《圆的一般方程》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)

《圆的一般方程》教学设计教材分析:圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难.因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用.突破难点的关键是抓住一般方程的特点.结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用.教学目标：【知识与能力目标】1.掌握圆的一般方程公式及其的特点；2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；3.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程.【过程与方法】通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法.【情感态度与价值观】渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学创新，勇于探索。

教学重难点：【教学重点】1.能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；2.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【教学难点】会根据不同的条件求圆的标准方程．课前准备：课件、学案教学过程：一、课题引入：问题1：圆的标准方程的形式是怎样的？其中圆心的坐标和半径各是什么？问题2：若把标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2展开后，会得出怎样的形式？问题3：是不是每个形如x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的方程表示的曲线都是圆呢？二、新课探究：当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径. 注：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1) 当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-. 它表示一个点(,)22D E --. (2) 当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3) 当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径的圆. 三、知识应用：题型一 根据圆的一般方程求圆心半径例1. 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．（1）2x 2+y 2―7y +5=0； （2）x 2―xy +y 2+6x +7y =0；（3）x 2+y 2―2x ―4y +10=0； （4）2x 2+2y 2―5x =0．【答案】（1）不能表示圆；（2）不能表示圆；（3）不能表示圆；（4）表示圆 ，圆心为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为54. 解:（1）∵方程2x 2+y 2―7y +5=0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆．（2）∵方程x 2―xy +y 2+6x +7y =0中含有xy 这样的项，∴它不能表示圆．（3）方程x 2+y 2―2x ―4y +10=0化为(x ―1)2+(y ―2)2=-5，∴它不能表示圆．（4）方程2x 2+2y 2－5 =0化为2225544x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴它表示以5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，54为半径长的圆． 【设计意图】（1）判断一个二元二次方程是否表示圆的方法：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即：①x 2与y 2的系数相等；②不含xy 的项．当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D 2+E 2―4F 是否大于零；二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数．（2）圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．例2.判断方程ax 2+ay 2―4(a ―1)x +4y =0（a ≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长．【答案】2(1)2,a a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，||r a = 解：方程可变形为：()224140a x y x y a a-+-+=, 一般方程为圆的条件：2240D E F +->,()224140a a a -⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此方程为圆，则圆心为2(1)2,a aa -⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r =.题型二 求圆的方程例3. 求过(2,2),(5,3),(3,1)A B C -的圆的方程，及圆心坐标和半径.解：法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则8220345301030D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴所求圆的方程为：2282120x y x y +--+=，即()224(1)5x y -+-=， ∴圆心为（4，1法二：线段AB 的中点为为75,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，321523AB k -==- 线段AB 的中垂线为57322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即3130x y --= 同理得线段BC 中垂线为260x y +-=联立2603130x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩ ∴所求圆的方程为（4，1），半径r ==∴()224(1)5x y -+-=． 例4.求经过点(2,4)A --且与直线3260x y +-=相切于点（8，6）的圆的方程．解：法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则 2024062382100860D E F ED DEF --+=⎧⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪⎪+++=⎩，解得：11330D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ ∴圆的方程为22113300x y x y +-+-=．法二：过点B 与直线3260x y +-=垂直的直线是3180x y --=，线段AB 的中垂线为40x y +-=， 由318040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得：圆心坐标为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由两点间距离公式得半径21252r =，∴圆的方程为22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 教学反思：本节课在学习完圆的标准方程后继续研究圆方程的另一种形式，圆的一般方程.引导学生将圆的标准方程拆开得到圆的一般形式，反过来再给一个任意的220x y Dx Ey F ++++=形式，判断是否为圆，得到一般方程的条件，请学生思考独立完成.在应用过程中，不断启发孩子几何法和代数法两种方法.。

2．1圆的标准方程(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握圆的标准方程．(2)会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程．2．过程与方法进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力．3．情感、态度与价值观培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学习的兴趣．●重点难点重点：圆的标准方程．难点：圆的标准方程的应用．通过对圆的标准方程的认识，掌握求圆的方程需要确定的量：a、b、r，从而掌握如何由已知条件来求圆的方程．(教师用书独具)●教学建议本节课的主要任务就是求圆的方程，教学时通过例题的讲解，让学生自己比较，归纳两类求圆方程的方法：(1)根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a，b，r 的值，写出圆的标准方程．(2)根据圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心和半径大小，然后再写出圆的标准方程．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，掌握圆的标准方程⇒通过例1及变式训练，使学生掌握直接根据条件求圆的标准方程⇒通过例2及变式训练，使学生掌握如何判断点和圆的位置关系⇒通过例3及变式训练，使学生掌握圆的标准方程的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(1)在平面直角坐标系中，确定圆的几何要素是什么？(2)到点(1,2)距离等于1的点(x ，y )的集合怎样用方程表示？ 【提示】 (1)圆心和半径；(2)(x －1)2＋(y －2)2＝1，化简得(x －1)2＋(y －2)2＝1.1．圆的标准方程A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．3．点与圆的位置关系已知圆O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则 点P 在圆O 外⇔d >r ； 点P 在圆O 上⇔d ＝r ；点P 在圆O 内⇔d <r .【思路探究】 利用待定系数法，构造方程求解a ，b ，r 或者利用几何法找出圆的圆心和半径．【自主解答】 法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则{2a －b －3＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，解得{a ＝2，b ＝1，r ＝10.∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二 ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上，线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)，由⎩⎨⎧2x －y －3＝0，y ＝－12(x －4)，解得{x ＝2，y ＝1. 即圆心C 的坐标为(2,1)． ∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.1．本题的法二是利用了圆的几何特点求出圆心及半径写出了圆的标准方程． 2．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： ①设出圆的标准方程；②根据条件得关于a ，b ，r 的方程组，并解方程组得a ，b ，r 的值； ③代入标准方程，得出结果．一圆过原点O 和点P (1,3)，圆心在直线y ＝x ＋2上，求此圆的标准方程． 【解】 ∵圆心在直线y ＝x ＋2上，∴设圆心坐标为(a ，a ＋2)，半径为r ，则圆的方程为(x －a )2＋(y －a －2)2＝r 2. ∵点O (0,0)和P (1,3)在圆上，∴{(0－a )2＋(0－a －2)2＝r 2，(1－a )2＋(3－a －2)2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝－14，r 2＝258.∴圆的标准方程是(x ＋14)2＋(y －74)2＝258.断点A (2,2)，B (1,8)，C (6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．【思路探究】 确定圆心、半径，写出圆的标准方程，求出点到圆心的距离，作出判断． 【自主解答】 由已知条件及圆的性质可知，圆心M 在直径PQ 的中点处， ∴圆心M 的坐标为(0,1)．半径r ＝12|PQ |＝12×(－5－5)2＋(6＋4)2＝5 2.∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50， ∵|AM |＝(2－0)2＋(2－1)2＝5＜r ， ∴点A 在圆内， ∵|BM |＝(1－0)2＋(8－1)2＝50＝r ， ∴点B 在圆上． ∵|CM |＝(6－0)2＋(5－1)2＝52＞r ，∴点C 在圆外．1．本题中已知直径的端点确定圆的方程是关键． 2．点和圆位置关系的判定步骤(1)求出圆的半径r 和点到圆心的距离d ； (2)比较r 与d 的大小；(3)由r 与d 的大小关系判断点和圆的位置关系．若点(3，a )在圆x 2＋y 2＝16的外部，则a 的取值范围是________．【解析】 ∵(3，a )在圆x 2＋y 2＝16的外部，∴9＋(a )2＞16， ∴a ＞7.【答案】 (7，＋∞)【思路探究】 x 2＋y 2有何几何意义？【自主解答】 设d 2＝x 2＋y 2，则x 2＋y 2的几何意义是圆上任意一点到原点距离的平方．如图所示，显然原点O 和圆心C 的连线与圆的交点到原点的距离的平方即为所求最值．又|OC |＝32＋42＝5，∴|OP 1|＝|OC |－|P 1C |＝5－2＝3， |OP 2|＝|OC |＋|CP 2|＝5＋2＝7. ∴|OP 1|2＝9，|OP 2|2＝49.∴x 2＋y 2的最小值为9，最大值为49.本题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注意代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形象、直观．几种常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2：点(x ，y )与原点的距离的平方．(2)(x －a )2＋(y －b )2：点(x ，y )与点(a ，b )的距离的平方． (3)yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)所在直线的斜率． (4)y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )所在直线的斜率．已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0)， B (5,0)．(1)求此圆的标准方程；(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求点P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．【解】 (1)由题意，结合图(1)可知圆心C (3,0)，r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.。

2.2.2圆的一般方程一、三维目标1、知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

2、过程与方法：通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

3、情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

二、教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 三、教学方法：学导式 四、教学过程 （一）、课题引入问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。

利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

（二）、探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ． 把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ① 这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）； （3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

《圆的一般方程》教案1. 能理解圆的一般方程及代数特征。

2. 掌握圆的一般方程和标准方程的互化。

3. 会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题。

4. 理解数形结合的思想方法，进一步感受数与行的和谐之美。

5. 提升逻辑推理、数学运算、直观想象等素养。

重点：掌握圆的一般方程及代数特征并会求圆的一般方程。

难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题。

一、新课导入回顾：前面我们已经讨论了圆的标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2，现将其展开可得：x2+y2−2ax−2bx+a2+b2−r2=0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+ Dx+Ey+F=0的形式。

思考：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆？生讨论，师引出本节课题：《圆的一般方程》。

设计意图：通过对圆的标准方程的讨论，引出圆的一般方程，同时类比直线方程的多种形式，帮助生认识圆的一般方程与二元二次方程的关系。

通过联系旧知，建立新旧联系。

二、新知探究探究：例如方程x2+y2−2x−4y+6=0表示的曲线是不是圆？生尝试，探究讨论。

分析：方程x2+y2−2x−4y+6=0，对其进行配方，得(x−1)2+(y−2)2=−1，因任意一点得坐标（x,y）都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形，故形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒等变换为圆的标准方程，这也表明形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程。

小结：何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0.的形式，但形如x2+ y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程。

定义：圆的一般方程。

将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4（1）当D2+E2−4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以（−D2，−E2）为圆心，12√D2+E2−4F为半径的圆。

（2）当D2+E2−4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，表示一个点（−D2，−E 2）。

圆的一般方程教学要求：使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学难点：圆的一般方程的特点教学过程：一、复习准备：1. 提问：圆的标准方程？2.对方程222410x y x y +-++=配方，化为圆标准方程形式. 则圆心、半径？ 二、讲授新课：1．圆的一般方程的定义（1）分析方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹 1)当2240D E F +->时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径的圆。

2)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-。

它表示一个点(,)22D E -- 3)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（2）给出圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程。

（3）思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？2．圆的一般方程的运用求过三点O(0,0),12(1,1),(4,2)M M 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

（小结：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：1.根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；2.根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程；3.解方程组，求出a 、b 、r 或D 、E 、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程．）求圆心在直线 l ：0x y +=上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2：22210240x y x y +-+-=的交点的圆的方程．3. 小结：一般方程；化标准方程；配方法；待定系数法.三.巩固练习：1．134P 练习 1 32. 求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．2．已知一曲线是与两定点(0,0),(3,0)O A 的距离的比为12的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线3．作业：134p 习题4.1 第4题活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

2.2《圆的方程》教学设计【教学目标】1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程。

2. 在掌握圆的标准方程的基础上，掌握圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的条件．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

【导入新课】情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 新授课阶段1.圆的标准方程的推导确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A (a ,b )，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，r >0）设M (x ,y )为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P ={M ||MA |=r },由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②从而得到圆的标准方程222()()x a y b r -+-=方程②就是圆心为A (a ,b ),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

思考：如何判定点在圆外还是圆内呢？点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 例1 平面内有两定点A （－1，0）、B （1，0），在圆（x －3)2＋(y －4)2=4上求一点P ，使取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值．【解法一】 连结PO 并延长一倍至Q ，则PO 为△PAB 的中线，PQ 为平行四边形的一条对角线，利用三角形中线长公式或利用平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和，得∣AP ∣2＋∣BP ∣2=2＋2∣OP ∣2当PO 经过已知圆圆心C （3，4）时，∣OP ∣有最大值和最小值．此时PO 的方程为y= 43x ,该方程与圆的方程（x －3)2＋(y －4)2=4联列解得 P 1（95 ，125 ），P 2（215 ，285）．由圆的方程（x －3)2＋(y －4)2=4知，圆的半径为r =2，∣OC ∣=5故∣OP ∣最大值为∣OP 2∣=5＋2=7，∣OP ∣的最小值为∣OP 1∣=5－2=3．∣AP ∣2＋∣BP ∣2的最大值为2＋2×49=100，∣AP ∣2＋∣BP ∣2的最小值为2＋2×9=20．【解法二】 设p (3＋2cosθ，4＋2sinθ），则∣AP ∣2＋∣BP ∣2=（4＋2cosθ）2＋（4＋2sinθ）2 ＋(2＋2cosθ）2＋（4＋2sinθ）2=60＋24cosθ＋32sinθ=60＋40cos(θ－φ)（cosφ= 35 ,sinφ=45) ∵cos(θ－φ)max =1, cos(θ－φ)min =－1,∴∣AP ∣2＋∣BP ∣2的最大值为60＋40=100，∣AP ∣2＋∣BP ∣2的最小值为60－40=20．当cos(θ－φ) =1 时，cosφ= 35 ，sinφ=45 , cosθ= 35 ，sinθ = 45此时P 点坐标为（215 ，285）．当cos(θ－φ) =－1 时，cosφ= 35 ，sinφ=45 , cosθ=－ 35 ， sinθ=－45此时P 点坐标为（95 ，125）． 2.圆的一般式方程根据圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2=r 2，圆心(a ，b )，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ① 这个方程是圆的一般式方程。

2.2 圆的一般方程1．圆的一般方程的定义当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示一个圆，这时这个方程叫作圆的一般方程．22二元二次方程Ax 2＋By 2＋Cxy ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的等价条件是什么？ 提示：⎩⎪⎨⎪⎧A ＝B ≠0，C ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.预习交流2方程x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋2＝0表示什么图形？ 提示：表示点(－1，－1)． 预习交流3圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0具有什么特征？提示：①x 2项和y 2项的系数相等，且不为零； ②是二元二次方程且没有xy 这样的二次项； ③参数D ，E ，F 满足D 2＋E 2－4F ＞0. 预习交流4方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,3)，半径为3的圆，则a ，b ，c 的值依次为( )．A ．2,6,4B ．－2,6,4C ．2，－6,4D ．2，－6，－4提示：B1．二元二次方程同圆的关系下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)x 2＋2y 2－7x ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋3x ＋5y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)－2x 2－2y 2＋10y ＝0.思路分析：解答本题的关键是验证二元二次方程是否满足圆的一般式的特征． 解：(1)由于x 2，y 2的系数不相等，故不表示圆． (2)由于该方程中含有xy 这样的二次项，故不表示圆．(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0可化为(x －1)2＋(y －2)2＋5＝0，显然不表示圆． (4)方程－2x 2－2y 2＋10y ＝0可化为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254，所以其可以表示以⎝⎛⎭⎫0，52为圆心，以52为半径的圆．1．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．解：方法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点， 当m ≠2时，原方程表示圆的方程， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.方法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点， 当m ≠2时，表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|. 2．若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求 (1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．解：(1)根据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m 2)＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0， 即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0， 解得m ＜15，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，15. (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x 2与y 2的系数是否相等， (2)是否含xy 的项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察是否表示圆．2．利用待定系数法求圆的一般方程已知一圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在x 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．思路分析：解答本题的关键是应用条件“在x 轴上截得的线段长为43”，常见思路是设圆的方程的一般式x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0利用|x 1－x 2|＝43及P ，Q 两点满足圆的方程求解参数D ，E ，F .解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，① 将点P ，Q 的坐标分别代入①得：⎩⎪⎨⎪⎧ 4D －2E ＋F ＝－20，D －3E －F ＝10，②③令y ＝0，由①得x 2＋Dx ＋F ＝0，④由已知|x 1－x 2|＝43，其中x 1，x 2是方程④的两根，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝D 2－4F ＝48，⑤解②，③，⑤组成的方程组得 D ＝－4，E ＝－2，F ＝－8.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －8＝0.1．建立适当的直角坐标系，求长为8，宽为6的长方形ABCD 的外接圆P 的方程． 解：以A 为原点，以线段AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．设△ABD 的外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Mx ＋Ey ＋F ＝0.将A (0,0)，B (8，0)，D (0,6)三点代入，得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，64＋8M ＋F ＝0，36＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧M ＝－8，E ＝－6，F ＝0，故所求圆的方程为x 2＋y 2－8x －6y ＝0.2．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，求圆C。

《圆的标准方程》◆教材分析圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础，对于知识的后续学习，具有相当重要的意义。

◆教学目标【知识与能力目标】掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；会用待定系数法求圆的标准方程。

【过程与方法目标】进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

【教学重点】圆的标准方程。

【教学难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分如图，把石子看成点，把波纹看成圆．你知道石子与一圈圈的波纹是什么关系吗？二、研探新知，建构概念1.电子白板投影出上面实例。

点在圆内。

2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。

（1）圆的标准方程①圆心为(a，b)，半径为r，圆的标准方程是(x−a)2+(y−b)2=r2②圆心为坐标原点，半径为r，圆的标准方程是x2+y2=r2◆教学重难点◆课前准备◆教学过程注意：(1)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件。

反之，若已知圆的标准方程便可以直接得到圆心和半径。

(2)几种特殊位置的圆的标准方程：（3设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(m，n)，①点M在圆上⇔(m－a)2＋(n－b=r2；②点M在圆内⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2；③点M在圆外⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2。

教学案设计圆的一般方程圆的一般方程渔沟中学梁乾教学目标：1、教学知识点：圆的一般方程2、能力训练要求〔1〕掌握圆的一般方程及其特点．〔2〕能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．〔3〕能用待定系数法，由条件求出圆的一般方程．〔4〕通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法．3、德育渗透目标〔1〕渗透数形结合思想〔2〕提高学生的思维素质和解题能力教学重点及难点教学重点:1用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．2用待定系数法求圆的方程．教学难点：圆的一般方程特点的研究．教学方法：启发式教学法、讨论法，从而使学生自己发现规律学情分析：根据本节课的内容和学生的实际水平，采用引导发现法和直观演示法相结合及形数结合的教学方法。

在教学中，启发、诱导贯穿于始终，调动学生积极性，发挥学生主体作用，利用电教媒体，使学生在获得感性知识的同时，为掌握理性知识创设条件。

教学过程：【课题导入】上节课我们已经学习了圆的标准方程，请同学们回忆一下：〔学生〕以a,b为圆心，r为半径的圆的标准方程为〔教师〕,的二元二次方程，它具备了一些二元二次方程的形式特点，为了便于我们研究，可以将标准方程变形展开。

那么我们如果将它展开来又会怎样呢？〔请学生上黑板去做〕〔学生〕展开式为〔教师〕由于a,b,r都为常数，不妨设那么它又可以化成下面的形式：………………①由此我们可以推断：但凡圆的方程都可以化成：，那么，是不是形如①式的方程表示的曲线也一定是圆呢？【新课讲解】师生共同讨论分析：如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？谁愿意上来运用配方法做做，〔学生〕配方后整理得………………②〔教师〕显然方程②是不是圆的方程与是什么样的数密切相关即的取值有关。

下面一起来讨论：分三种情况：〔教师〕总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示．那么何时才表示圆的方程呢？探究：圆的一般方程是一个特殊的二元二次方程，既然特殊，那我们可以写出一般的二元二次方程，将它们进行比照，找出它的特殊之处：圆的一般方程两个形式特点：1、不含这样的二次项2、二次项的系数相等皆为1拓展思考：表示圆的充分必要条件是什么？转化思想：A=C≠0，B=0，下面举一些例题来加以分析例1、见课件例2：求过点M〔-1,1〕，且圆心与圆C:22-46-30相同的圆的方程。