －2)<f (4)，又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4，即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．。

2.1.2指数函数及其性质(二)教学目标1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法.教学过程一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.1.2指数函数及其性质(二)》课件“复习回顾”部分，通过回顾上节课内容，引入本节课的学习内容.二、自主学习1.比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的的变化规律来判断；(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过来判断．2.简单指数不等式的解法(1)形如a f(x)＞a g(x)的不等式，可借助y＝a x的求解；(2)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的求解．3.当a＞1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性.三、合作探究问题1y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？提示：经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图象在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图象上方．问题2若x1＜x2，则1x a与2x a(a＞0且a≠1)的大小关系如何？提示：当a＞1时，y＝a x在R上为增函数，所以1x a＜2x a，当0＜a＜1时，y＝a x在R上为减函数，所以1x a＞2x a.问题3 若1x a＜2x a，则x1，x2的大小关系如何？提示：当f(x)在区间[m，n]上单调递增(减)时，若x1，x2∈[m，n]，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2(x1＞x2).所以，当0＜a ＜1时，1x a ＜2x a ⇔x 1＞x 2，当a ＞1时，1x a ＜2x a ⇔x 1＜x 2.此原理可用于解指数方程、不等式.问题4 y ＝112x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域与y ＝1x 的定义域是什么关系？y ＝112x⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调性与y ＝1x 的单调性有什么关系？提示：由于y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，故y ＝112x ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域与y ＝1x 的定义域相同，故研究y ＝112x ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，只需在y ＝1x 的定义域内研究.若设0＜x 1＜x 2，则1x 1＞1x 2，1112x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜2112x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，不等号方向的改变与y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝1x 的单调性均有关. 探究点1：解指数方程例1 解下列方程.(1)81×32x ＝⎝⎛⎭⎫19x ＋2；(2)22x ＋2＋3×2x －1＝0.提示：(1)∵81×32x ＝⎝⎛⎭⎫19x ＋2，∴32x ＋4＝3－2(x ＋2)，∴2x ＋4＝－2(x ＋2)，∴x ＝－2.(2)∵22x ＋2＋3×2x －1＝0，∴4×(2x )2＋3×2x －1＝0.令t ＝2x (t ＞0)，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0，解得t ＝14或t ＝－1(舍去). ∴2x ＝14，解得x ＝－2. 名师点评： (1)a f (x )＝b 型通常化为同底来解.(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围.转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍.探究点2：指数函数单调性的应用命题角度1：比较大小例2 比较下列各题中两个值的大小.(1)1.7－2.5，1.7－3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1. 提示：(1)∵1.7＞1，∴y ＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是增函数.∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3. (2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y ＝1.7x 的图象位于y ＝1.5x 的图象的上方. 而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.方法二∵1.50.3＞0，且1.70.31.50.3＝⎝⎛⎭⎫1.71.50.3， 又1.71.5＞1,0.3＞0，∴⎝⎛⎭⎫1.71.50.3＞1，∴1.70.3＞1.50.3. (3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，∴1.70.3＞0.83.1.名师点评： 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.命题角度2：解指数不等式例3 解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1).提示： (1)当0<a <1时，∵a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6.(2)当a >1时，∵a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥－6}；当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤－6}.名师点评： 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响.命题角度3：与指数函数复合的单调性问题例4 (1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17的单调区间；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －8·⎝⎛⎭⎫12x ＋17的单调区间. 提示： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17的定义域为R .在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是减函数，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17在(－∞，3]上是增函数.在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是增函数，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是减函数.∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞).(2)设t ＝⎝⎛⎭⎫12x >0，又y ＝t 2－8t ＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增.令⎝⎛⎭⎫12x ≤4，得x ≥－2.∴当－2≤x 1<x 2时，4≥112x ⎛⎫ ⎪⎝⎭>212x⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17.∴y ＝⎝⎛⎭⎫122x －8·⎝⎛⎭⎫12x ＋17的单调增区间是[－2，＋∞). 同理可得减区间是(－∞，－2].名师点评： 复合函数单调性问题归根结底是由x 1<x 2到f (x 1)与f (x 2)的大小，再到g (f (x 1))与g (f (x 2))的大小关系问题.四、当堂检测1.若a ＝120.5，b ＝130.5，c ＝140.5，则a 、b 、c 的大小关系是( )A.a ＞b ＞cB.a ＜b ＜cC.a ＜c ＜bD.b ＜c ＜a 2.方程42x －1＝16的解是( )A.x ＝－32B.x ＝32C.x ＝1D.x ＝2 3.函数f (x )＝2112x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间为( )A.(－∞，0]B.[0，＋∞)C.(－1，＋∞)D.(－∞，－1)4.设0＜a ＜1，则关于x 的不等式2232x x a -+＞2223x x a +-的解集为 .5.若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝ . 提示：1．B 2.B 3.A4．(1，＋∞)解析 ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x 在R 上是减函数，又∵2232x x a -+＞2223x x a +-，∴2x 2－3x ＋2＜2x 2＋2x －3，解得x ＞1. 5.5±12解析 若0<a <1，则a －1－a ＝1，即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去). 若a >1，则a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0，解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去). 综上所述a ＝5±12. 五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1.比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性.(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n ；若a m >c 且c >b n ，则a m >b n .2.解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x >a y 的不等式，可借助y ＝a x 的单调性求解.如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况进行讨论.(2)形如a x >b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解.(3)形如a x >b x 的不等式，可借助图象求解.3.(1)研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1.当a >1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相同.当0<a <1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相反.(2)研究y ＝f (a x )型单调区间时，要注意a x 属于f (u )的增区间还是减区间.六、课例点评1.帮助学生再现原有认知结构，为进一步理解指数函数的性质做好准备；2.在研究指数函数的性质时领会分类讨论、数形结合等常见数学思想方法；3.在互相交流和自主探究中获得发展，让学生变被动的接受为主动地合作学习，从而完成知识的内化过程；4.注意学习过程的循序渐进.在概念、性质、应用的过程中按照先具体后一般的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获.。

2.1.2 指数函数及其性质(二)自主学习学习目标1．理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题．2．理解指数函数的底数a 对函数图象的影响．基础自测1．下列一定是指数函数的是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝x x (x >0，且x ≠1)C ．y ＝(a －2)x (a >3)D ．y ＝(1－2)x2. 指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <13．函数y ＝πx 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)4．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )A ．a <2B ．a >2C ．－1<a <0D ．0<a <1题型探究类型一 比较大小问题【例1】 比较下列各题中两个值的大小：(1)3π与33.14； (2)0.99－1.01与0.99－1.11； (3)1.40.1与0.90.3.规律方法 比较两指数大小时，若底数相同，则先构造出该底数的指数函数，然后利用单调性比较；若底数不同，则考虑选择中间量，通常选择“1”作为中间量．变式迁移1 比较⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412的大小．类型二 解简单的指数不等式【例2】 如果a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．规律方法 解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为变式迁移2 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是____________．类型三 指数函数的最值问题【例3】 (1)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值； (2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值．规律方法 指数函数y ＝a x (a >1)为单调增函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最小值a s ；当x ＝t 时，函数有最大值a t .指数函数y ＝a x (0<a <1)为单调减函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最大值a s ；当x ＝t 时，函数有最小值a t .变式迁移3 (1)函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a 的值；(2)0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值和最小值．课堂小结1．指数函数的定义及图象是本节的关键．通过图象可以求函数的值域及单调区间．2．利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小．(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小．(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小．3．通过本节的学习，进一步体会分类讨论思想在解题中的应用．当堂检测一、选择题1．下图分别是函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，a ，b ，c ，d 分别是四数2，43，310，15中的一个，则相应的a ，b ，c ，d 应是下列哪一组( )A.43，2，15，310B.2，43，310，15C.310，15，2，43D.15，310，43，2 2．已知a ＝30.2，b ＝0.2－3，c ＝(－3)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a3．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(12，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，12)4．设13<(13)b <(13)a <1，则( ) A ．a a <a b <b a B ．a a <b a <a b C ．a b <a a <b a D ．a b <b a <a a5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ， x >14－a 2x ＋2， x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)二、填空题6．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x －2的值域是____________．7．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是____________．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是__________．三、解答题9．解不等式a x ＋5<a 4x －1 (a >0，且a ≠1)．10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )>0.【参考答案】基础自测1．C 2.C 3.A 4.C题型探究【例1】 解 (1)构造函数y ＝3x .∵a ＝3>1，∴y ＝3x 在(－∞，＋∞)上是增函数．∵π>3.14，∴3π>33.14.(2)构造函数y ＝0.99x .∵0<a ＝0.99<1，∴y ＝0.99x 在(－∞，＋∞)上是减函数．∵－1.01>－1.11，∴0.99－1.01<0.99－1.11.(3)分别构造函数y ＝1.4x 与y ＝0.9x .∵1.4>1,0<0.9<1，∴y ＝1.4x 与y ＝0.9x在(－∞，＋∞)上分别为增函数和减函数．∵0.1>0，∴1.40.1>1.40＝1.∵0.3>0，∴0.90.3<0.90＝1，∴1.40.1>1>0.90.3，∴1.40.1>0.90.3.变式迁移1 解 将⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412分成如下三类：(1)负数⎝⎛⎭⎫－233； (2)大于0小于1的数⎝⎛⎭⎫3412；(3)大于1的数⎝⎛⎭⎫4313，223.∵⎝⎛⎭⎫4313<413，而413＝223， ∴⎝⎛⎭⎫－233<⎝⎛⎭⎫3412<⎝⎛⎭⎫4313<223. 【例2】 解 (1)当0<a <1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6.(2)当a >1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，x 的取值范围是：当0<a <1时，x ≥－6；当a >1时，x ≤－6.变式迁移2 (12，＋∞) 解析 a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1. ∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 在R 上是增函数．∴x >1－x ，解得x >12. ∴x 的取值范围是(12，＋∞)． 【例3】 解 (1)①若a >1，则f (x )在[1,2]上递增，最大值为a 2，最小值为a .∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去). ②若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减，最大值为a ，最小值为a 2.∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)， 综上所述，所求a 的值为12或32. (2)设t ＝a x ，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，对称轴为t ＝－1.①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∵t ＝a x 在[－1,1]上递增，∴0<1a≤t ≤a ； ∴y ＝(t ＋1)2－2当t ∈[1a，a ]时递增． 故当t ＝a 时，y max ＝a 2＋2a －1.由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去，∵a >1)．②若0<a <1，t ＝a x 在[－1,1]上递减，t ∈[a ，1a]， y max ＝a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)． 综上，可得a ＝13或3. 变式迁移3 解 (1)∵f (x )＝a x 在[1,2]上是单调函数，∴f (x )在1或2时取得最值．∴a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3，∵a >0，∴a ＝2.(2)y ＝12·22x －3·2x ＋5＝12(22x －6·2x )＋5 ＝12(2x －3)2＋12. ∵x ∈[0,2]，1≤2x ≤4，∴当2x ＝3时，y 最小值＝12， 当2x ＝1时，y 最大值＝52. 当堂检侧1．C2．B 【解析】c <0，b ＝53>3,1<a <3，∴b >a >c .3．B 【解析】函数y ＝(12)x 在R 上为减函数， ∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. 4．C 【解析】由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .5．D 【解析】因为f (x )在R 上是增函数，故结合图象知 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >14－a 2>04－a 2＋2≤a，解得4≤a <8.6.⎣⎡⎦⎤－53，1 7．c >a >b 【解析】y ＝0.8x 为减函数，∴0.80.7>0.80.9，且0.80.7<1，而1.20.8>1，∴1.20.8>0.80.7>0.80.9.8．(－∞，－1)【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12得x ∈∅； 当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；因此当x <0时，由2x －1<－12得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)．9．解 当a >1时，原不等式可变为x ＋5<4x －1.解得x >2；当0<a <1时，原不等式可变为x ＋5>4x －1.解得x <2.故当a >1时，原不等式的解集为(2，＋∞)； 当0<a <1时，原不等式的解集为(－∞，2)．10．(1)解 由2x －1≠0，得x ≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)解 由于函数f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x －1＋12·(－x )3 ＝－⎝⎛⎭⎫2x 1－2x ＋12x 3＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3 ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)证明 当x >0时，12x －1>0，x 3>0， ∴f (x )>0，又∵f (x )为偶函数，∴x <0时，f (x )>0，综上所述，对于定义域内的任意x 都有f (x )>0.。

最新人教版数学精品教学资料2.1.2 指数函数及其性质【学习目标】1．了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系．2．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点．3．在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．4．熟练掌握指数函数的图象和性质．5．会求指数型函数y ＝ka x (k ∈R ，a ＞0且a ≠1)的定义域、值域，并能判断其单调性．6．理解指数函数的简单应用模型，培养数学应用意识．【自主梳理】1．函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做__________，其中x 是自变量．因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数a ＞0的前提下，x 可以是任意实数，所以指数函数的定义域为______．2．底数为什么不能是负数、零和1?(1)当a ＜0时，如y ＝(－2)x ，当x ＝21，41，…等时，在实数范围内函数值不存在； (2)当a ＝0时，若x ≤0，y ＝0x 无意义；(3)当a ＝1时，y ＝1x＝1是一个常数，没有讨论的必要．3．在指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的表达式中，a x 的系数必须是1，自变量x 在指数的位置上．例如：函数y ＝2x ，y ＝(2)x 是________；但y ＝2·3x ，y ＝2x ＋1等不是指数函数． 答案：1.指数函数R3.指数函数【重点领悟】4．指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象和性质：(1)图象(2)性质5．将函数y＝2x的图象向右平移一个单位即可得到函数____________的图象．6．设f(x)＝a x(a＞0且a≠1)，则有：①f(0)＝______，f(1)＝______；②若x≠0，则__________________；③若x≠1，则__________________；④f(x)取遍所有正数当且仅当：________.7．指数函数增长模型：设原有量为N，年平均增长率为p，则经过时间x年后的总量y＝__________.答案：5．y＝2x－16．①1 a②f(x)＞0且f(x)≠1③f(x)＞0且f(x)≠a④x∈R7.N(1＋p)x y【探究提升】1）．如何判断指数函数？指数函数的定义域是什么？解析：形如y＝x a(a＞0且a≠1)的函数叫指数函数，它是一种形式定义．因为a＞0，x是任意一个实数时，x a是确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.2）．指数函数中，规定底数a大于零且不等于1的理由？解析：①如果a＝0，②如果a＜0，比如y＝()x4-，这里对于x＝41，x＝21，…，在实数范围内函数值不存在．③如果a＝1，比如y＝x a＝1，是一个常量，对他就没有研究必要．为避免上述情况，所以规定a＞0且a≠1.3）．指数函数的图象变化与底数大小的关系是什么？解析：底数越大，函数的图象在y轴右侧部分越远离x轴，此性质可通过x＝1的函数值大小去理解．4）．指数函数y＝x2的函数值域为[1，＋∞)，则x的范围是多少？[0，＋∞)5）．指数函数y＝x2的函数值能否为负值？不能【学法引领】【例1】函数y＝(a－2)2a x是指数函数，则( ) A．a＝1或a＝3B．a＝1C．a＝3D．a＞0且a≠1解析：由指数函数定义知2(2)1,0,1,aa a⎧-=⎨>≠⎩且所以解得a＝3．答案：C【例2】下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．①yx；②y＝2x－1；③y＝π2x⎛⎫⎪⎝⎭；④y＝x x；⑤y＝13x-；⑥y＝13x．解析：答案：③【例3】函数y＝1)x在R上是( )A．增函数B．奇函数C．偶函数D．减函数解析：由于01＜1，所以函数y＝1)x在R上是减函数．因为f(－1)＝1)－1 f(1)1，则f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函数y＝1)x不具有奇偶性．答案：D【例4】如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d 与1的大小关系是( )A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c解析：(方法一)在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x 轴，故有b＜a．在③④中底数大于1，底数越大，图象越靠近y轴，故有d＜c．故选B．(方法二)设x＝1与①②③④的图象分别交于点A，B，C，D，如图，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得c＞d＞1＞a＞b．故选B．答案：B析规律底数的变化对函数图象的影响当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于x轴，简称x＞0时，底大图象高．【例5】某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式．分析：在此增长模型中，基数是360，人口的平均增长率为1.2%，粮食总产量的平均增长率为4%，由此可列出1,2,3，…年后的人均一年占有量，观察得到所求的函数解析式．解：设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M kg．1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%) kg，人口数量为M(1＋1.2%)，则人均一年占有粮食为360(14%)(1 1.2%)MM++kg，2年后，人均一年占有粮食为22360(14%)(1 1.2%)MM++kg，……x年后，人均一年占有粮食为y＝360(14%)(1 1.2%)xxMM++kg，即所求函数解析式为1.043601.012xy⎛⎫= ⎪⎝⎭(x∈N*)．点技巧指数增长模型的计算公式在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示．这是非常有用的函数模型．【巩固训练】1．函数f(x)＝1－2x的定义域是( )A．(－∞，0) B．[0，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，＋∞)解析：由1－2x≥0，得2x≤1，由指数函数y＝2x的性质可知x≤0.答案：C2．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，……每天分裂一次，现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器的一半时需要的天数是( )A．5天B．6天C．8天D．9天答案：D3．若0＜a＜1，b＜－2，则函数y＝a x＋b的图象一定不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A3．函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有( )A．f(xy)＝f(x)f(y)B．f(xy)＝f(x)＋f(y)C．f(x＋y)＝f(x)f(y)D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)解析：f(x＋y)＝a x＋y＝a x a y＝f(x)f(y)．故选C.答案：C4．将函数y＝2x的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数__________的图象．答案：y＝2x－1＋25．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2x 在区间[－1, 1]上的最大值为________．解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2x 在区间[－1,1]上是单调减函数，∴当x ＝－1时，有最大值为52. 答案：52【知识网络】1.根式的定义：n a 叫做根式 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.根式的性质：（1）当n 为奇数时，a a a n n n n ==)(，（R a ∈）；（2）当n 为偶数时，||a a n n =，（R a ∈）； a a n n =)(，（0≥a ）.注意：当n 为偶数时，n a 包含两个隐含条件①0≥a ；②0≥n a .3.根式与指数幂的转化：(1)分数指数幂：n m n m a a=； (2)0指数幂：10=a ，)0(≠a ；(3)负指数幂：nn a a 1=-，)0(≠a . 4.幂运算法则： （1）s r s r aa a +=⋅，s r s r a a a -=÷； （2）sr s r a a ⋅=)(，s r s r a a =； （3）r rr ba b a =)(. 【学习反思】1．熟记整数幂的运算性质．2．理解n 次方根与根式的概念．3．掌握根式运算性质．进行指数幂的运算时，一般将指数化为正指数，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.。

《指数函数及其性质》一、教材分析（一）教材的地位和作用人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书••数学（1）》（人教A版）$2.1.2“指数函数”是在学生系统地学习了函数概念及性质,掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的。

作为重要的基本初等函数之一,指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用, 又对高中阶段研究对数函数、三角函数等完整的函数知识，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础，也为今后研究其他函数提供了方法和模式。

指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究。

（二）课时划分指数函数的教学在中共分三个课时完成。

指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用（1），指数函数及其性质的应用（2）。

这是第一课时“指数函数的图象及其性质”。

“指数函数”第一课时是在学习了指数与指数幂的运算基础上学习指数函数的概念和性质，通过学习指数函数的定义，图象及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学习对数函数作好准备。

二、学情分析（一）有利因素通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个层面：知识层面：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。

技能层面：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究《指数函数》的性质做好准备。

由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。

情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。

（二）不利因素本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。

课题：2.1.2指数函数及其性质（第二课时）一、学习目标：知识与技能：进一步掌握指数函数的图象和性质并能简单应用。

过程与方法：通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性。

情感态度与价值观：通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法，提高学生的学习能力养成积极主动。

二、学习重、难点：初步学会应用指数函数的性质进行比较大小和求函数的定义域与值域。

三、学法指导：通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。

通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。

四、知识链接：1、回顾指数函数的概念；2、指数函数x五、学习过程：A例1、比较下列各题中两个值的大小。

(1)5.27.1与37.1； (2) 1.08.0-与2.08.0-； (3) 3.07.1与1.39.0.B 例2、当1a >时，证明函数11x x a y a +=- 是奇函数。

六、达标检测：A1、教材60页习题1（解题过程）。

2、求下列函数的定义域、值域：B （1）1218x y -= B （2）y =C （3）3xy -= C （4）1(0,1)1x x a y a a a -=>≠+B3设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ ） A ．y 3＞y 1＞y 2 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 2＞y 3 D ．y 1＞y 3＞y 2B4若集合}1|{},2|{-====x y y P y y M x ，则M ∩P= （ ）A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y B5不等式1622<-+x x 的解集是_ ___。

C6函数y =121+x 的值域是_ _______。

七：学习小结：本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的应用。

2.1.2指数函数及其性质教学设计一、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念和意义，画出具体指数函数的图象，探索并理解支书函数的单调性和特殊性。

过程与方法：通过观察指数函数的图象，归纳出指数函数的性质。

领会具体到一般，数形结合的数学思想方法。

情感态度与价值观：通过对指数函数的学习，体现数学的应用价值，培养学生自主探索的精神。

二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质。

三、教学基本流程：（一）创设情景问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出x 与y 之间的函数关系式吗？学生回答: y 与x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。

问题2、《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”请你写出截取x 次后，木棰剩余量y 关于x 的函数关系式？学生回答:设计意图：引导学生通过上面两个式子对指数函数的概念进行概括。

（二）自主学习 1．指数函数的定义一般地，函数()10≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .思考：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？(1)若a<0会有什么问题？（如21,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） )()21(*N x y x ∈=(2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,xa 无意义）(3)若a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 由以上，同学们对指数函数有一定的了解。

练：指出下列函数那些是指数函数：设计意图：通过练习1，进一步对指数函数有一个清晰的了解，能够区分出指数函数。

2．指数函数的图像及性质在同一平面直角坐标系内画出指数函数xy 2=与xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21的图象（画图步骤：列表、描点、连线）。

2.1.2指数函数及其性质（2）【学习目标】 （一）知识与技术目标（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，并按照概念能判断哪些函数是对数函数、求函数的概念域； （2）能画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的性质； （二）进程与方式引导学生自主学习，通过实例的关系式类比指数函数的形式概念，自己尝试给出对数函数的概念并归纳知足对数函数的条件；经历函数x y 2log =和x y 21log =的画法,观察其图像特征并用代数语言进行描述得出函数性质；（三）情感态度与价值观培育学生的数形结合思想，让学生养成擅长观察、归纳的好适应. 【学习重、难点】理解对数函数的概念，掌握对数函数的图像和性质.导 学 过 程 与 设 计一、课前预备（幻灯片）介绍一个考古的实例，阅读讲义P70第一、二两段。

二、新课导学（一）引入：考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡的残留物，利用logt P =（*）估量出土文物或古遗址的年代。

按如实际问题的实际意义可知，对于每一个C-14的含量P ，通过对应关系（*）都有唯一肯定的年代t 与之对应，所以t 是P 的 。

（二）探讨活动 （1）讨论函数logt P =的特征：；（2）对数函数的概念：一般地， 。

【试探与交流】（1）判断下列函数是不是为对数函数？并说明理由（2）启迪：判断一个函数是不是为对数函数，必需严格符合形如log (01)a y x a a =>≠且的形式，即要知足下面的条件：○1 ； ○2 ； ○3 。

（3）巩固练习下列函数哪个是对数函数？ ○1log 0,1)a y x a a =>≠ ○22(2)log y x -= （4）求下列函数的概念域○1函数2log a y x =的概念域是 ； ○2函数log (4)a y x =-的概念域是 ； ○3函数(1)log (2)x y x -=+的概念域是 。

课题：指数函数及其性质2.1.2 指数函数及其性质一、教学目标：1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质.2.通过教学，掌握研究函数性质的思路方法，如类比、从特殊到一般等，增强学生识图用图的能力.3.在指数函数的学习过程中，培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会分类讨论思想、数形结合等数学思想. 二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的定义、图象和性质.教学难点：指数函数定义、图象和性质的发现总结。

三、教学过程：1.创设情境引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……以此类推，1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为y ＝2x ，*x N .引例2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”则截取x 次后，木棰剩余量y 与x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为1()2x y = ，*x N ∈.问题1: 观察函数12()2xxy y ==与的解析式，这两个函数是不是我们以前学习的一次、二次、反比例函数？这两个函数的解析式有何共同特征？生：不是以前学习的一次、二次、反比例函数，他们的共同特征都是xy a =的形式. 问题2: 你能模仿以前学习的一次、二次、反比例函数的定义，给出这一新型函数的定义吗？学生回答xy a =，若回答不出，教师因势利导，然后板书课题：指数函数及其性质. 2. 指数函数的定义一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .（归纳指数函数的定义，学生可能归纳不全，如想不到限制条件0a >且1a ≠，师直接说即可.）问题3: 在指数函数的定义中，为什么规定底数0a >且1a ≠呢？ 生：(1)若0a =，则当0x >时，0xa =；当0x ≤时，xa 无意义；(2)若a <0，则对x 的某些值，可使xa 无意义，如12,2a x =-=； (3)若1a =，则无论x 取何值，它总是1，没有研究的价值.师：以上同学解释得都有一定道理但不够，底数a 范围的确定，是为了保证a 在这个范围内取值时，这一类函数的定义域永远是相同的.师：请大家来看下面一组练习：判断下列函数是不是指数函数？(学生回答)1(1)3x y += (2)3x y = (3)3x y =- 3(4)y x =(5)x y x =(6)x y π= (7)(3)x y =- ()()821xy a =-1(2a >且1)a ≠ 规律总结：指数函数的特征：（1）幂的系数为1；（2）底数是一个正的不等于1常数；（3）指数为自变量x .3. 指数函数的图象师：问题4:要研究一种新函数，如何研究？生：定义—图象—性质-应用师：问题5：研究一个函数，主要研究它的哪些性质呢？ 生：定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.师：既然我们明晰了研究函数的思路和方法，那请你画指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象.生：不知道底数a ，画不出来.师：那我们先画哪个指数函数的图象呢？ 生：画12()2xxy y ==与的图象.师：请大家画出以下四个指数函数的图象.()()()()112 2()2133 4()3x x x xy y y y ==== 由学生分组上黑板画图，然后师生一起订正。

2.1.2《指数函数及其性质(二)》导学案【学习目标】:熟练掌握指数函数概念、图彖、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性. 【重点难点】重点：掌握指数两数的性质及应用.难点：理解指数函数的简单应用模型.【知识链接】1.指数函数的定义？底数。

可否一为负值？为什么？为什么一不取a】1 ?指数函数的图象是？2.在同一坐标系中，作出函数图象的草图：①y = 2”；②y彳；③y = 5v；C 、人(1④尸—；⑤^ = 10'；⑥y=—.(5丿110丿3.指数函数具有哪些性质？【学习过程】我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口.因此，屮国的人口问题是公认的社会问题.2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%.为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基木国策.(1)按照上述材料屮的1%的增长率，从2000年起，兀年后我国的人口•将达到2000年的多少倍？(2)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？(3)2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%,经过x年后的总产值为原來的多少倍？一变式：.多少年后产值能达到120亿？指数形式的函数定义域和值域：(1)讨论：在⑷，n］上，/(x)= a x ( a > 0, 冃a i i)值域？②求下列函数的定义域、值域：1①y = 2” + l ；② y =3~E；③」=0.4口•【例题分析】例1、求函数y = ^-的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.2" + 1例2、截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%,那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？【基础达标】1、当疋卜2, 2)时，严3"-1的值域是(88 A. ( ------ 8] ；B. [ ------- 8)； 9 9 22,律 ,33的大小顺序是()A.花谑二B 2如<(2八37. 求函数y =上一的值域. 2X +18・一片树林中现有木材30000m 3,如果每年增长5%,经过x 年树林中■有木材)：n?,写出x, y 间 的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 3【学习反思】木节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住。