2020-2021学年北京市昌平区高一(上)期末数学试卷 (解析版)

昌平区2020—2021学年第二学期高一年级期末质量抽测数学试卷2021.7本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡收回.第一部分（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 在复平面内，复数1i i +对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 23sin 6π=（ ）A. 12B. 12-C.D. -3. 已知角α终边经过点()3,P y -，且4tan 3α=，则cos α=（ ） A. 35- B. 35± C. 45 D. 45± 4. 已知ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，则AB AC ⋅=（ ）A. 2B.C. 4D. 5. 已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，ϕ分别是（ ）A. 1ω=，6πϕ=-B. 2ω=，6πϕ=C. 1ω=，3πϕ=- D. 2ω=，3πϕ=6. 在ABC △中，若222a c b +=，则B ∠=（ ） A. 6π B. 3π C. 23π D. 56π 7. 要得到函数3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象（ ） A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移6π个单位长度 C. 向右平移12π个单位长度 D. 向左平移12π个单位长度8. 已知正四棱锥的侧棱长为2则该正四棱锥的表面积为（ ）A. B. 2+ C. 4+ D. 4+9. 在平面直角坐标系xOy 中，AB ，CD ，EF ，GH 是单位圆上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α是以Ox 为始边，OP 为终边.则“点P 在CD 上”是“tan sin cos ααα>>”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别为1AA ，1CC 的中点，O 为底面ABCD 的中心，点P 在正方体的表面上运动，且满足NP MO ⊥，则下列说法正确的是（ ）A. 点P 可以是棱1BB 的中点B. 线段NP 的最大值为2C. 点P 的轨迹是平行四边形D. 点P 轨迹的长度为1+第二部分（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11. 函数3tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是___________. 12. 设a R ∈，复数()()1z i a i =--.若复数z 是纯虚数，则a =__________；若复数z 在复平面内对应的点位于实轴上，则a =__________.13. 已知单位向量a ，b 满足12a b ⋅=，则a 与b 夹角的大小为__________；2a b -=__________. 14. 已知l 是平面β外的一条直线.给出下列三个论断：①αβ⊥；②l α⊥；③//l β.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________.15. 已知sin 3cos 0αα+=，则2sin 2cos αα+=__________.16. 设向量4cos ,02x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin ,12x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()f x m n =⋅.若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[]1,2-.给出下列四个结论：①3π； ②56π； ③π； ④76π. 则b a -的值可能是__________.（填上所有正确的结论的序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知3sin 5α=，且α是第二象限角. （Ⅰ）求sin 2α及tan 2α的值；（Ⅱ）求cos 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 18. 已知向量()1,2a =，()3,2b =-.（Ⅰ）求a b -；（Ⅱ）求向量a 与向量b 的夹角θ的余弦值； （Ⅲ）若10c =，且()2a c c +⊥，求向量a 与向量c 的夹角. 19. 在ABC △中，73a c =，sin C =.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）A ∠的大小；（Ⅱ）cos B 和b 的值.条件①：1b a -=； 条件②：3cos 2c A =-. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.20. 如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，//AB CD ，AB AD ⊥，E 为1AA 上一点，1AB AD AE ===，2CD =.（Ⅰ）求证：BE AD ⊥；（Ⅱ）求证：//BE 平面11CDD C ；（Ⅲ）设平面EBC 与棱1DD 交于点F ，确定点F 的位置，并求出线段DF 的长度.21. 已知函数2()sin cos (0)2222xxxf x ωωωω=+->. （Ⅰ）若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x ≥在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数ω的取值范围； （Ⅲ）若1ω=，()1083g x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >.昌平区2020—2021学年第二学期高一年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准2020.7一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1-5：ABACD 6-10：DCCAB二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 3,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭12. -1；1 13. 3π14. 若αβ⊥，l α⊥，则//l β.⇒①②③若l α⊥，//l β，则αβ⊥.⇒②③① 15. 12- 16. ②③④ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 解：（Ⅰ）已知3sin 5α=，且α是第二象限角. 所以4cos 5α=-，3tan 4α=-. 所以24sin 22sin cos 25ααα==-， 22tan 24tan 21tan 7ααα==--. （Ⅱ）因为22cos 2cos sin sin cos cos sin sin 444αααπππααα-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭===5=. 18. 解：（Ⅰ）因为()1,2a =，()3,2b =-， 所以()2,4a b -=-.所以(2)a b -=-=（Ⅱ）因为132(2)1a b =⨯+⨯--⋅=， 212a =+=23(b =+=所以c 165os 5a ba b θ-=-⨯⋅== （Ⅲ）因为()2a c c +⊥， 所以()20a c c +⋅=.即220a c c ⋅+=. 所以22cos ,0ac a c c +=. 即2cos ,100a c +=，所以2cos ,a c =- 因为[],0,a c π∈， 所以3,4a c π=. 19. 解：选择①：1b a -=.（1）在ABC △中，因为73a c =，sin C =，所以由正弦定理得sin sin 2a A C c ==. 因为1b a -=，所以a b <.所以02A π<∠<. 所以3A π∠=.（Ⅱ）因为73a c =， 所以a c >.所以02C π<∠<.因为sin C =，所以13cos 14C ==. 所以[]cos cos ()cos()B A C A C π=-+=-+ sin sin cos cos A C A C =-11312147=-⨯=-.法一：所以sin7B==.=，即78b a=.因为1b a-=，所以8b=.法二：因为1b a-=，所以1a b=-.因为73a c=，所以33(1)77c a b==-.所以2222cosb ac ac B=+-22931 (1)(1)2(1)(1)4977b b b b⎛⎫=-+---⨯-⨯-⎪⎝⎭.所以224964(1)b b=-.所以()781b b=-.所以8b=.（或215128640b b-+=.即()()15880b b--=）所以815b=或8b=.因为1b a-=，所以815b=（舍）.所以8b =. 解：选择②：3cos 2c A =-.（Ⅰ）在ABC △中，因为73a c =，sin C =，所以由正弦定理得sin sin 2a A C c ==. 在ABC △中，3cos 2c A =-， 所以2A ππ<∠<. 所以23A π∠=. （Ⅱ）因为73a c =， 所以a c >. 所以02C π<∠<.因为sin C =，所以13cos 14C ==. 所以[]cos cos ()cos()B A C A C π=-+=-+ sin sin cos cos A C A C =-1131121421414=+⨯=. 法一：所以sin B ==因为3cos 2c A =-， 所以32312c -==-.=所以5b =.法二： 因为3cos 2c A =-， 所以32312c -==-. 所以773a c ==. 所以2222cos b a c ac B =+- 114992732514=+-⨯⨯⨯=. 所以5b =. 20. 解：（Ⅰ）在直四棱柱1111ABCD A BC D -中， 因为1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以1AA AD ⊥.因为AB AD ⊥，1AB AA A =，所以AD ⊥平面11ABB A .因为BE ⊂平面11ABB A ，所以BE AD ⊥.（Ⅱ）法一：因为//AB CD ，11//AA DD ，1ABAA A =，1CD DD D =，所以平面11//ABB A 平面11CDD C .因为BE ⊂平面11ABB A ，所以//BE 平面11CDD C .法二：取CD 中点H ，连接BH .因为1AB =，2CD =，//AB CD ，所以//AB HD 且AB HD =.所以ABHD 是平行四边形.所以//BH AD 且BH AD =.在1DD 上取点G ，使1DG AE ==，连接EG . 所以//AE DG 且AE DG =.所以ADGE 是平行四边形.所以//EG AD 且EG AD =.所以//BH EG 且BH EG =.所以BEGH 是平行四边形.所以//BE GH .因为BE ⊄平面11CDD C ，GH ⊂平面11CDD C ， 所以//BE 平面11CDD C .（Ⅲ）法一：延长CB ，DA 交于点G ，连结GE ，延长GE 交1DD 于点F ，连接CF . 因为//AB CD ，1AB =，2CD =，所以A ，B 分别为GD ，GC 的中点.因为//AE DF ，所以E 为GF 的中点.所以22DF AE ==.法二：由（Ⅱ）法二，在平面11CDD C 中作//CF GH ，交1DD 于点F ，连接EF . 所以//CF BE .所以点F 即为平面EBC 与棱1DD 的交点.因为H 为CD 中点，所以G 为DF 中点.因为1DG AE ==，所以2DF =.21. 解：（Ⅰ）因为2()sin cos 222xxxf x ωωω=11cos2sin cos 2222x x x ωωω+=⨯+1sin 22x x ωω=+ sin 3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为()f x 的最小正周期为π，所以2ω=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为函数sin y x =的单调递增区间为2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，由222232k x k πππππ-≤+≤+， 得51212k x k ππππ-≤≤+. 所以()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅱ）由第（Ⅰ）问可知，()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.要使()f x ≥在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，只需sin 3x πω⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立. 因为0,3x π⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，0ω>， 所以,3333x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦.当33x ππω+=时，即0x =时，sin 32x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当233x ππω+=时，sin 3x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭.所以要使()f x ≥在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，只需23333ππωππ<+≤， 即01ω<≤.所以ω的取值范围是(]0,1.（Ⅲ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >.由45<可知，存在003πα<<，使得04sin 5α=.由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >. 因为sin y x =的周期为2π， 所以当()002,2()x k k k Z παππα∈++-∈时，均有4sin 5x >. 因为对任意的整数k ，()()000222k k ππαπαπα+--+=-， 因为023ππαπ<-<，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2()k x k k k Z παππα∈++-∈，使得4sin 5k x >. 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >.。

昌平区2020-2021学年第一学期期末考试初一语文试卷本试卷共10页，共100分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、基础•运用（共16分）1. 下面词语中加点字注音全都正确的一项是（）A. 应和．（hè）分歧．（qí）愚．蠢（yū）称．心如意（chènɡ）B. 嘹．亮（liáo）静谧．（mì）庇．护（bì）严惩．不贷（chénɡ）C. 着．落（zhuó）订．正（dīnɡ）徘．徊（pái）畏罪潜．逃（qiǎn）D. 粗犷．（kuànɡ）狭隘．（ài）沉淀．（diàn）混．为一谈（hǔn）【答案】B【解析】【分析】【详解】A.愚．蠢（yū）——（yú），称．心如意（chènɡ）——（chèn）；C.订．正（dīnɡ）——（dìng），畏罪潜．逃（qiǎn）——（qián）；D.粗犷．（kuànɡ）——（guǎng），混．为一谈（hǔn）——（hùn）；故选B。

2. 下面词语中汉字书写有误的一项是（）A. 补偿企盼安详杞人忧天B. 绵延筹划轻捷骇人听闻C. 央求纯粹晕眩呼朋引伴D. 决别烘托烂漫明辩是非【答案】D【解析】【分析】【详解】D.有误，决——诀，辩——辨。

3. 阅读下面文字，完成小题。

当生命遭遇寒冬，当民族陷入危难．，总有这样一种精神，在大难．中生根，在苦难．中磨砺，在艰难．中成长，激___（厉励）我们不断奋起、勇毅前行。

面对突如其来的疫情，全国亿万人民携手并肩，团结奋斗，展现出强大的精神力量，凝结成不___（屈曲）的民族精魂。

在这场___（艰苦卓绝含辛茹苦）的奋斗中，我们不仅取得了抗疫斗争的重大战略___（成果结果），我们更看到了全国人民敢于斗争、敢于胜利的英雄本色，炽热深沉、守望相助的家国情怀，勇于担当、甘于奉献的崇高品格。

5.1.1相交线建议用时:45分钟 总分50分一 选择题（每小题3分，共18分）1．（2020 •朝阳区月考）已知一次函数y kx b =+，当1x =时，1y =-，当2x =时，1y =，则函数的解析式为( )A ．y x =-B ．23y x =-C ．1y x =-D ．2y x =-B 【解析】把1x =，1y =-；2x =，1y =代入y kx b =+得121k b k b +=-⎧⎨+=⎩， 解得：23k b =⎧⎨=-⎩， 则函数的解析式为23y x =-．故选：B ．2．（2020 •诸城市期末）已知变量y 与x 的关系满足下表，那么能反映y 与x 之间的函数关系的解析式是( )C 【解析】设y 与x 之间的函数关系的解析式是(0)y kx b k =+≠，把(1,1)，(0,2)代入得12k b b +=⎧⎨=⎩， 解得12k b =-⎧⎨=⎩， 所以，y 与x 之间的函数关系的解析式是2y x =-+．经检验，其余各点都满足函数的解析式，故选：C ．3．（2020 •南召县月考）如果直线2y x m =+与两坐标轴围成的三角形面积等于4，则m 的值是( )A ．3±B ．3C ．4±D ．4C 【解析】直线与x 轴的交点为：(2m -，0)，与y 轴的交点为：(0,)m ， ∴1||||422m m =，解得4m =±． 故选：C ．4．（2020•蚌埠期末）已知y 与(2)x -成正比例，当1x =时，2y =-．则当3x =时，y 的值为( )A ．2B ．2-C ．3D ．3-A 【解析】y 与(2)x -成正比例，∴设(2)y k x =-，由题意得，2(12)k -=-，解得，2k =，则24y x =-，当3x =时，2342y =⨯-=，故选：A ．5．（2020 •和平区期末）某个一次函数的图象与直线162y x ==+平行，并且经过点(2,4)--，则这个一次函数的解析式为( )A ．152y x =--B ．132y x =+C ．132y x =-D ．28y x =--C 【解析】由一次函数的图象与直线162y x ==+平行，设直线解析式为12y x b =+， 把(2,4)--代入得：41b -=-+，即3b =-， 则这个一次函数解析式为132y x =-． 故选：C ．6.（2020•北仑区模拟）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l 的解析式为( )A ．y x =-B ．34y x =-C ．35y x =- D ．910y x =- D 【解析】设直线l 和八个正方形的最上面交点为A ，过A 作AB OB ⊥于B ，B 过A 作AC OC ⊥于C ，正方形的边长为1，3OB ∴=，经过原点的一条直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，415AOB S ∆∴=+=， ∴152OB AB =， 103AB ∴=， 103OC ∴=， 由此可知直线l 经过10(3-，3)， 设直线方程为y kx =， 则1033k =-， 910k =-，∴直线l 解析式为910y x =-， 故选：D ．二、填空题（每小题3分，共9分）7．（2020 •昌平区期末）一次函数y kx b =+的图象如图所示，则b 的值为 2 ．2【解析】一次函数y kx b =+的图象与y 轴的交点为(0,2)，2b ∴=，故答案为2．8．（2021 •洛宁县期末）已知正比例函数(32)y m x =-的图象上两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当12x x <时，有12y y >，那么m 的取值范围是 ．23m <【解析】当12x x <时，有12y y >， y ∴随x 的增大而减小， 320m ∴-<， 解得：23m <． 故答案为：23m <． 9．（2021•德城区月考）已知一次函数0.52y x =-+，当14x 时，y 的最大值是 1.5 ．1.5【解析】在一次函数0.52y x =-+中0.50k =-<，y ∴随x 值的增大而减小，∴当1x =时，y 取最大值，最大值为0.512 1.5-⨯+=． 故答案是：1.5．三、解答题（7分+8分+8分= 23分）10.（2020•宁明县期中）已知，函数(13)21y k x k =-+-，试回答：（1）k 为何值时，图象过原点？（2）k 为何值时，y 随x 增大而增大？解：（1）函数(13)21y k x k =-+-的图象过原点，∴130210k k -≠⎧⎨-=⎩，解得12k =；（2）y 随x 增大而增大，130k ∴->，解得13k <． 11．（2020•吉安模拟）为鼓励市民节约用水，某市自来水公司按分段收费标准收费，右图反映的是每月收水费y （元)与用水量x （吨)之间的函数关系（1）小红家五月份用水8吨，应交水费 17.6 元；（2）按上述分段收费标准，小红家三、四月份分别交水费36元和19.8元，问四月份比三月份节约用水多少吨？解：（1）从函数图象可知10吨水应交22元，那么每吨水的价格是：2210 2.2÷=（元)小红家五月份用水8吨，应交水费：8 2.217.6⨯=（元)故答案为：17.6；（2）由图可得10吨内每吨2.2元，当19.8y =元时，10x <，19.8 2.29x ∴=÷=，当10x 时，设y 与x 的函数关系式为：(0)y kx b k =+≠，当10x =时，22y =，当20x =时，57y =，将它们分别代入y kx b =+中得：10222057k b k b +=⎧⎨+=⎩解得： 3.513k b =⎧⎨=-⎩， 那么y 与x 的函数关系式为： 3.513y x =-，当36y =时，知道10x >，将36y =代入得 3.513y x =-，解得14x =．∴四月份比三月份节约用水：1495-=（吨)．答：四月份比三月份节约用水5吨．12.（2020•宿迁模拟）一辆货车从甲地出发以50/km h 的速度匀速驶往乙地，行驶1h 后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地，轿车行驶0.8h 后两车相遇，图中折线ABC 表示两车之间的距离()y km 与货车行驶时间()x h 的函数关系．（1）甲乙两地之间的距离是 150 km ，轿车的速度是 /km h ；（2）求线段BC 所表示的函数表达式；（3）在图中画出货车与轿车相遇后的()y km 与()x h 的函数图象．解：（1）由题意可得，甲乙两地之间的距离是150km ，轿车的速度是；(15050 1.8)0.875/km h -⨯÷=， 故答案为：150，75；（2）点B 的纵坐标是：150501100-⨯=，∴点B 的坐标为(1,100)，设线段BC 所表示的函数表达式是y kx b =+， 1001.80k b k b +=⎧⎨+=⎩，得125225k b =-⎧⎨=⎩， ∴线段BC 所表示的函数表达式是125225y x =-+；（3）货车到达乙地用的时间为：150503÷=（小时）， 轿车到达甲地用的时间为：150752÷=（小时），因为货车提前1小时出发，所以它们同时到达目的地， 货车与轿车相遇后的()y km 与()x h 的函数图象如右图所示．。

2020-2021学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={1,2，3，5}，B={2,3}，那么A∪B=()A. {2,3}B. {1,5}C. {1,2，3，5}D. {3}2.复数2i1+i=()A. 1+iB. 1−iC. iD. 23.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是()A. y=sinxB. y=x3C. y=2−xD. y=ln|x|4.(2+√x)4的展开式中常数项是()A. 8B. 16C. 24D. 325.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，那么点P到y轴的距离是()A. 2B. 3C. 4D. 56.函数f(x)=ln(x+1)−1x的一个零点所在的区间是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为()A. 4B. 5C. 4√2D. √418.已知a∈R，则“a=1”是“函数f(x)=cos2ax−sin2ax的最小正周期为π”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知直线y=kx+1与圆x2−4x+y2=0相交于M，N两点，且|MN|≥2√3，那么实数k的取值范围是()A. −4≤k≤−13B. 0≤k≤43C. k≥0或k≤−43D. −43≤k≤010.斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{a n}可以用如下方法定义：a n=a n−1+a n−2(n≥3,n∈N∗)，a1=a2=1.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{b n}，则b2021=()A. 1B. 2C. 3D. 5二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知{a n}是等差数列，若a1=1，a7=13，则a4=______ ．12.已知向量a⃗=(2,m)，b⃗ =(1,2)，且a⃗⊥b⃗ ，则实数m=______ ．13.已知双曲线x2a2−y29=1(a>0)的离心率是54，则双曲线的右焦点坐标为______ ．14.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(φ<|π2|)，那么函数f(x)的最小正周期是______ ：若函数f(x)在[π2,5π6]上具有单调性，且f(π2)=−f(5π6)，则φ=______ ．15.高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选3个科目构成“选考科目组合”参加高考.已知某班37名学生关于选考科目的统计结果如表：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数24281415a b下面给出关于该班学生选考科目的四个结论：①若a=19，则b=11；②选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人；③在选考化学的所有学生中，最多出现10种不同的选考科目组合；④选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的．其中所有正确结论的序号是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//CD，AD⊥CD，且AD=CD=PD=2AB=2．(Ⅰ)求证：AB⊥平面PAD；(Ⅱ)求二面角P−BC−A的余弦值．17.在△ABC中，b=7，c=5，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(Ⅰ)∠B的值；(Ⅱ)△ABC的面积．条件①：sin2B=sinB；条件②：cos2B=cosB．18.智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．20(Ⅱ)从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望；(Ⅲ)医学上通常认为，人的体温在不低于37.3°C且不高于38°C时处于“低热”状态.该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3°C，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．19.已知函数f(x)=alnx+12x2−(a+1)x+1．(Ⅰ)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极小值，求实数a的取值范围．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，且离心率为12．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设过点F(1,0)且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，判断|AB||DF|是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．21.已知数列{a n}，从中选取第i1项、第i2项、……、第i m项(i1<i2<⋯<i m)，若a i1<a i2<⋯<a im，则称新数列a i1,a i2,…,a im为{a n}的长度为m的递增子列.规定：数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列．(Ⅰ)写出数列9，2，6，7，3，5，8的一个长度为4的递增子列；(Ⅱ)设数列{a n}，a n=n，1≤n≤14.若数列{a n}的长度为p的递增子列中，任意三项均不构成等差数列，求p 的最大值；(Ⅲ)设数列{a n}为等比数列，公比为q，项数为N(N≥3).判定数列{a n}是否存在长度为3的递增子列：1，16，81？若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1,2，3，5}，B={2,3}，∴A∪B={1,2，3，5}．故选：C．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：复数2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i+21+1=1+i．故选：A．根据复数代数形式的运算法则，计算即可．本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：对于A，y=sinx是奇函数，但在区间(0,+∞)上不单调，不符合题意；对于B，y=x3是奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；对于C，y=2−x=(12)x为非奇非偶函数，不符合题意；对于D，y=ln|x|为偶函数，不符合题意．故选：B．由基本初等函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：(2+√x)4的展开式的通项公式为T r+1=C4r24−r(√x)r，当r=0时，可得展开式中的常数项为C4024=16．故选：B．由二项展开式的通项公式即可求解．本题主要考查二项式定理，考查二项展开式中特定项的求法，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由抛物线的方程可得：p=2，又由抛物线的定义可知点P到F的距离等于点P到抛物线的准线的距离，则点P到y轴的距离为|PF|−p2=5−1=4，故选：C．由抛物线的方程即可求出p的值，再由抛物线的定义即可求解．本题考查了抛物线的方程以及定义，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：题中所给的函数具有连续性，且：f(1)=ln2−1=ln2−lne<0,f(2)=ln3−12=ln3−ln√e>0，由函数零点存在定理可得函数的一个零点所在的区间是(1,2)．故选：B．由题意利用函数零点存在定理结合所给的选项即可确定函数零点所在的区间．题主要考查函数零点存在定理及其应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：作出三棱锥的直观图如图所示：三棱锥是长方体的一个角，且AC=4，BA=3，AD=4，∴DC=4√2，BC=5，BD=5．该三棱锥的最长棱的棱长为4√2．故选：C．作出棱锥的直观图，根据勾股定理计算各棱长得出结论．本题考查了常见几何体的三视图，棱锥的结构特征，属于中档题．8.【答案】A=π，【解析】解：当a=1时，函数f(x)=cos2x−sin2x=cos2x，所以函数的最小正周期为T=2π2当函数f(x)=cos2ax−sin2ax的最小正周期为π时，则a=±1．则“a=1”是“函数f(x)=cos2ax−sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．故选：A．直接利用三角函数关系式的变换，三角函数的性质，充分条件和必要条件的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的性质，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：当弦长|MN|=2√3时，弦心距d=1若|MN|≥2√3，则d≤1，≤1，即圆心(−2,0)到直线kx−y+2=0的距离d=|2k+1|√1+k2,0]，求得k∈[−43故选：D．当弦长|MN|=2√3时，利用弦长公式求得弦心距d=1，故当|MN|≥2√3，则d≤1，由此求得k的范围．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由题设可得数列{a n}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，数列{b n}：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，∴数列{b n}是周期为6的周期数列，∴b2021=b336×6+5=b5=1，故选：A．先由题设写出斐波那契数列{a n}的一些项，进而写出新数列{b n}的一些项，再由数列{b n}的项的规律求得结果即可．本题主要考查数列的周期性在求数列的项中的应用，属于基础题．11.【答案】7【解析】解：∵{a n}是等差数列，a1=1，a7=13，∴a7=1+6d=13，解得d=2，∴a4=1+3×2=7．故答案为：7．利用等差数列通项公式列出方程，求出公差d，由此能求出a4的值．本题考查等差数列的第4项的求法，考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】−1【解析】解：∵向量a⃗=(2,m)，b⃗ =(1,2)，且a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =2×1+m×2=0，∴实数m=−1，故答案为：−1．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得m的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．13.【答案】(5,0)【解析】解：双曲线x2a2−y29=1(a>0)的离心率是54，可得√a2+9a =54，解得a=4，则c=√16+9=5，所以双曲线的右焦点坐标为(5,0)．故答案为：(5,0)．利用离心率求出a，然后求解双曲线的焦点坐标．本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．14.【答案】π−π3【解析】解：因为函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)，所以T=2π2=π，故函数f(x)的最小正周期是π；因为f(π2)=−f(5π6)，则函数f(x)的一个对称中心为(π2+5π62,0)，即关于点(2π3,0)对称，令2×2π3+φ=kπ，解得φ=−4π3+kπ,k∈Z，又因为|φ|<π2，故φ=±π3，当φ=π3时，f(x)=sin(2x+π3)，当x∈[π2,5π6]时，2x+π3∈[4π3,2π]，又函数y=sinx在[4π3,2π]上不是单调函数，故函数f(x)在[π2,5π6]上不具有单调性，不符合题意；故φ=−π3．利用三角函数的周期计算公式即可求出函数f(x)的最小正周期；先利用f(π2)=−f(5π6)，得到f(x)的一个对称中心，从而求出符合条件|φ|<π2的φ的值，然后再进行检验是否满足函数f(x)在[π2,5π6]上具有单调性，即可得到答案．本题考查了三角函数性质的应用，涉及了三角函数的周期性、对称性、单调性，要掌握三角函数的周期计算公式． 15.【答案】①②③【解析】解：因为全班有37个人，一共有37×3种选法，若a =19，则有24+28+14+15+19+b =37×3，解得b =11，故选项①正确；一共有37个人，其中有28个人选化学，则共有9人未选化学，所以选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人，故选项②正确；选考化学的所有学生中，还可以再选两科，即5科中选2科，一共有C 52=5×42×1=10种选法，故选项③正确； 因为在所给的已知条件中，a 和b 的值都是未知的，故选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数和选考科目组合为“生物+历史+政”的学生人数不确定谁多谁少，故选项④错误． 故答案为：①②③．利用全班一共有37个人，结合每个学生可以任选3个科目对每个选项进行逐一的分析判断即可． 本题考查了命题真假的判断，涉及了排列组合的应用，主要考查的是学生的逻辑推理能力． 16.【答案】(Ⅰ)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AB.(2分)因为AB//CD ，AD ⊥CD ， 所以AD ⊥AB.(4分)因为PD ∩AD =D ，(5分) 所以AB ⊥平面PAD.(6分)(Ⅱ)解：因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，(7分)所以以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ． 则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,1，0)，C(0,2，0)，P(0,0，2)，(8分) 所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)．设平面PBC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， {n −⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y −2z =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y =0， 令x =1，于是n⃗ =(1,2,2).(10分) 因为PD ⊥平面ABCD ，所以平面ABC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0,1)，(11分) 所以cos〈n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ 〉=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=23.(12分) 由题知二面角P −BC −A 为锐角，所以其余弦值是23.(13分)【解析】(Ⅰ)证明PD⊥AB，说明AD⊥CD，AD⊥AB.即可证明AB⊥平面PAD．(Ⅱ)以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系D−xyz.求出平面PBC的法向量，平面ABC的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．17.【答案】解：选择条件①：(Ⅰ)因为sin2B=sinB，所以sinB(2cosB−1)=0，因为0<B<π，所以sinB>0，，所以cosB=12．所以B=π3(Ⅱ)由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，得72=a2+52−2×a×5×cosπ，3所以a2−5a−24=0，解得a=8或a=−3，所以a=8，acsinB=10√3．所以△ABC的面积S=12选择条件②：(Ⅰ)因为cos2B=cosB，所以2cos2B−cosB−1=0，解得cosB=1或cosB=−1，2因为0<B<π，，所以cosB=−12．所以B=2π3(Ⅱ)由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，得72=a2+52−2×a×5×cos2π，3所以a2+5a−24=0，解得a=3或a=−8(舍负)，所以a=3，所以△ABC 的面积S =12acsinB =154√3．【解析】选择条件①：(Ⅰ)利用二倍角的正弦公式化简可得sinB(2cosB −1)=0，由于sinB >0，可求cos B 的值，进而可求B 的值； (Ⅱ)由余弦定理可得a 2−5a −24=0，解方程可求a 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 选择条件②：(Ⅰ)利用二倍角公式可求2cos 2B −cosB −1=0，解方程可求cosB =−12，进而可求B 的值；(Ⅱ)由余弦定理可得a 2+5a −24=0，解方程可求a 的值，根据三角形的面积公式即可求解． 本题主要考查了二倍角公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是 01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20，共有12种情况； 由此估计所求的概率为1220=35．(Ⅱ)随机变量X 的所有可能取值为X =0，1，2，3；由(Ⅰ)可知，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为35．所以P(X =0)=C 30(35)0(1−35)3=8125； P(X =1)=C 31(35)1(1−35)2=36125； P(X =2)=C 32(35)2(1−35)1=54125； P(X =3)=C 33(35)3(1−35)0=27125；所以X 的分布列为计算X 的数学期望为E(X)=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=225125=95．(Ⅲ)设这3人中至少有1人处于“低热”状态为事件N ，表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共计4种情况，由此估计从社区任意抽査1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为15.由此估计，这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为P(N)=1−(15×15×15)=124125．结论1：因为P(N)=124125，接近于1，由此可以认定这3人中至少有1人处于“低热”状态． 结论2：因为P(N)=124125<1，所以有可能这3人都不处于“低热”状态．【解析】(Ⅰ)找出表中用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号，计算所求的概率值． (Ⅱ)写出随机变量X 的所有可能取值，计算对应的概率值，写出X 的分布列，求出数学期望值． (Ⅲ)计算这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率值，由此写出合理性的结论即可．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了数据分析与运算能力，是中档题．19.【答案】解：(I)当a=0时，f(x)=12x2−x+1，(1分)所以f′(x)=x−1，(3分)所以k=f′(2)=1，(4分)因为f(2)=12×22−2+1=1.(5分)所以切线方程为y=x−1.(6分)(Ⅱ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)．因为f(x)=alnx+12x2−(a+1)x+1(7分)所以f′(x)=ax +x−a−1=x2−(a+1)x+ax.(9分)令f′(x)=0，即x2−(a+1)x+a=0，解得x=1或x=a.(10分)所以当时，取得极小值．所以a≤0成立．(11分)所以当时，取得极小值．所以0<a<1成立．(12分)(3)当a=1时，f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，没有板小值，不成立．(13分)所以当x=1时，f(x)取得极大值．所以a>1不成立．(14分)综上所述，a<1.(15分)【解析】(Ⅰ)代入a的值，求出函数的导数，计算f(2)，f′(2)，求出切线方程即可；(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极小值，确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查切线方程以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)依题意2a=4，a=2，离心率为12，c=1，则b2=3，(4分)故椭圆C的方程为x24+y23=1.(5分)(II)|AB||DF|是定值．(6分)理由如下：由已知得直线l：y=k(x−1)，(7分)代入椭圆方程x24+y23=1，消去y得(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0，(8分)所以△=(−8k 2)2−4(4k 2+3)(4k 2−12)=144k 2+144>0，(9分)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，(10分) 所以|AB|2=(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =(1+k 2)[(8k 24k +3)2−4(4k 2−12)4k +3]=(12(1+k 2)4k +3)2， 所以|AB|=12(1+k 2)4k 2+3.(11分)因为y 1+y 2=k(x 1+x 2−2)=k(8k 24k 2+3−2)=−6k 4k 2+3， 所以线段AB 的中点为(4k 24k 2+3,−3k 4k 2+3)，(12分)(1)当k =0时，.所以|AB||DF|=4.(13分)(2)当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y +3k 4k 2+3=−1k (x −4k 24k 2+3)， 令y =0，得x =k 24k 2+3，即D(k 24k 2+3,0)， 所以|DF|=|1−k 24k 2+3|=3(k 2+1)4k 2+3，(14分) 所以|AB||DF|=12(1+k 2)4k 2+33(1+k 2)4k 2+3=4，综上所述，|AB||DF|为定值4.(15分)【解析】(Ⅰ)依题意长轴长为4，且离心率为12.求出a ，c ，然后求解b ，得到椭圆方程．(II)直线l ：y =k(x −1)，代入椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出|AB|，求出AB 中点坐标，通过(1)当k =0时，所以|AB||DF|=4.(2)当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程求出D ，得到|DF|，然后转化求解即可、本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题． 21.【答案】解：(Ⅰ)长度为4的一个递增子列为：2，6，7，8(或2，3，5，8)；(Ⅱ)设数列{a n }的长度为P 的递增子列为：a i 1,a i 2,…,a i p ，i 1<i 2<⋯<i p ，因为数列{a n }：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，各项均为正整数，所以a i 3−a i 1≥3，(若a i 3−a i 1=2，则a i 1,a i 2,a i 3成等差数列)，同理a i 5−a i 3≥3，且a i 5−a i 3≠a i 3−a i 1，所以a i 5−a i 1≥7，同理a i 9−a i 5≥7，又因为a i 9−a i 5≠a i 5−a i 1，所以a i 9−a i 1≥15与已知条件矛盾，所以i p ≤8，构造数列{a n }的递增子列：1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三项均不构成等差数列，所以p 的最大值为8． (Ⅲ)不存在．理由如下：由题意，假设数列{a n }存在长度为3的递增子列：1，16，81，则存在1≤i 1<i 2<i 3≤N ，使a i 1=1,a i 2=16,a i 3=81，所以a i 2=a i 1q i 2−i 1，得q i 2−i 1=16，同理a i 3=a i 1q i 3−i 1，得q i 3−i 1=81，所以i3−i1i2−i1=log281log216=log23(∗)，下面证明log23为无理数：假设log23=km为有理数，且k，m互质，所以2k=3m，因为2k是偶数，3m是奇数，所以2k≠3m，与事实矛盾，故假设不成立，所以log23为无理数，又因为为有理数，所以(∗)式不成立，所以数列{a n}不存在长度为3的递增子列：1，16，81．【解析】(Ⅰ)根据定义直接写出符合条件的长度为4的一个递增子列；(Ⅱ)列出数列{a n}的项，根据题意可得a i5−a i1≥7，分析可得矛盾，即可求出p的最大值；(Ⅱ)反证法假设此递增子列存在，代入等比数列的通项公式进行化简变形，通过证明得出矛盾，从而可以证明．本题考查的是数列的新定义问题，试题以数列的有关知识为背景设计问题，要求学生能理解数列知识的基础上，利用基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意．。

2020-2021学年北京市昌平区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3}，B={x|x2−6x+8=0}，则集合(∁U A)∩B=()A. {4,6}B. {2,4}C. {2}D. {4}2.不等式的解集为()A. B.C. D.3.若x<3，则√9−6x+x2−|x−6|的值是()A. −3B. 3C. −9D. 94.已知a⃗=(1,2),b⃗ =(m,m+3)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=()A. −2B. 2C. −7D. 75.若b<0<a，d<c<0，则()A. ac>bdB. ac >bdC. a−c>b−dD. a−d>b−c6.袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出2个都是白球的概率是()A. 35B. 12C. 25D. 1107.已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，且满足f(1+x)=f(1−x)，当x∈[−1,1]时，f(x)=1−x2，若函数g(x)=log5x，则ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间(0,5]内的零点的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 58.已知函数f(x)是定义在R上的函数，当x>0时，f(x){2|x−1|−1,0<x≤212f(x−2),x>2则函数g(x)=xf(x)−1在[−6,+∞)上的所有零点之和为()A. 7B. 8C. 9D. 109.若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．()A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要10.方程的解为等于()A. 1B. eC. 10D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11. 若命题“∃x 0∈R ，2x 02−3mx 0+9<0”为假命题，则实数m 的取值范围是 ．12. 幂函数y =f(x)的图象经过点(−2, −18)，则满足f(x)=64的x 的值是______ ．13. 在△ABC 所在平面内一点P ，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，延长BP 交AC 于点D ，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=_______．14. 已知函数f(x)=x 3+sinx +m −3是定义在[n,n +6]上的奇函数，则m +n = ______ ． 三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）15. 如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是 (1) ；乙组数据的平均数是 (2) ．16. 设函数f(x)={log 2x,x >0x 2+x,x ≤0，则f[f(−2)]= ，方程f(x)=2的解为 ．四、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17. 某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40)，[40,50)，…[90,100]，整理得到如图频率分布直方图：(Ⅰ)若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；(Ⅱ)若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；(Ⅲ)若规定分数在[80,90)为“良好”，[90,100]为“优秀”.用频率估计概率，从该校高三年级随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．18. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为交点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ (1)试以a ⃗ ，b ⃗ 为基底表示DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、CG ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)若AD =2，AB =3，∠DAB =60°，求BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CG ⃗⃗⃗⃗⃗19. 孝感为中国生活用纸之乡．为庆祝“2021年中国孝感纸都节”，在开幕式现场进行嘉宾现场抽奖活动．抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“孝感纸都”和“纸都孝感”两种标志，摇匀后抽奖，规定：参加者每次从盒中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀)，若抽到的两个小球都印有“孝感纸都“即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次．已知从盒中抽取两个小球不都是“纸都孝感”标志的概率为35． (1)求盒中印有“纸都孝感”标志的小球个数； (2)求某位嘉宾抽奖两次的概率．20. 某企业为打入国际市场，决定从A 、B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已 知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)项目类别 年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A 产品 10 m 5 100B 产品204960其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[3,4].另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．21. 已知集合A=，其中}，B=}，且A B=R，求实数的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：本题考查补集、交集的求法，属于基础题．先求出集合B和∁U A，由此能求出集合(∁U A)∩B．解：∵全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3}，B={x|x2−6x+8=0}={2,4}，∴∁U A={1,4,5,6}，则集合(∁U A)∩B={4}．故选：D．2.答案：A解析：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的数学思想，解答此类题的关键是掌握两数相除，同号得正，异号得负的取符号法则．解：故不等式的解集为。

2020-2021学年北京市昌平区某学校高一上学期期末考试英语试题第I卷第一部分听力(共两节，满分30分)第一节(共5小题，每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回来有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Where are the speakers probably?A. In a store.B. In the restaurant.C. In the train station.2. When will the speakers go to the book fair?A. On Tuesday.B. On Saturday.C. On Sunday.3. Why does the woman call the man?A. To get a phone number.B. To make an appointment.C.To book a table. 4. What makes people lose hair according to the man? A. Washing every day. B. Staying up. C. Wearing a hat. 5. What time is it now? A. 7:45. B. 8:45. C. 9:45. 第二节(共15小题，每小题1.5分，满分22.5分) 听下面5段对话或独白，每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6和第7题。

6. Why can’t Charlie go to the beach today?A.The weather is terrible. B. He is busy with the housework. C. He has to do his homework. 7. What’s Charlie going to do tomorrow?A. Take a test. B. Go swimming. C. Watch the sunset. 听第7段材料，回答第8和第9题。

2020-2021学年北京市昌平区新学道临川学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．下列函数中与函数y＝x是同一函数的是（）A．y＝|x|B．y＝C．y＝（）2D．y＝3．当a＞0且a≠1时，函数f（x）＝a x+1﹣1的图象一定过点（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（﹣1，0）D．（1，0）4．幂函数f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（）A．0B．1C．2D．1或25．计算log225•log32•log59的结果为（）A．3B．4C．5D．66．已知函数y＝f（x）定义域是[﹣2，3]，则y＝f（2x﹣1）的定义域是（）A．B．[﹣1，4]C．D．[﹣5，5]7．已知实数a，b满足2a＝3，3b＝2，则函数f（x）＝a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）8．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x﹣1B．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x﹣1C．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x﹣1D．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x﹣19．函数f（x）＝log2|x|，g（x）＝﹣x2+2，则f（x）•g（x）的图象只可能是（）A．B．C．D．10．若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）11．已知方程9x﹣2•3x+3k﹣1＝0有两个实根，则实数k的取值范围为（）A．[，1]B．（，]C．[，+∞）D．[1，+∞）12．已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若幂函数y＝（m2﹣2m﹣2）x﹣4m﹣2在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值是．15．函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上递减，则实数a的取值范围是．16．如果非空数集A满足：①0∉A；②若∀x∈A，有∈A，那么称A是“互倒集”．给出以下数集：①{x∈R|x2+ax+1＝0}；②{x|x2﹣6x+1≤0}；③{y|y＝，x∈[1，4]}；其中“互倒集”的是.（请在横线上写出所有正确答案的序号）三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0}，B＝{a，2，2a﹣1}．（1）求集合A；（2）若A⊆B，求实数a的值．18．化简下列各式：（1）（2）0+2﹣2•（2）﹣（0.01）0.5；（2）．19．设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）＝f（x）f（y）．（1）求f（0）的值；（2）证明：f（x）在R上是减函数．20．已知函数f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，且当x∈[0，4]时，f（x）＝．（1）平面直角坐标系中，画出函数f（x）的图象；（2）根据图象，直接写出f（x）的单调增区间，同时写出函数的值域．21．已知指数函数y＝g（x）满足：g（3）＝8，定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）确定y＝f（x）和y＝g（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（2x﹣3）+f（x﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围．22．如果函数f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使得该函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，则称函数f（x）是该定义域上的“和谐函数”．（1）判断函数f（x）＝log2（x+1）是不是“和谐函数”，并说明理由；（2）若函数是“和谐函数”，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．解：集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝{3，5}．故选：B．2．下列函数中与函数y＝x是同一函数的是（）A．y＝|x|B．y＝C．y＝（）2D．y＝【分析】逐一分析给定函数的定义域和解析式是否一致，进而根据同一函数的定义，可得答案．解：y＝|x|与函数y＝x解析式不同，不是同一函数；y＝＝|x|与函数y＝x解析式不同，不是同一函数；y＝（）2＝x，（x≥0）与函数y＝x定义域不相同，不是同一函数；y＝＝x与函数y＝x定义域解析式均相同，是同一函数；故选：D．3．当a＞0且a≠1时，函数f（x）＝a x+1﹣1的图象一定过点（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（﹣1，0）D．（1，0）【分析】根据a0＝1（a≠0），因此令x+1＝0即可求出函数f（x）＝a x+1﹣1的图象所过的定点坐标．解：当x+1＝0，即x＝﹣1时，a x+1﹣1＝0恒成立，故函数f（x）＝a x+1﹣1的图象一定过点（﹣1，0），故选：C．4．幂函数f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（）A．0B．1C．2D．1或2【分析】利用幂函数的定义及性质列出方程组，由此能求出实数m的值．解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，∴，解得m＝2．故选：C．5．计算log225•log32•log59的结果为（）A．3B．4C．5D．6【分析】由换底公式我们可将log225•log32•log59转化为以一个以10为底的对数，再利用对数运算性质log（an）Nm＝log aN，易求结果．解：原式＝••＝••＝6．故选：D．6．已知函数y＝f（x）定义域是[﹣2，3]，则y＝f（2x﹣1）的定义域是（）A．B．[﹣1，4]C．D．[﹣5，5]【分析】根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论．解：∵函数y＝f（x）定义域是[﹣2，3]，∴由﹣2≤2x﹣1≤3，解得﹣≤x≤2，即函数的定义域为[﹣，2]，故选：C．7．已知实数a，b满足2a＝3，3b＝2，则函数f（x）＝a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）＝（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）＝1﹣log32＞0，f（﹣1）＝log32﹣1﹣log32＝﹣1＜0，判定即可．解：∵实数a，b满足2a＝3，3b＝2，∴a＝log23＞1，0＜b＝log32＜1，∵函数f（x）＝a x+x﹣b，∴f（x）＝（log23）x+x﹣log32单调递增，∵f（0）＝1﹣log32＞0f（﹣1）＝log32﹣1﹣log32＝﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f（x）＝a x+x﹣b的零点所在的区间（﹣1，0），故选：B．8．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x﹣1B．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x﹣1C．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x﹣1D．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x﹣1【分析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项．解：②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项A，B①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除C故选：D．9．函数f（x）＝log2|x|，g（x）＝﹣x2+2，则f（x）•g（x）的图象只可能是（）A．B．C．D．【分析】要判断f（x）•g（x），我们可先根据函数奇偶性的性质，结合f（x）与g（x）都是偶函数，则f（x）•g（x）也为偶函数，其函数图象关于Y轴对称，排除A，D；再由函数的值域排除B，即可得到答案．解：∵f（x）与g（x）都是偶函数，∴f（x）•g（x）也是偶函数，由此可排除A、D．又由x→+∞时，f（x）•g（x）→﹣∞，可排除B．故选：C．10．若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）【分析】根据题意，由函数的单调性的性质列出不等式组，求解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，函数在R上单调递减，必有，化简可得，解可得≤a＜1，即a的取值范围是[，1）；故选：C．11．已知方程9x﹣2•3x+3k﹣1＝0有两个实根，则实数k的取值范围为（）A．[，1]B．（，]C．[，+∞）D．[1，+∞）【分析】将指数方程的解的问题，转化为二次方程的区间根的问题，即方程9x﹣2•3x+3k ﹣1＝0有两个实根可转化为t2﹣2t+3k﹣1＝0有两个正根，结合韦达定理有，求解即可，解：设t＝3x，则t＞0，则方程9x﹣2•3x+3k﹣1＝0有两个实根可转化为t2﹣2t+3k﹣1＝0有两个正根，则有，解得：，故选：B．12．已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．D．【分析】利用复合函数的单调性以及二次函数的单调性，列出不等式组，求解即可．解：由题意可知u＝x2﹣ax﹣a在上单调递减，且u＝x2﹣ax﹣a＞0在上恒成立，所以，解得．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若幂函数y＝（m2﹣2m﹣2）x﹣4m﹣2在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值是m ＝3．【分析】根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知m2﹣m﹣1＝1，再根据函数在（0，+∞）上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的m值应满足以上两条．解：因为函数y＝（m2﹣2m﹣2）x﹣4m﹣2既是幂函数又是（0，+∞）的减函数，所以，⇒，解得：m＝3．故答案为：m＝3．15．函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上递减，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．【分析】f（x）是二次函数，所以对称轴为x＝1﹣a，所以要使f（x）在区间（﹣∞，4]上递减，a应满足：4≤1﹣a，解不等式即得a的取值范围．解：函数f（x）的对称轴为x＝1﹣a；∵f（x）在区间（﹣∞，4]上递减；∴4≤1﹣a，a≤﹣3；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故答案为：（﹣∞，﹣3]．16．如果非空数集A满足：①0∉A；②若∀x∈A，有∈A，那么称A是“互倒集”．给出以下数集：①{x∈R|x2+ax+1＝0}；②{x|x2﹣6x+1≤0}；③{y|y＝，x∈[1，4]}；其中“互倒集”的是②③.（请在横线上写出所有正确答案的序号）【分析】由互倒集的定义知，需判断集合满足三个条件：非空数集、0∉A、若∀x∈A，有∈A．依次判断即可．解：对于①{x∈R|x2+ax+1＝0}，当a＝3时，{x∈R|x2+ax+1＝0}＝∅，故不是互倒集；对于②{x|x2﹣6x+1≤0}；∵△＝36﹣4＝32＞0，∴{x|x2﹣6x+1≤0}是非空数集，且0∉{x|x2﹣6x+1≤0}，若x1∈{x|x2﹣6x+1≤0}，即x12﹣6x1+1≤0，则﹣6+1＝≤0，故∈{x|x2﹣6x+1≤0}，故是互倒集；对于③{y|y＝，x∈[1，4]}＝[，2]，若x1∈[，2]，易知∈[，2]，故是互倒集；故答案为：②③．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0}，B＝{a，2，2a﹣1}．（1）求集合A；（2）若A⊆B，求实数a的值．【分析】（1）利用一元二次方程的解法能求出集合A．（2）由A⊆B，得{2，3}⊆{a，2，2a﹣1}，由此能求出a的值．解：（1）集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0}＝{x|（x﹣2）（x﹣3）＝0}＝{2，3}．（2）若A⊆B，即{2，3}⊆{a，2，2a﹣1}．所以a＝3，或2a﹣1＝3．当a＝3时，2a﹣1＝5，B＝{3，2，5}，满足A⊆B．当2a﹣1＝3时，a＝2，集合B不满足元素的互异性，故舍去．综上，a＝3．18．化简下列各式：（1）（2）0+2﹣2•（2）﹣（0.01）0.5；（2）．【分析】直接根据指数幂以及对数的运算性质求解即可．解：（1）（2）0+2﹣2•（2）﹣（0.01）0.5；＝1+•﹣[（0.1）2]0.5＝1+×﹣＝；（2）因为：1﹣log63＝log66﹣log63＝log62；所以：＝＝＝＝1．19．设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）＝f（x）f（y）．（1）求f（0）的值；（2）证明：f（x）在R上是减函数．【分析】（1）根据条件，通过赋值法求f（0）；（2）用单调性定义进行证明．解：（1）因为对任意x，y∈R，f（x+y）＝f（x）f（y），当x＜0时，f（x）＞1，令x＝−1，y＝0，则f（−1）＝f（−1）f（0），因为f（−1）＞1，所以f（0）＝1；（2）证明：若x＞0，则﹣x＜0，所以f（x−x）＝f（0）＝f（x）f（−x），所以，故x∈R，f（x）＞0，任取x1＜x2，则f（x2）＝f（x1+x2−x1）＝f（x1）f（x2−x1），因为x2−x1＞0，所以0＜f（x2﹣x1）＜1，所以f（x2）＜f（x1），故f（x）在R上是减函数．20．已知函数f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，且当x∈[0，4]时，f（x）＝．（1）平面直角坐标系中，画出函数f（x）的图象；（2）根据图象，直接写出f（x）的单调增区间，同时写出函数的值域．【分析】（1）根据解析式作图即可；（2）根据图象可直接得出单调增区间和函数的值域．解：（1）f（x）的图象如图所示，（2）由图象可知，函数的增区间为：（﹣4，﹣2），（﹣1，1），（2，4），函数的值域为：[﹣4，4]．21．已知指数函数y＝g（x）满足：g（3）＝8，定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）确定y＝f（x）和y＝g（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（2x﹣3）+f（x﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围．【分析】（1）设g（x）＝a x（a＞0且a≠1），由a3＝8解得a＝2．故g（x）＝2x．再根据函数是奇函数，求出n的值，得到f（x）的解析式；（2）根据函数为奇函数和减函数，转化为即对一切x∈[1，4]，有3tx﹣3＜k恒成立，再利用函数的单调性求出函数的最值即可．解：（1）设g（x）＝a x（a＞0且a≠1），∵g（3）＝8，∴a3＝8，解得a＝2．∴g（x）＝2x．∴f（x）＝，∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝0，∴n＝1，∴f（x）＝，（x∈R）；（2）由（Ⅰ）知f（x）＝，易知f（x）在R上为减函数，又f（x）是奇函数，∴f（2x﹣3）+f（x﹣k）＞0，∴f（2x﹣3）＞﹣f（x﹣k）＝f（k﹣x），∵f（x）在R上为减函数，由上式得2x﹣3＜k﹣x，即对一切x∈（1，4），有3x﹣3＜k恒成立，令m（x）＝3x﹣3，x∈[1，4]，易知m（x）在（1，4）上递增，∴m（x）≤3×4﹣3＝9，∴k＞9，即实数k的取值范围是（9，+∞）．22．如果函数f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使得该函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，则称函数f（x）是该定义域上的“和谐函数”．（1）判断函数f（x）＝log2（x+1）是不是“和谐函数”，并说明理由；（2）若函数是“和谐函数”，求实数t的取值范围．【分析】本题（1）根据题目所给的定义构造出函数F（x）＝f（x）﹣x2验证特殊值确定a，b从而判断f（x）＝log2（x+1）是“和谐函数”，（2）将函数是“和谐函数”，转化为g（x）＝x2在[1，+∞）上至少有两个不相等的实数根求解．解：（1）函数f（x）＝log2（x+1）的定义域为（﹣1，+∞），且在（﹣1，+∞）上单调递增；考察函数F（x）＝f（x）﹣x2＝log2（x+1）﹣x2，x∈（﹣1，+∞）；因为F（0）＝log2 1﹣0＝0，取a＝0，则F（a）＝0，即f（a）＝a2；F（1）＝log2 2﹣1＝0，取b＝1，则F（b）＝0，即f（b）＝b2；因为f（x）在[a，b]上单调递增；所以f（x）在区间[a，b]上的值域为[f（a），f（b）]，即为[a2，b2]；所以函数f（x）＝log2（x+1）是（﹣1，+∞）上的“和谐函数”；（2）因为g（x）在[1，+∞）单调递增；因为函数g（x）＝+t（x≥1）是“和谐函数”；所以存在[a，b]⊆[1，+∞），使得函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]；即g（a）＝a2，g（b）＝b2．因此g（x）＝x2，即+t＝x2在[1，+∞）上至少有两个不相等的实数根；令＝u，u≥0，方程可化为u2+1＝u+t；即u2﹣u+1﹣t＝0在[0，+∞）上至少有两个不相等的实数根；记h（u）＝u2﹣u+1﹣t，h（u）的对称轴为直线u＝；所以；解得＜t≤1，即t的取值范围为（，1]．。

第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程知识梳理一、理解复数的几何意义(1)复平面的有关概念：实轴是x 轴,虚轴是y 轴；与复数(,)z a b i a b R =+∈ 一一对应的点是(,)a b ； 非零复数22(,,0)z a bi a b R a b =+∈+≠与复平面上自原点出发以点(,)Z a b 为终点的向量OZ 一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根2b a-±，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．例题解析一、复数的几何意义例1．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）若复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z +=122z z -的值是______.【答案】【分析】设复数所对应的向量分别为a ，b ，根据123z z ==，12z z +=面向量的模的运算，由2222a b ba ab +++=⋅，得到0a b ⋅=，再由222424a a b a b b --+=⋅求解.【详解】设复数所对应的向量分别为a ，b因为复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z += 所以3a =，3b =，32a b +=， 所以222218a a b b a b+⋅+=+=，即0a b ⋅=， 所以a b ⊥， 所以22244524b ba a ab -=⋅-+=，解得352a b -=所以122z z -的值是故答案为：例2．（2021·上海市松江二中高二期末）已知复数z 满足242z i +-=，则1z -的取值范围是__________. 【答案】[]3,7【分析】设(,)z x y =，(,)x y R ∈，由复数z 满足|24|2z i +-=，可得在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，求出圆心与点(1,0)之间的距离d ．可得|1|z -的范围是[d r -，]d r +． 【详解】解：设(,)z x y =，(,)x y R ∈， 复数z 满足|24|2z i +-=，∴2，即22(2)(4)4x y ++-=． ∴在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，圆心与点(1,0)之间的距离5d =． 则|1|z -的范围是[d r -，]d r +，即[]3,7． 故答案为：[]3,7．例3．（2021·上海市西南位育中学高二期末）设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________.【答案】2π【分析】根据|||1|z i z -+-=z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.例4．（2021·徐汇区·上海中学高二期末）已知关于x 的方程2430x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值.【答案】【分析】根据题意，设x ∈R ，且0x ≠，得到43z x i x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据复数模的计算公式，得到z =.【详解】由题意，可设x ∈R ，且0x ≠，则24343x i z x i x x x ++⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，832z ==当且仅当2225x x=，即x =故min z =【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.例5.已知复数z x yi =+满足22z z i =--，则33x y+的最小值是（ ）A 、18B 、6C、D、3【难度】★★ 【答案】 B例6.设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为 ． 【难度】★★【答案】[ 【巩固训练】1．若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 . 【难度】★★ 【答案】12．设O 为坐标原点，已知向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，i a a z )10(5321-++=， 212),()52(12z z R a i a az +∈-+-=若其中是实数，求2z 的值。

2021北京高一数学上学期期末汇编：函数选择题一．选择题（共23小题）1．（2020秋•昌平区期末）下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是 A ．B ．C ．D ．2．（2020秋•通州区期末）函数且在上单调递减，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．3．（2020秋•西城区校级期末）函数的图象是 A ．B ．C ．D ．4．（2020秋•通州区期末）如果是定义在上的函数，使得对任意的，均有，则称该函数是“函数”．若函数是“函数”，则实数的取值范围是 A ．，，B ．，，C ．，D ．，5．（2020秋•朝阳区期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是 A ．B ．C ．D ．6．（2020秋•西城区期末）函数的定义域是 A ．B ．C ．，，D ．，，7．（2020秋•石景山区期末）下列函数中，在区间上为减函数的是 A ．B ．C ．D ．(0,)+∞()()2xf x -=3()f x x =()f x lgx=1()f x x=,0()(03,0x a x f x a a x x ⎧=>⎨->⎩…1)a ≠R a ()(1,)+∞(0,1)1[,1)31(0,]3|(1)|y lg x =-()()f x R x R ∈()()f x f x -≠-()y f x =X -sin cos y x x a =++X -a ()(-∞1)(1-⋃)+∞(-∞2)(2-⋃)+∞[1-1][2-2](0,1)()sin y x=y =3y x =-y lgx=11y lgx x =+-()(0,)+∞(1,)+∞(01)(1⋃)+∞[01)(1⋃)+∞(1,1)-()11y x=-2x y =(1)y ln x =+2xy -=8．（2020秋•朝阳区期末）已知函数可表示为 1234则下列结论正确的是 A ．（4）B ．的值域是，2，3，C ．的值域是，D ．在区间，上单调递增9．（2020秋•东城区期末）已知为奇函数，且当时，，则的值为 A ．B ．C ．D ．10．（2020秋•海淀区期末）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是 A ．B ．C ．D ．11．（2020秋•丰台区期末）下列函数是奇函数的是 A ．B ．C ．D ．12．（2020秋•西城区校级期末）以下函数既是偶函数又在上单调递减的是 A ．B ．C ．D ．13．（2020秋•石景山区期末）已知函数是奇函数，且当时，，则 A ．B ．0C ．1D ．214．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是 ()y f x =()x02x <<24x < (46)x < (68)x ……y()(f f )3=()f x {14}()f x [14]()f x [48]()f x 0x >()2f x x =-1()2f -()52-32-3252(0,)+∞()2y x=-12y x=1y x -=3y x =()()2xf x =2()log f x x=2()f x x =3()f x x =(0,)+∞()4()f x x =()f x =1()(2xf x =12()log ||f x x =()f x 0x >21()f x x x=+(1)(f -=)2-y x y x ()A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④15．（2020秋•石景山区期末）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则与下落时间（分）的函数关系表示的图象只可能是 A ．B ．C ．D ．16．（2020秋•海淀区校级期末）如图是函数的图象，是图象上任意一点，过点作轴的平行线，交其图象于另一点，可重合）．设线段的长为，则函数的图象是 A ．B．H H t ()sin (0)y x x π=……(,)A x y A x (B A B AB ()f x ()f x ()C ．D ．17．（2020秋•昌平区期末）已知函数．若存在实数，，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为 A ．，B ．C ．，D ．18．（2020秋•西城区校级期末）已知函数的定义域是，满足（2）且对于定义域内任意，都有成立，那么（2）（4）的值为 A ．1B ．2C ．3D ．419．（2020秋•通州区期末）已知函数，则 A ．是奇函数，且在上单调递增B ．是奇函数，且在上单调递减C ．是偶函数，且在上单调递增D ．是偶函数，且在上单调递减20．（2020秋•大兴区期末）下列函数中，值域为区间，的是 A ．B ．C ．D ．21．（2020秋•大兴区期末）已知函数是上的减函数，则的范围是 A ．B ．，C ．D ．，22．（2020秋•海淀区校级期末）已知偶函数在上单调递减，若（1），（2），，则，，的大小关系为 A ．B ．C ．D ．23．（2020秋•东城区期末）若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是 A ．（a ）B ．C ．（a ）D ．2()f x x k =-m n ()fxk ()(1-0](1,)-+∞(2-0](2,)-+∞()f x (0,)+∞f 1=x y ()()()f xy f x f y =+f f +()()(1)(1)f x ln x ln x =++-()(f x )(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)[2)+∞()2()2f x x =()21x f x =+()||2f x x =+1()f x x x=+5,1()1,1ax x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩…R a ()(,0)-∞[4-)+∞(,4)-∞-[4-0)()f x (,0)-∞a f =b f =1()2c f =-a b c ()a b c >>a c b >>b a c >>c a b>>()f x R 0a >()2()f a f <1()()f a f a<f (2)f a <2()(1)f a f a <-2021北京高一数学上学期期末汇编：函数选择题参考答案一．选择题（共23小题）1．【分析】由基本初等函数的性质逐一判断即可．【解答】解：对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为奇函数，且在上是增函数，符合题意；对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为奇函数，在上是减函数，不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．2．【分析】根据分段函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：若函数在上为减函数，则满足，即，得，故选：．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，结合分段函数的单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．3．【分析】求出函数的定义域，利用定义域进行排除即可．【解答】解：由得，即函数的定义域为，排除，，，故选：．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用定义域是否满足，结合排除法是解决本题的关键，是基础题．4．【分析】根据题意，设，则有，结合“函数”的定义可得方程无解，结合余弦函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，设，则，则，若函数是“函数”，即无解，A ()2x f x -=B 3()f x x =RC ()f x lgx =D 1()f x x=(0,)+∞B R 00130a a a <<⎧⎨-⎩ (01)13a a <<⎧⎪⎨⎪⎩ (103)a <…D 10x ->1x >(1,)+∞A B D C ()sin cos f x x x a =++()()2cos 2f x f x x a +-=+X -()()2cos 20f x f x x a +-=+=()sin cos f x x x a =++()sin()cos()sin cos f x x x a x x a -=-+-+=-++()()2cos 2f x f x x a +-=+()y f x =X -()()2cos 20f x f x x a +-=+=又由，，必有或，即的取值范围为，，，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是理解“函数”的含义，属于基础题．5．【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足即可．【解答】解：．是奇函数，当时，函数为增函数，满足条件．函数的定义域为，，关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．．当时，函数为减函数，不满足条件．．函数的定义域为，关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．6．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即函数的定义域为，，，故选：．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．7．【分析】可看出前三个选项的函数在上都是增函数，从而只能选．【解答】解：，和在上都为增函数，在上是减函数．故选：．【点评】本题考查了反比例函数、指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．8．【分析】根据表格，结合函数定义域和值域的性质分别进行判断即可．【解答】解：由题意知（4），得（4）（3），故错误，函数的值域为，2，3，，故正确，错误，在定义域上不单调，故错误，故选：．【点评】本题主要考查函数定义域和值域的判断，结合函数定义域和值域的关系是解决本题的关键，是基础题．cos [1x ∈-1]1a <-1a >a (-∞1)(1-⋃)+∞A X -A sin y x =01x <<B [0)+∞C 01x <<D (0,)+∞A 010x x >⎧⎨-≠⎩01x x >⎧⎨≠⎩(01)(1⋃)+∞C (1,1)-D 11y x=-2x y =(1)y ln x =+(1,1)-2x y -=(1,1)-D f 3=(f f )f =2=A {14}B C ()f x D B9．【分析】根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性计算可得答案．【解答】解：根据题意，当时，，则，又由为奇函数，则，故选：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．10．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质是否满足进行判断即可．【解答】解：．函数为偶函数，不满足条件．．函数的定义域为，，为非奇非偶函数，不满足条件．．函数为奇函数，且当时，为减函数，满足条件．．函数为奇函数，当时为增函数，不满足条件．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数的性质是解决本题的关键，是基础题．11．【分析】根据题意，依次分析选项函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，，是指数函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，是二次函数，是偶函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，是奇函数，符合题意，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性，属于基础题．12．【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性判断即可．【解答】解：对于，函数在递增，不合题意；对于，函数不是偶函数，不合题意；对于，函数不是偶函数，不合题意；对于，函数既是偶函数又在上单调递减，符合题意；故选：．【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，是一道基础题．1(2f 0x >()2f x x =-113(2222f =-=-()f x 113()()222f f -=-=C A B [0)+∞C 0x >1y x=D 0x >C A ()2x f x =B 2()log f x x =C 2()f x x =D 3()f x x =D A (0,)+∞B C D (0,)+∞D13．【分析】由奇函数定义得，（1），根据的解析式，求出（1），从而得到．【解答】解：是定义在上的奇函数，，（1），又当时，，（1），，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．14．【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【解答】解：由图可知，点纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：．【点评】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．15．【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较．【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选：．【点评】本题考查函数图象，还可以正面分析得出结论：圆柱液面上升速度是常量，则（这里的是漏斗中剩下液体的体积）与成正比（一次项），根据圆锥体积公式兀，可以得出中，为正数，另外，与成反比，可以得出^中，为正数．所以选择第二个答案．16．【分析】根据线段的长和之间的关系，通过取特殊点及某一段上的的值，得出相应的函数值，从而判断出正确选项即可．【解答】解：当时，，两点重合，此时，故排除，；当时，是关于的一次函数，其图象是一条线段，故选：．【点评】考查导函数的图象与图象变化，以及识图能力，体现了数形结合的思想，属基础题．(1)f f -=-0x >f (1)f -()f x R ()()f x f x ∴-=-(1)f f -=-0x >21()f x x x=+f ∴2112=+=(1)2f ∴-=-A A C 1212t 12B V V t 13V =2r h 2H at bt =+a t r H at =2bt +b AB x x 2x π=A B ()0f x =C D (0,2x π∈()2f x x π=-x A17．【分析】求出函数在定义域上单调递增，由此建立方程的两个不相等的非负实数根，再由，求出的范围．【解答】解：由函数，可知函数在区间上单调递增，要使得函数在区间上的值域为，只需，即，的两个不相等的非负实数根，所以，解得，即实数的取值范围为，，故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，涉及到一元二次方程的实数根的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．【分析】由（4）（2）（2）（2），可得（4），从而得到所求．【解答】解：（4）（2）（2）（2），（4）．（2）（4），故选：．【点评】本题考查抽象函数的应用，求出（4），是解题的关键，是基础题．19．【分析】由已知结合函数奇偶性定义及复合函数的单调性进行检验即可判断．【解答】解：，则，故为偶函数，当时，单调递减，故选：．【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题．()f x f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩220x x k --=124400k x x k =+>⎧⎨=-⎩V …k 2()f x x k =-()f x ()f x f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩m k n k ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩220x x k --=124400k x x k =+>⎧⎨=-⎩V …10k -<…k (1-0]A f (22)f f =⨯=f +2f =f 2=f (22)f f =⨯=f +2f =f ∴2=f ∴f +123=+=C f 2=2()(1)(1)(1)f x ln x ln x ln x =++-=-()()f x f x -=()f x 01x <<2()(1)f x ln x =-D20．【分析】由题意，求出各个函数的值域，可得结论．【解答】解：由与，故它的值域为，，故错误；由于，故它的值域为，故错误；由于，故它的值域为，，故正确；由于，当时，，当 时，，故它的值域为，，，故错误，故选：．【点评】本题主要考查求函数的值域，属于基础题．21．【分析】根据题意，由函数的单调性的定义可得，解之即可得答案．【解答】解：因为函数是上的减函数，所以，解得，即的取值范围为，．故选：．【点评】本题考查分段函数的单调性，属于基础题．22．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，因为（1），（2），，又，则．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质比较函数值的大小，属于基础题．23．【分析】可取，从而可判断出选项，都错误；可得出，根据是上的减函数可得出（a ），从而判断错误，这样只能选．【解答】解：时，，，，都错误；2()20f x x =…[0)+∞A ()21011x f x =+>+=(1,)+∞B ()||22f x x =+…[2)+∞C 1()f x x x=+0x >()2f x …0x <()2f x -…[2)(+∞-∞⋃2]D C 051a a <⎧⎨+⎩…5,1()1,1ax x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩…R 051a a <⎧⎨+⎩…40a -<…a [4-0)D ()f x (,0)-∞()f x (0,)+∞a f =b f =11()(22c f f =-=12102>>>b a c >>C 1a =A B 2a a <()f x R f (2)f a >C D 1a =21,a a a a==∴21()(),()()f a f a f a f a==A ∴B，，是上的减函数，（a ），即错误；，，且是上的减函数，，即正确．故选：．【点评】本题考查了举反例说明不等式不成立的方法，减函数的定义，配方法的运用，考查了计算能力，属于基础题．0a > 2a a <()f x R f ∴(2)f a >C 22213(1)1()024a a a a a --=-+=-+>21a a ∴>-()f x R 2()(1)f a f a ∴<-D D。