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2012年高考数学总复习课件13.5 数学归纳法 - ppt课件

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2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题3 第12讲 数学归纳法

2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题3 第12讲 数学归纳法

第12讲│ 要点热点探究 12讲
是否存在常数 a，b，c，使得等式 1·22＋2·32＋…＋n(n ， ， ， n(n＋1) 2 ( ＋ ) 2 ＋1) ＝ (an ＋bn＋c)对一切 n∈N*都成立？证明你的结 ＋ 对一切 ∈ 都成立？ 12 论．
b， 【解答】 假设存在常数 a， ， 使得等式成立． 解答】 ， c 使得等式成立． 则当 n＝1,2,3 ＝
第12讲 │ 要点热点探究 12讲
数学归纳法证明不等式问题 ► 探究点二 数学归纳法证明不等式问题
－ 恒成立， 证明： 1＋ 例 2 已知 x≥1 时， ≥ 不等式2x－x≥lnx 恒成立， 证明：＋2＋3＋…

1
1
1
1
【分析】 用数学归纳法证明，注意待证式与已知不等式之间 分析】 用数学归纳法证明， 的结构联系，采用换元法，从整体上把握式子的结构， 的结构联系，采用换元法，从整体上把握式子的结构，将问题加以 解决． 解决．
第12讲 12讲
数学归纳法
第12讲 数学归纳法 12讲
第12讲 │ 主干知识整合 12讲
主干知识整合
1．数学归纳法证明的步骤： ．数学归纳法证明的步骤： (1)证明当 n 取第一个值 n0 时结论正确； 时结论正确； 证明当 时结论正确， (2)假设当 n＝k(k∈N*且 k≥n0)时结论正确，证明 n＝k＋1 时结 假设当 ＝ ∈ ≥ 时结论正确 ＝ ＋ 论也正确． 论也正确． 这两个步骤缺一不可， 成立是推理的基础， 这两个步骤缺一不可，第(1)步 p(n0)成立是推理的基础，第(2)步 步 成立是推理的基础 步 p(k)⇒p(k＋1)是推理的依据．在第 步中，证明 n＝k＋1 命题也成 是推理的依据． 步中， ⇒ ＋ 是推理的依据 在第(2)步中 ＝ ＋ 立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 2．数学归纳法是证明关于正整数命题的一种方法，在高等数学 ．数学归纳法是证明关于正整数命题的一种方法， 中有着重要的用途，因而成为高考的热点，近几年高考试题不但要 中有着重要的用途，因而成为高考的热点，近几年高考试题不但要 求能用数学归纳法证明现成的结论， 求能用数学归纳法证明现成的结论，而且加强了对不完全归纳法的 考查，既要求归纳出结论，又要求能证明结论的正确性， 考查，既要求归纳出结论，又要求能证明结论的正确性，初步形成 观察——归纳 归纳——猜想 猜想——证明的思维模式． 证明的思维模式． 观察 归纳 猜想 证明的思维模式

2012高考数学总复习课件13.5数学归纳法

2012高考数学总复习课件13.5数学归纳法

所以f(x)在(0,1)上是增函数.
又f(x)在［0，1］上连续，
从而f(0)<f(ak)<f(1),即0<ak+1<1-sin 1<1.
故当n=k+1时，结论成立.
由(ⅰ)(ⅱ)可知，0<an<1对一切正整数都成立.
又因为0<an<1时，
an+1-an=an-sin an-an=-sin an<0,
知能迁移3 已知函数f(x)=x-sin x,数列{an}满足:
0<a1<1,an+1=f(an),n=1,2,3,….
证明:(1)0<an+1<an<1,(2)
an1
1 6
a3 n
.
证明 (1)先用数学归纳法证明0<an<1,
n=1,2,3,….
(ⅰ)当n=1时，由已知结论成立.
(ⅱ)假设当n=k(k∈N+)时结论成立，即0<ak<1. 因为0<x<1时，f′(x)=1-cos x>0,
知能迁移2 求证：（3n+1）×7n-1 (n∈N+)能被9 整除. 证明 (1)当n=1时,(3n+1)×7n-1=27能被9整除. (2)假设n=k (k∈N+)时命题成立，即 (3k+1)×7k-1能被9整除， 那么n=k+1时：
［3(k+1)+1］×7k+1-1=［(3k+1)+3］×(1+6)7k-1 =(3k+1)7k-1+(3k+1)×6×7k+21×7k =［(3k+1)7k-1］+3k×6×7k+(6+21)×7k. 以上三项均能被9整除. 则由（1）（2）可知，命题对任意n∈N+都成立.

数学归纳法课件

数学归纳法课件

用数学归纳法证明几何命题 平面上有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且 每三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成了 f(n) ＝n2－n＋2 部分．
【证明】 ①当 n＝1 时，一个圆把平面分成两部分，且 f(1) ＝1－1＋2＝2，因此，n＝1 时命题成立． ②假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即 k 个圆把平面分 成 f(k)＝k2－k＋2 部分．如果增加一个满足条件的任一个圆， 则这个圆必与前 k 个圆交于 2k 个点．这 2k 个点把这个圆分成 2k 段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分．因此，这 时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了 2k 部分，即有 f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2， 即当 n＝k＋1 时，f(n)＝n2－n＋2 也成立． 根据①②可知 n 个圆把平面分成了 f(n)＝n2－n＋2 部分．
因为(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1 和 x2＋3x＋3 都能被 x2＋3x＋3 整除， 所以上面的式子也能被 x2＋3x＋3 整除． 这就是说，当 n＝k＋1 时， (x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1 也能被 x2＋3x＋3 整除． 根据①②可知，命题对任何 n∈N＋都成立．
利用数学归纳法证明恒等式的注意点 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表 达 n＝n0 时命题的形式，二是要准确把握由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题结构的变化特点，并且一定要记住：在证明 n＝k＋1 成立时，必须使用，1×1 3＋3×1 5＋… ＋（2n－1）1（2n＋1）＝2nn＋1.
2．数学归纳法的步骤 (1)(归纳奠基)验证当__n__＝__n_0(_n_0_为__命__题__成__立__的__起__始__自__然__数__)___ 时命题成立； (2)(归纳递推)假设当__n_＝__k_(k_∈__N__＋_，__且__k_≥__n_0_)_时命题成立，推 导__n_＝__k_＋__1____时命题也成立． (3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切 n≥n0 的自然数都成立．

高考总复习数学课件：第五章 第7讲 数学归纳法

高考总复习数学课件：第五章 第7讲 数学归纳法

1.(2017 年河北承德实验中学统测)已知 f(n)＝1n＋n＋1 1＋
n＋1 2＋…＋n12，则(
)
A.f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13
B.f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13＋14
C.f(n)中共有 n2－n 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13＋14
一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
所以当 n＝k＋1 时，等式也成立. 由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立.
考点 2 用数学归纳法证明不等式命题 例 2：(2016 年山东潍坊模拟)等比数列{an}的前n项和为 Sn.已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0，且 b≠1，b，r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值； (2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*).证明：对任意的
3.凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n＋1 边形有对角线数
f(n＋1)为( C )
A.f(n)＋n＋1
B.f(n)＋n
C.f(n)＋n－1
D.f(n)＋n－2
4.对于不等式 n2＋n<n＋1(n∈N*)，某人的证明过程如下：
①当 n＝1 时， 12＋1<1＋1，不等式成立.
②假设 n＝k(k∈N*)时不等式成立，即 k2＋k<k＋1，则当
要证当 n＝k＋1 时结论成立， 只需证22kk＋＋31≥ k＋2，即证2k＋2 3≥ k＋1k＋2， 由基本不等式可得 2k＋2 3＝k＋1＋2 k＋2≥ k＋1k＋2成立， 故22kk＋＋31≥ k＋2成立.所以当 n＝k＋1 时，结论成立. 由①②可知，对任意的 n∈N*， 不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1> n＋1成立.

数学归纳法课件

数学归纳法课件
关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.
3.在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设,否则这样的证明
就不再是数学归纳法.
变式训练2 用数学归纳法证明:1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n1=2n(2n-3)+3(n∈N ).
+
证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=2(2-3)+3=1,左边=右边,命题成
=
1
1 +1
1- 2
2
1
1-2
=1-
1 +1
,
2
1
1 1
正解(1)当 n=1 时,左边= ,右边=12
2
=
1
,命题成立.
2
(2)假设当 n=k(k≥1)时命题成立,
1
1
即 + 2
2 2
当
+
1
1
2
2
3 +…+ =1-
1
1
n=k+1 时, + 2
2 2
1
1
1
=1-

2
+
+
1
,
2
1
1
2
2
3 +…+
反思感悟用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中拼
凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除.其
中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分
析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
变式训练1 用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,

《数学归纳法》ppt课件

《数学归纳法》ppt课件
第5课时 数学归纳法
导.学. .固 思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固 思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块 骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第 二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推 倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨 牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固 思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
������
1+
+1 ������
1 +…+
+2
������
1 +������
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2������ + 1)(2������ + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么 可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不 成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立

《数学归纳法》课件PPT

《数学归纳法》课件PPT

探究？
归纳奠基必不可少
1. 判断下列证明方法对不对？
假设n=k时，等式2+4+6+…+2n = n2+n+1成立，
就是 2+4+6+…+2k = k2+k+1. 那么n=k+1时，
2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)
等式也成立.
=(k+1)2+(k+1)+1
故，等式 2+4+6+…+2n=n2+n+1对任意的 n N * 都成立.
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起，证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立.
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
12 23
k(k 1) k 1
则n k 1时，
111 1
1
12 23 34
k(k 1) (k 1)(k 2)
k
1
k 1 (k 1)(k 2)
k 1 k 1 k 2 (k 1) 1
即n)知，对一切正整数 n, 等式均成立.
练习： 1.用数学归纳法证明
数学归纳法
第一步 第n0块骨牌倒下 证明n=n0时命题成立
第二步
第k块倒下时， 第K+1块也会倒下
假设n=k(k≥n0)时命题 成立，证明n=k+1时 命题也成立

数学归纳法复习课件ppt

数学归纳法复习课件ppt
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考探究 第一个值n0是否一定为1呢？ 提示：不一定，要看题目中对n的要求，如当n≥3时，第 一个值n0应该为3.
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
考点3 归纳—猜想—证明 例3 (2013·南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论．
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
【方法提炼】 “归纳—猜想—证明的模式”，是不完 全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法 在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题 模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明 结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的 重要方式．
＝
2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1＝2n1＋1－2n1＋2，故选 D.
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
4．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋… －n1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝ ________时等式成立． 解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2. 答案：k＋2

数学归纳法【公开课教学PPT课件】

数学归纳法【公开课教学PPT课件】
因为(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立,综合(1)(2)可 知,(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1

数学归纳法PPT课件

数学归纳法PPT课件

归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确， 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误， 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1，逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中，首先验证基础步骤（n=1），然后提出归纳假设，即假设对 于某个自然数k，结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论，从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中，首先提出结论的反面，然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立，那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题，通过反证发现矛盾，从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用，我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式， 从而证明了二项式定理的正确性。

《数学归纳法》课件ppt

《数学归纳法》课件ppt
= （k +1)[1+(2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)

高考理科数学数学归纳法及其应用复习资料PPT课件

高考理科数学数学归纳法及其应用复习资料PPT课件
18
参考题
题型 用数学归纳法证明几何命题
• 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交，任 何三个圆都无公共点，证明：这n个圆把平 面分成n2-n+2个区域.
• 证明：(1)当n=1时，一个圆把平面分成两 个区域，而12-1+2=2，所以命题成立.
• (2)假设当n=k时命题成立，即k个圆把平面 分成k2-k+2个区域.
• 第一步：验证当n取③ 第一个值n0时命题 成立；
• 第二步：假设当④ n=k(k∈N*，k≥n0) 时
命题成立，证明当⑤n=k+1 时命题也成 立.
• 在完成了这两n个0 步骤以后，就可以断定命题
对于从⑥
开始的所有正整数n都成立，3
• 3.数学归纳法需要完成两个步骤的证明， 缺一不可.其中第一步是奠基步骤，是⑦— —推递—关—推—系归—，—纳即—的命基题础的；正第确二性步具反有映⑧了传无递限性递. 若只有第一步，而无第二步，则只是证明 了命题在特殊情况下的正确性；若只有第 二步，而无第一步，那么假设n=k时命题 成立就没有根据，递推无法进行.
10
1
13(1
1)(1 5
1 ［ ) 1 2k 1
2k
1
1
］ 1
＞
2k
1 2k ·
2
2k 2
4k2 8k 4
2 2k 1 2 2k 1 2 2k 1
＞ 4k2 8k 3
2k 3•
2k 1
2k 11
.
2 2k 1
2 2k 1
2
• 所以当n=k+1时，不等式也成立. • 综合(1)(2)知，对于一切大于1的自然数, • 不等式都成立.
• (2)假设当n=k时，

数学归纳法-高考数学复习PPT

数学归纳法-高考数学复习PPT
索引
思维升华
用数学归纳法证明不等式的四个关键：
索引
训练 2 用数学归纳法证明 1＋12＋13＋…＋21n≤21＋n(n∈N*). 证明 (1)当 n＝1 时，1＋12＝32，不等式成立. (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即 1＋12＋13＋…＋21k≤21＋k， 则当 n＝k＋1 时，1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k<12＋k＋2k·21k＝21 ＋(k＋1)， 即当 n＝k＋1 时，不等式成立. 由(1)和(2)可知，不等式对所有的 n∈N*都成立.
索引
对于(k＋1)棱柱 A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱 Ak＋1Bk＋1 与其余和它不相邻的 (k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面 A1B1BkAk 变成了对角面，因此对角面 的个数为 f(k)＋(k－2)＋1＝12k(k－3)＋k－1＝12(k－2)(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]， 即 f(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]成立. 由(1)和(2)，可知原结论成立.
索引
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明. 解 猜想 an＝（n－n－1）（－n－（1n）－a2）a(n∈N*). 用数学归纳法证明如下：①当 n＝1 时，左边＝a1＝a， 右边＝（1－1－1）（－1－（11）－a2）a＝a，猜想成立. ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，即 ak＝（k－k－1）（－k－（1k）－a2）a， 则当 n＝k＋1 时，ak＋1＝2－1ak＝2－（k－k－1）（1－k－（1k）－a2）a
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题型三 用数学归纳法证明整除、平面几何等数学命题
例3 证明：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除. 证明 (1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，能被64整除. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17 ＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64， 故f(k＋1)也能被64整除. 综合(1)(2)，知当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
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1 1 1 1 n + + +L+ = . 2× 4 4× 6 6×8 2n(2n + 2) 4(n + 1) =1时 证明 （1）当n=1时，等式左边 = 1 = 1 , 2× 4 8 1 1 所以等式成立. 等式右边 = = , 所以等式成立. 4(1 + 1) 8 假设n 时等式成立， （2）假设n=k（k∈N+）时等式成立，
1 1 1 k + +L+ = 即 成立, 2× 4 4× 6 2k (2k + 2) 4(k + 1)
那么当n +1时 那么当n=k+1时，
1 1 1 1 1 + + +L+ + 2× 4 4×6 6×8 2k (2k + 2) 2(k + 1)[2(k + 1) + 2]
k 1 = + 4( k + 1) 4(k + 1)(k + 2) k ( k + 2) + 1 (k + 1) 2 = = 4( k + 1)(k + 2) 4(k + 1)(k + 2) k +1 = , 4[(k + 1) + 1] 即n=k+1时等式成立. +1时等式成立. 时等式成立 等式均成立. 由（1）（2）可知，对任意n∈N+等式均成立. ）（2 可知，对任意n
题型二
【例2 】
用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明a +(a 用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1 (n∈N+） （1）当n=1时， =1时
能被a +1整除 整除. 能被a2+a+1整除. 解 +(a+1)=a +1可被 可被a +1整除 整除. a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除. （2）假设n=k(k∈N+)时， 假设n ak+1+(a+1)2k- 能被a2+a+1整除， a2+a+1整除 ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除， 则当n=k+1 n=k+1时 则当n=k+1时， ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2kak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =a·ak+1+a·(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k=a·ak+1+a·(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1 =a［ak+1+(a+1)2k+(a2+a+1)(a+1)2k=a［ak+1+(a+1)2k-1］+(a2+a+1)(a+1)2k-1, 由假设可知a ak+1+(a+1)2k能被a2+a+1整除， a2+a+1整除 由假设可知a［ak+1+(a+1)2k-1］能被a2+a+1整除， (a2+a+1)(a+1)2k- 也能被a2+a+1整除， a2+a+1整除 (a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除， ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除 也能被a2+a+1整除， ∴ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除， n=k+1时命题也成立 时命题也成立， 即n=k+1时命题也成立， 对任意n∈N+原命题成立. n∈N+原命题成立 ∴对任意n∈N+原命题成立.
2k 2 + 3k + 1 k +1 k +1 = = = (2k + 1)(2k + 3) 2k + 3 2(k + 1) + 1
所以当n +1时 等式也成立. 所以当n=k+1时,等式也成立. 等式都成立. 由（1）（2）可知,对一切n∈N+等式都成立. ）（2 可知,对一切n
探究提高 用数学归纳法证明与正整数有关的一 些等式时，关键在于“先看项” 些等式时，关键在于“先看项”，弄清等式两边
1 4 5 假设n ≥2,且 （2）假设n=k (k≥2,且k∈N+= 时不等式成立， . )时不等式成立， 1 + = ; 右边 = 3 3 2 1 1 1 2k + 1 即(1 + )(1 + )L (1 + . )> 3 5 2k − 1 2
则当n +1时 则当n=k+1时， 1 1 1 1 (1 + )(1 + )L (1 + ) 1 + 3 5 2k − 1 2(k + 1) − 1 2k + 1 2k + 2 2k + 2 4k 2 + 8k + 4 > ⋅ = = 2 2k + 1 2 2 k + 1 2 2k + 1 2(k + 1) + 1 4 k 2 + 8k + 3 2 k + 3 2k + 1 > = = . 2 2k + 1 2 2k + 1 2 ∴当n=k+1时，不等式也成立. +1时 不等式也成立. 由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n,不等 ）（2 对于一切大于1的自然数n 式都成立. 式都成立.
题型分类 深度剖析
题型一 用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明: 【例1 】 用数学归纳法证明: 1 1 1 + +L+ = 对任意的n 对任意的n∈N+, 1× 3 3 × 5 (2n − 1)(2n + 1) n . 2n + 1
证明 (1)当n = 1时, 左边 =
1 1 = , 1× 3 3
§13.5 数学归纳法 基础知识 自主学习
要点梳理
1.归纳法 1.归纳法 由一系列有限的特殊事例得出 一般结论的推理 方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉 方法叫归纳法. 及事物的全体或部分可分为 完全 归纳法和 不完 归纳法. 全 归纳法.
2.数学归纳法 2.数学归纳法 (1)数学归纳法： (1)数学归纳法：设{Pn}是一个与正整数相关的 数学归纳法 命题集合，如果①证明起始命题P 命题集合，如果①证明起始命题P1（或P0) 成立； 在假设P 成立的前提下，推出P 成立；②在假设Pk成立的前提下，推出Pk+1 也成立，那么可以断定{ 对一切正整数成立. 也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立. (2)数学归纳法证题的步骤 (2)数学归纳法证题的步骤 ①(归纳奠基)证明当n取第一个值 n=n0 时,命题 归纳奠基)证明当n 成立. 成立. ②(归纳递推）假设 n=k (k≥n0,k∈N+)时命题 归纳递推） 成立， 时命题也成立. 成立，证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始 的所有正整数n都成立. 的所有正整数n都成立.
n4 + n2 5.用数学归纳法证明1+2+3+…+n 用数学归纳法证明1+2+3+…+ ,则当 5.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2= ,则当 2 +1时左端应在 时左端应在n 的基础上加上( n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( C )
பைடு நூலகம்
A.k A.k2+1 B.（ +1） B.（k+1）2
基础自测
1 − a n+2 1.用数学归纳法证明 用数学归纳法证明： 1+a +…+a 1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1 = 1− a ≠1)”在验证 =1时 在验证n (a≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项
为( C ) A.1 C.1+a C.1+a+a2
B.1+a B.1+a D.1+a D.1+a+a2+a3
n=k+1时该命题也成立.因而若n=4成立，必有 +1时该命题也成立.因而若n=4成立， 时该命题也成立 成立 n=5成立.现知n=5不成立，所以n=4一定不成立. =5成立.现知n=5不成立，所以n=4一定不成立. 成立 不成立 一定不成立 方法二 其逆否命题“若当n +1时该命题不成 其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成 立，则当n=k时也不成立”为真，故“n=5时不 则当n 时也不成立”为真， =5时不 成立” 成立”“n=4时不成立”. =4时不成立” 时不成立
4.某个命题与自然数n有关， 4.某个命题与自然数n有关，若n=k(k∈N+)时命题 某个命题与自然数 成立，那么可推得当n +1时该命题也成立， 成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现 时该命题也成立 已知n=5时 该命题不成立,那么可以推得( 已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得( C ) A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 C.n=4时该命题不成立 解析 方法一 D.n=4时该命题成立 D.n=4时该命题成立 成立, 由n=k(k∈N+)成立,可推得当