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信号检测期末考试题及答案（注意：以下为示例文章，实际文章内容可能与示例不同）一、选择题1. 在信号检测理论中，常用的两个假设是什么？答案：零假设和备择假设。
2. 什么是误警概率？答案：误警概率是指当零假设成立时，拒绝零假设的概率。
3. 什么是检测概率？答案：检测概率是指当备择假设成立时，正确拒绝零假设的概率。
4. 什么是检测效能？答案：检测效能是指检测系统能够正确检测到信号的能力。
5. 什么是最大似然检测准则？答案：最大似然检测准则是在已知观测信号的条件下，选择使似然函数值最大的假设作为最终决策。
二、填空题1. 当备择假设为H1: X ~ N(1, 1)，零假设为H0: X ~ N(0, 1)时，应该使用的检测准则是________。
答案：N-P检测准则。
2. 假设信号的功率为P1，背景噪声功率为P0，最佳检测准则为最小概率误警准则，则检测阈值应选择为________。
答案：关于噪声功率和信噪比的函数。
3. 当观测信号满足高斯分布时，最佳检测准则为________。
答案：最大似然检测准则。
4. 当信号为常值时，信号出现的概率密度函数为________。
答案：冲激函数。
5. 信号与噪声统计独立且噪声功率已知时，最佳检测准则为________。
答案：能量检测准则。
三、计算题1. 当信噪比为10dB，信号的功率为1W，背景噪声的功率为0.1W 时，计算最佳检测准则的检测门限值。
答案：根据最小概率误警准则公式，检测门限值等于背景噪声功率乘以一个与信噪比和常数有关的函数，根据给定的数值计算得到检测门限值为0.3162。
2. 在一个二元信号检测系统中，假设信号和噪声均服从高斯分布，且功率相等。
当信号出现的概率为0.9时，计算最佳检测准则的检测门限值。
答案：根据最大似然检测准则，将假设信号出现和噪声出现的概率代入似然函数，对似然函数取对数，最后得到检测门限值为0.2553。
四、简答题1. 请简述最小概率误警准则和最大概率检测准则的基本原理。
测试技术与信号处理题库第⼀章习题测试信号的描述与分析⼀、选择题1.描述周期信号的数学⼯具是（）。
A.相关函数B.傅⽒级数C. 傅⽒变换D.拉⽒变换2. 傅⽒级数中的各项系数是表⽰各谐波分量的（）。
A.相位B.周期C.振幅D.频率3.复杂的信号的周期频谱是（）。
A ．离散的 B.连续的 C.δ函数 D.sinc 函数4.如果⼀个信号的频谱是离散的。
则该信号的频率成分是（）。
A.有限的B.⽆限的C.可能是有限的，也可能是⽆限的5.下列函数表达式中，（）是周期信号。
A. 5cos10()0x t ππ ≥?= ? ≤?当t 0当t 0B.()5sin 2010cos10)x t t t t ππ=+ (-∞<<+∞C .()20cos20()at x t e t t π-= -∞<<+∞6.多种信号之和的频谱是（）。
A. 离散的B.连续的C.随机性的D.周期性的７.描述⾮周期信号的数学⼯具是（）。
A.三⾓函数B.拉⽒变换C.傅⽒变换D.傅⽒级数８.下列信号中，（）信号的频谱是连续的。
A.12()sin()sin(3)x t A t B t ω?ω?=+++B.()5sin 303sin50x t t t =+ C.0()sin at x t e t ω-=?９.连续⾮周期信号的频谱是（）。
A.离散、周期的B.离散、⾮周期的C.连续⾮周期的D.连续周期的10.时域信号，当持续时间延长时，则频域中的⾼频成分（）。
A.不变B.增加C.减少D.变化不定11.将时域信号进⾏时移，则频域信号将会（）。
A.扩展B.压缩C.不变D.仅有移相12.已知 ()12sin ,()x t t t ωδ=为单位脉冲函数，则积分()()2x t t dt πδω∞-∞?-的函数值为（）。
A ．6 B.0 C.12 D.任意值13.如果信号分析设备的通频带⽐磁带记录下的信号频带窄，将磁带记录仪的重放速度（），则也可以满⾜分析要求。
一、概念:1. 匹配滤波器。
概念：所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线性滤波器。
应用:在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意义。
在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际意义的。
2. 卡尔曼滤波工作原理及其基本公式(百度百科)首先,我们先要引入一个离散控制过程的系统。
该系统可用一个线性随机微分方程（Linear StoｃhastiｃDifferｅｎce equatiｏn）来描述：X(k）=A X(k－1)+BＵ(k)+W(ｋ)再加上系统的测量值:Z(k)＝ＨＸ(k)+V(k)上两式子中，Ｘ(k)是k时刻的系统状态,U(k）是k时刻对系统的控制量。
A和B是系统参数，对于多模型系统,他们为矩阵。
Z(k)是k时刻的测量值,H是测量系统的参数，对于多测量系统,H为矩阵。
Ｗ(k)和V（k)分别表示过程和测量的噪声。
他们被假设成高斯白噪声(Whｉte ＧausｓｉaｎNoiｓe），他们的coｖaｒiancｅ分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统,过程和测量都是高斯白噪声),卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。
下面我们来用他们结合他们的covariａncｅs来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。
假设现在的系统状态是k,根据系统的模型,可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：Ｘ(k|ｋ－1）=A X(k-１|k－1）+B U(k) ……….．(1)式(１)中，X（k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X（k-１|k－１)是上一状态最优的结果,Ｕ(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量,它可以为0。
到现在为止，我们的系统结果已经更新了,可是,对应于X(ｋ｜k-1)的covａｒiancｅ还没更新。
我们用P表示covａｒianｃe:P(k|ｋ-１)=A P(k-1｜ｋ－１)Ａ’+Q (2)式(2)中,P（k｜ｋ－1）是X（k|k-1)对应的covaｒｉaｎce,P(ｋ-１|k-1）是Ｘ(k-1|k-1)对应的cｏvariaｎce,A’表示A的转置矩阵,Q是系统过程的cｏvａriance。
(单选题)1: 热电偶基本原理描述错误的是()。
A: 两电极材料相同，输出电动势为零
B: 两接点温度相同，输出电动势为零
C: 两接点温度相同，输出电动势为无穷大
正确答案: C
(单选题)2: 关于模拟法的特点描述错误的()。
A: 简单
B: 经济
C: 目前在有些场合仍然被采用
D: 它是目前最好的测量频率的方法
正确答案: D
(单选题)3: 与热电阻相比负温度系数热敏电阻NTC的特点描述正确的是()。
A: 电阻温度系数大、灵敏度高
B: 结构简单，体积小，可以测量点温度
C: 电阻率高，热惯性小，适宜动态测量
D: 以上全对
正确答案: D
(单选题)4: 哪些不属于涡轮式流量计的特点()。
A: 有较高的精确度
B: 量程比宽
C: 测量范围宰
D: 动态特性好
正确答案: C
(单选题)5: 常用的弹性压力敏感器有()。
A: 弹簧管
B: 波纹管
C: 膜片与膜盒
D: 以上全对
正确答案: D
(单选题)6: 关于计数法的优点描述错误的是()。
A: 测量精度高、速度快
B: 操作简便
C: 它是目前最好的测量频率的方法
D: 测量效果不如模拟法
正确答案: D
(单选题)7: 哪些属于电阻应变片的结构()。
A: 敏感栅
B: 基底。
微弱信号检测练习题及答案微弱信号检测是一项重要的技能，对于许多领域都有着重要的应用。
无论是在科学研究中探测微小的信号，还是在工程领域中追踪和分析微弱的信号，都需要具备一定的技巧和方法。
本文将为大家提供一些微弱信号检测的练习题及答案，帮助读者加深对这一技能的理解和掌握。
练习题一：假设你正在进行一项实验，需要检测一个微弱的声音信号。
你使用了一台麦克风来接收声音信号，并将其转化为电信号。
然后，你将电信号输入到一个放大器中进行放大。
最后，你使用一个耳机来听取放大后的信号。
请问，在这个实验中，哪个环节对微弱信号的检测至关重要？答案一：在这个实验中，放大器是对微弱信号检测至关重要的环节。
由于微弱信号的幅度很小，直接进行分析和处理是非常困难的。
因此，我们需要通过放大器将微弱信号的幅度增加到可以被人耳听到的程度。
只有经过放大器的处理，我们才能更好地分析和理解微弱信号的特性和内容。
练习题二：假设你正在使用一台望远镜观测夜空中的微弱光信号。
你使用了一块高灵敏度的光电探测器来接收光信号，并将其转化为电信号。
然后，你将电信号输入到一个信号处理器中进行处理和分析。
请问，在这个实验中，哪个环节对微弱信号的检测至关重要？答案二：在这个实验中，光电探测器是对微弱信号检测至关重要的环节。
由于微弱光信号的强度很小，直接进行观测和分析是非常困难的。
因此，我们需要使用高灵敏度的光电探测器来将光信号转化为电信号。
只有经过光电探测器的转换，我们才能更好地分析和理解微弱光信号的特性和内容。
练习题三：假设你正在进行一项实验，需要检测一个微弱的电信号。
你使用了一根导线来接收电信号，并将其输入到一个信号处理电路中进行处理。
然后，你使用示波器来观测处理后的信号。
请问，在这个实验中，哪个环节对微弱信号的检测至关重要？答案三：在这个实验中，信号处理电路是对微弱信号检测至关重要的环节。
由于微弱电信号的幅度很小，直接进行观测和分析是非常困难的。
因此，我们需要使用信号处理电路来对电信号进行放大和处理。
实验四误码率的分析1、假定QPSK 信号具有如下的星座图模式：1) 试利用二元数字通信系统的误码性能精确推导QPSK 系统的误码率。
2) 假设系统中的噪声是高斯白噪声，利用matlab 对该系统在工作区间（信噪比0~10dB ）下的误码性能进行仿真。
简答：（1）、试利用二元数字通信系统的误码性能精确推导QPSK 系统的误码率。
解：令0),2(2121)(22>==⎰∞-x x erfc dt e x Q x t π b E 表示每比特信号的能量对于二元数字通信系统：二进制相移键控BPSK ：)(21)2(00N E e r f c N E Q P b b b == 对于QPSK 系统：其比特错误率等于BPSK 的比特错误率，而误码率则是)2()2(2)1(10202N E Q N E Q P P b b b s -=--= 当性噪比较高时，)()2(200N E erfc N E Q P b b s =≈(2)、说明：Eb = Energy-per-bitEs = Energy-per-symbol = nEb with n bits per symbolTb = Bit duration , Rb = Bit Rate, the bit transmission time Tb = 1/RbTs = Symbol durationN0 / 2 = Noise power spectral density (W/Hz)Pb = Probability of bit-errorPs = Probability of symbol-errorEb/N0 = The energy per bit to noise power spectral density ratio。
It is a normalized signal-to-noise ratio (SNR) measure, also known as the "SNR per bit".程序如下：clear allSNR_DB=[0:1:12]; %Signal-to-noise ratio gradually improvesum=1000000;data= randsrc(sum,2,[0 1]); %generate a 1000000*2 random matrix, using [0 1][a1,b1]=find(data(:,1)==0&data(:,2)==0); %returns the row and column indices ofthe evaluated expression which are TRUE. message(a1)=-1-j; % map [ 0 0] to 225°[a2,b2]=find(data(:,1)==0&data(:,2)==1);message(a2)=-1+j; % map [ 0 1] to 135°[a3,b3]=find(data(:,1)==1&data(:,2)==0);message(a3)=1-j; % map [ 1 0] to 275°[a4,b4]=find(data(:,1)==1&data(:,2)==1);message(a4)=1+j;% map [ 0 0] to 45°scatterplot(message)title('B点信号的星座图')A=1;Tb=1;Eb=A*A*Tb;P_signal=Eb/Tb;NO=Eb./(10.^(SNR_DB/10)); %SNR_DB=10.*log10(Eb./NO)P_noise=NO; %noise power 单边功率谱密度(N0)主要用在复数信号中，双边功率谱密度(N0/2)主要用在实信号中。
作业一的参考答案1. P28：1.10解：利用 /(,)(/)()XY X Y Y f x y f x y f y =10222()(,)Y XY ax by a byf y f x y dx dx a b a b+∞-∞++===++⎰⎰所以 /2()/()2()(/)(2)/()(2)X Y ax by a b ax by f x y a by a b a by +++==+++//1/4(/1/4)(/)12()441224X Y X Y y f x y f x y ax b ax b a b a b ===++==++10(/1/4)(/1/4)48326(2)X Y E X Y xf x y dxax b a b x dx a b a b +∞-∞===++==++⎰⎰（2） 同理利用 /0.50.5(,)(/)()XY Y X x x X f x y f y x f x ===可得到 /134(/)(/1/2)26()Y X a bE Y X yf y x dy a b +∞-∞+====+⎰2. P29：1.15解：由题意可得，1()1,E X = 4()1E X =，1()2D X =，4()2D X =， 1441(,)(,)0Cov X X Cov X X ==。
所以 (1) 均值矩阵'11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦m ，协方差矩阵'2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦K Y 的分布为''14(,)(,)TY X X N =m K(2) 1(2)2E X =,23()1E X X +=-,34()1E X X -=-所以 Z 的均值矩阵''211⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦m 1111(2,2)(2)4()428Cov X X D X D X ===⨯=，123123123121312121313(2,)[(2)()](2)()(22)21(10)2[(,)()()(,)()()]22[11(1)010]22Cov X X X E X X X E X E X X E X X X X Cov X X E X E X Cov X X E X E X +=+-+=+-⨯⨯-+=++++=+⨯-++⨯+=同理可得 134341(2,)0(,2)Cov X X X Cov X X X -==-， 23()6D X X +=，23343423(,)(,)2Cov X X X X Cov X X X X +-=-+=，34()2D X X -=所以 协方差矩阵''820262022⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦K ， Z 满足的分布为''''(,)Z N m K（3） Z 的特征函数''''1()exp[()]2T T z w j Φ=-m w w K w其中 ''''12328201,262,[ ]1022T w w w ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦m K w3. 随机变量,X Y 具有高斯分布特征，1,2,X Y m m ==，协方差矩阵为44[][]49XXYYXY CC C C C -==-， 其中22,X XY Y C C σσ==，XY C 和YX C 是XY 的两个协方差。
检测与信号处理技术复习题及答案模拟试卷1： 一、名词解释：1、相对误差2、静态误差3、准确度4、灵敏度5、线性度 二、简答题：1、请指出下列误差属于哪类误差（系统误差、随机误差、粗大误差） （1）用一块普通万用表测量同一电压，重复测量15次后所得结果的误差。
（2）观测者抄写记录时错写了数据造成的误差。
（3）在流量测量中，流体温度、压力偏离设计值造成的流量误差。
2、中间导体定律和标准电极定律的实用价值是什么？ 3、在不平衡电桥设计时要注意哪些问题？ 三、计算题：1、测量某电路的电流22.5I mA =，电压12.6U V =，测量的标准差分别为0.5I mA σ=，0.1U V σ=，求所耗功率P UI =及其标准差P σ。
2、欲用电子计数器测量2000x f Hz =的频率，采用测频（选用闸门时间1s ）和测周期（选用100s μ时标信号）两种方法，试计算由1N ∆=±误差而引起的测频误差。
3、用节流装置测量流量，配接一差压变送器，设其测量范围为0～10000Pa ，对应输出信号为4～20mA ，相应的流量为0～320m 3/h 。
求输出信号为16mA 时，差压是多少？相应的流量是多少？模拟试卷1答案： 一、名词解释：1、相对误差：绝对误差与真值的比值，通常用百分数表示。
2、静态误差：测量过程中，被测量随时间变化缓慢或基本不变时的测量误差。
3、准确度：说明仪表的指示值有规律地偏离被测量真值的程度，准确度反映了测量结果中系统误差的影响程度。
4、灵敏度：它表征仪表在稳态下输出增量对输入增量的比值。
它是静态特性曲线上相应点的斜率。
5、线性度：仪表的静态输入——输出校准（标定）曲线与其理论拟合直线之间的偏差。
二、简答题：1、请指出下列误差属于哪类误差（系统误差、随机误差、粗大误差） （1）用一块普通万用表测量同一电压，重复测量15次后所得结果的误差。
（2）观测者抄写记录时错写了数据造成的误差。
第二章 随机信号及其统计描述1．求在实数区间[]b a ,内均匀分布的随机变量X 均值和方差。
解： 变量X 的概率密度 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=其他，,01)(b x a a b x p均值 []⎰∞∞-+===2)(ba dx x xp X E m X方差 ⎰∞∞--=-=12)()()(222a b dx x p m x X Xσ2．设X 是具有概率密度函数)(x p 的随机变量，令x 的函数为0),exp(>-=a ax y试求随机变量y 的概率密度函数)(y p 。
解： 反函数0,ln 1>-=a y ax 雅可比式为 aydy dx J 1-==所以 0),ln 1(1)ln 1()(>-=-⋅=a y ap ay y a p J y p 4. 随机过程)(t X 为)sin()cos()(00t B t A t X ωω+=式中，0ω是常数，A 和B 是两个互相独立的高斯随机变量，而且0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。
求)(t X 的均值和自相关函数。
7. 设有状态连续、时间离散的随机过程)2sin()(t t X Ω=π，式中t 只能取正整数，即 ,3,2,1=t ，而Ω为在区间)1,0(上均匀分布的随机变量，试讨论)(t X 的平稳性。
8.平稳随机过程)(t X 的自相关函数为1)10cos(22)(10++=-τττe R X ，求)(t X 均值、二阶原点矩和方差。
解： 可按公式求解[])()0(,)0()(,)(222∞-==∞=X X X X X X R R R t X E R m σ。
但在求解周期性分量时，不能得出)(∞R ，为此把自相关函数分成两部分： ()12)10cos(2)()()(1021++=+=-τττττeR R R X X X由于)10cos(2)(1ττ=X R 的对应的随机过程为 是随机变量为常数，ϕϕA t A t X ),10cos()(1+=所以[]0)(1=t X E而对于12)(102+=-ττeR X ，有1)(2=∞X R ，即[]1)(2±=t X E所以[][][]1)()()(21±=+=t X E t X E t X E 可理解为1)(=∞X R从而有 []5)0()(2==X R t X E ，)()0(2∞-=X X X R R σ=4因此)(t X 的均值、二阶原点矩和方差分别为[]1)(±=t X E []5)(2=t X E 42=X σ9. 若随机过程)(t X 的自相关函数为)cos(21)(0τωτ=X R ，求)(t X 的功率谱密度。
一、是非题（对的打√，错的打×）（每题2分，共20分）1.分析周期信号的频谱的工具是傅立叶级数。
( T )2.所有周期信号都是功率信号。
(√)3.电阻应变式传感器只用于测定结构的应力或应变。
（×）4.瞬态信号的频谱一定是连续的。
( T )5.凡频谱是离散的信号必然是周期信号。
( F )6.信号x(t)=sin(2t+1)+cos(t/3)是瞬态信号。
（ F ）7.频响函数反映了系统响应的稳态过程。
（√）8.已知信号x(t)与信号y(t)完全不相关，则该二信号的互相关系数满足ρxy(τ)=1( F )9.一阶系统的时间常数τ越小越好。
( T )10.单自由度系统的刚度越大，其固有频率就越低。
( F )11.具有质量为M，刚度为K的振动体的固有频率为 0=MK。
( F )12.传感器与被测量的对应程度可用其灵敏度表示（ T ）。
13.对传感器进行动态标定的主要目的是检测传感器的动态性能指标（ T ）。
14.系统的不失真测试条件要求测试系统的幅频特性和相频特性均保持恒定。
( F )15.稳态响应法不能用于一阶系统的动态特性测试。
（×）16.直流信号具有无限的频谱。
（×）17.表示测量装置的静态输入与输出之间关系的实验曲线称为幅频曲线。
（ F ）18.电桥测量电路的作用是把传感器的参数变化转为电荷的输出。
（ F ）19.一选频装置，其幅频特性在f1～f2区间急剧衰减(f2>f1)，在0～f1和f2～∞之间近乎平直，这叫低通滤波器。
（ F ）20.半桥联接中要求两个桥臂阻值变化大小相等，极性相反。
（√）21.电桥电路是一个很好的幅度调制器。
( T )22.从信号运算的角度看，调幅过程就是将调制信号与载波信号相乘。
( T )23.相敏检波是一种能鉴别信号的相位和极性却无放大能力的检波电路。
( T )24.压电式传感器不一定要配接前置放大器。
（×）25.电荷放大器使压电加速度计输出的电荷量得到放大，由此而得电荷放大器的名称。
22]exp[22228.8)])R pp101022]p x x H ss 22]1x x s +似然函数为221/22()(|)(2/2)exp[]2/2x k x k m a P m H ps s --= （k=1，0）虚警概率100(|)(|)[]/2x x P D H P m H dm erfc bb s ¥==ò漏报概率0111(|)1(|)1[]/2x x P D H P m H dm erfc bb s ¥-=-=-ò平均风险011001Pr (|)(|)f m R Qr Qc P D H Pc P D H =+=+=1[]{1[]}/2/2f m Qc erfc Pc erfc b b s s -+-其中b 为（1）式确定1.3只用一次观测x 来对下面两个假设作选择，0H ：样本x 为零均值、方差20s 的高斯变量，1H ：样本x 为零均值、方差21s 的高斯变量，且21s >20s 。
根据观测结果x ，确定判决区域0D 和1D 。
画出似然比接收机框图。
1H 为真而选择了0H 的概率如何？ 解：（1）似然函数221(|)exp()2*2k k kx P x H s s p -= （k=1，0） 似然比2100220101(|)111exp[()](|)2P x H x P x H s s s s =-³L 判为1H 化简得2220101221002ln 0x s s sb s s s L³=>- （21s >20s ） 判为1H得 1:||D x b ³ 0:||D x b <0L 根据选取准则而定21exp()2bbbbs s p(2s p12s p 222lns ps=b ||1x b > |1b £则||x—bx ³0 判为1H<0 判为0H1001(|)(|)2P D H P x H dx dx bbbbb a --====òò所以得判决区域为1:||||1D x x a £> 0:||1D x a <£1.7 1.7 根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断1H ：()1()x t n t =+0H ：()()x t n t =设n （t ）为零均值和功率为2s 的高斯过程，且00111001,1c c c c ===。
1. 如图所示一个理想的低通滤波器其传递函数H(ω)，输入一个零均值、方差为2σ的白噪声（不相关随机变量）序列w(n)。
1) 求解输出序列X (n)的功率谱密度()xxPω并画出其图形；2) 证明X (n)的自相关()xxR m可以表达为：2sin()2()22xxmR mmπσπ=并画出其图形，根据图形说明该滤波器的作用；3) 用两种方式说明22(X)2Eσ=：A.2(X)(0)xxE r=B.21(X)()2xxE P dππωωπ-=⎰解：1）由题意可知，零均值白噪声的功率谱为2()ww wPωσ=，传递函数为()Hω，则，输出序列()X n的功率谱密度()xxPω为：2224,()|()|220,wjxx wP H eωππσωωσ⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩其它其功率谱密度图形如下图所示：2）因为自相关和功率谱密度互为傅里叶逆变换，则：/22/22222/2/22222111()()| 22211()2sin222sin2444422j m j m j m xx xxj m j mwww wwR m P e d e d ejmme e jjm jmmmπππωωωπππππωωωππππππσσπσσσπ----====-==⎰⎰g gg g g g()xxR m图为：由图形可知,该滤波器的波形为：3）根据题意可得：A. 2222sin sin22()(0)222|lim22w mx wx wmmXmm mE rσσπππσπ=→====B. 22222411()()222x wx w E X P d d ππππωσπσωωπ--===⎰⎰2.如图所示，滤波器由下式所述1n n n y x x -=-，其中输入是一个确定性信号n s b n =•(b 是个已知常量)和零均值随机白噪声序列n d 组成，其中噪声方差为2σ，使用叠加原理计算：1）计算输出中信号的成分并绘图；2） 计算噪声功率（即输出中噪声成分的方差）； 3）计算输出中噪声成分的功率谱密度函数并绘图； 4）描述该滤波器的作用并评价其效果。
解：1）当输入信号n S b n=g 时，由题可知1n n n y x x -=-，则(1)n y bn b n b =--=输出信号图为：2）对于均值为零的白噪声nd ，其功率谱为2()dd P ωσ=，输入白噪声后，输出功率谱为22()|()|j yy P H e ωωσ=对于给滤波器而言1n n n y x x -=-，对其做Z 变换，可得1()1H z Z -=- 则22()1|()|()()(1)(1)222cos |()|()()(1)(1)222cos j j j j j j j j j j j j j j j j H e e H e H e H e e e e e H e H e H e e e e e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω-------=-==--=--=-==--=--=-g g 则输出中噪声成分的功率谱密度函数为：222()|()|(22cos )j yy P H e ωωσωσ==-输出中噪声成分的方差为:2211(0)()(22cos )222xx yy r P d d ππππωωωσωσππ--==-=⎰⎰3） 由2）可得，输出函数的功率谱密度函数为：222()|()|(22cos )j yy P H e ωωσωσ==-功率谱密度函数的图形为：4）由上式可知，系统的频率响应为()1j j H e e ωω-=-，则是一个高通滤波器。
3. 一个AR 模型描述的随机信号的功率谱密度函数定义如下222225()|A()||1e 0.5e |xx j j P ωωωσωω--==-+ 其中2ωσ表示输入序列的方差。
1）当用白噪声激励该AR 系统时，计算该系统的差分方程； 2）若在该系统后接一白化滤波器H '(z)，求H '(z)的系统函数； 解：1） 当用才噪声激励该AR 系统时，输出功率谱密度为22()|()|j xx P H e ωωωσ=根据已知条件得225ωσ= 2221|()||1e 0.5e |j j j H e ωωω--=-+则系统的频率响应为：21()1e 0.5e j j j H e ωωω--=-+ 传递函数为：121()10.5H z z z--=-+ 所以有 12()()()0.5()X z W z W z z W z z --=-+ 故系统的差分方程为：()()(1)0.5(2)x n w n w n w n =--+-2）若在系统后加一白化滤波器H '(z)，则白化滤波器的系统函数为：1'12210.51111)0)5(.(H z z z H z z z -----+-+===4. 已知一ARMA 模型描述的随机信号n X ，其自相关为(m)xx R ，且其Z 变换(z)xx S 定义为：1(z )(z 3)13(z)9|z |212(z )(z 2)2xx S --=≤≤--， 1）若输入为白噪声序列，请给出该ARMA 模型所描述系统的传递函数H (z) ,并回答：该系统是唯一的吗?2） 对于序列 X (n)，求解其对应的稳定的白化滤波器。
解：1）信号自相关的z 变换为2212(z)|()|()()|1111111(z )(z 3)(z )()(z )()3273333399111111122(z )(z 2)(z )()(z )()22222j j xx w wz e S H e H z H z z z z z ωωσσ-===------===------则当2272wσ=时，1111(z )()33()()111(z )()22z H z H z z ---=--则传递函数有：123411(z )(z )33(),(),111(z )()221111()()33(),()111(z )()22H z H z z z z H z H z z --==----==-- 因此，该系统不是唯一的。
2）白化滤波器的传递函数'1()()H z H z =，其极点和零点都要在单位圆内，对于1） 中的4种系统的传递函数，其零极点在单位圆只有1()H z ，所以白化滤波器为'1(z 1()())21(z )3H z H z --==5. 已知一个由ARMA 模型描述的随机信号，其定义如下() 1.6(1)0.63(2)()0.9(1)x n x n x n w n w n =---++-其中()w n 是一个方差为2ωσ的白噪声序列。
1）确定该系统对应的白化滤波器及其零极点； 2）求()x n 的功率谱密度函数； 解：1）根据题意，对()x n 做Z 域变换121(z) 1.6(z)0.63(z)()0.9(z)X z X z X W z z W ---=-++可得传递函数为：112(z)10.9()()1 1.60.63X z H z W z z z ---+==-+则该系统对应的白化滤波器为：12'11()1 1.60.63()()(z)10.9W z z z H z H z X z----+===+ 白化滤波器对应的零极点为： 零点：120.9,0.7z z == 极点：0.9z =3） 由1）知112(z)10.9()()1 1.60.63X z H z W z z z ---+==-+ 则：211.810.90.9(1.810.90.9)(1.490.70.7)1.81 1.8cos (1.81 1.8c |()|()()()()os )(1.49 1.4cos )j j j jw jw jw j j j e e e e e H e H z H z H e H e e ωωωωωωωωω-----++----+=-==-= 所以()X n 的功率谱密度函数为：2221.81 1.8cos (1()|()|.81 1.8cos )(1.49 1.4cos )jw xx w w P H e ωσσωωω+=--=6. 已知一个由 AR 模型描述的随机信号，其定义如下(n)(1)0.6(2)()x x n x n w n =---+其中 w (n )是方差为2ωσ的白噪声，运用Yule-Walker 方程求解如下自相关的值(0),(1),(2)xx xx xx r r r解：由题意(n)(1)0.6(2)()x x n x n w n =---+通过移项可得(n)(1)0.6(2)()x x n x n w n --+-=由Yule-Walker 方程可得：0221(0)(1)(2)(1)(0)(1)0(2)(1)(0)0xx xx xx xx xx xx xx xx xx w a r r r r r r a r r r a σ⎡⎤⎡--⎡⎤⎤⎢⎥⎢⎢⎥⎥-=⎢⎥⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎥⎦⎣⎦⎣⎣⎦，其中012110.6a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 则方程组为：2(0)(1)0.6(2)(1)(0)0.6(1)0(2)(1)0.6(0)0xx xx xx xx xx xx xxx w xx x r r r r r r r r r σ⎧--+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ 上式解得222(0)0.39(1)0.624(2)15.6xx xx x w x w w r r r σσσ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩7.设期望响应n d 是一个AR(1)过程，参数10.8458a =，激励零均值白噪声n ω的方差20.27σ=，由白噪声驱动的产生该过程的传递函数为11110.8458H z-=+。
n d 经过一个信道后，其中信道传输函数为2()H z 同样为AR(1)模型，在信道输出端加入零均值白噪声n v ，其方差20.1v σ=信道输出n n n x s v =+，n ω和n v 不相关，且211()10.9456H z z-=-。
1） 设计 N=2 的维纳滤波器以估计n d ； 2） 求最小均方差误差。
解：1） 由白噪声驱动的产生该过程的传递函数为11110.8458H z-=+ 则 1n n n d d ω-=-n d 的自相关//22()1m dd w a r m a σ=- //20.84580.2710.8458m =⨯- //0.8458m ≈则 (0)1dd r =，(1)0.8458dd r =又因为n d 经过一个信道后，其中信道传输函数为2()H z 同样为AR(1)模型则10.9458n n n s s d -=+n s 的自相关22()()()ss h h dd r m r m r m =*////20.94580.845810.9458m m =*- ////90.94580.8458m m l l ∞-=-∞=⨯⨯∑则 ////(0)90.94580.845810l l ss l r ∞=-∞=⨯⨯=∑///1/(1)90.94580.845810l l ss l r ∞-=-∞=⨯⨯=∑由 (0)0.1vv r =，(1)0vv r = 得到维纳—霍夫方程01012121h h h h +=⎧⎨+=⎩ 解得维纳滤波系数：0113h h ==2） 最小均方差误差为()()min 10(0)0(0)1(1)3ss ss ss J r h r h r =--=。
