中小学优质课件圆的一般方程课件.ppt

03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。

《圆的一般方程》教用课件北师大版1 -精品 课件ppt (实用 版)
2.当 2 DE2 4F0时方 , 程 x2y2DxEyF0称为 圆的一般方程.
3.圆的一般方程的特 点：
（1）x2与y2的系数相同，不等于0 （2）没有xy项 (3)D2 E2 4F 0
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2 的方程，并画出曲线.
图解
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例 3.已 知 直 线:lx 2y 3 0, 圆 C:x2 y2 2 x 0 ， 若 点 P 在 圆 C上 ， 试 确 定 点的P 坐 标 ， 使 点 P到 直 线 l的 距 离最 小 ， 并 求这个最小值。
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• 课堂练习： • 课堂练习第1、2、3题 • 小结 ： • 1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆)
2．与标准方程的互化 • 3．用待定系数法求圆的方程 • 4．求与圆有关的点的轨迹。
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• 情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转 化等数学思想方法，提高学生的整体素质， 激励学生创新，勇于探索。
• 教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般 方程与标准方程间的互化，根据已知条件确 定方程中的系数，D、E、F．
将上式展开得 x2y22a x2bya2b2r20

核心要点
理解圆的定义、性质、与直 线和圆的交点，以及各种应 用场景。
实践练习
通过练习题和实际问题，巩 固对圆的方程与应用的理解。
圆的方程
1 一般式
圆的一般式方程是(x - a)²+ (y - b)²= r²。
2 标准式
圆的标准式方程是(x - h)²+ (y - k)²= r²，其中(h, k)是圆心坐标。
3 参数方程
圆的参数方程是x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)是圆心坐标。
圆与直线的交点
应用举例
游乐园中的摩天轮
摩天轮是由一系列圆形构成的， 给游客带来乘风破浪的感觉。
地球的轨道
射箭运动中的心
地球绕太阳运行的轨道接近椭圆， 而不完全是一个完美的圆。
在射箭运动中，靶心通常是一个 圆，射手需要准确瞄准并打在靶 心上。
结论和要点
重要结论
圆的方程有多种形式，包括 一般式、标准式和参数方程。
《圆的方程》PPT课件
欢迎来到《圆的方程》PPT课件！在本课程中，我们将一起探索圆的定义、性 质以及各种方程和应用举例。让我们开始这个精彩的旅程吧！
圆的定义和性质
1 什么是圆？
圆是平面上所有离圆心距 离相等的点的集合。
2 关键性质
圆的重要性质包括半径、 直径、弧长、面积等。
3 有趣的事实
圆在自然界和建筑中广泛 应用，如太阳、月亮、车 轮等。
1
切线
当直线与圆相切时，直线只与圆相交于一个点。
2
相交两点
当直线穿过圆时，直线与圆相交于两个不同的点。
3
不相交
当直线不与圆相交时，直线与圆没有交点。

解:设M的坐标为(x, y) , 点A坐标是(x0，y0).
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0

（a）2+（b）2=r2 （1-a）2+（1-b）2=r2 （4-a）2+（2-b）2=r2
所求圆的方程为：
a=4
解得
b=-3
r=5
即（x-4）2+（y+3）2=25
圆的一般方程.ppt -优质课
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举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）
它表示以
-
D 2
,-
E 2
为圆心,
以
D2 +E2 -4F r=
为半径的圆;
2
( 2 ) 当 D2＋E2－4F＝0 时 ， 方 程 表 示 一 个 点 (- D ,- E ) ；
22
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无 实数解,不表示任何图形．
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
方程都表示的曲线是圆呢？ 下列方程表示什么图形？
（1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0.
将 x2+y2+D+ xEy +F=0 左边配方，得
(x+D)2+(y+E)2=D 2+E2-4F
2
2
4
（1）当 D2+E2-4F>0 时,
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般 方程用待定系数法求解.
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
圆的一般方程.ppt -优质课
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( D2 +E2－4F＞0 )
2、求圆方程的求法 (1) 待定系数法 ① 利用标准方程，待定 ___________ ② 利用一般方程，待定 ___________
a、b、r
D、E、F
圆的一般方程与圆的标准方程在应用上比较
(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般 方程用待定系数法求解.
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上比较
把点A，B，C的坐标代入得方程组
所求圆的方程为：
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则以线段AB为直径的圆方程：
A
x
oyΒιβλιοθήκη B二、端点圆的方程:
4
-6
-3
2或-2
练习:
1、圆的一般方程 ________________________________________
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
②
①
为圆心，
为半径的圆.
②
①
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程①没有实
数解，因而它不表示任何图形．
一、圆的一般方程:
(1) 和 的系数相同，都不为0．
特点：
(2)没有形如 的二次项．
思 考
什么时候可以表示圆?
(1).若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
圆的标准方程的形式是怎样的？
其中圆心的坐标和半径各是什么？
复习回顾:
想一想:若把圆的标准方程
展开后，会得出怎样的形式？
这个方程有何特征？
这样就得到：凡是圆的方程都可以化成：
反过来，此方程都表示圆吗？

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2．求圆的一般方程 (1)求圆的方程时，若已知条件中明确圆心的坐标或半径，则设 圆的标准方程求解；若已知条件中没有明确圆心坐标或半径大 小，则设圆的一般方程求解． (2)由于圆的一般方程中所含的三个待定系数不是二次项的系 数，在由三个独立条件列出方程组后，一般可求出待定系数 D， E，F. (3)若求圆心和半径，则可以将圆的一般方程配方成圆的标准方 程，再写出圆心坐标和半径．另外在解答圆的有关问题时，应 注意利用圆的平面几何的性质，使运算简化．
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4． 圆的 一般方 程PPT 完美课 件
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误区警示 因忽略隐含条件致误 【示例】已知定点 A(a,2)在圆 x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0 的外 部，求 a 的取值范围． [错解] ∵点 A 在圆外． ∴a2＋4－2a2－3×2＋a2＋a＞0，∴a＞2.
D＝6， 解得E＝－2，
F＝－15
则所求圆的方程为 x2＋y2＋6x－2y－15＝0. 配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
所以其外接圆的圆心是(－3,1)，即外心坐标为(－3,1)．
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1应 该 认 识 到 ，阅读 是学校 教育的 重要组 成部分 ，一个 孩子如 果在十 多年的 教育历 程中没 有养成 阅读的 习惯、 兴趣和 能力， 一旦离 开校园 ，很可 能把书 永远丢 弃在一 边，这 样的结 果一定 是我们 所有的 教育工 作者不 想看到 的。 2对 教 育 来 说 ，阅读 是最基 础的教 学手段 ，教育 里最关 键、最 重要的 基石就 是阅读 。 3但 是 现 在 ， 我们的 教育在 一定程 度上， 还不够 重视阅 读，尤 其是延 伸阅读 和课外 阅读。 4. “ 山 不 在 高 ，有 仙则名 。水不 在深， 有龙则 灵”四 句，简 洁有力 ，类比 “斯是 陋室， 惟吾德 馨”， 说明陋 室也可 借高尚 之士散 发芬芳 5. 这 是 一 篇 托 物言 志的铭 文，本 文言简 义丰、 讲究修 辞。文 章骈散 结合， 以骈句 为主， 句式整 齐，节 奏分明 ，音韵 和谐。 6.了 解 和 名 著 有关 的作家 作品及 相关的 诗句、 名言、 成语和 歇后语 等，能 按要求 向他人 推介某 部文学 名著。 7.能 够 根 据 所 提供 的有关 文学名 著的相 关语言 信息推 断作品 的作者 、作品 的名称 和人物 形象， 分析人 物形象 的性格 和作品 的思想 内容并 进行简 要评价 。 8． 能 够 由 具 体的阅 读材料 进行拓 展和迁 移，联 系相关 的文学 名著展 开分析 ，提出 自己的 认识和 看法， 说出自 己阅读 文学名 著的感 受和体 验。 9巧 妙 结 合 故 事情节 ，在尖 锐的矛 盾冲突 中，充 分深刻 显示人 物复杂 内心世 界，突 出了对 人物性 格的刻 画，使 其有血 有肉， 栩栩如 生。 10保 尔 身 上 的 人格 特征或 完美的 精神操 守：自 我献身 的精神 、坚定 不移的 信念、 顽强坚 韧的意 志 11把 记 叙 、 描 写、 抒情和 议论有 机地融 合为一 体，充 满诗情 画意。 如描写 百草园 的景致 ，绘声 绘色， 令人神 往。 12简 ·爱 人 生 追 求有 两个基 本旋律 ：富有 激情、 幻想、 反抗和 坚持不 懈的精 神；对 人间自 由幸福 的渴望 和对更 高精神 境界的 追求。

2 2
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第四章
圆与方程
题型三
例3
有关圆的轨迹问题
等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是
B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹
是什么．
【解】 设另一端点 C 的坐标为 (x， y)．依题意，得 |AC| ＝ |AB|.由两点间距离公式，得 x－ 42＋ y－ 22 ＝ 4－ 32＋ 2－ 52， 整理得 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10.
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第四章
圆与方程
【方法感悟】
1．圆的一般方程的特点 (1)圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点：①x2与y2 的系数相同且不为0；②没有xy项． (2)圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0这个条件． (3)
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第四章
圆与方程
2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标 系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
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第四章
圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因 为 A、 B、 C 为三角形的三个顶点，所以 A、 B、 C 三点不共 线．即点 B、 C 不能重合且 B、 C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点．因为点 B、 C 不能重合，所以点 C 不能为 (3,5)．
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第四章
圆与方程
又因为点 B、 C 不能为一直径的两个端点， x＋ 3 y＋ 5 所以 ≠ 4，且 ≠ 2，即点 C 不能为 (5，－ 1)． 2 2 故端点 C 的轨迹方程是 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10(除去点 (3,5)和 (5， － 1))， 它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆， 但除去 (3,5)和 (5，－ 1)两点．

例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 2 2 在圆 ( x 1) y 4 上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) . 由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点, x0 2 x 4 y0 3 x0 4 所以 y 即: x 2 2 y0 2 y 3 因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的 2 2 方程,即: ( x0 1) y0 4 (2 x 4 1)2 (2 y 3)2 4 3 2 3 2 点M的轨迹方程 (x ) ( y ) 1 2 2 轨迹方程求法
1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
圆心: (1, 2)
半径: r 2
2) x y 0
2 2
3) x y : (3,0) 半径: r 3
圆的方程
标准方程: ( x a ) ( y b) r
练习4:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6 和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并 3 求这个圆的圆心坐标和半径长. ( 2,3) (2,3) 解:设圆的方程为: 2 2 x y Dx Ey F 0 因为A,B,C都在圆上,所以其坐标 ( 3,0) (3,0) 都满足圆的方程,即 4 2 2 9 3 D F 0 圆的方程: x y y 9 0 3 9 3 D F 0 2 2 85 2 即: x ( y ) 13 4 D 3 E F 0 3 9 4 85 2 D 0, E , F 9 圆心: (0, ) 半径: 3 3 3
2
2) x y 2 x y 1 0

练习2 ：将下列各圆方程化为标准方程， 并求圆的半径和圆心坐标.
(1)x2 y2 6x 0, (2)x2 y2 2by 0, (3)x2 y2 2ax 2 3ay 3a2 0
（1）圆心（-3，0），半径3. （2）圆心（0，b），半径|b|.
(3)圆心(a, 3a), 半径 | a | .

E

8，
F 0.
所求圆的方程为： x2 y2 6x 8y 0
练 (1)已知圆x2 y2 Dx Ey F 0的圆心为 习 (2,3),半径为4,则D _4__ E _-_6_ F -_3__
(2)x2 y2 2ax y a 0是圆 的充要条件是_a_ _12 __
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系 数法求解.
作业
(1)已知圆x2 y2 Dx Ey F 0的圆心坐标为（1，3），
D 半径为5，则D，E，F分别等于
(A)2,6,15(B)2,6,15(C) 2,6,15(D) 2,6,15
∴x02＋y02＝16， 又∵P 为 MA 的中点，
∴xy＝ ＝80＋ ＋22 xy00
，解得xy00＝ ＝22xy－8 .
代入圆的方程得(2x－8)2＋(2y)2＝16，
化简得(x－4)2＋y2＝4 即为所求．
10. [课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
令 2a D,2b E, a2 b2 r2 F得
x2 y2 Dx Ey F 0