【浙教版初中数学】《锐角三角函数的计算》分层练习2

《锐角三角函数的计算》综合练习一、基础·巩固达标1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值( )A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定 2.已知α是锐角，且cosα=54，则sinα=( ) A.259 B.54 C.53 D.2516 3.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________. 4.设α、β为锐角，若sinα=23，则α=________；若tanβ=33，则β=_________. 5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________. 6.△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，BD=9，tanB=34，求AD 、AC 、BC.二、综合•应用达标7.已知α是锐角，且sinα=54，则cos(90°－α)=( ) A.54 B.43 C.53 D.51 8.若α为锐角，tana=3，求ααααsin cos sin cos +-的值.9.已知方程x 2－5x·sinα+1=0的一个根为32+，且α为锐角，求tanα.10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图33.1－13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2 m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC=4 m. (1)求滑梯AB 的长(精确到0.1 m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？图33.1－1311.四边形是不稳定的.如图33.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图33.1－14三、回顾•展望达标12.三角形在正方形网格纸中的位置如图33.3－15所示，则sinα的值是( )A.43 B.34 C.53 D.54图33.1－15 图33.1－17 图33.1－1613.如图33.1－17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径23r ，AC=2，则cosB 的值是( ) A.23 B.35 C.25 D.3214.在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC=( )A.45B.5C.51D.45115.如图33.3－16，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=( )A.53B.43C.34D.5416.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图33.1－18，在锐角α的终边OB 上，任意取两点P 和P 1，分别过点P 和P 1做始边OA 的垂线PM 和P 1M 1，M 和M 1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.图33.1－18 图33.1－1917.计算：2－1－tan60°+(5－1)0+|3|；18.已知：如图33.1－19，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°. (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若OD ⊥AB ，BC=5，求AD 的长.参考答案一、基础·巩固达标1. 思路解析：当Rt △ABC 的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A 大小不变.答案：A2. 思路解析：由cosα=54，可以设α的邻边为4k ，斜边为5k ，根据勾股定理，α的对边为3k ，则sinα=53.答案：C3.思路解析：画出图形，设AC=x ，则BC=x 3，由勾股定理求出AB=2x ，再根据三角函数的定义计算.答案：21，3 4.思路解析：要熟记特殊角的三角函数值.答案：60°,30°5.思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤.答案：0.386 06.解：根据题意，设AD=4k ，BD=3k ，则AB=5k.在Rt △ABC 中，∵tanB=34，∴AC=34AB=320k.∵BD=9,∴k=3. 所以AD=4×3=12，AC=320×3=20.根据勾股定理25152022=+=BC . 二、综合•应用达标7. 思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°－α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°－α)=54. 方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°－α)”. 答案：A8.思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶10，sinα=103，cosα=101，分别代入所求式子中.方法2.利用tanα=ααcos sin 计算，因为cosα≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算. 答案：原式=213131tan 1tan 1cos sin cos cos cos sin cos cos =+-=+-=+-αααααααααα.9.思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是32-，进而可求出sinα=54，然后利用前面介绍过的方法求tanα.解：设方程的另一个根为x 2，则(32+)x 2=1 ∴x 2=32-∴5sinα=(32+)+(32-)，解得sinα=54. 设锐角α所在的直角三角形的对边为4k ，则斜边为5k ，邻边为3k ， ∴tanα=3434=k k . 10.思路解析：用勾股定理可以计算出AB 的长，其倾斜角∠ABC 可以用三角函数定义求出，看是否在45°范围内.解：(1)在Rt △ABC 中，2242+=AB ≈4.5. 答：滑梯的长约为4.5 m. (2)∵tanB=5.0=BCAC,∴∠ABC≈27°, ∠ABC≈27°＜45°.所以这架滑梯的倾斜角符合要求.11.思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=b 21，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数. 解：设原矩形边长分别为a ，b ，则面积为ab ，由题意得，平行四边形的面积S=21ab.又因为S=ah=a(bsinα)，所以21ab=absinα，即sinα=21.所以α=30°.三、回顾•展望达标12. 思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义.答案：C13.思路解析：利用∠BCD=∠A 计算.答案：D14. 思路解析：根据定义sinA=ABBC，BC=AB·sinA. 答案：B15. 思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B 转移到Rt △ADC 中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B.答案：B16.思路解析：正弦、余弦函数的定义.答案：11111,,,OP OM OP OM OP M P OP PM OP OM OP PM ==，锐角α 17. 思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.解：2－1－tan60°+(5－1)0+|3|=21－3+1+3=23. 18.思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA ，证∠OAD=90°.由sinB=21可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO 是等边三角形，由此∠OAD=90°.AD 是Rt △OAD 的边，有三角函数可以求出其长度. (1)证明：如图，连接OA.∵sinB=21，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°. ∵OA=OC ，∴△ACO 是等边三角形. ∴∠OAD=60°.∴∠OAD=90°.∴AD 是⊙O 的切线. (2)解：∵OD ⊥AB ∴ OC 垂直平分AB. ∴ AC=BC=5.∴OA=5.在Rt △OAD 中，由正切定义，有tan ∠AOD=OAAD. ∴ AD=35.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

1．2 锐角三角函数的计算(2)1．根据下列条件，求锐角α的大小． (1)tan α＝33，则α＝_30°； (2)2sin α－3＝0，则α＝_60°； (3)2cos α＝1，则α＝_45°．2．已知梯形的两底分别为10 cm 和15 cm ，一腰长为8 cm ，高线长为4 3 cm ，则两个下底角的度数分别为__60°，82°__(精确到1°)．3．若tan α＝0.4997，则α等于(A ) A ．26°33′5″ B ．86°33′4″ C ．35°20′3″ D ．12°16′4″4．计算器显示结果为sin －10.9816＝78.9918的意思正确的是(A ) A ．计算已知正弦值的对应角度 B ．计算已知余弦值的对应角度 C ．计算一个角的正弦值 D ．计算一个角的余弦值5．若关于x 的方程x 2－2x ＋co s α＝0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为(C ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°6．已知锐角α的三角函数值，使用计算器求锐角α(精确到1″)． (1)sin α＝0.3475; (2)cos α＝0.4273； (3)tan α＝1.2189.【解】 (1)∵sin α＝0.3475，∴α≈20°20′4″. (2)∵cos α＝0.4273，∴α≈64°42′13″. (3)∵tan α＝1.2189，∴α≈50°38′3″.7．如图，测得一商场自动扶梯的长l 为20 m ，该自动扶梯到达的高度h 为5 m ，问：自动扶梯与地面所成的角θ是多少度(精确到1′)?(第7题)【解】 ∵sin θ＝h l ＝520＝14，∴∠θ≈14°29′.答：自动扶梯与地面所成的角θ是14°29′.(第8题)8．如图，大厦离小明家30 m ，小明从自家的窗中测得大厦的仰角是45°，大厦底部的俯角是37°，求该大厦的高度(结果精确到0.1 m ，参考数据：tan37°≈0.754)． 【解】 30×tan45°＋30×tan37°≈30＋22.62≈52.6(m)． 答：大厦的高度是52.6 m.9．如图，海关缉私艇正在某海域执行巡逻任务，发现在其所处位置O 点的正北方10海里的A 点处有一艘涉嫌走私的船只正以24海里/时的速度向正东方向航行．为迅速实施检查，巡逻艇调整好方向，以26海里/时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向行驶的前提下， (1)问：巡逻艇需几小时才能追上涉嫌船只(点B 为追上时的位置)? (2)确定巡逻艇的追赶方向(精确到0.1°)．(第9题)【解】 (1)由题意可知OA ＝10海里． 设巡逻艇x(h)才能追上涉嫌船只， 则AB ＝24x ，OB ＝26x . 在Rt △AOB 中， OA 2＋AB 2＝OB 2， ∴102＋(24x )2＝(26x )2， 解得x ＝1，即巡逻艇需1 h 才能追上涉嫌船只． (2)sin ∠AOB ＝AB OB ＝2426＝1213，∴∠AOB ≈67.4°.即巡逻艇的追赶方向为北偏东67.4°(第10题)10．把一根长2 m 的木棒在阳光下，如果太阳光与地面所成的角度为α(0＜α＜90°)，那么此时这根木棒在阳光下的影子最长为(B ) A ．2sin α B.2sin αC ．2cos α D.2cos α(第11题)11．要在宽为28 m 的海堤公路的路边安装路灯．路灯的灯臂长为3 m ，且与灯柱成120°(如图所示)，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直，当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想．问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果(结果精确到0.01 m ，参考数据：3≈1.732)?【解】 如解图，延长BA ，CD 交于点P . ∵AD ⊥AB ，CD ⊥BC ， ∴∠C ＝∠P AD ＝90°. ∵∠ADC ＝120°， ∴∠ADP ＝60°，∠P ＝30°. ∵在Rt △P AD 中，∠P ＝30°，(第11题解)∴PD ＝2AD ＝6 m. ∵路面宽28 m ， ∴BC ＝14 m.∵△PBC 是直角三角形，∠P ＝30°，∴PC ＝14 3 m.∴DC ＝PC －PD ＝14 3－6 ≈18.25(m)．答：应设计灯柱的高约为18.25 m.12．某县旧城改造的某一项目中，要将如图所示的一棵没有观赏价值的树AB 放倒(已知树AB 垂直于地面)，栽上白云兰．在操作过程中，师傅甲要直接把树放倒，师傅乙不同意，他担心这样会损坏这棵树周围4.5 m 处的花草和动物雕塑．请你根据图中标出的测量数据，通过计算说明师傅乙的担心是否有必要(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?(第12题)【解】 由图可知BE ＝3.2 m ，∠ECB ＝45°. ∵tan ∠ECB ＝EB BC，∴BC ＝EB tan ∠ECB ＝ 3.2tan45°＝3.2 (m)．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，tan ∠ACB ＝ABBC ，即AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝3.2×3≈5.5(m)． ∵5.5>4.5，∴这棵树放倒后，会损坏周围4.5 m 处的花草和动物雕塑，师傅乙的担心有必要．13．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶以便通行，现测得斜坡上铅垂的两棵树间的水平距离AB ＝4 m ，斜面距离BC ＝4.25 m ，斜坡总长DE ＝85 m. (1)求坡角∠D 的度数(结果精确到1°)；(2)若这段斜坡用厚度为17 cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？ (参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95.),(第13题))【解】 (1)cos D ＝cos ∠ABC ＝AB BC ＝44.25≈0.94，∴∠D ≈20°.(2)EF＝DE·sin D＝85×sin20°≈28.9(m)，28．9×100÷17＝170(级)，∴共需170级台阶．。

1.2__锐角三角函数的计算__第2课时已知三角函数值求锐角的度数1．∠A满足cos A＝12，利用计算器求∠A时，依次按键SHIFT cos（1÷2）＝，则计算器上显示的结果是(C)A．30 B．45C．60 D．752．若∠A是锐角，且cos A＝tan30°，则(C)A．0°<∠A<30°B．30°<∠A<45°C．45°<∠A<60°D．60°<∠A<90°【解析】由cos A＝tan30°≈0.577 4可得∠A≈55°，∴45°＜∠A＜60°.故选C.3．已知cos A·sin30°＝34，则∠A为(A)A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】由题意，得cos A×12＝34，∴cos A＝32，∴∠A＝30°.故选A.4．已知cos A＝22，且∠A为锐角，那么sin2A＋tan2A＝(B)A．1 B.3 2C．2 D. 2【解析】由cos A＝22，得∠A＝45°，∴sin2A＋tan2A＝12＋1＝32.故选B.5．已知tan A＝0.301 4，用计算器求锐角A，可以按照下面方法操作：依次按键SHIFT tan，然后输入函数值0.301 4，得到∠A≈__17°__(精确到1°)．6．如图1－2－8，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3 m，铅直高度BC为2.8 m，则∠A的度数约为__27.8°__(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．图1－2－8【解析】tan A＝2.85.3≈0.528 3，利用计算器求角度可知∠A≈27.8°.7．如图1－2－9，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：图1－2－9(1)AB边上的高线(精确到0.01)；(2)∠B的度数(精确到1′)．解：(1)如答图，过点C作AB边上的高线CH，垂足为H.第7题答图∵在Rt△ACH中，sin A＝CH AC，∴CH＝AC·sin A＝9sin48°≈6.69；(2)∵在Rt△ACH中，cos A＝AH AC，∴AH＝AC·cos A＝9cos48°，∴在Rt△BCH中，tan B＝CHBH＝CHAB－AH＝9sin48°8－9cos48°≈3.382，∴∠B≈73°52′.8．若用三根长度分别为8，8，6的木条做成一个等腰三角形，则这个等腰三角形的各个角的大小分别为多少(精确到1′)?解：如答图，根据题意，作△ABC，AB＝AC＝8，BC＝6.第8题答图过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝CD＝3.∴cos B＝BDBA＝38，∴∠B≈67°59′，∴∠C≈67°59′，∠A≈44°2′.9．如图1－2－10是一晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D 两点立于地面，经测量：OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段，且EF＝32 cm，求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到0.1°)．图1－2－10 第9题答图解：如答图，过点O 作OM ⊥EF 于点M ，则EM ＝16 cm.在Rt △OEM 中，∵∠OME ＝90°，∴cos ∠OEF ＝EM OE ＝1634≈0.470 6，∴∠OEF ≈61.9°.10．如图1－2－11是一张简易活动餐桌，测得OA ＝OB ＝30 cm ，OC ＝OD ＝50 cm ，现要求桌面离地面的高度为40 cm ，那么两条桌脚的张角∠COD 的度数大小应为( B )A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°图1－2－11 第10题答图【解析】 如答图，过点O 作高线MN ，交AB 于点M ，交CD 于点N .设OM ＝x ，有x 40－x＝3050，∴x ＝15， ∴cos ∠MOB ＝OM OB ＝1530＝12，∴∠MOB ＝60°， ∴∠COD ＝∠AOB ＝120°.故选B.11．如图1－2－12，在矩形ABCD 中，若AD ＝1，AB ＝3，则该矩形的两条对角线所成的锐角是( C )图1－2－12A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°12．等腰三角形的底边长为20 cm ，面积为1003 3 cm 2，则顶角为__120__度．第12题答图【解析】 如答图，作等腰三角形ABC 的高线AD ，有BD ＝12BC ＝10(cm)．又∵12BC ·AD ＝10033，∴ 12×20×AD ＝10033，解得AD ＝1033，∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝101033＝3，∴∠BAD ＝60°，∴∠BAC ＝120°.13．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB 与底板OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图1－2－13①)，侧面示意图为图②，使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置(如图③)，侧面示意图为图④.已知OA＝OB＝24 cm，O′C⊥OA于点C，O′C＝12 cm.(1)求∠CAO′的度数；(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少？(3)垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？图1－2－13解：(1)∵O′C⊥OA，O′C＝12 cm，O′A＝OA＝24 cm，∴sin∠CAO′＝O′CO′A＝1224＝12，∴∠CAO′＝30°；第13题答图(2)如答图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.∵∠BOD＝180°－∠AOB＝60°，∴BD＝24sin60°＝123(cm)，又∵B′C＝B′O′＋O′C＝24＋12＝36(cm)，∴B′C－BD＝()36－123cm，即显示屏的顶部B′比原来升高了()36－123cm；(3)∵120°－90°＝30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.14．九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．(1)如图1－2－14①，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数；(2)如图②，第二小组用皮尺量得EF为16 m(E为护墙上的端点)，EF的中点距地面FB的高度为1.9 m，请你求出点E离地面FB的高度；(3)如图③，第三小组利用第一、二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度．在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4 m到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度(精确到0.1 m)(参考数据：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，3≈1.732，2≈1.414)．图1－2－14解：(1)∵BD＝BC，∴∠CDB＝∠BCD，∴∠α＝2∠CDB＝76°；(2)如答图①，过点E作EG⊥FB，垂足为G，过EF的中点O作OH⊥FB，垂足为H.∵OH＝1.9 m，∴EG＝2OH＝3.8(m)．答：点E离地面FB的高度为3.8 m；第14题答图(3)如答图②，延长AE交直线PB于G，设AG＝x m.在Rt△QAG中，tan∠AQG＝AGQG，得QG＝33x m.在Rt△P AG中，tan∠APG＝AGPG，得PG＝x m.∵PQ＋QG＝PG，∴4＋33x＝x，解得x≈9.46，∴AG＝PG＝9.46 m，∴AE＝AG－EG≈5.7(m)．答：旗杆AE的高度约是5.7 m.。

1.2锐角三角函数的计算（二）一、选择题（共5小题）1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（）A、扩大2倍B、缩小2倍C、扩大4倍D、不变2、如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（）A、sinA=cosAB、sinA＞cosAC、sinA＞tanAD、sinA＜cosA3、在①0＜cosα＜1（0°≤α≤90°），②sin78°＞cos78°，③sin0°＞tan45°，④sin25°=cos65°这四个式子中，正确的是（）A、①、③B、②、④C、①、④D、③、④4、已知A为锐角，且cosA≤，那么（）A、0°≤A≤60°B、60°≤A＜90°C、0°＜A≤30°D、30°≤A＜90°★5、三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A、cos43°＞cos16°＞sin30°B、cos16°＞sin30°＞cos43°C、cos16°＞cos43°＞sin30°D、cos43°＞sin30°＞cos16°二、填空题（共5小题）6、函数y=（cosθ）x2﹣4（sinθ）x+6对任意实数x都有y＞0，且θ是三角形的内角，则θ的取值范围是_________7、已知关于x的二次方程（m+5）x2﹣（2m﹣5）x+12=0的两根是一个锐角的正弦和余弦，则m=_________．8、设二次函数y=x2+2（cosθ+1）x+cosθ，（0＜θ≤90°）的图象与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，并且|x1﹣x2|≤2，则θ的取值范围是_________．9、如图，是半径为6的⊙D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是_________．★10、有四个命题：①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；③已知x1，x2是关于x的方程2x2+p x+p+1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．其中正确命题的序号是_________（注：把所有正确命题的序号都填上）．三、解答题（共5小题）11、试比较sin10°，cos30°，sin50°，cos70°的大小12、已知二次函数y=4x2﹣（3k﹣8）x﹣6（k﹣1）2的图象与x轴交于A、B两点（A在B 左边），且点A、B到原点距离之比为3：2．①求k值．若点P在y轴上，∠PAB=α，∠PBA=β．求证：α＜β．13、如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP=40°，∠FBP=20°，PB=m，试比较PE、PF的大小；（2）若∠EBP=α，∠FBP=β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．14、（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）若∠α=45°，则sinα_________cosα；若∠α＜45°，则sinα_________cosα；若∠α＞45°，则s inα_________cosα；（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．★15、（1）如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．答案与评分标准1.D 2 .B 3.B 4.B 5C6. 0°＜θ＜60.7. m=208. 60°≤θ≤90°9. 18＜P≤18+610.①④．11. ① K=6 ②∵，AO＞BO ∴tan ∠PAB＜tan ∠PBA∴∠PAB＜∠PBA，即α＜β．12.（1）略（2）根据（1）得sin ∠EBP== sinα，sin∠FBP = = sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．13.略14.略15. sin10°＜cos70°＜sin50°＜cos30。

1.1 锐角三角函数(2)(见B 本51页)A 练就好基础 基础达标1．tan 260°－1的值等于( D ) A.13B ．3C.12D ．22．已知锐角α，若sin α＝32，则cos α的值为( B ) A.23 B.12 C.22 D.323．令a ＝sin 60°，b ＝cos 45°，c ＝tan 30°，则它们之间的大小关系是( A ) A ．c ＜b ＜a B ．b ＜a ＜c C ．a ＜c ＜b D ．b ＜c ＜a4．如图所示，某地修建高速公路，要在B 地与C 地之间修一座隧道(B ，C 在同一水平面上)．为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°.则B ，C 两地之间的距离为( A )第4题图A ．100 3 mB ．50 2 mC ．50 3 mD.10033 m 5．如图所示，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1∶3(坡比是坡面的铅第5题图直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则坡角∠A 的大小是( A ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝22，则tan B ＝__1__．7．计算：3tan 30°－2tan 60°cos 60°＝．8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，则斜边上的中线长为__2__．9．计算：(1)sin 60°＋cos 60°＝2．(2)sin 45°cos 45°＝__1__，sin 60°cos 60°＝． (3)6tan 230°－3sin 60°－2sin 45°＝2．10．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 相交于点D ，且AB ＝43，求AD 的长．解：在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，∴AC ＝12AB ＝12×43＝2 3.∵AD 平分∠BAC，∴在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°， ∴AD ＝ACcos 30°＝4.B 更上一层楼 能力提升11．点M(－sin 60°，cos 60°)关于原点对称的点的坐标是( B )A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－3212．当∠A＝60°时，下列不等式中正确的是( D )A ．tan A ＞cos A ＞sin AB ．cos A ＞tan A ＞sin AC ．sin A ＞tan A ＞cos AD ．tan A ＞sin A ＞cos A13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B 的对边是a ，b ，且满足a 2－ab －b 2＝0，则tan A 等于( B )A ．1B.1＋52C.1－52D.1±5214．我们观察课本中特殊角的三角函数值，可以发现sin 60°＝cos 30°，sin 45°＝cos 45°，sin 30°＝cos 60°.猜测并验证得出：若sin α＝cos β，则α与β的数量关系为__α＋β＝90°__．15．潍坊中考关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于__30°__．16．计算：(1)3tan 245°－3(sin 60°－2tan 30°)； (2)3tan 30°－2tan 60°sin 60°＋cos 225°＋sin 225°.解：(1)原式＝3×12－3⎝⎛⎭⎪⎫32－2×33＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝3＋12＝3.5.(2)原式＝3×33－2332＋1＝－2＋1＝－1.17．如图所示，∠C ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝BD ，根据此图求tan 15°的值．第17题图解：∵BD＝AB ，∴∠A ＝∠ADB＝30°×12＝15°，设DC ＝1，则BD ＝AB ＝2，BC ＝3，∴tan 15°＝12＋3＝2－ 3.C 开拓新思路 拓展创新18．鄂州中考如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连结AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连结FC ，则sin ∠ECF ＝( D )第18题图A.34B.43C.35D.4519．烟台中考如图所示，⊙O 的半径为1，AD ，BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发(P 点与O 点不重合)，沿O→C→D 的路线运动．设AP ＝x ，sin ∠APB ＝y ，那么y 与x 之间的关系图象大致是( C )第19题图A BC D。

1.2 锐角三角函数的计算(二)1.利用计算器，求锐角α的度数(精确到1″).(1)sin α＝0.3475，则α≈20°20′4″ . (2)cos α＝0.4273，则α≈64°42′13″ . (3)tan α＝1.2189，则α≈50°38′3″ .2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35. (1)若BC ＝3x ，则AB ＝5x ，AC ＝4x ，tan A ＝34，tan B ＝43，sin B ＝45 .(2)用计算器可以求得∠A ≈36°52′12″，∠B ≈53°7′48″(精确到1″).3.已知梯形的上底长为10 cm ，下底长为15 cm ，一腰长为8 cm ，高线长为4 3 cm ，则两个下底角的度数分别为60°，82°(精确到1°).4.若一个等腰三角形的三边长分别为6 cm ，6 cm ，8 cm ，则顶角约为(A )A.83.62°B.93.39°C.67.38°D.72°5.现要加工形状如图所示的零件，请根据图示尺寸(单位：mm)计算斜角α的度数(精确到1″).(第5题)【解】 ∵EG ＝DC －AB ＝150－124＝26(mm)，∴FG ＝EF －EG ＝83－26＝57(mm)，∴tan α＝FG AG ＝57140，∴a ≈22°9′12″.6.根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.如果关于x 的方程3x 2sin α－4x cos α＋2＝0有实数根，求锐角α的取值范围.【解】 由Δ＝16cos 2α－24sin α＝16(1－sin 2α)－24sin α≥0，得2sin 2α＋3sin α－2≤0，∴(sin α＋2)(2sin α－1)≤0.∵sin α＋2＞0，∴2sin α－1≤0，∴sin α≤12，∴α≤30°，∴0°＜α≤30°.7.如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶.已知台阶总高1.5 m ，为了安全，现要做一个不锈钢扶手AB 及两根与FG 垂直且长为1 m 的不锈钢架杆AD 和BC ，且∠DAB ＝66.5°.(第7题)(1)求点D 与点C 之间的高度差DH .(2)求所有不锈钢材料的总长度(即AD ＋AB ＋BC 的长)(精确到1 m ，参考数据：cos66.5°≈0.4，sin66.5°≈0.9).【解】 (1)DH ＝1.5×45＝1.2(m). (2)过点B 作BM ⊥AH 于点M .∵在矩形BCHM 中，MH ＝BC ＝1 m ，∴AM ＝AD ＋DH －MH ＝1＋1.2－1＝1.2(m)，∴在Rt △AMB 中，AB ＝AM cos66.5°≈3 m ，∴不锈钢材料的总长度为1＋3＋1＝5(m).8.四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为m,n ，可以证明当AC ⊥BD 时(如图①)，四边形ABCD的面积S ＝12mn ，那么当AC ，BD 所夹的锐角为θ时(如图②)，四边形ABCD 的面积S ＝12mn sin θ(用含m,n ，θ的代数式表示).(第8题)【解】 如解图，设AC ，BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F .(第8题解)∵AC ，BD 的夹角为θ，∴AE ＝OA ·sin θ，CF ＝OC ·sin θ，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BDC＝12BD ·AE ＋12BD ·CF＝12BD ·(AE ＋CF )＝12mn sin θ.9.如图所示，某施工队准备在一段斜坡上铺上台阶以便通行，现测得斜坡上铅垂的两棵树间的水平距离AB ＝4 m ，斜面距离BC ＝4.25 m ，斜坡总长DE ＝85 m.(第9题)(1)求坡角∠D 的度数(精确到1°).(2)若这段斜坡用厚度为17 cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？(参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95.)【解】 (1)cos D ＝cos ∠ABC ＝AB BC ＝44.25≈0.94，∴∠D ≈20°.(2)EF ＝DE ·sin D ＝85×sin20°≈28.9(m)，28.9×100÷17＝170(级)，∴共需170级台阶.10.图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由EM 位置运动到与地面垂直的EN 位置时的示意图.已知BC ＝0.64 m ，AD ＝0.24 m ，AB ＝1.30 m.(1)求AB 的倾斜角α的度数(精确到1°).(2)若测得EN ＝0.85 m ，试计算小明头顶由点M 运动到点N 的路径MN ︵的长度(精确到0.01 m).(第10题)【解】 (1)过点A 作AF ∥DC ，分别交BC ，NE 的延长线于点F ，H .∵AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，∴AD ∥BC ，∴四边形AFCD 为矩形，∴BF ＝BC －FC ＝BC －AD ＝0.40 m.在Rt △ABF 中，∵sin α＝BF AB ＝0.401.30，∴α≈18°.(2)∵NE ⊥AF ，∴∠AEH ＝90°－α≈90°－18°＝72°，∴∠MEN ＝180°－∠AEH ＝108°，∴lMN ︵＝108×π×0.85180≈1.60(m).11.如图，延长等边三角形ABC 的一边CB 到点D ，连结A D.以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AD 于点E ，连结BE .已知AC ＝2，∠D ＝20°，求BE 的长(精确到0.1，参考数据：3≈1.73，tan 20°≈0.36，sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94).(第11题)【解】 如解图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，过点B 作BG ⊥AD 于点G .(第11题解)∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∠ABC ＝60°.在△ABF 中，∵sin ∠ABC ＝AF AB， ∴AF ＝sin ∠ABC ·AB ＝3≈1.73.在△ADF 中，∵sin D ＝AF AD ，∠D ＝20°，∴AD ＝AF sin D ≈5.09.∵S △ADB ＝12DB ·AF ＝12AD ·BG ，DB ＝DF －BF ＝AD 2－AF 2－12BC ≈3.79，∴BG ≈1.29.∵∠D ＋∠DAB ＝∠ABC ＝60°，∴∠DAB ＝40°.又∵AE ＝AB ，∴∠AEB ＝∠ABE ＝12(180°－∠EAB )＝70°，∴∠GBE ＝90°－70°＝20°，∴BE＝BGcos∠GBE≈1.4.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

1.2 锐角三角函数的计算（2）同步练习◆基础训练1．若∠A，∠B均为锐角，且sinA=12，cosB=12，则（）A．∠A=∠B=60°B．∠A=∠B=30°C．∠A=60°，∠B=30°D．∠A=30°，∠B=60°2．用计算器求锐角x（精确到1″）：（1）sinx=0.1523，x≈______；（2）cosx=0.3712，x≈______；（3）tanx=1.7320，x≈______．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35．（1）若AB=10，则BC=______，AC=_____，cosA=______；（2）若BC=3x，则AB=______，AC=_____，tanA=______，tanB=______，sinB=_____．（3）用计算器可以求得∠A≈______，∠B≈_____（精确到1″）．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）若AC=5，BC=12，则AB=______，tanA=_______，∠A≈______（精确到1″）；（2）若AC=3，AB=5，则sinA=______，tanB=______，∠A≈_______，∠B≈______（精确到1″）．C BA5．已知一个小山坡的坡度为0.62，则它的坡角为______（精确到1″）．6．如图，水坝的迎水坡AB=25米，坝高为5_______（精确到1″）．◆提高训练7．计算：（1）tan230°+2sin60°+tan45°－tan60°+cos230°；（2）cos60°－sin245°+34tan230°+cos230°－sin30°．8．在△ABC中，∠C=90°，BC=14AC，求∠B的度数（精确到1″）．9．要加工形状如图的零件，请根据图示尺寸（单位：mm）计算斜角α的度数.（精确到1″）．10．将一副三角尺按如图放置，求上下两块三角尺的面积比S1：S2．◆拓展训练11．化简：cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°．12．已知α、β都是锐角，且cosβ+sinα=1.4538，cosβ－sinα=0.2058，求∠α和∠β的度数（•精确到1″）．答案:1．D 2．（1）8°45′37″（2）68°12′37″（3）59°59′57″3．（1）6，8，45•（2）5x，4x，34，43，45（3）36°52′12″，53°7′48″4．（1）13，125，67°22′48″（2）45，34，53°7′48″，36°52′12″5．31°47′56″6．26°33′54″7．（1）2512（2）128．75•°57′50″9．22°9′12″10．211．441212．38°36′32″，33°55′18″初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

浙教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！浙教版初中数学和你一起共同进步学业有成！1.1 锐角三角函数◆基础训练1．计算：（1）sin60°+cos60°=_______；（2）sin45sin60_________,cos45cos60︒︒=︒︒=_______．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，则斜边上的中线长为______．3．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则a：b：c=_______．4．化简：（1）│tan60°－2│=_______;（2(sin．5．sin60°=cos_____=______；cos60°=sin________=________．6．在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）若，则∠A=______，tanA=______；（2）若，则∠A=_______，cosA=_________．7．计算：cos245°+tan60°·cos30°等于（）A．1 B2 C．2 D8．在△ABC中，若∠A，∠B满足│sinA│+（c osB－12）2=0，则△ABC是（）A．等腰非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形◆提高训练9．求下列各式的值：（1）2sin30°－3cos60°+tan45°；（2）cos270°+cos45°·sin45°+sin270°；（3）3tan30°－2tan45°+2cos30°；（4）2cos30°+5tan60°－2sin30°；22cos 60(5)2tan 60;1sin 60︒+︒-︒ sin 301(6).1cos30tan 30︒++︒︒10．已知是方程x 2－5xsin α+1=0的一个根，α为锐角，求tan α的值．11．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB 的值．12．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD ，根据此图求tan15°的值．◆拓展训练13．已知tan2α－（）tanα=0，求锐角α的度数．14．如图，已知锐角△A BC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．（1）试说明：S△ABC=12absinC；（2）若a=30cm，b=36cm，∠C=30°，求△ABC的面积．答案:1．（1（2）1， 2．2 3．1：2 4．（1）2 （2）125．30，30°，12 6．（1）60 （2）30．C 8．B9．（1）12 （2）32（3）－2 （4）－1 （5） （6）210．43 11．8312．2．45°或60° 14．（1）略 （2）270cm 2相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。