2012年高考数学专题复习_椭圆(修订版,可直接打印)

15.1椭圆【考纲要求】1、了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2、掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.3、了解椭圆的简单应用.4、理解数形结合的思想. 【基础知识】 1、 椭圆的定义平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆 （).ellipse 这两个定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 1.2F F 叫做椭圆的焦距。

当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段12F F ;当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 2、 椭圆的标准方程⑴设(,)x y 是椭圆上任意一点，椭圆焦点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)c c -又点M 与点12,F F 的距离的和等于常数2(220),a a c >>则椭圆的标准方程是：22221x y a b+=（其中222,0).b a c a b =->>（2）设(,)x y 是椭圆上任意一点，椭圆焦点12,F F 的坐标分别为(0,),(0,)c c -又点M 与点12,F F 的距离的和等于常数2(220),a a c >>则椭圆的标准方程是：22221y x a b+=（其中222,0).b a c a b =->>3、 椭圆的简单几何性质 标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)y x a b a b +=>>图形范围 ,a x a b y b -≤≤-≤≤,a y a b x b -≤≤-≤≤对称性 既是中心对称，又是轴对称，原点是椭圆的对称中心，x 轴和y 轴是椭圆的对称轴顶点 (,0),(,0),(0,),(0,)a a b b --(,0),(,0),(0,),(0,)b b a a --离心率 (0,1)ce a=∈， 焦点 (,0),(,0)c c -(0,),(0,)c c -焦距222c a b =-）长轴长 2a 短轴长 2b准线方程 2a x c=±2a y c=±通径22b d a= 4、点00(,)p x y 和椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的位置关系（1）点00(,)p x y 在椭圆外2200221x y a b ⇔+>（2）点00(,)p x y 在椭圆上2200221x y a b ⇔+=（3）点00(,)p x y 在椭圆内2200221x y a b⇔+<5、求椭圆的方程，用待定系数法，先定位，后定量。

2012年高考数学专题复习椭圆【考纲要求】一、考点回顾 1. 椭圆的定义2. 椭圆的标准方程3. 椭圆的参数方程4 椭圆的简单几何性质l6 关于焦点三角形与焦点弦7 椭圆的光学性质二典例剖析 1 求椭圆的标准方程【例1】(1已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的一个端点____________(2椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,直线1y x =+交椭圆于,P Q 两点,若0OP OQ ⋅= ,且PQ ,则椭圆方程为【例2】设椭圆(222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ,上顶点为A ,过A 点作AF 的垂线分别交椭圆于P ,交x 轴于Q ,且85AP PQ =(1求椭圆的离心率。

(2若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30x +=相切,求椭圆的方程。

【例3】已知中心在原点的椭圆的左,右焦点分别为12,F F ,斜率为k 的直线过右焦点2F 与椭圆交于,A B 两点,与y 轴交于点M 点,且22MB BF =(1若k ≤(2若k =AB 的中点到右准线的距离为10033,求椭圆的方程【例4】已知椭圆的中心在原点O ,短轴长为右准线交x 轴于点A ,右焦点为F ,且2OF FA =,过点A 的直线l 交椭圆于,P Q两点(1求椭圆的方程(2若0OP OQ ⋅=,求直线l 的方程(3若点Q 关于x 轴的对称点为Q ',证明:直线PQ '过定点 OPQ【例5】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1 (1求椭圆C的标准方程(2若直线:l y kx m=+与椭圆交于,A B两点(,A B不是左,右顶点且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标2 椭圆的性质【例6】已知椭圆(222210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为(1,0F c -,(2,0F c ,在椭圆上存在一点P ,使得120PF PF ⋅=(1求椭圆离心率e 的取值范围(2当离心率e 取最小值时,12PF F 的面积为16,设,A B 是椭圆上两动点,若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。

2012年椭圆高考真题1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形，∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322c a =，∴e =34，故选C.2.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y +=（B ）221128x y +=（C ）22184x y +=（D ）221124x y += 【解析】因为242c c =⇔=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县22448a a c c=⇔==，所以222844b a c =-=-=。

故选答案C 3.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。

若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A.3B.2C. 3D. 2【解析】设椭圆的长轴为2a ，双曲线的长轴为2a '，由M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则222a a '=⨯，即2a a '=，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c ，则双曲线的离心率为c e a '='，c e a =，2e a e a '=='. 4.【2012高考上海文16】对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要.所以答案选择B.5.【2012高考江西文8】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2。

2012年椭圆高考真题1.2012高考新课标文4设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点;P 为直线32ax =上一点;12PF F ∆是底角为30的等腰三角形;则E 的离心率为 解析∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形;∴0260PF A ∠=;212||||2PF F F c ==;∴2||AF =c ;∴322c a =;∴e =34;故选C.2.2012高考全国文5椭圆的中心在原点;焦距为4;一条准线为4x =-;则该椭圆的方程为 A2211612x y +=B 221128x y +=C 22184x y +=D 221124x y += 解析因为242c c =⇔=;由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县22448a a c c=⇔==;所以222844b a c =-=-=..故选答案C 3.2012高考浙江文8 如图;中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点;M;N 是双曲线的两顶点..若M;O;N 将椭圆长轴四等分;则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A.3 B.2 C. 3 D. 2解析设椭圆的长轴为2a;双曲线的长轴为2a ';由M;O;N 将椭圆长轴四等分;则222a a '=⨯;即2a a '=;又因为双曲线与椭圆有公共焦点;设焦距均为c;则双曲线的离心率为c e a '=';c e a =;2e a e a '=='. 4.2012高考上海文16对于常数m 、n ;“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件解析方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆;常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以;由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆;因而不充分；反过来;根据该曲线表示椭圆;能推出0mn >;因而必要.所以答案选择B.5.2012高考江西文8椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A;B;左、右焦点分别是F 1;F 2..若|AF 1|;|F 1F 2|;|F 1B|成等比数列;则此椭圆的离心率为 A.14 B. 55 C. 12D.5-2解析本题着重考查等比中项的性质;以及椭圆的离心率等几何性质;同时考查了函数与方程;转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-;122F F c =;1F B a c =+.又已知1AF ;12F F ;1F B 成等比数列;故2()()(2)a c a c c -+=;即2224a c c -=;则225a c =.故55c e a ==.即椭圆的离心率为55.6.2012高考四川文15椭圆2221(5x y a a +=为定值;且5)a >的的左焦点为F ;直线x m =与椭圆相交于点A 、B ;FAB ∆的周长的最大值是12;则该椭圆的离心率是______..解析根据椭圆定义知：4a=12; 得a=3 ; 又522=-c a 7.2012高考天津19本小题满分14分已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>;点P 52)2a 在椭圆上.. I 求椭圆的离心率..II 设A 为椭圆的右顶点;O 为坐标原点;若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值..解析Ⅰ 点52,)2P a 在椭圆上222222222115365211884a ab b e e a b a a ⇔+=⇔=⇔=-=⇔=Ⅱ 设(cos ,sin )(02)Q a b θθθπ≤<；则(,0)A a直线OQ 的斜率sin 5cos OQ b k a θθ==±8.2012高考江苏1916分如图;在平面直角坐标系xoy 中;椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，;2(0)F c ，．已知(1)e ，和3e ⎛ ⎝⎭，都在椭圆上;其中e 为椭圆的离心率．1求椭圆的方程；2设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点;且直线1AF 与直线2BF 平行;2AF 与1BF 交于点P ． i 若126AF BF -=求直线1AF 的斜率； ii 求证：12PF PF +是定值． 答案解：1由题设知;222==ca b c e a+，;由点(1)e ，在椭圆上;得 2222222222222222111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b+=⇒+⇒+⇒⇒;∴22=1c a -.. 由点3e ⎛ ⎝⎭，在椭圆上;得222224222244331311144=0=214e c a a a a a b a a -⎝⎭⎝⎭+=⇒+=⇒+=⇒-+⇒ ∴椭圆的方程为2212x y +=..2由1得1(10)F -，;2(10)F ，;又∵1AF ∥2BF ; ∴设1AF 、2BF 的方程分别为=1=1my x my x +-，;()()11221200A x y B x y y >y >，，，，，..∴()222122111111221221=022=1x m m y m y my y m my x ⎧+++=⎪⇒+--⇒⎨+⎪+⎩∴()()())222222221111122112210==12m m m m m AF x y my y m m +++++++-+++..①同理;)2222211=2m m BF m +-++..②i 由①②得;21221m m AF BF +-=2216m m +得2m =2.. ∵注意到0m >;∴=2m .. ∴直线1AF 的斜率为12m ii 证明：∵1AF ∥2BF ;∴211BF PB PF AF =;即2121111111BF PB PF BF AF PBPF AF PF AF +++=+⇒=.. ∴11112=AF PF BF AF BF +..由点B 在椭圆上知;1222BF BF +=()11212=22AF PF BF AF BF +..同理..()22112=22BF PF AF AF BF +..∴()()121212211212122+=222222AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +=+++ 由①②得;)2122221=2m AF BF m +++;21221=2m AFBF m ++;∴1223+=2222PF PF .. ∴12PF PF +是定值..解析1根据椭圆的性质和已知(1)e ，和3e ⎛ ⎝⎭，都在椭圆上列式求解..2根据已知条件126AF BF -=用待定系数法求解.. 9.2012高考安徽文20本小题满分13分如图;21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =10>>b a 的左、右焦点;A 是椭圆C 的顶点;B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点;1F ∠A 2F =60°.Ⅰ求椭圆C 的离心率；Ⅱ已知△A B F 1的面积为403;求a; b 的值.解析I 1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔==Ⅱ设2BF m =；则12BF a m =-在12BF F ∆中;22212122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-⨯⨯1AF B ∆面积211133sin 60()40322510,5,53S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+=⇔===10.2012高考广东文20本小题满分14分在平面直角坐标系xOy 中;已知椭圆1C ：22221x y a b+=0a b >>的左焦点为1(1,0)F -;且点(0,1)P 在1C 上.1求椭圆1C 的方程；2设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切;求直线l 的方程. 解析1因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -;所以1c =;点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b +=;得211b =;即1b =;所以2222a b c =+=;所以椭圆1C 的方程为2212x y +=. 2直线l 的斜率显然存在;设直线l 的方程为y kx m =+;2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩;消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-=; 因为直线l 与椭圆1C 相切;所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=; 整理得22210k m -+= ①24y x y kx m⎧=⎨=+⎩;消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+=.. 因为直线l 与抛物线2C 相切;所以222(24)40km k m ∆=--=; 整理得1km = ②综合①②;解得2k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩..所以直线l的方程为y x =或y x =-11.2102高考北京文19本小题共14分已知椭圆C ：22x a +22y b=1a ＞b ＞0的一个顶点为A2;0;离心率为2; 直线y=kx-1与椭圆C 交与不同的两点M;NⅠ求椭圆C 的方程 Ⅱ当△AMN的面积为3时;求k 的值 考点定位此题难度集中在运算;但是整体题目难度确实不大;从形式到条件的设计都是非常熟悉的;相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的..解：1由题意得22222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=.2由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=.设点M;N的坐标分别为11(,)x y ;22(,)x y ;则11(1)y k x =-;22(1)y k x =-;2122412k x x k +=+;21222412k x x k -=+.所以|MN|=222121()()x x y y -+-221212(1)[()4]k x x x x ++-222(1)(46)k k ++. 由因为点A2;0到直线(1y k x =-）的距离212d k=+; 所以△AMN 的面积为221|46||212k k S MN d k +=⋅=+. 由22|4610123k k k +=+;解得1k =±. 12.2012高考山东文21 本小题满分13分如图;椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>3;直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.Ⅰ求椭圆M 的标准方程；Ⅱ 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的 交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值. 答案I 222334c a b e a a -==⇒=……① 矩形ABCD 面积为8;即228a b ⋅=……②由①②解得：2,1a b ==;∴椭圆M 的标准方程是2214x y +=.II 222244,58440,x y x mx m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩;设1122(,),(,)P x y Q x y ;则21212844,55m x x m x x -+=-=;由226420(44)0m m ∆=-->得55m <<22284442||245555m PQ m m -⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭当l 过A 点时;1m =;当l 过C 点时;1m =-.①当51m <<-时;有(1,1),(2,2),||2(3)S m T m ST m ---+=+; 222||454461||5(3)5PQ m ST m t t-==-+-+其中3t m =+;由此知当134t =;即45,(5,1)33t m ==-∈--时;||||PQ ST 255.②由对称性;可知若15m <<则当53m =时;||||PQ ST 255.③当11m -≤≤时;||22ST =2||25||5PQ m ST =-; 由此知;当0m =时;||||PQ ST 255.综上可知;当53m =±和0时;||||PQ ST 255.13.2012高考辽宁文20本小题满分12分如图;动圆2221:C x y t +=;1<t<3;与椭圆2C ：2219x y +=相交于A;B;C;D 四点;点12,A A 分别为2C 的左;右顶点.. Ⅰ当t 为何值时;矩形ABCD 的面积取得最大值 并求出其最大面积； Ⅱ求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程..命题意图本题主要考查直线、圆、椭圆的方程;椭圆的几何性质;轨迹方程的求法;考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力;难度较大.. 解析Ⅰ设A 0x ;0y ;则矩形ABCD 的面积S=004|||x y ;由220019x y +=得;220019x y =-;∴2200x y =2200(1)9x x -=220199()924x ---; 当2092x =;2012y =时;max S =6;∴t 5;矩形ABCD 的面积最大;最大面积为6. Ⅱ 设()()1111,,,-A x y B x y ;又知()()12-3,0,3,0A A ;则直线1A A 的方程为()11=+3+3y y x x ① 直线2A B 的方程为()11-=-3-3yy x x ②由①②得()22221221-=-3-3y y x x ③由点()11,A x y 在椭圆0C 上;故可得2112+=13x y ;从而有22112=1-3x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭;代入③得 ∴直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程为()22-=1<-3,<09x y x y 解析本题主要考查直线、圆、椭圆的方程;椭圆的几何性质;轨迹方程的求法;考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力;难度较大..14.2012高考重庆文21本小题满分12分;Ⅰ小问5分;Ⅱ小问7分已知椭圆的中心为原点O ;长轴在x 轴上;上顶点为A ;左、右焦点分别为12,F F ;线段12,OF OF 的中点分别为12,B B ;且△12AB B 是面积为4的直角三角形..Ⅰ求该椭圆的离心率和标准方程；Ⅱ过1B 作直线交椭圆于,P Q ;22PB QB ⊥;求△2PB Q 的面积答案：Ⅰ220x +24y =11610;12|OA B B ⊥*设1122(,),(,),P x y Q x y 则12,y y 是上面方程的两根;因此1224,5my y m +=+ 122165y y m -⋅=+ 又111222(2,),(2,)B P x y B P x y =-=-; 所以1212(2)(2)B P B P x x ⋅=--12y y + 由22PB QB ⊥ ;知220B P B Q ⋅= ;即216640m -= ;解得2m =± 当2m = 时;方程*化为：298160y y --= 故1244104410y y +-== ;12810||y y -= 2PB Q 的面积121211610||||2S B B y y =-= 当2m =- 时;同理可得或由对称性可得2PB Q 的面积1610S = 综上所述;2PB Q 161015.2012高考陕西文20本小题满分13分已知椭圆221:14x C y +=;椭圆2C 以1C 的长轴为短轴;且与1C 有相同的离心率.. 1求椭圆2C 的方程；2设O 为坐标原点;点A;B 分别在椭圆1C 和2C 上;2OB OA =;求直线AB 的方程..解析Ⅰ由已知可设椭圆2C 的方程为()222124y x a a +=>;则4a =． 故椭圆2C 的方程为141622=+x y ．Ⅱ解法一：A B ，两点的坐标分别为()()A A B B x y x y ，，，; 由2AB OA =及Ⅰ知;O A B ，，三点共线且点A B ，不在y 轴上; 因此可设直线AB 的方程为kx y =．将kx y =代入1422=+y x 中;得()44122=+x k ;所以22414k x A +=; 将kx y =代入22+1164y x =中;得()22416k x +=;所以22164B x k =+; 又由2AB OA =;得224A B x x =;即224116416k k +=+．解得1±=k ;故直线AB 的方程为x y =或x y -=． 解法二：A B ， 两点的坐标分别为()()B B A A y x y x ,,,;由OA AB 2=及Ⅰ知;O A B ，，三点共线且点A B ，不在y 轴上; 因此可设直线AB 的方程为kx y =．将kx y =代入1422=+y x 中;得()44122=+x k ;所以22414k x A +=; 又由2AB OA =;得224116k x B+=;2224116k k y B +=;将22,BBy x 代入141622=+x y 中;得141422=++k k ;即22414k k +=+; 解得1±=k ;故直线AB 的方程为x y =或x y -=。

2012届高考（文科）数学一轮复习课时作业43椭圆一、选择题1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( ) A ．4B ．5C ．7D ．8解析：椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝22＝4.∴m ＝8.答案：D2．[2011·课标全国卷] 椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( ) A.13 B.12 C.33 D.22解析：由题意a ＝4，c 2＝8，∴c ＝22，所以离心率为e ＝c a ＝224＝22. 答案：D3．已知点M (3，0)椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( ) A ．4B ．8C ．12D ．16解析：直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.答案：B4．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )A ．1B. 2 C ．2 D ．2 2 解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D.答案：D5．[2011·福建卷] 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析：设|F 1F 2|＝2c (c >0)，由已知|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，得|PF 1|＝83c ，|PF 2|＝43c ，且|PF 1|>|PF 2|，若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，离心率e ＝c a ＝12； 若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝43c ，离心率e ＝c a ＝32，故选A. 答案：A6．(2010年全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF →＝3FB →，则k 等于( )A ．1B. 2C. 3 D ．2解析：由椭圆C 的离心率为32，得c ＝32a ，b 2＝a 24， ∴椭圆C ：x 2a 2＋4y 2a 2＝1.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，F (32a,0)． ∵AF →＝3FB →，∴(32a －x A ，－y A ) ＝ 3(x B －32a ，y B )． 32a －x A ＝3(x B －32a )，－y A ＝3y B即x A ＋3x B a ，y A ＋3y B ＝0将A 、B 代入椭圆C 方程相减得9x B 2－x A 2a 2＝8，(3x B ＋x A )(3x B －x A )a 2＝8， ∴3x B －x A ＝433a . ∴y A ＝－69a ，y B ＝618a ，∴k ＝y B －y A x B －x A ＝618a ＋66a 539a －33a ＝ 2. 答案：B二、填空题7．(2011年金华十校)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为________．解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：68．(2011年北京育才第二次月考)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的标准方程为________． 解析：抛物线y 2＝8x 的焦点是(2,0)，∴椭圆的半焦距c ＝2即m 2－n 2＝4，又e ＝m 2－n 2m ＝2m ＝12，∴m ＝4，n 2＝12.从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1. 答案：x 216＋y 212＝1 9．(2011年佳木斯第一中学第二次月考)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________． 解析：设椭圆的长半轴为a ，由2a ＝12知a ＝6，又e ＝c a ＝32，故c ＝33，∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9. ∴椭圆标准方程为x 236＋y 29＝1. 答案：x 236＋y 29＝1 三、解答题10． [2011·陕西卷] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 解：(1)将(0,4)代入椭圆C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4. 又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5， ∴C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1， 即x 2－3x －8＝0.解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32， y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65. 即中点为（32，－65）.11．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程． 解：若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2， y ＝－b 2，即B (3c 2，－b 2)． 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b2＝1， 即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·(3c 2，－3b 2)＝32⇒b 2－c 2＝1， 即有a 2－2c 2＝1.②由①，②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.12．(2010年广州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过P (1，32)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．解：(1)∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P (1，32)，则 1a 2＋94b 2＝1，且a 2－b 2 a 2＝14∴a 2＝4，,b 2＝3∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)∵a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1，∴椭圆C 的左焦点F 的坐标为(－1,0)．以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，圆心坐标是(0,0)，半径为2.以PF 为直径的圆的方程为x 2＋(y －34)2＝2516，圆心坐标是(0，34)，半径为54. ∵两圆心之间的距离为(0－0)2＋(34－0)2＝34＝2－54，故以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．。

考点22 椭圆
一、选择题
1.（2012·大纲版全国卷高考文科·Ｔ5）与（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ3）相同
椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为（）
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解题指南】求椭圆的标准方程关键是求出的值，根据题意易得出的方程组，先求出的值.再根据,c的关系求出b的值，代入椭圆标准方程. 【解析】选C.由题意得，解得，，.
则该椭圆的方程为+=1.
二、填空题
2.（2012·四川高考文科·Ｔ15）椭圆为定值，且的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

【解题指南】利用椭圆的定义，不等式的性质解题.
【解析】设椭圆的右焦点为, 的周长
.即直线过右焦点时，的周长最大.由得，.故椭圆方程为.离心率. 【答案】.
3.（2012·四川高考理科·Ｔ15）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________.
【解题指南】利用椭圆的定义，不等式的性质，三角形的面积公式解题.
【解析】设椭圆的右焦点为, 的周长
.即直线过右焦点时，的周长最大. 故，设，则又, 的面积为
【答案】.。

课题：椭圆教学目标：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 教学重点： 椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质及应用.典例分析问题1．根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)1P ，(2P ；（2）两准线间的距离为5，焦距为（3）和椭圆2212420xy+=共准线，且离心率为12；（4）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为3和3，过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.(5)问题2．已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，()1,1A 是一定点.(1)求23PA PF +的最小值，并求点P 的坐标； (2)求PA PF +的最大值和最小值.问题3.(1)设点(),P x y 在椭圆2244x y +=上，求x y +的最大值和最小值.(2) 椭圆224936x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 位其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是问题4．已知点P 是椭圆22221xya b+=（0a b >>）上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P 使1260F PF ∠=︒.(1)求椭圆离心率e 的取值范围；(2)求12PF F △的面积问题5. 已知椭圆C ：22221xy ab+=()0a b >>的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求A O B △面积的最大值.课后作业1.已知P 是椭圆22221xya b+=()0a b >>上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为2.点P 在椭圆221259xy+=上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是3.如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是 4.方程|2|)1(3)1(322-+=+++y x y x 表示的曲线是 ( ).A 椭圆 .B 双曲线 .C 抛物线 .D 不能确定5.已知(1,0)A -,(1,0)B ,点(,)C x y 12=，则AC BC += ( ).A 6 .B 4 .C 2 .D 不能确定 6.已知)0,3(),0,3(21F F - 是椭圆122=+nymx的两个焦点，P 是椭圆上的点，当1223F P F π∠=，12F PF △的面积最大，则有 ( ).A 3,12==n m .B 6,24==n m .C 6,12==n m .D 23,6==n m7.已知C 是椭圆22221x y ab+= ()0a b >>的半焦距，则b c a+的取值范围是 ( ).A ()1,+∞ .B)+∞ .C (.D (1,8.求证：无论k 取何值时，直线10kx y k -++=都与椭圆2212516xy+=相交9.直线l 过点()1,1M ，与椭圆22143xy+=相交于A 、B 两点，若A B 的中点为M ，试求直线l 的方程.10.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP OQ ⊥，2PQ =.走向高考11.椭圆5522=-ky x 的一个焦点是()2,0 ，那么=k12.设椭圆2212516xy+=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2O M O P O F =+，则O M =13.在平面直角坐标系x O y 中，已知A B C △顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆221259xy+=上，则s i n s i n s i n A CB+=14.椭圆221259xy+=的离心率是 ，准线方程是15.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( ).A 13.B 3.C 12.D 216.设12,F F 分别是椭圆22221x y ab+=（0a b >>）的左、右焦点，P （c 为半焦距）的点，且122F F F P =，则椭圆的离心率是 ( ).A 12.B 12.C 12.D 217.椭圆22221x y ab+=(0)a b >>的焦点为12,F F ，两条准线与x 轴的交点分别为,M N ，若M N ≤12F F 2，则该椭圆离心率的取值范围是 ( ).A 102⎛⎤ ⎥⎝⎦，.B 02⎛ ⎝⎦ .C 112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.D 12⎫⎪⎪⎣⎭18.设11229(,),(4,),(,)5A x yBC x y 是右焦点为F 的椭圆221259xy+=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的 ( ).A 充要条件；.B 必要不充分条件；.C 充分不必要条件；.D 既非充分也非必要条件19.已知以1(20)F -，，2(20)F ，为焦点的椭圆与直线40x ++=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 ( ).A .B .C .D20.已知A B C △的顶点,B C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在B C 边上，则A B C △的周长是 ( ) .A .B 6 .C .D 12 21.设椭圆22221xya b+=(0)a b >>的离心率为12e =，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12(,)P x x.A 必在圆222x y +=内 .B 必在圆222x y +=上 .C 必在圆222x y +=外 .D 以上都可能。