辽宁省沈阳市沈河区2016届中考数学一模试卷(解析版)

2016年辽宁省沈阳市沈河区中考数学二模试卷一、选择题：每小题2分，共20分．1．（2分）|﹣2|的绝对值的相反数是（）A．﹣2B．2C．﹣3D．32．（2分）如图，在数轴上标注了四段范围，则表示的点落在（）A．①段B．②段C．③段D．④段3．（2分）下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为（）A．0.432×10﹣5B．4.32×10﹣6C．4.32×10﹣7D．43.2×10﹣7 5．（2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．（2分）下列事件是确定事件的是（）A．任买一张电影票，座位是偶数B．在一个装有红球和白球的箱子中，任摸一个球是红色的C．随意掷一枚均匀的硬币，正面朝上D．三根长度分别为2cm、3cm、5cm的木棒能摆成三角形7．（2分）如图，直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°8．（2分）计算一组数据：8，9，10，11，12的方差为（）A．1B．2C．3D．49．（2分）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元．下列所列方程中正确的是（）A．168（1+a）2＝128B．168（1﹣a%）2＝128C．168（1﹣2a%）＝128D．168（1﹣a2%）＝12810．（2分）如图是一次函数y＝kx+b的图象，当y＜2时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞1C．x＜3D．x＞3二、填空题：每小题3分，共18分．11．（3分）分解因式：2x2﹣4x+2＝．12．（3分）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则cos D＝．13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为．14．（3分）一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于度．15．（3分）用配方法求抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点坐标，配方后的结果是．16．（3分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是．三、解答题17．计算：（）﹣2﹣6sin30°﹣（）0++||．18．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF．（1）求证：CE＝CF．（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．19．为了解学生的课余生活，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（每人只选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类．调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示）．（1）请根据所给的扇形图和条形图，直接填写出扇形图中缺失的数据，并把条形图补充完整；（2）在扇形统计图中，音乐类选项所在的扇形的圆心角的大小为°；（3）这所中学共有学生1200人，求喜欢音乐和美术类的课余生活共有多少人？（4）在问卷调查中，小丁和小李分别选择了音乐类和美术类，校学生会要从选择音乐类和美术类的学生中分别抽取一名学生参加活动，用列表或画树状图的方法求小丁和小李恰好都被选中的概率．20．如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA＝75厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB＝∠ACB＝37°，且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度．求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）21．某校为了进一步开展“阳光体育”活动，计划用2000元购买乒乓球拍，用2800元购买羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元．该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗？（1）根据题意，甲和乙两同学都先假设该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同，并分别列出的方程如下：甲：＝；乙：﹣＝14，根据两位同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义：甲：x表示；乙：y表示；（2）该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗？说明理由（写出完整的解答过程）．22．已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于10，BD＝8，求CE的长．23．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．（1）直接写出v与t的函数关系式；（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．①求两车的平均速度；②甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B加油站的距离．24．已知：如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝，AE⊥BD，垂足为E，点F是点E 关于AB的对称点，连接AF，BF．（1）AE的长为，BE的长为；（2）如图2，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF 为△A′BF′．①在旋转过程中，当A′F′与AE垂直于点H，如图3，设BA′所在直线交AD于点M，请求出DM的长；②在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q，是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为以PQ为底的等腰三角形？请直接写出DQ的长．25．（12分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（4，0）、E（﹣2，0）两点，连结AB，过点A作直线AK⊥AB，动点P从A点出发以每秒个单位长度的速度沿射线AK运动，设运动时间为t秒，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP对折，使点C落在点D处．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在△ABP的内部时，△ABP与△ADP不重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）若线段AC的长是线段BP长的，请直接写出此时t的值；（4）是否存在这样的时刻，使动点D到点O的距离最小？若存在请直接写出这个最小距离；若不存在，说明理由．2016年辽宁省沈阳市沈河区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题2分，共20分．1．（2分）|﹣2|的绝对值的相反数是（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3【考点】14：相反数；15：绝对值．【解答】解：|﹣2|＝2，所以，|﹣2|的绝对值的相反数是﹣2．故选：A．2．（2分）如图，在数轴上标注了四段范围，则表示的点落在（）A．①段B．②段C．③段D．④段【考点】29：实数与数轴．【解答】解：∵，∴表示的点落在③段，故选：C．3．（2分）下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形；U1：简单几何体的三视图．【解答】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确．故选：D．4．（2分）生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为（）A．0.432×10﹣5B．4.32×10﹣6C．4.32×10﹣7D．43.2×10﹣7【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．【解答】解：0.00000432＝4.32×10﹣6，故选：B．5．（2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．【解答】解：由2x+1＞3，解得x＞1，3x﹣2≤4，解得x≤2，不等式组的解集为1＜x≤2，故选：C．6．（2分）下列事件是确定事件的是（）A．任买一张电影票，座位是偶数B．在一个装有红球和白球的箱子中，任摸一个球是红色的C．随意掷一枚均匀的硬币，正面朝上D．三根长度分别为2cm、3cm、5cm的木棒能摆成三角形【考点】X1：随机事件．【解答】解：任买一张电影票，座位是偶数是随机事件，A错误；在一个装有红球和白球的箱子中，任摸一个球是红色的是随机事件，B错误；随意掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件，C错误；三根长度分别为2cm、3cm、5cm的木棒能摆成三角形是不可能事件，D正确，故选：D．7．（2分）如图，直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【考点】J2：对顶角、邻补角；JA：平行线的性质；K7：三角形内角和定理．【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，∴∠1＝∠4＝40°，∠2＝∠5＝75°，∴∠3＝65°．故选：C．8．（2分）计算一组数据：8，9，10，11，12的方差为（）A．1B．2C．3D．4【考点】W7：方差．【解答】解：样本8、11、9、10、12的平均数＝（8+11+9+10+12）÷5＝10，∴S2＝×（4+1+1+0+4）＝2．故选：B．9．（2分）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元．下列所列方程中正确的是（）A．168（1+a）2＝128B．168（1﹣a%）2＝128C．168（1﹣2a%）＝128D．168（1﹣a2%）＝128【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．【解答】解：当商品第一次降价a%时，其售价为168﹣168a%＝168（1﹣a%）；当商品第二次降价a%后，其售价为168（1﹣a%）﹣168（1﹣a%）a%＝168（1﹣a%）2．∴168（1﹣a%）2＝128．故选B．10．（2分）如图是一次函数y＝kx+b的图象，当y＜2时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞1C．x＜3D．x＞3【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．【解答】解：一次函数y＝kx+b经过点（3，2），且函数值y随x的增大而增大，∴当y＜2时，x的取值范围是x＜3．故选：C．二、填空题：每小题3分，共18分．11．（3分）分解因式：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【解答】解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．12．（3分）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则cos D＝．【考点】M5：圆周角定理；T1：锐角三角函数的定义．【解答】解：连接BC，∴∠D＝∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝3×2＝6，AC＝2，∴cos D＝cos A＝＝＝．故答案为：．13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为2a+b＝﹣1．【考点】D5：坐标与图形性质；N2：作图—基本作图．【解答】解：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，因此2a+b+1＝0，即：2a+b＝﹣1．故答案为：2a+b＝﹣1．14．（3分）一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于1440度．【考点】L3：多边形内角与外角．【解答】解：∵任何多边形的外角和等于360°，∴多边形的边数为360°÷36°＝10，∴多边形的内角和为（10﹣2）•180°＝1440°．故答案为：1440．15．（3分）用配方法求抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点坐标，配方后的结果是y＝（x﹣2）2﹣3．【考点】H9：二次函数的三种形式．【解答】解：y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，即y＝（x﹣2）2﹣3．故答案是：y＝（x﹣2）2﹣3．16．（3分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是cm．【考点】L8：菱形的性质．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝3cm，BO＝BD＝4cm，AO⊥BO，∴BC＝＝5cm，∴S菱形ABCD＝＝×6×8＝24cm2，∵S菱形ABCD＝BC×AE，∴BC×AE＝24，∴AE＝＝cm．故答案为：cm．三、解答题17．计算：（）﹣2﹣6sin30°﹣（）0++||．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【解答】解：（）﹣2﹣6sin30°﹣（）0++||＝4﹣6×﹣1++﹣＝．18．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF．（1）求证：CE＝CF．（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．【考点】L9：菱形的判定；LE：正方形的性质．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）∴BE＝DF，∵BC＝DC，∴CE＝CF；（2）解：四边形AEMF是菱形，理由为：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA＝∠DCA＝45°，在△COE和△COF中，，∴△COE≌△COF（SAS），∴OE＝OF，又OM＝OA，∴四边形AEMF是平行四边形，∵AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形．19．为了解学生的课余生活，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（每人只选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类．调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示）．（1）请根据所给的扇形图和条形图，直接填写出扇形图中缺失的数据，并把条形图补充完整；（2）在扇形统计图中，音乐类选项所在的扇形的圆心角的大小为57.6°；（3）这所中学共有学生1200人，求喜欢音乐和美术类的课余生活共有多少人？（4）在问卷调查中，小丁和小李分别选择了音乐类和美术类，校学生会要从选择音乐类和美术类的学生中分别抽取一名学生参加活动，用列表或画树状图的方法求小丁和小李恰好都被选中的概率．【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．【解答】解：（1）根据题意得：体育所占的百分比是：1﹣32%﹣12%﹣16%＝40%，抽取的总人数是：10÷40%＝25（人），其他类的人数是：25×32%＝8（人）．如图所示：（2）音乐类选项所在的扇形的圆心角的大小为360°×16%＝57.6°，故答案为：57.6°．（3）1200×（16%+12%）＝336（人），答：喜欢音乐和美术类的课余生活共有336人．（4）选择音乐类的有4人，选择美术类的有3人，记选择音乐类的4人分别为A1、A2、A3、小丁，选择美术类的3人分别是B1、B2、小李，列表如下：由表中可知共有12种选取方法，选中小丁、小李的情况只有1种，∴小丁和小李恰好都被选中的概率为．20．如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA＝75厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB＝∠ACB＝37°，且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度．求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【考点】T8：解直角三角形的应用．【解答】解：延长CB交AO于点D．∴CD⊥OA，设BC＝x，则OB＝75﹣x，在Rt△OBD中，OD＝OB•cos∠AOB，BD＝OB•sin∠AOB，∴OD＝（75﹣x）•cos37°＝0.8（75﹣x）＝60﹣0.8x，BD＝（75﹣x）sin37°＝0.6（75﹣x）＝45﹣0.6x，在Rt△ACD中，AD＝DC•tan∠ACB，∴AD＝（x+45﹣0.6x）tan37°＝0.75（0.4x+45）＝0.3x+33.75，∵AD+OD＝OA＝75，∴0.3x+33.75+60﹣0.8x＝75，解得x＝37.5．∴BC＝37.5；故小桌板桌面的宽度BC约为37.5cm．21．某校为了进一步开展“阳光体育”活动，计划用2000元购买乒乓球拍，用2800元购买羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元．该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗？（1）根据题意，甲和乙两同学都先假设该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同，并分别列出的方程如下：甲：＝；乙：﹣＝14，根据两位同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义：甲：x表示乒乓球拍的单价；乙：y表示羽毛球拍的数量；（2）该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗？说明理由（写出完整的解答过程）．【考点】B7：分式方程的应用．【解答】解：（1）根据题意知，x表示乒乓球拍的单价，y表示羽毛球拍的数量；故答案为：乒乓球拍的单价；羽毛球拍的数量；（2）答：不能相同．理由如下：假设能相等，设乒乓球拍每一个x元，羽毛球拍就是（x+14）元．根据题意得方程：＝，解得：x＝35．经检验得出，x＝35是原方程的解，但是当x＝35时，2000÷35不是一个整数，这不符合实际情况，所以不可能．答：该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量不能相同．22．已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于10，BD＝8，求CE的长．【考点】KQ：勾股定理；M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与性质．【解答】（1）证明：连接AD，∵∠DAC＝∠DEC，∠EBC＝∠DEC，∴∠DAC＝∠EBC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠DCA+∠DAC＝90°，∴∠EBC+∠DCA＝90°，∴∠BGC＝180°﹣（∠EBC+∠DCA）＝180°﹣90°＝90°，∴AC⊥BH；（2）解：∵∠BDA＝180°﹣∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD，∵BD＝8，∴AD＝8，在直角三角形ADC中，AD＝8，AC＝10，根据勾股定理得：DC＝6，则BC＝BD+DC＝14，∵∠EBC＝∠DEC，∠BCE＝∠ECD，∴△BCE∽△ECD，∴，即CE2＝BC•CD＝14×6＝84，∴CE＝＝2．23．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．（1）直接写出v与t的函数关系式；（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．①求两车的平均速度；②甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B加油站的距离．【考点】GA：反比例函数的应用．【解答】解：（1）设函数关系式为v＝，∵t＝5，v＝120，∴k＝120×5＝600，∴v与t的函数关系式为v＝（5≤t≤10）；（2）①依题意，得3（v+v﹣20）＝600，解得v＝110，经检验，v＝110符合题意．当v＝110时，v﹣20＝90．答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；②当A加油站在甲地和B加油站之间时，110t﹣（600﹣90t）＝200，解得t＝4，此时110t＝110×4＝440；当B加油站在甲地和A加油站之间时，110t+200+90t＝600，解得t＝2，此时110t＝110×2＝220．答：甲地与B加油站的距离为220或440千米．24．已知：如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝，AE⊥BD，垂足为E，点F是点E关于AB的对称点，连接AF，BF．（1）AE的长为4，BE的长为3；（2）如图2，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF 为△A′BF′．①在旋转过程中，当A′F′与AE垂直于点H，如图3，设BA′所在直线交AD于点M，请求出DM的长；②在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q，是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为以PQ为底的等腰三角形？请直接写出DQ的长．【考点】LO：四边形综合题．【解答】解：（1）∵AB＝5，AD＝，∴由勾股定理得BD＝＝．∵S△ABD＝AB×AD＝BD×AE，∴×5×＝××AE，∴AE＝4．∴BE＝＝3，故答案为4，3；（2）①作MG⊥BD，A′N⊥BD，∴tan∠ADB＝＝＝，设MG＝3x，则DG＝4x，DM＝5x，∴BG＝BD﹣DG＝﹣4x，∵A′F′⊥AE，AE⊥BD，A′N⊥BD，A′F′⊥BF′，∴四边形BF′A′N是矩形，∴A′N＝BF′＝3，BN＝A′F′＝AE＝4，∵tan∠MBD＝，∴，∴x＝，∴DM＝5x＝；②存在，理由如下：∵△DPQ为以PQ为底的等腰三角形∴DP＝DQ，若点Q在线段BD的延长线上时，如图1，有∠Q＝∠1，则∠2＝∠1+∠Q＝2∠Q．∵∠3＝∠4+∠Q，∠3＝∠2，∴∠4+∠Q＝2∠Q．∴∠4＝∠Q．∴A′Q＝A′B＝5．∴F′Q＝A′F′+A′Q＝4+5＝9．在Rt△BF′Q中，81+9＝（+DQ）2∴DQ＝3﹣或DQ＝﹣3﹣（舍去）．若点Q在线段BD上时，如图2，有∠QPD＝∠PQD＝∠BQA′，∵∠DPQ＝∠BMQ，∴∠BMQ＝∠BQM．∵∠BMQ＝∠A′BM+∠A′，∠A′＝∠CBD，∴∠BMQ＝∠A′BM+∠CBD＝∠A′BQ．∴∠BQM＝∠∠A′BQ．∴A′Q＝A′B＝5．∴F′Q＝A′Q﹣A′F′＝5﹣4＝1．∴BQ＝＝∴DQ＝BD﹣BQ＝﹣综上所述，当△DPQ为等腰三角形时，DQ的长为DQ＝3﹣，DQ＝﹣．25．（12分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（4，0）、E（﹣2，0）两点，连结AB，过点A作直线AK⊥AB，动点P从A点出发以每秒个单位长度的速度沿射线AK运动，设运动时间为t秒，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP对折，使点C落在点D处．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在△ABP的内部时，△ABP与△ADP不重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）若线段AC的长是线段BP长的，请直接写出此时t的值；（4）是否存在这样的时刻，使动点D到点O的距离最小？若存在请直接写出这个最小距离；若不存在，说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【解答】解：（1）将A，B，E三点代入抛物线解析式中，得，∴∴y＝﹣x2+x+2，（2）∵A（4，0），B（0，2）∴直线AB解析式为y＝﹣x+2，∵AB⊥AK，∴直线AK解析式为y＝2x+8，∴tan∠P AC＝＝2，∵AP＝t，∴AC＝t，PC＝2t，∵D在△ABP内部，∴∠APB＞∠APC，∴tan∠APB＞tan∠APC，∴，∴，∴t＜4，∴0＜t＜4，∴S＝S△APB﹣S△APD＝S△APB﹣S△APC＝×AB×AP﹣×AC×PC＝×2×t﹣×t×2t＝﹣t2+5t（0＜t＜4）（3）∵P（t+4，2t），∴BP＝＝，∵线段AC的长是线段BP长的，∴t＝，∴t＝﹣（舍）t＝（4）要使点D到O的距离最小，则有点D在OP上，此时记作D1在Rt△OCP中，tan∠POC＝＝，在Rt△OCP中，tan∠AOC＝，∴，∴OD1＝，根据勾股定理得，OD12+AD12＝OA2，∴（）2+t2＝16，∴t＝﹣4（舍）t＝，∴OD1＝＝，∴动点D到点O的距离最小距离为．。

绝密★启用前2016届辽宁沈阳沈河区中考二模数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：137分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、如图是一次函数y=kx+b 的图象，当y ＜2时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜3D ．x ＞3【答案】C ． 【解析】试题解析：一次函数y=kx+b 经过点（3，2），且函数值y 随x 的增大而增大， ∴当y ＜2时，x 的取值范围是x ＜3． 故选C ．考点：一次函数与不等式（组）的关系.试卷第2页，共24页2、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元．下列所列方程中正确的是（ ） A ．168（1+a ）2=128 B ．168（1-a%）2=128 C ．168（1-2a%）="128"D ．168（1-a 2%）=128【答案】B ． 【解析】试题解析：当商品第一次降价a%时，其售价为168-168a%=168（1-a%）； 当商品第二次降价a%后，其售价为168（1-a%）-168（1-a%）a%=168（1-a%）2． ∴168（1-a%）2=128． 故选B ．考点：一元二次方程的应用.3、计算一组数据：8，9，10，11，12的方差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B ． 【解析】试题解析：样本8、11、9、10、12的平均数=（8+11+9+10+12）÷5=10，∴S 2=×（4+1+1+0+4）=2．故选B ． 考点：方差.4、如图，直线l 1∥l 2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【答案】 【解析】 试题解析：如图：∵直线l 1∥l 2，∠1=40°，∠2=75°， ∴∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°， ∴∠3=65°． 故选C ．考点：1.三角形内角和定理；2..对顶角、邻补角；3.平行线的性质． 5、下列事件是确定事件的是（ ） A ．任买一张电影票，座位是偶数B ．在一个装有红球和白球的箱子中，任摸一个球是红色的C ．随意掷一枚均匀的硬币，正面朝上D ．三根长度分别为2cm 、3cm 、5cm 的木棒能摆成三角形【答案】D ． 【解析】试题解析：任买一张电影票，座位是偶数是随机事件，A 错误；在一个装有红球和白球的箱子中，任摸一个球是红色的是随机事件，B 错误； 随意掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件，C 错误；三根长度分别为2cm 、3cm 、5cm 的木棒能摆成三角形是不可能事件，D 正确， 故选D ． 考点：随机事件.6、不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）【答案】C ． 【解析】试题解析：由2x+1＞3，解得x ＞1， 3x-2≤4，解得x≤2， 不等式组的解集为1＜x≤2，试卷第4页，共24页故选C ．考点：在数轴上表示不等式的解集.7、下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）【答案】D ． 【解析】试题解析：A 、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； B 、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； C 、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； D 、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确． 故选D ．考点：1.简单几何体的三视图；2.中心对称图形；3.轴对称图形. 8、如图，在数轴上标注了四段范围，则表示的点落在（ ）A ．①段B ．②段C ．③段D ．④段【答案】C ． 【解析】 试题解析：∵，∴表示的点落在③段，故选C ．考点：实数与数轴． 9、 A ．-2B ．2C ．-3D ．3【答案】A【解析】试题解析：|-2|=2，所以，|-2|的绝对值的相反数是-2．故选A．考点：1.绝对值；2.相反数．10、生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为（）A．0.432×10-5B．4.32×10-6C．4.32×10-7D．43.2×10-7【答案】B．【解析】试题解析：0.00000432=4.32×10-6，故选B．考点：科学记数法--表示较小的数试卷第6页，共24页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、用配方法求抛物线y=x 2-4x+1的顶点坐标，配方后的结果是 ．【答案】y=（x-2）2-3. 【解析】试题解析：y=x 2-4x+1=（x-2）2-3，即y=（x-2）2-3． 考点：二次函数的解析式的三种形式.12、一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于 度．【答案】1440. 【解析】试题解析：∵任何多边形的外角和等于360°， ∴多边形的边数为360°÷36°=10，∴多边形的内角和为（10-2）180°=1440°． 考点：多边形内角与外角．13、如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ，若点P 的坐标为（2a ，b+1），则a 与b 的数量关系为 ．【答案】2a+b=-1. 【解析】试题解析：根据作图方法可得点P 在第二象限的角平分线上，因此2a+b+1=0， 即：2a+b=-1． 考点：作图--基本作图.14、如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC=2，则cosD= ．【答案】．【解析】试题解析：连接BC ，∴∠D=∠A ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°， ∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA=．考点：1.圆周角定理；2.解直角三角形. 15、分解因式：2x 2-4x+2= ．【答案】2（x-1）2． 【解析】试题解析：2x 2-4x+2， =2（x 2-2x+1）， =2（x-1）2．考点：提公因式法和公式法的综合运用.试卷第8页，共24页16、如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是 ．【答案】cm【解析】试题解析：∵四边形ABCD 是菱形，∴CO=AC=3cm ，BO=BD=4cm ，AO ⊥BO ，∴BC==5cm ，∴S 菱形ABCD ==×6×8=24cm 2，∵S 菱形ABCD =BC×AE ， ∴BC×AE=24，∴AE=cm ．考点：菱形的性质.三、计算题（题型注释）17、已知：如图，抛物线y=ax 2+bx+2与x 轴交于点A （4，0）、E （-2，0）两点，连结AB ，过点A 作直线AK ⊥AB ，动点P 从A 点出发以每秒个单位长度的速度沿射线AK 运动，设运动时间为t 秒，过点P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，把△ACP 沿AP 对折，使点C 落在点D 处． （1）求抛物线的解析式；（2）当点D 在△ABP 的内部时，△ABP 与△ADP 不重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并直接写出t 的取值范围；（3）若线段AC 的长是线段BP 长的，请直接写出此时t 的值；（4）是否存在这样的时刻，使动点D 到点O 的距离最小？若存在请直接写出这个最小距离；若不存在，说明理由．【答案】（1）y=-x 2+x+2，（2）S=-t 2+5t （0＜t ＜4）（3）t=；（4）.【解析】试题分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先根据点D 在△APB 内部，求出t 的范围，然后用△APB 减去△APC 面积求出不重叠的部分面积；（3）根据两点间的距离公式表示出BP ，根据条件建立方程，求出时间；（4）先判断出点D 到点O 的距离最小时的位置，然后用三角函数和勾股定理计算． 试题解析：（1）将A ，B ，E 三点代入抛物线解析式中，得，∴∴y=-x 2+x+2，（2）∵A （4，0），B （0，2）∴直线AB 解析式为y=-x+2，∵AB ⊥AK ，∴直线AK 解析式为y=2x+8，试卷第10页，共24页∴tan ∠PAC==2，∵AP=t ，∴AC=t ，PC=2t ， ∵D 在△ABP 内部， ∴∠APB ＞∠APC ， ∴tan ∠APB ＞tan ∠APC ，∴，∴，∴t ＜4， ∴0＜t ＜4，∴S=S △APB -S △APD =S △APB -S △APC=×AB×AP-×AC×PC=×2×t-×t×2t=-t 2+5t （0＜t ＜4） （3）∵P （t+4，2t ）， ∴BP=，∵线段AC 的长是线段BP 长的，∴t=，∴t=-（舍）t=（4）要使点D 到O 的距离最小，则有点D 在OP 上，此时记作D 1在Rt △OCP 中，tan ∠POC=，试卷第11页，共24页在Rt △OCP 中，tan ∠AOC=，∴，∴OD 1=，根据勾股定理得，OD 12+AD 12=OA 2，∴（）2+t 2=16，∴t=-4（舍）t=，∴AD 1==.考点：二次函数综合题.18、计算：（）-2-6sin30°-（）0++||．【答案】．【解析】试题分析：直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简各数，进而求出答案．试题解析：（）-2-6sin30°-（）0++||．=4-6×-1++-=．考点：1.实数的运算；2.零指数幂；3.负整数指数幂；4.特殊角的三角函数值．四、解答题（题型注释）试卷第12页，共24页19、已知：如图1，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=，AE ⊥BD ，垂足为E ，点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF ，BF ． （1）AE 的长为 ，BE 的长为 ；（2）如图2，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF 为△A′BF′．①在旋转过程中，当A′F′与AE 垂直于点H ，如图3，设BA′所在直线交AD 于点M ，请求出DM 的长；②在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ，是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为以PQ 为底的等腰三角形？请直接写出DQ 的长．【答案】（1）4；3；（2）①；②DQ=3-，DQ=-，DQ=-5=【解析】试题分析：（1）由勾股定理求得BD 的长，根据三角形面积公式求出AE 的长，再应用勾股定理即可求得BE 的长．（2）①先用tan ∠ADB=，设出MG ，表示出DG ，DM ，求出BG=BD-DG=-4x ，再用tan ∠MBD=，建立方程求出x ，即可；②分DP=DQ （考虑点Q 在线段BD 的延长线和点Q 在线段BD 上两种情况），PD=PQ 两种情况求解即可．试题解析：（1）∵AB=5，AD=，∴由勾股定理得BD=．∵S △ABD =AB×AD=BD×AE ，试卷第13页，共24页∴×5×=××AE ，∴AE=4． ∴BE==3，（2）①作MG ⊥BD ，A′N ⊥BD ，∴tan ∠ADB=，设MG=3x ，则DG=4x ，DM=5x ，∴BG=BD-DG=-4x ，∵A′F′⊥AE ，AE ⊥BD ，A′N ⊥BD ，A′F′⊥BF′， ∴四边形BF′A′N 是矩形， ∴A′N=BF′=3，BN=A′F′=AE=4，∵tan ∠MBD=，∴，∴x=，∴DM=5x=；②存在，理由如下：Ⅰ、当DP=DQ 时，若点Q 在线段BD 的延长线上时，如图1，有∠Q=∠1，则∠2=∠1+∠Q=2∠Q ． ∵∠3=∠4+∠Q ，∠3=∠2，试卷第14页，共24页∴∠4+∠Q=2∠Q ． ∴∠4=∠Q ． ∴A′Q=A′B=5．∴F′Q=A′F′+A′Q=4+5=9．在Rt △BF′Q 中，81+9=（+DQ ）2∴DQ=3-或DQ=-3-（舍去）．若点Q 在线段BD 上时，如图2，有∠QPD=∠PQD=∠BQA′， ∵∠DPQ=∠BMQ ， ∴∠BMQ=∠BQM ．∵∠BMQ=∠A′BM+∠A′，∠A′=∠CBD ， ∴∠BMQ=∠A′BM+∠CBD=∠A′BQ ． ∴∠BQM=∠∠A′BQ ． ∴A′Q=A′B=5． ∴F′Q=A′Q -A′F′=5-4=1． ∴BQ==∴DQ=BD-BQ=-Ⅱ、当PD=PQ 时，如图4，试卷第15页，共24页有∠ADB=∠DQP=∠BQA′， ∵∠ADB=∠A′， ∴∠BQA′=∠A′． ∴BQ=A′B=5．∴DQ=BD-BQ=-5=综上所述，当△DPQ 为等腰三角形时，DQ 的长为DQ=3-，DQ=-，DQ=-5=考点：四边形综合题.20、一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v （千米/小时）与所用时间t （小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120． （1）直接写出v 与t 的函数关系式；（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇． ①求两车的平均速度；②甲、乙两地间有两个加油站A 、B ，它们相距200千米，当客车进入B 加油站时，货车恰好进入A 加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B 加油站的距离．【答案】（1）v 与t 的函数关系式为v=（5≤t≤10）；（2）①客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；②甲地与B 加油站的距离为220或440千米． 【解析】试题分析：（1）利用时间t 与速度v 成反比例可以得到反比例函数的解析式； （2）①由客车的平均速度为每小时v 千米，得到货车的平均速度为每小时（v-20）千米，根据一辆客车从甲地出发前往乙地，一辆货车同时从乙地出发前往甲地，3小时后试卷第16页，共24页两车相遇列出方程，解方程即可；②分两种情况进行讨论：当A 加油站在甲地和B 加油站之间时；当B 加油站在甲地和A 加油站之间时；都可以根据甲、乙两地间有两个加油站A 、B ，它们相距200千米列出方程，解方程即可．试题解析：（1）设函数关系式为v=，∵t=5，v=120， ∴k=120×5=600，∴v 与t 的函数关系式为v=（5≤t≤10）；（2）①依题意，得 3（v+v-20）=600， 解得v=110，经检验，v=110符合题意． 当v=110时，v-20=90．答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时； ②当A 加油站在甲地和B 加油站之间时， 110t-（600-90t ）=200，解得t=4，此时110t=110×4=440； 当B 加油站在甲地和A 加油站之间时， 110t+200+90t=600，解得t=2，此时110t=110×2=220．答：甲地与B 加油站的距离为220或440千米． 考点：反比例函数的应用.21、已知：在△ABC 中，以AC 边为直径的⊙O 交BC 于点D ，在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC ，延长BE 依次交AC 于点G ，交⊙O 于H ． （1）求证：AC ⊥BH ；试卷第17页，共24页（2）若∠ABC=45°，⊙O 的直径等于10，BD=8，求CE 的长．【答案】(1)证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）连接AD ，由圆周角定理即可得出∠DAC=∠DEC ，∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质即可得出结论；（2）由∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°可求出∠BAD=45°，利用勾股定理即可得出DC 的长，进而求出BC 的长，由已知的一对角线段和公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似可得三角形BCE 与三角形EDC 相似，由相似得比例即可求出CE 的长．试题解析：（1）连接AD ，∵∠DAC=∠DEC ，∠EBC=∠DEC ， ∴∠DAC=∠EBC ， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠DCA+∠DAC=90°， ∴∠EBC+∠DCA=90°，∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA ）=180°-90°=90°， ∴AC ⊥BH ；（2）∵∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°， ∴∠BAD=45°， ∴BD=AD ， ∵BD=8，∴AD=8，试卷第18页，共24页在直角三角形ADC 中，AD=8，AC=10， 根据勾股定理得：DC=6，则BC=BD+DC=14， ∵∠EBC=∠DEC ，∠BCE=∠ECD ， ∴△BCE ∽△ECD ，∴，即CE 2=BCCD=14×6=84，∴CE==．考点：1.圆周角定理，2.相似三角形的判定与性质;3.勾股定理.22、某校为了进一步开展“阳光体育”活动，计划用2000元购买乒乓球拍，用2800元购买羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元．该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗？（1）根据题意，甲和乙两同学都先假设该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同，并分别列出的方程如下：甲：；乙：，根据两位同学所列的方程，请你分别指出未知数x ，y 表示的意义： 甲：x 表示 ；乙：y 表示 ；（2）该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗？说明理由（写出完整的解答过程）．【答案】（1）乒乓球拍的单价；羽毛球拍的数量；（2）该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量不能相同． 【解析】试题分析：（1）甲：的等量关系是“校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同”；乙：的等量关系是“一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元”；（2）假设能相等，设乒乓球拍每一个x 元，羽毛球拍就是x+14，得方程，进而求出x=35，再利用2000÷35不是一个整数，得出答案即可．试题解析：（1）根据题意知，x 表示乒乓球拍的单价，y 表示羽毛球拍的数量； （2）答：不能相同．试卷第19页，共24页理由如下：假设能相等，设乒乓球拍每一个x 元，羽毛球拍就是（x+14）元．根据题意得方程：，解得：x=35．经检验得出，x=35是原方程的解，但是当x=35时，2000÷35不是一个整数，这不符合实际情况，所以不可能． 答：该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量不能相同． 考点：分式方程的应用.23、如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA=75厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB ⊥AO ，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB 与桌面宽BC 的长度之和等于OA 的长度．求小桌板桌面的宽度BC ．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【答案】小桌板桌面的宽度BC 约为37.5cm ． 【解析】试题分析：延长CB 交AO 于点D ．则CD ⊥OA ，在Rt △OBD 中根据正弦函数求得BD ，根据余弦函数求得OD ，在Rt △ACD 中，根据正切函数求得AD ，然后根据AD+OD=OA=75，列出关于x 的方程，解方程即可求得． 试题解析：延长CB 交AO 于点D ．试卷第20页，共24页∴CD ⊥OA ，设BC=x ，则OB=75-x ，在Rt △OBD 中，OD=OBcos ∠AOB ，BD=OBsin ∠AOB ， ∴OD=（75-x ）cos37°=0.8（75-x ）=60-0.8x ， BD=（75-x ）sin37°=0.6（75-x ）=45-0.6x ， 在Rt △ACD 中，AD=DCtan ∠ACB ，∴AD=（x+45-0.6x ）tan37°=0.75（0.4x+45）=0.3x+33.75， ∵AD+OD=OA=75， ∴0.3x+33.75+60-0.8x=75， 解得x=37.5． ∴BC=37.5；故小桌板桌面的宽度BC 约为37.5cm ． 考点：解直角三角形的应用24、为了解学生的课余生活，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（每人只选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类．调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示）． （1）请根据所给的扇形图和条形图，直接填写出扇形图中缺失的数据，并把条形图补充完整；（2）在扇形统计图中，音乐类选项所在的扇形的圆心角的大小为 °； （3）这所中学共有学生1200人，求喜欢音乐和美术类的课余生活共有多少人？ （4）在问卷调查中，小丁和小李分别选择了音乐类和美术类，校学生会要从选择音乐类和美术类的学生中分别抽取一名学生参加活动，用列表或画树状图的方法求小丁和小李恰好都被选中的概率．【答案】（1）补图见解析；（2）57.6°，（3）336人（4）.【解析】试题分析：（1）根据扇形统计图所给的数据，直接进行相减即可求出体育所占的百分比，再根据抽取体育的人数，即可求出抽取的总人数，再根据其他类所占的比例，即可求出答案．（2）音乐类人数所占百分比乘以360°可得音乐类选项所在的扇形的圆心角的大小．（3）根据学生中最喜欢音乐和美术类的学生所占的百分比，再乘以总数即可求出答案．（4）首先由（1）可得音乐类的有4人，选择美术类的有3人．然后记选择音乐类的4人分别是A1，A2，A3，小丁；选择美术类的3人分别是B1，B2，小李．则可根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小丁和小李恰好都被选中的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：（1）根据题意得：体育所占的百分比是：1-32%-12%-16%=40%，抽取的总人数是：10÷40%=25（人），其他类的人数是：25×32%=8（人）．如图所示：（2）音乐类选项所在的扇形的圆心角的大小为360°×16%=57.6°， （3）1200×（16%+12%）=336（人）， 答：喜欢音乐和美术类的课余生活共有336人．（4）选择音乐类的有4人，选择美术类的有3人，记选择音乐类的4人分别为A1、A2、A3、小丁，选择美术类的3人分别是B1、B2、小李， 列表如下：由表中可知共有12种选取方法，选中小丁、小李的情况只有1种，∴小丁和小李恰好都被选中的概率为．考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；3.用列表法或树状图法求概率. 25、如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE=AF ． （1）求证：CE=CF ．（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM=OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AEMF 是菱形，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE ≌△ADF ； （2）由于四边形ABCD 是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD ；联立（1）的结论，可证得EC=CF ，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC （即AM ）垂直平分EF ；已知OA=OM ，则EF 、AM 互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF 是菱形．试题解析：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD ，∠B=∠D=90°， 在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，，∴Rt △ADF ≌Rt △ABE （HL ） ∴BE=DF ， ∵BC=DC ， ∴CE=CF ；（2）四边形AEMF 是菱形，理由为： 证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCA=∠DCA=45°， BC=DC ， ∵BE=DF ， ∴BC-BE=DC-DF ， 即CE=CF ，在△COE 和△COF 中，，∴△COE≌△COF（SAS），∴OE=OF，又OM=OA，∴四边形AEMF是平行四边形，∵AE=AF，∴平行四边形AEMF是菱形．考点：1.正方形的性质，2.平行四边形的判定，3.菱形的判定，4.平行线分线段成比例定理。

2021年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷

一、选择题（共10小题）. 1．在0.3，﹣3，0，﹣这四个有理数中，最小的数是（ ）

A．﹣3 B．0.3 C．0 D．﹣

2．如图所示的是由5个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（ ）

A． B．

C． D．

3．截止到2021年4月6日，电影《你好，李焕英》累计票房达到53.96亿元，进入全球前

100名，同时贾玲成为了全球票房最高的女导演，其中数据53.96亿用科学记数法表示为

（ ） A．53.96×108 B．5.396×1010 C．0.5396×1010 D．5.396×109 4．下列计算正确的是（ ）

A．a2•a3＝a5 B．（3a2）3＝9a6 C．5a2•4a2＝20a2 D．2a4+3a4＝5a 5．沈阳市三月份连续七天的最高气温分别为10，9，9，7，6，8，5（单位：℃），这组数

据的中位数和众数分别是（ ） A．9℃，6℃ B．8℃，9℃ C．7℃，9℃ D．9℃，8℃

6．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，）在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．如图，将直尺与含60°角的三角尺叠放在一起，60°角的顶点落在直尺的一边上，其两边与直尺相交，若∠2＝70°，则∠1的度数是（ ） A．40° B．45° C．50° D．55°

8．对于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（ ）

A．图象经过点（﹣2，﹣1）

B．若点P（﹣2，y1）和点Q（6，y2）在该图象上，则y1＜y2

C．其图象既是轴对称图形又是中心对称图形

D．y随x的增大而增大

9．如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为（ ）

A． B． C． D．

10．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：

①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＝0；④b2＜4ac；⑤若m为任意实数，则a+b≥am2+bm．其中正确的是（ ）

2016年中考数学一模模拟试卷（附答案）面对中考，考生对待考试需保持平常心态，复习时仍要按知识点、题型、易混易错的问题进行梳理，不断总结，不断反思，从中提炼最佳的解题方法，进一步提高解题能力。

下文准备了2016年中考数学一模模拟试卷。

一、选择题1.(2013•成都)在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是()A.y=-x+3B.y=C.y=2xD.y=-2x2+x-71.C2.(2013•绍兴)若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是()A.90°B.120°C.150°D.180°2.D3.(2013•潍坊)对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若[]=5，则x的取值可以是()A.40B.45C.51D.563.C4.(2013•乌鲁木齐)对平面上任意一点(a，b)，定义f，g两种变换：f(a，b)=(a，-b).如f(1，2)=(1，-2);g(a，b)=(b，a).如g(1，2)=(2，1).据此得g(f(5，-9))=()A.(5，-9)B.(-9，-5)C.(5，9)D.(9，5)4.D5.(2013•常德)连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图(扇形、菱形、直角梯形、红十字图标)中“直径”最小的是()A.B.C.D.5.C二、填空题6.(2013•上海)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为.6.30°7.(2013•宜宾)如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是.7.4π8.(2013•淄博)在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△AB C，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有条.8.39.(2013•乐山)对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为(x).即当n为非负整数时，若n-≤x给出下列关于(x)的结论：①(1.493)=1;②(2x)=2(x);③若(x-1)=4，则实数x的取值范围是9≤x ④当x≥0，m为非负整数时，有(m+2013x)=m+(2013x);⑤(x+y)=(x)+(y);其中，正确的结论有(填写所有正确的序号).9.①③④三、解答题10.(2013•莆田)定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC 于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.10.解：(1)∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴，即，∴AD2=AC•CD.∴点D是线段AC的黄金分割点.(2)∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD=AC=.11.(2013•大庆)对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin(180°-α)，cosα=-cos(180°-α)(1)求sin120°，cos120°，sin150°的值;(2)若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小.11.解：(1)由题意得，sin120°=sin(180°-120°)=sin60°=，cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°=-，sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=;(2)∵三角形的三个内角的比是1：1：4，∴三个内角分别为30°，30°，120°，①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，-，将代入方程得：4×()2-m×-1=0，解得：m=0，经检验-是方程4x2-1=0的根，∴m=0符合题意;②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意;③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，，将代入方程得：4×()2-m×-1=0，解得：m=0，经检验不是方程4x2-1=0的根.综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°.12.(2013•安徽)我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”.其中∠B=∠C.(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可);(2)如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C.E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：;(3)在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD 中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E.若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时(即图3所示情形)，四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么?若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何?写出你的结论.(不必说明理由)12.解：(1)如图1，过点D作DE∥BC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE;(2)∵AB∥DE，∴∠B=∠DEC，∵AE∥DC，∴∠AEB=∠C，∵∠B=∠C，∴∠B=∠AEB，∴AB=AE.∵在△ABE和△DEC中，，∴△ABE∽△DEC，∴，∴;(3)作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，∴∠BFE=∠CHE=90°.∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴EF=EG=EH，在Rt△EFB和Rt△EHC中，∴Rt△EFB≌Rt△EHC(HL)，∴∠3=∠4.∵BE=CE，∴∠1=∠2.∴∠1+∠3=∠2+∠4即∠ABC=∠DCB，∵ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，∴ABCD是“准等腰梯形”.当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：如图4，当点E在BC边上时，同理可以证明△EFB≌△EHC，∴∠B=∠C，∴ABCD是“准等腰梯形”.如图5，当点E在四边形ABCD的外部时，同理可以证明△EFB≌△EHC，∴∠EBF=∠ECH.∵BE=CE，∴∠3=∠4，∴∠EBF-∠3=∠ECH-∠4，即∠1=∠2，∴四边形ABCD是“准等腰梯形”.精心整理，仅供学习参考。

辽宁省沈阳市沈河区2016年中考数学二模试卷（解析版）参考答案与试题解析一、选择题：每小题2分，共20分．1．|﹣2|的绝对值的相反数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【分析】根据绝对值的性质求出|﹣2|，再根据相反数的定义解答．【解答】解：|﹣2|=2，所以，|﹣2|的绝对值的相反数是﹣2．故选A．【点评】本题考查了绝对值的性质，相反数的定义，比较简单，熟记性质与概念是解题的关键．2．如图，在数轴上标注了四段范围，则表示的点落在（）A．①段B．②段C．③段D．④段【分析】先化简，根据≈1.414，可以估算出的大小，从而可以得到表示的点落在哪一段．【解答】解：∵，∴表示的点落在③段，故选C．【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确题意，可以估算出的大小．3．下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确．故选：D．【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为（）A．0.432×10﹣5B．4.32×10﹣6C．4.32×10﹣7D．43.2×10﹣7【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000432=4.32×10﹣6，故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【解答】解：由2x+1＞3，解得x＞1，3x﹣2≤4，解得x≤2，不等式组的解集为1＜x≤2，故选：C．【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．6．下列事件是确定事件的是（）A．任买一张电影票，座位是偶数B．在一个装有红球和白球的箱子中，任摸一个球是红色的C．随意掷一枚均匀的硬币，正面朝上D．三根长度分别为2cm、3cm、5cm的木棒能摆成三角形【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：任买一张电影票，座位是偶数是随机事件，A错误；在一个装有红球和白球的箱子中，任摸一个球是红色的是随机事件，B错误；随意掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件，C错误；三根长度分别为2cm、3cm、5cm的木棒能摆成三角形是不可能事件，D正确，故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（）A．55° B．60° C．65° D．70°【分析】设∠2的对顶角为∠5，∠1在l2上的同位角为∠4，结合已知条件可推出∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，即可得出∠3的度数．【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，∴∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，∴∠3=65°．故选：C．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质和对顶角的性质，关键在于根据已知条件找到有关相等的角．8．计算一组数据：8，9，10，11，12的方差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先求出这5个数的平均数，然后利用方差公式求解即可．【解答】解：样本8、11、9、10、12的平均数=（8+11+9+10+12）÷5=10，∴S2=×（4+1+1+0+4）=2．故选：B．【点评】此题考查了方差的定义，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）9．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元．下列所列方程中正确的是（）A．168（1+a）2=128 B．168（1﹣a%）2=128 C．168（1﹣2a%）=128 D．168（1﹣a2%）=128 【分析】本题可先用a表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．【解答】解：当商品第一次降价a%时，其售价为168﹣168a%=168（1﹣a%）；当商品第二次降价a%后，其售价为168（1﹣a%）﹣168（1﹣a%）a%=168（1﹣a%）2．∴168（1﹣a%）2=128．故选B．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于128即可．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，当y＜2时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜3 D．x＞3【分析】从图象上得到函数的增减性及当y=2时，对应的点的横坐标，即能求得当y＜2时，x的取值范围．【解答】解：一次函数y=kx+b经过点（3，2），且函数值y随x的增大而增大，∴当y＜2时，x的取值范围是x＜3．故选C．【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．二、填空题：每小题3分，共18分．11．分解因式：2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2．【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．【解答】解：2x2﹣4x+2，=2（x2﹣2x+1），=2（x﹣1）2．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．12．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD=．【分析】连接BC，根据同弧所对的圆周角相等得到∠D=∠A，在直角三角形ABC中，根据余弦的定义即可得到结果．【解答】解：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为：．【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为2a+b=﹣1．【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得2a+b+1=0，然后再整理可得答案．【解答】解：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，因此2a+b+1=0，即：2a+b=﹣1．故答案为：2a+b=﹣1．【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的做法．14．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于1440度．【分析】任何多边形的外角和等于360°，可求得这个多边形的边数．再根据多边形的内角和等于（n﹣2）180°即可求得内角和．【解答】解：∵任何多边形的外角和等于360°，∴多边形的边数为360°÷36°=10，∴多边形的内角和为（10﹣2）180°=1440°．故答案为：1440．【点评】本题需仔细分析题意，利用多边形的外角和求出边数，从而解决问题．15．用配方法求抛物线y=x2﹣4x+1的顶点坐标，配方后的结果是y=（x﹣2）2﹣3．【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y=x2﹣4x+1=（x﹣2）2﹣3，即y=（x﹣2）2﹣3．故答案是：y=（x﹣2）2﹣3．【点评】本题考查了二次函数的解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．16．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是cm．【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，∴BC==5cm，∴S==×6×8=24cm2，菱形ABCD∵S=BC×AE，菱形ABCD∴BC×AE=24，∴AE==cm．故答案为：cm．【点评】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．三、解答题17．（2016沈河区二模）计算：（）﹣2﹣6sin30°﹣（）0++||．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简各数，进而求出答案．【解答】解：（）﹣2﹣6sin30°﹣（）0++||=4﹣6×﹣1++﹣【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质以及零指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．18．求证：CE=CF．（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；（2）由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；联立（1）的结论，可证得EC=CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，则EF、AM互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）∴BE=DF，∵BC=DC，∴CE=CF；（2）解：四边形AEMF是菱形，理由为：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA=∠DCA=45°，∵BE=DF，∴BC﹣BE=DC﹣DF，即CE=CF，在△COE和△COF中，，∴△COE≌△COF（SAS），∴OE=OF，又OM=OA，∴四边形AEMF是平行四边形，∵AE=AF，∴平行四边形AEMF是菱形．【点评】本题主要考查对正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．19．，选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类．调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示）．（1）请根据所给的扇形图和条形图，直接填写出扇形图中缺失的数据，并把条形图补充完整；（2）在扇形统计图中，音乐类选项所在的扇形的圆心角的大小为57.6°；（3）这所中学共有学生1200人，求喜欢音乐和美术类的课余生活共有多少人？（4）在问卷调查中，小丁和小李分别选择了音乐类和美术类，校学生会要从选择音乐类和美术类的学生中分别抽取一名学生参加活动，用列表或画树状图的方法求小丁和小李恰好都被选中的概率．【分析】（1）根据扇形统计图所给的数据，直接进行相减即可求出体育所占的百分比，再根据抽取体育的人数，即可求出抽取的总人数，再根据其他类所占的比例，即可求出答案．（2）音乐类人数所占百分比乘以360°可得音乐类选项所在的扇形的圆心角的大小．（3）根据学生中最喜欢音乐和美术类的学生所占的百分比，再乘以总数即可求出答案．（4）首先由（1）可得音乐类的有4人，选择美术类的有3人．然后记选择音乐类的4人分别是A1，A2，A3，小丁；选择美术类的3人分别是B1，B2，小李．则可根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小丁和小李恰好都被选中的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）根据题意得：体育所占的百分比是：1﹣32%﹣12%﹣16%=40%，抽取的总人数是：10÷40%=25（人），其他类的人数是：25×32%=8（人）．如图所示：（2）音乐类选项所在的扇形的圆心角的大小为360°×16%=57.6°，故答案为：57.6°．（3）1200×（16%+12%）=336（人），答：喜欢音乐和美术类的课余生活共有336人．（4）选择音乐类的有4人，选择美术类的有3人，记选择音乐类的4人分别为A1、A2、A3、小丁，选择美术类的3人分别是B1、B2、小李，列表如下：A1 A2 A3 小丁B1 A1、B1 A2、B1 A3、B1 小丁、B1B2 A1、B2 A2、B2 A3、B2 小丁、B2小李A1、小李A2、小李A3、小李小丁、小李由表中可知共有12种选取方法，选中小丁、小李的情况只有1种，∴小丁和小李恰好都被选中的概率为．【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图与用列表法或树状图法求概率的知识．解题的关键是读懂题意，从图中得到必要的信息，注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比．20．【分析】延长CB交AO于点D．则CD⊥OA，在Rt△OBD中根据正弦函数求得BD，根据余弦函数求得OD，在Rt△ACD中，根据正切函数求得AD，然后根据AD+OD=OA=75，列出关于x的方程，解方程即可求得．【解答】解：延长CB交AO于点D．∴CD⊥OA，设BC=x，则OB=75﹣x，在Rt△OBD中，OD=OBcos∠AOB，BD=OBsin∠AOB，∴OD=（75﹣x）cos37°=0.8（75﹣x）=60﹣0.8x，BD=（75﹣x）sin37°=0.6（75﹣x）=45﹣0.6x，在Rt△ACD中，AD=DCtan∠ACB，∴AD=（x+45﹣0.6x）tan37°=0.75（0.4x+45）=0.3x+33.75，∵AD+OD=OA=75，∴0.3x+33.75+60﹣0.8x=75，解得x=37.5．∴BC=37.5；故小桌板桌面的宽度BC约为37.5cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形并求解．21．根据题意，甲和乙两同学都先假设该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同，并分别列出的方程如下：甲：=；乙：﹣=14，根据两位同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义：甲：x表示乒乓球拍的单价；乙：y表示羽毛球拍的数量；（2）该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗？说明理由（写出完整的解答过程）．【分析】（1）甲：=的等量关系是“校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同”；乙：﹣=14的等量关系是“一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元”；（2）假设能相等，设乒乓球拍每一个x元，羽毛球拍就是x+14，得方程=，进而求出x=35，再利用2000÷35不是一个整数，得出答案即可．【解答】解：（1）根据题意知，x表示乒乓球拍的单价，y表示羽毛球拍的数量；故答案为：乒乓球拍的单价；羽毛球拍的数量；（2）答：不能相同．理由如下：假设能相等，设乒乓球拍每一个x元，羽毛球拍就是（x+14）元．根据题意得方程：=，解得：x=35．经检验得出，x=35是原方程的解，但是当x=35时，2000÷35不是一个整数，这不符合实际情况，所以不可能．答：该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量不能相同．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据已知假设购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同得出等式方程求出是解题关键．22．（2011宜宾）已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．【分析】（1）连接AD，由圆周角定理即可得出∠DAC=∠DEC，∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质即可得出结论；（2）由∠BDA=180°﹣∠ADC=90°，∠ABC=45°可求出∠BAD=45°，利用勾股定理即可得出DC 的长，进而求出BC的长，由已知的一对角线段和公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似可得三角形BCE与三角形EDC相似，由相似得比例即可求出CE的长．【解答】（1）证明：连接AD，∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，∴∠DAC=∠EBC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠DCA+∠DAC=90°，∴∠EBC+∠DCA=90°，∴∠BGC=180°﹣（∠EBC+∠DCA）=180°﹣90°=90°，∴AC⊥BH；（2）解：∵∠BDA=180°﹣∠ADC=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，∴BD=AD，∵BD=8，∴AD=8，在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10，根据勾股定理得：DC=6，则BC=BD+DC=14，∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD，∴△BCE∽△ECD，∴，即CE2=BCCD=14×6=84，∴CE==2．【点评】本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．23．与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．（1）直接写出v与t的函数关系式；（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．①求两车的平均速度；②甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B加油站的距离．【分析】（1）利用时间t与速度v成反比例可以得到反比例函数的解析式；（2）①由客车的平均速度为每小时v千米，得到货车的平均速度为每小时（v﹣20）千米，根据一辆客车从甲地出发前往乙地，一辆货车同时从乙地出发前往甲地，3小时后两车相遇列出方程，解方程即可；②分两种情况进行讨论：当A加油站在甲地和B加油站之间时；当B加油站在甲地和A加油站之间时；都可以根据甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）设函数关系式为v=，∵t=5，v=120，∴k=120×5=600，∴v与t的函数关系式为v=（5≤t≤10）；（2）①依题意，得3（v+v﹣20）=600，解得v=110，经检验，v=110符合题意．当v=110时，v﹣20=90．答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；②当A加油站在甲地和B加油站之间时，110t﹣（600﹣90t）=200，解得t=4，此时110t=110×4=440；当B加油站在甲地和A加油站之间时，110t+200+90t=600，解得t=2，此时110t=110×2=220．答：甲地与B加油站的距离为220或440千米．【点评】本题考查了反比例函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型．24．（2016沈河区二模）已知：如图1，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足为E，点F是点E关于AB的对称点，连接AF，BF．（1）AE的长为4，BE的长为3；（2）如图2，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′．①在旋转过程中，当A′F′与AE垂直于点H，如图3，设BA′所在直线交AD于点M，请求出DM的长；②在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q，是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为以PQ为底的等腰三角形？请直接写出DQ的长．【分析】（1）由勾股定理求得BD的长，根据三角形面积公式求出AE的长，再应用勾股定理即可求得BE的长．（2）①先用tan∠ADB===，设出MG，表示出DG，DM，求出BG=BD﹣DG=﹣4x，再用tan∠MBD=，建立方程求出x，即可；②分DP=DQ（考虑点Q在线段BD的延长线和点Q在线段BD上两种情况），PD=PQ两种情况求解即可．【解答】解：（1）∵AB=5，AD=，∴由勾股定理得BD==．∵S△ABD=AB×AD=BD×AE，∴×5×=××AE，∴AE=4．∴BE==3，故答案为4，3；（2）①作MG⊥BD，A′N⊥BD，∴tan∠ADB===，设MG=3x，则DG=4x，DM=5x，∴BG=BD﹣DG=﹣4x，∵A′F′⊥AE，AE⊥BD，A′N⊥BD，A′F′⊥BF′，∴四边形BF′A′N是矩形，∴A′N=BF′=3，BN=A′F′=AE=4，∵tan∠MBD=，∴，∴x=，∴DM=5x=；②存在，理由如下：Ⅰ、当DP=DQ时，若点Q在线段BD的延长线上时，如图1，有∠Q=∠1，则∠2=∠1+∠Q=2∠Q．∵∠3=∠4+∠Q，∠3=∠2，∴∠4+∠Q=2∠Q．∴∠4=∠Q．∴A′Q=A′B=5．∴F′Q=A′F′+A′Q=4+5=9．在Rt△BF′Q中，81+9=（+DQ）2∴DQ=3﹣或DQ=﹣3﹣（舍去）．若点Q在线段BD上时，如图2，有∠QPD=∠PQD=∠BQA′，∵∠DPQ=∠BMQ，∴∠BMQ=∠BQM．∵∠BMQ=∠A′BM+∠A′，∠A′=∠CBD，∴∠BMQ=∠A′BM+∠CBD=∠A′BQ．∴∠BQM=∠∠A′BQ．∴A′Q=A′B=5．∴F′Q=A′Q﹣A′F′=5﹣4=1．∴BQ==∴DQ=BD﹣BQ=﹣Ⅱ、当PD=PQ时，如图4，有∠ADB=∠DQP=∠BQA′，∵∠ADB=∠A′，∴∠BQ A′=∠A′．∴BQ=A′B=5．∴DQ=BD﹣BQ=﹣5=综上所述，当△DPQ为等腰三角形时，DQ的长为DQ=3﹣，DQ=﹣，DQ=﹣5=【点评】此题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，解本题的关键是勾股定理的运用，难点是分情况求DQ．25．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（4，0）、E（﹣2，0）两点，连结AB，过点A作直线AK⊥AB，动点P从A点出发以每秒个单位长度的速度沿射线AK运动，设运动时间为t秒，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP对折，使点C落在点D处．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在△ABP的内部时，△ABP与△ADP不重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）若线段AC的长是线段BP长的，请直接写出此时t的值；（4）是否存在这样的时刻，使动点D到点O的距离最小？若存在请直接写出这个最小距离；若不存在，说明理由．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先根据点D在△APB内部，求出t的范围，然后用△APB减去△APC面积求出不重叠的部分面积；（3）根据两点间的距离公式表示出BP，根据条件建立方程，求出时间；（4）先判断出点D到点O的距离最小时的位置，然后用三角函数和勾股定理计算．【解答】解：（1）将A，B，E三点代入抛物线解析式中，得，∴∴y=﹣x2+x+2，（2）∵A（4，0），B（0，2）∴直线AB解析式为y=﹣x+2，∵AB⊥AK，∴直线AK解析式为y=2x+8，∴tan∠PAC==2，∵AP=t，∴AC=t，PC=2t，∵D在△ABP内部，∴∠APB＞∠APC，∴tan∠APB＞tan∠APC，∴，∴，∴t＜4，∴0＜t＜4，∴S=S△APB﹣S△APD=S△APB﹣S△APC=×AB×AP﹣×AC×PC=×2×t﹣×t×2t=﹣t2+5t（0＜t＜4）（3）∵P（t+4，2t），∴BP==，∵线段AC的长是线段BP长的，∴t=，∴t=﹣（舍）t=（4）要使点D到O的距离最小，则有点D在OP上，此时记作D1在Rt△OCP中，tan∠POC==，在Rt△OCP中，tan∠AOC=，∴，∴OD1=，根据勾股定理得，OD12+AD12=OA2，∴（）2+t2=16，∴t=﹣4（舍）t=，∴AD1==【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，勾股定理，面积的计算，解本题的关键是确定出时间的范围．。

2016年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知i为虚数单位，则复数所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】解：==1+i，其对应的点为（1，1），故选：A．利用复数的除法的运算法则化简求解，等等复数的对应点，即可判断选项．本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．2.设全集U=R，集合A={x|y=lgx}，B={-1，1}，则下列结论正确的是（）A.A∩B={-1}B.（∁R A）∪B=（-∞，0）C.A∪B=（0，+∞）D.（∁R A）∩B={-1}【答案】D【解析】解：根据对数函数的定义，得x＞0，∴集合A={x|x＞0}，∴A∩B={x|x＞0}∩{-1，1}={1}，A错误；（∁R A）∪B={x|x≤0}∪{-1，1}={x|x≤0或x=1}，B错误；A∪B={x|x＞0}∪{-1，1}={x|x＞0或x=-1}，C错误；（∁R A）∩B={x|x≤0}∩{-1，1}={-1}，D正确；故选：D．先求出集合A，根据补集和交集以及并集的运算性质分别判断即可．本题考察了集合的运算性质，考察对数函数的定义域，是一道基础题．3.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A.y=2xB.y=2|x|C.y=2x-2-xD.y=2x+2-x【答案】C【解析】解：A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，C由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或y'=2x ln2+2-x ln2＞0），故选C．根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的4.已知两个非零向量，满足•（-）=0，且2||=||，则＜，＞=（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】B【解析】解：根据题意，•（-）=0，则•=•，即||2=•，又由2||=||，则cos＜，＞===；即＜，＞=60°；故选：B．根据题意，•（-）=0，则•=•，即||2=•，结合2||=||，将其代入cos＜，＞=中可得cos＜，＞的值，进而可得＜，＞的值，即可得答案．本题考查向量的数量积的运算，关键是5.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．本题考查了几何体的三视图，属于基础题．6.设等差数列{a n}满足a2=7，a4=3，S n是数列{a n}的前n项和，则使得S n＞0最大的自然数n是（）A.9B.10C.11D.12【解析】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a2=7，a4=3，∴，解得d=-2，a1=9．∴a n=9-2（n-1）=-2n+11，∴数列{a n}是减数列，且a5＞0＞a6，a5+a6=0，于是＞，，＜，故选：A．利用等差数列的通项公式可得：a n=-2n+11，可见{a n}是减数列，且a5＞0＞a6，a5+a6=0，再利用前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：不妨令该函数解析式为y=A sin（ωx+ϕ），由图知A=1，=，于是，即，因是函数减时经过的零点，于是，k∈Z，所以ϕ可以是，故选：C．根据已知函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，0）代入解析式，可求出φ值，进而求出函数的解析式．本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，属于基本知识的考查．8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A.-B.0C.D.【答案】B【解析】解：由框图知输出的结果为：，因为函数的周期是6，所以=336×0=0．故选：B．根据题中的流程图，模拟运行，依次根据条件计算s和n的值，直到n＞2016运行结束，输出此时的s的值即为答案．本题考查了程序框图．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，要按照流程图中的运行顺序进行求解是关键．属于基础题．9.实数x，y满足，则z=|x-y|的最大值是（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】解：依题画出可行域如图，可见△ABC及内部区域为可行域，令m=y-x，则m为直线l：y=x+m在y轴上的截距，由图知在点A（2，6）处m取最大值是4，在C（2，0）处最小值是-2，所以m∈[-2，4]，而z=|x-y|=|m|，所以z的最大值是4，故选：B．m=y-x，分析可得m的取值范围，而z=|x-y|=|m|，分析可得z的最大值，即可得答案．本题考查线性规划求不等式的最值问题，关键是正确作出不等式的可行域．10.已知P是双曲线-y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•的值是（）A.-B.C.-D.不能确定【答案】A【解析】解：设P（m，n），则-n2=1，即m2-3n2=3，由双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x，则由解得交点A（，）；由解得交点B（，）．=（，），=（，），则•=+=-=-=-．故选：A．设P（m，n），则-n2=1，即m2-3n2=3，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．11.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A.24种B.28种C.32种D.36种【答案】B【解析】解：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这中情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剩余3个同学，有3种分法，那共有3×4=12种第二类，有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先将两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法．那共有：4×1=4种，第三类，有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法．那共有：4×3=12种，分三类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得．本题考查了分类和分步计数原理，关键是分类，属于中档题．12.已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A.0＜x0＜B.＜x0＜1C.＜x0＜D.＜x0＜【答案】D【解析】解：函数y=x2的导数为y′=2x，在点（x0，x02）处的切线的斜率为k=2x0，切线方程为y-x02=2x0（x-x0），设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，即有y=lnx的导数为y′=，可得2x0=，切线方程为y-lnm=（x-m），令x=0，可得y=lnm-1=-x02，由0＜m＜1，可得x0＞，且x02＞1，解得x0＞1，由m=，可得x02-ln（2x0）-1=0，令f（x）=x2-ln（2x）-1，x＞1，f′（x）=2x-＞0，f（x）在x＞1递增，且f（）=2-ln2-1＜0，f（）=3-ln2-1＞0，则有x02-ln（2x0）-1=0的根x0∈（，）．故选：D．求出函数y=x2的导数，y=lnx的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得2x0=，lnm-1=-x02，再由零点存在定理，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查函数方程的转化思想，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知sinα-cosα=-，则sin2α= ______ ．【答案】【解析】则sin2α=．故答案为：．由sinα-cosα=-，两边平方，再利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，属于基础题．14.已知抛物线x2=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|= ______ ．【答案】【解析】解：由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=-1．∵∠AFO=30°，∴x A=．∵PA⊥l，∴x P=，y P=，∴|PF|=|PA|=y P+1=．故答案为：．由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=-1．由∠AFO=30°，可得x A=．由于PA⊥l，可得x P=，y P=，再利用|PF|=|PA|=y P+1即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．15.设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+3，则S4= ______ ．【答案】66【解析】解：∵a n+1=2S n+3，∴a n=2S n-1+3（n≥2），可得a n+1-a n=2a n，即a n+1=3a n，n≥2，∴数列{a n}从第二项起是公比为3的等比数列，a2=5，∴=66．故答案为：66．利用递推关系与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知函数，，＜，若方程f（x）=ax+1恰有一个解时，则实数a的取值范围______ ．【答案】，，【解析】解：作函数，，＜与y=ax+1的图象如下，，y=ax+1恒过点（0，1），当直线y=ax+1过点（2，2）时，则，满足方程有两个解；当直线y=ax+1与相切时，则，满足方程有两个解；直线l的斜率为a==1，故所求范围为，，，故答案为：，，．由题意作函数，，＜与y=ax+1的图象，利用斜率公式求求直线n，l的斜率，利用导数求直线m的斜率，从而解得．本题考查了导数的几何意义的应用及数形结合的思想应用，同时考查了方程的根与函数的图象的关系应用．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，C=，且sin B=2sin A•cos（A+B）．【答案】（1）证明：∵sin B=2sin A•cos（A+B），∴b=2a（-cos C），∴b=-2a×，∴b2=2a2．（2）解：∵S==ab=1，化为ab=2．联立，解得a=，b=2．∴=10，解得c=．【解析】（1）利用正弦定理、诱导公式即可得出．（2）利用三角形面积计算公式可得：ab=2．与b2=2a2联立，解得a，b．再利用余弦定理即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知长方体AC1中，AD=AB=2，AA1=1，E为D1C1的中点，如图所示．（Ⅰ）在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线（不必说明理由）；（Ⅱ）证明：BD1∥平面B1EC；（Ⅲ）求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小．【答案】解：（Ⅰ）连接BC1交B1C于M，则直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线，如图所示；…（4分）所以在△D1C1B中EM是中位线，所以EM∥BD1，…（6分）又EM⊂平面B1EC，BD1⊄平面B1EC，所以BD1∥平面B1EC；…（8分）（Ⅲ）因为在长方体AC1中，所以AD1∥BC1，平面ABD1即是平面ABC1D1，过平面B1EC上点B1作BC1的垂线于F，如平面图①，因为在长方体AC1中，AB⊥平面B1BCC1，B1F⊂平面B1BCC1，所以B1F⊥AB，BC1∩AB=B，所以B1F⊥平面ABD1于F．过点F作直线EM的垂线于N，如平面图②，连接B1N，由三垂线定理可知，B1N⊥EM．由二面角的平面角定义可知，在R t△B1FN 中，∠B1NF即是平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的平面角．因长方体AC1中，AD=AB=2，AA1=1，在平面图①中，，…（10分），，C1E=1，在平面图②中，由△EMC1相似△FMN1可知==，所以tan∠B1NF==，所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小为arctan2．…（12分）空间向量解法：（Ⅰ）见上述．…（4分）（Ⅱ）因为在长方体AC1中，所以DA，DC，DD1两两垂直，于是以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为AD=AB=2，AA1=1，所以D（0，0，0），D1（0，0，1），B（2，2，0），B1（2，2，1），C（0，2，0），E（0，1，1）．所以，，，，，，，，，…（6分）令平面B1EC的一个法向量为，，所以，，从而有，，即，不妨令x=-1，得到平面B1EC的一个法向量为，，，而，所以，又因为BD1⊄平面B1EC，所以BD1∥平面B1EC．…（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，，，，，令平面ABD1的一个法向量为，，，所以，，从而有，，即，不妨令x=1，得到平面ABD1的一个法向量为，，，…（10分）因为＜，＞=．…（11分）所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小为．…（12分）【解析】（Ⅰ）连接BC1交B1C于M即可得到平面ABD1与平面B1EC的交线；（Ⅱ）根据线面平行的判定定理即可证明：BD1∥平面B1EC；（Ⅲ）方法1，根据几何法作出二面角的平面角即可求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小．方法2，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解．本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，利用几何法以及建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决空间二面角的常用方法，综合性较强，运算量较大．19.某中学根据2002-2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．【答案】解：（1）由题意，，m＞n∴m=，n=；（2）学分X的取值分别为0，1，2，3，4，5，6，则P（X=0）=，P（X=1）=×=，P（X=2）=×=，P（X=3）=+×=，P（X=4）=×=，P（X=5）==，P（X=6）=．期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=．【解析】（1）根据假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n，建立方程组，即可求m与n的值；（2）确定学分X的可能取值，求出相应的概率，可得X的分布列与数学期望本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．20.已知椭圆E的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2分别在x轴上，离心率为，在其上有一动点A，A到点F1距离的最小值是1，过A、F1作一个平行四边形，顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）判断▱ABCD能否为菱形，并说明理由．（Ⅲ）当▱ABCD的面积取到最大值时，判断▱ABCD的形状，并求出其最大值．【答案】解：（I）由题意可得：，解得c=1，a=2，b2=3．∴椭圆E的方程为=1．（II）假设▱ABCD能为菱形，则OA⊥OB，k OA•k OB=-1．①当AB⊥x轴时，把x=-1代入椭圆方程可得：=1，解得y=，取A，，则|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD不能为菱形．②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，∴x1+x2=-，x1x2=．∴k OA•k OB=====，假设=-1，化为k2=-，因此平行四边形ABCD不可能是菱形．综上可得：平行四边形ABCD不可能是菱形．（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD为矩形，S矩形=6．ABCD②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，∴x1+x2=-，x1x2=．|AB|==．点O到直线AB的距离d=．∴S平行四边形ABCD=4×S△OAB==2××=．则S2==＜36，∴S＜6．因此当平行四边形ABCD为矩形面积取得最大值6．【解析】（I）由题意可得：，解得c，a，b2，即可得出．（II）假设▱ABCD能为菱形，则OA⊥OB，k OA•k OB=-1．分类讨论：①当AB⊥x轴时，把x=-1代入椭圆方程，解出即可判断出；②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．把直线AB的方程与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，利用根与系数的关系及其斜率计算公式k OA•k OB=-1，看此方程是否有解即可判断出．（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD为矩形，S矩形=6．ABCD②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．直线BA的方程与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，利用根与系数的关系可得|AB|=，点O到直线AB的距离d=．S平行四边形=4×S△OAB=，即可得出．ABCD本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、平行四边形菱形矩形的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数f（x）=xlnx-x2-x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．【答案】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx-ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故′，又，故，解得，x0=e，故，故＜＜．（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点又′，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．故g（x）极大=g（e）=；又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→-∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须＜＜．（解法三）令g（x）=lnx-ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而′（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在＜＜时，g′（x）＞0，在＞时，g′（x）＜0，所以g（x）在，上单调增，在，∞上单调减，从而极大=，又因为在x→0时，g（x）→-∞，在在x→+∞时，g（x）→-∞，于是只须：g（x）极大＞0，即＞，所以＜＜．综上所述，＜＜．（Ⅱ）因为＜等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx-ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于＞．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于＞，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即＜恒成立．令，t∈（0，1），则不等式＜在t∈（0，1）上恒成立．令，又′=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式＜恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．【解析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx-ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx-ax有两个不同零点，从而讨论求解；（Ⅱ）＜可化为1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a （x1+λx2），从而可得＞；而，从而化简可得＞，从而可得＜恒成立；再令，t∈（0，1），从而可得不等式＜在t∈（0，1）上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．本题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方法的应用，属于中档题．22.如图所示，两个圆相内切于点T，公切线为TN，外圆的弦TC，TD分别交内圆于A、B两点，并且外圆的弦CD恰切内圆于点M．（Ⅰ）证明：AB∥CD；（Ⅱ）证明：AC•MD=BD•CM．【答案】（Ⅰ）由弦切角定理可知，∠NTB=∠TAB，…（3分）同理，∠NTB=∠TCD，所以，∠TCD=∠TAB，所以，AB∥CD．…（5分）（Ⅱ）连接TM、AM，因为CD是切内圆于点M，所以由弦切角定理知，∠CMA=∠ATM，又由（Ⅰ）知AB∥CD，所以，∠CMA=∠MAB，又∠MTD=∠MAB，所以∠MTD=∠ATM．…（8分），在△MTD中，由正弦定理知，∠∠，因∠TMC=π-∠TMD，在△MTC中，由正弦定理知，∠∠所以，由AB∥CD知，所以，即，AC•MD=BD•CM．…（10分）【解析】（Ⅰ）证明∠TCD=∠TAB，即可证明AB∥CD；（Ⅱ）证明：∠MTD=∠ATM，利用正弦定理证明，由AB∥CD知，即可证明AC•MD=BD•CM．本题考查正弦定理，弦切角定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23.在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T，求|TM|•|TN|的取值范围．【答案】解：（I）曲线C1的方程是ρ=1，即ρ2=1，化为x2+y2=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2：x2+（y-1）2=1，展开为x2+y2-2y=0．则曲线C2的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）设T（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]．切线的参数方程为：（t为参数），代入C2的方程化为：t2+2t[cos（θ-α）-sinα]+1-2sinθ=0，∴t1t2=1-2sinθ，∴|TM|•|TN|=|t1t2|=|1-2sinθ|∈[0，1]，∴|TM|•|TN|的取值范围是[0，1]．【解析】（I）曲线C1的方程是ρ=1，即ρ2=1，利用ρ2=x2+y2，即可化为直角坐标方程：再向上平移1个单位得到曲线C2：x2+（y-1）2=1，展开利用即可得到曲线C2的极坐标方程．（II）设T（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]．切线的参数方程为：（t为参数），代入C2的方程化为：t2+2t[cos（θ-α）-sinα]+1-2sinθ=0，利用|TM|•|TN|=|t1t2|及其三角函数的单调性即可得出．本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线参数方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.已知命题“∀a＞b＞c，”是真命题，记t的最大值为m，命题“∀n∈R，＜”是假命题，其中，．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求n的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）因为“∀a＞b＞c，”是真命题，所以∀a＞b＞c，恒成立，又a＞b＞c，所以恒成立，所以，．…（3分）又因为=，“=”成立当且仅当b-c=a-b时．因此，t≤4，于是m=4．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“∀n∈R，＜”是假命题，所以“∃n∈R，”是真命题．…（7分）因为|n+sinγ|-|n-cosγ|=|n+sinγ|-|cosγ-n|≤|sinγ+cosγ|（，），因此，，此时，即时．…（8分）∴，由绝对值的意义可知，．…（10分）【解析】（Ⅰ）问题转化为，利用基本不等式的性质求出即可；（Ⅱ）问题转化为∃n∈R，”是真命题，根据三角函数以及绝对值的意义求出n的范围即可．本题考察了基本不等式的性质，考察三角函数问题以及绝对值的意义，考察转化思想，是一道中档题．。

2016年沈阳市高三教学质量监测（一）数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数21z i=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知集合{0,1,2}P =，2{|320}Q x x x =-+≤，则P Q = （ ） A ．{1} B ．{2} C ．{0,1} D ．{1,2} 3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532S =，则3a =（ ）A ．325 B ．2 C ．42 D ．5324．已知函数()12log 030xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，，则((4))f f 的值为（ ） A ．91- B ．9- C ．91D ．95．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为（ ） A ．三棱台 B ．三棱柱 C ．四棱柱 D ．四棱锥6．已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程为（ ）A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=7.执行如图所示的程序框图，如果输入1a =-，2b =-，则输出的a 的值为（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 8．从某小学随机抽取100名同学，现已将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120,130），[130，140）,[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第7题图 第8题图 9．若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（ ）10．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，其外接球表面积为1S ，内切球表面积为2S ，则12:S S 的值为（ ）A ．3B ．33 C ．9 D ．49411. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，A 、B 为抛物线上两点，若3AF FB =，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A ．33 B ．833 C ．433 D ．23312．已知偶函数)(x f (0)x ≠的导函数为)(x f '，且满足(1)0f =，当0x >时，()2()xf x f x '<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)-+∞D ．(1,0)(0,1)-开始 输入a ,b 输出a 结束 6a > 是 a ab = 否第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二. 填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13．设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若z x y =-，则z 的最大值为 ；14．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AC BE ⋅= ；15．函数()2ln f x x x =-的单调递增区间是 ；16．已知双曲线 2222: 1 (0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF . 若||6AF =，||8BF =，3cos 5BAF ∠=，则该双曲线的离心率为 ．三. 解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知函数2()2cos3sin 2xf x x =+. （Ⅰ）求函数()f x 的最大值，并写出取得最大值时相应的x 的取值集合； （Ⅱ）若1tan 22α=，求()f α的值.18.（本小题满分12分）如图所示，三棱锥D ABC -中，AC ,BC ,CD 两两垂直，1AC CD ==,3BC =，点O 为AB 中点.（Ⅰ）若过点O 的平面α与平面ACD 平行，分别与 棱DB ,CB 相交于,M N ，在图中画出该截面多边 形，并说明点,M N 的位置（不要求证明）； （Ⅱ）求点C 到平面ABD 的距离.BCADO19.（本小题满分12分）为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为25．（Ⅰ）求22⨯列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值； （Ⅱ）绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？ （Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？附：22()()()()()n ad bc a b a c c d b d χ-=++++20()P X K ≤0.05 0.01 0.005 0.001 0K3.841 6.6357.87910.82820.（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且126F F ||=，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若△12AF F 的周长为16，求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若24k =，且A ,B , 1F ,2F 四点共圆，求椭圆离心率e 的值； （Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，设00(,)P x y 为椭圆上一点，且直线PA 的斜率1(2,1)k ∈--，试求直线PB 的斜率2k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）未发病 发病合计未注射疫苗 20 xA 注射疫苗 30 yB合计50501000.8 - 0.7 - 0.6 - 0.5 - 0.4 - 0.3 - 0.2 - 0.1 - O未注射 注射已知函数21()ln (R)2f x x a x b a =-+∈. （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a ，b 的值； （Ⅱ）若1x =是函数()f x 的极值点，求实数a 的值；（Ⅲ）若20a -≤<，对任意12,(0,2]x x ∈，不等式121211|()()|||f x f x m x x -≤-恒成立，求m 的最小值．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (Ⅰ)证明：//AB CD ；(Ⅱ)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (Ⅰ)求曲线2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知命题“a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---”是真命题，记t 的最大值为m ， 命题“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，其中(0,)2πγ∈.(Ⅰ)求m 的值； (Ⅱ)求n 的取值范围.T A B C D MN2016年沈阳市高三教学质量监测（一）数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、解答题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题（每题给出一种解法仅供参考）1.A2.D3.A4.C5.B6.D7.B8.B9.B 10.C 11. C 12.D 1．A 试题分析：211z i i==+-，在复平面内复数z 对应点的坐标为(1,1)，在第一象限. 考点：复数的概念，复数的运算，复数的几何意义.2．D 试题分析：因为2{|320}Q x x x =-+≤{|12}x x =≤≤，{0,1,2}P =，所以{1,2}P Q = ． 考点：集合的概念，集合的表示方法，集合的运算，一元二次不等式的解法． 3．A 试题分析：根据等差数列的性质，535S a =，所以533255S a ==. 考点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和，等差数列的性质.4．C 试题分析：因为()12log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，即()1(4)(2)9f f f =-=. 考点：分段函数求值，指数运算，对数运算.5．B 试题分析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如右图所示．这是一个三棱柱. 考点：三视图，棱柱、棱锥、棱台的概念.率为1，由6．D 试题分析：由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜直线方程的斜截式得，3y x =+，即30x y -+=，故选D.考点：圆的标准方程，两条互相垂直直线斜率之间的关系，直线的方程. 7．B 试题分析：当1a =-，2b=-时， (1)(2)26a =-⨯-=<；当2a =，2b =-时，2(2)46a =⨯-=-<；当4a =-，2b =-时， (4)(2)86a =-⨯-=>，此时输出8a =，故选B.考点： 程序框图的应用.8．B 试题分析：依题意可得10(0.0050.010.020.035)1a ⨯++++=，解得0.03a =，故身高在[120,130），[130,140],[140,150]三组内的学生比例为3:2:1.所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3.考点： 统计的知识，分层抽样的方法，识别图表的能力.9. B 试题分析：由函数()l og 0,1a y x a a =>≠且的图象可知，3,a = 所以3x y -=， 33()y x x =-=-及3log ()y x =-均为减函数，只有3y x =是增函数，选B.考点：幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质.10．C 试题分析：如图所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ，由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．在Rt △BEO 中，222BO BE EO =+，即2223()3R a r =+， 又63R r a +=，可得3R r =，2212::9S S R r ==，故选C. (或由等体积法设内切球半径为r ，外接球半径为R ，正四面体的侧面积为S ，易有11()433S R r Sr +=⋅，有3R r =) 考点：正四面体的定义，正四面体与球的位置关系，球的表面积.11. C 试题分析：（解法一）如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，||2||AB AE =，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB 的倾斜角为60o，直线AB 的方程为3(1)y x =-， 联立直线AB 与抛物线的方程可得：23(1)y 4y x x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解之得：(3,23)A ，123(,)33B -， 所以2212316(3)(23)333AB =-++=， 而原点到直线AB 的距离为32d =，所以14323AOB S AB d ∆=⨯⨯=，故应选C ． 当直线AB 的倾斜角为120o时，同理可求. （解法二）如图所示，设||BF m =， 则||||3AD AF m ==，3||2mAG =又||||2||2AD AG OF -==，故43m =，又83||||3CD BE ==， 所以143||23AOB S OF CD ∆=⨯⨯=，故应选C ． 考点： 抛物线的简单几何性质； 直线与抛物线的相交问题. 12．D 试题分析：根据题意，设函数2()()f x g x x =，当0x >时，3'()2()'()0f x x f x g x x ⋅-⋅=<，说明函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 为偶函数，所以()g x 为偶函数，又(1)0f =，所以(1)0g =，故()g x 在(1,0)(0,1)-U 的函数值大于零，即()f x 在(1,0)(0,1)-U 的函数值大于零.考点：函数的单调性，函数的奇偶性，构造函数解决问题，利用导数研究函数的性质. 二.填空题（每题给出一种解法仅供参考）13.3 14.2 15． 1[,)2+∞（写成1(,)2+∞也给分） 16.5e =13.3 试题分析：不等式组所表示的平面区域如图：目标函数（虚线）在点(3,0)B 处取得最大值3max =z .考点：线性规划.14．2 试题分析： (解法一) 1()()()()2AC BE AB AD BC CE AB AD AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-22142 2.2AD AB =-=-=(解法二)以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴建立直角坐标系，(2,2)AC = ,(1,2)BE =-，2AC BE ⋅= .考点：向量数量积15． 1[,)2+∞（写成1(,)2+∞也给分）试题分析：函数()2l n f x x x =-的定义域为(0,)+∞，'1()20f x x=-≥，所以函数()2ln f x x x =-的单调递增区间为1[,)2+∞.考点：利用导数研究具体函数的单调性．16. 5e = 试题分析：6AF =，8BF =，3cos 5BAF ∠=，由余弦定理可求得10AB =，90BFA ∠=︒，将A ，B 两点分别与双曲线另一焦点连接，可以得到矩形，结合矩形性质可知，210c =，利用双曲线定义，2862a =-=，所以离心率5e =.考点：双曲线的定义，双曲线的离心率，余弦定理. 三.解答题 17.（Ⅰ）()1cos 3sin f x x x =++2cos()13x π=-+, …………3分所以cos()13x π-=，即23x k ππ-=，23x k ππ=+()k ∈Z 时，函数()f x 的最大值为3， …………5分 此时相应的x 的取值集合为{|2,k Z}3x x k ππ=+∈. …………6分（或()2sin()16f x x π=++相应给分）（Ⅱ）22222cos 23sin cos 222()2cos23sin cos 222cos sin 22x x xx x x f x x x +=+=+. ………10分2223tan 21tan 2xx+=+ …………11分8+435=. …………12分 考点：同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换，二倍角公式，辅助角公式，三角函数的性质. 18．（Ⅰ）当M 为棱DB 中点，N 为棱BC 中点时，平面a ∥平面ACD .…………6分（Ⅱ）因为CD AC ⊥，CD BC ⊥，所以直线CD ⊥平面ABC ， …………8分2222112AD AC CD =+=+=,22312BD BC CD =+=+=.又2213 2.AB AC BC =+=+=所以AB BD =，……………………………………9分设点E 是AD 的中点，连接BE ，则BE AD ⊥,所以2222142(2/2)2BE AB AE =-=-=， 1114722222ABD S AD BE ∆=⋅=⨯⨯=. 又C ABD D ABC V V --=， 而11313222ABC S AC BC ∆=⋅=⨯⨯=， 设点C 到平面ABD 的距离为h ，则有1133ABD ABC S h S CD ∆∆⋅=⋅， ……10分 即73122h ⋅=⨯，∴217h =，即点C 到平面ABD 的距离为217. ……12分 考点：空间垂直关系的转化与证明，点到面的距离，线面平行，面面平行问题.19． （Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物”为事件A ，由已知得302()1005y P A +==，所以10y =，40B =，40x =，60A =． ………5分 （Ⅱ）未注射疫苗发病率为402603=，注射疫苗发病率为101404=． 发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率． …………10分（Ⅲ）22100(20103040)50504060χ⨯-⨯=⨯⨯⨯ …11分10000005016.6710.8285020603==≈>⨯⨯．所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效.…………12分考点：独立性检验的应用，统计，概率，根据统计数据做出相应评价． 20．（Ⅰ）由题意得3c =， …………1分 根据2216a c +=，得5a =． …………2分结合222a b c =+，解得2225,16a b ==.…………3分所以，椭圆的方程为2212516x y +=． …………4分0.8 - 0.7 - 0.6 - 0.5 - 0.4 - 0.3 - 0.2 - 0.1 - O未注射 注射 0.660.25（Ⅱ）(解法一)由22221,2,4x y a b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得222221()08b a x a b +-=．设1122(,),(,)A x y B x y ．所以221212220,18a b x x x x b a -+==+， …………6分由AB 、EF 互相平分且共圆，易知，22AF BF ⊥，因为211(3,)F A x y =- ，222(3,)F B x y =-，所以221212121(3)(3)(1)908F A F B x x y y x x ⋅=--+=++= ．即 128x x =-，所以有22228,18a b b a-=-+ 结合229b a +=．解得212a =，所以离心率32e =． ………8分 （若设1111(,),(,)A x y B x y --相应给分）(解法二)设）（11,y x A ，又AB 、EF 互相平分且共圆，所以AB 、EF 是圆的直径，所以92121=+y x ，又由椭圆及直线方程综合可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+1429221221112121b y a x x y y x 前两个方程解出1,82121==y x ，…………6分将其带入第三个方程并结合92222-=-=a c a b ，解得：122=a ，23=e . …8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）结论，椭圆方程为221123x y +=， …………9分 由题可设1111(,),(,)A x y B x y --，010*******,y y y yk k x x x x -+==-+，所以2201122201y y k k x x -=-，…………10分 又22012201222201013(1)3(1)112124x x y y x x x x ----==--- ,即2114k k =-， 由121k -<<-可知，21184k <<. …………12分 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题. 21．（Ⅰ）∵21()ln 2f x x a x b =-+，∴'()af x x x=-， …………2分 ∵曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=， ∴13a -=，(1)0f =,∴2a =-，102b +=，∴2a =-，12b =-. ……4分 （Ⅱ）∵1x =是函数()f x 的极值点，∴'(1)10f a =-=，∴1a =； …………6分当1a =时，21()ln 2f x x x b =-+，定义域为(0,)+∞， 2'11(1)(1)()x x x f x x x x x --+=-==，当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减，当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，所以，1a =. …………8分 （Ⅲ）因为20a -≤<，02x <≤ ，所以'()0af x x x=->，故函数()f x 在(0,2]上单调递增， 不妨设1202x x <≤≤，则121211|()()|||f x f x m x x -≤-， 可化为2121()()m mf x f x x x +≤+， …………10分 设21()()ln 2m mh x f x x a x b x x=+=-++，则12()()h x h x ≥． 所以()h x 为(0,2]上的减函数，即'2()0a m h x x x x=--≤在(0,2]上恒成立，等价于30x ax m --≤在(0,2]上恒成立，即3m x ax ≥-在(0,2]上恒成立，又20a -≤<，所以2ax x ≥-，所以332x ax x x -≤+， 而函数32y x x =+在(0,2]上是增函数，所以3212x x +≤（当且仅当2a =-，2x =时等号成立）.所以12m ≥．即m 的最小值为12. …………12分考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值，恒成立问题，及参数取值范围等内容．22．（Ⅰ）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠, ……………3分 同理，NTB TCD ∠=∠,所以，TCD TAB ∠=∠, 所以，//AB CD . ……………5分 （Ⅱ）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ，所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠，又由（Ⅰ）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠. ……………8分在MTD ∆中,由正弦定理知, sin sin MD TDDTM TMD =∠∠,在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠,因TMC TMD π∠=-∠,所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BDTC AC =, 所以MD BDMC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅.…………………………………10分 23．（Ⅰ）依题,因222x y ρ=+, 所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=,…3分 又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=,即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.…………………5分(Ⅱ)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ……………………………7分 联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , …8分T ABC D M Nxy oT即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. …………10分 (解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交， 由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数），…………………7分 与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ，…………………8分 则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα ，所以[]1,0∈TN TM . …………………10分此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.24．（Ⅰ）因为“a b c ∀>>，11t a b b c a c+≥---”是真命题， 所以a b c ∀>>，11t a b b c a c+≥---恒成立， 又c b a >>，所以)11()(cb b ac a t -+-⋅-≤恒成立， 所以，min )]11()[(c b b a c a t -+-⋅-≤.…………………………3分 又因为)11()()11()(cb b ac b b a c b b a c a -+-⋅-+-=-+-⋅- 42≥--+--+=cb b a b ac b ，“=”成立当且仅当b a c b -=-时.因此，4≤t ，于是4=m . ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题， 所以“R n ∈∃，2cos sin ≥--+γγn n ”是真命题. ………………7分因为n n n n --+=--+γγγγcos sin cos sin γγcos sin +≤2≤（(0,)2πγ∈），因此，2cos sin =--+γγn n ，此时2cos sin =+γγ，即4πγ=时. ……8分即，22222=--+n n ，由绝对值的意义可知，22≥n .…………10分。

2016年辽宁省沈阳二中高考数学一模试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|}，则M∩N等于（）A．[] B．[﹣1，] C．{﹣2，1} D．{（），（）}2．设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．4 D．13．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A．83% B．72% C．67% D．66%4．下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β5．（﹣）6的展开式中，x3的系数等于（）A．﹣15 B．15 C．20 D．﹣206．偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π）的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．48．已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）在函数f（x）=（2t+1）dt的图象上，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2n﹣2 B．a n=n2+n﹣2C．a n=D．a n=9．已知一次函数f（x）=ax﹣1满足a∈[﹣1，2]且a≠0，那么对于a，使得f（x）≤0在x∈[0，1]上成立的概率为（）A．B．C．D．10．点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1 D．11．已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3] D．[1，3]12．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．抛物线y=8x2的准线方程是．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）15．已知两个非零平面向量，满足：对任意λ∈R恒有|﹣λ|≥|﹣|，若||=4，则•= ．16．已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前三项和S3的取值范围是．三、解答题（共70分）17．如图，△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=．（Ⅰ）求：BC的长；（Ⅱ）求△DBC的面积．18．以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，点E 是AB的中点，CE∥平面A1BD．（1）求证：点D是CC1的中点；（2）若A1D⊥BD时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值．20．已知椭圆离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P的直线l与椭圆E交于A，B两点．（i）若，求直线l的方程；（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率小于0，求f（x）的单调区间；（2）对任意的a∈[，]，x1，x2∈[1，2]（x1≠x2），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜λ|﹣|，求正数λ的取值范围．四.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．[选修4-5；不等式选讲]24．（Ⅰ）设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．证明：|a+b|＜；（Ⅱ）若函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．2016年辽宁省沈阳二中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|}，则M∩N等于（）A．[] B．[﹣1，] C．{﹣2，1} D．{（），（）}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合M，集合N，然后求解M∩N即可．【解答】解：集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，N={x|}={x|x}，所以M∩N={x|﹣1}，故选B．2．设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．4 D．1【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数a﹣=a﹣=a﹣（4+i）=（a﹣4）﹣i是纯虚数，∴a﹣4=0，解得a=4．故选：C．3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A．83% B．72% C．67% D．66%【考点】线性回归方程．【分析】把y=7.675代入回归直线方程求得x，再求的值．【解答】解：当居民人均消费水平为7.675时，则7.675=0.66x+1.562，即职工人均工资水平x≈9.262，∴人均消费额占人均工资收入的百分比为×100%≈83%．故选：A．4．下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【考点】命题的真假判断与应用；全称命题．【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“ax2+bx+c≥0”对于任意的x恒成立时，则有：①当a=0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；②当a≠0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“ax2+bx+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac≤0”是“ax2+bx+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成立．∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R，有x2＜0”．故C错误；D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故答案为：D．5．（﹣）6的展开式中，x3的系数等于（）A．﹣15 B．15 C．20 D．﹣20【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项公式，由x的指数等于3求出r的值，即可求出答案．【解答】解：（﹣）6的展开式中，通项公式为T r+1=••=（﹣1）r•••，由6﹣=3，得r=2；∴（﹣）6的展开式中，x3的系数为（﹣1）2•=15．故选：B．6．偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π）的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先由条件利用正弦函数、余弦函数的奇偶性求得φ=，f（x）=Acosωx，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律以及正弦函数、余弦函数的奇偶性，结合所给的选项求得ω 的值．【解答】解：∵偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π），∴φ=，f（x）=Asin（ωx+）=Acosωx，把它的图象向右平移个单位得到y=Acosω（x﹣）=Acos（ωx﹣ω•）的图象，再根据所得图象关于原点对称，则ω 可以等于2，故选：B．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．4【考点】由三视图还原实物图．【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，由题意解答．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是以俯视图为底面的四棱锥，如图：由网格可得AD最长为=；故答案为：．8．已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）在函数f（x）=（2t+1）dt的图象上，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2n﹣2 B．a n=n2+n﹣2C．a n=D．a n=【考点】数列递推式；定积分．【分析】通过计算可知（2t+1）dt=x2+x﹣2，从而S n=n2+n﹣2，当n≥2时利用a n=S n﹣S n﹣1可知a n=2n，进而计算可得结论．【解答】解：∵（2t+1）dt=x2+x﹣2，∴S n=n2+n﹣2，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n，又∵a1=S1=1+1﹣2=0不满足上式，∴a n=，故选：D．9．已知一次函数f（x）=ax﹣1满足a∈[﹣1，2]且a≠0，那么对于a，使得f（x）≤0在x∈[0，1]上成立的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由恒成立可得a的取值范围，由几何概型可得．【解答】解：由题意可得f（x）=ax﹣1≤0在x∈[0，1]上恒成立，当x=0时，可得﹣1≤0，显然恒成立；当x∈（0，1]时，可化为a≤，而的最小值为1，故a≤1，结合a∈[﹣1，2]可得a∈[﹣1，1]，故由几何概型可得P==故选：B．10．点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1 D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】设△ABC的外接圆的圆心为M，协S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，由题意求出MC=MO=1，从而得到ME=SD=，进而求出MD=SE=，由此能求出点S与△ABC中心的距离．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆心为M，过S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．11．已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3] D．[1，3]【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．【解答】解：∵f（x）=x3ax2+bx+c，∴f′（x）=x2+ax+b∵函数f（x）在区间（﹣1，0）内取得极大值，在区间（0，1）内取得极小值，∴f′（x）=x2+ax+b=0在（﹣1，0）和（0，1）内各有一个根，f′（0）＜0，f′（﹣1）＞0，f′（1）＞0即，在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图，=1+2×，令m=，其几何意义为区域中任意一点与点（﹣2，﹣1）连线的斜率，分析可得0＜＜1，则1＜＜3∴的取值范围是（1，3）．故选B．12．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，建立不等式，即可求出双曲线C的离心率的取值范围．【解答】解：由题意，直线l的方程为y=x+2b，即bx﹣ay+2ab=0．∵双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，∴直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，∴≥b，∴3a2≥b2，∴3a2≥c2﹣a2，∴e≤2，∵e＞1，∴1＜e≤2．故选：A．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．抛物线y=8x2的准线方程是y=﹣．【考点】抛物线的简单性质．【分析】化简抛物线方程为标准方程，然后求解准线方程．【解答】解：抛物线y=8x2的标准方程为：x2=y，p=，抛物线的准线方程为：y=﹣．故答案为：y=﹣．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24 ．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．15．已知两个非零平面向量，满足：对任意λ∈R恒有|﹣λ|≥|﹣|，若||=4，则•= 8 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对不等式两边平方并进行向量的数量积的运算便可以得到，根据题意知该不等式对于任意λ∈R恒成立，从而有，这样即可得出的值．【解答】解：由得：，且；∴；整理得，，该不等式对任意的λ∈R恒成立；∴=；∴；∴．故答案为：8．16．已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前三项和S3的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的性质和第2项等于1，得到第1项与第3项的积为1，然后分两种情况：当公比q大于0时，得到第1项和第3项都大于0，然后利用基本不等式即可求出第1项和第3项之和的最小值，即可得到前3项之和的范围；当公比q小于0时，得到第1项和第3项的相反数大于0，利用基本不等式即可求出第1项和第3项相反数之和的最小值即为第1项和第3项之和的最大值，即可得到前3项之和的范围，然后求出两范围的并集即可．【解答】解：由等比数列的性质可知：a22=a1a3=1，当公比q＞0时，得到a1＞0，a3＞0，则a1+a3≥2=2=2，所以S3=a1+a2+a3=1+a1+a3≥1+2=3；当公比q＜0时，得到a1＜0，a3＜0，则（﹣a1）+（﹣a3）≥2=2=2，即a1+a3≤﹣2，所以S3=a1+a2+a3=1+a1+a3≤1+（﹣2）=﹣1，所以其前三项和s3的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）三、解答题（共70分）17．如图，△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=．（Ⅰ）求：BC的长；（Ⅱ）求△DBC的面积．【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）由sin的值，利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos∠ABC的值，设BC=a，AC=3b，由AD=2DC得到AD=2b，DC=b，在三角形ABC中，利用余弦定理得到关于a与b的关系式，记作①，在三角形ABD和三角形DBC中，利用余弦定理分别表示出cos∠ADB 和cos∠BDC，由于两角互补，得到cos∠ADB等于﹣cos∠BDC，两个关系式互为相反数，得到a与b的另一个关系式，记作②，①②联立即可求出a与b的值，即可得到BC的值；（Ⅱ）由角ABC的范围和cos∠ABC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin∠ABC的值，由AB和BC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积，由AD=2DC，且三角形ABD和三角形BDC的高相等，得到三角形BDC的面积等于三角形ABC面积的，进而求出三角形BDC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为sin=，所以co s∠ABC=1﹣2=1﹣2×=．在△ABC中，设BC=a，AC=3b，由余弦定理可得：①在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：，．因为cos∠ADB=﹣cos∠BDC，所以有，所以3b2﹣a2=﹣6 ②由①②可得a=3，b=1，即BC=3．（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos∠ABC=，则sin∠ABC==，又AB=2，BC=3，则△ABC的面积为AB•BCsin∠ABC=，又因为AD=2DC，所以△DBC的面积为×2=．18．以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，由此能求出乙组同学植树棵树的平均数和方差．（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求得对应的概率．由此能求出这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望．【解答】解：（I）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为；方差为．（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21，事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=．事件“Y=18”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树9棵”，所以该事件有4种可能的结果，因此P（Y=18）==．事件“Y=19”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树10棵；或甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2+2=4种可能的结果，因此P（Y=19）==．事件“Y=20”等价于“甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树9棵”，所以该事件有4种可能的结果，因此P（Y=20）==．事件“Y=21”等价于“甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树10棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=21）=）=．所以随机变量Y的分布列为：Y 17 18 19 20 21PEY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，点E 是AB的中点，CE∥平面A1BD．（1）求证：点D是CC1的中点；（2）若A1D⊥BD时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A1B1的中点F，连结FC1，EF，设EF∩A1B=G，根据线面平行的性质证明四边形CEGD为平行四边形，即可证明点D是CC1的中点；（2）若A1D⊥BD时，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值．【解答】证明：（1）取A1B1的中点F，连结FC1，EF，设EF∩A1B=G …由作图过程易得：四边形EFC1C为平行四边形，EG∥AA1在△AA1B中，点E是AB的中点，∴点G是A1B的中点，EG=C1C=AA1，…又∵CE∥平面A1BD．CE⊂平面EFC1C，且平面EFC1C∩平面A1BD=DG∴DG∥CE，又∵EG∥CD∴四边形CEGD为平行四边形，CD=EG=C1C，∴点D是C1C的中点．…（2）由（1）知EF∥AA1，又∵AA1⊥平面ABC∴EF⊥平面ABC又∵△ABC是边长为2的等边三角形，点E是AB的中点，∴CE⊥AB且CE=，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz，设EF=2h，…则E（0，0，0），C（0，，0），B（1，0，0），F（0，0，2h），A1（﹣1，0，2h），D（0，，h），=（1，，﹣h），=（﹣1，，h），由A1D⊥BD可知：•=（1，，﹣h）•（﹣1，，h）=﹣1+3﹣h2=0，即h2=2，h=…由z轴⊥平面ABC可得：平面ABC的一个法向量=（0，0，1）…设平面A1BD的一个法向量为=（x，y，z），由得：，令，则=（，0，0），…∴cos＜，＞==，…所以，平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为…20．已知椭圆离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P的直线l与椭圆E交于A，B两点．（i）若，求直线l的方程；（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）通过椭圆的离心率公式和向量的数量积的坐标表示，计算即得a=2、b=，进而可得结论；（Ⅱ）（i）设直线l：y=kx+1，代入椭圆方程x2+2y2=4，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得斜率k，进而得到所求直线方程；（ii）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q 点坐标只能是（0，2）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有即可．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为： +=1；（Ⅱ）（i）设直线l：y=kx+1，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，①由，可得（x2，y2﹣1）=（﹣x1，（1﹣y1）），即有x2=﹣x1，②②代入①，可得k=±，即有直线l的方程为y=±x+1：（ii）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．理由如下：当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有==1，即|QC|=|QD|．∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）．当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，则M、N的坐标分别为（0，）、（0，﹣），又∵=，∴=，解得y0=1或y0=2．∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．下面证明：对任意直线l，均有．当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴+==2k，已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2），又k AQ===k﹣，k QB′===﹣k+=k﹣，∴k AQ=k QB′，即Q、A、B'三点共线，∴===．故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．21．已知函数f（x）=x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率小于0，求f（x）的单调区间；（2）对任意的a∈[，]，x1，x2∈[1，2]（x1≠x2），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜λ|﹣|，求正数λ的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，并分解因式，由题意可得f′（2）=＜0，再由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，注意定义域；（2）求出2a+1的范围，可得f（x）在[1，2]递减，由题意可得原不等式即为f（x1）﹣λ•＜f（x2）﹣λ•对任意的a∈[，]，x1，x2∈[1，2]恒成立，令g（x）=f（x）﹣，即有g（x1）＜g（x2），即为g（x）在[1，2]递增，求出g（x）的导数，令导数大于等于0，再由一次函数的单调性可得只需（2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0．即x3﹣7x2+6x+λ≥0对x∈[1，2]恒成立，令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，求出导数，求得单调区间和最小值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx的导数f′（x）=x﹣（2a+2）+=，x＞0，由题意可得f′（2）=＜0，可得a＞，2a+1＞2＞1，由f′（x）＞0，可得x＞2a+1或0＜x＜1；f′（x）＜0，可得1＜x＜2a+1．即有f（x）的增区间为（0，1），（2a+1，+∞）；减区间为（1，2a+1）；（2）由a∈[，]，可得2a+1∈[4，6]，由（1）可得f（x）在[1，2]递减．设1≤x1＜x2≤2，即有f（x1）＞f（x2），＞，原不等式即为f（x1）﹣λ•＜f（x2）﹣λ•对任意的a∈[，]，x1，x2∈[1，2]恒成立，令g（x）=f（x）﹣，即有g（x1）＜g（x2），即为g（x）在[1，2]递增，即有g′（x）≥0对任意的a∈[，]，x1，x2∈[1，2]恒成立，即x﹣（2a+2）++≥0，即为x3﹣（2a+2）x2+（2a+1）x+λ≥0，则（2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0，a∈[，]，由x∈[1，2]，可得2x﹣2x2≤0，只需（2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0．即x3﹣7x2+6x+λ≥0对x∈[1，2]恒成立，令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，h′（x）=3x2﹣14x+6≤0在1≤x≤2恒成立，则有h（x）在[1，2]递减，可得h（2）取得最小值，且为﹣8+λ≥0，解得λ≥8．即有正数λ的取值范围是[8，+∞）．四.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）证明△OBD∽△AOC，通过比例关系求出BD即可．（2）通过三角形的两角和，求解角即可．【解答】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO．∴AD=AO …[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…[选修4-5；不等式选讲]24．（Ⅰ）设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．证明：|a+b|＜；（Ⅱ）若函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）令h（x）=|x﹣1|﹣|x+2|，通过讨论x的范围求出M，从而证明不等式即可；（Ⅱ）问题转化为|2x+1|+|2x﹣3|＞+2，求出|2x+1|+|2x﹣3|的最小值，解出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）记h（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0，解得：﹣＜x＜，则M={x|﹣＜x＜}，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=；（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2等价于|2x+1|+|2x﹣3|＞+2，|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣2x+3|=4，于是4＞+2，即，∴﹣1＜a＜0或3＜a＜4．。

沈阳市2016年初中学业水平考试数学试题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。

每小题2分，共20分）1．（2分）下列各数是无理数的是（C）A．0 B．﹣1 C． D．2．（2分）如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（A）A． B． C．D．3．（2分）在我市2016年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到5400000平方米，将数据5400000用科学记数法表示为（C）A．0.54×107 B．54×105 C．5.4×106 D．5.4×1074．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（A）A．3 B．﹣3 C． D．﹣5．（2分）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（D）A．确定事件 B．必然事件C．不可能事件D．不确定事件6．（2分）下列计算正确的是（C）A．x4+x4=2x8 B．x3•x2=x6 C．（x2y）3=x6y3 D．（x﹣y）（y﹣x）=x2﹣y2 7．（2分）已知一组数据：3，4，6，7，8，8，下列说法正确的是（B）A．众数是2 B．众数是8 C．中位数是6 D．中位数是78．（2分）一元二次方程x2﹣4x=12的根是（B）A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=69．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（D）A．B．4 C．8 D．410．（2分）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（D）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：2x2﹣4x+2= 2（x﹣1）2．12．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是五边形．13．（3分）化简：（1﹣）•（m+1）= m．14．（3分）三个连续整数中，n是最大的一个，这三个数的和为3n﹣3．15．（3分）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲，乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图表示，当甲车出发h时，两车相距350km．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是或．三、解答题17．（6分）计算：（π﹣4）0+|3﹣tan60°|﹣（）﹣2+．解：原式=1+3﹣﹣4+3=218．（8分）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母A，B，C依次表示这三个诵读材料），将A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．（1）小明诵读《论语》的概率是；∵诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》三种∴小明诵读《论语》的概率=故答案为：（2）请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．列表得：小明A B C小亮A （A，A）（A，B）（A，C）B （B，A）（B，B）（B，C）C （C，A）（C，B）（C，C）由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料结果有6种．所以小明和小亮诵读两个不同材料的概率=．19．（8分）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．证明:（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC=∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE，∴∠CEB=∠CBE．（2）∵△ABC≌△ABD，∴BC=BD，∵∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∴CE=BD∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．20．（8分）我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动，为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择四种活动项目的一种），并将调查结果绘制成如下的不完整的统计图表：学生最喜欢的活动项目的人数统计表项目学生数（名）百分比丢沙包20 10%打篮球60 p%跳大绳n 40%踢毽球40 20%根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）m= 200 ，n= 80 ，p= 30 ；（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请你估计该校2000名学生中有多少名学生最喜欢跳大绳．（1）m=20÷10%=200；n=200×40%=80，60÷200=30%，p=30，故答案为：200，80，30；（2）如图，（3）2000×40%=800（人），答：估计该校2000名学生中有800名学生最喜欢跳大绳．21．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．（1）证明：连接OD，如图所示．∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF=90°．∵BD=CD，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，∴DF⊥AC．（2）解：∵∠CDF=30°，由（1）得∠ODF=90°，∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD=60°，∴的长===π．22．（10分）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？解：（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，根据题意，得：，解得：，答：购买A种型号健身器材20套，B型器材健身器材30套．（2）设购买A型号健身器材m套，根据题意，得：310m+460（50﹣m）≤18000，解得：m≥33，∵m为整数，∴m的最小值为34，答：A种型号健身器材至少要购买34套．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．（1）线段OC的长为；（2）求证：△CBD≌△COE；（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD1，CE1，设点E1的坐标为（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面积为S．①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；②在平移过程中，当S=时，请直接写出a的值．解：（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），∴OA=4，OB=1，∵∠AOB=90°，∴AB==，∵点C为边AB的中点，∴OC=AB=；故答案为：．（2）证明：∵∠AOB=90°，点C是AB的中点，∴OC=BC=AB，∴∠CBO=∠COB，∵四边形OBDE是正方形，∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°，∴∠CBD=∠COE，在△CBD和△COE中，，∴△CBD≌△COE（SAS）；（3）①解：过点C作CH⊥D1E1于点H，∵C是AB边的中点，∴点C的坐标为：（2，）∵点E1的坐标为（a，0），1＜a＜2，∴CH=2﹣a，∴S=D1E1•CH=×1×（2﹣a）=﹣a+1；②当1＜a＜2时，S=﹣a+1=，解得：a=；当a＞2时，同理：CH=a﹣2，∴S=D1E1•CH=×1×（a﹣2）=a﹣1，∴S=a﹣1=，解得：a=，综上可得：当S=时，a=或．24．（12分）在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．（1）如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F．①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF=DF；③请直接写出BE的长；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG=∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．解：（1）①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形；②由①得△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC=AE，BC=DE，又∵AC=BC，∴EA=ED，∴点B、E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF=DF；③由②知BF⊥AD，AF=DF，∴AF=DF=3，∵AE=AC=5，∴EF=4，∵在等边三角形ABD中，BF=AB•sin∠BAF=6×=3，∴BE=BF﹣EF=3﹣4；（2）如图所示，∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，∴∠BAE=∠ABC，∵AC=BC=AE，∴∠BAC=∠ABC，∴∠BAE=∠BAC，∴AB⊥CE，且CH=HE=CE，∵AC=BC，∴AH=BH=AB=3，则CE=2CH=8，BE=5，∴BE+CE=13．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．①点B的坐标为（10、0），BK的长是8，CK的长是10；②求点F的坐标；③请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G 作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S 1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．解：（1）如图1中，①∵抛物线y=x2﹣3x+m的对称轴x=﹣=10，∴点B坐标（10，0），∵四边形OBKC是矩形，∴CK=OB=10，KB=OC=8，故答案分别为10，0，8，10．②在RT△FBK中，∵∠FKB=90°，BF=OB=10，BK=OC=8，∴FK==6，∴CF=CK﹣FK=4，∴点F坐标（4，8）．③设OA=AF=x，在RT△ACF中，∵AC2+CF2=AF2，∴（8﹣x）2+42=x2，∴x=5，∴点A坐标（0，5），代入抛物线y=x2﹣3x+m得m=5，∴抛物线为y=x2﹣3x+5．（2）不变．S1•S2=289．理由：如图2中，在RT△EDG中，∵GE=EO=17，ED=8，∴DG===15，∴CG=CD﹣DG=2，∴OG===2，∵GP⊥OM，MH⊥OG，∴∠NPM=∠NHG=90°，∵∠HNG+∠HGN=90°，∠PNM+∠PMN=90°，∠HNG=∠PNM，∴∠HGN=∠NMP，∵∠NMP=∠HMG，∠GHN=∠GHM，∴△GHN∽△MHG，∴=，∴GH2=HN•HM，∵GH=OH=，∴HN•HM=17，∵S1•S2=•OG•HN••OG•HM=（•2）2•17=289．沈阳市2016年初中学业水平考试数学试题参考答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。