万有引力和天体运动
一、知识点击
1．开普勒定律
第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。太阳是在这些椭圆的一个焦点上。
第二定律（面积定律）：对每个行星来说，太阳和行星的连线（叫矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。“面积速度”：
1
sin 2
S r t υθ?=?（θ为矢径r 与速度υ的夹角） 第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值
相等。即：2
3T a
=常量．
2．万有引力定律
⑴万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的．任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比． 2
Mm F G
r
= ， 1122
6.6710/G N m kg -=??，称为引力常量． ⑵重力加速度的基本计算方法
设M 为地球的质量，g 为地球表面的重力加速度． 在地球表面附近（h R << ）处：2Mm G
mg R =，2
2
GM g R
==9.8m/s 在地球上空距地心r=R+h 处：2r M
g G r
=， 222()r g R R g r R h ==+ 在地球内部跟离地心r 处：3
2244
33
r r r M g G G G r r r πρπρ===，r g r g R = ， r r g g R = 3．行星运动的能量 ⑴行星的动能
当一颗质量为m 的行星以速度υ 绕着质量为M 的恒星做平径为r 的圆周运动： 2122K Mm
E m G r
υ=
=
，式中υ=
⑵行星的势能
对质量分别为M 和m 的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点，当m 与M 相距
r 时，其体系的引力势能：P Mm
E G
r
=- ⑶行星的机械能：2122K P Mm Mm
E E E m G G
r r
υ=+=-=- 4．宇宙速度和引力场 ⑴宇宙速度（相对地球）
第一宇宙速度：环绕地球运动的速度（环绕速度）．
第二宇宙速度：人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度（脱离速度）．
第三宇宙速度：使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度（逃逸速度）． ⑵引力场、引力半径与宇宙半径．
对于任何一个质量为M ，半径为r 的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征
速度．如果第二宇宙速度超过光速，即c <
22GM
r c
< 在这种物体上，即使发射光也不能克服引力作用，最终一定要落回此物体上来，这就是牛顿理论的结论，近代理论有类似的结论，这种根本发不了光的物体，被称为黑洞，这个临界的r 值被称为引力半径，记为2
2g GM r c
=
用地球质量代入，得到r g ≈0.9 cm ，设想地球全部质量缩小到1 cm 以下的小球内，那么外界就得不到这个地球的任何光信息．
如果物质均匀分布于一个半径为r 的球体内，密度为ρ，则总质量为343
M r πρ=
又假设半径r 正好是引力半径，那么32
4
23g g G r r c
πρ?=，得1223()8g c r G πρ= 此式表示所设环境中光不可能发射到超出r g 的范围，联想起宇宙环境的质量密度平均值为10-29g/cm 3，这等于说，我们不可能把光发射到1028cm 以外的空洞，这个尺度称为宇宙半径． 二、方法演练
类型一、天体运动中一类应用开普勒定律的问题，解这类问题时一定要注意运动的轨道、面积、周期，但三者之间也是有关联的，正因为如此，解题时要特别注意“面积速度”。 例1．要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日运动周期，以便发射一年
后又将与地球相遇而发回探测资料。在地球发射这一艘飞船时，应使其具有多大的绕日
速度？
分析与解：如示6—1所示，圆为地球绕日轨道，椭圆为所发射飞船的绕日轨道，S 点（太阳）为此椭圆的一个焦点，因飞船与地球具有相等的绕日周期，由开普勒周期定律：
222
33
4S T T a GM R π==
可知椭圆的半长轴a=R ，两轨道的交点必为半轴顶点， 发射飞船时，绕日速度υ应沿轨道切线方向，即与椭圆 长轴平行的方向．
则飞船的“面积速度”为：12Rb S b T πυ?=
=
椭，2R
T
πυ= 地球的“面积速度”为：2012R S R T πυ?==圆，02R
T
πυ=
故：0υυ=
当绕日速度的方向不同时，其轨道的短轴b 不同，但长半轴R 相同，太阳为椭圆轨道的一个焦点，且发射的绕日速度大小相同．
例2．一物体A 由离地面很远处向地球下落，落至地面上时，其速度恰好等于第一宇宙速度．已
知地球半径R=6400 km.若不计物体在运动中所受到的阻力，求此物体在空中运动的时间。 分析和解：物体落至地面时其速度值为第一宇宙速度值，即：Rg υ=上式中R 为地球半径，g 为地球表面处的重力加速度。
设A 最初离地心的距离为r ，则由其下落过程中机械能守恒，应有：2
1
2
Mm Mm
m G
G
R r
υ-=- 且GM=gR 2
联立上三式可解得：r=2R
物体在中心天体引力作用下做直线运动时，其速度、加速度是变化的，可以将它看绕中心天体的椭圆轨道运动，将其短轴取无限小。这就是我们通常所说的“轨道极限化”。
物体A 下落可以看成是沿着很狭长的椭圆 轨道运行，其焦点非常接近此椭圆轨道长轴的 两端，如图6—2所示，则由开普勒第一定律， 得知地心为椭圆的一个焦点．则椭圆长半轴为 a=R
又由开普勒第三定律，物体沿椭圆轨道运行的周期和沿绕地心（轨道不计为R ）的圆轨道运行的周期相等．其周期为：
22R
T πυ
=
=再由开普勒第二定律得：
0S t S T
= 11
42
S ab ab π=+，0S ab π=
011
422(2ab ab
S t T S ab ππππ+==?=+
33.14( 2.06102s =+=?
类型二、天体质量（密度）的计算问题往往是由万有引力定律和向心力公式建立天体计算的基本方程，解题时一般要注意中心天体与运动卫星关系的建立，同时还要注意忽略微小量（次要因数）的问题，这是解决这类问题的两个非常重要的因数。
例3．新发现一行星，其星球半径为6400 km ，且由通常的水形成的海洋覆盖它所有的表面，海洋的深度为10 km ，学者们对该行星进行探查时发现，当把试验样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变．试求此行星表面处的自由落体加速度．已知万有引力常量G=6. 67×10-11N m 2/ kg 2。
分析和解：解本题的关键就在于首先要建立中心天体和运动卫星，才能运用基本方程式求行星表面处的自由落体加速度，若把水视为运动卫星群，则关键是如何求中心天体的质量。
以R 表示此星球的半径，M 表示其质量，h 表示其表面层海洋的深度，R 0表示除海洋外星球内层的半径，r 表示海洋内任一点到星球中心的距离．则：
0R r R >>，且0R R h =+，以ρ水表示水的密度．则此星球表面海洋水的总质量为
332
2300044433333
m R R R h R h h πρπρπρ=-=++水水水（）
因R>>h ，略去h 高次项，得2
4m R h πρ=水 由2Mm G
mg R =表，2
GM
g R =表
，020M m G mg R -=（）m ，020G M m g R -=（）
依题意：0g g =表，即：2220M M m M m R R R h --==-（）（）（），22
2m
M Rh h
=-R 则32
422R g G R R h
πρπρ?==?水表水G h
将G ＝6. 67×10-11N m 2/kg 2，ρ水＝1．0×103kg/m 3，R ＝6.4 ×106 m 代入得：g 表=2. 7 m/s 2。
类型三、天体运动的能量问题要注意在轨运行的卫星的机械能，然后利用机械能的改变及功能原理来解题，这是因为卫星的运行轨道变化既要注意其变轨机理，又要符合能量原理。 例4．质量为m 的人造地球卫星，在圆形轨道上运行．运行中受到大小恒为f 的微弱阻力作
用，以r 表示卫星轨道的平均半径，M 表示地球质量，求卫星在旋转一周的过程中： （1）轨道半径的改变量Δr=？ （2）卫星动能的改变量ΔE k =？
分析和解：因卫星沿圆形轨道运动，则22Mm G m r r υ=，则2122K GMm E m r
υ==，
则卫星的机械能为22GMm GMm GMm
E r r r
=
-=-
（1） 设卫星旋转一周轨道半径改变量为△r ，则对应机械能改变量为
11222GMm GMm GMm E r r r r r r ?=-
+=-+?+?（）（），211r r
r r r r r ??-≈+?+?=r （）r
22GMm E r r ?=?
根据功能原理：W=ΔE ，即2
22GMm
rf r r π-=?，34r f r GMm π?=-
，负号表示轨道半径减小。 （2）卫星动能的改变量为：
322114222222K GMm GMm GMm GMm GMm r f
E r rf
r r r r r r GMm
ππ?=-=-≈?=-?-=+?+?（）（）（）r r 类型四、天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题：一个是摆脱引力场所需要的能量的问题；一个是能量的来源问题。而能量要么来源于燃料，要么来源于碰撞。
例5．宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动，飞行器的质量比小行星的质量
小很多，飞行器的速率为0υ，小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的6倍。有人企图借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系，于是他便设计了如下方案：Ⅰ．当飞行器在其圆周轨道的适当位置时，突然点燃飞行器上的喷气发动机，经过极短时间后立即
关闭发动机，以使飞行器获得所需的速度，沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道；Ⅱ．飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘，速度的方向和小行星在该处速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；Ⅲ．小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰。不计燃烧的燃料质量．
（1）试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系．
（2）设在上述方案中，飞行器从发动机取得的能量为E 1．如果不采取上述方案而令飞行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系．采用这种办法时飞行器从发动机取得的能量的最小值用E 2表示．问
1
2
E E 为多少？ 分析和解：(1)设太阳的质量为M 0，飞行器的质量为m ，飞行器绕太阳做圆周运动的轨道半径为R 。根据所设计的方案，可知飞行器是从其原来的圆轨道上某处出发，沿着半个椭圆轨道到达小行星轨道上的．该椭圆既与飞行器原来的圆轨道相切，又与小行星的圆轨道相切．要使飞行器沿此椭圆轨道运动，应点燃发动机使飞行器的速度在极短时间内，由0υ变为某一值u 0．设飞行器沿椭圆轨道到达小行星轨道时的速度为u,因为大小为u 0和u 的这两个速度的方向都与椭圆的长轴垂直，由开普勒第二定律可得u 0 R= 6 Ur （1） 由能量关系，有
2
200011226M m M m mu G mu G R R
-=- （2） 由万有引力定律，有2
002M m G m R R
υ=
，或0
υ= （3） 解（1）（2）（3
）三式得00u =
（4）
，0u = （5） 设小行星绕太阳运动的速度为V ，小行星的质量为M ，
由万有引力定律2
02
66M M V G M R R
=（）
，得0V == （6） 可以看出V>u （7）
由此可见，只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道，使得它到达小行星轨道处时，小行星的前缘也正好运动到该处，则飞行器就能被小行星撞击。可以把小行星看作是相对静止的，飞行器以相对速度V u - 射向小行星，由于小行星的的质量比飞行器的质量大得多，碰撞后，飞行器以同样的速度V u -弹回，即碰撞后，飞行器对小行星的速度的大小
为V u -，方向与小行星的速度的方向相同，故飞行器相对太阳的速度为
12u V V u V u =+-=-
或将（5）（6
）式代入得10u υ= （8） 如果飞行器能从小行星的轨道上直接飞出太阳系，它应具有的最小速度为u 2，则有
2
021026M m mu G R
-=
得20u =
= （9）
可以看出1002u u υ=
>= （10） 飞行器被小行星撞击后具有的速度足以保证它能飞出太阳系．
（2） 为使飞行器能进人椭圆轨道，发动机应使飞行器的速度由0υ增加到u 0，飞行器从发动
机取得的能量
（3） 22222
100000
11112152227214
E mu m m m m υυυυ=
-=-= （11） 若飞行器从其圆周轨道上直接飞出太阳系，飞行器应具有最小速度为u 3，则有
203102M m mu G R
-=
由此得30u =
= （12） 飞行器的速度由0υ增加到u 3，应从发动机获取的能量为
222
2300111222
E mu m m υυ=
-= （13） 所以2
12205140.7112m E
E m υυ== （14）
类型五、天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题：一个是摆脱引力场所需要的能量的问题；一个是能量的来源问题。而能量要么来源于燃料，要么来源于碰撞。
例7．经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研
究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星之间的距离，一般双星系统距离其他星
体很远，可以当作孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该星系统中每个星体的质量M ，两者相距L ，它们正围绕两者连线的中点作圆周运动． （1）试计算该双星系统的运动周期T 计算；
（2）若实验上观测到的运动周期为T 观测，,且T 观测∶T 计算=1N ＞l ），为了解释T 观
测
与T 计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测
不到的暗 物质，作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．
解.（1）双星均绕它们的连线的中点作圆周运动，设运动速度为υ，向心加速度满淀下面的方
程2
2
2/2GM M
L L
υ= ①
υ=
②
周期2/2L T ππυ
=
=计算（）
③ (2）根据观测结果，星体的运动周期
T T
=
<观测计算计算 ④ 这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其他指向中心的作用力，按题意，这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量M'、位于中点处的质点相同，考虑暗物质作用后双星
的速度即为观察到的速度υ观，现有2222
/2(/2)GM MM M G L L L υ'=+观
⑤
υ=
观 ⑥
因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由④式得
1
υ=
观
⑦ 把②⑥式代入⑦式得1
4
N M M -'=
⑧
设所求暗物质的密度为ρ，则有341()324
L N M πρ-= 故3
3(1)2N M
L
ρπ-=
⑨ 三、小试身手
1．质量为m 的人造地球卫星，绕半径为r 0的圆轨道飞行，地球质量为M ，试求
（1）卫星的总机械能．
（2）若卫星受微弱摩擦阻力f (常量)，则将缓慢地沿一螺旋轨道接近地球，因f 很小，
轨道半例径变化非常缓慢，每周旋转可近似按半径为r 的圆轨道处理，但r 将逐周缩短，在r 轨道上旋转一周r 的改变量Δr 是多少．
（3）在r 轨道上旋转一周卫星动能的改变量是多少．
2．一个飞行器被发射到一个围饶太阳的椭圆轨道上，以地球轨道为近日点，而以火星轨道为
远日点，如图6—3所示，已知地球至太阳的距离为R 1，火星至太阳的距离为R 2．（1）求轨道方程的参数λ和ε值；（2）利用开普勒第三定律计算沿此轨道到达火星轨道所需时间．
3．地球m绕太阳M（固定）作椭圆运动，已知轨道半长轴为A，半短轴为B，如图6一4所示，试求地球在椭圆各顶点1、2、3的运
动速度的大小及其曲率半径．
4．要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为r2的预定轨道上绕地球作匀速圆周运动，为此先将卫星发射到半径为r1的近地暂行轨道上绕地球作匀速圆周运动。如图6—5所示，在A 点，实际使卫星速度增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上，当卫星到达转移轨道的远地点B时，再次改变卫星速度，使它进入预定
轨道运行，试求卫星从A点到达B点所需的时间，设
万有引力恒量为G，地球质量为M．
5．宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速圆周运动，火星半径为R，今设飞船在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的α倍，因α量很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会．如图6一6，飞船喷气质量可忽略不计．
（1）试求飞船新轨道的近火星点的高度h
近和远火星点高度h
远
，
（2）设飞船原来的运动速度
υ，试计算新轨道的运行周期T.
6．质量为m 的登月器连接在质量为M （=2m ）的航天飞机上一起绕月球作圆周运动，其轨道
半径是月球半径R m 的3倍，某一时刻，将登月器相对航天飞机向运动反方向射出后，登月器仍沿原方向运动，并沿图6一7所示的椭圆轨道登上月球表面，在月球表面逗留一段时间后，经快速发动沿原椭圆轨道回到脱离点与航天飞机实现对接，试求登月器在月球表面可逗留多长时间？已知月球表面的重力加速度为g m =1.62m/s 2，月球的半径
61.7410R m =?m 。
7．从赤道上的C 点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N ，要求发射所用的能量最少.假定
地球是一质量均匀分布的半径为R 的球体，R=6400km.已知质量为m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E 与椭圆半长轴a 的关系为
2GMm
E a
=-
式中M 为地球质量，G 为引力常量. （1）假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心O 到发射点C 的连线之间的夹角表示).
（2）若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？ （3）试导出2GMm
E a
=-.
参考解答
1．解：（1）因人造地球卫星沿圆形轨道运动，则2200
Mm G m r r υ=，则2
0122K GMm E m r υ==，
则卫星的机械能为000
22GMm GMm GMm
E r r r =
-=- （2） 设卫星旋转一周轨道半径改变量为△r ，则对应机械能改变量为
11222GMm GMm GMm E r r r r r r ?=-
+=-+?+?（）（），211r r
r r r r r ??-≈+?+?=r （）r
2
2GMm E r r
?=? 根据功能原理：W=ΔE ，即222GMm
rf r r π-=?，
34r f r GMm
π?=-，负号表示轨道半径减小。
（3）卫星动能的改变量为：
322114222222K GMm GMm GMm GMm GMm r f
E r rf
r r r r r r GMm
ππ?=-=-≈?=-?-=+?+?（）（）（）r r 2．解：（1）在近日点处，椭圆轨道方程中的θ=0，即1(1)
1R λελε
+=
=+ ①
在远日点处θπ=即2(1)
1R λεε
+=
- ②
均①②式解得：1R λ=，12
12
R R R R ε-=
+
（2）根据开普勒第三定律，2
3T C a
=（常数）地球绕太阳的运行周期T 1（=1年），设飞
行器运行的周期为T ，则3
122
23
11(
)
2R R T T R += 即3122
1
(
)2R R T T R += 因此该飞行器沿此轨道运行到火星轨道所需时间为
3122
1
1()222R R T t R +=
=年。
3．解：对顶点1、2，由机械能守恒定律有
22
121122Mm Mm m G m G
A C A C
υυ-=--+ ① 根据开普勒第二定律有12V A C V A C -=+（）（）
②
②式中C =
由①②式解得1V
2V 由万有引力提供向心力得
2
12
1
m Mm
G A C υρ=-（） ③ 22
2
2
m Mm
G A C υρ=+（）
④ 解得2
12B A
ρρ==
对顶点3，由机械能守恒得
22311122Mm Mm
m G m G
B A C
υυ-=--⑤ 将1υ
代入⑤得3υ=
同样可得2
3A B
ρ=
4．解：以V 表示卫星的速度，当卫星在暂行轨道上经过近地点A 和远地点B 时．V 与r 垂直，
根据并普勒第二定律，有1
2
B A r V V r =
卫星在暂行轨道上总机械能守恒A B E E =
2112A A Mm E mV G r =
-，2212B B Mm E mV G r =-，2212
111122A B mV mV GMm r r -=-（） 解得2
21122A GMr V r r r =
+（），2
12122B GMr V r r r =+（）
卫星的面积速度为11
2
A B A S S S rV ===
椭圆的面积为ab π，其中12
2
r r a +=
，b =
因此周期为ab
T S π==从A 到B 点所需时间t
为2T t =
=5．解：设火星和飞船的质量分别为M 和m ，飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点
或最远点与火星中心的距离为r ，飞船速度为υ． 因飞船喷气前绕圆轨道的面积速度为001
2
r υ。
等于喷气后飞船绕椭圆轨道在P 点的面积速度
01
sin 2
P r υθ（P 点为圆和椭圆的交点）
，由开普勒第二定律，后者又应等于飞船在近、远火星点的面积速度12r υ，故000111
sin 222
P r r r υυθυ==，即00r r υυ=
由机械能守恒定律有
2222000
11()22Mm Mm m G m G r r υυαυ-=+- 飞船沿原圆轨道运动时，有20200
Mm
G m r r υ=
式中0r R H =+，r=R ＋h
上述三个方程消去G 、M 、0υ后可解得关于r 的方程为222
00(1)20r r r r α--+=
上式有两个解，大者为r 远，小者为r 近．
011r R H r αα+=
=++近，011r R H
r αα
+==--远 故近、远火星点距火星表面的高度为
1H R h r R αα-=-=+远远，1H R
h r R αα
+=-=-近近
(2)设椭圆轨道的半长轴为a
2r r a +=远近，即0
2
1r a α
=
- 飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为0
00
2r T πυ=
，设飞船喷气后，绕椭圆轨道运行的周期为
T ，由开普勒第三定律有32
00
T a T r =（）
故3
30220
20
0211r a T T r πυα==-（）（），即32
20211R H T πυα
+=-（）（）。 6．解：设脱离前登月器与航天飞机一起绕月球运动的速度为V 0，有
2
02
33m m m
GM M m M m V R R ?++=（）（）（）
，得0V =
其运动周期00236m R T R V ππ=
=（） ①式中M m 为月球的质量，而月球表面的重力加速度2
m
m m
GM g R =
， 故
66221.62 1.7410 2.8210/m
m m m
GM g R m s R ==??=? 因而①式中0338129.4T s h ≈≈
设登月器与航天飞机脱离后两者的的速度分别为V 1和V 2，由动量守恒可得 012M m mV MV +=+（）V ②
此后两者沿不同的椭圆轨道运动，设登月器运动到月球表面时的速度为1V '，则由机械能守恒得
22111
1232m m m m
GM m GM m mV V R R '-=- ③ 由开普勒第二定律113m m R V R V '= ④
由③④可得，10V =
= ⑤
将⑤代入②得，203(2
V V =-
⑥
设航天飞机运动到离月球最远处与月球的距离为m KR ，速度为2V '，同样可得类似于③④式的方程
22221
1232m m m m
GM m GM m mV mV R R '-=- ⑦ 223m m R V KR V '= ⑧
由⑦⑧式可解得2
02
3
62
5.752212()1K V V =
=
≈--
故航天飞机运动轨道的半长轴为1
(3)2
m m d K R =
+ ⑨ 由题意知，登月器为能沿原轨道返回脱离点与航天飞机实现对接，则它在月球上 可逗留的时间应是(1)M m t n T T ?=+- (0,1,2)n =??? ⑩ 式中M T 与m T 分别为航天飞机与登月器运动周期，由开普勒第三定律，得
332203()() 1.7636m M m d T K T R +==≈ 3322
022()()0.5433m m m T R T R ==≈ 01.76M T T ≈，00.54m T T ≈
将两式代入⑩式，得
[]0(1) 1.760.54(1.76 1.22)9.4t n T n h ?=+?-=+? (0,1,2)n =??? 上式即为登月器在月球表面可逗留的时间，最短时间为11.5 h.
7．解：（1）这是一个大尺度运动，导弹发射后，在地球
引力作用下将沿椭圆轨道运动.如果导弹能打到N 点，
则此椭圆一定位于过地心O 、北极点N 和赤道上的
发射点C 组成的平面(此平面是C 点所在的子午面)内，
因此导弹的发射速度(初速度v)必须也在此平面内，
地心O 是椭圆的一个焦点.根据对称性，注意到椭圆上的C 、N 两点到焦点O 的距离相等，故所考察椭圆的长轴是过O 点垂直CN 的直线，即图上的直线AB ，椭圆的另一焦点必在AB 上.已知质量为m 的物体在质量为M 的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球
构成的系统的能量E(无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴a 的关系为2GMm
E a
=- (1)
要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴a 最短.根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两
焦点到椭圆上任一点的距离之和为2a ，现C 点到一个焦点O 的距离是定值，等于地球的半径R ，只要位于长轴上的另一焦点到C 的距离最小，该椭圆的半长轴就最小.显然，当另一焦点位于C 到AB 的垂线的垂足处时，C 到该焦点的距离必最小.由几何关系可知
22
a R R =+
(2) 设发射时导弹的速度为v ，则有
212GMm
E m R
υ=
-
(3)
解(1)、(2)、(3)式得υ=
(4) 因2Mm
G
mg R
= (5)
比较(4)、(5)两式得υ= (6)
代入有关数据得7.2/km s υ= (7)
速度的方向在C 点与椭圆轨道相切.根据解析几何知识，过椭圆上一点的切线的垂直线，
平分两焦点到该点连线的夹角∠OCP .从图中可看出，速度方向与OC 的夹角
001
904567.52
θ=-
?= (8) （2）由于地球绕通过ON 的轴自转，在赤道上C 点相对地心的速度为2C R
T
πυ=
(9) 式中R 是地球的半径，T 为地球自转的周期，T=24×3600s=86400s ，故
0.46/C km s υ=(10)
C 点速度的方向垂直于子午面(图中纸面).位于赤道上C 点的导弹发射前也有与子午面垂直
的速度C υ，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足(7)、(8)两式的要求，导弹相对于地面(C 点)的发射速度应有一大小等于C υ、方向与C υ相反的分速度，以使导弹在此方向相对于地心的速度为零，导弹的速度的大小为
υ'=(11) 代入有关数据得7.4/km s υ'= (12)
它在赤道面内的分速度与C υ相反，它在子午面内的分速度满足(7)、(8)两式.
（3）质量为m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律，故对
于近地点和远地点有下列关系式
22
1212
1122GMm GMm m m r r υυ-=- (13)
112211
22
r r υυ= (14) 式中1υ、2υ分别为物体在远地点和近地点的速度，r 1、r 2为远地点和近地点到地心的距
离.将(14)式中的1υ代入(13)式，经整理得
2222212112
1(1)()2r GMm m r r r r r υ-=- (15)
注意到r 1+r 2=2a (16)
得
2
122
122r GMm m a r υ= (17)
万有引力和天体运动 一、知识点击 1．开普勒定律 第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。太阳是在这些椭圆的一个焦点上。 第二定律（面积定律）：对每个行星来说，太阳和行星的连线（叫矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。“面积速度”： 1 sin 2 S r t υθ?=?（θ为矢径r 与速度υ的夹角） 第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值 相等。即：2 3T a =常量． 2．万有引力定律 ⑴万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的．任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比． 2 Mm F G r = ， 1122 6.6710/G N m kg -=??，称为引力常量． ⑵重力加速度的基本计算方法 设M 为地球的质量，g 为地球表面的重力加速度． 在地球表面附近（h R << ）处：2Mm G mg R =，2 2 GM g R ==9.8m/s 在地球上空距地心r=R+h 处：2r M g G r =， 222()r g R R g r R h ==+ 在地球内部跟离地心r 处：3 2244 33 r r r M g G G G r r r πρπρ===，r g r g R = ， r r g g R = 3．行星运动的能量 ⑴行星的动能 当一颗质量为m 的行星以速度υ 绕着质量为M 的恒星做平径为r 的圆周运动： 2122K Mm E m G r υ= = ，式中υ=
⑵行星的势能 对质量分别为M 和m 的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点，当m 与M 相距 r 时，其体系的引力势能：P Mm E G r =- ⑶行星的机械能：2122K P Mm Mm E E E m G G r r υ=+=-=- 4．宇宙速度和引力场 ⑴宇宙速度（相对地球） 第一宇宙速度：环绕地球运动的速度（环绕速度）． 第二宇宙速度：人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度（脱离速度）． 第三宇宙速度：使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度（逃逸速度）． ⑵引力场、引力半径与宇宙半径． 对于任何一个质量为M ，半径为r 的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征 速度．如果第二宇宙速度超过光速，即c < 22GM r c < 在这种物体上，即使发射光也不能克服引力作用，最终一定要落回此物体上来，这就是牛顿理论的结论，近代理论有类似的结论，这种根本发不了光的物体，被称为黑洞，这个临界的r 值被称为引力半径，记为2 2g GM r c = 用地球质量代入，得到r g ≈0.9 cm ，设想地球全部质量缩小到1 cm 以下的小球内，那么外界就得不到这个地球的任何光信息． 如果物质均匀分布于一个半径为r 的球体内，密度为ρ，则总质量为343 M r πρ= 又假设半径r 正好是引力半径，那么32 4 23g g G r r c πρ?=，得1223()8g c r G πρ= 此式表示所设环境中光不可能发射到超出r g 的范围，联想起宇宙环境的质量密度平均值为10-29g/cm 3，这等于说，我们不可能把光发射到1028cm 以外的空洞，这个尺度称为宇宙半径． 二、方法演练 类型一、天体运动中一类应用开普勒定律的问题，解这类问题时一定要注意运动的轨道、面积、周期，但三者之间也是有关联的，正因为如此，解题时要特别注意“面积速度”。 例1．要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日运动周期，以便发射一年 后又将与地球相遇而发回探测资料。在地球发射这一艘飞船时，应使其具有多大的绕日
万有引力与天体运动 一、开普勒三定律 1．开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个__________上． 2．开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的__________相等． 3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的__________的三次方跟__________的二次方的比值都相等． 二、万有引力定律 1．内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成________，跟它们的距离的二次方成________． 2．公式：________________ (其中引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/ kg 2)． 3．适用条件：公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，均匀的球体视为质点时，r 是两球心间的距离． 【对点检测】 一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，该星球的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的( ) A ．1 4 B ．1 2 C ．2倍 D ．4倍 三、天体运动问题的分析 1．运动学分析：将天体或卫星的运动看成_________________运动．
2．动力学分析：(1)万有引力提供__________，即F 向＝G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2 r ＝m ? ??? ?2πT 2r .(2)在星球表面附近物体所受万有引力近似等于__________，即G Mm r 2＝mg (g 为星球表面的重力加速度)． 考点一 万有引力的计算和应用 1．万有引力的特点：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向沿两物体的连线且相反，分别作用在两个物体上，其作用效果一般不同． 2．万有引力的一般应用： 万有引力的一般应用问题主要涉及万有引力的基本计算、天体质量和密度的计算等．在这类问题的分析中应注意：(1)万有引力公式F ＝G m 1m 2 r 2中的r 应为两物体球心间距，如果某一物体内部存在球形空腔，则宜采取“割补法”分析；(2)万有引力提供向心力情景下的天体运动，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G m 1m 2 r 2＝m 1a ，且a ＝ω2r ＝v 2r ＝? ????2πT 2r ；(3)根据万有引力等于重力，得G Mm R 2＝mg ，GM ＝gR 2(黄金代换公式)，利用黄 金代换公式进行天体质量和天体重力加速度之间的代换． 例 1 [2014·北京卷]万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性． (1)用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M ，自转周期为T ，引力常量为G .将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F 0. ①若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧测力计读数为F 1，求比值F 1 F 0 的表达式，并就h ＝1.0%R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)； ②若在赤道地面称量，弹簧测力计读数为F 2，求比值F 2 F 0 的表达式．
专题5 万有引力定律 1.（15江苏卷）过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径为 1 20 ，该中心恒星与太阳的质量比约为 A ． 1 10 B ．1 C ．5 D ．10 答案：B 解析：根据2224T r m r GMm π?=，得2 3 24GT r M π=， 所以 14 365201)()(23251351=?=?=）（）（地地日恒T T r r M M . 2.（15北京卷）假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么 A.地球公转周期大于火星的公转周期 B ．地球公转的线速度小于火星公转的线速度 C ．地球公转的加速度小于火星公转的加速度 D ．地球公转的角速度大于火星公转的角速度 答案：D 解析：根据万有引力公式与圆周运动公式结合解题.再由地球环绕太阳的公转半径小于火星环绕太阳的公转半径，利用口诀“高轨、低速、大周期”能够非常快的判断出，地球的轨道 “低”，因此线速度大、周期小、角速度大.最后利用万有引力公式a=2 R GM ,得出地球的 加速度大. 因此为D 选项. 3.（15福建卷）如图，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2, 线速度大小分别为v 1 、 v 2.则 （ ） 12. v A v = 12B.v v = 21221C. ()v r v r = 21122 C.()v r v r =
精心整理 天体运动总结 1. 开普勒三定律 1.1所有绕太阳运动的行星轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上（后简化为所有轨道都是圆，太阳在圆心上），注意：第一定律只是描述了一个图像，并没有需要计算的东西，而且太阳究竟在哪个焦点上还得看第二定律 1.2对于某一颗行星来说，它的扫面速度是恒定的。这句话也可以说成是：离太阳越近，速度越大。这是判断近日点远日点的根据。 第二定律有个计算是研究近日点远日点速度与到太阳距离关系的。 ab 2.m 1的错误，将会直接导致后面计算错误。 C.万有引力的方向肯定在两物体之间的连线上而指向对方 D.甲对乙的引力和乙对甲的引力是一对作用力反作用力 2.2万有引力的规律 2.2.1从公式上来看，当两个物体质量一定时，万有引力随着距离的增大而减小，并且 和距离的“平方”成反比。所以一定要养成这样的意识，距离是原来n 倍，力就 变为原来的n 2分之一倍，或者，力变为原来的n 分之一倍，倍。这样会缩短做题时间，一般做题的时候不要在这方面浪费时间。 2.2.2地球对地球表面的物体都有吸引力，这个力就表现在重力上，但要清楚，重力只
是万有引力的一个分力。可以这么想：万有引力首先得提供物体由于随地球自转 而所需的向心力，剩下来的那部分就是重力。这样就需要注意，向心力指向自转 轴，所以重力就不能指向地心了。又由于这个向心力很小，所以重力很接近万有 引力。当然，地球不同纬度所需向心力是不同的，赤道所需向心力最大，两极点 不需要向心力，所以赤道表面的重力加速度最小，两极点重力加速度最大。 2.2.3一个物体受到另一个物体的吸引力和第三个物体无关，所以太空中一个物体所受 吸引力应为所有其他物体对它的吸引力的矢量和，只不过我们现在所考虑的都是 吸引力最大的那个力（其他的引力比起这个引力小的不是一点半点）。不过也有例 外情况，最常见的就是在地球和月球的连线上，肯定会有那么一个点，使得地球 和月球对这一点上的物体的吸引力大小相等方向相反。 3.天体运动 参阅八大行星的公转周期。 3.4关于开普勒第三定律 上面三个公式推导过程都是用了万有引力提供向心力，从 2 2 2 Mm G m r r T π ?? = ? ?? 可知： 3 22 4 r GM Tπ =，只要中心天体质量M一样，那么轨道半径的三次方和周期平方只比就 是固定值，这也就是为什么第三定律在应用时必须绕同一中心天体。 其实我们可以推导出这样的定律： 对于所有绕同一中心天体运动的行星来说，轨道半径的三次方与角速度的平方的乘积是固定值
万有引力 一、选择题 1、（上海崇明县期终考试）我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T 。S 1到C 点的距离为r 1，，S 1和S 2的距离为r ，已知引力常量为G 。由此可求出S 2的质量为（ D ） （A ）212)(4GT r r r -π ； (B) 2 314GT r π （C ） 23 4GT r π ； （D ）2124GT r r π 2、（上海长宁区期终考试）我国神舟六号载人飞船圆满完成太空旅程，凯旋而归．飞船的升空和返回特别令人关注，观察飞船运行环节的图片，下列正确的说法是 ［ BD ］ A ．飞船抛助推器，使箭、船分离，其作用是让 飞船获得平衡． B ．飞船的变轨发动机点火工作，使得飞船由椭 圆轨道变为圆轨道． C ．飞船与整流罩分离后打开帆板，其作用是让 飞船飞得慢一些． D ．飞船返回时要转向180 o ，让推进舱在前，返 回舱在后，其作用是减速变轨． 3、（上海黄浦区期终考试）神舟六号载人飞船2005年10月12日升空，在太空环绕地球飞行77圈后于10月17日顺利返回，这标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶。假定正常运行的神舟六号飞船和通信卫星（同步卫星）做的都是匀速圆周运动。下列说法正确的是 …………（ C ） Ａ．神舟六号飞船的线速度比通信卫星的线速度小 Ｂ．神舟六号飞船的角速度比通信卫星的角速度小 Ｃ．神舟六号飞船的运行周期比通信卫星的运行周期小 Ｄ．神舟六号飞船的向心加速度比通信卫星的向心加速度小 4、（上海浦东新区期终考试）2005年10月12日9时“神舟六号”载人飞船发射升空，进入预定轨道后绕地球自西向东作匀速圆周运动，每90min 转一圈。航天员费俊龙、聂海胜在轨道舱作了许多科学实验，10月17日凌晨4时33分返回舱成功着陆。着地前1.5m 返回舱底座发动机开始向下喷气，返回舱垂直着地，“神舟六号”航天实验圆满完成。关于“神舟六号”下列说法正确的是（ ABC ）。 A ．航天员在24h 内可以见到日落日出的次数应为16次 B ．载人飞船的轨道高度小于地球同步卫星的轨道高度 C ．载人飞船绕地球作匀速圆周运动的速度略小于第一宇宙速度7.9km/s D ．在着地前1.5m 内宇航员处于失重状态 5、（上海青浦区期终考试）随着“神舟6号”的发射成功，可以预见，随着航天员在轨道
第三节 万有引力?天体运动 随堂演练巩固 1.(2010安徽高考,17)为了对火星及其周围的空间环境进行探测,我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器”萤火一号”.假设探测器在离火星表面高度分别为1h 和2h 的圆轨道上运动时,周期分别为1T 和2T .火星可视为质量分布均匀的球体,且忽略火星的自转影响,万有引力常量为G.仅利用以上数据,可以计算出( ) A.火星的密度和火星表面的重力加速度 B.火星的质量和火星对”萤火一号”的引力 C.火星的半径和”萤火一号”的质量 D.火星表面的重力加速度和火星对”萤火一号”的引力 2.(2010江苏高考,6)2009年5月,航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后,在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ,B 为轨道Ⅱ上的一点,如图所示,关于航天飞机的运动,下列说法中正确的有( ) A.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度 B.在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D.在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度 3.(2011宁夏银川二中月考,2)地球同步卫星是指相对地面静止不动的人造地球卫星( ) A.它只能在赤道正上方,且离地心的距离是一定的 B.它可以在地面上任一点的正上方,且离地心的距离可按需要选择不同的值 C.它可以在地面上任一点的正上方,但离地心的距离是一定的 D.它只能在赤道的正上方,但离地心的距离可按需要选择不同的值 4.(人教版必修2,P 44习题4改编)金星的半径是地球的倍,质量是地球的倍,则关于金星表面的自由落体加速度和第一宇宙速度,下列数据正确的是( ) m/2 7, km/s m/2s , km/s m/2s , km/s m/2s ,46 km/s 5.我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体1S 和2S 构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为1T S ,到O 点的距离为11r S ,和2S 间的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出 2S 的质量为( ) A. 2212 4r (r r ) GT π- B. 2312 4r GT π
训练5 万有引力定律及其应用 选择题(本大题共10小题，每小题10分，共100分．第1～5题只有一项符合题目要求，第6～10题有多项符合题目要求．) 1.(2016· 全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 解析：本题考查开普勒和牛顿在行星运动方面的主要成就，意在考查学生对相关物理学史的理解和识记能力． 开普勒在第谷的观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，B 项正确；牛顿在开普勒总结的行星运动规律的基础上发现了万有引力定律，找出了行星运动的原因，A 、C 、D 项错． 答案：B 2．宇航员站在星球表面上从某高度处沿水平方向抛出一小球，经过时间t 小球落回星球表面，测得抛出点和落地点之间的距离为L ，若抛出时的速度增大为原来的2倍，则抛出点到落地点之间的距离为3L .已知两落地点在同一水平面上，该星球半径为R ，引力常量为G ，则该星球的质量为( ) A.4LR 23Gt 2 B.3LR 2 2Gt 2 C.2LR 23Gt 2 D.3LR 2 4Gt 2 解析：据题意，由平抛运动规律，可得抛出点距离星球表面高度为h ＝12gt 2，若 抛出时的速度增大为原来的2倍，则水平位移增大为原来的2倍，x 2＋h 2＝L 2，(2x )2 ＋h 2＝(3L )2，而g ＝GM R 2，联立解得M ＝2LR 23Gt 2 ，故选项C 正确． 答案：C 3.(2016· 北京卷)如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E 运行，在P 点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是( ) A ．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的速度都相同 B ．不论在轨道1还是轨道2运动，卫星在P 点的加速度都相同 C ．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度 D ．卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量 解析：本题考查万有引力定律、牛顿第二定律和动量的定义，意在考查学生的理解能力和分析能力． 卫星由轨道1进入轨道2，需在P 点加速做离心运动，故卫星在轨道2运行经过P 点时的速度较大，A 项错误；由G Mm r 2＝ma 可知，不论在轨道1还是在轨道2运行， 卫星在P 点的加速度都相同，在轨道1运行时，P 点在不同位置有不同的加速度，B
万有引力定律与天体运动知识总结 一、开普勒行星运动定律 1） 轨道定律：近圆，太阳处在圆心（焦点）上 2） 面积定律：对任意一个行星来说， 它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 K= k 取决于中心天体 3） 周期定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值相等。 k= ，[r 为轨道半径] 二、万有引力定律 F 引=2r Mm G G=6.67×10-11Nm 2/kg 2 卡文迪许扭秤 测量出来 三、重力加速度 1. 星体表面：F 引≈G =mg 所以：g = GM/ R 2（R 星体体积半径） 2. 距离星体某高度处：F ’引 ≈G’ =mg ’ 3. 其它星体与地球 重力加速度的比值 四、星体（行星 卫星等）匀速圆周运动 状态描述 1. 假设星体轨道近似为圆. 2. 万有引力F 引提供星体圆周运动的向心力Fn F n =r m v 2 F n=22T mr 4π F n = m ω2r Fn=F 引 r m v 2=2r Mm G =2 2T mr 4π = m ω2r r GM v =，r 越大，ν越小； 3r GM =ω，r 越大，ω越小 GM r T 3 24π=，r 越大，T 越大。 23 T a 23T r
3. 计算中心星体质量M 1) 根据 g 求天体质量 mg= M= M 为地球质量，R 为物体到地心的距离 2 ）根据环绕星体的圆周运动状态量， F 引=Fn 2r Mm G =22T mr 4π M= （M 为中心天体质量，m 为行星（绕行天体）质量 4. 根据环绕星体的圆周运动状态量(已知绕行天体周期T ，环绕半径≈星体半径)， 计算中心星体密度ρ ρ=v m =323R GT r 3π [v=3r 34π] 若r≈R ，则ρ=2GT 3π 5. 计算卫星最低发射速度 （第一宇宙速度VI = （近地）= (r 为地球半径 黄金代换公式) 第一宇宙速度（环绕速度）：s km v /9.7=； 第二宇宙速度（脱离速度，飞出地月系）：s km v /2.11=； 第三宇宙速度（逃逸速度，飞出太阳系）：s km v /7.16=。 6. 人造卫星上失重的现象 分析卫星上某物体受合力及圆周运动的状态 F 万 – N = m v 2／r 物体视重 N= F 万 - m v 2／r ( r=R 地 + h ) ∵F 万 = m v 2／r ∴ N=0 即卫星在围绕地球做圆周运动时，它上面物体处于失重状态 7. 同步卫星升轨，全球通信 8. 其它功能人造卫星： 1）全球定位系统 GPS ，由24颗卫星组成 分布在6个轨道平面 2）人造月球卫星 G 2 23 2GT r 4πr GM
步步高考前三个月练习5万有引力定律及应用 1、万有引力定律的发明实现了物理学史上的第一次大统一：“地上力学”和“天上力学”的统一、它说明天体运动和地面上物体的运动遵循相同规律、牛顿在发明万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道运动假想成圆周运动；另外，还应用到了其它的规律和结论，其中有 () A 、开普勒的研究成果 B 、牛顿第二定律 C 、牛顿第三定律 D 、卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常量 2、我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h 的轨道上做匀速圆周运动，运行的周期为T .假设以R 表示月球的半径，那么 () A 、卫星运行时的向心加速度为4π2R T 2 B 、物体在月球表面自由下落的加速度为4π2R T 2 C 、卫星运行时的线速度为2πR T D 、月球的第一宇宙速度为2π R R ＋h 3TR 3、美国国家科学基金会2017年9月29日宣布，天文学家发明一颗迄今为止与地球最类似的行星，该行星绕太阳系外的红矮星Gliese581做匀速圆周运动、这颗行星距离地球约20光年，公转周期约为37天，它的半径大约是地球的1.9倍，表面重力加速度与地球相近、以下说法正确的选项是 () A 、该行星的公转角速度比地球大 B 、该行星的质量约为地球质量的3.61倍 C 、该行星第一宇宙速度为7.9km/s D 、要在地球上发射航天器到达该星球，发射速度只需达到地球的第二宇宙速度即可 4、美国宇航局2017年12月5日宣布，他们发明了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居 住 的行星——“开普勒—22b ”，其直径约为地球的2.4倍、至今其确切质量和表面成分仍不清晰，假设该行星的密度和地球相当，依照以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于 () A 、3.3×103m/s B 、7.9×103m/s C 、1.2×104m/s D 、1.9×104m/s 5、(2018·山东理综·15)2017年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接、任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接、变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对 应的轨道半径分别为R 1、R 2，线速度大小分别为v 1、v 2.那么v 1 v 2等于 () A.R 31R 32 B.R 2R 1 C.R 22 R 21 D.R 2R 1 6、(2018·福建理综·16)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .引力常量为G ，那么这颗行星的质量为 () A.mv 2 GN B.mv 4GN C.Nv 2Gm D.Nv 4Gm
万有引力与天体运动 万有引力与航天综合 一、开普勒行星运动规律 1．所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上． 2．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 3．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都 相等．表达式：23 T R ＝k (R 表示椭圆的半长轴，T 表示公转周期) k 是一个与行星本身无关的量，而所有行星都绕太阳运转，则k 仅与太阳这个中心体有关． 二、万有引力定律 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比．跟它们的距离的二次方成反比． F ＝221r m m G ,万有引力常量：G ＝6.67×10－ 11N·m 2/kg 2 三、天体圆运动问题分析及公式推导 1．我们把环绕天体绕中心天体的运动看作匀速圆周运动。 ①线速度v s t = ,角速度ω=t θ ，它们之间的关系是：T r r v πω2== ②向心加速度大小的表达式是2v a r =，或2 a r ω= ③周期T=2r v π,或T= 2πω. ④向心力的作用只改变速度的方向，不改变速度的大小。根据牛顿第二定律得 2 v F ma m r ==，2F ma m r ω==. 2.天体圆运动问题的分析方法：对于那些在万有引力作用下，围绕某中心天体(质量为M )做圆运动的天体(质量为m )来说，其圆运动问题的分析应紧紧把握住“引力充当向心力”这一要点 来进行．即2r Mm G ＝ma ．其中的向心加速度a n ＝r v 2＝2 r ω＝r T 2)2(π 至于a n 应取何种表达形式，应依据具体问题来确定． 环绕天体绕中心天 体作匀速圆周运动 ma 2 Mm G a ＝ 2 r GM ． v ＝r GM ω＝ 3r GM Ｔ＝２ π GM r 3 由R v m mg 2 = 得gR v = 2GM
万有引力与天体运动讲义 ［本章要点综述］ 1.开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量。 3 2r k T = （K 值只与中心天体的质量有关） 2.万有引力定律： 12 2m r F G m =? 万 （1）赤道上万有引力：F mg F mg ma =+=+引向向 （g a 向和是两个不同的物理量，） （2）两极上的万有引力：F mg =引 3.忽略地球自转，地球上的物体受到的重力等于万有引力。 2 2 GMm mg GM gR R =?=(黄金代换) 4.距离地球表面高为h 的重力加速度： () ()() 2 2 2 GMm GM mg GM g R h g R h R h '''=?=+?= ++ 5.卫星绕地球做匀速圆周运动：万有引力提供向心力 2 G M m F F r ==万向 (1) 22 GMm GM ma a r r =?= （轨道处的向心加速度a 等于轨道处的重力加速度g 轨） (2)22Mm v G m r r =得 ∴r 越大，v 22 GMm v GM m v r r r =?= (3)由22Mm G m r r ω=得 ∴r 越大，ω 2 23 GMm GM m r r r ωω=?= (4)由 2224Mm G m r r T π=得 ∴r 越大，T 2 23224GMm r m r T r T GM ππ?? =?= ??? 6.中心天体质量的计算： 方法1：2 2gR GM gR M G =?= （已知R 和g ） 方法2：2GM v r v M r G =?= （已知卫星的V 与r ） 方法3：233GM r M r G ωω=?= （已知卫星的ω与r ）
万 有 引 力 一．开普勒三定律 1.开普勒第一定律:所有行星绕太阳运行的轨道都是_______,太阳处在所有椭圆的_______上. 2.开普勒第二定律:对于每一个行星,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的_______相等. 如图1所示:设行星在A 处的速度为V A ,距太阳的距离为r A ,在B 处的速度为V B , 距太阳的距离为r B ,则由____________________得_________。 3.开普勒第三定律:所有行星的半长轴的_____次方跟公转周期的______的比值都相等。 即_____________. 注意:对同一星系中的所有行星,k 值____等;对不同星系间的两颗行星,k 值____等. 比如: 对太阳系中的所有行星,有:R 地3 / T 地2 = R 金3 / T 金2 = R 木3 / T 木2 = R 水3 / T 水2 =……= k 1; 对地球系中的所有行星,有:R 月3 / T 月2 = R 人造卫星3 / T 人造卫星2 = ……= k 2；注意这里k 1_____k 2. 例1:已知某地球卫星的运行轨道为椭圆,近地点与远地点的距离之比为1:9,则对应的速度之比为______. 例2:把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周。由火星和地球绕太阳的周期之比可求得( ) A ．火星和地球的质量之比 B.火星和太阳的质量之比 C. 火星和地球到太阳的距离之比 D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比 二.万有引力定律及应用 1.万有引力定律: 表达式:F 引=_________,其中引力常量G =_____________.由英国物理学家________测出,适用条件:两物体的大小与两者之间的距离相比可以忽略不计. 常见规律:当两物间的距离增大为原来的2倍时,其作用力将变为原来的_____倍;当两物间的作用力变为原来的2倍时,其距离应变为原来的______倍. 2.万有引力定律在地(星)球表面的应用:对地球表面上静止的物体m: 由mg = ________,有: (1)地(星)球表面物体的重力加速度:g = __ _; (2)地(星)球的质量:M =___________;据此人们称卡文迪许为“ 能称出地球质量的人”. (3)一个重要的关系式:GM = gR 2 . 3.重力的产生:考虑到地球的自转影响,地球表面物体的重力实际上并不等于万有引力,而只是万有引力的一个分力(另一个分力为物体绕地球转动所需的向心力),如图2-1所示,由此可见:同一物体在赤道处所受的重力____(大、小)于在两极处所受的重力. 例1:地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ，若高空中某处的重力加速度为g/2，则该 处 距地球表面的高度为________. 例2:A 、B 两颗行星,质量之比为M A :M B =p,半径之比R A :R B =q,则两行星表面的重力加速度之比为______. 例3: (08年东城三模)2007年10月29日18时01分，嫦娥一号卫星成功实施入轨后的第 三 次变轨。30日17时40分，嫦娥一号卫星到达48小时周期轨道远地点，距地面高度12万公里，创下中国航天器飞行测控新纪录。已知地球半径6400公里，则在距地面12万公里高处，嫦娥一号卫星所受地球的万有引力与绕地表面飞行时的万有引力大小之比最接近（ ） A ．1∶20 B ．1∶200 C ．1∶400 D ．1∶600 例4: (09年西城一模)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落 回 原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R 星:R 地 = 1 : 4，地球表面重力加速度为g ，设该星球 表面附近的重力加速度为g ′，空气阻力不计。则( ) A ．g ′: g = 5 : 1 B ．g ′: g = 5 : 2 C ．M 星 : M 地 = 1 : 20 D ．M 星 : M 地 = 1 : 80 例5:设地球的质量为M ，赤道半径为R ，自转周期为T.则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为(式中G 为万有引力常量)( ) A ．GMm/R 2 B ．22222)/4()/(T mR R GMm π+ C ．GmM/R 2-4π2mR/T 2 D ．GmM/R 2+4π2mR/T 2 例6:（08年宣武二模）某一颗星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，若从地球表面高h 处平抛一物体，水平射程为60m ，如果在该星球上，从相同高度以相同的初速度平抛同一物体，那么其水平射程应为（ ） A ．10m B ．15m C ．90m D ．360m 例7:( 08年崇文二模)一火箭从地面由静止开始以5m/s 2的加速度匀加速上升，火箭中有一质量为1.6kg 的科考仪器。在火箭上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为9N ，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径R 的（地球表面处重力加速度g =10m/s 2）( ) 图 1-1 图 2-1 图 2-2
万有引力和天体运动 卫星运行规律 1 【浙江省2018年下半年选考】20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变量为Δv，和飞船受到的推力F(其它星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是（） 【答案】D 2 在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上 端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。 1
2 已知星球M 的半径是星球N 的3倍，则（ ） A ．M 与N 的密度相等 B ．Q 的质量是P 的3倍 C ．Q 下落过程中的最大动能是P 的4倍 D ．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4倍 【答案】AC 【解析】由a －x 图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：mg －kx ＝ma ，变形式为：k a g x m =- ，该图象的斜率为k m -，纵轴截距为重力加速度g 。根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比0033 1 M N a g g a ==；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有 引力相等，即2Mm G m g R ''=，即该星球的质量2 gR M G = ，又因为34π3M R ρ=，联立得34πg RG ρ=，故两星球的密度之比1 1 N M M N N M R g g R ρρ=?=，故A 正确；当 物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力 平衡，mg ＝kx ，即kx m g = ，结合a －x 图象可知，当物体P 和物体Q 分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比001 22 P Q x x x x ==，故物体P 和物体Q 的质量之比 1 6 N P P Q Q M g m x m x g =?=，故B 错误；物体P 和物体Q 分别处于各自的平衡位置（a ＝0）时，它们的动能最大，根据v 2＝2ax ，结合a －x 图象面 积的物理意义可知，物体P 的最大速度满足2 00001 2332 P v a x a x =???=，物体Q 的最大速度满足2002Q v a x =，则两物体的最大动能之2k 2k 4 1 Q Q Q P P P E m v E m v = = ，C 正确；物体P 和物体Q 分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a ＝0）可知，物体P 和Q 振动的振幅A 分别为x 0和2x 0，即物体P 所在弹簧最大压缩量为2x 0，物体Q 所在弹簧最大压缩量为4x 0，则Q 下落过程中，弹簧最大压缩量时P 物体最大压缩量的2倍，D 错误。 3 (2019?全国II 卷?14) 2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描F 随h 变化关系的图象是( )
京山中学高一年级物理期末复习（5） ——万有引力定律天体运动 一、选择题 1．(·高考浙江理综)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是() A．太阳引力远大于月球引力 B．太阳引力与月球引力相差不大 C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异 2．(·高考广东理基)关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是() A．第一宇宙速度又叫环绕速度 B．第一宇宙速度又叫脱离速度 C．第一宇宙速度跟地球的质量无关 D．第一宇宙速度跟地球的半径无关 3．(·高考安徽理综)年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞．这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是() A．甲的运行周期一定比乙的长 B．甲距地面的高度一定比乙的高 C．甲的向心力一定比乙的小 D．甲的加速度一定比乙的大 4．(·高考广东卷)发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道．发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，这样选址的优点是，在赤道附近() A．地球的引力较大 B．地球自转线速度较大 C．重力加速度较大 D．地球自转角速度较大 5．(·高考全国Ⅰ)天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为() A．1.8×103kg/m3B．5.6×103kg/m3 C．1.1×104kg/m3D．2.9×104kg/m3 6．(·高考重庆理综)据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为200km和100km，运行速率分别为v1和v2.那么，v1和v2的比值为(月球半径取1700km) () A.19 18 B. 19 18 C. 18 19 D. 18 19 7．(·高考山东理综)年9月25日至28日，我国成功实施了“神舟七号”载人
第三节 万有引力天体运动 随堂演练巩固 1.(2010安徽高考,17)为了对火星及其周围的空间环境进行探测,我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器”萤火一号”.假设探测器在离火星表面高度分别为1h 和2h 的圆轨道上运动时,周期分别为1T 和2T .火星可视为质量分布均匀的球体,且忽略火星的自转影响,万有引力常量为G.仅利用以上数据,可以计算出( ) A.火星的密度和火星表面的重力加速度 B.火星的质量和火星对”萤火一号”的引力 C.火星的半径和”萤火一号”的质量 D.火星表面的重力加速度和火星对”萤火一号”的引力 2.(2010江苏高考,6)2009年5月,航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后,在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ,B 为轨道Ⅱ上的一点,如图所示,关于航天飞机的运动,下列说法中正确的有( ) A.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度 B.在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D.在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度 3.(2011宁夏银川二中月考,2)地球同步卫星是指相对地面静止不动的人造地球卫星( ) A.它只能在赤道正上方,且离地心的距离是一定的 B.它可以在地面上任一点的正上方,且离地心的距离可按需要选择不同的值 C.它可以在地面上任一点的正上方,但离地心的距离是一定的 D.它只能在赤道的正上方,但离地心的距离可按需要选择不同的值 4.(人教版必修2,P 44习题4改编)金星的半径是地球的倍,质量是地球的倍,则关于金星表面的自由落体加速度和第一宇宙速度,下列数据正确的是( ) m/2 7, km/s m/2s , km/s m/2 s , km/s m/2s ,46 km/s 5.我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体1S 和2S 构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为1T S ,到O 点的距离为11r S ,和2S 间的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出2S 的质量为( ) A. 2212 4r (r r ) GT π- B.2312 4r GT π C.23 24r GT π D. 2212 4r r GT π
天体运动总结 1. 开普勒三定律 所有绕太阳运动的行星轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上（后简化为所有轨道都是圆，太阳在圆心上），注意：第一定律只是描述了一个图像，并没有需要计算的东西，而且太阳究竟在哪个焦点上还得看第二定律 对于某一颗行星来说，它的扫面速度是恒定的。这句话也可以说成是：离太阳越近，速度越大。这是判断近日点远日点的根据。 第二定律有个计算是研究近日点远日点速度与到太阳距离关系的。 a b 根据扫面速度相同就有这样的关系 a b v a v b = 对于所有绕太阳运动的行星来说，轨道半长轴的三次方与周期的平方的比值都一样 简化之后为：所有绕太阳运动的行星，其轨道半径的三次方与周期的平方的比值都一样 3 2r k T = 这里需要注意的是，这些天体所围绕的“中心天体”必须为同一个天体，这个定律可以在后面的推导中证明。 2. 万有引力 万有引力公式 只要是两个有质量的物体，两者之间必定有万有引力的作用，公式为： 记住：G 为引力常量，是由“卡文迪许”通过“扭秤实验”得来的，其目的就是为了测出地球质量。这里要记住两个和地球有关的常数：质量6×1024kg ，半径6400km 。 m 1，m 2是这两个物体的质量 r 为两个物体质心之间的距离，对于两个质点来说就是之间的距离。而对于形状规则、质量均匀的几何体来说，质心就在几何中心。 关于万有引力公式需要说明几点： A. 万有引力公式是本章的基础，对于一个天体来说，它的运动状态就是由万有引力定律来支配 B. 万有引力公式最常见的错误就是把公式写成12m m F G r =，把r 的平方给丢掉这是一个致命的错误，将会直接导致后面计算错误。 C. 万有引力的方向肯定在两物体之间的连线上而指向对方 D. 甲对乙的引力和乙对甲的引力是一对作用力反作用力 万有引力的规律 从公式上来看，当两个物体质量一定时，万有引力随着距离的增大而减小，并且和距离的“平方”成 反比。所以一定要养成这样的意识，距离是原来n 倍，力就变为原来的n 2分之一倍，或者，力变 为原来的n 分之一倍，这样会缩短做题时间，一般做题的时候不要在这 方面浪费时间。 地球对地球表面的物体都有吸引力，这个力就表现在重力上，但要清楚，重力只是万有引力的一个分 力。可以这么想：万有引力首先得提供物体由于随地球自转而所需的向心力，剩下来的那部分就 是重力。这样就需要注意，向心力指向自转轴，所以重力就不能指向地心了。又由于这个向心力 很小，所以重力很接近万有引力。当然，地球不同纬度所需向心力是不同的，赤道所需向心力最 大，两极点不需要向心力，所以赤道表面的重力加速度最小，两极点重力加速度最大。 一个物体受到另一个物体的吸引力和第三个物体无关，所以太空中一个物体所受吸引力应为所有其他 物体对它的吸引力的矢量和，只不过我们现在所考虑的都是吸引力最大的那个力（其他的引力比 起这个引力小的不是一点半点）。不过也有例外情况，最常见的就是在地球和月球的连线上，肯定 v a v b