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圆的标准方程(优质课)

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圆的标准方程公开课课件终稿

圆的标准方程公开课课件终稿


利用圆的方ห้องสมุดไป่ตู้进行建模
圆形跑道问题
在解决圆形跑道上的相遇和追及 问题时，可以利用圆的周长和速
度关系建立方程。
圆形花坛问题
在解决圆形花坛的面积和周长问题 时，可以利用圆的面积和周长公式 建立方程。
圆形水池问题
在解决圆形水池的容积和表面积问 题时，可以利用圆柱体的体积和表 面积公式建立方程。
案例分析：圆的方程在实际问题中的应用
合。
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线 段，用字母r表示。
直径
通过圆心且两端点都在圆上的 线段，用字母d表示，d=2r。
圆的性质与定理
圆的性质
圆具有旋转不变性和中心对称 性。
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这 一点的连线平分两条切线的夹 角。
学习建议与拓展资源
学习建议
建议同学们在课后多加练习，熟练掌握圆的标准方程的求解 方法；同时，可以尝试将所学知识应用到实际生活中，提高 解决问题的能力。
拓展资源
推荐同学们阅读相关数学教材或参考书籍，如《数学分析》 、《解析几何》等，以加深对圆的标准方程的理解；此外， 还可以参考一些在线数学课程或学习资源，如慕课网、可汗 学院等。
圆心的横纵坐标，决定了 圆在平面上的位置。
$r$
圆的半径，决定了圆的大 小。
$x, y$
圆上任意一点的横纵坐标 ，满足方程 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$。
03
圆的图像与性质分析
圆的图像特点
形状
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)

选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)

究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
(优质课)4.1.2 圆的一般方程

(优质课)4.1.2 圆的一般方程


所求圆的方程为

所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
x2 y2 4x 6 y 12 0
牛刀小试：
2 2 2 x , y x y 2 mx 2 y m 5m 0 2.关于 的方程 表示圆
（1）求实数 m的取值范围
（2）圆心坐标和半径
1 m 5
- m,1
r 1 5m
典例分析：
例1：求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的 方程,并指出这个圆的半径和圆心坐标.
方法一： 几何方法 方法二： 解：设所求圆的标准方程为：
0
y
M1(1,1) M (4,2) 2
x
方法三： 解：设所求圆的一般方程为：
22 22 x y D x E y F 0 ( D E 4 F 0 )
例1：求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并 指出这个圆的半径和圆心坐标.
B. k 1
C. k 1
2 2 a C.
D. k 1 D. 2a
A.2 2a
B. 2 2a
谢谢
延伸训练：
变式练习3：平面内四点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)， D（0，-6）是否在同一个圆上？ 若共圆求四边形OM1M2D的面积.
y
M1(1,1) M (4,2) 2
2 2
2
2
自主探究：
2 2
2 2
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0 D2 E 2 4F 0
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2 （1）当 D E 4F 0 时，表示圆，
圆的标准方程公开课一等奖课件

圆的标准方程公开课一等奖课件

圆的标准方程公开课 一等奖课件
汇报人：可编辑 2023-12-27
目录
• 引言 • 圆的标准方程 • 圆的性质 • 圆的实际应用 • 圆的扩展知识 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
01
圆是几何学中的基本图形之一， 其标准方程在数学和物理学中有 广泛的应用。
02
学习圆的标准方程对于培养学生 的逻辑思维、数学建模能力和解 决实际问题的能力具有重要意义 。
应用场景
在解析几何和物理学中，极坐标方 程常用于描述圆、圆弧和旋转运动 等问题。
圆的离心率和焦距
离心率定义
离心率是描述圆锥曲线（包括 圆）形状的一个参数，其值等 于圆锥的顶角的一半的正弦值
。
离心率公式
对于圆来说，离心率 e = 0。
焦距定义
焦距是指焦点到曲线上某一点 的距离。对于圆来说，焦距等 于圆的半径。
参数方程形式
圆的参数方程的一般形式为 (x = a + r cosθ, y = b + r sinθ)，其中 (a, b) 是圆心坐标，r 是半径，θ 是参数。
圆的极坐标方程
极坐标定义
极坐标是一种描述点在平面上的 位置的方法，其中点用距离原点 的长度（ρ）和与正x轴的夹角（
θ）表示。
极坐标方程
圆的极坐标方程为 ρ = a (a > 0) ，其中 a 是圆的半径。
03
圆的性质
圆的对称性
描述圆的对称性
圆是中心对称和轴对称的图形，任何 经过圆心的直线都会将圆分为两个完 全相等的部分。
圆的直径和半径
描述圆的直径和半径的关系 圆的直径是半径的两倍，而同一个圆的所有半径都相等。
圆和其他几何图形的关系
圆的标准方程公开课优质课比赛获奖课件ppt

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对数学和方程感兴 趣的成年人
从事数学教育工作 者和研究者
对圆的标准方程有 基本了解的人群
课程特色
突出重点：围绕教学重点展开，帮助学生掌握核心知识点 注重实践：通过实例和练习，增强学生的实际操作能力 激发兴趣：采用生动有趣的方式，激发学生的学习兴趣和动力 拓展思维：引导学生思考和探索，培养学生的创新思维和解决问题的能力
05
课程亮点
知识点与实际应用结合紧密
数学知识点与实际应用紧 密结合
培养学生解决实际问题的 能力
增强学生的数学应用意识
帮助学生更好地理解和掌 握数学知识
注重学生思维能力培养
引导学生自主思考 培养创新思维 提倡开放式问题教学 鼓励学生发挥想象力
多种教学方法综合运用
讲授法：教师讲授理论知识，帮助学生理解概念和公式。 练习法：学生通过练习题目，巩固知识，提高解题能力。 案例分析法：通过分析典型案例，让学生深入了解问题的本质和解决方法。
02
课程大纲
圆的基本概念
圆的定义 圆的标准方程 圆的应用 圆的拓展知识
圆的标准方程
课程介绍
教学内容
教学目标 教学方法
圆的标准方程的求解方法
定义圆的标准方程 求解圆的标准方程 举例说明求解方法 与其他方程的求解方法进行比较
圆的性质及其应用
圆的基本性质 圆的位置关系 圆的度量关系 圆的作图问题
观察法：通过观察学生的表 现，了解学生的学习情况。
调查法：通过调查学生的反馈 意见，了解教师的教学情况。
考试法：通过考试检测学生的 学习成果，了解学生的学习情
况。
教学重难点及应对策略
教学重点：掌握圆的标准方程的形式及其求解方法
教学难点：理解圆的标准方程的实际应用及其意义
高一数学圆的标准方程课件ppt.ppt

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为X轴，O点为坐标原 B 点，建立如图所示平
X 面直角坐标系
例4.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
∵ 圆心在ｙ轴上， ∴ 设圆心的坐标是（0，ｂ），圆的半径是ｒ， 那么圆的方程是 ｘ2＋（ｙ－ｂ）2＝ｒ2 因为点（0 , 7.2）和（18.51 , 0）在圆上。于是得方程组
弦AB的垂 直平分线
O
x
D
C
B(2,-2)
l:xy10
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
典型例题
解法1：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
赵州桥的跨度为40米，拱高约8米
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
学以致用
例4.如图是赵州桥的圆拱示意图，该拱跨度 AB=40米，拱高OD=8米，求这座圆拱桥的拱圆所 在圆的标准方程。
Y
D A
O
r
解：以A.B所在的直线
相切的圆.
y
解： 设所求圆的半径为r
则：
r
| 31- 43-7|
32 42 =
1
6 5
C
M
O
x
∴所求圆的方程为：(x1)2(y3)2196 25
圆心：已知
半径：圆心到切线的距离
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
圆的一般方程(优质课)

圆的一般方程(优质课)


解：[方法二]
P O
设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 )
x2 + y 2 - m = 0 x + y -1 = 0
Q
2x - 2x + (1 - m) = 0
2
同理y1 y2 = 1- m 2
1- m x1 x2 = 2
OP OQ
x1 x2 + y1 y2 = 0 (2)
将
2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + y
左边配方，得
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F (x+ ) + (y+ ) = 4 2 2
（1）当 D2+E2-4F>0 时,
2 2
它表示以
D E , 2 2
为圆心,
D + E 4 F 以 r= 2
为半径的圆;
2
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
62 - 4 (-9) 0 该曲线为圆.
直译法
举例 例3：
已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3）， 端点A在圆 ( x + 1) + y = 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。
练习
x + y - 8x - 6 y + 21 = 0
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 D 2 + E 2 - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
圆的标准方程(优质课)

圆的标准方程(优质课)

M在这个圆上；
把点 N( 5,1)的坐标代入此方程，左右两边不 相等，点 的N 坐标不适合圆的方程，所以点 不N在 这个圆上．
知识探究二：点与圆的位置关系
探究：在平面几何中，如何确定点M（x0，y0） 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系？
M
M
M
O
O
O
点在圆内 |OM|<r
(x0-a)2+(y0b)2<r2
例2 AB的C三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(xa)2(yb)2r2
待定系数 法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
aaa222(((572114a40aaaaa14)))a04222a42958b(((11b2bb830b22b13)6bb226b21))bb22006r19240rr22rrr222
y11(x3) 即 x3y30
23 2
解方程组
x 3y 30 x y10 得
x 3,
y
2.
圆心C的坐标是 (3,2)
O D
C B(2,-2)
圆的半径长 r |A| C (1 3 )2 (1 2 )2 5
所以圆的标准方程 (x 3 )2 (y 2 )2 25
跟踪练习
己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心 在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
解2:设圆C的方程为 (x a )2 (y b )2 r2 ,
∵圆心在直线l:x-y+1=0上 圆经过A(1,1),B(2,-2)
ab10 (1a)2 (1b)2 r2
圆的标准方程公开课一等奖课件

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标准方程推导过程
设圆上任意一点 $P(x, y)$，则 $P$ 到圆心 $O(a, b)$ 的距离 $|PO|$ 应等 于半径 $r$。
由于 $|PO| = r$， 则有 $sqrt{(x a)^{2} + (y b)^{2}} = r$。
以圆心为原点，建 立平面直角坐标系 。
根据两点间距离公 式，有 $|PO| = sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}}$。
实际生活中应用举例
建筑设计
在建筑设计中，圆形结构经常被用来增加建筑物的稳定性 和美感。例如，圆拱门、圆顶建筑等都是利用圆的性质进 行设计的。
交通运输
在交通运输领域，圆的性质也经常被应用。例如，车轮的 形状是圆形，这是因为圆形车轮在滚动时能够保持平稳， 并且减少与地面的摩擦。
自然科学
在自然科学中，圆也是一个重要的概念。例如，行星绕太 阳运动的轨道是椭圆形的，而太阳位于椭圆的一个焦点上 。这种运动轨迹可以近似地看作是一个圆。
相切条件
两圆心之间的距离等于两圆半径之和或两圆半径之差。
切点求解
通过解两圆方程和两圆心连线方程联立得到的方程组，可以得到切点的坐标。
两圆相离条件及距离计算
相离条件
两圆心之间的距离大于两圆半径之和或小于两圆半径之差。
距离计算
两圆心之间的距离可以通过两点间距离公式计算得到。
06
实际应用举例与课堂互动 环节
THANKS
感谢观看
学生自主思考并提问环节
提问1
为什么车轮要做成圆形的？而不 是方形或者其他形状？
提问2
在建筑设计中，为什么经常使用圆 形结构？它们有什么优势？
提问3
行星绕太阳运动的轨道为什么是椭 圆形的？这与圆的性质有什么关系 ？
圆的标准方程(优质课比赛)课件

圆的标准方程(优质课比赛)课件

圆的标准方程(优质课比赛)课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学教材六年级下册的“圆”章节。

具体内容为：圆的标准方程。

通过本节课的学习，让学生掌握圆的标准方程的推导过程，理解圆的标准方程的含义，并能运用圆的标准方程解决实际问题。

二、教学目标1. 让学生掌握圆的标准方程的推导过程，理解圆的标准方程的含义。

2. 培养学生运用圆的标准方程解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

三、教学难点与重点重点：圆的标准方程的推导过程，圆的标准方程的含义。

难点：圆的标准方程在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

学具：笔记本、文具。

五、教学过程1. 情景引入：利用多媒体课件展示生活中的圆形物体，如硬币、篮球等，引导学生观察这些圆形物体的共同特点。

2. 知识讲解：讲解圆的定义，引导学生理解圆的概念。

然后，通过推导，讲解圆的标准方程的得出过程，让学生理解圆的标准方程的含义。

3. 例题讲解：出示例题，如“已知一个圆的半径为5cm，求该圆的标准方程。

”引导学生运用所学的知识解决实际问题。

4. 随堂练习：出示随堂练习题，让学生独立完成，检测学生对圆的标准方程的掌握情况。

5. 课堂小结：六、板书设计板书内容：圆的标准方程板书设计：圆的标准方程：(x a)² + (y b)² = r²其中，a为圆心的横坐标，b为圆心的纵坐标，r为圆的半径。

七、作业设计1. 题目：已知一个圆的圆心坐标为(2,3)，半径为4cm，求该圆的标准方程。

答案：(x 2)² + (y 3)² = 162. 题目：已知一个圆的圆心坐标为(3,1)，半径为5cm，求该圆的标准方程。

答案：(x + 3)² + (y 1)² = 25八、课后反思及拓展延伸本节课通过生活中的圆形物体引入圆的概念，引导学生理解圆的标准方程的含义，并通过例题讲解和随堂练习，让学生掌握圆的标准方程的运用。

《圆的标准方程》省优质课比赛优秀教案

《圆的标准方程》省优质课比赛优秀教案

圆的标准方程一、教材分析本小节是人教版数学必修2第四章的起始节，只安排一个课时.本节的学习是建立在初中已经学习的圆的有关知识以及前面几节内容的基础之上的.同时由于圆是一种特殊的圆锥曲线，所以学习了圆的方程，也为后面学习其他的圆锥曲线的方程奠定了必要的基础.本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，有着不可忽视的重要地位，同时在实际生活中也有着很广泛的应用.本节的学习将培养学生的数学应用意识和数学探究能力.二、教学目标分析1.知识与能力：掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程；培养学生观察、发现和解决问题的能力.2.过程与方法：理解圆的标准方程的推导过程，体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题的思维方式.3.情感、态度与价值观：通过圆在实际问题中的应用，激发学习的热情和兴趣；欣赏和体验圆的对称性，培养数学美感.三、教学重、难点分析重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.难点：根据不同条件求圆的标准方程.由于本节内容具有很强的基础性，为了激发学生的学习主动性，建议采用“引导探究”的教学方式进行教学设计.师生的有效互动将使学生容易理解圆的标准方程的推导过程，明确圆的标准方程的特点.教学时充分利用课本上提供的两个例题，引导学生做好总结，通过例题的妥善解决使学生初步熟悉根据不同条件求圆的标准方程的一般方法.四、学情分析由于本节课用到初中的圆的知识和前面几节的内容，因此在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率.采取学生共同探究问题的学习方法，先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力.在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合.五、教学环境分析由于本节的内容具有基础性，学生比较熟悉且容易接受，因此不需要采用多媒体课件辅助.建议在普通教室教学即可.六、教学过程（一）直接导入引言：我们知道直线可以用一个方程表示，那么圆是否也可以用一个方程表示呢？那么圆的方程如何求呢？【设计意图】通过直线想到圆，引出课题——圆的标准方程.（二）新课探究1.旧知回顾：（1）已知两点A （1，-2），B （3,5），如何求它们之间的距离？若已知C （3，-8），D （x ，y ），又如何求C 、D 的距离？（2）具有什么性质的点的轨迹称为圆？（3）在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是什么？那么确定一个圆的条件是什么呢？【设计意图】复习已经学过的有关知识，为圆的标准方程的推导做铺垫.2.新知探究：探究1：已知圆C 的圆心坐标C （a ，b ），圆的半径为r ，我们能否写出圆C 的方程？师生活动：学生自主探究圆C 的方程，教师引导提示.学生不难找出圆的方程为222)()(r b y a x =-+-.（*）【设计意图】引导学生根据上面复习过的有关知识推导圆的标准方程.培养学生的自主学习能力和探究能力.教师引导学生讨论：（1）若点),(y x M 在圆C 上，则点M 的坐标满足方程（*）吗？（2）若点),(y x M 坐标满足方程（*），则点M 在圆C 上吗？【设计意图】让学生验证探究出来的圆的方程具有充分性和完备性两个方面.教师指出：方程（*）就是圆心在C （a ，b ），半径为r 的圆的标准方程.探究2：圆的标准方程有什么特点？师生活动：学生观察求出的方程（*），找出它所具有的特征.可以请学生合作交流.个别学生展示答案，教师总结归纳.【设计意图】让学生明确圆的标准方程的特点，为识记和熟练应用做准备.培养学生的观察能力、分析能力和合作交流能力.探究3：如果要求一个圆的标准方程，必须知道哪些条件？怎样确定一个圆的标准方程呢？师生活动：学生自主分析、总结.教师请个别学生回答，及时鼓励评价.【设计意图】进一步明确圆的标准方程的特点，分析寻找圆的标准方程的思路，为圆的标准方程的熟练应用做铺垫.探究4：在直角坐标平面内，点与圆的位置关系有几种？如何判断呢？师生活动：教师引导学生结合图形分析：点到圆心的距离d和圆的半径之间的大小关系对点与圆的位置关系的影响.学生总结点与圆的位置关系的三种情形及判断方法.【设计意图】让学生明确圆的标准方程在判断点与圆的位置关系时的方便之处，体会到圆的标准方程的优点和魅力.（三）应用分析例1.写出下列各圆的标准方程.（1）圆心坐标为（-4，-3）半径为6；（2）圆心坐标为（2，5）半径为3；（3）经过点P（1,2），且圆心在（2，-1）；（4）圆心在C（1,3），且和直线0+yx相切.-1=师生活动：（1）（2）学生口答，教师给予积极的评价.（3）（4）可以让学生思考作答，教师在需要时给予提示.教师展示学生解答，并板书详细过程.【设计意图】熟悉圆的标准方程的简单应用.提高分析解决问题的能力.例2.写出圆心在A（-2,1），半径为2的圆的标准方程，并判断点M（0,2）和N（-1,1）和圆的位置关系.师生活动：学生自主完成本题.教师巡查指导解决疑难.【设计意图】巩固判断点与圆的位置关系的方法，进一步熟悉圆的标准方程的简单应用.例3.△ABC的三个顶点坐标分别为A（5,1），B（7，-3）），C（2,-8），求它的外接圆的方程.师生活动：学生先思考，找出思路，教师分析总结.学生写出解答过程，教师展示个别学生答案，并给予评价和鼓励.然后教师板书完整解答过程.最后教师总结提炼方法——待定系数法.【设计意图】让学生体会待定系数法在求圆的方程的应用.培养学生分析和解决综合问题的能力和计算能力，培养学生用代数方法解决几何问题的思维方式.（四）练习巩固本节练习1、2.师生活动：学生独立完成，教师巡查指导，展示答案，及时评价.【设计意图】及时巩固本节所学的知识，提升分析问题、解决问题的能力.（五）课堂小结（1）本节课你学习了哪些知识点？（2）本节课你学会了哪些数学思想方法？（3）你还有什么疑问或者还有什么话想说吗？师生活动：学生总结，教师及时评价鼓励.【设计意图】回顾本节所学的知识点和数学方法，让学生养成及时总结反思的好习惯，提高学生的总结、反思能力.（六）作业巩固习题4.1第2、3、4题.【设计意图】课后复习巩固本节所学的知识，提升迁移能力.七、教学反思：新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，强调形成积极主动的学习态度，使获得知识与技能的过程成为学会学习、形成正确价值观的过程.因此在教学中，我设计一系列探究问题，引导学生自主探索、积极思考、主动学习，适时安排小组讨论活动，让他们阐述自己的见解.本节课的设计通过适当的创设情境，调动学生的学习兴趣，然后以问题做链，环环相扣，运用前段时间学习的求曲线的方法引导学生探索方程,使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导到标准方程的求解都是在问题的指引下，通过我的适度引导、侧面帮助、不断肯定，由学生探究完成并走向成功.。

2.4.1圆的标准方程课件共23张PPT

上、圆内,还是圆外.
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r

人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件(共16张PPT)

设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)

r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2

ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C

圆的标准方程精品课件


3
证明
设P和Q是圆上关于任意直线l对称的两点，则 AP=BQ，且PO=QO。由于PQ与l垂直，所以 △APO≌△BQA，从而证明了P和Q关于l对称。
06 圆的实际应用
生活中的圆的应用
交通工具
车轮、自行车轮胎、火车 铁轨等都采用了圆形的结 构，使得运动更加平稳和 高效。
建筑学
建筑物的窗户、门洞、柱 基等常采用圆形或圆弧形， 不仅美观大方，而且符合 结构力学原理。
圆的弦长定理
总结词
弦长与半径的关系
详细描述
在圆中，通过圆心的弦被平分，并且弦长等于两个半径之和。如果弦不经过圆心，则弦长小于两个半径之和。这 个定理用于计算弦的长度以及与半径之间的关系。
04 圆的面积与周长
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
$S = pi r^{2}$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径。
圆的标准方程的图形表示
以圆心为坐标原点，以半径为长度单 位，在平面直角坐标系中画出的圆形。
圆的标准方程推导
推导过程
通过将圆上任一点的坐标表示为$(x, y)$，利用点到圆心 的距离等于半径的性质，将圆的方程转化为标准形式。
推导步骤
设圆上任一点$P(x, y)$，圆心$O(h, k)$，半径为$r$，则 $OP = r$，即$sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2}} = r$，平 方两边得到标准方程。
自然界
自然界中许多物体呈现圆 形或类圆形，如星球、花 朵、叶子等。
02 圆的标准方程
圆的标准方程形式
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$， 其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。

圆的一般方程.ppt -优质课


（a）2+（b）2=r2 （1-a）2+（1-b）2=r2 （4-a）2+（2-b）2=r2
所求圆的方程为：
a=4
解得
b=-3
r=5
即（x-4）2+（y+3）2=25
圆的一般方程.ppt -优质课
圆的一般方程.ppt -优质课
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）
它表示以
-
D 2
,-
E 2
为圆心,
以
D2 +E2 -4F r=
为半径的圆;
2
( 2 ) 当 D2＋E2－4F＝0 时 ， 方 程 表 示 一 个 点 (- D ,- E ) ；
22
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无 实数解,不表示任何图形．
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
方程都表示的曲线是圆呢？ 下列方程表示什么图形？
（1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0.
将 x2+y2+D+ xEy +F=0 左边配方，得
(x+D)2+(y+E)2=D 2+E2-4F
2
2
4
（1）当 D2+E2-4F>0 时,
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般 方程用待定系数法求解.
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
圆的一般方程.ppt -优质课
圆的一般方程.ppt -优质课

圆的标准方程(优质课比赛)课件


思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线，在平面几
何中，圆是怎样定义的？如何用集合语言描述
以点A为圆心，r为半径的圆？
rM
P={M||MA|=r}
A
平面上到一个定点的距离等于定长的点 的轨迹叫做圆.
圆的标准方程(优质课比赛)
思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？
思考3：已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一 点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
C(0、0) r=2
-1 0
x
C(-1、0) r=1
圆的标准方程(优质课比赛)
2、写出下列圆的方程: （1）圆心在原点，半径为3； （2）圆心在(-3、4),半径为 5 .
(1) x2+y2=9 (2) (x+3)2+(y-4)2=5
圆的标准方程(优质课比赛)
题型一、求圆的标准方程
例1、已知两点A(4，9)、B(6，3),求以AB为
求方程的一般步骤： y
建系设点
rM
A
找关系式列方程
O
x
化简方程
圆的标准方程(优质课比赛)
思考4:对于以点A(a，b)为圆心,,r为半径的圆,由上
可知，若点M(x，y)在圆上,则点M的坐标满足方
程(x-a)2+(y-b)2=r2 ;反之,若点M(x，y)的坐标
适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ，那么点M一定在这
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
圆的标准方程(优质课比赛)
思考4:集合{(x，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2} 表示的图形是什么？

圆的方程ppt课件

圆的方程
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
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2020/10/25
A O
思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？ 圆心和半径
思考3:设定点圆心坐标为O(a，b)，圆
半径为r，A(x，y)为圆上任意一点，能
否根据圆的定义，将动点A用集合语言
表示出来？设P为A走过的点y 构成的集合
P = { (x,y) | (x a)2 (y b)2 r }
圆的标准方程
高一数学组 主与点之间的距离：设 Ax1, y1, Bx2, y2
AB x1 x2 2 y1 y2 2
2020/10/25
点到直线的距离公式：设点 Ax1, y1 直线 l的方程为:Ax By C 0
d Al
Ax1 By1 C A2 B2
谢谢大家!!!
2020/10/25
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
18
独立条件？
圆心和半径
思考6:对于以点O(a，b)为圆心，r为半径的
圆，由上可知，若点A(x，y)在圆上,则点A的 坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ；反之,若点 A(x，y)的坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ，
那么点A一定在这个圆上吗？
以O(a，b)为圆心，r为半径的圆↔(x-a)2+(y-b)2=r2
例5、求过点A（6,0），B（1,5），且圆心
在直线 l ：2x-7y+8=0上的圆的方程
待定系数法
几何法
圆的任何一条 弦的垂直平分 线都经过圆心
2020/10/25
课时小结
(1)圆的标准方程的结构特点.
(2)点与圆的位置关系的判定.
(3)求圆的标准方程的方法： 定义法：直接求出圆心和半径 ①待定系数法：设出圆的标准方程 ②几何法：根据题干中知识找等式。
平面内一定点 ， 线段 OA ，绕着定点 O 旋转一周，A 所经过的路
过的路径形成的图形就是一个圆。
其中定点 O叫圆心，线段|OA|叫圆的半径。
A O
2020/10/25
不变的：定点O的位置； 线段OA的大小。
变化的：A所经过的位置。
圆的定义：
平面上到一个定点的距离 等于定长的点的轨迹叫做 圆. 定点是圆心，定长为 半径
相切，求圆的标准方程
2020/10/25
探究二：点与圆的位置关系
思考7:在平面几何中，初中学过：点与 圆有哪几种位置关系？
A O
OA<r
A O
OA=r
A O OA>r
思考9:在直角坐标系中,已知点A(x0，y0) 和圆C：(x a)2 ( y b)2 r2 ,如何判断点 A在圆外、圆上、圆内？
r A(x,y)
(x a)2 (y b)2 r (x-a)2+(y-b)2=r2
O(a,b)
o
x
我们把方程 (x a)2 (y b)2 r2 称为以 O(a，b)圆心，r为半径长的 圆的标准方程
特别地:以原点为圆心,1为半径的圆称为 单位圆,那么单位圆的方程是什么？ x2+y2=1
思考4:那么确定圆的标准方程需要几个
2020/10/25
问题提出 1.在平面直角坐标系中，两点确定一条 直线，一点和倾斜角也确定一条直线， 那么在什么条件下可以确定一个圆呢？
2.直线可以用一个方程表示，圆也可 以用一个方程来表示吗？怎样建立圆 的方程是我们需要探究的问题.
O
探究一：圆的标准方程 思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线, 在平面几何中，圆是如何形成的？
y rA
O
o
x
例题
例1、说出下列方程所表示的圆的圆心坐标
和半径：（1）(x-3)2+ (y-2)2=5
（2）x2+ (y-5)2=8
(3) (x+2)2+ y2=m2(m≠0)
例2、写出下列圆的方程
（1）圆心在点c(3,-4),半径为7. ( 2 )经过点P(5，1),圆心在点c(8.-3).
例3、圆心在点C（1,3），并与直线3x-4y-6=0
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点A在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点A在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点A在圆C内.
例4、 写出圆心为A（2，-3），半径长等于5
的圆的方程，并判断点M1（5，-7），M2（-1，-1） 是否在这个圆上
2020/10/25