昌平区2021届高三第一学期期末考试数学试题及答案

1昌平区2023－2024学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集=R U ,集合210}=->A x |x {，则=U A ð（A ）(1,1)-（B ）[1,1]-（C ）(,1]-∞-（D ）[1,)+∞（2）在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别为,A B ,则12⋅=z z （A ）13i --（B ）3i --（C ）13i -（D ）3i+（3）已知双曲线22221-=x y a b（A ）22=±y x （B）=y （C ）12=±y x （D ）2=±y x（4）已知52345012345(13),-=+++++x a a x a x a x a x a x 则24+=a a （A ）32-（B ）32（C ）495（D ）585（5）下列函数中，在区间(0,2)上为减函数的是（A ）2=xy （B ）sin =y x（C ）1=-x y x（D ）20.5log (4)=-+y x x （6）设函数()f x 的定义域为R ，则“∀∈x R ，(1)()+<f x f x ”是“()f x 为减函数”的（A ）充分必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分而不必要条件（D）既不充分也不必要条件2（7）已知点P 在圆22(1)1=-+x y 上，点A的坐标为()-，O 为原点，则⋅AO AP 的取值范围是（A ）[3,3]-（B ）[3,5]（C ）[1,9]（D ）[3,7]（8）“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长,,a b c 求三角形面积S，即=S .现有面积为的ABC △满足sin :sin :sin 2:3:4=A B C ，则ABC △的周长是（A ）9（B ）12（C ）18（D ）36（9）已知函数sin cos ()22=-x x f x ，则（A ）()()44ππ+=-f x f x （B ）()f x 不是周期函数（C ）()f x 在区间(0,)2π上存在极值（D ）()f x 在区间(0,π)内有且只有一个零点（10）如图，在棱长为1的正方体1111-ABCD ABC D 中，E 为线段AB 上的点，且3=AE EB，点P 在线段1D E 上，则点P 到直线AD 距离的最小值为（A）2（B）2（C ）35（D ）1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市昌平区新学道临川学校2021届高三数学上学期期末考试试题满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．全集{}{}2,lg(1)1,46,U R A x x B y y x x ==-<==++则()U A C B ⋂=（ ）A ．[]1,2B ．(),2-∞ C ．)2,11⎡⎣ D ．()1,22．下列命题中，真命题的是（ ） A ．00,0x x R e∃∈≤ B ．若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1C ．2,2xx R x ∀∈> D ．0a b +=的充要条件是1ab=- 3．设复数z 满足34z i i =+，则z 的虚部为（ ）A ．3i -B ． 3iC ．3D ．3- 4．在四边形ABCD 中，(4,2)AC =-，()2,BD m =，AC BD ⊥，则该四边形的面积是（ ）A ．10B ．25C ．10D ．205．设7782,log 2,log 7,a b c -===则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．已知函数()22sin(2)3g x x π=+，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移2π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2sin f x x =-D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭7．ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，且tanC 3cos 3cos c a B b A =+47,8,c a ==则b 的值为（ ）A ．12B ．4C ．10D ．228．已知数列{}n a 的前n 项和为252n S n n =-+,则数列{}n a 的前12项和为 （ ）A ．93B ．94C ．95D ．969．已知双曲线222=1(0)4x y b b ->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）A ．22443=1y x -B ．22344=1y x -C ．2224=1x y b -D ．2224=11x y -10．已知向量a ，b 满足||4a =，b 在a 方向上的投影为2，则2a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．22 C ．8 D ．1011．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与圆22224:,5b C x y +=若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ． 60,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ． 3,13⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．6,14⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭12．已知函数221()4()ln x f x k x k x-=++，[)2,k ∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y ，使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为（ ） A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ． 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ． 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数1(),(3)x e x f x f x x ⎧-≥=⎨+<⎩则()1f -=______________ 14．已知数列{}n a 满足12n n a a λ+=+ ，若{}3n a +是等比数列，则λ=_____________________.15．已知函数()sin(2)(0)4f x x πωω=+>的图象在()0,π上有且仅有两条对称轴，则ω取值范围为___________________ .16．已知()11,P x y ，()22,Q x y 是抛物线24y x =上两点，且1222,x x PQ ++=F 为焦点，则PFQ∠最大值为_____________________.三、解答题（本大题共6小题，22，23小题10分，其它各小题12分） 17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知150B =︒． （1）若3,27a c b ==，求ABC ∆的面积； （2）若sinA+3sinC=22，求C ．18．（本小题满分12分）已知3()3cos 22sin()sin()2f x x x x ππ=++-，x ∈R ， （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()3f A =-，4a =，求BC 边上的高的最大值．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，212a b =，21n n S a =-，()211n n nb n b n n +-+=+()*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （3）若数列{}n c 满足1()n n n n c b b a +=-⋅，n T 为{}n c 的前n 项的和，求n T .20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，点)22,1(P 在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线))(1(:R k x k y l ∈-=与椭圆E 相交于A B 、两点，与圆222x y a +=相交于C D 、 两点，求2AB CD ⋅的取值范围.21. 已知函数x ax x x f ln 8261)(3+-=． （1）若函数)(x f 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若函数)(x f 存在两个极值点21,x x ，求证：421>+x x ．22．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3423x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为12cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）.（1）求l 和C 的普通方程；（2）将l 向左平移(0)m m >后，得到直线l '，若圆C 上只有一个点到l '的距离为1，求m . 23．已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．北京临川学校2020-2021学年度第一学期期末检测高三4班 数学答案一、选择题（请将要求完善）1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7．A 8．B 9．D 10．C 11． B 12．B 二、填空题（请将要求完善） 13. 12-e 14．53λ= 15．59,88⎛⎤ ⎥⎝⎦16. ︒60 三、解答题17．解：（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,23,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 32S ac B ==． （2）30A C +=︒，sin 3sin sin(30)3sin A C C C ∴+=︒-+132cos sin sin(30)222C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒．18．解：（1）3()3cos 22sin()sin()23cos 22cos sin 3cos 2sin 22cos(2)6f x x x x x x x x x x πππ=++-=-=-=+….….….….….…2分()f x 的最小正周期为：22T ππ==； ….….….….….…4分 当222()6k x k k Z ππππ≤+≤+∈时，即当5-()1212k x k k Z ππππ≤≤+∈时，函数()f x 单调递减， 所以函数()f x 单调递减区间为：5[-,]()1212k k k Z ππππ+∈； ….….….….….…6分 （2）因为()3f A =-，所以3()2cos(2)3cos(2),66275(0,),2(,)2.2666663f A A A A A A A πππππππππ=+=-⇒+=-∈∴+∈∴+=∴=….….….….….…8分设BC 边上的高为h ，所以有113sin 228ah bc A h bc =⇒=，.….….….….…10分由余弦定理可知：22222222cos 16216a b c bc A b c bc b c bc bc =+-∴=+-+≥∴≤（当用仅当b c =时，取等号），所以3238h bc =≤， 因此BC 边上的高的最大值23..….….….….…12分19．解析：（1）当1n >时，112222n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩ 122n n n a a a -⇒=- 12n n a a -⇒=当1n =时，1121S a =- 11a ∴=，综上，{}n a 是公比为2，首项为1的等比数列，-12n n a =..….….….….…4分（2）212a b =，11b ∴=，()211n n nb n b n n +-+=+，111n nb b n n+∴-=+ 综上，n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1，首项为1的等差数列. .….….….….…7分 （3）由（2）知：11nb n n=+- 2n b n ⇒= 22111)(1)(2(21)2n n n n n n b a n c b n n --+⎡⎤-⋅=+-⋅=+⋅⎣⎦∴= ()121032+52+72+212n n T n -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅()()2113232+52+72+222+312n n n T n n -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅-⋅ .….….….….…10分两式相减得并化简得：(112)2n n T n ∴=-+⋅. .….….….….…12分20．解：（1）由题知22222=111=12a b c a b ⎧-=⎪∴⎨+⎪⎩22a ∴=，1c =，221b a c ∴=-=， ∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=；….….….…4分（Ⅱ）设点()11,Ax y 、()22,B x y ，联立22(1)22y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，得()2222210242x k x k k +--=+， 则2122421k x x k +=+，21222212x k x k -⋅=+，….….….…6分()22122221121k AB k x x k +-∴=+=+….….….…8分设圆222x y +=的圆心O 到直线l 的距离为d ，则21k d k =+.22222224(2)22211k k CD d CD k k ++∴=-=∴=++，，….….….…9分()()2222222232218224(2)128221121221k k k AB CD k k k k ⎛⎫++ ⎪+∴⋅=⋅==+ ⎪++++ ⎪⎝⎭，2AB CD ∴⋅的取值范围为(42,162⎤⎦. ….….….…12分21．解：（1）易知的定义域为()0,+∞，由题意知2'8()202x f x a x=-+≥在()0,+∞上恒成立，即244x a x ≤+在()0,+∞上恒成立， .......1分令24()(0)4x g x x x =+>， 则3'2248()22x x g x x x-=-= .......2分 当2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增；当02x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以 当2x =时，()g x 有最小值(2)3g =，所以 3a ≤. .......4分（2）因为2'8()22x f x a x=-+，由()0f x '=知，24=4x a x +，设24()(0)4x g x x x=+>由（1）()()12g x g x =，且()g x 在(2,)+∞上单调递增，()g x 在(02)，上单调递减， 所以可令，1202x x <<<， .......6分 令()(2)(2),(2,0)h x g x g x x =+--∈- .......7分则2'''2222442(23)(+23)()(2)(2)2=(2)(2)(2)(2)x x x h x g x g x x x x x -=++-=--+-+- 因为(2,0)x ∈-，所以'()0h x <所以()h x 上在(2,0)- 单调递减，且()00h =，所以(2,0)x ∈-时，()(2)(2)(0)0h x g x g x h =+-->= .......9分又1(02)x ∈，，所以1-2(2,0)x ∈- 所以 111(-2)()(4)0h x g x g x =--> .......10分 所以，211()()(4)g x g x g x =>- .......11分 因为，11222,2x x x <>>，4-且()g x 在(2,)+∞上单调递增， 所以，21x x >4-，12x x +>4 .......12分22.解：（1）由题意可得，消去参数t ，得l 的普通方程为01743=--y x ，消去参数θ，得C 的普通方程为()()43122=++-y x .….….….….….…5分 （2）由题得017343:'=-+-m y x l因为圆C 上只有一个点到l '的距离为1，圆C 的半径为2， 所以(1,2)C -到l '的距离为3， 即,34317312322=+-++=m d 解得).313(317舍去-==m m .….….….….….…10分23.解：（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----． 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．。

北京市昌平区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷数 学2022.1本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡收回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合2{1}A x x =>，{2,1,0,1,2}B =--，则A B =（A ）{2,2}- （B ）{1,0,1}-（C ）{2}（D ）{2,112}--，，（2）在复平面内，复数i1i-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（3）已知,a b ∈R ，那么>是“22a b >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知抛物线2:4C y x =上一点P 到抛物线C 的焦点的距离为5，则点P 到y 轴的距离为 （A ） 2（B ）3（C ）4（D ）5（5）在51()x x-的展开式中，x 的系数为 （A ） 10-（B ）5-（C ）5（D ）10（6）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 且与直线1BD 垂直的所有面对角线的条数为 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（7）已知函数22()cos sin (0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则 （A ）()f x 在(0,)2π内单调递增（B ）()f x 在(0,)2π内单调递减（C ）()f x 在(,)44π3π内单调递增（D ）()f x 在(,)44π3π内单调递减（8）在平面直角坐标系中，点(cos ,sin )P θθ到直线20x y +-=的距离的最大值为 （A1-（B（C ）2 （D）1+ABCD A 1B 1C 1D 1（9）算盘是中国传统的计算工具．东汉徐岳所撰的《数术记遗》中记载：“珠算，控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒）不使用. 如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的概率是 （A ）29（B ）25（C ）12 （D ）23（10）若函数222,1,()43,1xm x f x x mx m x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩ 恰有两个零点，则实数m 的取值范围是 （A ）(,0)-∞（B ）(,0)[1,)-∞⋃+∞（C ）1[,1)3（D ）1[,1)[2,)3⋃+∞第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.(11) 已知双曲线22210)16x y a a-=>（的一个焦点的坐标是(5,0)，则此双曲线的离心率为_______. (12) 已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为1，则⋅b c =__________;+)⋅（a b c =__________.（13）若函数()sin +cos()f x x x θ=-, 对任意的x ∈R 都满足()()0f x f x -+=，则常数θ的一个取值为_______. （14）在参加综合实践活动时，某同学想利用3D 打印技术制作一个的容器：容器上部为圆锥形，底面直径为10cm ;下部为圆柱形，底面直径和高均为10cm （如图所示）. 他希望当如图放置的容器内液体高度为2cm 时，把容器倒置后，液体恰好充满整个圆锥形部分，则圆锥形部分的高度设计为_____cm . （15）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，前n 项乘积为n T ，27T T =，676a a +=，则① 数列{}n a 的通项公式n a = ；② 满足n n S T >的最大正整数n 的值为 ．cb a2cm10cm10cm三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （16)（本小题13分）在△ABC 中，222a b c bc =++. （I ）求A ；（II ）再从条件 ①、条件 ②这两个条件中选择一个作为已知，使 △ABC 存在且唯一确定，求 BC 边上高线的长．条件①：3C B =； 条件②：sin 57,sin 3B aC ==.注：如果选择的条件不符合要求，第（II ）得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． (17)（本小题13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，,AD CD ⊥//AD BC ,PD ⊥平面ABCD ，E 是PB 的中点，PC与平面ADE 交于点F ，22BC DC PD AD ==== . (Ⅰ) 求证: F 是PC 的中点;(Ⅱ) 若M 为棱PD 上一点,且直线PA 与平 面EFM 所成的角的正弦值为45，求PM PD的值.PM FED CBA随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展. 某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：(I)从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率； (II)规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”.（i ）现在从这10所学校中随机选取3所，记X 为其中的“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望； (ii) 为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”. 能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由.(19)（本小题15分） 已知函数()(1)ln ()af x a x a x=--∈R . (Ⅰ) 若1,a =-求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(Ⅱ) 曲线()y f x =在直线2y x =-的上方，求实数a 的取值范围. (20)（本小题15分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>过点(3,1),(0,2)A B .(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若过点(4,0)E 的直线与椭圆C 交于点,M N ，直线,MA NA 分别交直线4x =于点,P Q .求证：线段PQ 的中点为定点 .已知等差数列12:,,,,n A a a a ，若存在有穷等比数列12:,,,N B b b b ，其中11b =，公比为q ，满足11k k k b a b --≤≤，其中2,3,,k N =，则称数列B 为数列A 的长度为N 的“等比伴随数列”．（Ⅰ）数列{}n a 的通项公式为85n a n =-，写出数列{}n a 的一个长度为4的“等比伴随数列”；（Ⅱ）等差数列{}n a 的公差为d ，若{}n a 存在长度为5的“等比伴随数列”{}n b ，其中12n n b -=，求d 的最大值； （Ⅲ）数列A 的通项公式为n a n =，数列B 为数列A 的长度为N 的“等比伴随数列”，求N 的最大值．北京市昌平区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷参考答案一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)二、填空题（共5（11）53（12）0;2- （13） 2π（答案不唯一）（14） 6 （15）5*210n n -∈N ()；三、解答题(共6小题，共85分) （16)（共13分）解：（I ）由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=及222a b c bc =++，得1cos 2A =-.因为0A <<π，所以23A π=. ………………5分 （II ）选条件②：sin 57,sin 3B aC ==. 由正弦定理sin sin b c B C =及sin 5sin 3B C =，得53b c =. 在△ABC 中，7a =,设5,3(0)b x c x x ==>，由222a b c bc =++，得2227(5)(3)53x x x x =++⋅，解得1,5,3x b c ===.设BC 边上高线的长为,h 由11sin 22ABC S bc A ah ∆==，解得h = …13分 （17）（共13分） 解：因为//AD BC ，AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ,所以//AD 平面PBC .因为AD ⊂平面ADE ，平面ADE 平面PBC EF =,所以//AD EF . 所以//BC EF . 因为点E 是PB 的中点,所以点F 是PC 的中点. ………………5分 (Ⅱ) 因为PD ⊥平面ABCD ，,AD DC ⊂平面ABCD , 所以,PD AD PD CD ⊥⊥.由AD CD ⊥，如图建立空间直角坐标系D xyz -， 则(1,0,0)A ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C ,(0,0,2)P ,(1,1,1)E ,(0,1,1)F ,(1,0,0)EF =-,(0,0,2)PD =-,(1,1,1)EP =-- ，(1,0,2)PA =-.设(0,0,2),01PM PD λλλ==-≤≤, 所以(1,1,12)EM EP PM λ=+=---. 设平面EFM 的一个法向量为(,,)n x y z =,则0,0,n EF n EM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,(12)0.x x y z λ-=⎧⎨--+-=⎩ 令1z =，则12y λ=-，所以(0,12,1)n λ=-. 所以cos ,||||5n PA n PA n PA ⋅<>==⋅.设直线PA 与平面EFM 所成的角为θ, 则4sin |cos ,|5n PA θ=<>==,解得：14λ=或34λ=. 所以14PM PD =或34PM PD =. ………………13分 (18)（共14分）解：（I ）设事件A 为“从10所学校中选出的1所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人”． “自由式滑雪”的参与人数超过40人的学校共4所，所以42()105P A ==． …4分 （II ）(i) X 的所有可能取值为0，1，2，3， “单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所．所以03124646331010C C C C 11(0),(1)C 6C 2P X P X ======,21304646331010C C C C 31(2),(3)C 10C 30P X P X ======. 所以X 的分布列为所以11()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………11分 （ii ）设事件B 为“参训前，该同学考核为‘优秀’”，则334444()=C 0.20.8C 0.20.0272P B ⨯⨯+⨯=．参考答案1：可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：()P B 比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 ．参考答案2：无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：事件B 是随机事件，()P B 比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一般不容易发生，但还是可能发生的，因此，无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 ． ………………14分 (19)（共15分）解：（I ）1a =-时，2112()2ln ,'()f x x f x x x x=-+=+. '(1)3,(1)1,f f ==-所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为13(1),y x +=-即340x y --=.………………5分（II ）只需求满足0,x ∀>(1)ln 2aa x x x-->-恒成立的实数a 的取值范围. 设()(1)ln 2,ag x a x x x=--+-其中0x >. 2222(1)(1)(1)()'()1.a a x a x a x x a g x x x x x----+-=--+== ①若0,a ≤'()0,()g x g x >在(0,)+∞上单调递增. 因为(1)10,g a =-<所以0a ≤不满足条件. ②若0,a >令'()0,.g x x a ==当(0,)x a ∈时，'()0,()g x g x <在(0,)+∞上单调递减， 当(,)x a ∈+∞时，'()0,()g x g x >在(0,)+∞上单调递增， 所以min ()()1(1)ln 2(1)(1ln ).g x g a a a a a a ==--+-=-- 令min ()(1)(1ln )0g x a a =-->，解得1 e.a << 综上，实数a 的取值范围为(1,e).………………15分 （20）（共15分）解：(Ⅰ)由题设，得222,911.b a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2212,4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 所以椭圆C 的方程为：221124x y +=.………………5分(Ⅱ)依题意，直线MN 的斜率存在，设其方程为(4)y k x =-.由221124(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(31)2448120k x k x k +-+-=. 由248(1)0,k ∆=->得21k <，即11k -<<. 设1122(,),(,)M x y N x y ,则22121222244812,3131k k x x x x k k -+==++. 直线MA 的方程为11111(3)(3)3y y x x x --=-≠-， 令4x =，得点P 的纵坐标11114(3)3P y x y x x +-=≠-.同理可得点Q 的纵坐标22224(3)3Q y x y x x +-=≠-.所以1122124433P Q y x y x y y x x +-+-+=+--21112212(3)[(4)4](3)[(4)4](3)(3)x k x x x k x x x x --+-+--+-=--211212(1)(3)(4)(1)(3)(4)(3)(3)k x x k x x x x +--++--=--211212121212(1)[(3)(4)(3)(4)](3)(3)(1)[27()24].(3)(3)k x x x x x x k x x x x x x +--+--=--+-++=--因为2212122248122427()2427243131k k x x x x k k --++=⨯-⨯+++ 222241731240,31k k k k --++=⨯=+ 所以0P Q y y +=.所以线段PQ 的中点坐标为(4,0)是定点.………………15分 （21）（共15分）（Ⅰ）数列{}n a 的一个长度为4的“等比伴随数列”为1,4,16,64（答案不唯一）.………………4分 （Ⅱ）由题意，112233445b a b a b a b a b ≤≤≤≤≤≤≤≤，即111112,24,428,8316a a d a d a d ≤≤⎧⎪≤+≤⎪⎨≤+≤⎪⎪≤+≤⎩，则03d ≤≤.又数列{}:1,4,7,10n a 符合题意，所以d 的最大值为3.………………9分 （Ⅲ）设长度为N 的“等比伴随数列”的公比为q ，则对任意正整数k ，当=23k N ⋅⋅⋅，，，时，都有11k k k b a b --≤≤成立， 即121k k qk q --≤-≤对2k N ≤≤恒成立.当=2k 时，有1q ≥；当=3k 时，22q q ≤≤2q ≤≤;当4k ≥，有ln(1)ln(1)ln 12k k q k k --≤≤--恒成立，即当4k ≥时，maxmin ln(1)ln(1)()12k k k k --≤--（）. 令ln(1)()(4),1x f x x x -=≥-当4x ≥时，21ln(1)'()0(1)x f x x --=<-， 所以()f x 在[4,)+∞单调递减，所以当4k ≥时，max ln(1)ln3()13k k -=-. 同理，令ln(1)()(4)2x g x x x -=≥-，则()g x 在[4,)+∞上单调递减，即4k N ≤≤时，min ln(1)ln(1)()22k N k N --=--. 则ln3ln(1)32N N -≤-，即3ln(1)(2)ln30N N ---≥. 令()3ln(1)(2)ln3(4)h x x x x =---≥，当4x ≥时，3'()ln301h x x =-<-， 所以()h x 在[4,)+∞上单调递减.又由于(6)3ln54ln30,(7)3ln 65ln3<0h h =->=-，所以，存在067x ∈（，），使得0()0h x =，所以N 的最大值为6．………………15分。

2020-2021北京市昌平区第三中学高中必修一数学上期末模拟试题(含答案)一、选择题1．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =-2．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<3．函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ） A ．(),1-∞ B ．()2,+∞ C ．(),0-∞D ．()1,+∞4．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B C ．14，2 D ．14，4 5．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.96．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合{},|44A B x a x a =-≤≤+，且R A B ⊆ð，则a 的取值范围是（ ）A ．210a -≤≤B ．210a -<<C ．2a ≤-或10a ≥D ．2a <-或10a >7．函数y =的定义域是( ) A ．（-1，2]B ．[-1,2]C ．（-1 ，2）D ．[-1,2)8．若函数y a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,610．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．511．函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A ．()1,3B ．()1,1-C ．()()1,01,3-UD ．()()1,00,1-U12．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}二、填空题13．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，11()42x xf x =-+，则此函数的值域为__________.14．函数()()25sin f x xg x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.15．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．16．若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上，则函数()f x 的反函数1()f x -=________. 17．已知函数1()41xf x a =+-是奇函数，则的值为________. 18．若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为__________． 19．若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(1)f =___________.20．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 三、解答题21．已知函数()2log 11m f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，其中m 为实数. （1）若1m =，求证：函数()f x 在()1,+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值.22．泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好. 附:80()f x x x=+在单调递减,在)+∞单调递增. 23．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？ 24．已知幂函数()()223mm f x x m --=∈Z 为偶函数，且在区间()0,∞+上单调递减.（1）求函数()f x 的解析式； （2）讨论()()bF x xf x =的奇偶性.(),a b R ∈（直接给出结论，不需证明）25．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.26．设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <6}，求∁R (A ∪B )，∁R (A ∩B )，(∁R A )∩B ，【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】 当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()()0f x f x π++-=， 且()()f x f x -=-，所以()()fx f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=- 故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.2．B解析：B 【解析】 【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<， 即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===， 且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ．本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．3．C解析：C 【解析】 【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞U . 内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数， 外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞.故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.4．A解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．5．C解析：C 【解析】 【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.6．C解析：C 【解析】 【分析】由()()620x x -->可得{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，再通过A 为R C B 的子集可得结果.【详解】由()()ln 62y x x =--可知，()()62026x x x -->⇒<<，所以{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，因为R A C B ⊆，所以6424a a 或≤-≥+，即102a a ≥≤-或，故选C. 【点睛】本题考查不等式的解集和对数函数的定义域，以及集合之间的交集和补集的运算；若集合的元素已知，求解集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解.7．A解析：A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】由题意得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩ 解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]， 故选A ． 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.8．C解析：C 【解析】 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y ＝x a a -在定义域为[0，1]上单调递减，值域是[0，1]， 所以f (0)＝1a -＝1，f (1)＝0， 所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．D解析：D 【解析】由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 是R 上的周期为2的函数，作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.故选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。

昌平区2021－2022学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准 2022.1一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）53（12）0;2- （13） 2π（答案不唯一）（14） 6 （15）5*210n n -∈N ()； 三、解答题(共6小题，共85分) （16)（共13分）解：（I ）由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=及222a b c bc =++，得1cos 2A =-.因为0A <<π，所以23A π=. ………………5分 （II ）选条件②：sin 57,sin 3B aC ==. 由正弦定理sin sin b c B C =及sin 5sin 3B C =，得53b c =. 在△ABC 中，7a =,设5,3(0)b x c x x ==>，由222a b c bc =++，得2227(5)(3)53x x x x =++⋅，解得1,5,3x b c ===.设BC 边上高线的长为,h 由11sin 22ABC S bc A ah ∆==，解得14h = …13分 （17）（共13分） 解：因为//AD BC ，AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ,所以//AD 平面PBC .因为AD ⊂平面ADE ，平面ADE平面PBC EF =,所以//AD EF . 所以//BC EF . 因为点E 是PB 的中点,所以点F 是PC 的中点. ………………5分 (Ⅱ) 因为PD ⊥平面ABCD ，,AD DC ⊂平面ABCD , 所以,PD AD PD CD ⊥⊥.由AD CD ⊥，如图建立空间直角坐标系D xyz -， 则(1,0,0)A ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C ,(0,0,2)P ,(1,1,1)E ,(0,1,1)F ,(1,0,0)EF =-,(0,0,2)PD =-,(1,1,1)EP =-- ，(1,0,2)PA =-.设(0,0,2),01PM PD λλλ==-≤≤, 所以(1,1,12)EM EP PM λ=+=---. 设平面EFM 的一个法向量为(,,)n x y z =,则0,0,n EF n EM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,(12)0.x x y z λ-=⎧⎨--+-=⎩令1z =，则12y λ=-，所以(0,12,1)n λ=-. 所以cos ,||||5n PA n PA n PA ⋅<>==⋅. 设直线PA 与平面EFM 所成的角为θ, 则4sin |cos ,|5n PA θ=<>==,解得：14λ=或34λ=. 所以14PM PD =或34PM PD =. ………………13分(18)（共14分）解：（I ）设事件A 为“从10所学校中选出的1所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人”．“自由式滑雪”的参与人数超过40人的学校共4所，所以42()105P A ==． …4分 （II ）(i) X 的所有可能取值为0，1，2，3， “单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所．所以03124646331010C C C C 11(0),(1)C 6C 2P X P X ======,21304646331010C C C C 31(2),(3)C 10C 30P X P X ======.所以X 的分布列为所以11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………11分 （ii ）设事件B 为“参训前，该同学考核为‘优秀’”，则334444()=C 0.20.8C 0.20.0272P B ⨯⨯+⨯=．参考答案1：可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：()P B 比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 ．参考答案2：无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下： 事件B 是随机事件，()P B 比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一般不容易发生，但还是可能发生的，因此，无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 ． ………………14分(19)（共15分）解：（I ）1a =-时，2112()2ln ,'()f x x f x x x x=-+=+. '(1)3,(1)1,f f ==-所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为13(1),y x +=-即340x y --=. ………………5分（II ）只需求满足0,x ∀>(1)ln 2aa x x x-->-恒成立的实数a 的取值范围. 设()(1)ln 2,ag x a x x x=--+-其中0x >. 2222(1)(1)(1)()'()1.a a x a x a x x a g x x x x x----+-=--+== ①若0,a ≤'()0,()g x g x >在(0,)+∞上单调递增. 因为(1)10,g a =-<所以0a ≤不满足条件. ②若0,a >令'()0,.g x x a ==当(0,)x a ∈时，'()0,()g x g x <在(0,)+∞上单调递减， 当(,)x a ∈+∞时，'()0,()g x g x >在(0,)+∞上单调递增， 所以min ()()1(1)ln 2(1)(1ln ).g x g a a a a a a ==--+-=-- 令min ()(1)(1ln )0g x a a =-->，解得1 e.a <<综上，实数a 的取值范围为(1,e). ………………15分（20）（共15分）解：(Ⅰ)由题设，得222,911.b a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得2212,4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 所以椭圆C 的方程为：221124x y +=. ………………5分(Ⅱ)依题意，直线MN 的斜率存在，设其方程为(4)y k x =- .由221124(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(31)2448120k x k x k +-+-=.由248(1)0,k ∆=->得21k <，即11k -<<. 设1122(,),(,)M x y N x y ,则22121222244812,3131k k x x x x k k -+==++ . 直线MA 的方程为11111(3)(3)3y y x x x --=-≠-， 令4x =，得点P 的纵坐标11114(3)3P y x y x x +-=≠-.同理可得点Q 的纵坐标22224(3)3Q y x y x x +-=≠-.所以1122124433P Q y x y x y y x x +-+-+=+--21112212(3)[(4)4](3)[(4)4](3)(3)x k x x x k x x x x --+-+--+-=--211212(1)(3)(4)(1)(3)(4)(3)(3)k x x k x x x x +--++--=--211212121212(1)[(3)(4)(3)(4)](3)(3)(1)[27()24].(3)(3)k x x x x x x k x x x x x x +--+--=--+-++=--因为2212122248122427()2427243131k k x x x x k k --++=⨯-⨯+++ 222241731240,31k k k k --++=⨯=+所以0P Q y y +=.所以线段PQ 的中点坐标为(4,0)是定点. ………………15分 （21）（共15分）（Ⅰ）数列{}n a 的一个长度为4的“等比伴随数列”为1,4,16,64（答案不唯一）. ………………4分（Ⅱ）由题意，112233445b a b a b a b a b ≤≤≤≤≤≤≤≤，即 111112,24,428,8316a a d a d a d ≤≤⎧⎪≤+≤⎪⎨≤+≤⎪⎪≤+≤⎩ ，则03d ≤≤.又数列{}:1,4,7,10n a 符合题意，所以d 的最大值为3. ………………9分 （Ⅲ）设长度为N 的“等比伴随数列”的公比为q ，则对任意正整数k ，当=23k N ⋅⋅⋅，，，时，都有11k k k b a b --≤≤成立， 即121k k qk q --≤-≤对2k N ≤≤恒成立. 当=2k 时，有1q ≥；当=3k 时，22q q ≤≤2q ≤≤;当4k ≥，有ln(1)ln(1)ln 12k k q k k --≤≤--恒成立，即当4k ≥时，maxmin ln(1)ln(1)()12k k k k --≤--（）. 令ln(1)()(4),1x f x x x -=≥-当4x ≥时，21ln(1)'()0(1)x f x x --=<-， 所以()f x 在[4,)+∞单调递减，所以当4k ≥时，max ln(1)ln3()13k k -=-. 同理，令ln(1)()(4)2x g x x x -=≥-，则()g x 在[4,)+∞上单调递减， 即4k N ≤≤时，min ln(1)ln(1)()22k N k N --=--. 则ln3ln(1)32N N -≤-，即3ln(1)(2)ln30N N ---≥. 令()3ln(1)(2)ln3(4)h x x x x =---≥，当4x ≥时，3'()ln301h x x =-<-， 所以()h x 在[4,)+∞上单调递减.又由于(6)3ln54ln30,(7)3ln 65ln3<0h h =->=-，所以，存在067x ∈（，），使得0()0h x =，所以N 的最大值为6． ………………15分。

昌平区2021－2021第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =（ ）A. (2,1)-B. (0,1)C. (0,)+∞D.(2,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可.【详解】{}{}{}2102A B x x x x x x ⋃=-<<⋃>=>- 故选：D【点睛】本题主要考查了求两个集合的并集，属于基础题. 2.在复平面内，复数()1i i -对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()211i i i i i -=-=--，在复平面内对应的点的坐标为()1,1--，位于第三象限，故选C.考点：1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义3.已知命题p ：x +∀∈R ，ln 0x >，那么命题p ⌝为（ ） A. x ∃∈+R ，ln 0x ≤ B. x +∀∈R ，ln 0x < C. x ∃∈+R ，ln 0x < D. x +∀∈R ，ln 0x ≤【答案】A 【解析】【分析】由全称命题的否定的定义即可求解. 【详解】命题:p ⌝x ∃∈+R ，ln 0x ≤ 故选：A【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题. 4.设,,a b c ∈R ，且a b <，则 A. ac bc <B.11a b> C. 22a b <D.33a b <【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值排除A ，B ，C ，根据函数3y x =的单调性即可得出正确答案. 【详解】对A 项，当0c <时，a b ac bc <⇒>，故A 错误； 对B 项，取2a =-，1b =时，112-<，不满足11a b >，故B 错误；对C 项，取2a =-，1b =-时，()2221->-()，不满足22a b <，故C 错误；对D 项，函数3y x =在R 上单调递增，a b <，则33a b <，故D 正确; 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.5.已知函数()f x 的图象与函数2xy =的图象关于x 轴对称，则()f x =（ ）A. 2x -B. 2x -C. 2log x -D. 2log x【答案】A 【解析】 【分析】由点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =图像上，列出方程，即可得到正确答案.【详解】设点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =的图像上即22x xy y -=⇒=-所以函数()f x 的解析式为：()2xf x =-故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的对称性，属于中档题.6.已知向量(1,3),(1,0),(3,).a b c k ==-=若2a b -与c 共线，则实数k =（ ）A. 0B. 1D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】2(3,3)a b -=因为2a b -与c 共线，所以30k -=，解得：1k = 故选：B【点睛】本题主要考查了向量共线求参数，属于基础题.7.已知双曲线221x y m-=，则m =（ ）A.14B.12C.2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的性质求出a =，c =.【详解】a =c =因为双曲线221x y m-==解得：12m = 故选：B【点睛】本题主要考查了已知离心率求双曲线方程，属于基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 13 B. 23 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解.【详解】该三视图对应的直观图是三棱柱，如下图所示所以111212ABC A B CV'''-=⨯⨯⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体体积，属于中档题.9.设,m n 为非零向量，则“λ=m n ，1λ≤-”是“m n m n +=-”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算性质不等式的性质证明充分性以及必要性即可. 【详解】证充分性1(1)n n m n n n λλλ+=+=-++= (1)m n n n n n n λλλ-=-=--=-+所以m n m n +=-，即充分性成立 证必要性()2222m n m n m m n n +=+=+⋅+因为m n m n +=- 所以()2222222m m n n m nm m n n +⋅+=-=-⋅+，即cos m n m n m n π⋅=-⋅=⋅则向量,m n 反向，即存在0λ<，使得λ=m n由0n m n m n n n n λλ+=-==---≥，则1λ≤- 所以λ=m n ，1λ≤-，即必要性成立所以 “λ=m n ，1λ≤-”是“m n m n +=-”的充分必要条件 故选：C【点睛】本题主要考查了证明充分必要条件等，属于中档题.10.为配合“2021双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给,,,A B C D 四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给,,,A B C D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则（ ）A. 最少需要16次调动，有2种可行方案B. 最少需要15次调动，有1种可行方案C. 最少需要16次调动，有1种可行方案D. 最少需要15次调动，有2种可行方案 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出有两种可行的方案，即可得出正确选项.【详解】根据题意A ，B 两处共需向C ，D 两处调15个商品，这15个商品应给D 处11个商品，C 处4个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案：方案一：A 调动11个给D ，B 调动1个给A ，B 调动4个给C ，共调动16次； 方案二：A 调动10个给D ，B 调动5个给C ，C 调动1个给D ，共调动16次； 故选：A【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11.在()52x -的展开式中，3x 的系数为________．（用数字作答） 【答案】40 【解析】 【分析】根据二项式展开定理求解即可.【详解】()52x -展开的通项为()552rr r C x --53r -=时，2r此时3x 的系数为()225240C -=故答案为：40【点睛】本题主要考查了由二项式定理求指定项的系数，属于基础题.12.各项均为正数的等比数列{}n a 中, 1231,6a a a =+=,则63S S =_______ . 【答案】9 【解析】 【分析】求出公比，根据等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q 因1231,6a a a =+=，所以211116a a a q q =⎧⎨+=⎩ ，解得3q =-(舍)，2q661(12)6312S ⨯-==- ，331(12)712S ⨯-==-则636397S S == 故答案为：9【点睛】本题主要考查了求等比数列的前n 项和公式，属于基础题.13.抛物线22y px =上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则p =_____；点M 的坐标为______ .【答案】(1). 2 (2). (3,± 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出2p =，根据抛物线的定义求出点M 坐标即可. 【详解】因为焦点(1,0)F ，所以2p =设点2(,)4y M y ，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得y =±所以点M 的坐标为(3,±故答案为：2；(3,±【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程以及考查了抛物线的定义，属于基础题.14.在ABC ∆中,,sin a C B == ,则cos B =_______．【解析】 【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得=c由余弦定理可得222222cos2a c b B ac +-===【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边以及余弦定理，属于基础题.15.2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种. 【答案】144 【解析】 【分析】先安排丁、戊、己，利用插空法得出甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法.【详解】先安排丁、戊、己共有333216A =⨯⨯=种再安排甲、乙、丙，插入四个空位中，共有3443224A =⨯⨯=种则甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有3334=144A A ⋅， 故答案为：144【点睛】本题主要考查了不相邻的排列问题，属于中档题. 16.已知函数()sin 2cos f x x x =-. ①()f x 的最大值为________ ；②设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=______. 【答案】【解析】 【分析】由辅助角公式以及正弦函数的性质得到()f x 的最大值；根据①的结果以及诱导公式化简即可求解.【详解】①()sin 2cos )f x x x x ϕ=-=-， (其中sin 5ϕ=，cos 5ϕ=) 当22x k πϕπ-=+，即22x k πϕπ=++时，()f x ②由题意可知22k πθϕπ=++()2sin 2sin 2cos c s o k k πϕππθϕϕ⎛⎫++=-+=-= ⎪⎝⎭= 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最值等，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17.已知等差数列{}n a 满足13428,4a a a a +=-=. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）记数列1{}n S 的前n 项和为n T ，若99100n T >，求n 的最小值. 【答案】（1）2n a n =，2n S n n =+；（2）100 【解析】 【分析】(1)根据等差数列的通项公式列出方程组结合前n 项和公式求解即可得到数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； (2)利用裂项求和得到111nT n =-+，解不等式即可得到最小值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .依题意有13428,4.a a a a +=⎧⎨-=⎩解得12,2.a d =⎧⎨=⎩ 所以22,n n a n S n n ==+.（2）因为211111n S n n n n ==-++， 所以12111111111(1)()()122311n n T S S S n n n =+++=-+-++-=-++. 因为99100n T >，即19911100n ->+，所以99n >.所以n 的最小值为100【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式、前n 项和以及裂项求和，属于中档题. 18.为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：（1）求高一、高二两个年级各有多少人？（2）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟.当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运动达人”.①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）196人，140人；（2）①35；②分布列见解析，()95E ζ= 【解析】【分析】(1)按照比例求解即可； (2) ①根据题意找出高二学生中的“运动达人”的个数，根据概率公式即可求解； ②找出ξ可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到ξ的期望.【详解】（1）设高一年级有a 人，高二年级有b 人. 采用分层抽样，有75,3361233612a b ==. 所以高一年级有196人，高二年级有140人.（2）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”. 故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为35. （3）ξ的所有可能取值为1,2,3.1232353(1)10C C P C ξ===,2132353(2)5C C P C ξ===,3335(3)110C P C ξ===. 所以ξ的分布列为故ξ的期望3319()123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分层抽样各层个数的求法以及求离散型随机变量的均值，属于中档题.19.已知函数2()cos sin ,222xx x f x ωωω=+其中0>ω. （1）若函数()f x 的最小正周期为2，求ω的值； （2）若函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值为32，求ω的取值范围.【答案】（1）π；（2）43ω≥【解析】【分析】 (1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式求出ω的值；(2)利用π0,02x ω≤≤>求出6626x ππωππω-≤-≤-，结合正弦函数的性质列出不等式即可求解.【详解】（1）因为2()cos sin 222xxxf x ωωω=+1cos 2x x ωω-=+11cos 22x x ωω=-+ π1sin()62x ω=-+. 因为()f x 的最小正周期为2，即2π2T ω== 所以πω=.（2）因为π0,02x ω≤≤>， 所以6626x ππωππω-≤-≤-. 若()f x 在区间π[0,]2上取到最大值32，只需πππ262ω-≥， 所以43ω≥. 【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的周期求值以及由正弦型函数的最值求参数范围，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，CD AD ⊥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面ABCD ，,PA PD PA PD ⊥=.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角C PA D --的余弦值；（3）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM ⊥平面PCD ？若存在，求PM PC 的值？若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）33；（3）不存在，理由见解析 【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性质得到线面垂直，再由线面垂直的性质得出CD PA ⊥；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；(3)由P ，C ，M 三点共线，利用向量共线得出PM PC λ=，利用线面垂直的判定定理证明平面PCD ，由于BM ，PA 不平行，则不存在棱PC 上的点M ，使得BM ⊥平面PCD .【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD = 又因为CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面PAD因为PA ⊂平面PAD所以CD PA ⊥（2）取AD 中点O ，连接,OP OB因为PA PD =所以PO AD ⊥因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =因为PO ⊂平面PAD所以PO ⊥平面ABCD所以,PO OA PO OB ⊥⊥因为,//,2CD AD BC AD AD BC ⊥=所以//,BC OD BC OD =所以四边形OBCD 是平行四边形所以OB AD ⊥如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1).O A B C D P --(2,2,0),(1,0,1)AC AP =-=-.设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0.AC n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,0.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则1,1y z ==.所以(1,1,1)n =.因为平面PAD 的法向量(0,2,0)OB =， 所以3cos ,3n OBn OB n OB ⋅==由图可知，二面角C PA D --为锐二面角，所以二面角C PA D --的余弦值为（3）设M 是棱PC 上一点，则存在[0,1]λ∈使得PM PC λ=.设000(,,)M x y z ，则000(,,1),(1,2,1).PM x y z PC =-=--所以000(,,1)(1,2,1).x y z λ-=--所以000,2,1.x y z λλλ=-==-所以(,2,1)M λλλ--.所以(,22,1)BM λλλ=---.因为,,,AP PD AP CD CDPD D ⊥⊥=,CD PD ⊂平面PCD 所以PA ⊥平面PCD .所以(1,0,1)PA =-是平面PCD 的一个法向量.若BM ⊥平面PCD ，则//BM PA .所以220,1.λλλ-=⎧⎨=-⎩因为方程组无解，所以在棱PC 上不存在点M ，使得BM ⊥平面PCD .点睛】本题主要考查了利用线面垂直证明线线垂直以及利用向量法求二面角，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，点2)M 在椭圆C 上，焦点为12,F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的标准方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．记OAB 的面积为S ，证明：3S <【答案】（1）22182x y +=，226x y +=；（2）见解析 【解析】【分析】(1)利用椭圆的性质列出方程组，即可得到椭圆C 及圆O 的标准方程；(2)利用斜截式设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式得到点O 到直线l 的距离，将直线l 的方程代入椭圆，结合韦达定理，得出AB 的长度，利用三角形面积公式以及二次函数的性质即可证明3S <【详解】（1）由题意，椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>. 可得22232,c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2228,2,6.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22182x y +=． 因为焦点在x 轴上，所以椭圆C 的焦点为12(6,0),(6,0)F F -．所以直径为12F F 的圆O 的方程为226x y +=．（2）由题意知，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，设直线l 的斜截式方程为(0,0)y kx m k m =+.因为直线l 与圆O 相切，所以点O 到直线l的距离为d ==即2266m k =+.因为直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，由22,48y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222()148480k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221228,1448,140kmx x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩.因为222(8)4(14)(48)km k m ∆=-⨯+-2216(82)k m =⨯-+．又2266m k =+，所以232(2)0k ∆=->.所以22k >.又因为k 0<，所以k <因为12AB x =-=，所以11||22OAB S AB d ∆=⋅=⨯=． 设214k t +=，则9t >，则OAB S ∆==令11,09u u t=<<.则OAB S ∆=. 设2214()276127().93h u u u u =--+=-++因为()h u 在1(0,)9上单调递减，所以()1h u <.所以OAB S ∆<.【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程以及椭圆中的三角形面积问题，属于中档题.22.已知函数2()3ln f x x x x =-+．（1）求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程；（2）证明：()22f x x ≤-；（3）确定实数k 的取值范围，使得存在01x >,当0(1,)x x ∈时,恒有()(1)>-f x k x ．【答案】（1）22y x =-；（2）见解析；（3）(,2)-∞【解析】【分析】(1)求导，根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标，按照点斜式写出方程；(2)构造函数利用导数求出最值即可证明不等式；(3)分类讨论，当2k =时，不满足题意；当2k >时，根据不等式的性质得出不满足题意；当2k <时，构造函数，利用导数证明即可.【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.由2()3ln f x x x x =-+得3'()12f x x x=-+.令'()2f x =，即3122x x -+=，得1x =，32x =-（舍）．又(1)0f =，所以曲线()y f x =的斜率为２的切线方程为22y x =-（2）设2()()(22)3ln 2g x f x x x x x =--=--+，则2323(23)(1)'()21x x x x g x x x x x --+-+-=--==.令'()0g x =得1x =，32x =-（舍）．当'()0g x >时，01x <<；当)'(0g x <时，1x >.所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.所以()(1)0g x g ≤=.所以()22f x x ≤-.（3）由（2）可知，① 当2k =时，()2(1)f x x ≤-，所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-；所以2k =不符合题意.②当2k >时，对于1x >，()2(1)(1)f x x k x ≤-<-，所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-；所以2k >不符合题意.③当2k <时，设2()()(1)(1)3ln h x f x k x x k x x k =--=-+-++. 因为22(1)3'()x k x h x x -+-+=，令'()0,h x =即22(1)30x k x -+-+=.因为2(1)240k ∆=-+>，解得12x x ==. 又因为2k <，所以120,1x x <>.取02x x =.当0(1,)x x ∈时，'()0h x >；所以()h x 在0(1,)x 上单调递增.所以()(1)0h x h >=.即()(1)>-f x k x .所以2k <符合题意.所以实数k 的取值范围是(,2)-∞.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数证明不等式，属于较难题.。

北京市昌平区新学道临川学校2021届高三数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数1ii-的虚部为( ) A.12i B. 12i -C.12D. 12-【答案】C 【解析】【详解】试题分析：(1)111222i i i i i +==-+-，所以1i i -的虚部是12，故选C ．考点：本题主要考查复数的概念及其代数运算． 点评：简单题，首先计算并化为代数形式，再确定虚部．2.设集合22{|}0M x x x -=≤，{|1}N x x =<，则MN =( )A. {|1}<x xB. {|21}x x -≤<C. {|01}x x ≤<D.{|20}x x -≤≤【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式220x x -≤，求出集合M ，再与集合N 求交集即可.【详解】因为{}{}2|20|02M x x x x x =-≤=≤≤，又{|1}N x x =<，所以{|01}M N x x ⋂=≤<. 故选C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题型. 3.已知tan =3θ，则2cos θ＝（ ）C. 910D.110【答案】D 【解析】 【分析】由同角三角函数基本关系将2cos θ转化，即可求出结果.【详解】因为22222cos 1cos sin cos ?tan 1θθθθθ==++，tan 3θ=，所以21cos 10θ=. 故选D【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，属于基础题型.4.某校开设 , , , a b c d 共4门选修课，一位同学从中随机选取2门，则a 与b 未同时被选中的概率为( ) A.16B.13C.23D.56【答案】D 【解析】 【分析】先求a 与b 同时被选中的概率，再由互为对立事件的概率之和为1，即可求出结果. 【详解】记“a 与b 同时被选中”为事件A ，所以事件A 发生的概率为()2411P A 6C ==， 所以a 与b 未同时被选中的概率为()5P 1P A ?6=-=. 故选D【点睛】本题主要考查古典概型，属于基础题型. 5.0x ∃>，使得10x a x+-≤，则实数a 的取值范围是( ) A. 2a > B. 2a ≥C. 2a <D. 2a ≤【答案】B 【解析】 【分析】 先由10x a x +-≤分离参数得到1a x x ≥+，求出1x x+的最小值即可. 【详解】因为10x a x +-≤，所以12a x x ≥+≥=，当且仅当1x =时，取等号，所以只需2a ≥，故选B.【点睛】本题主要考查利用基本不等式处理不等式成立的问题，属于基础题型. 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.43B. 83C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】由三视图先确定几何体的形状，由体积公式即可求解.【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，其底面为等腰直角三角形，且腰长为2，三棱柱的高为2，所以该三棱柱的体积为114V 222323=⨯⨯⨯⨯=. 故选A【点睛】本题主要考查由三视图来求几何体的体积，属于基础题型. 7.设向量a ，b 满足(3,1)a b +=，1a b ⋅=，则||a b -=( ) A. 2 6C. 2210【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合向量的运算法则求解其模即可. 【详解】由题意结合向量的运算法则可知：()222431416a b a ba b -=+-⋅=+-⨯=.本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A. -2 B. -1C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合等差数列的性质和前n 项和的定义求解公差即可. 【详解】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=， 则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--.本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查数列的前n 项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9.已知F 是抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点，抛物线C 的准线与双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的两条渐近线交于A ，B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则Γ的离心率e =（ ） C.7【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出a ，b 的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为：2p x =-，联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程2p x b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，解得2pb y a =±，可得||pbAB a=， ABF ∆为等边三角形，可得pb p a=，即有b a =，则3c e a ====． 故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．10.已知函数()1xf x e ax =+-的图像与x 轴相切，则a =( )A. -1B. 0C.12D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先设切点坐标()m,0，再由题意可得()´0fm =且()0f m =，解方程组即可求出a .【详解】设切点为()m,0，由()1xf x e ax =+-得()´xfx ea =+，所以()´m f m e a =+，所以由题意可得()100m m f m e am e a ⎧=+-=⎨+=⎩，10m m me me a e ⎧--=⎨=-⎩，所以11me m =-， 由函数y xe =与1y 1x=-的图像易知，两函数交点只有一个，且横坐标为0， 所以解11me m=-得0m =，所以1m a e =-=-. 故选A.【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的切线问题，通常先设切点坐标，由题意列方程组求解，属于基础题型.11.已知圆锥的顶点为S ，O 为底面中心，,,A B C 为底面圆周上三点，AB 为底面的直径，SA AB =，M 为SA 的中点，C 为弧AB 的中点.设直线MC 与直线SO 所成角为α，则tan α=( )A.23B.3 C.15 D.15 【答案】C 【解析】 【分析】先取OA 中点N ，连结MN ，NC ，只需说明CMN ∠等于直线MC 与直线SO 所成角，再解三角形即可求出结果.【详解】因为在圆锥中，AB 为底面的直径，S 为圆锥的顶点，所以SO ⊥底面，取OA 中点N ，连结MN ，NC ，因为M 为SA 的中点，所以SO MN ,故CMN ∠等于直线MC 与直线SO 所成角.设2AB R =,由题意OA OB O R C ===，2SA AB R ==，所以113ON 22SO R OA R ===，,故225NC OC ON R =+=,13MN 2RSO ==, 所以15tan CMN 3NC MN ∠==, 故15tan 3α=，选C. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，只需用立体几何法在几何体中作出异面直线所成的角，解三角形即可，属于基础题型.12.已知点P 在圆224x y +=上，(2,0)A -，(2,0)B ，M 为BP 中点，则sin BAM ∠的最大值为( ) A.14C.13D.12【答案】C 【解析】 【分析】由圆的特征可确定BAM ∠为锐角，因此只需求出BAM ∠的正切值的最大值即可. 【详解】设(),P x y ，因为为BP 中点，所以2M ,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，所以2tan 2622yy BAM x x ∠==+++，因为点P 在圆224x y +=上，则22x -≤≤,不妨令0y >，则tan 6yBAM x ∠====+ 令111t ,684x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，则tan BAM ∠== 所以当且仅当316t=时，tan BAM ∠取最大值4，故1sin 3BAM ∠=.故选C. 【点睛】本题主要考查函数的综合，通常情况下，需要依题意表示出所求的量，通过求函数的值域来确定结果，属于中档试题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若x ，y 满足约束条件10,10,310,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩则2x y +的最大值为__________．【答案】2 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：1010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点的坐标为：()0,1A ，据此可知目标函数的最大值为：0212+⨯=.【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.14.已知函数2,0,()ln(1),0,x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩则不等式()1f x <的解集为__________．【答案】(1,1)e -- 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】结合函数的解析式分类讨论：当0x <时，21x <，解得：11x -<<，此时10x -<<， 当0x ≥时，()ln 11x +<，解得1x e <-，此时01x e ≤<-， 综上可得，不等式()1f x <的解集为()1,1e --.【点睛】本题主要考查分段函数不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，2n n S a =-，则5S =__________． 【答案】3116【解析】 【分析】由2n n S a =-和1n n n a S S -=-，可求出数列{}n a 的通项公式，从而可求出结果. 【详解】因为n S 是数列{}n a 的前n 项和，2n n S a =-， 所以由()11n 2n n n n n a S S a a --=-=-≥，所以112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以12为公比的等比数列，又1112S a a =-=，所以11a =， 故112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以45513122216S a ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查等比数列，属于基础题型. 16.若函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，02πϕ<≤）的图像关于点(,0)6π对称，且()f x 在[0,]6π上单调递减，则ω=__________．【答案】3 【解析】 【分析】由函数图像关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可列出关于ω的不等式组，再由0ω>，02πϕ<≤可求出结果.【详解】因为()()sin f x x ωϕ=+的图像关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以有246T ππω=≥⨯，即ω3≤，又()2k Z 6k πωϕππ+=+∈， ，因为0ω>，02πϕ<≤，所以有26662k ππππωωϕππω<+=+≤+，所以312k 612k ω+≤<+，因为03k Z ω<≤∈，,所以k 0,?36ω=≤<，故ω3=. 【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，通常借助函数的单调性和周期性来处理，属于中档试题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17.如图，在梯形ABCD 中，90A D ∠=∠=，M 为AD 上一点，22AM MD ==，60BMC =∠.（1）若60AMB ∠=，求BC ；（2）设DCM θ∠=，若4MB MC =，求tan θ. 【答案】（1）23BC =2）3tan 2θ= 【解析】 【分析】(1)先由题中条件求出MC MB ，，再由余弦定理即可求解；(2)先由DCM θ∠=，表示出ABM ∠，进而可用θ表示出MC ，MB ，再由4MB MC =，即可求解.详解】解：（1）由60BMC ∠=，60AMB ∠=，得60CMD ∠=. 在Rt ABM 中，24MB AM ==；在Rt CDM 中，22MC MD ==． 在MBC 中，由余弦定理得，2222cos 12BC BM MC BM MC BMC =+-⋅⋅∠=，23BC =（2）因为DCM θ∠=，所以60ABM θ∠=-，060θ<<． 在Rt MCD 中，1sin MC θ=； 在Rt MAB 中，()2sin 60MB θ=-，由4MB MC =得，()260sin sin θθ-=， 所以3cos θsin θsin θ-=，即2sin θ3cos θ=，整理可得3tan 2θ=． 【点睛】本题主要考查解三角形的问题，常用余弦定理和正弦定理等来处理，属于基础题型. 18.在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11CBB C 是菱形，1231722a a +=<=<，平面ABC ⊥平面11CBB C ，M 为1BB 的中点，AC BC ⊥.（1）证明：1CC ⊥平面11A C M ；（2）若2CA CB ==，求三棱锥11C A CM -的体积.【答案】（1）详见解析（2）23【解析】 【分析】(1)由直线与平面垂直的判定定理，结合题中条件，即可证明结论成立； (2)由三棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】解：（1）连接1C B ．∵平面ABC ⊥平面11CBB C ，平面ABC ⋂平面11CBB C BC =， 且AC BC ⊥，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面11CBB C ， 而1CC ⊂平面11CBB C ，∴1AC CC ⊥， 又11ACAC ，则有111AC CC ⊥，∵四边形11CBB C 是菱形，160C CB ∠=，∴11C BB 为边长为2的等边三角形， ∵M 为1BB 的中点，∴11C M BB ⊥，即11C M CC ⊥， 又1111A C C M C ⋂=， ∴1CC ⊥平面11A C M .（2）由（1）得13C M =，又112AC AC ==， ∵AC ⊥平面11CBB C ，而1C M ⊂平面11CBB C ， ∴1AC C M ⊥，又11AC AC ，则有111A C C M ⊥，所以11A C M 的面积为113A C MS=．由（1）可知1CC ⊥平面11A C M ， 三棱锥11C ACM -的体积 111111112333C A CM C A C M A C M V V S CC --==⋅⋅=．【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定定理，以及几何体的体积，属于基础题型. 19.近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2021年）的工业增加值（万亿元），如下表： 年份200820092010201120122013202X202X202X 2021年份序号x 12345678910工业增加值y 13.213.816.519.520.922.223.423.724.8 28依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.xy()1021ii x x =-∑()1021ii yy =-∑()()101iii x x y y =--∑5.5 20.6 82.5 211.52 129.6（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值y （万亿元）与年份序号x的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数vxy e μ=，其拟合指数20.93R =；研究人员乙采用函数ny mx =，其拟合指数20.95R =；研究人员丙采用线性函数y bx a =+，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.（注：相关系数r 与拟合指数2R 满足关系22R r =）.（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）； （3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.附：样本(),i i x y ()1,2,,i n =的相关系数()()()()12211ni nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，17450.4132.1≈，()()()121niii n ii x x y y b x x ∧==--=-∑∑，a y b x ∧∧=-.【答案】（1）见解析（2） 1.5711.96y x ∧=+（3）2021 【解析】 【详解】（1）129.60.981132.1r =≈，220.962R r =≈. 因为2R 越大，拟合效果越好，所以丙的拟合效果最好． （2）129.61.5782.5b ∧=≈， 20.6 5.511.96a b ∧∧=-⨯≈.因此y 关于x 的线性回归方程为 1.5711.96y x ∧=+． （3）从2008年开始计数，2021年是第11年，其工业增加值y 的预报值：1.571111.9629.2330y ∧=⨯+=<.2021年是第12年，其工业增加值y 的预报值：1.571211.9630.8030y ∧=⨯+=>.故可以预测到2021年的工业增加值能突破30万亿元大关．【点睛】本题主要考查回归方程的求解与应用，相关系数的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率2e =，过点(1,1)M -的动直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点.当l x ⊥轴时，||AB =（1）求椭圆C 的方程；（2）已知N 为椭圆C 的上顶点，证明NA NB k k +为定值.【答案】（1）22:14x C y +=（2）详见解析【解析】 【分析】(1)先由离心率得到a b ，的关系，再由题中l x ⊥轴时，AB =，即可求出a b ，，进而可得结果;(2)分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，联立直线与椭圆的方程，由根与系数关系，表示出直线NA,NB 的斜率，从而可证明结论成立.【详解】解：（1）由e =c a =，所以12b a =，即224a b =，从而椭圆222:4x C y b +=．当l x ⊥轴时，:1l x =，由AB =，不妨取1,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， 代入椭圆222:4x C y b +=，得21b =，故椭圆22:14x C y +=．（2）依题意，()0,1N ．当l 的斜率存在时，设()11y k x =--，()11,A x y ，()22,B x y ， 将()11y k x =--代入C 的方程，得()()2221481480k xk k x k k +-+++=，当0∆>时，()1228114k k x x k ++=+，212248·14k kx x k+=+． 121211NA NB y y k k x x --+=+， 因为111y kx k =--，221y kx k =--， 所以()()121222NA NB k x x k k k x x +++=-()2212k k =-+=-．由（1）得，当l的斜率不存在时，A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛⎝⎭，所以112NA NB k k +=-=-．综上，2NA NB k k +=-．【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆的几何性质，通常情况下联立直线与椭圆方程，由根与系数关系，结合题意求解，属于中档试题. 21.已知函数2()2ln 43(0)f x a x x x a +-=+>. （1）若()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：12()()0f x f x +>. 【答案】（1）1a ≥（2）详见解析 【解析】 【分析】(1)先对函数求导，再根据条件可得()0f x '≥恒成立，进而可求结果；(2)由(1)以及根与系数关系，先找到1x ，2x 的关系，将()()12f x f x +转化为关于a 的函数，研究函数的单调性，即可证明结论成立.【详解】解：（1）()224af x x x+'=- 因为()f x 为单调增函数，所以()0f x '≥，即2240ax x+-≥恒成立， ()221maxa x x≥-+=，当且仅当1x =时取等号，即1a ≥．（2）证明：由（1）得()2242x x a f x x-+'=，依题意可得()f x '的两个零点为1x ，2x ，所以01a <<，且122x x +=，12x x a =． 所以()()22121112222ln 432ln 43f x f x a x x x a x x x +=+-+++-+()()221212122ln 46a x x x x x x =++-++()()()2121212122ln 246a x x x x x x x x =++--++2ln 22a a a =-+令()2ln 22g a a a a =-+，01a <<．则()2ln 0g a a ='<，()g a 单调递减，因为()10g =，所以()0g a >，故()()120f x f x +>．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常情况下，需要构造函数，用导数的方法来处理，难度较大.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在极坐标系中，直线:sin()43l πρθ+=，圆:4sin C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy .（1）求直线l 的直角坐标方程和圆C 的参数方程；（2）已知点P 在圆C 上，P 到l 和x 轴的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最大值.【答案】（1）直线l 80y +-=；圆C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，且02απ≤<）；（2）7 【解析】 【分析】(1)利用极坐标方程与直角坐标方程，普通方程与参数方程的转化方法进行转化即可； (2)结合(1)中的结论得到关于12d d +的表达式，结合三角函数的性质确定其最大值即可.【详解】（1）由:43l sin πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得，142sin cos ρθρθ+=；所以直线l 80y +-=；由圆:4C sin ρθ=得，24sin ρρθ= ，因为x cos ρα=，y sin ρα= ，222x y ρ=+，所以圆C 直角坐标方程：()2224x y +-=由()2224x y +-=得， 圆C 的参数方程为2,22x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，且02απ≤<），（2）设点P 坐标为()2,22cos sin αα+，则1d ==3sin αα--，222d sin α=+．那么125253d d sin sin πααα⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 当56πα=时，12d d +取得最大值7． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，最值问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23.已知()|1||1|1f x x x =++--. （1）解不等式()1f x x ≤+； （2）证明：3()(2)f x f x ≥.【答案】（1）{|02}x x ≤≤（2）详见解析 【解析】 【分析】(1)由题意零点分段确定不等式的解集即可；(2)结合(1)中的结论绘制函数()3y f x =和()2y f x =的图象，结合函数图像可知题中的不等式成立.【详解】（1）不等式1111x x x ++--≤+等价于1,211,x x x >⎧⎨-≤+⎩或11,11,x x -≤≤⎧⎨≤+⎩或1,21 1.x x x <-⎧⎨--≤+⎩ 解得，12x <≤ ，或01x ≤≤，或x ∈∅． 所以，不等式()1f x x ≤+的解集是{|02}x x ≤≤．（2）由（1）得，()21,1,1,11,21, 1.x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩ 所以()63,1,33,11,63, 1.x x y f x x x x --≤-⎧⎪==-<<⎨⎪-≥⎩()1 41,,21121,,22141,.2x xy f x xx x⎧--≤-⎪⎪⎪==-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩如图所示，画出函数()3y f x=和()2y f x=的图象，观察图象，可得()()32f x f x≥．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

昌平区xx－xx学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）2021年高三上学期期末质量抽测数学理试题含答案考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分.2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写.3．答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔.请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分.4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液.保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损.不得在答题卡上做任何标记.5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）若集合，，则A．B．C．D．(2) 下列函数中，在区间上为增函数的是A． B. C. D.俯视图侧（左）视图正（主）视图 (3) 已知两点，以线段为直径的圆的方程是 A ． B ． C ． D ． (4) 在中，，则A ．19B ．7C ．D ．⑸ 某三棱锥的三视图如图所示，则该三 棱锥四个面的面积中最大的是 A. B. 3 C. D.（6）已知函数f (x ) 的部分对应值如表所示. 数列满足且对任意，点都在函数的图象上，则的值为A . 1 B.2 C. 3 D. 4 ⑺ 若满足且的最大值为4，则的值为A ．B ．C ．D ．（8）某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：逻辑思维成绩排名200200阅读表达成绩排名O 丙逻辑思维成绩排名总成绩排名200200O 甲乙下列叙述一定正确的是A ．甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）在的展开式中，常数项是 （用数字作答）.（10）双曲线的渐近线方程为__________________；某抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则此抛物线的标准方程为____________. （11）执行如图所示的程序框图， 输出的值为_______.（12）将序号为1，2，3，4的四张电影票全部分给3PDCBA 1频数（天）步数(千步)23191817人，每人至少一张. 要求分给同一人的两张电影票连号，那么不同的分法种数为________________.（用数字作答）（13）如图，在矩形中，，若则______; _________.（14）已知函数若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围是_____________________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）（本小题满分13分）已知函数．（I ） 求函数的最小正周期； （II ）求函数的单调递减区间．(16)（本小题满分13分）小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下.图1 表1（Ⅰ）求小王这8天 “健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为，求的分布列.P MD CBA（17）（本小题满分14分）在四棱锥中，平面平面，为等边三角形, ,,,点是的中点． （I ）求证:平面； （II ）求二面角的余弦值； （III ）在线段上是否存在点，使得 平面？若存在,请求出 的值；若不存在,请说明理由.（18）（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求切点的坐标；（Ⅱ）求证：当时，；（其中）（Ⅲ）确定非负实数．．．．的取值范围，使得成立.（19）（本小题满分13分）已知椭圆C 的离心率为,点在椭圆C 上．直线过点，且与椭圆C 交于，两点，线段的中点为．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点为坐标原点，延长线段与椭圆C 交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的方程，若不能，说明理由．（20）（本小题满分14分）对于任意的，记集合，.若集合满足下列条件： ①；②，且，不存在，使，则称具有性质. 如当时，，.，且，不存在，使，所以具有性质. (Ⅰ) 写出集合中的元素个数，并判断是否具有性质. （Ⅱ）证明：不存在具有性质，且，使． （Ⅲ）若存在具有性质，且，使，求的最大值.昌平区xx－xx学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准（理科）xx.1二、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）60（10）（11）（12）18（13）（14）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)(15)（本小题满分13分）解：（I）所以最小正周期…………………………..7分(II) 由得………………………11分所以函数的单调递减区间是……………13分C (16)（本小题满分13分）解: (I) 小王这8天 “健步走”步数的平均数为 （千步）. …………………………..4分 （II ）的各种取值可能为800，840，880，920. ,的分布列为：…………………………..13分 （17）（本小题满分14分） （Ⅰ）证明:取中点,连结.因为 为中点 ,所以 .因为. 所以且. 所以四边形为平行四边形, 所以 .因为 ,平面,所以平面.…………………………..4分（Ⅱ） 取中点,连结因为 , 所以.因为 平面平面, 平面平面, 平面, 所以.取中点,连结,则以为原点,如图建立空间直角坐标系, 设则 (1,0,0),(1,2,0),(1,4,0),(1,0,0),A B C D P -- .平面的法向量, 设平面的法向量, 由得 令，则..由图可知，二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为. …………………………..9分（Ⅲ）不存在.设点,且,则所以.则所以, .若,则,即，此方程无解,所以在线段上不存在点,使得. …………………………..14分（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：定义域为，.由题意，，所以，即切点的坐标为. ………3分（Ⅱ）证明：当时，，可转化为当时，恒成立.设，所以原问题转化为当时，恒成立.所以.令，则（舍），.因为，2(e1)2(e1)2(e1)2(e1)(3e)0g-=--+-=+-->，所以.当时，成立. ………………..8分（Ⅲ）解：，可转化为当时，恒成立.设，所以.⑴当时，对于任意的，，所以在上为增函数，所以，所以命题成立.当时，令，则，⑵当，即时，对于任意的，， 所以在上为增函数，所以， 所以命题成立. ⑶当，即时， 则（舍），.因为，所以，当时，命题不成立.综上，非负实数的取值范围为. …………………………..13分（19）（本小题满分13分）解：（I ）由题意得22222311,4.c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得.所以椭圆的方程为 …………………………..5分 （Ⅱ）四边形能为平行四边形． 法一：（1）当直线与轴垂直时，直线的方程为 满足题意； （2）当直线与轴不垂直时，设直线，显然. ，，． 将代入得，2221228(8)4(41)(44)0,.41kmkm k m x x k -=-+->+=+故，．于是直线的斜率，即． 由直线，过点，得，因此．的方程为．设点的横坐标为． 由得，即．四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．于是．由，得满足 所以直线的方程为时，四边形为平行四边形．综上所述：直线的方程为或 . ………………………….13分 法二：（1）当直线与轴垂直时，直线的方程为 满足题意； （2）当直线与轴不垂直时，设直线，显然，，，． 将代入得，2221228(8)4(41)(44)0,.41kmkm k m x x k -=-+->+=+故， .四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即． 则.由直线，过点，得. 则， 则 . 则 满足所以直线的方程为时，四边形为平行四边形．综上所述：直线的方程为或 . …………………………..13分（20）（本小题满分14分）(Ⅰ) 解：集合中的元素个数分别为9，23，不具有性质. ……………..6分 （Ⅱ）证明：假设存在具有性质，且，使．其中.因为，所以，不妨设．因为，所以，．同理，，．因为，这与具有性质矛盾． 所以假设不成立，即不存在具有性质，且，使.…..10分 （Ⅲ）因为当时，，由（Ⅱ）知，不存在具有性质，且，使． 若当时，，取，，则具有性质，且，使．当时，集合中除整数外，其余的数组成集合为，令，，则具有性质，且，使．精品文档实用文档 当时，集中除整数外，其余的数组成集合，令，．则具有性质，且，使3312457810111314{,,,,,,,,,}3333333333A B =．集合1414,,1,4,9C x x a E b E b ⎧⎫==∈∈≠⎨⎬⎩⎭中的数均为无理数，它与中的任何其他数之和都不是整数，因此，令，，则，且．综上，所求的最大值为14. ……………..14分32467 7ED3 结29510 7346 獆36208 8D70 走39333 99A5 馥31212 79EC 秬^1j29957 7505 甅N39249 9951 饑/34253 85CD 藍24683 606B 恫。

昌平区xx－xx学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）2021年高三上学期期末质量抽测数学理试题含解析考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分.2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写.3．答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔.请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分.4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液.保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损.不得在答题卡上做任何标记.5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）若集合，，则A．B．C．D．【考点】集合的运算俯视图侧（左）视图正（主）视图11223【试题解析】所以【答案】B(2) 下列函数中，在区间上为增函数的是A ． B. C. D. 【考点】函数的单调性与最值【试题解析】结合函数的图像与单调性易知：只有在区间上为增函数。

【答案】A(3) 已知两点，以线段为直径的圆的方程是 A ． B ． C ． D ． 【考点】圆的标准方程与一般方程 【试题解析】以线段为直径的圆的圆心为OA 的中点（-1，0），半径为故所求圆的方程为：。

【答案】D(4) 在中，，则A ．19B ．7C ．D ． 【考点】余弦定理 【试题解析】 由余弦定理得：所以。

【答案】D⑸ 某三棱锥的三视图如图所示，则该三 棱锥四个面的面积中最大的是 A. B. 3 C. D.【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】该几何体的底面面积为侧面面积分别为：其中最大的为：。

【答案】C（6）已知函数f (x)的部分对应值如表所示. 数列满足且对任意，点都在函数的图象上，则的值为1 2 3 43 1 2 4A . 1 B.2 C. 3 D.4【考点】函数综合【试题解析】由题知：所以数列以3为周期循环，故【答案】B⑺若满足且的最大值为4，则的值为A．B．C．D．【考点】线性规划【试题解析】作可行域：逻辑思维成绩排名200200阅读表达成绩排名O 丙A(-3，0)，B()，C(0，3)，因为显然目标函数在B 点取得最大值，【答案】A（8）某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：逻辑思维成绩排名总成绩排名200200O 甲乙下列叙述一定正确的是A ．甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D．乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前【考点】函数图象【试题解析】由图知：甲同学的逻辑思维成绩排名很靠前但总排名靠后，说明阅读表达成绩排名靠后，故A错；乙同学的逻辑思维成绩排名适中但总排名靠前，说明阅读表达成绩排名靠前，故B错；显然甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，故C正确。