1.2.1常见随机变量分布

… …
离散型随机变量
对于离散随机变量，其分布函数为:
F ( x) pi u ( x xi )
i
其概率密度函数为:
dF ( x) p ( x) pi ( x xi ) dx i
离散型随机变量
例:均匀掷色子实验:取值为{1,2,3,4,5,6}
连续型随机变量
连续型随机变量（X取连续值）
E[ XY ] E[ X ]E[Y ]
2 方差
方差是用来度量随机变量偏离其数学期望的程度的量。 定义为
D[ X ] E{( X E[ X ]) }
2 X 2
( x E[ X ]) p X ( x)dx
2

方差开方后称为均方差或标准差 由均值的性质知：
X D[ X ]
问题:连续型随机变量X取某个值的概率?
概率密度函数
如均匀分布随机变量通过限幅器的输出.
总结
随机变量不同于普通变量表现在两点上： (1) 变量可以有多个取值，并且不能预知它到 底会取哪个值； (2) 变量取值是有规律的，这种规律用概率特 性来明确表述；
因此，凡是讨论随机变量就必然要联系到它 的取值范围与概率特性。
§ 1.1随机变量的概念
一.概率论的几个基本概念: 1． 随机试验 例1 抛硬币：可能出现正面或反面； 例2 从一批产品中任取10件，抽到的废品数 可能是0,1,2,…,10中的一个数； 例3 掷色子：可能出现1,2,3,4,5,6点 满足下列三个条件的试验被称为随机试验E，简称试验: 1) 在相同条件下可以重复进行; 2) 试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确 ; 3) 每次试验前不能确定会出现哪一个结果。
F ( x ) F ( x)

离散型随机变量：随机变量取有限个或可数个值 随机变量 连续型随机变量：随机变量可取某一区间的任何值
• 例1：“抛硬币”实验 • 样本空间S={正面，反面}={e}
令X=X(e)=
1 0 当e=正面 当e=反面
• 则X=X(e)为一离散型随机变量。 • 例2：“掷骰子”实验 • 样本空间S={e}={1,2,3,4,5,6} • 令X=X(e)=e， • 则X=X(e)=e为一离散型随机变量。
• 5、多维随机变量 • 二维随机变量： • 定义：设随机实验E的样本空间为S={e}，X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，则称(X,Y)为二维 随机变量。
x1 <x 2
• 二维随机变量的分布函数（联合分布函数） • 定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实 数，x,y的二元函数 • F(x,y)=P(X<=x,Y<=y) • 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数（联合分 布函数）。其中P(X<=x,Y<=y)表示随机变量 X<=x,Y<=y的概率。 • 二维随机变量的联合概率密度函数 • 定义：若存在分布函数F(x,y)连续，且存在 二阶混合偏导数。
第1章 随机变量（复习）
复习一下随机变量，为后面学随机过程打 基础
§1.1 随机变量及其分布
• 1、随机变量的概念 定义：设E为一个随机实验，其样本空间为S={e}， 若对每一个 e S 都有一个实数X(e)与之对应，而 且对于任何实数x，X(e)<=x有确定的概率，则称 X(e)为随机变量。
xi x
F(x)= p (t ) 连续型：

x
F ( x)是p(x)的一个原函数, 则：
dF ( x) p ( x) dx F ( x2 ) F ( x1 ) p( x)dx

概率论与数理统计教案-随机变量及其分布教学目标：1. 理解随机变量的概念及其重要性。

2. 掌握随机变量的概率分布及其性质。

3. 学会计算随机变量的期望值和方差。

教学内容：第一章：随机变量的概念1.1 随机试验与样本空间1.2 随机变量及其定义1.3 随机变量的分类第二章：随机变量的概率分布2.1 离散型随机变量的概率分布2.2 连续型随机变量的概率分布2.3 随机变量概率分布的性质第三章：随机变量的期望值3.1 离散型随机变量的期望值3.2 连续型随机变量的期望值3.3 期望值的性质及其计算方法第四章：随机变量的方差4.1 离散型随机变量的方差4.2 连续型随机变量的方差4.3 方差的性质及其计算方法第五章：随机变量的不确定性度量5.1 标准差与协方差5.2 变异系数与相关系数5.3 不确定性度量在实际应用中的意义教学方法：1. 采用讲授法，系统讲解随机变量及其分布的基本概念、性质和计算方法。

2. 利用案例分析，让学生更好地理解随机变量在实际问题中的应用。

3. 布置练习题，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力。

教学评估：1. 课堂问答，检查学生对随机变量及其分布的理解程度。

2. 课后作业，检验学生对随机变量期望值和方差的计算能力。

3. 课程报告，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的综合应用能力。

教学资源：1. 教材：《概率论与数理统计》2. 课件：随机变量及其分布的相关内容3. 案例资料：用于分析随机变量在实际问题中的应用4. 练习题及答案：用于巩固所学知识教学安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：2课时5. 第五章：2课时总结：通过本章的学习，学生应掌握随机变量及其分布的基本概念、性质和计算方法，并能运用所学知识解决实际问题。

第六章：随机变量的函数6.1 离散型随机变量的函数6.2 连续型随机变量的函数6.3 函数随机变量的性质教学内容：本章主要介绍随机变量的函数，包括离散型随机变量的函数和连续型随机变量的函数。

高中数学随机变量及其分布内容简介
随机变量是概率论中的重要概念，指的是一个变量的取值由随机试验的结果决定。

在高中数学中，我们常常接触到一些常见的随机变量及其分布，这些内容是数学学习中的重要一环。

首先，我们要了解离散随机变量及其分布。

离散随机变量是指只取有限个或可数无限个可能值的随机变量。

在离散随机变量的分布中，最常见的是二项分布和泊松分布。

二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的概率分布，而泊松分布则是用于描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生的次数的分布。

另外，连续随机变量及其分布也是我们需要了解的内容。

连续随机变量是指取值在一段或多段连续区间内的随机变量。

在连续随机变量的分布中，最常见的是正态分布和指数分布。

正态分布是一种在数学、物理、工程领域中非常常见的分布，其形状呈钟形曲线，具有均值和标准差这两个参数。

而指数分布则是描述独立随机事件发生的时间间隔的分布。

在学习高中数学中的随机变量及其分布时，我们需要掌握如何计算随机变量的期望值、方差以及概率分布等重要性质。

通过学习随机变量及其分布，我们可以更好地理解概率论中的概念，为后续的数学学习打下坚实的基础。

总的来说，高中数学中的随机变量及其分布是一项重要的内容，通过学习这一部分知识，我们可以更好地理解概率论的相关概念，提高数学分析和问题解决的能力。

希望同学们能够认真学习这一部分内容，掌握其中的关键知识点，为未来的学习和发展打下良好的基础。

附件6编号（注：此处编号作者不填，由论文收藏单位填写.正式论文此行提示信息删除并保留2空行.）学士学位论文概率统计中几种重要分布及关系学院名称：专业班级：学生姓名：学号：指导教师：完成日期：年月日摘要概率统计作为数学知识理论中的重要内容，对于数学学习有重要的作用.随机变量的分布是概率统计中的重要内容，对随机变量分布的学习，有利于全面掌握概率统计的相关内容.本文主要是对概率统计中几种重要分布及关系的研究，采用文献总结法和分析归纳法，通过对概率统计中二项分布、泊松分布、正态分布的概念进行阐述，对三种分布之间的联系进行分析研究，对三种分布在实际中的具体应用进行系统的表述，最终得出二项分布与泊松分布之间之间，当n的数值越大时，二者的相似度越高；二项分布与正态分布之间存在二项分布收敛于正态分布的关系；泊松分布与正态分布存在某种固定的内在联系。

通过对概率统计中几种重要分布及关系的研究，有利于旨在建立系统全面的概率统计的知识架构，加强学生对概率统计相关知识的掌握和学习.关键词：概率统计；分布；关系；应用Several important distributions and relations in probability andstatisticsAbstractProbability and statistics, as an important part of mathematical knowledge theory, plays an important role in mathematics learning. The distribution of random variables is an important part of probability and statistics. Learning the distribution of random variables is conducive to a comprehensive grasp of the relevant content of probability and statistics. This paper mainly studies several important distributions and relationships in probability and statistics, using the methods of literature summary and analysis induction, This paper expounds the concepts of binomial distribution, Poisson distribution and normal distribution in probability and statistics, analyzes the relationship between the three distributions, and systematically describes the specific application of the three distributions in practice. Finally, it comes to the conclusion that the greater the value of binomial distribution and Poisson distribution, the higher the similarity between them; there is a gap between binomial distribution and normal distribution In the relationship of binomial distribution converging to normal distribution, Poisson distribution and normal distribution have some fixed internal relations. Through the study of several important distributions and relationships in probability and statistics, it is helpful to establish a systematic and comprehensive knowledge framework of probability and statistics, and strengthen students' mastery and learning of probability and statistics related knowledge.Key words: probability and statistics; distribution; relation; application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1绪论 (1)1.1研究背景及意义 (1)1.1.1研究背景 (1)1.1.2研究意义 (1)1.2国内外研究现状 (1)1.2.1国内研究现状 (1)1.2.2国外研究现状 (2)1.3研究主要内容 (2)2相关概念 (4)2.1二项分布 (4)2.2泊松分布 (4)2.3正态分布 (5)3.三种分布间的联系 (7)3.1二项分布与泊松分布之间的联系 (7)3.2二项分布与正态分布之间的联系 (8)3.3泊松分布与正态分布之间的联系 (9)4.三种分布在实际中的应用 (11)4.1二项分布的具体应用 (11)4.2泊松分布的具体应用 (12)4.3正态分布的具体应用 (13)结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)1绪论1.1研究背景及意义1.1.1研究背景概率统计是数学课程中较为重要的数学知识点，二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布是数学概率论中最为基础的数学知识点，也是日常练习过程中较为常见的概率分布。

a
xi pi，X是离散分布 xp( x)dx，X是连续分布
※ 方差：用来表示分布的散布大小，用Var(X) 表示。
Var（X）=
i
xi E( X )2 pi , X是离散分布
b x
a
E（X）2
p（x）dx，X是连续分布
※ 标准差： =（X）= Var( X )
【例2-4】
甲乙两种牌子的手表，它们的日走时误差分别为X与Y （单位：秒），已知X与Y分别有以下分布列（概率函数）：
2020/8/4
24
2．泊松分布 泊松分布可用来描述不少随机变量的概率分布，如： 一定时间内，电话交换机接错电话的次数； 一定时间内，某操作系统发生的故障数； 一个铸件上的缺陷数； 一平方米玻璃上气泡的个数； 一件产品被擦伤留下的痕迹个数； 一页书上的错字个数。
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若λ（λ ＞0）表示某特定单位的平均 点数，则某特定单位内出现的点数 X 取 x 值的 概率为：
（2）”掷两颗骰子，点数之和”的分布为
Y
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
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9
【例2-3】设X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
p1
p2
p3
p4
p5
概率P（2≤X＜5）=（ ）。 A. p2 + p3 + p4 + p5 B. p2 + p3 + p4
※ X超出上规范限的概率，记为pu=P(X>USL) ※ X低于下规范限的概率，记为pL=P(X<LSL) X 的不合格品率 p=pL+pu

第一章 随机变量基础
第一章 随机变量基础
1.1 概率基本术语 1.2 随机变量及其分布 1.3 随机变量函数及其分布 1.4 随机变量及其函数的数字特征 1.5 高斯随机变量
第一章 随机变量基础
第一章 随机变量基础
1.1.1 概率空间 1. 随机现象有两个主要特点： ① 个别试验的不确定性；
② 大量试验结果的统计规律性。 概率论和数理统计是描述和 研究随机现象统计规律性的数学学科， 它们研究大量随机现 象内在的统计规律、 建立随机现象的物理模型并预测随机现 象将要产生的结果。
第一章 随机变量基础
下面对一维实随机变量做简要说明。 (1) 样本ξk是样本空间上的点， 所对应的实数xk是某个 实数集R1上的点。 因此， 一维实随机变量X(ξ)就是从原样 本空间Ω到新空间R1的一种映射， 如图1-5所示。 (2) 随机变量X(ξ)总是对应一定的概率空间(Ω, F, P)。 为了书写简便， 没有特殊要求时不必每次写出随机变量X(ξ) 的概率空间(Ω, F, P)。 (3) 随机变量X(ξ)是关于ξ的单值实函数， 简写为X。 本书规定用大写英文字母X, Y, Z, …表示随机变量， 用 相应的小写字母x, y, z， …表示随机变量的可能取值， 用 R1表示一维实随机变量的值域。 简单地说， 随机变量实际上就是样本空间为一维实数域 R1其子集的概率空间。
推广到多个事件， 设A1, A2, …，AN为同一样本空间上 的一组事件， 若对任意的M(2≤M≤N)及任意M 个互不相同的
整数i1, i2, …， iM, 满足
P( Ai1 Ai2 AiM ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( AiM )
(1-10)
第一章 随机变量基础
3.
若事件A1, A2, …，AN两两互斥(互不相容)， 即i j ，

当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3

概率空间
(1) Ω∈F ; (2) 若A∈F ,则A=Ω\A∈F ; (3) 若An∈F ,n=1,2,…,则 n 1 An∈F , 那么F 称为ς-代数(Borel域).(Ω,F )称为可测空间,F中 的元素称为事件. 由定义1.1且有: (4) υ∈F ; (5) 若A,B∈F ,则A\B∈F ; n n (6) 若Ai∈F ,i=1,2,…,则 i 1 Ai, i 1 Ai, i 1 Ai∈F . 定义1.2 设(Ω,F )是可测空间,P(· )是定义在F 上的实值 函数.若 (1) 任意A∈F ,0≤P(A)≤1; (2) P(Ω)=1;
y1
yn
n维随机变量及其概率分布
率密度. 定义1.6 设{Xt,t∈T}是一族随机变量,若对任意的n≥2, t1,t2,…,tn∈T, x1,x2,…,xn∈R, 有 n P( X t≤x1, X t≤x2,…, X t≤xn)= i 1 P( X t xi ) 1 2 n 则称{Xt,t∈T}是独立的. • 若{Xt,t∈T}是一族独立的离散型随机变量, 则上式等 n 价于P( X t1 =x1, X t2 =x2,…, X t n=xn)= i 1 P( X t xi ) ; 若{Xt,t∈T}是一族独立的连续型随机变量, 则上式等 n 价于 f t1 ,t2 ,,tn(x1,x2,…,xn)= i 1 f t ( xi ), 其中 f t1 ,t2 ,,tn 1, (x x2,…,xn)是随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合概率密度且 f ti ( xi ) 是随机变量 X t 的概率密度,i=1,2,…,n. • 独立性是概率论中的重要概念,独立性的判断通常是根 据经验或具体情况来决定的.
n维随机变量及其概率分布
是右连续函数; (3)对于Rn中的任意区域(a1,b1;…;an,bn),其中ai≤bi, i=1,2,…,n, 成立 n F(b1,b2,…,bn)- i 1 F(b1,…,bi-1,ai,bi+1,…,bn)

概率论与数理统计教案-随机变量及其分布教案章节一：随机变量的概念1.1 教学目标了解随机变量的定义与分类理解随机变量分布函数的概念掌握随机变量期望的计算方法1.2 教学内容随机变量的定义随机变量的分类：离散型与连续型随机变量分布函数的定义与性质随机变量期望的计算方法1.3 教学方法采用讲授法，讲解随机变量的概念及其分类通过例题，讲解随机变量期望的计算方法开展小组讨论，巩固随机变量分布函数的理解教案章节二：离散型随机变量的概率分布2.1 教学目标掌握离散型随机变量的概率分布的定义与性质学会计算离散型随机变量的概率分布理解离散型随机变量期望与方差的计算方法2.2 教学内容离散型随机变量的概率分布的定义与性质几种常见的离散型随机变量概率分布：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布离散型随机变量期望与方差的计算方法2.3 教学方法采用讲授法，讲解离散型随机变量的概率分布的定义与性质通过例题，讲解几种常见的离散型随机变量概率分布的计算方法开展小组讨论，巩固离散型随机变量期望与方差的计算方法教案章节三：连续型随机变量的概率密度3.1 教学目标理解连续型随机变量的概念掌握连续型随机变量的概率密度的定义与性质学会计算连续型随机变量的概率密度3.2 教学内容连续型随机变量的概念连续型随机变量的概率密度的定义与性质几种常见的连续型随机变量概率密度：均匀分布、正态分布、指数分布3.3 教学方法采用讲授法，讲解连续型随机变量的概念及其概率密度的定义与性质通过例题，讲解几种常见的连续型随机变量概率密度的计算方法开展小组讨论，巩固连续型随机变量概率密度的理解教案章节四：随机变量的期望与方差4.1 教学目标理解随机变量期望与方差的概念与性质掌握计算随机变量期望与方差的方法学会运用期望与方差描述随机变量的特征4.2 教学内容随机变量期望与方差的概念与性质计算随机变量期望与方差的方法期望与方差在描述随机变量特征中的应用4.3 教学方法采用讲授法，讲解随机变量期望与方差的概念与性质通过例题，讲解计算随机变量期望与方差的方法开展小组讨论，巩固期望与方差在描述随机变量特征中的应用教案章节五：随机变量及其分布的综合应用5.1 教学目标掌握随机变量及其分布的基本知识学会运用随机变量及其分布解决实际问题培养运用概率论与数理统计思维分析问题的能力5.2 教学内容随机变量及其分布的综合应用实例实际问题中随机变量及其分布的建模方法运用概率论与数理统计思维分析问题的方法5.3 教学方法采用案例教学法，讲解随机变量及其分布的综合应用实例通过实际问题，讲解随机变量及其分布的建模方法开展小组讨论，培养运用概率论与数理统计思维分析问题的能力教案章节六：大数定律与中心极限定理6.1 教学目标理解大数定律的含义及其在实际中的应用掌握中心极限定理的条件及其意义学会运用大数定律和中心极限定理分析随机变量序列的性质6.2 教学内容大数定律的定义及其表述中心极限定理的定义及其表述大数定律和中心极限定理在实际中的应用6.3 教学方法采用讲授法，讲解大数定律和中心极限定理的定义及其表述通过例题，讲解大数定律和中心极限定理在实际中的应用开展小组讨论，巩固大数定律和中心极限定理的理解教案章节七：随机样本及抽样分布7.1 教学目标理解随机样本的概念掌握抽样分布的定义及其性质学会计算样本统计量的分布7.2 教学内容随机样本的概念抽样分布的定义及其性质样本统计量的分布的计算7.3 教学方法采用讲授法，讲解随机样本的概念和抽样分布的定义及其性质通过例题，讲解计算样本统计量的分布的方法开展小组讨论，巩固抽样分布的理解教案章节八：假设检验与置信区间8.1 教学目标理解假设检验的基本原理掌握构造检验统计量的方法学会判断假设检验的结果8.2 教学内容假设检验的基本原理构造检验统计量的方法假设检验的结果的判断8.3 教学方法采用讲授法，讲解假设检验的基本原理和构造检验统计量的方法通过例题，讲解判断假设检验结果的方法开展小组讨论，巩固假设检验的理解教案章节九：回归分析与相关分析9.1 教学目标理解回归分析的概念及其应用掌握线性回归模型的建立与估计学会利用回归分析解决实际问题9.2 教学内容回归分析的概念及其应用线性回归模型的建立与估计利用回归分析解决实际问题9.3 教学方法采用讲授法，讲解回归分析的概念及其应用和线性回归模型的建立与估计通过例题，讲解利用回归分析解决实际问题的方法开展小组讨论，巩固回归分析的理解教案章节十：总结与展望10.1 教学目标总结本门课程的主要内容和知识点了解概率论与数理统计在实际中的应用激发学生继续学习概率论与数理统计的兴趣10.2 教学内容本门课程的主要内容和知识点的总结概率论与数理统计在实际中的应用对未来学习的展望10.3 教学方法采用讲授法，总结本门课程的主要内容和知识点通过案例分析，讲解概率论与数理统计在实际中的应用鼓励学生发表对概率论与数理统计学习的看法和展望重点和难点解析：1. 随机变量的概念与分类：理解随机变量的定义以及离散型和连续型随机变量的区别是本章节的核心。

随机变量及其分布
随机变量（random variable）表示随机试验各种结果的实值单值函数。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等，都是随机变量的实例。
所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果。
（1）恰好有三家煤矿必须整改的概率；
（2）至少关闭一家煤矿的概率。（精确到 ）
粒种子分种在甲、乙、丙 个坑内，每坑 粒，每粒种子发芽的概率为 ，若一个坑内至少有 粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
（1）求甲坑不需要补种的概率；
（2）求 个坑中需要补种的坑数 的分布列；
设随机变量 服从标准正态分布 ，若 ，则 （）
A. B. C. D.
设随机变量 ，且 ，则c等于（）
设 的概率密度函数为 ，则下列结论错误的是（）
(A) (B)
(C) 的渐近线是 (D) ～
设随机变量 服从正态分布 ，记 ，则下列结论不正确的是（）
A． B．
C． D．
在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。
特殊的离散型随机变量：
1.两点分布
如果随机变量X的分布列为：
X
1
0
P
p
q
其中０＜ｐ＜１，ｑ＝１－ｐ，则称离散型随机变量Ｘ服从参数为Ｐ的两点分布。
两点分布也称为（0—1）分布。也即是伯努利实验的分布。
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的分布列。

b

b
a
x dF ( x)
E[g(X1 , X 2 , E[X1X 2
X n )]
n



g ( x1 , x2 ,
xn ) dF ( x1 , x2 ,
xn )
X n ] E[X i ]
i 1
1.5.3 矩与联合矩 假设随机变量X 的概率密度函数为 f ( x)，则定 义 1）绝对原点矩和联合绝对原点矩
(1) (2) (3) (4)
g ( x)dF ( x) g ( x)dF ( x) g ( x)dF ( x) [m g ( x) ng ( x)]dF ( x) m g ( x)dF ( x) n g ( x)dF ( x) g ( x)d[mF ( x) n F (x)] m g ( x)dF ( x) n g( x)dF ( x) F(x)为X 连续随机变量的PDF g ( x) dF ( x)= g ( x)f ( x) dx
E [ XY ] E [ X ]E [ Y ]
2 2 2
2 2
1.6 特征函数和概率母函数
1.6.1 特征函数 随机变量X的特征函数定义为
( ) E[exp(j X )] exp( j x) f ( x)dx , 连续RV , R exp( j X i ) P(X X i ) , 离散RV i
4）事件域（ F ） 样本空间的若干子集构成的集合
事件域性质
（1） F， F
（2） A，B F ，则A B F ，A-B F
（3） A n F ， n 1,2,
（4） A F ，则A F

概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。

其在实际中的应用。

关键词1 一维随机变量分布随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。

它是一种“定性”类型的概念。

为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。

称这种变数为随机变数。

本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。

定义1.1 设X 为一个随机变数，令()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞+∞.这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。

它是一个普通的函数。

成这个函数为随机函数X 的分布函数。

有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。

更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得12([{,,...}])1P X a a ∈=称这样的随机变数为离散型随机变数。

称它的分布为离散型分布。

【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。

（1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。

称这种随机变数的分布为退化分布。

一个退化分布可以用一个常数a 来确定。

（2）X 可能取的值只有两个。

确切地说，存在着两个常数a ，b ，使([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。

如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。

因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。

特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。

则X的概率分布由 下式 给出
P{X k} Cnk pk (1 p)nk ,
此时称, X 服从参数为 n, p 的二项分布, 记为 X ~ b(n, p).
n=1时， P{X=k}=pk(1-p)1-k,(k=0,1)，
注意
即P{X=0}=1-p, P{X=1}=p
(0-1)分布
X ~ b(n, p).
P{ X
k}
C
k n
pk (1
p)nk
,
二项分布的图形特点:
Pk
对于固定 n 及 p, 当 k 增
加时, 概率 P{ X k}先
是随之增加直至达到最
大值, 随后单调减少.
O
n
完
可以证明， 一般的二项分布的图形也具有这一
性质，且当 (n 1) p 不为整数时，二项概率
P{ X k} 在 k [(n 1) p] 达到最大值； 当 (n 1) p 为整数时， 二项概率 P{ X k} 在 k (n 1) p 和 k (n 1) p 1 处达到最
记载的实际年数作对照, 这些值及 P{ X k} 的值
均列入下表.
X Pk
理论年数
实际年数
0 12 3 45 6 0.055 0.160 0.231 0.224 0.162 0.094 0.045 3.5 10.1 14.6 14.1 10.2 5.9 2.8
4 8 14 19 10 4 2
X
7
售记录知道, 某种商品每月的销售数可以用参数
5 的泊松分布来描述, 为了以 95%以上的把
握保证不脱销, 问商店在月底至少应进该种商品
多少件?
解 设该商品每月的销售数为X , 已知 X 服从参数
5 的泊松分布. 设商店在月底应进该种商品 m

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6
第二章 随机变量及其概念分布
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
X
(e
)
1,
0,
e 红色, e 白色.
这样便将非数量的 ={红色，白色} 数量化了.
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7
第二章 随机变量及其概念分布
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数. 则有
P{ x1 X x2} P{ X x2}P{ X x1}
?
F ( x2 )
F ( x1 ) 分布
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).
函数
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22
第二章 随机变量及其概念分布
2.分布函数的定义
定义 设 X 是一个随机变量, x是任意实数,函数 F(x) P{X x}
={1，2，3，4，5，6}
样本点本身就是数量 恒等变换
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6). 6
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8
第二章 随机变量及其概念分布
实例3 结果:
掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个 e1 (反面朝上), e2 (正面朝上),
若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
e1 (反面朝上)
X (e)
0 X (e1) 0
e2 (正面朝上)
1 X (e2 ) 1
即 X (e) 是一个随机变量.
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随机变量可以看作是样本空间中每一 个样本点的一个函数，它将每一个样 本点映射到一个实数上。
随机变量的分类
离散随机变量
离散随机变量的取值可以列举出来，如投掷一枚骰子出现的点数。
连续随机变量
连续随机变量的取值范围是连续的，如人的身高、体重等。
随机变量的数学表示
离散随机变量常用概率分布列表示，如二项分布、泊松分布等。
连续随机变量常用概率密度函数表示，如正态分布、指数分布等。
PART 02
离散型随机变量及其分布 律
REPORTING
WENKU DESIGN
离散型随机变量的定义
离散型随机变量是在一定范围内可以一一列举出来的随机变量，其取值范围称为样本空间，样本空间 中的每一个元素称为样本点。
离散型随机变量的取值可以是整数、分数等，但取值范围必须是有限的或者可数的。
协方差的计算公式为： Cov(X,Y) = Σ[(x-E(X))*(yE(Y))*p(x,y)]，其中x、y分 别是两个随机变量的取值， p(x,y)是相应的联合概率。
相关系数是协方差与两个 随机变量标准差的乘积之 比，用于衡量两个随机变 量的线性相关程度。
相关系数的计算公式为： ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X)*σ(Y))，其中σ(X)、 σ(Y)分别是X、Y的标准差。
方差
01
方差是衡量随机变量取值分散程度的量，表示随机变量取值 偏离期望值的程度。
02
方差的计算公式为：Var(X) = Σ[(x-E(X))^2*p(x)]，其中x是 随机变量的取值，p(x)是相应的概率。
03
方差具有非负性，即Var(X) ≥ 0。
协方差与相关系数
协方差是衡量两个随机变 量同时取值的分散程度和 趋势的量。

7
分布函数 F(x) 的基本性质. 性质 1.1 设 F(x) 为任一分布函数，总有 0 F(x) 1 ．
性质 1.2 设 F(x) 为任一分布函数，则有
lim F(x) 0 ， lim F(x) 1 ，
x
x
简记为 F() 0 ， F () 1．
性质 1.3 设 F(x) 为任一分布函数，则 F(x) 单调不减， 即对于任意实数 x1, x2 ，当 x1 x2 时， F (x1) F (x2 ) ．
例如在抛一枚硬币 的随机试验中，令
0, “出现反面”, X 1, “出现正面”,
则 X 为随机变量．
例如：掷骰子出现的点数， 一批产品中的次品个数， 等车所需的时间等等
均为随机变量．
3
引入随机变量后，可利用随机变量的某种逻辑关系表示
随机事件．一般地，设 X 为一随机变量， L 为某实数集，则 {X L}表示一个随机事件．
0,
F
(x)
1 2
,
1,
x 0, 0 x 1,
x 1.
不难发现， F(x) 在区间 (, 0) ， (0,1) 和 (1, ) 内均连
续，而点 x 0 和 x 1均为 F(x) 的跳跃间断点．事实上，F(x) 在点 x 0 和 x 1处均右连续，而不左连续．
10
例 1.2 已知随机变量 X 的分布函数为 F(x) a b arctan x ，
P{a X b} P{X b} P{X a} F(b) F(a)
即可证得
推论 1.1 设 x0 为任一给定实数，则有 P{X x0} F (x0 ) F (x0 0) ．
6
【注】利用定理 1.1 和推论 1.1
P{X a} 1 F(a) ， P{X a} 1 F(a 0) ，