北京市昌平区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷试题Word版含答案

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3c =，2sin tan A Ca c=，若sin()sin 2sin 2A B C B -+=，则a b +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．23 2．已知圆内接四边形ABCD 各边的长度分别为AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，则AC 的长为（） A.6B.7C.8D.93．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（ ）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-L L()()2462cos 112!4!6!2!n n x x x xx n -=-+-++-+L L其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯L ，例如：1!12!23!6===，，。

试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01） A.0.99 B.0.98C.0.97D.0.964．若()452log xxf x =+，则()25(f = )A ．2B ．92C ．48log 3+D ．175．已知tanα=3，则2162cos cos αα+=（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．3-6．已知函数，则（）A ．1B ．C ．2D ．0 7．已知向量()a 1,0=r ，()b t,2t r =，t 为实数，则a b -rr 的最小值是( )A.1B.25C.5 D.158．函数822log ()14x f x x =+-的大致图像为（ ）A. B.C. D.9．若32x =8，y=log 217，z=（27）-1，则（ ） A.x y z >>B.z x y >>C.y z x >>D.y x z >>10．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x11．给出下列四种说法：① 若平面//αβ，直线,a b αβ⊂⊂，则//a b ； ② 若直线//a b ，直线//a α，直线b β//，则//αβ； ③ 若平面//αβ，直线a α⊂，则//a β；④ 若直线//a α，//a β，则//αβ. 其中正确说法的个数为 ( ） A.4个B.3个C.2个D.1个12．已知函数sin()(0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）A ．sin(22)y x π=+ B ．sin(2)4y x π=+ C ．sin(4)2y x π=+D ．sin(4)4y x π=+二、填空题13．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD 的外接球，BC=3，，点E 在线段BD 上，且BD=3BE ，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__.14．在ABC ∆中，tan tan 33tan A B A B +=⋅，则C 等于______． 15．在数列{}n a 中，1112,ln(1)n n a a a n+==++，则n a = .16．已知函数()ln xf x ax x e =-（其中e 为自然对数的底数）存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围是____________________________。

2020北京昌平高一（上）期末数学 2020.1本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后将答题卡收回。

第一部分（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知集合，，，，，，，，，，，，，则（）（A）（B），（C），，（D），，（2）已知二次不等式的解集在数轴上表示正确的是（）（A）（B）（C）（D）（3）下列各式正确的是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知向量，，，，则=（）（A） 1 （B）（C）（D） 5（5）若，则下列不等式一定成立的是（）（A）（B）（C）（D）（6）为了丰富学生的寒假生活，某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土国》和《巴黎圣母院》4 部名著。

小明准备从中任意选择2部进行阅读，那么选择的2部名著中包括外国名著的概率为（）（A）（B）（C）（D）（7）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）（A），（B），，（C），（D），（8）已知是定义在上的偶函数，当时，的图像如图所示，则下列关系正确的是（）（A）（B）（C）（D）（9）设，是非零向量，则“与共线”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量。

里氏震级地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级.若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为，，则的值为（）（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）已知命题，，为 .（12）已知幂函数为常数)的图像经过点，，则= .（13）在某社区举行的“讲文明，树新风”答题竞赛中，根据甲、乙两组选手的成绩，绘制的茎叶图如图所示，甲组成绩的分位数为；设甲、乙两组成的方差分别为甲，乙，那么甲乙.（填“>”或“<”或“=”）甲乙5 7 96 91 5 7 7 5 4 32 10 3 5 9 8 7 6 5 4 33 5 9 1 0（14）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，，则= .（15）已知函数，，，，则= ；能说明“方程有两个实根”为真命题的实数的一个值为 .（16）若函数满足下面三个条件：①在其定义域上图像不间断；②是偶函数；③恰有3个零点.请写出一个满足上述条件的函数= .三、解答题（本大题共5小题，共70分。

2019-2020学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝{1，2}C．∁U A＝{3，4，5}D．∁U B＝{4，5，6} 2．（5分）已知二次不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．（5分）下列各式正确的是（）A．π2•π3＝π6B．C．lg2+lg5＝1D．4．（5分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣1，3），则|﹣|＝（）A．1B．C．D．55．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．D．log2a＜log2b6．（5分）为了丰富学生的寒假生活，某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，那么选择的2部名著中包括外国名著的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝mx2+x+1有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3）B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）9．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量E（单位：焦耳）之间的关系为：.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为E1，E2，则的值为（）A．10﹣0.6B．10﹣0.4C．100.4D．100.6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，￢p为．12．（5分）已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）的图象经过点（4，2），则f（x）＝．13．（5分）在某社区举行的“讲文明，树新风”答题竞赛中，根据甲、乙两组选手的成绩，绘制的茎叶图如图所示，甲组成绩的25%分位数为；设甲、乙两组成的方差分别为s甲2，s乙2，那么s甲2 s乙2．（填“＞”或“＜”或“＝”）14．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝．15．（5分）已知函数，则f（0）＝；能说明“方程f （x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的一个值为．16．（5分）若函数f（x）满足下面三个条件：①f（x）在其定义域上图象不间断；②f（x）是偶函数；③f（x）恰有3个零点．请写出一个满足上述条件的函数f（x）＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）某校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从2000名高一学生中随机抽取100名学生，收集了他们周平均锻炼时间（单位：小时），将数据按照[3，5），[5，7）[7，9），[9，11），[11，13]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数；（Ⅲ）假设同组中的每个数据可用该区间的中点值代替，试估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在哪一个区间．（只需写出结论）18．（14分）如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设＝．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．19．（14分）为了解甲、乙两名运动员的射击成绩，从两人近一年的射击成绩中各随机抽取一个容量为20的样本，经过处理，得到两人击中环数的频数如图所示．（Ⅰ）试估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率；（Ⅱ）从上述两个样本中各随机抽取一次，求甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．20．（14分）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为（m为常数）．已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元）．记F（x）为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和．（Ⅰ）写出F（x）的解析式；（Ⅱ）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？21．（14分）对于任意的有限集合P，Q定义：①；②P*Q＝{x|f p（x）•f Q（x）＝1}；③card（P）表示集合P的元素个数．已知集合A＝{x|x＝k，k∈N*，1≤k≤2020}，B＝{x|x＝2k，k∈N*，1≤k≤2020}．（Ⅰ）求f A（2019），f B（2019）的值；（Ⅱ）求card（A*B）的值；（Ⅲ）对于任意的有限集合M，设n＝card（M*A）+card（M*B），求n的最小值．2019-2020学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝{1，2}C．∁U A＝{3，4，5}D．∁U B＝{4，5，6}【分析】直接根据交并补的定义即可求出．【解答】解：集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∪B＝{0，1，2，3}，A∩B＝{1，2}，∁U A＝{3，4，5，6}，∁U B＝{0，4，5，6}，故选：B．【点评】本题考查了集合的交并补的运算，属于基础题．2．（5分）已知二次不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先分解因式，解出不等式即可求解结论．【解答】解：因为x2﹣2x﹣3≤0⇒（x﹣3）（x+1）≤0⇒﹣1≤x≤3；故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了因式分解的应用问题，是基础题目．3．（5分）下列各式正确的是（）A．π2•π3＝π6B．C．lg2+lg5＝1D．【分析】由已知结合指数与对数的运算性质及对数的换底公式分别检验各选项即可．【解答】解：根据指数的运算性质可知，π2•π3＝π5，A错误；根据分数指数幂可知，＝，B错误；由对数的运算性质可得，lg2+lg5＝lg10＝1，C正确；由对数的换底公式可得，＝log36≠ln2，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查指数与对数的运算性质，对数的换底公式的简单应用，属于基础试题．4．（5分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣1，3），则|﹣|＝（）A．1B．C．D．5【分析】根据向量的坐标即可求出的坐标，进而求出的值．【解答】解：∵，∴．故选：D．【点评】本题考查了向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．D．log2a＜log2b【分析】直接利用不等式的性质求出结果．【解答】解：对于A，D：当a＜b＜0时，不等式不成立．对于B：a＝0或b＝0，关系式没有意义．故错误．对于C：由于b＜a，且y＝（）x为单调递减函数，则：（）b＜（）b，故C正确．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（5分）为了丰富学生的寒假生活，某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，那么选择的2部名著中包括外国名著的概率为（）A．B．C．D．【分析】小明准备从中任意选择2部进行阅读，基本事件总数n＝＝6，选择的2部名著中包括外国名著包含的基本事件个数m＝＝3，由此能求出选择的2部名著中包括外国名著的概率．【解答】解：某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，基本事件总数n＝＝6，选择的2部名著中包括外国名著包含的基本事件个数m＝＝3，∴选择的2部名著中包括外国名著的概率为P＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考査古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）已知函数f（x）＝mx2+x+1有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】条件转化为方程mx2+x+1＝0有两个不等根，结合根的判别式列出不等式即可【解答】解：函数有两个零点等价于关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有两个不等根，则，解得m＜且m≠0，即m∈（﹣∞，0）∪（0，），故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及二次函数根的判别式，属于中档题．8．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3）B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）【分析】根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣2）＝f（2），由函数的图象分析函数的单调性，可得f（1）＞f（2）＞f（3），综合可得答案．【解答】解：根据题意，y＝f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣2）＝f（2），又由函数图象可得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，即有f（1）＞f（2）＞f（3），则有f（1）＞f（﹣2）＞f（3），故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意偶函数的性质，属于基础题．9．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“|+|＝||+||”⇒“，共线”，反之不成立，例如．【解答】解：“|+|＝||+||”⇒“，共线”，反之不成立，例如．∴，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（5分）“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量E（单位：焦耳）之间的关系为：.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为E1，E2，则的值为（）A．10﹣0.6B．10﹣0.4C．100.4D．100.6【分析】分别把云南澜沧发生地震的里氏等级与四川汶川发生的地震的里氏等级代入，然后利用对数的运算性质求解的值．【解答】解：∵云南澜沧发生地震为里氏7.6级，∴7.6＝，即；①∵四川汶川发生的地震为里氏8级，∴，即．②①﹣②得：，即，∴．故选：A．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，￢p为∃x0∈R，x02+x0+1＜0．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，则￢p是：∃x0∈R，x02+x0+1＜0．故答案为：∃x0∈R，x02+x0+1＜0．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，注意量词的变化．12．（5分）已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）的图象经过点（4，2），则f（x）＝（x ≥0）．【分析】把点的坐标代入幂函数解析式，求出α的值．【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点（4，2），则4α＝2，解得α＝，所以f（x）＝（x≥0）．故答案为：（x≥0）．【点评】本题考查了幂函数的定义与解析式的求法问题，是基础题．13．（5分）在某社区举行的“讲文明，树新风”答题竞赛中，根据甲、乙两组选手的成绩，绘制的茎叶图如图所示，甲组成绩的25%分位数为70；设甲、乙两组成的方差分别为s甲2，s乙2，那么s甲2＞s乙2．（填“＞”或“＜”或“＝”）【分析】由茎叶图得甲组成绩从小到大排列，由25%×12＝3，得到甲组成绩的25%分位数为第3个数和第4个数的平均数，由茎叶图得甲组成绩相对分散，乙组成绩相对集中，从而s甲2＞s乙2．【解答】解：由茎叶图得甲组成绩从小到大为65，67，69，71，75，77，80，83，85，89，93，95，25%×12＝3，∴＝70，由茎叶图得甲组成绩相对分散，乙组成绩相对集中，∴s甲2＞s乙2．故答案为：70，＞．【点评】本题考查25%分位数的求法，考查方差的求法及应用，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝0．【分析】建坐标系，可得，，的坐标，由＝λ+μ可得关于λμ的方程组，解之相加可得．【解答】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，可得＝（3，0），＝（0，4），可得＝（3，﹣4）∵＝λ+μ，∴，解之得λ＝1，μ＝﹣1，∴λ+μ＝0．故答案为：0．【点评】本题考查平面向量基本定理及其意义，建系是解决问题的关键，属中档题．15．（5分）已知函数，则f（0）＝1；能说明“方程f（x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的一个值为1（答案不唯一）．【分析】直接把变量代入对应的解析式求出第一个空，结合图象求解第二个空．【解答】解：因为函数，则f（0）＝e0＝1；函数的大致图象为：故能说明“方程f（x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的取值范围是（0，1]；故答案为：1，1（答案不唯一）．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，以及数形结合思想的应用，属于基础题．16．（5分）若函数f（x）满足下面三个条件：①f（x）在其定义域上图象不间断；②f（x）是偶函数；③f（x）恰有3个零点．请写出一个满足上述条件的函数f（x）＝（x2﹣1）|x|．【分析】由题意同时满足3个条件的函数可得为f（x）＝（x2﹣1）|x|．【解答】解：由题意可得满足条件的函数f（x）＝（x2﹣1）|x|．故答案为：f（x）＝（x2﹣1）|x|．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，及函数的奇偶性的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）某校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从2000名高一学生中随机抽取100名学生，收集了他们周平均锻炼时间（单位：小时），将数据按照[3，5），[5，7）[7，9），[9，11），[11，13]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数；（Ⅲ）假设同组中的每个数据可用该区间的中点值代替，试估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在哪一个区间．（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，即为频率之和为1，解得a．（Ⅱ）先从抽取的100人中，算出周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例，再估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数2000×60%＝1200．（Ⅲ）每条的中点横坐标乘以面积，全加一起．【解答】解：（Ⅰ）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，所以（0.02+0.05+0.1+a+0.18）×2＝1，解得a＝0.15．（Ⅱ）抽取的100人中，周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例为（a+0.1+0.05）×2＝0.6＝60%．因此估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例也为60%．估计所求人数为2000×60%＝1200．（Ⅲ）4×0.02×2+6×0.18×2+8×0.15×2+10×0.1×2+12×0.05×2＝7.92，所以估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在[7，9）内．【点评】本题考查频率分布直方图中频率，平均数的求法，属于基础题．18．（14分）如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设＝．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．【分析】（Ⅰ）根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底{，}，表示；（Ⅱ）考虑三点共线时，＝+（1﹣λ），经检验═+，∵，∴E，G，F三点共线．【解答】解：（Ⅰ）由题，＝+＝+＝+＝，＝+＝+＝﹣＝﹣．（Ⅱ）＝+＝+＝+，＝（）+（+）＝+，∵，∴E，G，F三点共线．【点评】本题考查平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．19．（14分）为了解甲、乙两名运动员的射击成绩，从两人近一年的射击成绩中各随机抽取一个容量为20的样本，经过处理，得到两人击中环数的频数如图所示．（Ⅰ）试估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率；（Ⅱ）从上述两个样本中各随机抽取一次，求甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．【分析】（Ⅰ）由两人击中环数的频数折线图得甲2次击中7环，2次击中8环，10次击中9环，6次击中10环，由此能估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率．（Ⅱ）由两人击中环数的频数统计图得甲在20次射击有6次击中10环，乙在20次射击有8次击中10环，从上述两个样本中各随机抽取一次，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．【解答】解：（Ⅰ）由两人击中环数的折线图得：甲2次击中7环，2次击中8环，10次击中9环，6次击中10环，∴估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率p＝1﹣＝．（Ⅱ）由两人击中环数的频数统计图得：甲在20次射击有6次击中10环，乙在20次射击有8次击中10环，从上述两个样本中各随机抽取一次，基本事件总数n＝20×20＝400，甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环包含的基本事件个数m＝6×12+14×8＝184，∴甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率为：P＝＝．【点评】本题考查概率的求法，考査折线图、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（14分）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为（m为常数）．已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元）．记F（x）为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和．（Ⅰ）写出F（x）的解析式；（Ⅱ）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？【分析】（Ⅰ）把x＝5，C（x）＝12代入C（x）＝，求得m值，可得C（x）的解析式，再由题意写出F（x）的解析式；（Ⅱ）分段求解（Ⅰ）中函数的最小值，取最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）当0≤x≤5时，C（x）＝，由题意，12＝，即m＝80．∴C（x）＝．则F（x）＝＝；（Ⅱ）当0≤x≤10时，F（x）＝160﹣7.5x（0≤x≤10），当x＝10时，F（x）min＝85；当x＞10时，F（x）＝＝40，当且仅当，即x＝40平方米时上式等号成立，故当x为40平方米时，F（x）取得最小值，最小值是40万元．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．21．（14分）对于任意的有限集合P，Q定义：①；②P*Q＝{x|f p（x）•f Q（x）＝1}；③card（P）表示集合P的元素个数．已知集合A＝{x|x＝k，k∈N*，1≤k≤2020}，B＝{x|x＝2k，k∈N*，1≤k≤2020}．（Ⅰ）求f A（2019），f B（2019）的值；（Ⅱ）求card（A*B）的值；（Ⅲ）对于任意的有限集合M，设n＝card（M*A）+card（M*B），求n的最小值．【分析】（Ⅰ）直接根据定义，写出f A（2019），f B（2019）．的值．（Ⅱ）card（A*B）＝{x|f A（x）•f B（x）＝1}，分两种情况当f A（x）＝2且f B（x）＝时，当f A（x）＝且f B（x）＝2时，x取值，即可得出答案．（Ⅲ）列举法写出A∪B，A∩B＝{2，4，6，…2020}，所以M中的元素a∈A∪B且a∉A ∩B，所以当集合M为A∪B的子集与集合A∩B的并集时，n的值最小．【解答】（Ⅰ）f A（2019）＝2，f B（2019）＝，（Ⅱ）card（A*B）＝{x|f A（x）•f B（x）＝1}当f A（x）＝2且f B（x）＝时，所以x∈A且x∉B，那么x取值为：1，3，5，…，2019，共有＝1010个，当f A（x）＝且f B（x）＝2时，所以x∉A且x∈B，那么x取值为：2022，2024，…4040，共有＝1010个，所以card（A*B）＝1010+1010＝2020个．（Ⅲ）A＝{1，2，3，4，…，2020}，B＝{2，4，6，…，2020，2022，…4040}，A∪B＝{1，2，3，…，2020，2022，…4040}，A∩B＝{2，4，6，…2020}共1010个元素所以M中的元素a∈A∪B且a∉A∩B，所以当集合M为A∪B的子集与集合A∩B的并集时，n＝card（M*A）+card（M*B）的值最小，最小值为1011．【点评】本题属于新定义题，结合集合的交集并集，即可分析出答案，属于中档题．。

北京市昌平区2019-2020学年上学期期末教学统一检测高一数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，,那么等于A. B. C. D.2.已知角α的终边经过点，那么的值为A. B. C. D.3.（）A. B. C. D.4.已知向量, 且，那么实数的值为A. B. 1 C. 2 D. 45.下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的为A. B. C. D.6.已知那么a，b，c的大小关系为A. B. C. D.7.如果二次函数有两个不同的零点，那么的取值范围为A. B. C. D.8.为了得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平行移动个单位B. 向左平行移动个单位C. 向右平行移动个单位D. 向右平行移动个单位9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数的关系式为（为常数）, 通常这种热饮在40时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为A. 35B. 30C. 25D. 20二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.10.已知集合，, 则__________.11. __________.（用数字作答）12.已知向量，向量与的夹角为, 那么 __________.13.已知函数的图象如图所示，那么函数__________,__________.14.已知函数在上存在零点，且满足,则函数的一个解析式为 __________.（只需写出一个即可）15.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中．（1）当时，__________；（2）若的值域是，则的取值范围为__________.三、解答题（共5个小题，共70分）16.已知是第二象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．17.已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递减区间；(3)求函数在区间上的最小值．18.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论；（3）若函数，求实数的取值范围.19.为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；阅读“古诗词”的阅读量（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足如图1所示的关系.（1）请分别写出函数和的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？20.已知函数的定义域为，对于给定的，若存在，使得函数满足：①函数在上是单调函数；②函数在上的值域是，则称是函数的级“理想区间”.(1)判断函数，是否存在1级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想区间”；（只需直接写出结果）(2) 证明：函数存在3级“理想区间”；（）(3)设函数，，若函数存在级“理想区间”，求的值.北京市昌平区2019-2020学年上学期期末教学统一检测高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，,那么等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据并集的定义写出A∪B即可．【详解】集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{0，2，3}，则A∪B＝{﹣1，0，2，3}．故选：A．【点睛】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.已知角α的终边经过点，那么的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的定义直接可求得sin a.【详解】∵知角a的终边经过点P，∴sin a，故选：B．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：考点：诱导公式4.已知向量, 且，那么实数的值为A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．【详解】∵，∴；∴m＝2．故选：C．【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．5.下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y为反比例函数，为奇函数，不符合题意；对于B，y＝cos x为余弦函数，在（﹣∞，0）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝2﹣x，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝|x|+1，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．6.已知那么a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】容易看出40.5＞1，log0.54＜0，0＜0.54＜1，从而可得出a，b，c的大小关系．【详解】∵40.5＞40＝1，log0.54＜log0.51＝0，0＜0.54＜0.50＝1；∴b＜c＜a．故选：A．【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，以及指对函数的值域问题，属于基础题．7.如果二次函数有两个不同的零点，那么的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得△＝4﹣4（）＞0，由此求得m的范围．【详解】∵二次函数y＝x2+2x+（m﹣2）有两个不同的零点，∴△＝4﹣4（）＞0，求得m＜-1或m>2，故选：C．【点睛】本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查了二次函数的性质，属于基础题．8.为了得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平行移动个单位B. 向左平行移动个单位C. 向右平行移动个单位D. 向右平行移动个单位【答案】B【解析】【分析】由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【详解】∵将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位得到sin[2（x）]=，∴要得到函数y＝sin2x的图象，只需将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位．故选：B．【点睛】本题主要考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律的简单应用，属于基础题．9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数的关系式为（为常数）, 通常这种热饮在40时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为A. 35B. 30C. 25D. 20【答案】C【解析】【分析】由函数图象可知这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，即满足x,即为在口感最佳时饮用需要的最少时间．【详解】由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一个线段，当t≥5时，函数的解析式为，点（5，100）和点（15，60），代入解析式，有，解得a＝5,b=20，故函数的解析式为，t≥5．令y=40，解得t=25,∴最少需要的时间为25min．故选C.【点睛】本题考查了求解析式的问题，将函数图象上的点的坐标代入即可得到函数的解析式，考查了指数的运算，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.10.已知集合，, 则__________.【答案】【解析】【分析】直接由交集的定义求得结果.【详解】，,∴A∩B＝．故答案为．【点睛】考查描述法表示集合的概念，以及交集的运算，属于基础题．11. __________.（用数字作答）【答案】5【解析】【分析】根据对数与指数的运算性质直接得到结果.【详解】.故答案为5.【点睛】本题考查了指数运算法则及对数的运算性质，属于基础题，12.已知向量，向量与的夹角为, 那么 __________. 【答案】【解析】【详解】∵||＝1，||＝1，向量与的夹角为，∴，∴，故答案为.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属于基础题．13.已知函数的图象如图所示，那么函数__________,__________.【答案】 (1). 2 (2).【解析】【分析】根据周期求出ω，根据五点法作图求出φ，从而求得函数的解析式．【详解】由题意可得T•，解得ω＝2．再由五点法作图可得2＝，解得，故答案为(1). 2 (2). ．【点睛】本题主要考查利用y＝A sin（ωx+φ）的图象特征，由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．14.已知函数在上存在零点，且满足,则函数的一个解析式为 __________.（只需写出一个即可）【答案】（不是唯一解）【解析】【分析】根据f（﹣2）•f（2）＞0便可想到f（x）可能为偶函数，从而想到f（x）＝x2，x＝0是该函数的零点，在（﹣2，2）内，从而可写出f（x）的一个解析式为：f（x）＝x2．【详解】根据f（﹣2）•f（2）＞0可考虑f（x）是偶函数；∴想到f（x）＝x2，并且该函数在（﹣2，2）上存在零点；∴写出f（x）的一个解析式为：f（x）＝x2．故答案为：f（x）＝x2．【点睛】考查函数零点的定义及求法，属于基础题．15.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中．（1）当时，__________；（2）若的值域是，则的取值范围为__________.【答案】 (1). (2). （﹣∞，-2]∪[2，+∞）．【解析】【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的值域，结合判别式与对称轴满足的条件列出不等式，解不等式即可得到所求范围．【详解】①当时，，函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1﹣2+3）＝﹣2；②由f（x）的图象关于原点对称，可得f（0）=0，又当x＞0时，f（x）的对称轴为x=a,所以若f（x）的值域是R，则当x＞0时，f（x）＝必须满足：，或，解得a≥2或a≤-2，即a的取值范围是（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．故答案为：【答题空1】；【答题空2】（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属于难题．三、解答题（共5个小题，共70分）16.已知是第二象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接由.（2）由可得，再由二倍角公式计算即可.【详解】（1）由，解得.（2）由（1）可得，所以.【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系、两角和的正切公式及二倍角公式，熟练掌握基本关系是解决本题的关键，属于基础题．17.已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递减区间；(3)求函数在区间上的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）化简，由周期公式计算周期即可.（2）由题意知解得x的范围即得单调递减区间.（3）由（2）知f（x）在区间上单调递增，在上单调递减，即可求f（x）在区间[0，]上的最小值．【详解】（1）所以函数的最小正周期是.（2）由题意知故所以函数单调递减区间为.（3）由（2）知f（x）在区间上单调递增，在上单调递减，故f（x）在时取得最小值为.【点睛】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．18.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论；（3）若函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）由，求得x的范围，可得函数的定义域；（2）根据函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数；（3）由f（x）0，利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集．【详解】（1）由解得所以, 故函数的定义域是.（2）函数是奇函数.由（1）知定义域关于原点对称.因为，所以函数是奇函数.(3) 由可得 .得解得.【点睛】本题考查了函数的定义域、奇偶性问题，考查了对数函数单调性的应用，考查转化思想，是一道中档题．19.为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；阅读“古诗词”的阅读量（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足如图1所示的关系.（1）请分别写出函数和的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）设f（t）=代入（10，2700）与（30，7500），解得a与b. 令＝kt，,代入（40，8000），解得k,再令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m，b的值．即可得到和的解析式；（2）由题意知每天的阅读量为=，分和两种情况，分别求得最大值，比较可得结论.【详解】（1）因为f（0）=0，所以可设f（t）=代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以 ,又令＝kt，,代入（40，8000），解得k=200,令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以.（2）设小明对“经典名著”的阅读时间为，则对“古诗词”的阅读时间为，①当，即时，==，所以当时，有最大值13600．当，即时，h=，因为的对称轴方程为，所以当时，是增函数，所以当时，有最大值为13200.因为 13600>13200，所以阅读总字数的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟．【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档．20.已知函数的定义域为，对于给定的，若存在，使得函数满足：①函数在上是单调函数；②函数在上的值域是，则称是函数的级“理想区间”.(1)判断函数，是否存在1级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想区间”；（只需直接写出结果）(2) 证明：函数存在3级“理想区间”；（）(3)设函数，，若函数存在级“理想区间”，求的值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或【解析】【分析】(1)直接由“理想区间”的定义判断即可.(2)由题意结合函数的单调性得，即方程有两个不等实根.设，由零点存在定理知有零点，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”(3)根据函数在上为单调递增得到，转化为方程在上有两个不等实根进而转化为在至少有一个实根.分、三种情况，分别求得满足条件的k即可.【详解】(1) 函数存在1级“理想区间”，“理想区间”是[0,1]；不存在1级“理想区间”.(2)设函数存在3级“理想区间”，则存在区间，使的值域是.因为函数在R上单调递增，所以，即方程有两个不等实根.设，可知，，，，由零点存在定理知，存在，，使，.设，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”.(3)若函数存在级“理想区间”，则存在区间，函数的值域是.因为，任取，且，有，因为，所以，所以，即，所以函数在上为单调递增函数.所以，于是方程在上有两个不等实根.即在上有两个不等实根.显然是方程的一个解，所以在至少有一个实根.（1）当时，，不合题意，舍；（2）当时，方程无实根，舍；（3）时，,所以，解出.所以，又因为，所以或.【点睛】本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题，解题时应理解新定义中的题意与要求，转化为解题的条件与结论，属于难题．。

北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷考生注意事项：1.本试卷共4页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 要求的.1. 已知集合{}0,1,2,3,4U =，{}0,1,2,3A =，{0,2,4}B =,那么()U AB ð等于A ．{}1B ．{}0,1C ．{1,3}D ．{0,1,2,3}2. 已知向量(1,2),(2,3)m ==-a b , 且//a b ，那么实数m 的值是 A ．1-B ．1C ．4D ．7 3. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A .若点A 的纵坐标是45，那么sin α的值是A.35 B. 45 C. 34 D. 434. 已知函数()226=+-xf x x 的零点为0x ，那么0x 所在的区间是 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)5.已知函数f (x ) 是定义在[4,0)(0,4]-上的奇函数，当0x >时，f (x ) 的图象如图所示，那么f (x ) 的值域是A ．(4,6]-B ．[6,6]-C ．(4,4)(4,6]- D ．[6,4)(4,6]--6. 已知函数sin 2=y x 的图象为C ，为了得到函数2sin(2)3π=+y x 的图象，只要把C 上所有的点 A ．向左平行移动23π个单位长度 B. 向右平行移动23π个单位长度C. 向左平行移动3π个单位长度D. 向右平行移动3π个单位长度7. 已知132a =，133-=b ，21log 3c =，那么a ，b ，c 的大小关系是 A ．c a b << B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c <<8. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足()(4)f x f x =- ，且在区间[0,2]上是增函数，那么 A ．(6)(4)(1)<<f f f B ．(4)(6)(1)<<f f fC ．(1)(6)(4)<<f f fD ． (6)(1)(4)<<f f f 9. 甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示. 假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）.如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是A. 40万元B. 60万元C.120万元D. 140万元10. 已知定义在R 上的函数()f x ，若对于任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，那么函数()f x 称为“Ω函数”. 给出下列函数：①()cos f x x =；②()2xf x =；③()||f x x x =；④2()ln(1)f x x =+.其中“Ω函数”的个数是A.1B. 2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分. 11. 已知函数()af x x =的图象经过点1(3,)27，那么实数a 的值等于____________. 12. 已知3sin()5απ-=，且(0,)2πα∈，那么tan α=________.13. 已知函数 4, 3,()8, 3.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 如果0()16f x =，那么实数0x 的值是 .14. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,||2πω><ϕ)的部分图象 如图所示，那么ω=________，ϕ= .15.如图，在66⨯的方格中，已知向量,,a b c 的起点和终点均在 格点，且满足向量(,)x y x y =+∈R c a b ，那么x y +=_______.16.已知函数()f x 的定义域为D ，若同时满足以下两个条件： ① 函数()f x 在D 内是单调递减函数；② 存在区间[,]a b D ⊆，使函数()f x 在[,]a b 内的值域是[,]--b a . 那么称函数()f x 为“W 函数”.已知函数()=f x k 为“W 函数”.（1）当0=k 时，-b a 的值是 ； （2）实数k 的取值范围是 .三、解答题（共5个小题，共70分） 17. (本小题满分13分)已知向量(2,1),(1,)x =-=a b . （Ⅰ）若⊥()a a +b ，求b 的值；（II ）若2(4,7)+=-a b ，求向量a 与b 夹角的大小.a已知函数()sin(2)6π=-f x x . （I ）求函数()f x 的最小正周期；(II) 求函数()f x 的单调递增区间；（III ）当20,3π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求函数()f x 的最小值，并求出使()y f x =取得最小值时相应的x 值．19. (本小题满分14分)已知函数1122()log (3)log (3)=++-f x x x .(Ⅰ) 求(1)f 的值；(Ⅱ) 判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明； (Ⅲ)若(2)0>f x ，求实数x 的取值范围.20.（本小题满分14分）据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P （元）和时间t (∈t N )（天）的关系如图所示.（I ） 求销售价格P （元）和时间t （天）的函数关系式； （II ）若日销售量Q (件)与时间t （天）的函数关系式是40(030,=-+≤≤Q t t ∈t N )，问该产品投放市场第几天时，日销售额y （元）最高，且最高为多少元？已知函数()f x ，对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+, 当0>x 时，()0f x <，且1(1)2f =-.( I ) 求(0),(3)f f 的值；(II) 当810x -≤≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；(III) 设函数2()()2()g x f x m f x =--，判断函数g (x )最多有几个零点，并求出此时实数m 的取值范围.北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 11. 3- 12.3413. 2-14. 2,6π 15. 3 16. 1，1(,0]4-（注：第14、16题第一问2分，第二问3分）.三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17. (本小题满分13分)（I ）依题意(3,1)x +=-+a b ，由()⊥+a a b 可得，610x +-=, 解得7x =,即(1,7)=b ,所以 =b …………6分 (II) 依题意2(4,7)x +(4,2-1)-a b ==，可得3x=-，所以 cos ,⋅<>=a ba b a b = 因为 [],0<>∈π，a b ，所以 a 与b 的夹角大小是4π. …………13分18.（本小题满分14分）解：（I ）22π==πT . ……………………………3分 （II ）222.262k x k k Z πππ-+π≤-≤+π,∈ 222.33k x k k Z π2π-+π≤≤+π,∈ 63k x k k Z ππ-+π≤≤+π,∈. 所以 函数()f x 的单调递增区间是[,63ππ-+π+π]k k （∈k Z ）.……………………………8分（III ）203π≤≤x ,4023π≤≤x , 72666πππ-≤-≤x .……………………………10分所以函数()f x 的最小值是12-， ……………………………12分此时20,3x x π==或. ……………………………14分19. (本小题满分14分)解: ( Ⅰ ) 1212(1)log 2log 43=+=-f……………………………3分 ( Ⅱ ) 函数()f x 是偶函数. ……………………………4分证明：由30,30,+>⎧⎨->⎩x x 解得3,3.>-⎧⎨<⎩x x所以 33-<<x ,所以 函数()f x 的定义域为{|33}-<<x x . ………………………………6分 因为 1212()log (3())log (3())-=+-+--f x x x ………………………………7分1122log (3)log (3)=-++x x ()f x =，所以 函数1122()log (3)log (3)=++-f x x x 是偶函数. …………………………9分( Ⅲ ) 由(2)0>f x 可得 21122log (9(2))log 1->x …………………………10分得 23239(2)1-<<⎧⎨-<⎩x x ， …………………………12分解得，32-<<x ，或32<<x . …………………………14分 20.（本小题满分14分）解：（I ）①当020,t t ≤<∈N 时，设,P at b =+ 将(0,20),(20,40) 代入，得20,4020,b a b =⎧⎨=+⎩ 解得1,20.a b =⎧⎨=⎩所以20(020,).P t t t =+≤<∈N ………………….3分 ②当2030,t t ≤≤∈N 时，设,P at b =+ 将(20,40),(30,30) 代入，解得1,60.a b =-⎧⎨=⎩所以 60(2030,),P t t t =-+≤≤∈N ………………….6分综上所述20(020,),60(2030,).t t t P t t t +≤<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩N N ………………….7分（II ）依题意，有,y P Q =⋅得(20)(40)(020,),(60)(40)(2030,).t t t t y t t t t +-+≤<∈⎧=⎨-+-+≤≤∈⎩N N ………………….9分化简得2220800(020,),1002400(2030,).t t t t y t t t t ⎧-++≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N整理得 22(10)900(020,),(50)100(2030,).t t t y t t t ⎧--+≤<∈⎪=⎨--≤≤∈⎪⎩N N ………………….11分① 当020,t t ≤<∈N 时，由2(10)900y t =--+可得，当10t =时，y 有最大值900元. ………12分 ② 当2030,t t ≤≤∈N 时，由2(50)100y t =--可得，当20t =时，y 有最大值800元. …….13分 因为 900800>，所以在第10天时，日销售额最大，最大值为900元. ………………….14分21. (本小题满分15分）解：（I ）令0x y ==得(0)(0)(0)f f f =+，得(0)0f =. ………………….1分 令1,x y ==得(2)2(1)1f f ==-， ………………….2分令2,1x y ==得3(3)(2)(1).2f f f =+=- …………………3分(II)任取12,,x x ∈R 且12x x <，210x x ->，因为()()()f x y f x f y +-=，即()()[()]()f x y f x f x y x f y +-=+-=， 则2121()()()f x f x f x x -=-. …………………4分 由已知0x >时，()0f x <且210x x ->，则21()0f x x -<， 所以 21()()0f x f x -<，21()()f x f x <，所以 函数()f x 在R 上是减函数， ………………….6分 故 ()f x 在[8,10]-单调递减.所以max min ()(8),()(10)f x f f x f =-=，又3(10)2(5)2[(2)(3)]2(1)52f f f f ==+=--=-， ………………….7分 由(0)(11)(1)(1)0f f f f =-=+-=，得1(1)2f -= ， 1(8)2(4)4(2)8(1)842f f f f -=-=-=-=⨯=， 故max min ()4,()5f x f x ==-. ………………….9分 (III) 令,y x =-代入()()()f x y f x f y +=+， 得()()(0)0f x f x f +-==，所以()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数. ………………….10分2()()2()g x f x m f x =--2()2()f x m f x =-+-2()()()f x m f x f x =-+-+-2(2)f x x m =-- ………………….11分令()0g x =即2(2)00f x x m f --==（）， 因为 函数()f x 在R 上是减函数， ………………….12分 所以 220x x m --=，即22m x x =-， ………………….13分 所以 当()1,0m ∈- 时，函数()g x 最多有4个零点. ………………….15分【其它正确解法相应给分】。

北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，那么A ∩（∁U B ）等于（ ）A ．{1}B ．{0，1}C ．{1，3}D ．{0，1，2，3}2．已知向量=（1，2），=（2，3﹣m ），且∥，那么实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．4D ．73．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ．若点A 的纵坐标是，那么sin α的值是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数f （x ）=2x +2x ﹣6的零点为x 0，那么x 0所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）5．已知函数f （x ）是定义在[﹣4，0）∪（0，4]上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）的图象如图所示，那么f （x ）的值域是（ ）A ．（﹣4，4）B ．[﹣6，6]C ．（﹣4，4）∪（4，6]D ．[﹣6，﹣4）∪（4，6]6．已知函数y=sin2x 的图象为C ，为了得到函数的图象，只要把C 上所有的点（ ） A ．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度 C ．向左平行移动个单位长度 D ．向右平行移动个单位长度7．已知，，，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c8．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）=f （4﹣x ），且在区间[0，2]上是增函数，那么（ ）A ．f （6）＜f （4）＜f （1）B ．f （4）＜f （6）＜f （1）C ．f （1）＜f （6）＜f （4）D ．f （6）＜f （1）＜f （4）9．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ）A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元10．已知定义在R 上的函数f （x ），若对于任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1），那么函数f （x ）称为“Ω函数”．给出下列函数：①f （x ）=cosx ；②f （x ）=2x ；③f （x ）=x|x|；④f （x ）=ln （x 2+1）．其中“Ω函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分.11．已知函数f （x ）=x a 的图象经过点，那么实数a 的值等于 ．12．已知，且，那么tan α= ．13．已知函数如果f （x 0）=16，那么实数x 0的值是 ．14．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（）的部分图象如图所示，那么ω= ，φ= ．15．如图，在6×6的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点，且满足向量=x +y （x ，y ∈R ），那么x+y= ．16．已知函数f （x ）的定义域为D ，若同时满足以下两个条件：①函数f （x ）在D 内是单调递减函数；②存在区间[a ，b]⊆D ，使函数f （x ）在[a ，b]内的值域是[﹣b ，﹣a]．那么称函数f （x ）为“W 函数”．已知函数为“W 函数”．（1）当k=0时，b ﹣a 的值是 ；（2）实数k 的取值范围是 ．三、解答题（共5个小题，共70分）17．已知向量=（2，﹣1），=（1，x ）．（Ⅰ）若⊥（+），求||的值；（Ⅱ）若+2=（4，﹣7），求向量与夹角的大小．18．已知函数．（I ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数f（x）的最小值，并求出使y=f（x）取得最小值时相应的x值．19．已知函数．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）若f（2x）＞0，求实数x的取值范围．20．据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P（元）和时间t （t∈N）（天）的关系如图所示．（I）求销售价格P（元）和时间t（天）的函数关系式；（Ⅱ）若日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式是Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），问该产品投放市场第几天时，日销售额y（元）最高，且最高为多少元？21．已知函数f（x），对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且．（Ⅰ）求f（0），f（3）的值；（Ⅱ）当﹣8≤x≤10时，求函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅲ）设函数g（x）=f（x2﹣m）﹣2f（|x|），判断函数g（x）最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，那么A∩（∁B）等于（）UA．{1} B．{0，1} C．{1，3} D．{0，1，2，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．B），再根据交集的运算法则计算即可【分析】先求出（∁U【解答】解：∵U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，∴（∁B）={1，3}UB）={1，3}∴A∩（∁U故选：C．【点评】本题考查集合的交并补运算，属于基础题2．已知向量=（1，2），=（2，3﹣m），且∥，那么实数m的值是（）A．﹣1 B．1 C．4 D．7【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据向量的平行的条件和向量的坐标运算即可求出．【解答】解：向量=（1，2），=（2，3﹣m），且∥，∴1×（3﹣m）=2×2，∴m=﹣1，故选：A．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量平行的条件，属于基础题．3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A．若点A的纵坐标是，那么sinα的值是（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【解答】解：由题意可得，点A 的纵坐标是，那么sin α的值是，故选：B【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．已知函数f （x ）=2x +2x ﹣6的零点为x 0，那么x 0所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】判断函数的单调性，利用函数零点存在条件进行判断即可．【解答】解：∵函数f （x ）=2x +2x ﹣6为增函数，∴f （1）=2+2﹣6=﹣2＜0，f （2）=22+2×2﹣6=2＞0，则函数在（1，2）内存在零点，x 0所在的区间是（1，2），故选：B ．【点评】本题主要考查函数零点的判断，判断函数的单调性以及函数函数在区间端点处的符号关系是解决本题的关键．5．已知函数f （x ）是定义在[﹣4，0）∪（0，4]上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）的图象如图所示，那么f （x ）的值域是（ ）A ．（﹣4，4）B ．[﹣6，6]C ．（﹣4，4）∪（4，6]D ．[﹣6，﹣4）∪（4，6]【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质，确定函数的值域即可．【解答】解：∵当0＜x ≤4时，函数单调递增，由图象知4＜f （x ）≤6，当﹣4≤x ＜0时，在0＜﹣x ≤4，即此时函数也单调递增，且4＜f （﹣x ）≤6，∵函数是奇函数，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），∴4＜﹣f （x ）≤6，即﹣6≤f （x ）＜﹣4，∴f （x ）的值域是[﹣6，﹣4）∪（4，6]，故选：D【点评】本题主要考查函数值域的求法，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．6．已知函数y=sin2x的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的图象关系进行判断即可．【解答】解：=sin2（x+），即为了得到函数的图象，只要把C上所有的点向左平行移动个单位长度即可，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象变换，利用三角函数解析式之间的关系是解决本题的关键．7．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数式和对数式的性质，比较三个数与0或1的大小得答案．【解答】解：∵＞20=1，0＜=，1=0，＜log2∴c＜b＜a．故选：B．【点评】本题考查对数值的大小比较，关键是注意利用0和1为媒介，是基础题．8．已知定义在R上的奇函数f （x）满足f（x）=f（4﹣x），且在区间[0，2]上是增函数，那么（）A．f（6）＜f（4）＜f（1）B．f（4）＜f（6）＜f（1）C．f（1）＜f（6）＜f（4）D．f（6）＜f（1）＜f（4）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将条件进行转化比较即可．【解答】解：∵f（x）=f（4﹣x），∴函数f （x ）关于x=2对称，则∵奇函数f （x ）在区间[0，2]上是增函数，∴函数f （x ）在区间[﹣2，2]上是增函数，则函数f （x ）在在区间[2，6]上是减函数，则f （1）=f （3），∵f （6）＜f （4）＜f （3），∴f （6）＜f （4）＜f （1），故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和对称性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．9．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ）A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；数形结合；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据图象，在低价时买入，在高价时卖出能获得最大的利润．【解答】解：甲在6元时，全部买入，可以买120÷6=20（万）份，在t 2时刻，全部卖出，此时获利20×2=40万，乙在4元时，买入，可以买（120+40）÷4=40（万）份，在t 4时刻，全部卖出，此时获利40×2=80万， 共获利40+80=120万，故选：C【点评】本题主要考查函数的应用问题，读懂题意，建立数学模型是解决本题的关键．10．已知定义在R 上的函数f （x ），若对于任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1），那么函数f （x ）称为“Ω函数”．给出下列函数：①f （x ）=cosx ；②f （x ）=2x ；③f （x ）=x|x|；④f （x ）=ln （x 2+1）．其中“Ω函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据条件可以得到，对于任意的x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，从而得出f （x ）在R 上为增函数，这样根据余弦函数，指数函数，二次函数，以及对数函数，复合函数的单调性判断每个函数在R 上的单调性，从而便可得出“Ω函数”的个数．【解答】解：对于任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1）恒成立； ∴（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0恒成立；∴f （x ）在R 上为增函数；①f （x ）=cosx 在R 上没有单调性，∴该函数不是“Ω函数”；②f （x ）=2x 在R 上为增函数，∴该函数是“Ω函数”；③；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递增，且02=﹣02；∴f （x ）在R 上为增函数，∴该函数是“Ω函数”；④令x 2+1=t ，t ≥1，则y=lnt 在[1，+∞）上单调递增，而t=x 2+1在R 上没有单调性；∴f （x ）在R 上没有单调性，∴该函数不是“Ω函数”；∴“Ω函数”的个数是2．故选：B ．【点评】考查增函数的定义，余弦函数、指数函数、二次函数，以及对数函数和复合函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，分段函数单调性的判断．二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分.11．已知函数f （x ）=x a 的图象经过点，那么实数a 的值等于 ﹣3 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】据幂函数f （x ）=x a 的图象经过点（3，），结合指数的运算性质，可得答案． 【解答】解：：∵幂函数f （x ）=x a 的图象经过点，∴3a ==3﹣3， 解得：a=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是幂函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．12．已知，且，那么tan α= ． 【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知=sin α，且，∴cos α==，那么tan α==，故答案为：． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．13．已知函数如果f （x 0）=16，那么实数x 0的值是 ﹣2 ．【考点】函数的值．【专题】分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．【分析】对x 分类讨论，利用分段函数的性质即可得出．【解答】解：当x ＜3时，﹣8x 0=16，解得x 0=﹣2，满足条件．当x ≥3时，=16，解得x 0=2，不满足条件．综上可得：x 0=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了分段函数的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（）的部分图象如图所示，那么ω= 2 ，φ= ．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【专题】数形结合；转化法；三角函数的图像与性质． 【分析】根据三角函数图象确定函数的周期以及函数过定点坐标，代入进行求解即可． 【解答】解：函数的周期T=﹣=π，即， 则ω=2，x=时，f （）=sin （2×+φ）=， 即sin （+φ）=， ∵|φ|＜， ∴﹣＜φ＜， 则﹣＜+φ＜， 则+φ=，即φ=，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的图象确定函数的周期是解决本题的关键．15．如图，在6×6的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点，且满足向量=x+y（x，y∈R），那么x+y= 3 ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】取互相垂直的两个单位向量，用单位向量表示出三个向量，属于平面向量的基本定理列出方程组解出x，y．【解答】解：分别设方向水平向右和向上的单位向量为，则=2﹣，=，=4+3．又∵=x+y=（2x+y）+（2y﹣x），∴，解得．∴x+y=3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．16．已知函数f（x）的定义域为D，若同时满足以下两个条件：①函数f（x）在D内是单调递减函数；②存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在[a，b]内的值域是[﹣b，﹣a]．那么称函数f（x）为“W函数”．已知函数为“W函数”．（1）当k=0时，b﹣a的值是 1 ；（2）实数k的取值范围是（] ．【考点】函数单调性的性质；函数的值域．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可看出，对于“W函数”有，方程f（x）=﹣x在定义域D上至少有两个不同实数根，并且a，b便为方程f（x）=﹣x的实数根，k=0时，解方程便可得出a，b的值，从而求出b﹣a 的值；（2）可令，（t≥0），从而得到方程﹣t﹣k=﹣t2，即一元二次方程t2﹣t﹣k=0在[0，+∞）上有两个不同实数根，从而可得到，解该不等式组即可得出实数k的取值范围．【解答】解：根据题意知，“W函数”在定义域D上需满足：方程f（x）=﹣x至少有两个不同的实数根；（1）k=0时，解得，x=0，或1；∴a=0，b=1；∴b﹣a=1；（2）令，由方程得，﹣t﹣k=﹣t2；∴t2﹣t﹣k=0在[0，+∞）上有两个不同实数根；设g（t）=t2﹣t﹣k，则：；解得；∴实数k的取值范围为．故答案为：1，（，0]．【点评】考查对“W函数”定义的理解，减函数的定义，清楚y=﹣x在[a，b]上的值域为[﹣b，﹣a]，换元法将无理方程变成有理方程的方法，一元二次方程实数根的个数和判别式△取值的关系，要熟悉二次函数的图象．三、解答题（共5个小题，共70分）17．已知向量=（2，﹣1），=（1，x）．（Ⅰ）若⊥（+），求||的值；（Ⅱ）若+2=（4，﹣7），求向量与夹角的大小．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（I）由向量的加法和向量垂直的条件：数量积为0，可得x=7，再由向量的模的公式计算即可得到所求；（II）运用向量的加法运算，可得x=﹣3，再由向量的夹角公式cos＜，＞=，计算即可得到所求夹角．【解答】解：（I）依题意可得，+=（3，﹣1+x），由⊥（+），可得，•（+）=0，即6+1﹣x=0，解得x=7，即=（1，7），所以；（II）依题意+2=（4，2x﹣1）=（4，﹣7），可得x=﹣3，即=（1，﹣3），所以cos＜，＞===，因为＜，＞∈[0，π]，所以与的夹角大小是．【点评】本题考查向量的数量积的运算，主要考查向量的模的求法和夹角的求法，考查运算能力，属于中档题．18．已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数f（x）的最小值，并求出使y=f（x）取得最小值时相应的x值．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（I）由条件利用正弦函数的周期性求得函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最小值，以及此时相应的x值．【解答】解：（I）对于函数，它的最小正周期为．（II）令，求得，即．所以函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．（III）∵，∴，即．所以函数f（x）的最小值是，此时，．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．19．已知函数．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）若f（2x）＞0，求实数x的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（I）将x=1代入f（x）计算；（II）先判断定义域是否关于原点对称，再化简f（﹣x），判断f（﹣x）与f（x）的关系；（III）利用函数的单调性和定义域列出不等式组解出．【解答】解：（Ⅰ）f（1）=log4+log2=﹣2﹣1=﹣3．（Ⅱ）函数f（x）是偶函数．证明：由函数有意义得，解得﹣3＜x＜3，∴函数f（x）的定义域为{x|﹣3＜x＜3}．∵f（﹣x）==f（x），∴函数是偶函数．（Ⅲ）由f（2x）＞0可得．∴，解得，或．∴x的取值范围是（﹣，﹣）∪（，）．【点评】问题考查了对数运算，对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．20．据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P（元）和时间t （t∈N）（天）的关系如图所示．（I）求销售价格P（元）和时间t（天）的函数关系式；（Ⅱ）若日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式是Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），问该产品投放市场第几天时，日销售额y（元）最高，且最高为多少元？【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）通过讨论t的范围，求出函数的表达式即可；（Ⅱ）先求出函数的表达式，通过讨论t的范围，求出函数的最大值即可．【解答】解：（I）①当0≤t＜20，t∈N时，设P=at+b，将（0，20），代入，得解得所以P=t+20（0≤t＜20，t∈N）．…．②当20≤t≤30，t∈N时，设P=at+b，将，（30，30）代入，解得所以 P=﹣t+60，…．综上所述…． （II ）依题意，有y=P •Q ，得…．化简得整理得 …．①当0≤t ＜20，t ∈N 时，由y=﹣（t ﹣10）2+900可得，当t=10时，y 有最大值900元．…②当20≤t ≤30，t ∈N 时，由y=（t ﹣50）2﹣100可得，当t=20时，y 有最大值800元．…．因为 900＞800，所以在第10天时，日销售额最大，最大值为900元．…．【点评】本题考查了求函数的表达式问题，考查分段函数，函数的最值问题，是一道中档题．21．已知函数f （x ），对于任意的x ，y ∈R ，都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ），当x ＞0时，f （x ）＜0，且． （Ⅰ） 求f （0），f （3）的值；（Ⅱ） 当﹣8≤x ≤10时，求函数f （x ）的最大值和最小值；（Ⅲ） 设函数g （x ）=f （x 2﹣m ）﹣2f （|x|），判断函数g （x ）最多有几个零点，并求出此时实数m 的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据条件，取特殊值求解；（Ⅱ）根据定义，判断函数的单调性，进而求出函数的最值；（Ⅲ）根据定义，判断函数为奇函数，得出g （x ）=f （x 2﹣2|x|﹣m ），令g （x ）=0即f （x 2﹣2|x|﹣m ）=0=f （0），根据单调性可得x 2﹣2|x|﹣m=0，根据二次函数的性质可知最多有4个零点，且m ∈（﹣1，0）．【解答】解：（I ）令x=y=0得f （0）=f （0）+f （0），得f （0）=0．…．令x=y=1，得f （2）=2f （1）=﹣1，…．令x=2，y=1得．…（II ）任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，x 2﹣x 1＞0，因为f （x+y ）﹣f （x ）=f （y ），即f （x+y ）﹣f （x ）=f[（x+y ）﹣x]=f （y ），则f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2﹣x 1）．…由已知x ＞0时，f （x ）＜0且x 2﹣x 1＞0，则f （x 2﹣x 1）＜0，所以 f （x 2）﹣f （x 1）＜0，f （x 2）＜f （x 1），所以 函数f （x ）在R 上是减函数，…．故 f （x ）在[﹣8，10]单调递减．所以f （x ）max =f （﹣8），f （x ）min =f （10），又，…．由f （0）=f （1﹣1）=f （1）+f （﹣1）=0，得，， 故f （x ）max =4，f （x ）min =﹣5．…．（III ） 令y=﹣x ，代入f （x+y ）=f （x ）+f （y ），得f （x ）+f （﹣x ）=f （0）=0，所以f （﹣x ）=﹣f （x ），故f （x ）为奇函数．…．，∴g （x ）=f （x 2﹣m ）﹣2f （|x|）=f （x 2﹣m ）+2f （﹣|x|）=f （x 2﹣m ）+f （﹣|x|）+f （﹣|x|）=f （x 2﹣2|x|﹣m ）…．令g （x ）=0即f （x 2﹣2|x|﹣m ）=0=f （0），因为 函数f （x ）在R 上是减函数，…．所以 x 2﹣2|x|﹣m=0，即m=x 2﹣2|x|，…．所以 当m ∈（﹣1，0）时，函数g （x ）最多有4个零点．…．【点评】考查了抽象函数的单调性和奇偶性的判断，难点是利用定义解决实际问题的能力．。

昌平区2019－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学（满分150分，考试时间 120分钟）2020.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U（A ）(2,1)- （B ）(0,1) （C ）(0,)+∞ （D ）(2,)-+∞ （2）在复平面内，复数i(i 1)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）已知命题p ：x +∀∈R ，ln 0x >，那么命题p ⌝为（A ）x ∃∈+R ，ln 0x ≤ （B ）x +∀∈R ，ln 0x < （C ）x +∃∈R ，ln 0x < （D ）x +∀∈R ，ln 0x ≤（4）设,,a b c ∈R ，且a b <，则 （A ）ac bc < （B ） 11a b> （C ）22a b < （D ）33a b <（5）已知函数()f x 的图象与函数2xy =的图象关于x 轴对称，则()=f x（A ）2x - （B ）2x- （C ）2log x - （D ）2log x（6）已知向量(1,0),).k ==-=a b c 若2-a b 与c 共线，则实数k =（A ）0 （B ）1 （C （D ）3（7）已知双曲线221x y m-=，则m =DCBA11俯视图（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）2（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）13 （B ）23（C ）1（D ）2（9）设,m n 为非零向量，则“λ=m n ，1λ≤-”是“||||||+=-m n m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给,,,A B C D 四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给,,,A B C D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则 （A ）最少需要16次调动，有2种可行方案 （B ）最少需要15次调动，有1种可行方案 （C ）最少需要16次调动，有1种可行方案 （D ）最少需要15次调动，有2种可行方案第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题：（每题5分，共12题，共60分）.1．已知集合A={1，2}，B={2，4}，则A∪B=（）A．{2} B．{1，2，2，4} C．∅D．{1，2，4}2．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}3．已知函数f（x）=x3﹣2x，则f（3）=（）A．1 B．19 C．21 D．354．函数的定义域为（）A．（5，+∞）B．[﹣1，5）∪（5，+∞）C．[﹣1，5）D．[﹣1，+∞）5．函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）6．cos300°=（）A．B．﹣C．D．7．已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．8．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°=（）A．B． C． D．9．已知tanα=2，tanβ=3，则tan（α+β）=（）A．1 B．﹣1 C．D．10．为了得到函数y=cos（x+）的图象，只需把余弦曲线y=cosx上的所有的点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．函数f（x）=的最小正周期为（）A．B．πC．2π D．4π12．如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则有（）A．ω=，A=3 B．ω=，A=5 C．ω=，A=5 D．ω=，A=3二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数的定义域是．14． = ．15．已知tanθ=2，则= ．16．已知，且，则sinxcosx= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知全集U=R，集M={x|x﹣3≥0}，N={x|﹣1≤x＜4}．（1）求集合M∩N，M∪N；（2）求集合∁U N，（∁UN）∩M．18．已知函数f（x）=x2﹣2x，设．（1）求函数g（x）的表达式，并求函数g（x）的定义域；（2）判断函数g（x）的奇偶性，并证明．19．已知，求（1）；（2）．20．已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．（1）求sinα、cosα、tanα的值；（2）求的值．21．已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．22．已知函数（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f （x）图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：（每题5分，共12题，共60分）.1．已知集合A={1，2}，B={2，4}，则A∪B=（）A．{2} B．{1，2，2，4} C．∅D．{1，2，4}【考点】并集及其运算．【分析】利用并集性质求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4}．故选：D．2．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}【考点】交集及其运算．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．3．已知函数f（x）=x3﹣2x，则f（3）=（）A．1 B．19 C．21 D．35【考点】函数的值．【分析】直接把函数f（x）=x3﹣2x中的x用3代替，能求出f（3）的值．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣2x，∴f（3）=33﹣23=19．故选：B．4．函数的定义域为（）A．（5，+∞）B．[﹣1，5）∪（5，+∞）C．[﹣1，5）D．[﹣1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：x+1≥0，解得：x≥﹣1，故函数的定义域是[﹣1，+∞），故选：D．5．函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数的单调性，利用f（﹣1）与f（0）函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．【解答】解：函数f（x）=2x+3x是增函数，f（﹣1）=＜0，f（0）=1+0=1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．故选：B．6．cos300°=（）A．B．﹣C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．【解答】解：∵．故选C．7．已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．【解答】解：∵sinα=且α是第二象限的角，∴，∴，故选A8．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°=（）A．B． C． D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】观察所求的式子，发现满足两角和与差的余弦函数公式，故利用此公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：cos45°cos15°﹣sin45°sin15°=cos（45°+15°）=cos60°=．故选A9．已知tanα=2，tanβ=3，则tan（α+β）=（）A．1 B．﹣1 C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知利用两角和的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵tanα=2，tanβ=3，∴tan（α+β）===﹣1．故选：B．10．为了得到函数y=cos（x+）的图象，只需把余弦曲线y=cosx上的所有的点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把余弦曲线y=cosx上的所有的点向左平移个单位长度，可得函数y=cos（x+）的图象，故选：A．11．函数f（x）=的最小正周期为（）A．B．πC．2π D．4π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】直接利用正弦函数的周期公式T=，求出它的最小正周期即可．【解答】解：函数f（x）=由T==||=4π，故D正确．故选D．12．如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则有（）A．ω=，A=3 B．ω=，A=5 C．ω=，A=5 D．ω=，A=3【考点】正弦函数的图象．【分析】先根据h的最大和最小值求得A和k，利用周期求得ω．【解答】解：∵水轮的半径为3，水轮圆心O距离水面2m，A=3，k=2，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，∴T=15=，∴ω=．故选：A．二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数的定义域是[4．+∞）．【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．x≥2，解不等式可得．【分析】根据对数及根式有意义的条件可得x＞0，log2【解答】解：由已知可得，解不等式可得{x|x≥4}故答案为：[4，+∞）14． = 4 ．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】=+1+=4．【解答】解：=+1+=+1+=4，故答案为：4．15．已知tanθ=2，则= 3 ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】把分子分母都除以cosθ，利用同角三角函数间的基本关系即可得到关于tanθ的关系式，把tanθ的值代入即可求出值．【解答】解：∵tanθ=2，∴===3．故答案为：3．16．已知，且，则sinxcosx= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用已知条件，结合同角三角函数的平方关系式，即可得解．【解答】解：∵，且，∴两边平方可得：1﹣2sinxcosx=，∴解得：sinxcosx=（1﹣）=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知全集U=R，集M={x|x﹣3≥0}，N={x|﹣1≤x＜4}．（1）求集合M∩N，M∪N；（2）求集合∁U N，（∁UN）∩M．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集与并集即可；（2）由全集U=R，求出N的补集，找出N补集与M的交集即可．【解答】解：（1）∵M={x|x﹣3≥0}={x|x≥3}，N={x|﹣1≤x＜4}．∴M∩N={x|3≤x＜4}，M∪N={x|x≥﹣1}；（2）∵全集U=R，M={x|x≥3}，N={x|﹣1≤x＜4}，∴∁UM={M|x≥4或x＜﹣1}，则∁UN∩M={x|x≥4}．18．已知函数f（x）=x2﹣2x，设．（1）求函数g（x）的表达式，并求函数g（x）的定义域；（2）判断函数g（x）的奇偶性，并证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）求出f（x+1）=x2﹣1，即可求函数g（x）的表达式，并求函数g（x）的定义域；（2）由（1）知，g（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，再利用奇函数的定义，判断、证明函数g（x）的奇偶性．【解答】解：（1）由f（x）=x2﹣2x，得f（x+1）=x2﹣1，所以，，定义域为{x|x∈R，且x≠0}；（2）结论：函数g（x）为奇函数．证明：由（1）知，g（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，并且，，所以，函数g（x）为奇函数．19．已知，求（1）；（2）．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由已知求得sinα，展开两角差的余弦求解；（2）由已知求得sinα，进一步得到sin2α与cos2α的值，再展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（1）由，得，∴；（2）由，得，∴，，∴．20．已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．（1）求sinα、cosα、tanα的值；（2）求的值．【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）根据已知角α的终边与单位圆交与点P（，）．结合三角函数的定义即可得到sinα、cosα、tanα的值；（2）依据三角函数的诱导公式化简即可： =，最后利用第（1）小问的结论得出答案．【解答】解：（1）已知角α的终边与单位圆交与点P（，）．∴x==，r=1，∴sinα=；cosα=；tanα=；（2）==．21．已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）当x∈[上，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f （x）的取值最大和最小值．【解答】解：（1）设，则y=sinz+2的单调递增区间为，由，解得所以，函数f（x）的单调递增区间为；（2）由（1），∵，∴；∴，∴故得函数f（x）在区间上的最小值为，最大值为4．22．已知函数（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f （x）图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）先用两角和公式对函数f（x）的表达式化简得f（x）=2sin（ωx+φ﹣），利用偶函数的性质即f（x）=f（﹣x）求得ω，进而求出f（x）的表达式，把x=代入即可．（Ⅱ）根据三角函数图象的变化可得函数g（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数g（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ） ==．∵f（x）为偶函数，∴对x∈R，f（﹣x）=f（x）恒成立，∴．即，整理得．∵ω＞0，且x∈R，所以．又∵0＜φ＜π，故．∴．由题意得，所以ω=2．故f（x）=2cos2x．∴．（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．∴．当（k∈Z），即（k∈Z）时，g（x）单调递减，因此g（x）的单调递减区间为（k∈Z）．。

2019-2020学年北京北京高一上数学期末试卷一、填空题1. 已知直线方程为y −3=−√3x −4，则该直线的倾斜角是________.2. 经过点A (2,−1)且与直线3x +4y −6=0平行的直线方程为________.3. 设z =(2−i )2（i 为虚数单位），则复数z 的模为________．4. 设向量a →=(1,2)，b →=(2,3)，若向量λa →+b →与向量c →=(−4,−7)共线，则λ=________.5. 已知向量a →，b →夹角为45∘，且|a →|=1，|2a →−b →|=√10，则|b →|=________．6. 直线l 的方程为5ax −5y −a +3=0，则直线l 必过定点________.7. 以A (1,3)和B (−5,1)为端点的线段AB 的中垂线方程是________．8. 与直线3x +4y +2=0的距离等于l 的直线方程为________.9. 在△ABC 中，下列命题中所有正确命题的代号是________. ①AB →−AC →=BC →； ②AB →+BC →+CA →=0→；③若(AB →+AC →)⋅(AB →−AC →)=0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC →⋅AB →>0，则△ABC 为锐角三角形．10. 已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m +2i =2−ni ，则m+nim−ni 的共轭复数为________．11. 经过点M (2,2)且在两轴上截距相等的直线是________．12. 若关于x ，y 的方程x 2+y 2−2x −4y +m =0表示圆，则实数m 的取值范围是________．13. 已知圆的方程为(x −1)2+(y −1)2=9，过圆内一点P (2,3)作弦，则最短弦长为________.14. 若圆(x −4)2+(y +3)2=r 2(r >0)上有且只有两个点到直线4x −3y −6=0的距离为2，则半径r 的取值范围是________．15. 如图，ABCD 是边长为4的正方形，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上，则PC →⋅PD →的取值范围是________．16. 如图，α∈(0,π2)∪(π2,π)，当∠xOy =α时，定义平面坐标系xOy 为 α− 仿射坐标系．在α−仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：e 1→，e 2→分别为与x 轴、y 轴正向相同的单位向量，若OP →=xe →1+ye →2，则记为OP →=(x,y)．若在仿射坐标系中，已知a →=(m,n )，b →=(s,t )，下列结论中正确的是________．①若a →=b →，则m =s ，n =t ； ②若a →//b →，则mt −ns =0； ③若a →⊥b →，则ms +nt =0 ；④若m =t =1，n =s =2，且a →与b →的夹角π3，则α=2π3．17. 设两个非零向量e 1→和e 2→不共线． （1）如果 AB →=e 1→+e 2→，BC→=2e 1→+8e 2→，CD→=3e 1→−3e 2→，求证：A ，B ，D 三点共线；（2）若|e 1→|=2，|e 2→|=3，e 1→与e 2→的夹角为60∘，是否存在实数m ，使得me 1→+e 2→与e 1→−e 2→垂直？18. 如图，已知△OCB 中，B 、C 关于点A 对称，D 是将OB 分成2:1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →=a →，OB →=b →．（1）用a →，b →表示向量OC →，DC →．（2）若OE →=λOA →，求实数λ的值．19. 已知在平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是2+3i 和1+4i ． （1）分别求AD →，BD →对应的复数；（2）若以AC 为一边，构造一个等边△ACP ，求AP →对应的复数．20. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆与直线x −√3y −4=0相切． （1）求圆O 的方程；（2）若已知点P (1,2) ，过点P 作圆O 的切线，求切线的方程；（3）设点M (x,y )为圆O 上任一动点，写出y−2x−1的取值范围（直接写答案）．21. 已知一曲线是与定点P (52，−2),Q (7,−2)距离之比为12的点的轨迹， （1）求此曲线C 方程；（2）若点T (m,−2)在曲线C 的内部，求m 的取值范围；（3）是否存在斜率是l 的直线l ，使l 被曲线C 截得的弦AB ，且以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年北京北京高一上数学期末试卷一、填空题1.【答案】【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】【考点】复数的模【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】【考点】平行向量的性质平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】【考点】平面向量数量积的运算向量的模【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】【考点】直线系方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】【考点】直线系方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】【考点】直线的一般式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】【考点】命题的真假判断与应用平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】i【考点】复数的运算【解析】利用复数相等，求出m，n然后求解复数的代数形式．【解答】m，n∈R，且m+2i＝2−ni，可得m=2，n=−2，m+ni m−ni =2−2i2+2i=1−i1+i=(1−i)(1−i)2=−i．它的共轭复数为i，故答案为i．11.【答案】【考点】直线的截距式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】m<5（或(−∞, 5)）【考点】二元二次方程表示圆的条件【解析】根据圆的一般式方程x2+y2+dx+ey+f=0(d2+e2−4f>0)，列出不等式4+16−4m>0，求m的取值范围．【解答】解：关于x，y的方程x2+y2−2x−4y+m=0表示圆时，应有4+16−4m>0，解得m<5，故答案为：(−∞, 5)．13.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】[0, 16]【考点】平面向量数量积的运算【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系，可得C(2, 4)，D(−2, 4)，P(2cosα, 2sinα)，得到PC→、PD→坐标，用向量数量积的坐标公式化简，得PC→⋅PD→=16−16sinα，再结合α∈[0, π]，不难得到PC→⋅PD→的取值范围．【解答】解：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系则圆弧APB方程为x2+y2=4，(y≥0)，C(2, 4)，D(−2, 4)因此设P(2cosα, 2sinα)，α∈[0, π]∴PC→=(2−2cosα, 4−2sinα)，PD→=(−2−2cosα, 4−2sinα)，由此可得PC→⋅PD→=(2−2cosα)(−2−2cosα)+(4−2sinα)(4−2sinα)=4cos2α−4+16−16sinα+4sin2α=16−16sinα化简得PC→⋅PD→=16−16sinα∵α∈[0, π]，sinα∈[0, 1]∴当α=0或π时，PC→⋅PD→取最大值为16；当α=π2时，PC→⋅PD→取最小值为0．由此可得PC→⋅PD→的取值范围是[0, 16]故答案为：[0, 16]16.【答案】【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】【考点】向量的共线定理平行向量的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 18. 【答案】解：（1）由题意知A 是BC 的中点，且OD →=23OB →， 由平行四边形法则得OB →+OC →=2OA →， 则OC →=2OA →−OB →=2a →−b →，则DC →=OC →−OD →=2a →−b →−23b →=2a →−53b →． （2）由图知EC → // DC →，∵ EC →=OC →−OE →=2a →−b →−λa →=(2−λ)a →−b →，DC →=2a →−53b →， ∴2−λ2=−1−53，解得λ=45．【考点】向量加减混合运算及其几何意义 【解析】（1）根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用a →，b →表示向量OC →，DC →． （2）根据向量关系的条件建立方程关系，求实数λ的值． 【解答】解：（1）由题意知A 是BC 的中点，且OD →=23OB →，由平行四边形法则得OB →+OC →=2OA →， 则OC →=2OA →−OB →=2a →−b →，则DC →=OC →−OD →=2a →−b →−23b →=2a →−53b →． （2）由图知EC → // DC →，∵ EC →=OC →−OE →=2a →−b →−λa →=(2−λ)a →−b →，DC →=2a →−53b →， ∴2−λ2=−1−53，解得λ=45．19.【答案】【考点】平行向量的性质 复数的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 20.【答案】 【考点】直线与圆的位置关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 21.【答案】 【考点】圆锥曲线的轨迹问题与直线有关的动点轨迹方程【解析】此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答。