2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)课时卷(6-8章)

作业34第6章 不等式与推理证明§6.1 不等关系与不等式1．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2C ．b a ＋ab>2 D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D.由1a <1b<0，得b <a <0，则A 、B 、C 三项均正确．但|a ＋b |＝|a |＋|b |，故选D项．2．(2009年高考安徽卷)“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.易得a >b 且c >d 时，必有a ＋c >b ＋d .若a ＋c >b ＋d 时，则不一定有a >d 且c >b .3．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝(ln x )3，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a解析：选C.法一：∵1e<x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0，∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b .∵c －a ＝t 3－t ＝t (t ＋1)(t －1)，又－1<t <0， ∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1. ∴c >a .∴c >a >b .故选C.法二：取x ＝e －12∈(e －1,1)，则a ＝－12，b ＝－1，c ＝－18.∴b <a <c .故选C.4．(2011年南阳质检)若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列命题：(1)ad >bc ；(2)a d ＋bc<0；(3)a－c >b －d ；(4)a ·(d －c )>b (d －c )中能成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.∵a >0>b ，c <d <0，∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，∴(1)错误．∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd<0，∴(2)正确．∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )，a －c >b －d ， ∴(3)正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， ∴(4)正确，故选C.5．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定解析：选B.设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s 2a ＋s 2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s ·a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2s a ＋b， ∴T －2t ＝s (a ＋b )2ab －2sa ＋b＝s ·(a ＋b )2－4ab 2ab (a ＋b )＝s (a －b )22ab (a ＋b )>0，故选B 项．6．下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，其中能使1a <1b成立的充分条件有________．解析：1a <1b ⇒b －a ab<0⇔b －a 与ab 异号，因此①②④能使b －a 与ab 异号．答案：①②④7．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________．解析：法一：y 2－x 2＝2c (a －b )>0， ∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .法二：令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故有z >y >x . 答案：z >y >x 8．(2011年焦作调研)已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，则4a －2b 的取值范围是________．解析：设u ＝a ＋b ，v ＝a －b ，得a ＝u ＋v 2，b ＝u －v2，所以4a －2b ＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v . 又因为1≤u ≤4，－1≤v ≤2， 所以－3≤3v ≤6.故－2≤u ＋3v ≤10，即－2≤4a －2b ≤10. 答案：[－2,10]9．一学生计划使用不超过20元的钱为自己购买学习用具．根据需要，单价为4元的圆珠笔至少需要购买2支，单价为2元的笔记本至少需要购买3本．写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买圆珠笔和笔记本分别为x 支，y 本．则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ≤20，x ≥2，y ≥3，x ，y ∈N ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ≥2，y ≥3，x ，y ∈N ＋.10．(1)比较x 6＋1与x 4＋x 2的大小，其中x ∈R ； (2)若x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小． 解：(1)(x 6＋1)－(x 4＋x 2)＝x 6－x 4－x 2＋1＝x 4(x 2－1)－(x 2－1) ＝(x 2－1)(x 4－1)＝(x 2－1)(x 2－1)(x 2＋1) ＝(x 2－1)2(x 2＋1)． 当x ＝±1时，x 6＋1＝x 4＋x 2； 当x ≠±1时，x 6＋1>x 4＋x 2.(2)(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2] ＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )． 11．(探究选做)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即为a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m . 作业35§6.2 一元二次不等式1．不等式|x |(1－2x )>0的解集是( )A ．(－∞，12)B ．(－∞，0)∪(0，12)C ．(12，＋∞)D ．(0，12)答案：B2．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则不等式0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 11 x <1的解集是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(1，2)解析：选C.由题意可知0<x 2－1<1⇔1<x 2<2⇔1<|x |<2⇔－2<x <－1或1<x < 2.故选C. 3．(2009年高考山东卷)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2) 解析：选B.根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)·(x －1)<0，故这个不等式的解集是(－2，1)．4．不等式x 2－3x ＋2<0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)B ．(－2，－1)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)解析：选D.方程x 2－3x ＋2＝0的解是x 1＝1，x 2＝2.又函数y ＝x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以不等式x 2－3x ＋2<0的解集为{x |1<x <2}．5．(2011年宿州联考)若关于x 的不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好是[a ，b ]，则a ＋b的值为( )A ．5B ．4 C.83 D.163解析：选A.令f (x )＝34(x －2)2＋1.若a ≥2，则由a ，b 是方程f (x )＝x 的两个实根，解得a＝43，b ＝4，矛盾；若b ≤2，则f (a )＝b ，f (b )＝a ，相减得a ＋b ＝83，代入可得a ＝b ＝43，矛盾；若a <2<b ，则f (x )min ＝f (2)＝1，所以a ＝1，b ＝4，a ＋b ＝5.6．(2010年高考上海卷)不等式2－x4＋x>0的解集是________．解析：原不等式可化为(2－x )(4＋x )>0，即(x －2)(x ＋4)<0，解得－4<x <2. 答案：{x |－4<x <2}7．若函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x >0，y >0满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，则不等式f (x ＋6)＋f (x )<2f (4)的解集为________．解析：由已知得f (x ＋6)＋f (x )＝f [(x ＋6)x ]，2f (4)＝f (16)．根据单调性得(x ＋6)x <16，解得－8<x <2.又x ＋6>0，x >0，所以0<x <2. 答案：(0,2)8．若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为∅，则实数a 的取值范围为________． 解析：由题可知不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为∅，即函数y ＝ax 2－|x |＋2a 的图像在x 轴上方，因为此函数是偶函数，故我们只需要研究x >0时的情况即可，要使函数f (x )＝ax 2－x＋2a (x >0)满足题意，需⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－8a 2<0，解得a >24. 答案：a >249．(2011年亳州质检)已知关于x 的不等式x ＋2x 2－(1＋a )x ＋a>0.(1)当a ＝2时，求此不等式的解集； (2)当a >－2时，求此不等式的解集．解：(1)当a ＝2时，不等式可化为x ＋2(x －1)(x －2)>0，所以不等式的解集为{x |－2<x <1或x >2}．(2)当a >－2时，不等式可化为x ＋2(x －1)(x －a )>0，当－2<a <1时，解集为{x |－2<x <a 或x >1}； 当a ＝1时，解集为{x |x >－2且x ≠1}； 当a >1时，解集为{x |－2<x <1或x >a }．10．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？解：由题意列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.01x 2>12，0.05x ＋0.005x 2>10. 分别求解，得⎩⎪⎨⎪⎧x <－40或x >30，x <－50或x >40.由于x >0，从而可得：x 甲>30 km/h ，x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．11．(探究选做)设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |. (1)若f (0)≥1，求a 的取值范围； (2)求f (x )的最小值； (3)设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．解：(1)因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以－a >0，即a <0. 由a 2≥1知a ≤－1.因此，a 的取值范围为(－∞，－1]． (2)记f (x )的最小值为g (a )．我们有 f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3(x －a 3)2＋2a 23，x >a ①(x ＋a )2－2a 2，x ≤a ②.当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，由①②知f (x )≥－2a 2， 此时g (a )＝－2a 2.当a <0时，f (a 3)＝23a 2.若x >a ，则由①知f (x )≥23a 2；若x ≤a ，则x ＋a ≤2a <0，由②知f (x )≥2a 2>23a 2.此时g (a )＝23a 2.综上，得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥02a 23，a <0.(3)当a ∈(－∞，－62]∪(22，＋∞)时，解集为(a ，＋∞)； 当a ∈[－22，22]时，解集为[a ＋3－2a 23，＋∞)；当a ∈(－62，－22)时，解集为(a ，a －3－2a 23]∪[a ＋3－2a 23，＋∞)．作业36§6.3 基本不等式1．(2010年高考重庆卷)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112 解析：选B.依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，即x ＋2y ≥4，当且仅当x ＋1＝2y ＋1，即x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值是4，选B.2．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32C ．1 D.12解析：选C.由a x ＝b y ＝3，得x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3(a ＋b 2)2＝1，故选C.3．(2011年阜阳质检)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3解析：选B.由两条直线垂直的充要条件可得：－b 2＋1a ·1b 2＝－1.解得a ＝b 2＋1b2，所以ab＝b 2＋1b 2·b ＝b 2＋1b ＝b ＋1b .又因为b >0，故b ＋1b ≥2 b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1b，即b ＝1时取“＝”．4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N ＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大？( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.由图易求得函数解析式为y ＝－(x －6)2＋11， 则营运的年平均利润y x ＝－(x －6)2＋11x＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤12－225＝2， 当y x 最大时，x ＝25x，解得x ＝5. 5．(2011年蚌埠质检)已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2解析：选D.∵x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋x y ≥4＋2 4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2，x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y＝1，此时x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.6．(2010年高考重庆卷)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解析：依题意得y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，此时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2.答案：－27．已知x ，y ∈(0，＋∞)，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．解析：因为1＝x 3＋y 4≥2x 3·y 4＝2xy 12＝xy 3，所以xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y＝2时取等号，故xy 的最大值为3.答案：38．(2010年高考安徽卷)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤(a ＋b )24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥(a ＋b )24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2＋b 2－ab )＝2(a 2＋b 2－ab )，∵ab ≤1，∴－ab ≥－1，又a 2＋b 2≥2，∴a 2＋b 2－ab ≥1，∴a 3＋b 3≥2，故④错误；1a ＋1b ＝(1a ＋1b )·a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b2a≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故⑤正确．答案：①③⑤9．设a ，b ，c 都是正数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b.证明：∵a ，b ，c 都是正数， ∴12(12a ＋12b )≥12ab ≥1a ＋b. 同理可证12(12b ＋12c )≥1b ＋c，12(12c ＋12a )≥1c ＋a. 三式相加得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 10．学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需要大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．解：设该食堂每x 天购买一次大米，则每次购买x 吨，设平均每天所支付的费用为y 元，则(1)y ＝1x [1500x ＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x＋1501≥1521，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号，故该食堂每10天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少．(2)y ＝1x [1500x ·0.95＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x＋1426(x ≥20)．又函数y 在[20，＋∞)上为增函数，所以y ≥20＋10020＋1426＝1451.而1451<1521，故食堂可接受粮店的优惠条件． 11．(探究选做)若a >0，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3. (1)求ab 的取值范围； (2)求a ＋b 的取值范围． 解：(1)∵a >0，b >0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 令ab ＝t (t >0)， ∴t 2≥2t ＋3， ∴t 2－2t －3≥0，∴(t ＋1)(t －3)≥0，又t >0， ∴t ≥3，即ab ≥3，∴ab ≥9， 所以ab 的取值范围是[9，＋∞)． (2)∵a >0，b >0，ab ＝a ＋b ＋3.∴a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b 2)2，令a ＋b ＝t (t >0)，∴t ＋3≤(t2)2，∴t 2－4t －12≥0， ∴(t ＋2)(t －6)≥0， 又∵t >0， ∴t ≥6，所以a ＋b 的取值范围为[6，＋∞)．作业37§6.4 简单线性规划1．(2010年高考福建卷)若x 、y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．9解析：选B.可行域如图中阴影部分所示，则当直线x ＋2y －z ＝0经过点M (1,1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值，为1＋2×1＝3.2．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解析：选 D.由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC ，则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )且a >－1，∵S △ABC ＝2，∴12(1＋a )×1＝2，解得a ＝3. 3．(2010年高考重庆卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：选C.在坐标平面内画出题中不等式组表示的可行域及直线3x －2y ＝0，平移该直线，当直线3x －2y ＝0经过可行域内的点(0，－2)时，相应的直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝3x －2y 取得最大值，其最大值是z ＝3×0－2×(－2)＝4，选C.4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：选B.设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，则⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N ，y ∈N ，x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y ，画出可行域，由线性规划知识可知当直线z ＝280x ＋200y 经过x ＋y ＝70与10x ＋6y ＝480的交点(15,55)时，z ＝280x ＋200y 取到最大值，因此，甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱，每天能够获得最大利润，选B.5．(2010年高考课标全国卷)已知▱ABCD 的三个顶点为A (－1,2)，B (3,4)，C (4，－2)，点(x ，y )在▱ABCD 的内部，则z ＝2x －5y 的取值范围是( )A ．(－14,16)B ．(－14,20)C ．(－12,18)D ．(－12,20)解析：选B.由题可知，平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标为(0，－4)，点(x ，y )在平行四边形内部，如图，所以在D (0，－4)处目标函数z ＝2x －5y 取得最大值为20，在点B (3,4)处目标函数z ＝2x －5y 取得最小值为－14，由题知点(x ，y )在平行四边形内部，所以端点取不到，故z ＝2x －5y 的取值范围是(－14,20)，故选B.6．若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y <3表示的平面区域内，则m ＝________.解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －9＋1|5＝42m ＋3<3，解得m ＝－3. 答案：－37．(2010年高考安徽卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．解析：原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝abx ＋y (a >0，b >0)过直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0的交点(1,4)时，目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)取得最大值8，即8＝ab ＋4，ab ＝4，∴a ＋b ≥2ab ＝4.答案：48．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：a b (万吨) c (百万元) A 50% 1 32万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥00.5x ＋0.7y ≥1.9x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时取得最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15. 答案：159．求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋y )(x －y ＋5)≥0－3≤x ≤3表示的平面区域的面积．解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋y )(x －y ＋5)≥0－3≤x ≤3所表示的可行域如下图所示：其可行域为两个等腰直角三角形，其底边长分别为1与11，高分别为12与112，所以，可行域的面积为12×1×12＋12×11×112＝612.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求(1)z ＝x ＋2y －4的最大值；(2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(3)z ＝y ＋1x ＋1的范围．解：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A (1,3)、B (3,1)、C (7,9)．(1)易知可行域内各点均在直线x ＋2y －4＝0的上方，故x ＋2y －4>0， 将C (7,9)代入得z 最大值为21.(2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2＝(|0－5＋2|2)2＝92.(3)z ＝y ＋1x ＋1表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率的变化范围．因为k QA ＝2，k QB ＝12，故z 的范围是[12，2]．11．(探究选做)某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．怎样安排生产可使所得利润最大？解：则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0y ≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤9002x ＋y ≤600x ≥0y ≥0，z ＝80x ＋120y .在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域． 作直线l ：80x ＋120y ＝0， 即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时， 直线经过可行域上的点M ，此时 z ＝80x ＋120y 取得最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝9002x ＋y ＝600， 解得点M 的坐标为(100,400)．所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56000(元)． 因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大． 作业38§6.5 合情推理与演绎推理1．(2010年高考山东卷)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：选D.观察可知，偶函数f (x )的导函数g (x )都是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，故选D.2．将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是( )第一列 第二列 第三列 第四列 第五列1 3 5 715 13 11 917 19 21 23 31 29 27 25 …A ．第一列B ．第二列C ．第三列D ．第四列解析：选D.正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．3．(2009年高考广东卷)2010年广州亚运会火炬传递在A ，B ，C ，D ，E 五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表．若以A 为起点，E 为终点，每个城市经A.20.6 C ．22 D ．23解析：选B.由于“以A 为起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次”，并且求“最短路线的距离”，由选项判断，A 中20.6在表中只有C 和E 之间的距离8.6是出现小数部分的，故CE 必定是经过的路线，又因为A 为起点，E 为终点，故如果A 正确，那么路线必然是：1.A －B －D －C －E 或2.A －D －B －C －E ，进行验证：路线1的距离之和为5＋6＋9＋8.6＝28.6，故路线1不符合；路线2的距离之和为5＋6＋7＋8.6＝26.6，路线2也不符合，故排除A ；再验证选项B ，发现路线A －C －D －B －E 的距离之和为4＋9＋6＋2＝21符合，故选B.4．(2011年铜川质检)正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )A.10232048a 2B.1023768a 2C.5111024a 2D.20474096a 2 解析：选A.由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a 21＝(12a )2＝14a 2，第二段长度的平方为a 22＝(24a )2＝18a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 21＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S 10＝14a 2[1－(12)10]1－12＝10232048a 2.5．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )A.1140B.1105C.160D.142解析：选A.由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142，同理易知，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.6．(2009年高考江苏卷)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：由类比推理得，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.即V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶87．(2010年高考陕西卷)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．解析：观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于等式右边的底数，右边数的指数均为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．(2010年高考浙江卷)设n ≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…，其中T n ＝________.解析：根据已知条件，总结规律，进而可得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为偶数时12n －13n ，当n 为奇数时.答案：⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为偶数时12n －13n，当n 为奇数时9．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．解：(1)由已知a 1＝5，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3. ∴S n ＝n (n ＋4)．(2)T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]， ∴T n ＝4n 2＋n .∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39， T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n <T n . 归纳猜想：当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n . 10．观察： ①tan10°·tan20°＋tan10°·tan60°＋tan20°·tan60°＝1； ②tan5°·tan10°＋tan5°·tan75°＋tan10°·tan75°＝1.由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广． 解：观察10°＋20°＋60°＝90°，5°＋10°＋75°＝90°，因此猜测推广为：若α＋β＋γ＝π2，则tan α·tan β＋tan α·tan γ＋tan β·tan γ＝1，证明如下：由α＋β＝π2－γ，∴tan(α＋β)＝tan(π2－γ)＝1tan γ.又∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β，∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)＝1tan γ(1－tan α·tan β)． ∴tan α·tan β＋tan α·tan γ＋tan β·tan γ ＝tan α·tan β＋(tan α＋tan β)·tan γ＝tan α·tan β＋1tan γ·(1－tan α·tan β)·tan γ＝1.命题得证．11．(探究选做)在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D .(1)求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC2；(2)在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由． 解：(1)证明：如图(1)所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC (1) ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. (2)猜想：在四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.理由如下：如图(2)，连结BE 并延长交CD 于F ，连结AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD .而AF 平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2. (2)∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确． 作业39§6.6 直接证明与间接证明1．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度解析：选 B.根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于60度”．故选B.2．(2011年汉中调研)已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，那么m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7 解析：选B.∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0.∴不等式可化为m ≤(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2(b a ＋ab)．∵5＋2(b a ＋ab)≥5＋4＝9，即其最小值为9，∴m ≤9，即m 的最大值等于9.3．已知△ABC 的顶点A (x ，y )，B (－1,0)，C (1,0)，若△ABC 满足的条件分别是：(1)△ABC 的周长是6；(2)∠A ＝90°；(3)k AB ·k AC ＝1；(4)k AB －k AC ＝－2.下列给出了点A 的轨迹方程：(a)x 2＋y 2＝1(y ≠0)，(b)x 2－y 2＝1(y ≠0)，(c)x 24＋y 23＝1(y ≠0)，(d)y ＝x 2－1(y ≠0)．其中与条件(1)(2)(3)(4)分别对应的轨迹方程的代码依次是( )A ．(a)(b)(c)(d)B ．(d)(a)(b)(c)C ．(c)(a)(d)(b)D ．(c)(a)(b)(d) 解析：选D.由△ABC 的周长是6，|BC |＝2，可知点A 位于以B ，C 为焦点的椭圆上，y ≠0，与(c)相对应；由∠A ＝90°，可知点A 位于以B ，C 为端点的圆x 2＋y 2＝1(y ≠0)上；由k AB ·k AC＝1，化简得x 2－y 2＝1(y ≠0)；显然(4)与(d)相对应．4．设a 、b 、c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a三个数( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2解析：选D.利用反证法证明．假设三个数都小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6，而a ＋1b＋b ＋1c ＋c ＋1a≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾．故选D.5．(2009年高考浙江卷)对于正实数α，记M α为满足下述的条件的函数f (x )构成的集合：对任意的x 1，x 2∈R 且x 2>x 1，有－α·(x 2－x 1)<f (x 2)－f (x 1)<α(x 2－x 1)．下列结论中正确的是( )A ．若f (x )∈Mα1，g (x )∈Mα2，则f (x )·g (x )∈Mα1·α2B ．若f (x )∈Mα1，g (x )∈Mα2，且g (x )≠0，则f (x )g (x )∈M α1α2C ．若f (x )∈Mα1，g (x )∈Mα2，则f (x )＋g (x )∈Mα1＋α2D ．若f (x )∈Mα1，g (x )∈Mα2，且α1>α2，则f (x )－g (x )∈Mα1－α2 解析：选C.∵x 2>x 1，∴x 2－x 1>0.∴－α<f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<α，即M α具有的特征是|f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1|<α.∴f (x 2)＋g (x 2)－f (x 1)－g (x 1)x 2－x 1＝[f (x 2)－f (x 1)]＋[g (x 2)－g (x 1)]x 2－x 1＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＋g (x 2)－g (x 1)x 2－x 1.∵f (x )∈Mα1，g (x )∈Mα2，∴－α1<f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<α1，－α2<g (x 2)－g (x 1)x 2－x 1<α2.∴－(α1＋α2)<[f (x 2)－f (x 1)]＋[g (x 2)－g (x 1)]x 2－x 1<α1＋α2.∴－(α1＋α2)<f (x 2)＋g (x 2)－f (x 1)－g (x 1)x 2－x 1<α1＋α2，即f (x )＋g (x )∈Mα1＋α2.6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________．解析：∵a a ＋b b >a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )>0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b7．船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v 1和在静水中的速度v 2的大小关系为________．解析：设甲地到乙地的距离为s ，船在静水中的速度为v 2，水流速度为v (v 2＞v ＞0)，则船在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间t ＝s v 2＋v ＋s v 2－v ＝2v 2s v 22－v2，平均速度v 1＝2st ＝v 22－v2v 2. ∵v 1－v 2＝v 22－v2v 2－v 2＝－v 2v 2＜0，∴v 1＜v 2.答案：v 1＜v 28．已知三棱锥S －ABC 的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题：①BC ⊥平面SAC ；②平面SBC ⊥平面SAB ；③SB ⊥AC .其中所有正确命题的代号是________．解析：由三视图知，在三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为Rt △ 且∠ACB ＝90°. 又SA ⊥底面ABC ，∴BC ⊥AC ，且BC ⊥SA ，并且SA ∩AC ＝A . ∴BC ⊥平面SAC .命题①正确． 由已知推证不出②③命题正确． 答案：①9．(2011年蚌埠质检)已知a 、b 、c >0，求证：a 3＋b 3＋c 3≥13(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )．证明：∵a 、b 、c >0，∴a 2＋b 2≥2ab ，∴(a 2＋b 2)(a ＋b )≥2ab (a ＋b )， ∴a 3＋b 3＋a 2b ＋ab 2≥2ab (a ＋b )＝2a 2b ＋2ab 2， ∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.同理，b 3＋c 3≥b 2c ＋bc 2，a 3＋c 3≥a 2c ＋ac 2，将三式相加得，2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋a 2c ＋ac 2.∴3(a 3＋b 3＋c 3)≥(a 3＋a 2b ＋a 2c )＋(b 3＋b 2a ＋b 2c )＋(c 3＋c 2a ＋c 2b )＝(a 2＋b 2＋c 2)·(a ＋b ＋c )．∴a 3＋b 3＋c 3≥13(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )．10．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2)>lg(a ·b ·c )，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .(中间结果)因为a ，b ，c 是不全相等的正数，则a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0.且上述三式中的等号不全成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc (中间结果)所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .11．(探究选做)如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M 、N 分别为AB 、DF 的中点．(1)若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线． 解：(1)取CD 的中点G ，连结MG 、NG . 设正方形ABCD 、DCEF 的边长为2， 则MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2.因为平面ABCD ⊥平面DCEF ， 所以MG ⊥平面DCEF .可得∠MNG 是MN 与平面DCEF 所成的角．因为MN ＝6，所以sin ∠MNG ＝63为MN 与平面DCEF 所成角的正弦值．(2)证明：假设直线ME 与BN 共面，则AB 平面MBEN ，且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN .由已知，两正方形不共面，故AB ⃘平面DCEF . 又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF .而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线，所以AB ∥EN .又AB ∥CD ∥EF ，所以EN ∥EF ，这与EN ∩EF ＝E 矛盾，故假设不成立． 所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线．作业40§6.7 数学归纳法1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N )，在验证n ＝1时，等式左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案：C2. 在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0 答案：C3．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N ＋)时该命题成立，那么可以推出k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时该命题不成立，那么( )A ．n ＝4时成立B ．n ＝6时不成立C ．n 为大于5的某个自然数时命题成立D ．以上均不对 答案：C4．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案：B5．(2011年铜川调研)设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 答案：D6．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.解析：f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.答案：13n ＋13n ＋1＋13n ＋27．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n ，总有2n >n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n 0应当是________．解析：将n 的值依次代入验证即可． 答案：108．设S 1＝12，S 2＝12＋22＋12，…，S n ＝12＋22＋32＋…＋n 2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明S n ≥n (2n ＋1)3时，第二步从k 到k ＋1应添加的项为________．解析：当n ＝k 时，左端为12＋22＋32＋…＋k 2＋…＋22＋12；当n ＝k ＋1时，左端为1＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋…＋22＋12. 答案：(k ＋1)2＋k 29．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ )已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n <a n ＋1<3成立的c 的取值范围．解：(1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.所以b n ＋1＋23＝4(b n ＋23)，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1.所以{b n ＋23}是首项为－13，公比为4的等比数列，∴b n ＋23＝(－13)×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2>a 1，得c >2. 用数学归纳法证明：当c >2时，a n <a n ＋1.(i)当n ＝1时，a 2＝c －1a 1>a 1，命题成立；(ii)假设当n ＝k 时，a k <a k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1>c －1a k ＝a k ＋1.故由(i)(ii)知，当c >2时，a n <a n ＋1.当c >2时，令α＝c ＋c 2－42，由a n ＋1a n <a n ＋1＋1a n ＝c ，得a n <α；当2<c ≤103时，a n <α≤3.当c >103时，α>3，且1≤a n <α，于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )≤13(α－a n )，α－a n ＋1≤13n (α－1)．所以当n >log 3α－1α－3时，α－a n ＋1<α－3，a n ＋1>3.因此c >103不符合要求．所以c 的取值范围是(2，103]．10．(2010年高考安徽卷)设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.证明：先证必要性． 设数列{a n }的公差为d ，若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d (a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1) ＝1d [(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…＋(1a n －1a n ＋1)]＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝1d ·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d . 假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时， 观察如下两个等式：1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k ，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，② 将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后， 得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ＋，都有a n ＝a 1＋(n －1)d .所以{a n }是公差为d 的等差数列．11．(探究选做)在数列{a n }与{b n }中，a 1＝1，b 1＝4，数列{a n }的前n 项和S n 满足nS n ＋1－(n ＋3)S n ＝0,2a n ＋1为b n 与b n ＋1的等比中项，n ∈N ＋.(1)求a 2，b 2的值；(2)求数列{a n }与{b n }的通项公式．解：(1)由题设有a 1＋a 2－4a 1＝0，a 1＝1，解得a 2＝3. 由题设又有4a 22＝b 2b 1，b 1＝4，解得b 2＝9.(2)由题设nS n ＋1－(n ＋3)S n ＝0，a 1＝1，b 1＝4，及a 2＝3，b 2＝9，进一步可得a 3＝6，b 3＝16，a 4＝10，b 4＝25，由此猜想a n ＝n (n ＋1)2，b n ＝(n ＋1)2，n ∈N ＋.先证a n ＝n (n ＋1)2，n ∈N ＋.当n ＝1时，a 1＝1×(1＋1)2，等式成立．当n ≥2时用数学归纳法证明如下：当n ＝2时，a 2＝2×(2＋1)2，等式成立．假设n ＝k 时等式成立，即a k ＝k (k ＋1)2，k ≥2.由题设，kS k ＋1＝(k ＋3)S k ，① (k －1)S k ＝(k ＋2)S k －1.②①的两边分别减去②的两边，整理得ka k ＋1＝(k ＋2)a k ，从而a k ＋1＝k ＋2k a k ＝k ＋2k ·k (k ＋1)2＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2.这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．综上可知，等式a n ＝n (n ＋1)2对任何的n ∈N ＋都成立．下证b n ＝(n ＋1)2，n ∈N ＋，当n ＝1时，b 1＝4，∴等式成立．假设n ＝k 时，等式成立，即b k ＝(k ＋1)2， 那么n ＝k ＋1时， ∵(2a k ＋1)2＝b k ·b k ＋1，∴[2·(k ＋1)(k ＋2)2]2＝(k ＋1)2·b k ＋1.∴b k ＋1＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2. ∴n ＝k ＋1时等式成立．∴综上知，b n ＝(n ＋1)2，n ∈N ＋. 作业41第7章 平面解析几何§7.1 直线及其方程1．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0x ＝1得交点A (1,1)，且可知所求直线斜率为－12，∴直线方程为y －1＝－12(x －1)即x ＋2y －3＝0.故选D.2．(2011年南阳调研)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析：选D.直线的斜率为－33＝tan α，∴直线倾斜角为5π6.3．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：选A.将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线为y ＝－13·(x －1)，即y ＝－13x ＋13，选A.4．直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )A ．(0，π2) B ．(0，π)C ．[－π4，π4]D ．[0，π4]∪[3π4，π)解析：选D.直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α， 又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1.当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是[0，π4]，当－1≤k <0时，倾斜角的范围是[3π4，π)．5．(2011年九江质检)如图，在同一直角坐标系中，正确表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 的是( )。