苏教版数学高二《圆锥曲线》 精品导学案 苏教

圆锥曲线3．1 椭圆【考点透视】一、考纲指要1．熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．2．考查椭圆的离心率，直线的方程，平面向量的坐标表示，方程思想等数学思想方法和综合解题能力.二、命题落点圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要考查直线方程,平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力.【典例精析】例1：已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值．解析:（1）设椭圆方程为22221(0),(,0)x ya b F c a b +=>>,则直线AB 的方程y x c =-代入22221x y a b+=,化简得22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=． 令1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222212122,a c a c a bx x x x a b a b-+==++． 由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+与a 共线, 得 12123()()0y y x x +++=,又1122,y x c y x c =-=-，12121233(2)()0,2cx x c x x x x ∴+-++=∴+=．即222232a c c a b=+,所以223a b = ，c ∴==，故离心率c e a ==． （2）由（１）知223a b =,所以椭圆22221x y a b+=可化为22233x y b +=设(,)OM x y =,由已知得1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，1212,.x x x y y y λμλμ=+⎧⎪∴⎨=+⎪⎩(,)M x y 在椭圆上,2221212()3()3x x y y b λμλμ∴+++=，即222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++= ① 由（1）知222212331,,222x x c a c b c +===， 222222212121212123,833()()a c ab x xc a bx x y y x x x c x c -∴==+∴+=+--2121222243()3393220.x x x x c cc c c =-++=-+=又222222112233,33x y b x y b +=+=代入①，得221λμ+=．故22μλ+为定值,定值为1 ．例2：如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥． （1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M的距离d 的最小值．解析:（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0） 设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x FP y x AP y x -=+=则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==> （2）直线AP 的方程是.063=+-y xx设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ， 于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+m m m m 解得又椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d ，有,15)29(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d由于.15,29,66取得最小值时当d x x =∴≤≤-例3：已知方向向量为)3,1(=的直线l 过点（32,0-）和椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C满足OM ON ⋅=cot∠MON≠0（O 为原点）.求直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解析:（1）直线:l y =- ①过原点垂直l 的直线方程为x y 33-=， ②解①②得.23=x ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32322=⨯=∴c a∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③ （2）设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k,13612,131222212221+-=⋅+-=+∴k k x x k k x x,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212++=+-⋅-+-+=-++=kkkkkkkxxxxkMN点O到直线MN的距离21|2|kkd+=．,cot634MONONOM∠=⋅||||cos0,OM ON MON⋅∠=≠||.632,634sin||||⋅∴=∴=∠⋅∴∆dMNSMONONOMOMN即).13(6341||6422+=+kkk整理得.33,312±=∴=kk当直线m垂直x轴时，也满足632=∆OMNS.故直线m的方程为,33233+=xy或,33233--=xy或.2-=x经检验上述直线均满足0≠⋅ONOM.所以所求直线方程为,33233+=xy或,33233--=xy或.2-=x【常见误区】解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点. 【基础演练】1．若焦点在x轴上的椭圆1222=+myx的离心率为21，则m= （）A．3B．23C．38D．322．设bababa+=+∈则,62,,22R的最小值是（）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-3．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A．2B．12C．2 D14．点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．31 C ．22 D ．21 5．已知B A ),0,21(-是圆221:()4(2F x y F -+=为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .6．如图所示, 底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30的平面所截， 其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为 ．7． 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是 )0,(1c F -、)0,(2c F ，Q 是椭圆外的动点，满足F ||1=点Ｐ是线段Q F 1与该椭圆的交点，点Ｔ在线段Q F 2满足0||,022≠=⋅TF TF ．（1）设x 为点Ｐ的横坐标，证明 x aca F +=||1； （2）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；（3）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△21MF F 的面积2b S =．若存在，求∠21MF F 的正切值；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .（1）证明：λ＝1－e 2； （2）若43=λ，△PF 1F 2的周长为6，写出椭圆C 的方程； （3）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.9．设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.3．2 双曲线【考点透视】一、考纲指要熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 二、命题落点1．考查了圆锥曲线中双曲线的渐近线方程与准线方程，以及标准方程中a,b,c 之间的关系,两渐近线间的夹角的求法，如例1.2．双曲线的第一、第二定义在解题中的灵活运用,如例2;3．考查等边三角形的性质，焦点三角形公式及离心率公式，灵活运用焦点三角形公式避免了繁琐的运算，突出观察研究能力的考查，如例3.【典例精析】例1：已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º解析:双曲线的右焦点F(c,0)，右准线方程为x=c a 2,一条渐近线方程为y=a b x ，可得点A的坐标（ca 2，c ab），△O AF 的面积S △OAF =21OF│Y A │=21c ab c ⋅=21ab,又题意已知S △OAF =21a 2,所以a=b,两条渐近线间的夹角为900.答案： D 例2：已知双曲线2212yx-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．43B ．53C．3D解析: 设M 到x 轴的距离为h，∵1,a b c ==∴ 又∵222121212012(2)MF MF MF MF c MFMF ⋅=⇒⊥⇒+==，由双曲线定义得22121212||224MF MF MF MF MF MF ⋅-=⇒+-=，再由1212121122MF F MF MF F F h S ⋅∆=⨯=⨯⋅，∴h =答案： C例3：已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+解析:令12(,0),(,0)F c F c -，边MF 1交双曲线于点N ，连结2F N 易知的边长，且点必在轴上，可得的坐标（0）又为正三角形由焦点三角形面积公式121122121290MF F F F C M y M MF F F N MF F NF =\\^\?\oV QV又又c又e=a12121222122222222cot21112222(1)21NF F NF F MF F F NF S b b S S C b b c a a c e Ð====鬃==-\=-\===+V V V Q Q Q答案： D例4.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =.解析:如图所示， PF QF ⊥且PF QF =，2(,0)(,)a ab F c Pc c ,在PFQ ∆中MF =， OF OM -=． ① (PF = ②2,aO F c O M c== ③将②③代入①式化简得：a c e c a=== 答案:【常见误区】1．对双曲线离心率、双曲线渐近线等基本知识考察时, 应想法利用已知曲线构造等式,从而解出,c a 的比值,即双曲线的离心率.这一点考生常不能注意到,致使离心率求解出错,如例3、例4.2．解题过程中,特别是客观题中,应注意双曲线第一第二定义的应用,此问题考生常会忽视,如例1、例2.【基础演练】1．已知双曲线2239xy -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）AB C ．2D ． 42．设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）A ．2±B ．34±C ．21±D ．43±3．平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲，12||||||MF MF -是定值，命题乙：点M 的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 应满足的关系是 （ ）A ．22121e e +=B ．22121e e -=C ．1112221=-e eD ．1112221=+e e5．过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________． 6．以下几个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）7．已知双曲线22125144x y -=的左右焦点分别为12,F F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上求一点P ，使1||PF 是P 到l 的距离d 与2||PF 的等比中项？若能，求出P 的坐标，若不能，说明理由．8．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，l 与双曲线的左、右支的交点分别为,A B ． （1）求证：P 在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．9．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由． （1）渐近线方程为20,20x y x y +=-=，（2）点(5,0)A 到双曲线上动点P3．3 抛物线【考点透视】一、考纲指要掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质． 二、命题落点1．考察抛物线过焦点的性质,如例1;2．抛物线上张直角问题的探究, 考察抛物线上互相垂直的弦的应用，如例2;3．定值及定点问题是解几问题研究的重点内容,此类问题在各类考试中是一个热点，如例3.【典例精析】例1：设1122(,),(,)A x y B x y 两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线， （1）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （2）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围. 解析:（1）∵抛物线22y x=，即22y x=，∴14p =， ∴焦点为1(0,)8F（i ）直线l 的斜率不存在时，显然有12x x+=0;（ii ）直线l 的斜率存在时，设为k ， 截距为b, 即直线l ：y=kx+B ．由已知得：12121212221k bk y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩2212122212122212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩ 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F 所以当且仅当12x x+=0时，直线l 经过抛物线的焦点F（2）设l 在y 轴上截距为b ，即直线l ：y=2x+b ，AB ：12y x m =-+．由2122y x m y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得2420x m x +-=，∴1214x x +=-，且10,32m ∆>>-即， ∴121211222164b m b y y x x ++=⋅+⇒+=-+，∴551916163232b m =+>-=． 所以l 在y 轴上截距的取值范围为9(,)32+∞例2： 在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2x y =满足BO AO ⊥（如图所示）（1）求AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点） 的轨迹方程；（2）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出 最小值；若不存在，请说明理由．解析: （1）∵直线AB 的斜率显然存在， ∴设直线AB 的方程为b kx y +=，),(),,(2211y x B y x A ，依题意得0,,22=--⎩⎨⎧=+=b kx x y xy b kx y 得消去由，①∴k x x =+21，② b x x -=21 ③∵OB OA ⊥，∴02121=+y y x x ，即 0222121=+x x x x ，④由③④得，02=+-b b ，∴)(01舍去或==b b ∴设直线AB 的方程为1+=kx y∴①可化为 012=--kx x ，∴121-=x x ⑤， 设AOB ∆的重心G 为),(y x ，则33021k x x x =++= ⑥ ， 3232)(3022121+=++=++=k x x k y y y ⑦，由⑥⑦得 32)3(2+=x y ，即3232+=x y ，这就是AOB ∆的重心G 的轨迹方程．（2）由弦长公式得2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+= 把②⑤代入上式，得 41||22+⋅+=k k AB ，设点O 到直线AB 的距离为d ，则112+=k d ，∴ 24||212+=⋅⋅=∆k d AB S AOB， ∴ 当0=k ，AOB S ∆有最小值，∴AOB ∆的面积存在最小值，最小值是1 ．例3： M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB ． （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程.解析：（1）设M （y 20,y 0），直线ME 的斜率为k(k>0)， 则直线MF 的斜率为－k ，方程为200().y y k x y -=- ∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消200(1)0x ky y y ky -+-=得，解得20021(1),F F ky ky y x k k--=∴=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)． 所以直线EF 的斜率为定值．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=- 由2002y y x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23,333(1)(1),333M E F M E F y y y y x x x x y y y y y y y y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122().9273y x x =-> 【常见误区】1．运算正确率太低, 这是考生在解解析几何问题中常出现的问题, 即会而不对. 2．抛物线中的焦点坐标与准线方程求解过程中常误求出二倍关系;3．定点与定值问题总体思路不能定位,引入参变量过多,没有求简意识,使问题复杂化.【基础演练】1．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 2．已知双曲线的中心在原点，离心率为3．若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 （ ）A ．632+B ．21C ．21218+D ．213．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．23 B ．23 C ．26 D ．332 4．抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1617 B ．1615 C ．87 D ．05．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 条.6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）. ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形 7．抛物线以y 轴为准线，且过点(,)(0)M a b a ≠，证明：不论M 点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．8. 已知抛物线22(0)y px p =>，过动点(,0)M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同两点,A B ，||2AB p ≤， （1）求a 取值范围；（2）若线段AB 垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB ∆面积的最大值9．已知动圆过定点P(1,0),且与定直线:1l x =-相切,点C 在l 上. （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P,M 相交于A,B 两点.(i)问：△ABC 能否为正三角形？若能,求点C 的坐标；若不能,说明理由； (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点C 的纵坐标的取值范围.3．4直线与圆锥曲线的位置关系【考点透视】一、考纲指要1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题;3．能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题，会运用圆锥曲线的第二定义求焦点弦长；4．体会“设而不求”、“方程思想”和“待定系数”等方法.二、命题落点1．考查直线与椭圆相切、直线方程、直线到直线的距离等知识，如例1;2．考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系.处理直线与曲线的位置关系的一般方法是方程思想:由直线方程与曲线方程联立方程组,通过判别式△确定解的个数(交点个数),而直线与圆可以用圆心到直线距离与半径的大小关系进行判定,如例2;3．考查椭圆的几何性质、椭圆方程，两条直线的夹角、点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，如例3.【典例精析】例1：设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4解析:如右图,根据题意易得AB ='l 与l 关系O 对称':220l x y ∴+-=设过圆上一点且平行与'l 的直线方程为'':l 2y x b =-+22244y x b y x=-+⎧⎨=-⎩联立得：228440x bx b -+-=若''l 与椭圆相切则0∆=可求得：b =±即'':20l y x +±=,''l 到'l<①''l 到'l>② 1122PAB S AB h ∆==⨯⨯，（h 为P 到AB 的距离），5AB =，h ∴=． 由①②式可知满足条件的点有两个.答案: B 例2：若直线mx+ ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,则m,n 满足的关系式为_______;以(m,n )为点P 的坐标,过点P 的一条直线与椭圆x 27+y 23=1的公共点有____个.解析: ∵直线mx+ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,∴3m 2+n2>3,解得0<m 2+n 2<3.∴m 27+n 23< m 23+n 23<1,即点P(m ,n )在椭圆内部,故过P 的直线必与椭圆有两个交点. 答案: 0<m 2+n 2<3,2.例3.已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（1）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（2）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标. 解析：（1）如图，设M 为动圆圆心，记,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，x =垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F与定直线2px =-的距离相等由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线∴轨迹方程为22(0)y px p =>；（2）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,x x ≠又直线OA 、OB 的倾斜角α、β满足α+β=4π，故0<α，β<4π． ∴直线AB 的斜率存在，否则OA 、OB 直线的倾斜角之和为π，从而设其方程为y kx b =+．显然221212,22y y x x p p==． 将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=． 由韦达定理知121222,p pby y y y k k +=⋅=． (*) 由4παβ+=，得tantan()4παβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+-． 将(*)式代入上式整理化简可得：22b p pk =+，此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--=， ∴直线AB 恒过定点()2,2p p -．【常见误区】1．注意数形结合思想的应用,比如直线过定点时,要考虑定点与曲线的位置关系;2．考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.向量的知识考生常不能灵活应用。

高二数学选修1-1 圆锥曲线及轨迹-苏教版一、复习的目标、重点1、通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程，掌握它的定义。

2、通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线、抛物线的定义。

3、理解圆锥曲线的统一定义4、理解曲线与方程的关系，掌握求轨迹方程的一般方法和步骤。

二、知识结构1、圆锥曲线的定义，并利用定义解决有关问题。

2、求轨迹方程并判断是什么曲线 三、基础训练1、设定点F 1(0,－3)，F 2(0,3)，动点P(x ,y )满足条件|PF 1|+|PF 2|=a （a >0），则动点P 的轨迹是 椭圆或线段或不存在2、已知A 、B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m /s ，则炮弹爆炸点的所在曲线为 双曲线的一支3、如果M(x ,y )在运动过程中，总满足关系式10)3()3(2222=-++++y x y x ，则M 的轨迹是 椭圆4、若动圆与定圆(x －2)2+y 2=1外切，又与直线x +1=0相切，则动圆圆心的轨迹是 抛物线5、“点M 在曲线y 2=4x 上”是“点M 的坐标满足方程y =x 2-”的 必要不充分 条件6、若P(2,－3)在曲线x 2－ay 2=1上，则a 的值为31四、典例选讲例1、若一个动点P(x ,y )到两个定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)的距离之差的绝对值为定值a (0≤a ≤2)，试探求点P 的轨迹。

解：当a =0时，|PF 1－PF 2|=0，从而PF 1=PF 2，所以点P 的轨迹为直线：x =0 当a =2时，|PF 1－PF 2|=2=F 1F 2，点P 的轨迹为两条射线：y =0（|x |≥1）当0<a <2时，|PF 1－PF 2|=a <F 1F 2，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，a 为实轴长的双曲线。

例2、已知圆C 1：(x +3)2+y 2=1和圆C 2：(x －3)2+y 2=9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹。

圆锥曲线的统一定义一．学习目标：掌握圆锥曲线的统一定义，理解离必率、焦点、准线的意义。

二．学习重点：圆锥曲线统一定义的的推导学习难点：对圆锥曲线共同性质的理解与运用三、知识链接学习椭圆、双曲线、抛物线存在一些困惑1、椭圆、双曲线定义相似，抛物线的定义与椭圆、双曲线的定义区别较大2、离心率：椭圆0＜e ＜1 ，双曲线e ＞1, 抛物线有没有离心率？什么曲线的离心率等于1？四、学习过程（一）、探究圆锥曲线的统一定义问题1、在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子222)(y c x a cx a +-=-，将其变形为ac x c a y c x =-+-222)(，你能解释这个式子的几何意义吗?问题2、已知点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线l:x = a 2c 的距离之比是常数c a（a >c >0），求点P 的轨迹方程.变式 将条件a >c >0改为c >a >0呢？圆锥曲线的统一定义：平面内到一定点F 的距离和到一定直线l (F 不在l 上）的距离比为常数e （不等于）的动点P 的轨迹。

其中e 是圆锥曲线的 ，定点F 是圆锥曲线的 ，定直线l 是圆锥曲线的 。

例1:求下列曲线的焦点坐标和准线方程例2 ：已知双曲线1366422=-y x 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离.22(1)24x y +=22(2)24y x -=2(3)0x y +=2=的焦点，点M 在抛物线上例3：若点A 的坐标为（3，2）,F 为抛物线xy2移动时求|MA|+|MF |的最小值，并求这时M 的坐标.五、基础达标1.填表2.中心在原点,准线方程为4±=x ,离心率为 2的椭圆方程是 3.设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分,则此双曲线的离心率为 .4.已知A （-1,1),B （1,0),点P 在椭圆13422=+y x 上运动，求|PA|+2|PB|的最小值。

主备人： 袁彩伟 编号： 522015-2016版A 部 高中数学选修2-1 圆锥曲线的统一定义 第21课时预 习 案课题：圆锥曲线的统一定义学习目标: 理解圆锥曲线的统一定义学习重点: 统一定义的应用学习难点: 统一定义下的圆锥曲线与标准位置时圆锥曲线的区别预习任务：课本P55—P56理清下列概念，完成相应问题。

1、椭圆定义：平面上到两个定点F 1、F 2的距离的 等于常数2a （大于 ）的点的轨迹叫椭圆.两个定点F 1、F 2叫做椭圆的 .两焦点之间的距离叫做 .2、已知椭圆方程为224936x y +=上一点P 到右焦点的距离为2，则该点到左焦点的距离为 ；3、若点M(x , y)与定点F(1 , 0)的距离和它到定直线l : x=4的距离的比是常数12, 则点M 的轨迹方程为 ；4、在推导椭圆的标准方程时, 有这样一个式子a 222()x c y -+ 22()x c y c a x c-+=- 解释这个式子的几何意义： ；5、圆锥曲线可以统一定义为：e 是_____ , 定点F 为_____ , 定值线l 为________；当01e 时，曲线表示 ；当1e 时，曲线表示 ；当1e =时，曲线表示 ；6、椭圆22110036x y +=上一点P 到右准线距离为10 , 那么P 点到它的左焦点距离___； 7、如果双曲线2211312x y -=上一点, P 到右焦点的距离等于13, 那么点P 到右准线的距离是__ ；8、已知点P 是抛物线2y x =上的一点,F 为抛物线的焦点.定点A(31,42), 则PA+PF 的最小值为 ，此时点P 的坐标为 .探 究 案探究一已知:椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>点00(,)p x y 是上任意一点,12,F F 分别为椭圆的左右焦点.求证:10PF a ex =+, 20PF a ex =- 其中e 为椭圆的离心率；练习：1、在椭圆221255x y +=上求一点P 使得12PF PF ⊥.则点P 的坐标为 ； 2、在椭圆221255x y +=上有一点P 使得12F PF ∠为钝角点,则点P 的横坐标的范围为 . 探究二 已知椭圆221259x y +=上的不同的三个点 119(,),(4,)5A x yB ,22(,)C x y 与焦点F(4,0)的距离成等差数列.求12x x +的值；练习：1、在双曲线2211213y x -=的一支上不同的三点11(,),A x y B 22(,)C x y 与焦点F(0,5)的距离成等差数列,则12y y += ；2、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F .P 为双曲线左支上的点,P 到左准线的距离为d .若12,,d PF PF 成等比数列.求双曲线离心率e 的范围 ；主备人： 袁彩伟 编号： 522015-2016版A 部 高中数学选修2-1 圆锥曲线的统一定义作业 第31课时 1、在△ABC 中, BC=6 , AB+AC=10 , 则△ABC 面积的最大值为 ____________ .2、椭圆x 2+2y 2=1的准线方程为____________ .3、设P(x , y)221259x y =上的点, 对于点P , F 1(―4, 0) , F 2(4 , 0), 则下列结论正确的是 （填序号） ①|PF 1|+|PF 2|≤10 ②PF 1|+|PF 2|≥10③|PF 1|+|PF 2|<10 ④PF 1|+|PF 2|>104、若双曲线2228x y m-=1 (m≠0)的一条准线与抛物线y 2=8x 的准线重合, 则双曲线的离心率为 ；5、双曲线2222x y a b-=1的一个焦点为F 1 , 顶点为A 1 , A 2 , P 是双曲线上任意一点, 则分别以线段PF 1 , A 1A 2为直径的两圆一定 （填序号）①相交 ②相切 ③相离 ④以上情况都有可能6.动点P 到直线x+4=0的距离减去它到点M(2 , 0)的距离之差等于2 , 则点P 的轨迹是 ； ①直线 ②椭圆 ③双曲线 ④抛物线7、抛物线y 2=2Px(P>0)的动弦AB 长为a (a≥2P), 则动弦AB 的中点M 到y 轴的最短距离为____________；8、过抛物线y 2=ax(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于AB 两点, 若线段AF 、BF 的长分别是m 、n , 则m n mn+=___________；9、已知AB 是抛物线y 2=2Px (P>0)的焦点弦, F 为抛物线焦点, A(x 1 , y 1) , B(x 2 , y 2) , 求证:(1)y 1·y 2=―P 2, x 1·x 2=24P ; (2)|AB|=x 1+x 2+P=22sin P θ(θ为直线AB 与x 轴的夹角) ； (3)S △AOB =22sin P θ; (4)11||||AF BF +为定值; (5)以AB 为直径的圆与抛物线准线相切.。

第13课时圆锥曲线的共同性质 【学习目标】了解圆锥曲线统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线准线方程的方法． 【问题情境】问题1：我们知道，平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线，当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P 的轨迹又是什么曲线呢？问题2：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程：a 2－cx ＝a (x －c )2＋y 2，将其变形为： (x －c )2＋y 2a 2c －x ＝c a，你能解释这个方程的几何意义吗？ 【合作探究】已知点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线l ：x ＝a 2c 的距离之比是常数c a（a >c >0），求点P 的轨迹．可以发现圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当0＜e ＜1时，它表示椭圆；当e ＞1时，它表示双曲线；当e ＝1时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．思考1：（1）椭圆和双曲线有几条准线？（2）准线方程分别是什么？思考2：椭圆y 2a 2＋x 2b 2 = 1 （a ＞b ＞0）和双曲线y 2a 2－x 2b2＝1 （a ＞0，b ＞0）的准线方程分别是什么？【展示点拨】例1．求下列曲线的准线方程：（1）221259x y +=；（2）22416x y +=；（3）32822=-y x ； （4）422-=-y x ；（5）216y x =；（6）23x y =-．例2．已知椭圆上一点P 到左焦点的距离为4，求P 点到左准线的距离．变式1 如何求求点P 到右准线的距离．例3．已知双曲线1366422=-y x 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离．例4．已知点(1,1)A -，点(1,0)B ，点P 在椭圆22143x y +=上运动，求2PA PB +的最小值.【学以致用】1． 已知动点P 到直线40x +=的距离比到定点(2,0)M 的距离大2，则动点P 的轨迹方程为．2．双曲线的渐近线为023=±y x ，两条准线间的距离为131316，双曲线标准方程_______． 3．已知点()03，A ，()02，F ，点P 在双曲线1322=-y x 上，PF PA 21+的最小值为______，此时点P 的坐标为____________．4．在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则椭圆的离心率为 ． 已知双曲线13622=-x y 上一点P 到一个焦点的距离为4，求P 点到此焦点相应准线的距离． 5．求下列曲线的准线方程：（1）224936x y +=；（2）22981x y -=；（3）22941x y +=；（4）22194x y -=.第13课时圆锥曲线的共同性质【基础训练】1．椭圆221259x y +=的准线方程为． 2．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点1F 的距离为6，则点P 到椭圆的右准线的距离是．3．双曲线221x y m-=上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则m 等于 ． 4．已知椭圆的焦点到相应准线的距离为长半轴长，则椭圆的离心率是．5．双曲线C 为等轴双曲线，它的一条准线方程为4x =-，则双曲线的方程为．6．若抛物线的顶点在原点，准线与椭圆18422=+y x 的上准线重合，则抛物线的方程为． 【思考应用】7．根据下列条件求圆锥曲线的标准方程：（1）准线方程是4y =±，离心率为12；（2）准线方程是163x =±，离心率为3．8．.已知点A （1，2）在椭圆2211612x y +=内，点P 在椭圆上，F 的坐标为（2， 0），求使2PA PF +取最小值时P 点的坐标．9．已知抛物线214y x =上的一点P 到顶点和准线的距离相等，求P 点坐标．10．点P 到定点（0，10）与到定直线518=y 的距离之比是35，则求点P 的轨迹方程．【拓展提升】 11．已知椭圆22110036x y +=上一点P ，到其左．右焦点的距离之比为13，求P 到两条准线的距离及P 点坐标．12．椭圆14922=+y x 的焦点为21F F 、．点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时．点P 横坐标的取值范围为多少？。

§2.1圆锥曲线教学目标1.通过用平面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义，并能用数学符号或自然语言的描述。

2．通过用平面截圆锥面,感受、了解双曲线的定义。

能用数学符号或自然语言描述双曲线的定义。

教学重点、难点重点：椭圆、抛物线、双曲线的定义。

难点：用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义教具多媒体课件、实物投影仪内容分析本节课教材利用平面对圆锥面的不同截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭圆、双曲线和抛物线的概念。

这样既使学生经历概念的形成过程，更有利于从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系。

根据问题的难易度及学生的认知水平，要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求了解其定义。

这是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，提高数学素养。

学法指导教学中向学生展示平面截圆锥面得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。

对用Dandelin双球发现椭圆的特性（由此形成椭圆的定义），可直接给出放进双球后的图形，再引导学生发现“到两切点距离之和为定值”的特性，这一内容让学生感知、认同即可，不必对探究、推理过程作过多研究。

教学过程设计1．问题情境我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况。

提出问题：用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？2．学生活动学生讨论上述问题，通过观察,可以得到以下三种不同的曲线：对于Dandelin 双球理论只要让学生感知、认同即可。

3．建构数学（1）圆锥曲线的定义椭圆：平面内到两定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

对于第二种情形，平面与圆锥曲线的截线由两支曲线构成。

（类比椭圆的定义） 双曲线：平面内到两定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点1F ，2F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

2.2.1 椭圆及其标准方程【教学目标】1、掌握椭圆的定义；2、掌握椭圆的方程及其推导；3、会求椭圆方程。

【教学重点】椭圆的标准方程推导和应用。

【教学难点】椭圆标准方程的推导。

【教学过程】 一、引入：1、提出问题：（1）动点到两定点之间的距离之和等于这两定点之间距离的点的轨迹是什么？ （2）将等于改为小于呢？轨迹怎样？ （3）将等于改为大于呢？轨迹怎样？ 2、椭圆的定义：我们把 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两个定点的距离叫做椭圆的 。

3、求椭圆方程：（建立如图的坐标系可求出椭圆的标准方程：） （1）焦点在x 轴上 建系设点： 列式：化简：12222=+by a x （222b c a =-）（2）焦点在y 轴上建系设点： 列式：化简：12222=+bx a y （22c a -二、基础自测1、判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④9422=+x y2、椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为3、椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是__________________________ 4、1,6==c a ,焦点在y 一轴上的椭圆的标准方程是三、新授内容：例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程。

（1）两个焦点的坐标)0,4(1-F ，)0,4(2F 。

椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； （2）)2,0(1-F ，)2,0(2F 且椭圆过点（23-，25-）； （3）焦距为6，且1=-b a 。

【变式拓展1】、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26.例2、方程10)2()2(2222=+-+++y x y x 化简后的结果为 .【变式拓展2】、化简方程：)3()3(2222=-++++y x y x例3、已知椭圆过点M （4，3-），N （32，3），求椭圆的标准方程。

§2.1 圆锥曲线 编写：刘守仁 审核：黄爱华一、知识要点 1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆；抛物线模型的过程；2.椭圆的定义：3.双曲线的定义：4.抛物线的定义：5.圆锥曲线的概念：二、例题例1.试用适当的方法作出以两个定点12F F 、为焦点的一个椭圆。

例2.已知：12(4,0),(4,0)F F -⑴到12F F 、两点距离之和为9的点的轨迹是什么图形？⑵到12F F 、两点距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是什么图形？⑶到点1F 的距离和直线4x =的距离相等的点的轨迹是什么图形？例3.(参选)在等腰直角三角形12MF F 中，12MF MF ⊥，126F F =，以12F F 为焦点的椭圆过M 点，过点1F 的直线与该椭圆交于A B 、两点，求2ABF ∆的周长。

三、课堂检测1.课本P 26 22.课本P 26 33.已知ABC ∆中，(3,0),(3,0)B C -且AB BC AC 、、成等差数列。

⑴求证：点A 在一个椭圆上运动；⑵写出这个椭圆的焦点坐标。

四、归纳小结五、课后作业1.已知M 是以F 为焦点，直线l 为准线的抛物线上一点，若点M 到直线l 的距离为a ，则MF = 。

2.已知点(1,0),(0,1)M N ，动点P 满足2PM PN +=，则点P 的轨迹是 。

3.已知点(0,2),(2,0)A B -，动点M 满足2MA MB a -=(a 为正常数)。

若点M 的轨迹是以A B 、为焦点的双曲线，则常数a 的取值范围是 。

4. 已知点(1,0),(0,1)M N -，动点P 满足2PM PN -=，则动点P 的轨迹是 。

5.若动圆与圆22(2)1x y -+=外切，对直线10x +=相切，则动圆圆心的轨迹是 。

6.已知ABC ∆中，(3,0),(3,0)B C -，且,,AB BC AC 成等差数列。

⑴求证：点A 在一个椭圆上运动；⑵写出这个椭圆的焦点坐标。

高二年级数学学科学案 课题：圆锥曲线的统一定义学习目标1．了解圆锥曲线的统一定义；2．掌握根据标准方程求双曲线的准线方程的方法。

【新知导读】 一、问题情境：复习回顾圆锥曲线的定义（第一定义）（1）椭圆的定义： 。

（2）双曲线的定义： 。

（3）抛物线的定义： 。

椭圆、双曲线、抛物线都是由一个平面截一个圆锥面得到的，我们统称为 。

二、建构新知：思考1：我们知道，平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线(l F 不在l 上）的距离比是1的动点P 的轨迹是抛物线。

那么当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P 的轨迹是什么？思考2：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个式子：()222a cx a x c y -=-+将其变形为:你能解释这个式子的几何意义吗？思考3:已知点(,)P x y 到定点(,0)F c 的距离与它到定直线c a x l 2:=的距离的比是常数 c a(a>c>0),求点P 的轨迹.变式:已知点(,)P x y 到定点(,0)F c 的距离与它到定直线c a x l 2:= 的距离的比是常数 c a(c>a>0),求点P 的轨迹.a c x c a y c x =-+-222)(由此可知，椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率, 定点F 叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l 就是该圆锥曲线的准线。

圆锥曲线的统一定义：平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上） (1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是(3)当 e = 1 时, 点的轨迹是思考：1、上述定义中只给出了一个焦点，一条准线，若圆锥曲线还有另一焦点，是否还有另一准线？2、另一焦点的坐标和准线的方程是什么？3、题中的MFe d =的距离d 到底是到哪一条准线的距离？能否随意选一条？标准方程 图形 焦点坐标 准线方程)0(12222>>=+b a b y a x )0,0(12222>>=-b a by a x 22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)y x a b a b +=>>22221(0,0)x y a b a b -=>>22221(0,0)y x a b a b -=>>【范例点睛】例1.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:注：焦点与准线的求解:判断曲线的性质→确定焦点的位置→确定a,c,p 的值,得出焦点坐标与准线方程.例2.已知双曲线 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离.例3.已知点P 到定点F(1,0)的距离与它到定直线5:=x l 的距离的比是常数55 ，求P 点的轨迹方程.【随堂演练】1．中心在原点，准线方程为12x =±，离心率为2的双曲线方程为 。

第2章圆锥曲线与方程第1课时圆锥曲线教学过程一、问题情境2011年9月29日,中国成功发射了“天宫一号”飞行器,你知道“天宫一号”绕地球运行的轨迹是什么吗?二、数学建构椭圆是物体运动的一种轨迹,物体运动的轨迹有很多,常见的还有直线、圆、抛物线等.一个平面截一个圆锥面,当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;当平面与圆锥面的轴垂直时,截得的图形是一个圆.当我们改变平面的位置时,截得的图形也在发生变化.请观察图1.(图1)对于第一种情形,可在截面的两侧分别放置一个球,使它们都与截面相切(切点分别为F1,F2),且与圆锥面相切,两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2(如图2).(图2)设M是平面与圆锥面的截线上任一点,过点M作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P,Q 两点,则MP和MF1,MQ和MF2分别是上、下两球的切线.因为过球外一点所作球的切线的长都相等,所以MF1=MP,MF2=MQ,故MF1+MF2=MP+MQ=PQ.因为PQ=VP-VQ,而VP,VQ是常数(分别为两个圆锥的母线的长),所以PQ是一个常数.也就是说,截线上任意一点到两个定点F1,F2的距离的和等于常数.通过分析,给出椭圆的概念:一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.问题1为什么常数要大于F1F2?解因为动点与F1,F2构成三角形,三角形的两边之和大于第三边,所以MF1+MF2>F1F2.问题2若MF1+MF2=F1F2,动点M的轨迹是什么?解线段F1F2.问题3若MF1+MF2<F1F2,动点M的轨迹是什么?解不存在.双曲线的概念:一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两个焦点的距离叫做双曲线的焦距.说明:(1)常数要小于F1F2.(2)若|MF1-MF2|=F1F2,动点M的轨迹是以F1,F2为端点向外侧的两条射线.(3)若|MF1-MF2|>F1F2,动点M的轨迹不存在.抛物线的概念:一般地,平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.说明:定点F不能在定直线l上,否则所得轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线.椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.三、数学运用【例1】已知定点P(0,3)和定直线l:y+3=0,动圆M过点P且与直线l相切,求证:圆心M的轨迹是一条抛物线.(见学生用书P15) [处理建议]让学生仔细审题,作出图形,再引导学生对照抛物线的定义寻找相等关系,使问题得以解决.[规范板书]证明设圆M的半径为r,点M到直线l的距离为d.∵动圆M过点P且与l相切,∴MP=r,d=r,∴MP=d.而点P不在l上,∴由抛物线的定义知圆心M的轨迹是一条抛物线.(例2)[题后反思]本题要紧扣抛物线的定义,主要注意两点:①到定点的距离等于到定直线的距离;②定点不在定直线上.【例2】(教材第29页习题2.1第3题)如图,圆F1在圆F2的内部,且点F1,F2不重合,求证:与圆F1外切且与圆F2内切的圆的圆心C的轨迹为椭圆.(见学生用书P16) [处理建议]让学生仔细审题,明确需要解决什么问题,再引导学生根据椭圆的定义寻找“到两定点的距离之和为定值”的关系,使问题得以解决.[规范板书]证明设圆F1,F2的半径分别为r1,r2,动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t,CF2=r2-t,消去t得CF1+CF2=r1+r2(一个大于F1F2的常数),所以动圆圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.[题后反思]要证明某点的运动轨迹,可以先考虑动点是否满足圆锥曲线的定义.本题要紧紧抓住到两定点的距离之和为定值的动点的轨迹是椭圆这一定义.变式1如图,已知动圆C与圆F1,F2均外切(圆F1与圆F2相离),试问:动点C的轨迹是什么曲线?(变式1)[处理建议]从例2的解法中联想思考,寻找动点满足的几何性质是什么.[规范板书]解双曲线的一支.证明如下:设圆F1,F2的半径分别为r1,r2(r1>r2),动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t,CF2=r2+t,消去t 得CF1-CF2=r1-r2(一个小于F1F2的正数),所以动圆圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的一支.[题后反思]应引导学生学会利用圆锥曲线的定义直接得出轨迹.本题还有其他方式的变式:当两圆相离时,动圆与两圆均内切或与一圆内切与另一圆外切,其动圆圆心的轨迹均为双曲线的一支.变式2(1)动圆与圆C1:x 2+y 2=1和C2:(x-4) 2+y 2=4都外切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(2)动圆与圆C1:x 2+y 2=1和C2:(x-4) 2+y 2=4都内切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(3)动圆与圆C1:x 2+y 2=1内切,与圆C2:(x-4) 2+y 2=4外切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(4)动圆与圆C1:x 2+y 2=1外切,与圆C2:(x-4) 2+y 2=4内切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.*【例3】已知圆F的方程为(x-2) 2+y 2=1,动圆P与圆F外切且和y轴相切.求证:动圆的圆心P 在一条抛物线上运动,并请写出这条抛物线的焦点坐标及准线方程.[处理建议]因为要证明圆心P的轨迹是抛物线,所以可引导学生通过画图找到定点和定直线.[规范板书]证明设圆P的半径为r,它与y轴相切于T,则PF=r+1,PT=r,所以PF=PT+1,作直线l:x=-1,PT的延长线交直线l于A,则PF=PA,故点P到定点F的距离等于它到直线l的距离,所以点P在以F(2,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.[题后反思]三种圆锥曲线的概念都与距离有关:椭圆和双曲线的概念描述的都是点到点的距离;抛物线的概念描述的是点到点的距离,同时还有点到线的距离.圆与直线相切,能够联想到抛物线的条件.变式点P到定点F(2,0)的距离比它到y轴的距离大1,求点P的轨迹.[处理建议]引导学生考虑本题条件与哪种圆锥曲线的定义一致.[规范板书]解过点P作PT⊥y轴,垂足为T,所以PF=PT+1,作直线l:x=-1,PT的延长线交直线l于A,则PF=PA,故点P到定点F的距离等于它到直线l的距离,所以点P在以F(2,0)为焦点、直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.[题后反思]本题依然是属于动点到定点和到定直线的距离,但不相等的问题,关键是将不等关系转化为相等关系,可以培养学生类比推理、归纳猜想、转化等数学思维能力.[2]四、课堂练习1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0),则此双曲线的焦距为6.2.已知点A(0,-2),B(2,0),动点M满足|MA-MB|=2a(a为正常数).若点M的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,则常数a的取值范围为(0,).提示因为AB=2,由双曲线的定义知0<2a<2,即0<a<.3.若动圆M过点(3,2),且与直线3x-2y-1=0相切,则点M的轨迹是抛物线.4.已知椭圆的两个焦点分别为F1,F2,O为F1F2的中点,P为椭圆上任一动点,取线段PF1的中点Q,求证:动点Q的轨迹也是一个椭圆.证明设PF1+PF2=m(定值),且m>F1F2,则QF1+QO=PF1+PF2=m>F1F2=F1O,所以点Q的轨迹是一个椭圆.五、课堂小结1.圆锥曲线可通过平面截圆锥面得到.当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;当平面与圆锥面的轴垂直时,截得的图形是一个圆;当平面平行于圆锥面的轴时,截得的图形是双曲线;当平面平行于圆锥面的母线时,截得的图形是抛物线;当平面既不平行、不垂直于圆锥面的轴也不平行于圆锥面的母线时,截得的图形是椭圆.2.掌握三种圆锥曲线的定义,并注意:椭圆中常数大于两个定点间距离,双曲线中常数小于两个定点间距离.3.会用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹.第2课时椭圆的标准方程(1)教学过程一、问题情境汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆,把一个圆压扁了,也像椭圆,它们究竟是不是椭圆呢?是否是椭圆应该看其是否符合椭圆的基本特征(性质),那么又该如何研究椭圆的性质呢?回忆解析几何研究问题的基本方法,研究椭圆,先建立椭圆的方程.二、数学建构回顾椭圆的概念:一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.特别地:当MF1+MF2=F1F2时,动点M的轨迹是线段F1F2;当MF1+MF2<F1F2时,动点M的轨迹不存在.构建椭圆方程:设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,它们之间的距离为2c,椭圆上任意一点到F1,F2的距离的和为2a(2a>2c).以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图1),则F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).(图1)设P(x,y)为椭圆上任意一点,根据椭圆的定义知PF1+PF2=2a,即+=2a.[2]将这个方程移项后两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2,即a2-cx=a.两边再平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).因为a2-c2>0,所以可设a2-c2=b2(b>0),于是得b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(a>b>0).由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方程,并且满足上面这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上.这样,上面这个方程就是所求椭圆的方程,它的焦点为F1(-c,0),F2(c,0).(图2)问题1如果将椭圆的焦点建立在y轴上,即焦点为F1(0,-c),F2(0,c)(如图2),你能快速得出椭圆的方程吗?解法一两个椭圆关于直线y=x对称,故只需要将方程+=1(a>b>0)中的x,y互换即可得到方程+=1(a>b>0).解法二从定义出发,将+=2a变换为+=2a.可化简得到a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2).设a2-c2=b2(b>0),于是得a2x2+b2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(a>b>0).所以,当焦点在y轴上时,我们可以得到焦点为F1(0,-c),F2(0,c)的椭圆的方程为+=1(a>b>0).以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中b2=a2-c2).问题2如何判断椭圆标准方程中焦点的位置?解看标准方程形式下x2与y2下方(即分母)哪个大,焦点即在对应的坐标轴上.巩固练习求下列椭圆的焦点坐标:(1)+=1;(2) 16x2+7y2=112.[规范板书]解(1)c2=25-16=9,所以c=3,故焦点坐标为(-3,0)和(3,0).(2)方程可化为+=1,所以c2=16-7=9,所以c=3,故焦点坐标为(0,-3)和(0,3).[题后反思]求椭圆的焦点坐标需将椭圆的方程化为标准形式.三、数学运用【例1】已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,求k的取值范围. (见学生用书P17) [处理建议]引导学生思考焦点在x轴上的椭圆的标准方程满足的条件.[规范板书]解因为椭圆焦点在x轴上,故所以7<k<10.[题后反思]学生可能会忽视前两个条件(不等式),题目解答完毕注意总结此时应需要3个条件(不等式).变式若上述方程表示一个椭圆,求k的取值范围.[处理建议]让学生思考条件改变时,解题过程中哪个环节会发生变化.[规范板书]解由题意可得所以4<k<10且k≠7.[题后反思]学生可能会进行分类直接得到结果,亦可能用上述方法解答,但会忽视第三个条件,此时不妨反问:若k-4>0,10-k>0,k-4=10-k,则方程表示的曲线是什么?答:圆.[3]【例2】(根据教材第32页练习第2题改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)a=4,b=3,焦点在x轴上;(2)b=1,c=;(3)两个焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),且过点P(2,-3).(见学生用书P18)[处理建议]引导学生首先分析焦点的位置,然后再找出标准方程中a,b的值.[规范板书]解(1)因为焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为+=1.(2)因为b=1,c=,所以a2=b2+c2=16,①当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为+y2=1;②当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为+x2=1.(3)由题意知椭圆的焦点在x轴上,故可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),所以解得所以椭圆的标准方程为+=1.[题后反思]椭圆的标准方程中只有两个参量,因此只需要两个条件就可以求出椭圆的标准方程,而a,b,c三个量之间的关系是知二求一.[4]【例3】(教材第31页例2)将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得曲线的方程,并说明它是什么曲线.(见学生用书P18)[处理建议]先让学生直观感受变换后的曲线形状,再探究如何解决问题.[规范板书]解设所得曲线上任一点的坐标为(x,y),圆x2+y2=4上的对应点的坐标为(x',y'),由题意可得因为x'2+y'2=4,所以x2+4y2=4,即+y2=1.这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆.[题后反思]学生很容易得到变换后的曲线是椭圆,但无法从定义给出证明,引导学生从方程的角度考虑问题,从而进一步说明解析几何研究问题的方法是从方程的角度来研究的.本例求变换后所得曲线方程采用的方法是“坐标转移法”,即利用中间变量求曲线方程.*【例4】(教材第31页例1)已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m,求这个椭圆的标准方程.[处理建议]引导学生先建立合适的直角坐标系,设出椭圆的标准方程,根据题意得到椭圆方程中的基本量.[规范板书]解以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图).(例4)设这个椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).根据题意知2a=3,2c=2.4,即a=1.5,c=1.2,所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81.因此,这个椭圆的标准方程为+=1.[题后反思]本题是为了巩固对椭圆的标准方程的理解.在没有已知坐标系的情况下,需要建立合适的坐标系.四、课堂练习1.求下列椭圆的焦点坐标:(1)+=1;(2) 3x2+4y2=12.解(1)焦点坐标分别为(0,-3)和(0,3).(2)焦点坐标分别为(-1,0)和(1,0).2.若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(4,5).提示因为椭圆的焦点在y轴上,所以解得4<k<5.3.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)a=,c=1;(2)两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),且b=1;(3)焦点在y轴上,焦距为4,且经过点M(3,-2).解(1)因为a=,c=1,所以b2=a2-c2=4.①当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为+=1;②当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为+=1.(2)由题意知椭圆的焦点在x轴上,且c=2,b=1,所以a2=5.所以椭圆的标准方程为+y2=1.(3)因为椭圆的焦点在y轴上,故可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),且c=2.所以解得所以椭圆的标准方程为+=1.五、课堂小结1.椭圆的标准方程有两种形式:①焦点在x轴上:+=1(a>b>0);②焦点在y轴上:+=1(a>b>0).2.注意椭圆的标准方程中“标准”的含义:①椭圆的中心在坐标原点;②椭圆的焦点在坐标轴上(两个焦点均在x轴上或均在y轴上);③椭圆的标准方程有两种形式,即焦点在x轴上的方程以及焦点在y轴上的方程.第3课时椭圆的标准方程(2)教学过程一、数学运用【例1】求经过点(-,1),(-,-)的椭圆的标准方程.(见学生用书P19) [处理建议]可分两种情况分别设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程和焦点在y轴上的椭圆的标准方程,代入点坐标求出a,b的值;在不明确焦点位置的情况下,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B).[规范板书]解法一①当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),则解得所以所求椭圆的标准方程是+=1.②当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),则解得不满足a>b>0,故舍去.所以所求椭圆的标准方程是+=1.解法二设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B),则解得所以所求椭圆的标准方程是+=1.[题后反思]解决此类问题最基本的方法是分类讨论.实际上解法二是对解法一中x2及y2的系数进行换元得到的.[1]【例2】已知椭圆+=1的左、右焦点分别是F1,F2,PQ是过F1的一条弦,求△PQF2的周长.(见学生用书P20) [处理建议]请学生思考△PQF2的周长中包含哪些线段,这些线段与椭圆定义中的几何条件有哪些联系.[规范板书]解由题意知a=5,c=3.P,Q是椭圆上的点,则PF1+PF2=2a=10,QF1+QF2=2a=10.因此,△PQF2的周长为PQ+PF2+QF2=PF1+PF2+QF1+QF2=4a=20.[题后反思]抓住椭圆的定义,因为定义中的几何条件就是椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a.若PQ是椭圆上不过焦点F1的一条弦,试问:△PQF2的周长是定值吗?变式1若P是椭圆+=1上一点,F1,F2是它的两个焦点,Q(5,2),求△PQF2的周长l的取值范围.[处理建议]将△PQF2的周长的最值转化为PQ+PF2的最值.[规范板书]解因为△PQF 2的周长l=PQ+PF2+QF2,又F2(3,0),所以QF2=2,所以△PQF2的周长取最小值时PQ+PF2也取最小值,易得PQ+PF2>QF2=2,所以l>4.因为在椭圆中PF1+PF2=2a,所以PF2=2a-PF1,所以PQ+PF2=PQ+2a-PF1=PQ-PF1+2a,所以PQ+PF2取最大值时PQ-PF1也取最大值,易得PQ+PF2=PQ-PF1+2a<QF1+2a=2+10.所以l<2+2+10.综上,4<l<2+2+10.变式2已知M(2,2),N(3,0)是椭圆+=1内两点,P是椭圆上一点,求PM+PN的最大值与最小值.[规范板书]解设椭圆的左焦点为F1.因为在椭圆中PF1+PN=2a,所以PN=2a-PF1,所以PM+PN=PM+2a-PF1=PM-PF1+2a.又因为|PM-PF1|≤MF1,所以-MF1≤PM-PF1≤MF1,又MF1=,所以-≤PM-PF 1≤,所以10-≤PM+PN≤10+,所以PM+PN的最大值为10+,最小值为10-.[题后反思]进一步理解椭圆定义中的几何条件是焦半径的一种重要的转化方式,同时也是对此知识点的巩固训练.[2](例3)【例3】如图,P是椭圆+=1上一点,F1和F2是其焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.(见学生用书P20) [处理建议]请学生思考:椭圆定义中能用到的几何条件有哪些?△F1PF2的面积又该如何表示才能与已知条件联系起来?[规范板书]解在椭圆+=1中,a=,b=2,所以c==1.又因为点P在椭圆上,所以PF1+PF2=2a=2. ①由余弦定理知P+P-2PF1·PF2·cos30°=F1=(2c)2=4. ②①式两边平方得P+P+2PF1·PF2=20.③③-②得(2+)PF1·PF2=16,所以PF1·PF2=16(2-),所以=PF 1·PF2sin30°=8-4.变式如图,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的焦点为F1与F2,点P在椭圆上,∠F1PF2=θ.求证:△PF1F2的面积S=b2tan.(变式)[处理建议]由特殊到一般,问题的处理方式基本相同.[规范板书]证明设PF 1=r1,PF2=r2,则S=r1r2sinθ,又F1F2=2c,由余弦定理有(2c)2=+-2r1r2cosθ=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cosθ=(2a)2-2r1r2(1+cosθ),于是2r1r2(1+cosθ)=4a2-4c2=4b2,所以r1r2=.这样即有S=·sinθ=b2=b2tan.[题后反思]解与△PF1F2(P为椭圆上一点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合PF1+PF2=2a来解决.有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题,设PF1=r1,PF2=r2,则S=r1r2sinθ.若能消去r1r2,问题即可解决.*【例4】已知P是椭圆+y2=1上的任意一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点.(1)求PF1·PF2的最大值;(2)求PF+PF的最小值;(3)求∠F1PF2的最大值.[处理建议]让学生思考:已知的几何条件是什么?要求的是两焦半径之积的最值,两者如何建立联系?[规范板书]解由题意知a=2,b=1,所以c=,PF 1+PF2=2a=4.(1)PF1·PF2≤=4;(2)PF+P≥=8;(3)因为cos∠F1PF2====-1,由(1)知PF1·PF2≤4,所以cos∠F1PF2≥-1=-,当且仅当PF1=PF2时“=”成立,即P为椭圆短轴的一个端点.又因为∠F1PF2∈[0,π),所以∠F1PF2的最大值为120°.[题后反思]运用余弦定理处理焦点三角形也是焦半径问题中常用的方法之一,结合基本不等式可以得到关于焦半径表达式的取值范围,同时也为后面求离心率的取值范围作铺垫.强调∠F1PF2取最大值时点P的位置在椭圆短轴的端点处.变式已知椭圆+y2=1(a>1)的焦点是F1,F2,若椭圆上存在一点P,满足PF1⊥PF2,求a的取值范围.[规范板书]解设PF1=m,PF2=n,则m+n=2a,m2+n2=4c2=4(a2-1).又m2+n2≥,所以4(a2-1)≥2a2,所以a2≥2,所以a的取值范围是[,+∞).[题后反思]训练学生利用基本不等式寻求椭圆基本量的不等关系,从而得到a的取值范围.二、课堂练习1.根据下列条件求椭圆的标准方程:(1)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;(2)经过点A(0,2)和B.解(1)设椭圆的标准方程是+=1或+=1(a>b>0).由题意知2a=PF1+PF2=2,所以a=.在方程+=1中令x=±c,得|y|=;在方程+=1中令y=±c,得|x|=.依题意并结合图形知=,所以b2=,即椭圆的标准方程为+=1或+=1.(2)设经过点A(0,2),B的椭圆的方程为mx2+ny2=1,则解得所以椭圆的标准方程为x2+=1.2.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边BC上,则△ABC的周长是4.提示设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义知BA+BF=2,且CF+AC=2,所以△ABC的周长为BA+BF+CF+AC=4.3.已知P是椭圆+=1上一点,F1,F2是其焦点.若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为.提示设PF1=m,PF2=n,则cos60°=,所以=.又m+n=2a=20,c=6,所以mn=,所以S=mn·sin60°=.三、课堂小结1.待定系数法求椭圆的标准方程,注意系数的设法.2.灵活运用椭圆的定义PF1+PF2=2a求焦点三角形的周长及面积,注意在焦点三角形中灵活使用余弦定理及基本不等式.第4课时椭圆的几何性质(1)教学过程一、问题情境问题1方程+=1表示什么样的曲线?你能利用以前学过的知识画出它的图形吗?解方案1列表、描点、连线进行作图,在取点的过程中想到了椭圆的范围问题.方案2求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点,联想椭圆曲线的形状得到图形.方案3只作第一象限内的图形,联想椭圆形状,利用对称性得到其他象限内的图形.[1]问题2与直线方程和圆的方程相对比,椭圆的标准方程+=1(a>b>0)有什么特点?[2]解①椭圆方程是关于x,y的二元二次方程;②方程的左边是平方和的形式,右边是常数1;③方程中x2和y2的系数不相等.二、数学建构1.结合椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆曲线的范围.方案1+=1变形为=1-≤1,即x2≤a2,所以-a≤x≤a.同理可得-b≤y≤b.方案2椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1,那么这两个数都不大于1,所以≤1,所以-a≤x≤a.同理可以得到y的范围是-b≤y≤b.(图1)方案3还可以用三角换元,设=cosθ,=sinθ,利用三角函数的有界性,也可以得到x,y的范围.这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内(如图1).2.继续观察椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆的对称性.[3]在椭圆的标准方程中,把x换成-x,方程并不改变,这说明当点P(x,y)在椭圆上时,它关于y轴的对称点P'(-x,y)也在椭圆上,所以椭圆关于y轴对称.同理,把y换成-y,或同时把x,y分别换成-x,-y时,方程都不变,所以椭圆关于x轴和原点都是对称的.因此,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.再次观察椭圆标准方程的特点,利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中,令x=0,得y=±b,这说明点B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.同理,点A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点,这四个点是对称轴与椭圆的交点,称为椭圆的顶点.线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.在椭圆的定义中,2c表示焦距,这样,椭圆方程中的a,b,c就有了明显的几何意义.问题3在椭圆标准方程的推导过程中令a2-c2=b2能使方程简单整齐,其几何意义是什么?解c表示半焦距,b表示短半轴长,因此,连结顶点B2和焦点F2,可以构造一个直角三角形OB2F2,在Rt△OB 2F2内,O+O=B2,即c2+b2=a2.△OB2F2称为椭圆的特征三角形.4.圆的形状都是相同的,而椭圆却有些比较“扁”,有些比较“圆”,椭圆的“圆扁”取决于哪些因素?用什么样的量来刻画椭圆的“圆扁”程度比较合适?方案1用几何画板演示.方案2可以用比值来刻画,当越大,椭圆越圆;当越小,椭圆越扁.方案3还可以用比值来刻画,当越大,椭圆越扁;当越小,椭圆越圆.一般地,我们用比值来刻画椭圆的“圆扁”程度.离心率:焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,记为e,即e=.因为a>c>0,所以0<e<1.问题4比值与之间的关系如何?解=,此式可变形为=1-或=1-=1-e2.再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响:(1)当e接近1时,c越接近a,从而b越接近0,因此椭圆越扁;(2)当e接近0时,c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆越圆.5.类比焦点在x轴上的情况,若椭圆的焦点在y轴上,其几何性质如何?焦点在x轴上与焦点在y轴上椭圆的几何性质对比:标准方程+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)范围|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a对称性关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称顶点坐标(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a)焦点坐标(c,0),(-c,0)(0,c),(0,-c)半轴长长半轴长为a,短半轴长为b,a>b长半轴长为a,短半轴长为b,a>b离心率e=e=a,b,c的关系a2=b2+c2a2=b2+c2三、数学运用【例1】(教材第35页例1)求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.[4](见学生用书P21) [处理建议]由椭圆的方程确定a ,b,c的值,从而使问题得以解决.交待清楚作图的几种方法.[规范板书]解根据椭圆的方程+=1,得a=5,b=3,c==4,所以椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=6,离心率e==,焦点为F1(-4,0)和F2(4,0),顶点为A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3).将方程变形为y=±,根据y=算出椭圆第一象限内的几个点的坐标,如下表所示.x0 1 2 3 4 5y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0先描点画出第一象限的图形,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图).(例1)[题后反思]本例是对椭圆几何性质的一般检测性训练.一般地,椭圆的画法只需要描出几个点,然后用光滑曲线连结即可,必要时将焦点位置标出.强调快速、较准确地画出椭圆图象是今后学习的一个必要的基本技能.【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2);(2)焦点在x轴上,长轴长等于20,离心率等于;(3)焦点在y轴上,长轴长是短轴长的3倍,且椭圆经过点P(3,0).(见学生用书P22)[处理建议]根据条件,寻找椭圆方程中的基本量.[规范板书]解(1)由题意知a=3,b=2,长轴在x轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.(2)由题意知2a=20,e=.所以a=10,c=8,所以b=6.又因为焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.(3)由题意知焦点在y轴上,所以b=3.又因为长轴长是短轴长的3倍,所以a=9,所以椭圆的标准方程为+=1.[题后反思]运用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,要熟记离心率公式.。