2018最新高中数学(人教B版)必修五学案：第一章 习题课 正弦定理和余弦定理 Word版含答案

1.1.1　正弦定理(二)学习目标　1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题．知识点一　正弦定理的常见变形1．sin A ∶sin B ∶sin C ＝________；2.＝＝＝＝______；a sin Ab sin Bc sin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 3．a ＝__________，b ＝____________，c ＝__________；4．sin A ＝__________，sin B ＝________，sin C ＝__________.知识点二　判断三角形解的个数思考1　在△ABC 中，a ＝9，b ＝10，A ＝60°，判断三角形解的个数．梳理　已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一．例如在△ABC 中，已知a ，b 及A 的值．由正弦定理＝，可求得sin B ＝.在由a sin A b sin B b sin A a sin B 求B 时，如果a >b ，则有A >B ，所以B 为锐角，此时B 的值唯一；如果a <b ，则有A <B ，所以B 为锐角或钝角，此时B 的值有两个．思考2　已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？梳理　解三角形4个基本类型：(1)已知三边；(2)已知两边及其夹角；(3)已知两边及其一边对角；(4)已知一边两角．其中只有类型(3)解的个数不确定．知识点三　正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用思考1　在△ABC中，已知a cos B＝b cos A．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?梳理　一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端．正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系．所以正弦定理的主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来．简称边角互化．思考2　什么时候适合用正弦定理进行边角互化？类型一　判断三角形解的个数3例1　在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，解三角形．引申探究3若a＝，b＝1，B＝120°，解三角形．　反思与感悟　已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．3跟踪训练1　已知一三角形中a＝2，b＝6，A＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．类型二　利用正弦定理求最值或取值范围例2　在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 分别对应边a ，b ，c ，a ＝2b sin A ，求cos A ＋sin C 的取值范围．反思与感悟　解决三角形中的取值范围或最值问题：(1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素．(2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题．跟踪训练2　在△ABC 中，若C ＝2B ，求的取值范围．c b 类型三　正弦定理与三角变换的综合例3　已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b,2cos 2B －8cosB ＋5＝0，求角B 的大小并判断△ABC 的形状．反思与感悟　借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．跟踪训练3　已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，其中a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状．1．在△ABC 中，AC ＝，BC ＝2，B ＝60°，则角C 的值为( )6A ．45° B ．30° C ．75° D ．90°2．在△ABC 中，若＝＝，则△ABC 是( )a cos Ab cos B ccos C A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形3．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，求的值．2sin A －sin Bsin C 1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．答案精析问题导学知识点一1．a ∶b ∶c 2.2R3．2R sin A 2R sin B 2R sin C4. a 2R b 2R c2R知识点二思考1　sin B ＝sin A ＝×＝，b a 10932539而<<1，所以当B 为锐角时，32539满足sin B ＝的角有60°<B <90°，539故对应的钝角B 有90°<B <120°，也满足A ＋B <180°，故三角形有两解．思考2　如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等．即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题．知识点三思考1　可借助正弦定理把边化成角：2R sin A cos B ＝2R sin B cos A ，移项后就是一个三角恒等变换公式sin A cos B －cos A sin B ＝0.思考2　尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系，但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径．故使用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径．题型探究类型一　判断三角形解的个数例1　解　根据正弦定理，sin B ＝＝＝.b sin A a 3sin 30°132∵b ＞a ，∴B ＞A ＝30°，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c ＝＝＝2；b sin C sin B 3sin 60°当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A ，∴c ＝a ＝1.引申探究解　根据正弦定理，sin A ＝a sin B b＝＝＞1.3sin 120°132因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解．反思与感悟　已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．跟踪训练1　解　a ＝2，b ＝6，a <b ，3A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，b sin A ＜a ＜b ，所以本题有解，且有两解，由正弦定理，得sin B ＝＝＝，b sin Aa 6sin 30°2332因为b >a ，B >A ，B ∈(0°，180°)，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝＝4；a 2＋b 23当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2.3所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2.3类型二例2　解　∵a ＝2b sin A ，∴由正弦定理，得sin A ＝2sin B sin A ，又∵A ∈(0，)，sin A ≠0，π2∴sin B ＝.∵B 为锐角，∴B ＝.12π6令y ＝cos A ＋sin C＝cos A ＋sin [π－(B ＋A )]＝cos A ＋sin (π6＋A )＝cos A ＋sin cos A ＋cos sin Aπ6π6＝cos A ＋sin A ＝sin.32323(A ＋π3)由锐角△ABC 知，－B <A <，∴<A <.π2π2π3π2∵<A ＋<，2π3π35π6∴<sin<，12(A ＋π3)32∴<sin<，323(A ＋π3)32即<y <.3232∴cos A ＋sin C 的取值范围是.(32，32)跟踪训练2　解　因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <，π3所以<cos B <1，12所以1<2cos B <2，又＝＝＝2cos B ，c b sin Csin B sin 2B sin B 所以1<<2.cb 类型三例3　解　∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝或cos B ＝(舍去)．1232∵0<B <π，∴B ＝.π3∵a ＋c ＝2b .由正弦定理，得sin A ＋sin C ＝2sin B＝2sin ＝.π33∴sin A ＋sin ＝，(2π3－A )3∴sin A ＋sin cos A －cos sin A ＝.2π32π33化简得sin A ＋cos A ＝，32323∴sin ＝1.(A ＋π6)∵0<A <，∴<A ＋<，2π3π6π65π6∴A ＋＝.∴A ＝，C ＝.π6π2π3π3∴△ABC 是等边三角形．跟踪训练3　解　设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系，得Error!∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理，得sin B cos A ＝sin A cos B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角，∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π，∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形．当堂训练1．C 2.B3．解　由条件得＝＝，a c sin A sin C 15∴sin A ＝sin C .15同理可得sin B ＝sin C .35∴＝＝－.2sin A －sin Bsin C 2×15sin C －35sin C sin C 15。

习题课　正弦定理和余弦定理[学习目标]　1.进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用.2.提高对正、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．[知识链接]下列结论正确的是．(1)在△ABC 中，已知一边的长为6，这条边上的高为4，则△ABC 的面积为12.(2)在▱ABCD 中，一边的长为a ，这边上的高为h ，则▱ABCD 的面积为ah .12(3) 已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，若2p ＝a ＋b ＋c ，则S △ABC ＝.p (p －a )(p －b )(p －c )(4)设△ABC 的内切圆的半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝r (a ＋b ＋c )．12答案　(1)(3)(4)[预习导引]1．三角形常用面积公式(1)三角形面积公式S ＝ah .12(2)三角形面积公式的推广S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212122．三角形内的角的函数关系在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有(1)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝－tan C ，(2)sin ＝cos ，cos ＝sin .A ＋B2C2A ＋B2C23．余弦定理的推论在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角.要点一　利用正、余弦定理求值例1　在△ABC 中，若c ·cos B ＝b ·cos C ，且cos A ＝，求sin B 的值．23解　由c ·cos B ＝b ·cos C ，结合正弦定理得，sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，易知B ＝C ，故b ＝c .因为cos A ＝，23所以cos A ＝＝＝，得3a 2＝2b 2，所以a ＝b .b 2＋c 2－a 22bc2b 2－a 22b 22363所以cos B ＝＝＝，故sin B ＝.a 2＋c 2－b 22ac23b 22×63b 266306规律方法　正、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择．跟踪演练1　在△ABC 中，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc .(1)求A 的大小；(2)求的值．b sin B c解　(1)由已知b 2＝ac ⇒cos A ＝＝＝.b 2＋c 2－a 22bcac ＋bc －ac2bc12∵A ∈(0，π)，∴A ＝.π3 (2)由b 2＝ac ，得＝，∴＝sin B ·＝sin B ·＝sin A ＝.b c ab b sin Bc ab sin Asin B 32要点二　正、余弦定理与三角变换的综合应用例2　在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2－cos 2A ＝.B ＋C272 (1)求A 的度数．(2)若a ＝，b ＋c ＝3，求b 和c 的值．3解　(1)由4sin 2 －cos 2A ＝及A ＋B ＋C ＝180°，得2[1－cos(B ＋C )]－2cos 2 A ＋1＝，B ＋C272724(1＋cos A )－4cos 2 A ＝5，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0，∴(2cos A －1)2＝0，解得cos A ＝.12∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°.(2)由余弦定理，得cos A ＝.b 2＋c 2－a 22bc∵cos A ＝，∴＝，12b 2＋c 2－a 22bc12化简并整理，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，所以32－()2＝3bc 3则由Error!解得Error!或Error!规律方法　本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A ＋B ＋C ＝180°，求出A ，并利用余弦定理列出关于b 、c 的方程组．跟踪演练2　在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ac .65求2sin 2＋sin 2B 的值．A ＋C2解　由已知＝，a 2＋c 2－b 22ac35所以cos B ＝，又B ∈(0，π)，则35sin B ＝＝，1－cos2B 45所以2sin 2＋sin 2B ＝2cos 2＋sin 2B ＝1＋cos B ＋2sin B cos B A ＋C 2B2＝1＋＋2××＝.3535456425要点三　正、余弦定理与平面向量的综合应用例3　在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos B ＝，且·＝－21.35AB→ BC → (1)求△ABC 的面积；(2)若a ＝7，求角C .解　(1)∵·＝－21，AB→ BC → ∴·＝21.BA→ BC → ∴·＝||·||·cos B ＝ac cos B ＝21.BA→ BC → BA → BC → ∴ac ＝35，∵cos B ＝，又B ∈(0，π)，35∴sin B ＝.45∴S △ABC ＝ac sin B ＝×35×＝14.121245(2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b ＝4.2由正弦定理＝，∴sin C ＝sin B ＝×＝.csin C bsin B cb 5424522∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C ＝.π4规律方法　这是一道向量，正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．跟踪演练3　△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为 ．3答案　150°解析 ∵m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (a ＋c )＝0，由正弦定理有(a ＋b )(b －a )3＝c (a ＋c )，3即a 2＋c 2－b 2＝－ac ，再由余弦定理，得cos B ＝－，又0°<B <180°，∴B ＝150°.332要点四　三角形的面积公式的拓展例4　如图，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝，且3132AD ＝BD ，求△ABC 的面积．解　设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝5－x ，在△CAD 中，由余弦定理可知cos ∠CAD ＝＝.(5－x )2＋42－x 22×(5－x )×43132解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理可知＝，ADsin C CDsin ∠CAD ∴sin C ＝·＝4＝，ADCD 1－cos2∠CAD 1－(3132)2378∴S △ABC ＝AC ·BC ·sin C ＝×4×5×＝.12123871574∴△ABC 的面积为.1574规律方法　在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．跟踪演练4　在△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，B ＝30°，求△ABC 的面积．3解　由正弦定理得＝，1sin 30°3sin C ∴sin C ＝.32∵0°＜C ＜180°，∴C ＝60°或120°.(1)当C ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝；32(2)当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝××1×sin 30°＝.123341．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝b ，则A 等于( )3A. B. C. D.π12π6π4π3答案　D解析　由正弦定理，得2sin A sin B ＝sin B ，即sin A ＝，因为△ABC 为锐角三角形，所以332A ＝.π32．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人能( )11311115A ．不能作出这样的三角形 B ．作出一个锐角三角形C ．作出一个直角三角形 D ．作出一个钝角三角形答案　D解析　假设能作出△ABC ，不妨设高，，对应的边分别为a ＝26S ，b ＝22S ，c ＝10S ，cos 11311115A ＝＝＝－<0，∴A 为钝角．b 2＋c 2－a 22bc(22S )2＋(10S )2－(26S )22×22S ×10S 231103．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )14A ．1 B ．2 C. D ．412答案　A解析　设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，∴R ＝1，由S △＝ab sin C ＝＝＝，∴abc ＝1.12abc 4R abc 4144．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝，则·＝.10AB → CA → 答案　－32解析　根据余弦定理，cos A ＝22＋32－(10)22×2×3＝＝.31214·＝－·＝－3×2×＝－.AB → CA → AB → AC→ 14321．判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．2．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．3．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解．。

1.1.1 正弦定理1.掌握正弦定理及基本应用.(重点)2.会判断三角形的形状.(难点)3.能根据正弦定理确定三角形解的个数.(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 正弦定理阅读教材P 3～P 4例1以上内容，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于钝角三角形.( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立.( )(3)在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则三角形是等腰三角形.( ) 【解析】 (1)×.正弦定理适用于任意三角形. (2)√.由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B . (3)√.由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，即a ＝b ，所以三角形为等腰三角形.【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 解三角形阅读教材P 4例1～P 5例2，完成下列问题.1.一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.2.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________. 【解析】 由正弦定理得：32sin 60°＝ACsin 45°，所以AC ＝32·sin 45°sin 60°＝2 3.【答案】 2 32.在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C ＝________.【解析】 由正弦定理得：3sinπ3＝3sin B ， 所以sin B ＝12.又a >b ，所以∠A >∠B ， 所以∠B ＝π6，所以∠C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π2.【答案】π23.在△ABC 中，∠A ＝45°，c ＝2，则AC 边上的高等于________. 【解析】 AC 边上的高为AB sin A ＝c sin A＝2sin 45°＝ 2. 【答案】2[小组合作型]A.322B.324 C.32D.62(2)在△ABC 中，已知BC ＝12，∠A ＝60°，∠B ＝45°，则AC ＝________.【导学号：18082000】【精彩点拨】 (1)可先由角A 、B 求出角C ，然后利用正弦定理求b ； (2)直接利用正弦定理求解.【自主解答】 (1)因为∠A ＝75°，∠B ＝60°，所以∠C ＝180°－75°－60°＝45°. 因为c ＝3，根据正弦定理得b sin B ＝csin C， 所以b ＝c sin Bsin C ＝3×3222＝322.(2)由正弦定理知：AC sin B ＝BCsin A ，则ACsin 45°＝12sin 60°，解得AC ＝4 6.【答案】 (1)A (2)46解决已知两角及一边类型的三角形解题方法：若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边[再练一题]1.在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.【解析】 ∠C ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即6sin 60°＝ACsin 45°，解得AC ＝2.【答案】 2b ＝42，则∠B ＝________.(2)在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，∠A ＝30°，求∠B ，∠C 和c .【精彩点拨】 (1)由正弦定理的特点，直接求解.注意三角形解的个数问题. (2)先利用正弦定理求角B ，再利用内角和定理求解，由正弦定理求边c . 【自主解答】 (1)由正弦定理，得asin A＝bsin B.把∠A ＝60°，a ＝43，b ＝42，代入，解得sin B ＝22，∴B ＝45°或135°，∵b ＜a ，∴∠B ＜∠A ，又∵∠A ＝60°，∴0°＜∠B ＜60°，∴∠B ＝45°.【答案】 45° (2)由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又a ＝23，b ＝6，a <b ， ∴B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. 综上，B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时的方法：首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论[再练一题]2.在△ABC 中，c ＝6，∠C ＝π3，a ＝2，求∠A ，∠B ，b .【导学号：18082001】【解】 ∵a sin A ＝csin C，∴sin A ＝a sin C c ＝22， ∴∠A ＝π4或34π.又∵c >a ，∴∠C >∠A ，∴∠A ＝π4，∴∠B ＝5π12，b ＝c sin Bsin C ＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1.[探究共研型]. 【提示】 如图，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ，则∠BCD ＝90°， ∠BAC ＝∠BDC ，在Rt△BCD 中，BC ＝BD ·sin∠BDC ，所以a ＝2R sin A ，即a sin A ＝2R ，同理b sin B ＝2R ，csin C＝2R ，所以a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . 探究2 根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？ 【提示】 利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形； (2)已知两角和其中一角的对边解三角形. 探究3 由a sin A ＝b sin B ＝csin C可以得到a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？【提示】 (1)a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C.(2)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C. (3)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B .在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC的形状.【精彩点拨】 解决本题的关键是利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 把sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 转化为三角形三边的关系，从而判定出角A ，然后再利用sin A ＝2sin B cos C 求解.【自主解答】 法一：根据正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2， ∴∠A 是直角，∠B ＋∠C ＝90°，∴2sin B cos C ＝2sin B cos(90°－B )＝2sin 2B ＝sin A ＝1，∴sin B ＝22. ∵0°<∠B <90°，∴∠B ＝45°，∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形. 法二：根据正弦定理， 得a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴∠A 是直角.∵∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0.又－90°<∠B －∠C <90°， ∴∠B －∠C ＝0，∴∠B ＝∠C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形.1.判断三角形的形状应看该三角形是否为某些特殊的三角形，如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等.2.已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可以考虑用正弦定理化边为角，再利用三角恒等变换找出三个角之间的关系，或者化角为边，通过代数恒等变换找出三边之间的关系，再给出判断.[再练一题]3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝a cos C ，试判断△ABC 的形状.【解】 ∵b ＝a cos C ， 由正弦定理，得 sin B ＝sin A cos C . (*)∵∠B ＝π－(∠A ＋∠C )，∴sin B ＝sin(A ＋C )，从而(*)式变为 sin(A ＋C )＝sin A cos C ， ∴cos A sin C ＝0. 又∵∠A ，∠C ∈(0，π)， ∴cos A ＝0，∠A ＝π2，即△ABC 是直角三角形.1.在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则∠A 与∠B 的大小关系为( ) A.∠A ＞∠B B.∠A ＜∠BC.∠A ≥∠BD.∠A ，∠B 的大小关系不能确定【解析】 因为a sin A ＝bsin B ，所以a b ＝sin Asin B.因为在△ABC 中，sin A >0，sin B >0，sin A ＞sin B ， 所以a b ＝sin Asin B>1，所以a >b ，由a ＞b 知∠A ＞∠B . 【答案】 A2.在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.不等边三角形【解析】 由正弦定理知c ＝2R sin C ，a ＝2R sin A ， 故sin C ＝2sin A cos B ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin A cos B ＝cos A sin B ， 即sin(A －B )＝0，所以∠A ＝∠B . 故△ABC 为等腰三角形. 【答案】 B3.在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°，∠B ＝60°，则BC ＝_____.【导学号：18082002】【解析】 利用正弦定理BC sin A ＝ABsin C， 而∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝75°， 故BC ＝AB sin A sin C ＝3sin 45°sin 75°＝3－ 3. 【答案】 3－ 34.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，∠A ＝60°，则cos B ＝________.【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得15sin 60°＝10sin B，∴sin B ＝33，∵b <a ，∴∠B <∠A . 故角B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫33 2＝63. 【答案】63。

1．1.1正弦定理(一)学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理的推导思考1如图，在Rt△ABC中，asin A、bsin B、csin C各自等于什么？思考2在一般的△ABC中，asin A＝bsin B＝csin C还成立吗？课本是如何说明的？梳理在任意△ABC中，都有asin A＝bsin B＝csin C，证明方法除课本提供的方法外，还可借助三角形面积公式，外接圆或向量来证明．知识点二正弦定理的呈现形式1.asin A＝____________＝__________＝2R (其中R 是____________)； 2．a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C＝2R sin A ；3．sin A ＝a2R ，sin B ＝________，sin C ＝________.知识点三 解三角形一般地，把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的______．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．类型一 定理证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．反思与感悟 (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力． 跟踪训练1如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c .求证：asin A ＝2R .类型二 用正弦定理解三角形例2 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：a ＝20，A ＝30°，C ＝45°.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c sin C，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理： ①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值．类型三 边角互化命题角度1 化简证明问题例3 在任意△ABC 中，求证：a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝0.命题角度2 运算求解问题例4 在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，求△ABC 的周长的最大值．反思与感悟 利用a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 或正弦定理的变形公式a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)能够使三角形边与角的关系相互转化．跟踪训练3 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，求a ∶b ∶c 的值．1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.1. 定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)．2. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．答案精析问题导学 知识点一 思考1a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立，课本采用边AB 上的高CD ＝b sin A＝a sin B 来证明． 知识点二 1.b sin B c sin C △ABC 外接圆的半径 3.b 2Rc 2R知识点三 元素 解三角形 题型探究 类型一例1 证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点， 根据正弦函数的定义知：CDb ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ， CDa＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝b sin B. 同理，b sin B ＝csin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 跟踪训练1 证明 连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角∠A ′＝∠A .∵A ′B 为直径，长度为2R ，∴∠A ′CB ＝90°，∴sin A ′＝BC A ′B ＝a2R ，∴sin A ＝a 2R ，即asin A ＝2R .类型二例2 解 ∵A ＝30°，C ＝45°， ∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°， 由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝20sin 105°sin 30°＝40sin(45°＋60°) ＝10(6＋2)，c ＝a sin C sin A ＝20sin 45°sin 30°＝202，∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2. 跟踪训练2 解 根据三角形内角和定理， A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6.类型三 命题角度1例3 证明 由正弦定理，令a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，k >0.代入得 左边＝k (sin A sin B －sin A sin C ＋sin B sin C －sin B sin A ＋sin C sin A －sin C sin B ) ＝0＝右边， 所以等式成立． 命题角度2例4 解 设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b . 由正弦定理， 得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2 3. ∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， a ＋b ＋c ＝3＋23sin B ＋23sin C ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3＋23sin B ＋23⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B＝3＋33sin B ＋3cos B ＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， ∴当B ＝π3时，△ABC 的周长有最大值9.跟踪训练3 解 ∵A ＋B ＋C ＝π， A ∶B ∶C ＝1∶2∶3， ∴A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴sin A ＝12，sin B ＝32，sin C ＝1.设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)， 则a ＝k sin A ＝k 2，b ＝k sin B ＝32k ，c ＝k sin C ＝k ，∴a ∶b ∶c ＝12∶32∶1＝1∶3∶2.当堂训练1．C 2.B 3.25 4.π3或2π3。

1.1.2　余弦定理(二)[学习目标]　1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．[知识链接]1．以下问题不能用余弦定理求解的是 ．(1)已知两边和其中一边的对角，解三角形．(2)已知两角和一边，求其他角和边．(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角．(4)已知一个三角形的三条边，解三角形．答案　(2)2．利用余弦定理判断三角形的形状，正确的是 ．(1)在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则△ABC 为直角三角形．(2)在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则△ABC 为锐角三角形．(3)在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形．答案　(1)(3)[预习导引]1．正弦定理及其变形(1)＝＝＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．a sin Ab sin B csin C (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(2)cos A ＝，cos B ＝，cos C ＝.b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab (3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．3．三角变换公式(1)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(2)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(3)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.要点一　正、余弦定理的综合应用例1　如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解　在△ABD 中，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，设BD ＝x ，由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ，∴142＝102＋x 2－2×10·x cos 60°，即x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，∴BD ＝16.∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°.在△BCD 中，由正弦定理：＝，BCsin ∠CDB BD sin ∠BCD ∴BC ＝＝8.16sin 30°sin 135°2规律方法　余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息．跟踪演练1 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .解　方法一　在△ABC 中，∵sin A cos C ＝3cos A sin C ，则由正弦定理及余弦定理有：a ·＝3()c ，a 2＋b 2－c 22ab b 2＋c 2－a 22bc 化简并整理得：2(a 2－c 2)＝b 2.又由已知a 2－c 2＝2b ，∴4b ＝b 2.解得b ＝4或b ＝0(舍)．方法二　由余弦定理得：a 2－c 2＝b 2－2bc cos A .又a 2－c 2＝2b ，b ≠0.所以b ＝2c cos A ＋2.①又sin A cos C ＝3cos A sin C ，∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝4cos A sin C ，sin(A ＋C )＝4cos A sin C ，即sin B ＝4cos A sin C ，由正弦定理得sin B ＝sin C ，故b ＝4c cos A ．②b c 由①②解得b ＝4.要点二　利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式例2　在△ABC 中，有：(1)a ＝b cos C ＋c cos B ；(2)b ＝c cos A ＋a cos C ；(3)c ＝a cos B ＋b cos A ；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明　方法一　(1)设△ABC 外接圆半径为R ，由正弦定理得b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴b cos C ＋c cos B ＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B＝2R (sin B cos C ＋cos B sin C )＝2R sin(B ＋C )＝2R sin A ＝a .即a ＝b cos C ＋c cos B同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ；(3)c ＝a cos B ＋b cos A .方法二　(1)由余弦定理得cos B ＝，cos C ＝，a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab ∴b cos C ＋c cos B ＝b ·＋c ·a 2＋b 2－c 22ab a 2＋c 2－b 22ac ＝＋＝＝a .a 2＋b 2－c 22a a 2＋c 2－b 22a 2a 22a ∴a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ；(3)c ＝a cos B ＋b cos A .规律方法　(1)证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．(2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种途径：一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化．跟踪演练2　在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，求证：＝.cos B cos C c －b cos Ab －c cos A证明　方法一　因为左边＝＝，a 2＋c 2－b 22aca 2＋b 2－c 22ab b (a 2＋c 2－b 2)c (a 2＋b 2－c 2)右边＝＝，c －b ·b 2＋c 2－a 22bc b －c ·b 2＋c 2－a 22bc b (a 2＋c 2－b 2)c (a 2＋b 2－c 2)∴等式成立．方法二　设△ABC 外接圆半径为R ，∵右边＝2R sin C －2R sin B ·cos A2R sin B －2R sin C ·cos A＝＝＝＝左边．sin (A ＋B )－sin B cos A sin (A ＋C )－sin C cos A sin A cos B sin A cos C cos Bcos C ∴等式成立．要点三　利用正、余弦定理判断三角形形状例3　在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△ABC 的形状．解　由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋2bc ＋c 2－a 2＝3bc ，即a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝＝＝，b 2＋c 2－a 22bcbc 2bc 12又A ∈(0，π)，∴A ＝，π3又sin A ＝2sin B cos C ，由正、余弦定理，得a ＝2b ·＝，a 2＋b 2－c 22ab a 2＋b 2－c 2a ∴b 2＝c 2，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．规律方法　题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断．跟踪演练3　在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．解　方法一　根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，(a ＋c 2)整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c .又∵2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2a ，即b ＝a .∴△ABC 是等边三角形．方法二　根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C .又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.∴C ＝120°－A ，∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )，整理得sin(A ＋30°)＝1，∴A ＝60°，C ＝60°.∴△ABC 是等边三角形．1．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( )A. B ．－ C. D ．－13231414答案　A解析　根据正弦定理，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k (k >0)．则有cos C ＝＝.9k 2＋4k 2－9k 22×3k ×2k 132．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案　C解析　∵2cos B sin A ＝sin C ，∴2××a ＝c ，a 2＋c 2－b 22ac ∴a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝ac ，则角B 的值为．3答案　π6解析　根据余弦定理，cos B ＝＝＝，又B ∈(0，π)，所以B ＝.a 2＋c 2－b 22ac 3ac 2ac 32π634．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则满足条件的三角形有几个？解　设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，33∴22＝a2＋(2)2－2a×2cos 30°，即a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4.3当a＝2时，三边为2,2,2可组成三角形；3当a＝4时，三边为4,2,2也可组成三角形．∴满足条件的三角形有两个．1．已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径(1)化边为角，并利用三角恒等变形进行化简；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．。

1　正弦定理的一个推论及应用在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系怎样？那么几乎所有的同学都会认为A 与B 的大小关系不确定．若再问：在△ABC 中，若A >B ，则sin A 与sin B 的大小关系怎样？仍然会有很多同学回答大小关系不确定．鉴于此，下面我们讲讲这个问题．一、结论例1　在△ABC 中，sin A >sin B ⇔A >B .分析　题中条件简单，不易入手．但既在三角形中，何不尝试用联系边角的正弦定理？证明　因为sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，根据正弦定理变式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，可得sin A >sin B ⇔a >b ，再由平面几何定理“大角对大边，小角对小边”，可得a >b ⇔A >B .所以sin A >sin B ⇔A >B .二、结论的应用例2　在△ABC 中，A ＝45°，a ＝4，b ＝2，求B .2分析　在遇到这样的问题时，有的同学一看，这不正好用正弦定理嘛，于是就直接由正弦定理得B ＝30°或B ＝150°.其实这是错误的！错在哪儿？我们只需由上述结论即可发现．解　由正弦定理，得＝，sin B ＝.sin 45°4sin B 2212又sin B <sin A ，所以B <A ，所以B ＝30°.点评　同学们在解题时，一定要根据问题的具体情况，恰当地选用定理．同时，使用正弦定理求角时，要特别小心，不要出现漏解或增解的情况．例3　在△ABC 中，已知B ＝30°，b ＝3，c ＝3，求A .3分析　同学们在求解这个问题的时候，在用正弦定理求角C 时不要丢解．解　由正弦定理及已知条件，得sin C ＝＝，c sin B b 32因为sin C >sin B ，所以C >B ，所以C 有两解．(1)当C ＝60°时，有A ＝90°；(2)当C ＝120°时，有A ＝30°.点评　除此之外，本题也可以利用余弦定理来求解.2　三角形定“形”记根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用．一、通过角之间的关系定“形”例1　在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形分析　通过三角形恒等变换和正弦、余弦定理，把条件式转化，直至能确定两角(边)的关系为止，即可判断三角形的形状．解析　方法一　利用正弦定理和余弦定理，2sin A cos B ＝sin C 可化为2a ·＝c ，即a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2－b 2＝0，即a 2＝b 2，故a ＝b .所以△ABC 是等腰a 2＋c 2－b 22ac 三角形．故选B.方法二　因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，即C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin(A ＋B )．由2sin A cos B ＝sin C ，得2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0.又因为－π＜A －B ＜π，所以A －B ＝0，即A ＝B .所以△ABC 是等腰三角形，故选B.答案　B点评　根据角的三角函数之间的关系判断三角形的形状，一般需通过三角恒等变换，求出角(边)之间的关系．二、通过边之间的关系定“形”例2　在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( ) sin A ＋sin Csin B b ＋c a A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形分析　先运用正弦定理化角为边，根据边之间的关系即可判断三角形的形状．解析　在△ABC 中，由正弦定理，可得＝＝，整理得a (a ＋c )＝b (b ＋c )，sin A ＋sin Csin B a ＋c b b ＋c a 即a 2－b 2＋ac －bc ＝0，(a －b )(a ＋b ＋c )＝0.因为a ＋b ＋c ≠0，所以a －b ＝0，即a ＝b ，所以△ABC 是等腰三角形．故选C.答案　C点评　本题也可化边为角，但书写复杂，式子之间的关系也不易发现.3　细说三角形中解的个数解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨．一、出现问题的根源我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下：①先做出已知角A ，把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ；②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ；③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数．显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情况：当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：根据上面的分析可知，由于a ，b 长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A 为锐角，只有当a 不小于b sin A 时才有解，随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的．当A 为钝角时，只有当a 大于b 时才有解．二、解决问题的策略1．正弦定理法已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求B .根据正弦定理＝，可得sin B ＝.a sin A b sin B b sin A a 若sin B >1，三角形无解；若sin B ＝1，三角形有且只有一解；若0<sin B <1，B 有两解，再根据a ，b 的大小关系确定A ，B 的大小关系(利用大边对大角)，从而确定B 的两个解的取舍．2．余弦定理法已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求c .利用余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，整理得c 2－2bc cos A －a 2＋b 2＝0.适合上述问题的一元二次方程的解c 便为此三角形的解．3．公式法当已知△ABC 的两边a ，b 和角A 时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：A <90°A ≥90°a ≥ba <b a >b sin Aa ＝b sin A a <b sin A a >b a ≤b 一解两解一解无解一解无解三、实例分析例　在△ABC 中，已知A ＝45°，a ＝2，b ＝(其中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )，试2判断符合上述条件的△ABC 有多少个？分析　此题为“已知两边和其中一边的对角”解三角形的问题，可以利用上述办法来判断△ABC 解的情况．解　方法一　由正弦定理＝，asin A b sin B 可得sin B ＝sin 45°＝<1.2212又因为a >b ，所以A >B ，故B ＝30°，所以符合条件的△ABC 只有一个．方法二　由余弦定理，得22＝c 2＋()2－2××c cos 45°，22即c 2－2c －2＝0，解得c ＝1±.3而1－<0，故仅有一解，所以符合条件的△ABC 只有一个．3方法三　因为A 为锐角，且a >b ，故符合条件的△ABC 只有一个.4　走出解三角形的误区解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于我们对三角公式比较熟悉，做题时比较容易入手．但是公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够．下面结合例子谈谈解三角形时，题目中隐含条件的挖掘．1．忽视构成三角形的条件而致误例1　已知钝角三角形的三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的取值范围．[错解]　∵c >b >a 且△ABC 为钝角三角形，∴C 为钝角．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝k 2＋(k ＋2)2－(k ＋4)22k (k ＋2)＝<0.k 2－4k －122k (k ＋2)∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6.又∵k 为三角形的边长，∴k >0.综上所述，0<k <6.[点拨]　忽略了隐含条件：k ，k ＋2，k ＋4构成一个三角形，k ＋(k ＋2)>k ＋4.即k >2而不是k >0.[正解]　∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形，∴C 为钝角．由余弦定理，得cos C ＝＝<0.a 2＋b 2－c 22ab k 2－4k －122k (k ＋2)∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6.由两边之和大于第三边，得k ＋(k ＋2)>k ＋4，∴k >2，综上所述，k 的取值范围为2<k <6.温馨点评　不是任意的三个正数都能构成三角形，构成三角形的三边是需要满足一定条件的.这个条件就是三角形中任意两边之和大于第三边.2．忽视三角形解的个数而致误例2　已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝2，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．3[错解]　由正弦定理，得sin C ＝＝.AB sin B AC 32∴C ＝60°，∴A ＝90°.则S △ABC ＝AB ·AC ·sin A ＝×2×2×1＝2.121233[点拨]　上述解法中在用正弦定理求C 时丢了一解．实际上由sinC ＝，可得C ＝60°或32C ＝120°，它们都满足条件．[正解]　由正弦定理，得sin C ＝＝.AB sin B AC 32∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，∴S △ABC ＝AB ·AC ·sin A ＝2.123当C ＝120°时，A ＝30°，∴S △ABC ＝AB ·AC ·sin A ＝.123故△ABC 的面积是2或.33温馨点评　利用正弦定理理解“已知两边及其中一边对角，求另一角”问题时，由于三角形内角的正弦值都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准确出错.3．忽视角之间的关系而致误例3　在△ABC 中，＝，试判断三角形的形状．tan Atan B a 2b 2[错解]　＝⇔＝tan Atan B a 2b 2sin A cos B cos A sin B sin2A sin2B ⇔＝cos B cos A sin A sin B⇔sin A cos A ＝sin B cos B⇔sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B .∴△ABC 是等腰三角形．[点拨]　上述错解忽视了满足sin 2A ＝sin 2B 的另一个角之间的关系：2A ＋2B ＝180°.[正解]　＝⇔＝tan Atan B a 2b 2sin A cos B cos A sin B sin2A sin2B ⇔＝cos B cos A sin A sin B⇔sin A cos A ＝sin B cos B⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°.∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．温馨点评　判断三角形形状时，一定要把边或角的关系考查周全，避免遗漏.在△ABC 中，sin A ＝sin B ⇔a ＝b 是成立的，这里不要受这一结论的影响而漏掉A ＋B ＝90°这一种情况.4．忽略角的隐含范围而致误例4　在△ABC 中，B ＝3A ，求的取值范围．ba [错解]　由正弦定理，得＝＝b a sin B sin A sin 3Asin A＝＝sin (A ＋2A )sin A sin A cos 2A ＋cos A sin 2Asin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1.∵0≤cos 2A ≤1，∴－1≤4cos 2A －1≤3，∵>0，∴0<≤3.b a b a [点拨]　忽略了三角形内角和为180°，及角A 、B 的取值范围，从而导致取值范围求错．b a [正解]　由正弦定理得＝＝b a sin B sin A sin 3Asin A＝＝sin (A ＋2A )sin A sin A cos 2A ＋cos A sin 2Asin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1.∵A ＋B ＋C ＝180°，B ＝3A ，∴A ＋B ＝4A <180°，∴0°<A <45°.∴<cos A <1，22∴1<4cos 2 A －1<3，∴1<<3.ba 温馨点评　解三角问题，角的取值范围至关重要．一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败.5　正、余弦定理三应用有些题目，表面上看不能利用正、余弦定理解决，但若能构造适当的三角形，就能利用两定理，题目显得非常容易，本文剖析几例．一、平面几何中的长度问题例1　如图，在梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝，∠BAD ＝60°，求梯形的高．19分析　如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则DE 为所求的高．由∠BAD ＝60°，知∠ADC ＝120°，又边CD 与AC 的长已知，故△ACD 为已知两边和其中一边的对角，可解三角形．解Rt △ADE ，需先求AD 的长，这只需在△ACD 中应用余弦定理．解　由∠BAD ＝60°，得∠ADC ＝120°，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC ，即19＝AD 2＋4－2AD ×2×，(－12)解得AD ＝3或AD ＝－5(舍去)．在△ADE 中，DE ＝AD ·sin 60°＝.332点评　依据余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用，也是函数与方程思想在解三角形中的体现．二、求范围例2　如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝1，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，求BD 的取值范围(注：0<x <1时，f (x )＝x －为增函数)．1x 分析　把BD 的长表示为∠ABC 的函数，转化为求函数的值域．解　设∠ABC ＝α.因为∠ABC ＝∠C ，所以∠A ＝180°－2α，∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝180°－2α＋＝180°－.α23α2因为BC ＝1，在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝＝sin αsin 3α22sin α2cos α2sin αcos α2＋cos αsin α2＝＝，2cosα24cos2α2－124cos α2－1cos α2因为0°<<45°，所以<cos <1，α222α2而当cos 增大时，BD 减小，且当cos ＝时，α2α222BD ＝；当cos ＝1时，BD ＝，2α223故BD 的取值范围是.(23，2)点评　本题考查：(1)三角知识、正弦定理以及利用函数的单调性求值域的方法；(2)数形结合、等价转化等思想．三、判断三角形的形状例3　在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若·＝·＝k ，(k ∈R )．AB → AC → BA → BC → (1)判断△ABC 的形状；(2)若c ＝，求k 的值．2解　(1)∵·＝cb cos A ，·＝ca cos B ，AB → AC → BA → BC → 又·＝·，AB → AC → BA → BC → ∴bc cos A ＝ac cos B ，∴b cos A ＝a cos B .方法一　∴sin B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0，∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形．方法二　利用余弦定理将角化为边．∵b cos A ＝a cos B ，∴b ·＝a ·，b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac ∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知a ＝b .∴·＝bc cos A ＝bc ·＝＝k ，AB → AC → b 2＋c 2－a 22bc c 22∵c ＝，∴k ＝1.26　测高、测距精彩汇一、测量高度问题，是解三角形实际应用问题中的一类热点问题，正弦定理和余弦定理是解决这类问题的两个得力工具，下面举例说明．例1　如图，某人欲测量某建筑物的高度BC ，在A 处测得建筑物顶端C 的仰角为30°，然后，向建筑物方向前进200 m 到达D 处，在D 处测得C 的仰角为75°，则建筑物的高度为( )A ．50(＋1) mB ．50(＋1) m 32C ．50(－1) mD ．50(＋) m332分析　先求出∠ACD ，然后在△ACD 中运用正弦定理求出CD ，最后在Rt △BCD 中求BC .解析　依题意，可得∠CAB ＝30°，∠CDB ＝75°，所以∠ACD ＝45°.在△ACD 中，由正弦定理，得CD ＝＝100(m)．200sin 30°sin 45°2所以BC ＝CD sin 75°＝100×＝50(＋1)(m)．26＋243故选A.答案　A点评　本题的测高方案：先在地面上选定两点，然后测量这两点之间的距离和从两点看被测物体顶端的仰角，进而用正弦定理求得高度．其中的解三角形问题属于已知两角和一边解三角形问题，适合用正弦定理求解．例2　如图，在100 m 高的山顶A 处，测得一建筑物CD 底部和顶部的俯角分别为60°和30°，则建筑物的高度为________ m.分析　先在Rt △ABC 中，求出AC ，然后在△ADC 中，运用正弦定理求CD .解析　在Rt △ABC 中，AC ＝＝(m)．100sin 60°20033在△ADC 中，∠ADC ＝120°，∠CAD ＝30°，由正弦定理，得CD ＝＝m.AC sin 30°sin 120°2003答案　2003点评　本题的测高方案：在某一高度测量被测物体的顶部和底部的俯角，然后用正弦定理求高度．其中的解三角形问题也属于已知两角和一边求其他角和边的三角形问题．例3　如图，CD 是一座铁塔，线段AB 和塔底D 在同一水平地面上，在A ，B 两点测得塔顶C 的仰角分别为60°，45°，又测得AB ＝24 m ，∠ADB ＝30°，则此铁塔的高度为( )A ．18 mB ．120 mC ．32 mD ．24 m333分析　先设出塔高，用它分别表示出AD ，BD ，然后在△ABD 中，运用余弦定理列方程，解之即得塔高．解析　设塔高为h ，因为∠CAD ＝60°，∠CBD ＝45°，所以AD ＝＝，BD ＝h .在△ABD 中，由余弦定理得242＝2＋h 2－2··h ·cos 30°，h tan 60°h3(h 3)h3解得h ＝24 m ．故选D.3答案　D点评　本题的测高方案：先测出地面上两点间的距离，然后在这两点分别测出被测物体顶部的仰角及两点相对于被测物体底部的张角，再用余弦定理求高度．二、实际测量中的距离问题是高考常考知识点之一．下面我们通过第一道例题找出规律，再通过第二道例题灵活运用，一起来探寻距离问题如何求解．例4　如图，一渔船在海上由西向东航行，在A 处望见灯塔C 在船的东北方向，若船速为每小时30 n mile ，半小时后在B 处望见灯塔在船的北偏东30°，当船行至D 处望见灯塔在船的西北方向时，求A 、D 两点之间的距离(精确到0.1 n mile)．分析　对于实际问题，我们需要画出示意图，由图知，要求△ACD 的边AD ，此时就转化成解三角形的问题了．解　在△ABC 中，AB ＝30×0.5＝15(n mile)，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝120°，所以∠ACB ＝15°.由正弦定理，可得＝，ABsin ∠ACB AC sin ∠ABC 所以AC ＝＝.AB ·sin ∠ABC sin ∠ACB 15sin 120°sin 15°在△ACD 中，∠CAD ＝45°，∠CDA ＝45°，所以∠ACD ＝90°，由正弦定理，得AD ＝＝≈71.0(n mile)．AC sin ∠CDA 15sin 120°sin 15°sin 45°答　A 、D 两点之间的距离约为71.0 n mile.点评　第一步：画出示意图；第二步：构建三角形，把实际问题中的长度、角度作为三角形相应的边和角；第三步：解三角形．例5　如图，为了测量河对岸(不可到达)A 、B 两点之间的距离，在河的这边测得CD ＝200 m ，∠ACD ＝80°，∠BCD ＝35°，∠CDA ＝40°，∠CDB ＝70°，求A 、B 两点间的距离(精确到1 m)．分析　△ACD 和△BCD 都是已知两角一边，可用正弦定理分别求出AC 和BC ，再在△ABC 中用余弦定理求AB 的长．解　在△ACD 中，CD ＝200 m ，∠ACD ＝80°，∠CDA ＝40°，所以∠CAD ＝60°.由正弦定理，得AC ＝＝≈148.4(m)．CD ·sin ∠CDA sin ∠CAD 200sin 40°sin 60°在△BCD 中，∠BCD ＝35°，∠CDB ＝70°，所以∠CBD ＝75°.由正弦定理，得BC ＝＝≈194.6(m)．CD ·sin ∠CDB sin ∠CBD 200sin 70°sin 75°在△ABC 中，∠ACB ＝80°－35°＝45°，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB＝148.42＋194.62－2×148.4×194.6×cos 45°≈19 051.2，所以AB ≈138(m)．答　A 、B 两点的距离约为138 m.点评　分析出题目中几个点的相对位置，根据已知构造出三角形，明确三角形的已知边角和所求边角．。

1.2.1正余弦定理应用（距离问题）【学习目标】 1. 复习巩固正弦定理、余弦定理.2. 能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题. 【学习重难点】能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题.【复习巩固】（课前完成）应用：利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：① 已知三边，解三角形；② 已知两边及其夹角，解三角形.做一做： 在厶ABC 中, AB= 3, BC=V 13, AC= 4，则 A = _______________【典例分析】题型一 测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题 例题1 :如图，在河岸边有一点 A ,河对岸有一点B,要测量A , B 两点之间的距离，先在岸边取题型二 测量两个不可到达的点之间的距离问题例题2:如图，隔河看到两个目标 代B,但不能到达，在岸边选取相距 .3 km 的C, D 两点，并 测得/ ACB= 75°,/ BC G 45°,/ ADO 30°,/ ADB= 45° （A , B , C, D 在同一平面内），求 两个目标A B 之间的距离.【课堂达标】1已知A , B 两地相距10 km , B, C 两地相距20 km ，且/ ABO 120°,贝U A C 两地相距（） A . 10 km B . 10 3km C. 10、5km D. 10 7km2设A B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出A , C 的距离是100 m / BAC= 60°,/ AC G 30°，则A, B 两点的距离为 _____________________ m.1.正弦定理：在一个三角形中，各 边和它所对角的正弦的比相等，即 a sin A c sin C 2R （在厶ABC 中，a , b , c 分别为角2.应用：利用正弦定理可以解决以- ① 已知两角与一边，解三角形；② 已知两边与其中一边的对角， 做一做： 在厶 ABC 中, a = 4, b = A , B, C 的对边，R 是厶ABC 的外接圆半径）. F两类解三角形问题：解三角形.3, A = 30°，贝U sin 2 •余弦定理：三角形中任何一边的余弦的积的 ______ 倍. 2ab cos C （2）推论: 即：在△ ABC 中， .2 2 2b +c — a cos A ^lb^, —等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的 a 2= b 2+ c 2— 2bc cos A b 2= _________________ , c 2= a 2 + b 2— cos B= ,cos C= 2 . 2 2a +b —c 基线 AC 测得 AC= 120 m ,Z BA G 45B，/ BCA= 75°,求A B 两点间的距离.3 （2011 •北京朝阳二模）如图，一艘船上午8 00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午& 30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距4J2 n mile ，则此船的航行速度是__________________ n mile/h.4如图，为了开凿隧道，要测量隧道上D E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C,测得CA=400 m CB= 600 m, / ACB= 60°,又测得A, B两点到隧道口的距离AD= 80 m, BE= 40 m（A,D, E, B在一条直线上），计算隧道DE的长.（精确到1 m）。

1.1.1 正弦定理(二)[学习目标] 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．[知识链接]以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是 ．(1)在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则A ＝90°. (2)在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b .(3)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；反之，若A >B ，则sin A >sin B .(4)在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C. 答案 (2)解析 对于(1)，由正弦定理可知，sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴B ＝C ＝45°，故A ＝90°，故(1)正确．对于(2)，由sin 2A ＝sin 2B 可得A ＝B 或2A ＋2B ＝π，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故(2)错误．对于(3)，在△ABC 中，sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ，故(3)正确．对于(4)，因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C，所以a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C，故(4)正确． [预习导引]1．正弦定理的常见变形(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R . (3)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 2．三角变换公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(3)sin2α＝2sin αcos α.要点一 利用正弦定理判断三角形的形状例1 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．解 方法一 在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴(a 2R )2＝(b 2R )2＋(c 2R)2，即a 2＝b 2＋c 2. ∴A ＝90°，∴B ＋C ＝90°.由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )，∴sin 2B ＝12. ∵B 是锐角，∴sin B ＝22，∴B ＝45°，C ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．方法二 在△ABC 中，根据正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且A ＝90°.∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C .∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.∴B －C ＝0，即B ＝C .∴△ABC 是等腰直角三角形．规律方法 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．跟踪演练1 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．解 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B， ∴a b ＝sin A sin B ，∴a 2b 2＝sin 2A sin 2B. 又∵a 2tan B ＝b 2tan A ，∴a 2b 2＝tan A tan B ，∴tan A tan B ＝sin 2A sin 2B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．要点二 利用正弦定理求最值或范围例2 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 分别对应边a ，b ，c ，且a ＝2b sin A ，求cos A ＋sin C 的取值范围．解 设R 为△ABC 外接圆的半径．∵a ＝2b sin A ，∴2R sin A ＝4R sin B sin A ，∴sin B ＝12.∵B 为锐角，∴B ＝π6. 令y ＝cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin [π－(B ＋A )]＝cos A ＋sin(π6＋A ) ＝cos A ＋sin π6cos A ＋cos π6sin A ＝32cos A ＋32sin A ＝3sin(A ＋π3)．由锐角△ABC 知，π2－B <A <π2，∴π3<A <π2. ∵2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin(A ＋π3)<32， ∴32<3sin(A ＋π3)<32，即32<y <32. ∴cos A ＋sin C 的取值范围是(32，32)． 规律方法 在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法：(1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量．(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题．跟踪演练2 在△ABC 中，若C ＝2B ，求c b 的取值范围．解 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1. 因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ， 所以1<2cos B <2，故1<c b <2.要点三 正弦定理与三角变换的综合应用例3 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b ，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小，并判断△ABC 的形状．解 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)． ∵0<B <π，∴B ＝π3.∵a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3. ∴sin A ＋sin(2π3－A )＝3， ∴sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3. 化简得32sin A ＋32cos A ＝3， ∴sin(A ＋π6)＝1. ∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2. ∴A ＝π3，C ＝π3，即A ＝B ＝C . ∴△ABC 是等边三角形．规律方法 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．跟踪演练3 已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状．解 设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，∴b cos A ＝a cos B . 由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B (R 为△ABC 外接圆的半径)，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角，∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π，∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形．1．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则角C 的值为( )A. 45°B. 30° C ．75° D ．90°答案 C解析 由正弦定理，得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°.2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －c sin C＝ . 答案 0解析 由于a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，所以2a sin A －b sin B －c sin C ＝(a sin A －b sin B )＋(a sin A －c sin C )＝0. 4．在△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形． 解 a ＝23，b ＝6，a ＜b ，A ＝30°＜90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a ＞b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．。

余弦定理(一)
[学习目标].理解余弦定理的证明.初步运用余弦定理及其变形形式解三角形．
[知识链接]
.以下问题可以使用正弦定理求解的是．
()已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角．
()已知两角和一边，求其他角和边．
()已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角．
()已知一个三角形的三条边，解三角形．
答案()()
．如图所示，在直角坐标系中，若()，()，(，)．利用两点间距离公式表示出，化简后会得出怎样的结论？
解＝＝(－)＋(－)
＝(＋)－＋
＝＋－.
得出＝＋－.
[预习导引]
．余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即＝＋－，
＝＋－，
＝＋－.
．余弦定理的变形
＝，
＝，
＝.
要点一已知两边及一角解三角形
例已知△，根据下列条件解三角形：()＝，＝，＝°；
()＝，＝，＝°.
解()方法一由余弦定理＝＋－，
得＝＋()－××°，
∴－＋＝，得＝或.
当＝时，由于＝，∴＝＝°，∴＝°. 当＝时，由正弦定理得＝＝＝.
∴＝°，∴＝°.
方法二由正弦定理得＝＝＝，
由<，∴＝°或°，
当＝°时，＝°，由勾股定理＝＝＝，当＝°时，＝°，△为等腰三角形．
∴＝＝.。

1.1　正弦定理和余弦定理1.1.1　正弦定理(一)[学习目标]　1.通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．[知识链接]下列说法中，正确的有________．(1)在直角三角形中，若C 为直角，则sin A ＝.a c (2)在△ABC 中，若a ＞b ，则A ＞B .(3)在△ABC 中，C ＝π－A －B .(4)利用AAS 、SSA 都可以证明三角形全等．(5)在△ABC 中，若sin B ＝，则B ＝.22π4答案　(1)(2)(3)解析　根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；三角形的内角和为π，(3)正确；AAS 可以证明三角形全等，SSA 不能证明，(4)不正确；若sin B ＝，则B ＝或，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确．22π43π4[预习导引]1．在Rt △ABC 中的有关定理在Rt △ABC 中，C ＝90°，则有：(1)A ＋B ＝90°，0°<A <90°，0°<B <90°；(2)a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)；(3)＝c ；＝c ；＝c .a sin Ab sin Bc sin C在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，这个比值是a sin A b sin B csin C 其外接圆的直径2R .3．解三角形一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．要点一　正弦定理的推导与证明例1　在锐角△ABC 中，证明：＝＝.a sin Ab sin B csin C 证明　如图，在锐角△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，有＝sin A ，＝sin B .CD b CD a∴CD ＝b sin A ＝a sin B ．∴＝.asin A b sin B 同理，＝.∴＝＝成立．b sin Bc sin C a sin A b sin B c sin C 规律方法　从正弦定理可以推出它的常用变形有：(1)＝，＝，＝.asin A b sin B b sin B c sin C a sin A c sin C (2)＝，＝，＝.a b sin A sin B a c sin A sin C b c sin B sin C (3)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B .(4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .跟踪演练1　在钝角△ABC 中，如何证明＝＝仍然成立？a sin Ab sin B csin C证明　如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，则＝sin A ，即CD ＝b sin A ；CD b ＝sin(180°－B )＝sin B ，CD a因此b sin A ＝a sin B ，即＝.asin A b sin B 同理可证，＝.因此＝＝.b sin Bc sin C a sin A b sin B c sin C 要点二　已知两角及一边解三角形例2　已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：(1)a ＝20，A ＝30°，C ＝45°；(2)a ＝8，B ＝60°，C ＝75°.解　(1)∵A ＝30°，C ＝45°；∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，由正弦定理得b ＝＝＝40sin(45°＋60°)a sin Bsin A 20sin 105°sin 30°＝10(＋)；62c ＝＝＝20，a sin C sin A 20sin 45°sin 30°2∴B ＝105°，b ＝10(＋)，c ＝20.622(2)A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理＝，bsin B a sin A 得b ＝＝＝4，a sin Bsin A 8×sin 60°sin 45°6由正弦定理＝，a sin A csin C 得c ＝＝＝＝4(＋1)．a sin C sin A 8×sin 75°sin 45°8×2＋64223∴A ＝45°，b ＝4，c ＝4(＋1)．63规律方法　已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪演练2　在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，求边c .解　由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理＝，asin A c sin C 得c ＝a ·＝5·＝5·sin C sin A sin 105°sin 30°sin (60°＋45°)sin 30°＝5·＝(＋)．sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°5262要点三　已知两边及一边的对角解三角形例3　在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形：(1)a ＝1，b ＝，A ＝30°；3(2)a ＝，b ＝1，B ＝120°.3解　(1)根据正弦定理，sin B ＝＝＝.b sin Aa 3sin 30°132∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c ＝＝＝2；b sin C sin B 3sin 60°当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A ，∴c ＝a ＝1.(2)根据正弦定理，sin A ＝＝＝>1.a sin Bb 3sin 120°132因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解．规律方法　已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．跟踪演练3　已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：(1)a ＝2，c ＝，C ＝；6π3(2)a ＝2，c ＝，A ＝.6π4解　(1)∵＝，∴sin A ＝＝.a sin A csin C a sin C c 22∵c >a ，∴C >A .∴A ＝.π4∴B ＝，b ＝＝＝＋1.5π12c sin B sin C 6·sin5π12sin π33(2)∵＝，∴sin C ＝＝.a sin A c sin C c sin A a 32又∵a <c ，∴C ＝或.π32π3当C ＝时，B ＝，b ＝＝＋1.π35π12a sin B sin A 3当C＝时，B ＝，b ＝＝－1.2π3π12a sin B sin A 31．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定答案　A解析　由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔a >b ⇔A >B .2．在△ABC 中，一定成立的等式是( )A ．a sin A ＝b sin BB ．a cos A ＝b cos BC ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b sin A 答案　C解析　由正弦定理＝，得a sin B ＝b sin A ，故选C.a sin A bsin B 3．在△ABC 中，已知A ＝150°，a ＝3，则其外接圆的半径R 的值为( )A ．3B.3C ．2D ．不确定答案　A解析　在△ABC 中，由正弦定理得＝＝6＝2R ，∴R ＝3.a sin A 3sin 150°4．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案　B解析　由sin A ＝sin C 知a ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形．5．在△ABC 中，已知a ＝，sin C ＝2sin A ，则c ＝________.5答案　25解析　由正弦定理，得c ＝＝2a ＝2.a sin Csin A 51．正弦定理的表示形式：＝＝＝2R ，或a ＝k sinA ，b ＝k sinB ，c ＝k sin a sin A b sin B csin C C (k >0)．2．正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．。