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赤峰二中月考数学试题一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2. 若集合，集合，则 “”是“的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3.已知函数，则（ ） A. 在上递增 B. 在上递减 C.在上递增 D.在上递减5．若实数x ，y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x yz +=的最小值为 （ ）A ．0B ．1C D ．96.如果函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图像关于直线32π=x 对称，那么ϕ的最小值为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 7.“珠算之父”程大位是我国明代伟大数学家,他的应用数学巨著《算法统综》的问世,标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节四升五,上梢三节贮两升五,唯有中间三节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”（［注释］四升五：4.5升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间三节的容积为（ ） A. 3升 B. 3.25升 C.3.5 升 D. 3.75升8.已知定义在上的奇函数满足，当时，则（ ）A.B.C.D.10． 如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A B 、，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）A. 5B. 6C.163D. 20311．直线与曲线有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是A ．B ．或C ．D ．12．对任意的实数x ，都存在两个不同的实数y ，使得()20xy x e y x ae ---=成立，则实数a 的取值范围为 ( ) A. 10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 1,12e ⎛⎫ ⎪⎝⎭DCBAP二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年内蒙古赤峰二中高三上12月月考理科数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合}013|{≥+-=x x x A ，}2log |{2<=x x B ，则=B A C )(R （ ） A ．)3,0( B ．]3,0( C ．]4,1[- D ．)4,1[-2．已知i 是虚数单位，若(13)z i i +=，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．110B ．110-C ．10iD ．10i - 3．给出下列两个命题，命题:p “3x >”是“5x >”的充分不必要条件；命题q：函数)2log y x =是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．p q ∨D ．p q ∧⌝ 4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ）A ．B ．C ．2122D ．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．6．将甲、乙等5名学生分配到三个不同学校实习，每个学校至少一人，且甲、乙在同侧视图 正视图 俯视图一学校的分配方案共有（ ）A．18种B ．24种7．已知变量满足： 的最大值为（ ） A ．B ．C ．2D ．48．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||||OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为（ ）A ．2B ．6 C．2或2- D ．6或6-9．()cos()(,0)f x A x A ωϕω=+>的图象如图所示，为得到()sin()6g x A x πω=-+的图象，可以将)(x f 的图象 （ ）A ．向右平移65π个单位长度B ．向右平移125π个单位长度C ．向左平移65π个单位长度D ．向左平移125π个单位长度 10．设数列的前n 项和为．且，则=（ ） A ．B ．C ．D ．11．过双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的左焦点()0,c F -作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ，O 为原点，若()+=21，则双曲线的离心率为（ ）A ．251+B ．231+C ．7224- D ．7224+12．定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13． 已知关于x 的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则展开式的各项系数和为_________．14．如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机取一点，则它落到阴影部分的概率为_________．15．已知M 是△ABC 内的一点（不含边界），且，若△MBC ，△MAB ，△MCA 的面积分别为，记，则的最小值为_________．16．已知函数()()()()21,021,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，把函数()()12g x f x x =-的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和10=n S S ，则_________．三、解答题17．已知 ，，记函数（1）求函数()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设ABC∆的角,,A B C所对的边分别为,,a b c，若a＝2csinA，c＝，且△ABC 的面积为，求a＋b的值．18．以下茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员训练的成绩（环数），射击次数为4次．（1）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性；（2）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了4次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF//AB，90BAF∠=，AD=2，AB= AF=2EF=l，点P在棱DF上．（1）若P为DF的中点，求证：BF//平面ACP（2）若二面角D-AP-C 6PF的长度．20．已知椭圆：的离心率为，右顶点是抛物线的焦点．直线：与椭圆相交于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果，点关于直线的对称点在轴上，求的值．21．设函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）试讨论函数极值点的个数；（Ⅲ）求证：对任意的，不等式恒成立．22．如图，⊙的半径为 6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点．（1） 求长； （2）当 ⊥时，求证：．23．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数)M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2OP OM =.（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线12,C C 交于不同于原点的点,A B 求AB .24．已知0,0,0a b c >>>，3331113abc a b c+++的最小值为m ． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅰ）解关于x 的不等式12x x m +-<．参考答案1．A【解析】试题分析：解得，，所以)3,0(．故()CBAR选A．考点：①解不等式；②交集运算．2．B【解析】试题分析：因为，所以，所以z的共轭复数的虚部为．故选B．考点：复数运算．3．C【解析】试题分析：可知，命题p为假命题，命题q均为真命题，所以为真命题，故选C．考点：命题的真假性判断．4．C【解析】试题分析：易知该程序执行的实质是求数列的前21项的和s，所以用裂项法得，．故选C．考点：程序框图的运用．5．B【解析】试题分析：由三视图知该几何体为正方体截得的一个四棱锥E-ABCD如上图所示，且正方体的棱长为2．易知四棱锥和正方体的外接球是同一个球，可知正方体体对角线长的一半即为球的半径，所以外接球的体积为．故选B．考点：三视图．6．C【解析】试题分析：除了甲乙两人外还有两人分配到同一学校实习，所以应分两种情况：①3人到一所学校，另两人各到一所学校，该情况有种；②有1人到一所学校，另两所学校分别有2人，该情况有种，因此所有分配方案共有36种．选C．考点：计数原理及排列组合的应用．7．D【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形OAB及其内部，可知A（1，2），B（0，）．设目标函数，则．可看作是直线在y轴上的截距，显然当直线过点A时，截距最大，即最大，且最大值为4，此时的最大值为，故选D考点：线性规划求最值．8．C【解析】试题分析：由||||+=-得，，所以OAB为等腰直角三角形，所以OA OB OA OB圆心到直线的距离等于．由点到直线距离公式得，故选C．考点：直线与圆的综合问题．9．D【解析】试题分析：由图像可得，从而得，所以函数的图像向左平移5π个单位长度就得到函数图像，故选D．12考点：①由三角函数图像求解析式；②图像平移．【方法点睛】由三角函数部分图像求解析式（）的方法：一、从图像中看到最大值和最小值，最大值与最小值的和的二分之一就是;二、最大值与最小值的差的二分之一等于；三、相邻两个零点的距离是半个周期，相邻两个对称轴之间的距离是半个周期，相邻两个最大值之间的距离是一个周期，……，从而求出周期，然后由周期公式求出；四、通过图像上的某个特殊的点，将其坐标代入解析式并结合的范围即可求出，或者利用五点法求也可．10．B【解析】试题分析：依据递推公式的特征，可以分项求和，则．故选B ．考点：数列求和．11．A【解析】 试题分析：因为()OP OF OE +=21，所以点E 为FP 的中点．又因OE 垂直PF ，所以三角形OFP 为等腰三角形，且OF=OP=c ．在直角三角形OEF 中，OE=a ，OF=c ，所以EF=b ，．又因（为双曲线的右焦点），所以点P 的横坐标、纵坐标分别为，，即P （，）．易得抛物线的方程为，所以将点P 坐标代入即得到，即，所以．故选A ．考点：双曲线及抛物线、圆的综合运用． 【思路点睛】本题综合性较强、难度大．对于圆锥曲线的小题但难度大的题目，应注意不要盲目的去做，应分析几何性质，然后找到解题的突破口．如：通过分析可知，三角形OFP 为等腰三角形，且，从而利用三角函数表示出点P 的坐标，并将其代入抛物线方程，进而找到了参数a ，b ，c 的关系，从而得解．12．A【详解】试题分析：因为在上函数单调递减，则()0f x '<．又因()()f x x f x '>，所以()0f x <，且()()0xf x f x '->．设()()f xg x x =，所以2()()()0xf x f x g x x -'=>，即函数()g x 在上单调递增．所以(4)(3)(2)(1)4321f f f f >>>，即，，(2)2(1)f f >，故选A ．考点：利用导数研究函数的单调性． 【技巧点睛】在已知条件中如果出现了一个函数与其导数的和差积商四侧运算构成的不等式，则通常要根据不等式的结构特征构造一个新函数，然后求新函数的导数，利用不等式判断新函数的单调性，从而可使问题顺利得到解决． 13．【解析】试题分析：易知，所以二项式的通项公式为，则当r=3时，第四项为常数项，所以，解得．令二项式中x=1即得各项系数和．考点：二项式通项公式及有关系数和问题． 14．【解析】试题分析：根据图像的对称性知，两块阴影部分面积相等，所以阴影部分的面积为，而正方形的面积为，然后由几何概型的概率得，在正方形中随机取一点，则它落到阴影部分的概率为．考点：几何概型的概率计算及定积分求面积． 15．36 【解析】试题分析：设三角形ABC 的三个角A 、B 、C 所对的三边分别为a ，b ，c ．因为，，所以，所以x+y+z=．而==当且仅当，即时取等号．考点：均值不等式求最值． 【方法点睛】 均值不等式（）求最值：①使用条件“一正、二定、三相等”．"一正"是指；“二定”是指a 与b 的和为定值或积为定值；“三相等”等号成立的条件成立．②灵活运用题中已知，创造使用条件．例如．本题中由已知得x+y+z=1，然后得到=，展开即创造出积为定值，从而使用均值不等式求最值． 当形式上看似能用均值不等式求最值，但等号成立的条件不成立，则应利用函数的单调性求最值． 16．45 【解析】 试题分析：函数()()12g x f x x=-的偶数零点即函数与函数的图像的交点横坐标是偶数，当 时的图像易作出，根据图像平移变换知，当时的图像是时的图像向右平移2个单位并向上平移1个单位得到，同理当时的图像是由时的图像向右平移2个单位并向上平移1个单位得到．依次下去即可得到函数任意定义域内的图像，易知，函数与函数的图像的交点横坐标是偶数的分别为0，2，4，…，2（n-1），…，即是以0为首项2为公差的等差数列，所以．考点：求函数的零点问题．【方法点睛】函数零点（方程解）的问题解法：研究函数的零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化．1．将方程化为形如，且两边的函数解析式确定即两者的图像可以作出，然后讨论解得性质．本题即为该类型．2．当由解的个数求参数范围时，常有以下三种类型：（1）已知含参数函数存在零点（即至少有一个零点），求参数范围问题．一般可作为代数问题求解，即对进行参变分离，得到的形式，则所求a 的范围就是的值域．（2）当研究函数的零点个数问题，即方程的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解．（3）将方程化为形如，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．17．（1）x 的取值集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）a ＋b ＝5． 【解析】试题分析：（1）根据向量数量积公式及辅助角公式可得，然后由22()62x k k Z πππ-=+∈，即可求解；（2）由a ＝2csinA 及正弦定理可求角C ，然后由面积公式得ab ＝6．由余弦定理得a 2＋b 2－2abcos ＝7，从而得到关于a ，b 的方程组求解即可．试题解析：（1）由题意，得，当()f x 取最大值时，即sin(2)16x π-=，此时22()62x k k Z πππ-=+∈，所以x 的取值集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． （2）由a ＝2csinA 及正弦定理得，sinA ＝2cosCsinA ． ∵sinA ≠0，∴cosC ＝，∴C ＝． ∵△ABC 面积为，∴absin＝，即ab ＝6．①∵c ＝，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2abcos＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7．②由②变形得（a ＋b ）2＝3ab ＋7．③ 将①代入③得（a ＋b ）2＝25，故a ＋b ＝5．考点：三角函数最值问题；正弦定理、余弦定理的应用． 18．（1）甲运动员的射击水平平稳；ξ的分布列如下：23834=⨯=ξE ．【解析】试题分析：（1）按照平均数及方差公式分别计算甲乙的平均数及方差，方差小的射击水平稳定；（2）经分析，随机变量ξ的取值分别是0，1，2，3，4，且ξ～)83,4(B ，易得其分布列，并有期望公式求出期望值． 试题解析：（1）8==乙甲x x25])810()89()87()86[(41)(2222=-+-+-+-=甲x D29])810()810()87()85[(41)(2222=-+-+-+-=乙x D∵<)(甲x D )(乙x D ∴ 甲运动员的射击水平平稳． （2）当乙选取5环时，一定满足要求，此时的概率为1411⨯=P 当乙选取7环时，甲只能从9环、10环中选取，此时的概率为8121412=⨯=P ∴ 甲的成绩大于乙的成绩的概率为8321=+=P P P 依题意，ξ的取值分别是0，1，2，3，4，且ξ～)83,4(B ∴（运算式子形式表示也可）因此，ξ的分布列如下：∴23834=⨯=ξE ． 考点：数据的数字特征---方差、均值．19．（1）证明过程详见解析；（2）PF =【分析】试题分析：（1）连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．易知OP 为三角形BDF 的中位线，所以BF // OP ，然后由直线与平面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，设出点P 的坐标，并求出平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =，平面APC 的法向量为 222(2,1,)t n t-=-，然后利用法向量夹角与平面夹角的关系列出一个等量关系，从而求出点P 的坐标进而求出PF 的长．试题解析：（1）证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP 为三角形BDF 中位线， 所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ， 所以BF // 平面ACP ．（2）因为ⅠBAF=90º，所以AFⅠAB ， 因为 平面ABEFⅠ平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD= AB ， 所以AFⅠ平面ABCD ， 因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ， 1(,0,1)2E ，，(1,2,0)C ．因为ABⅠ平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =． 设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-， (1,2,0)AC =， 所以 平面APC 的法向量为 222(2,1,)t n t-=-， 所以121212cos ,3(n n nn n n ⋅===⋅-，解得23t =，或 2t =（舍）．此时3PF =．考点：Ⅰ证明直线与平面平行；Ⅰ二面角的大小问题． 【详解】20．（Ⅰ）方程为；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点坐标求出a 的值，然后由离心率求出c 的值，从而求出b 的值及椭圆方程；（Ⅱ）设出点P 、Q 的坐标，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出点M 的坐标，然后利用对称性即MN 的中垂线是直线，从而列出关于k 的方程，最后求解即可．试题解析：（Ⅰ）抛物线，所以焦点坐标为，即，所以．又因为，所以．所以，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设，，因为，，所以，，所以，所以．由，得（判别式），得，，即．设，则中点坐标为，因为，关于直线对称，所以的中点在直线上，所以，解得，即．由于，关于直线对称，所以，所在直线与直线垂直，所以，解得．考点：①求椭圆方程；②直线与椭圆的综合应用．【方法点睛】直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于x（或y）的一元二次方程，设出交点坐标P（），Q（），利用韦达定理得出坐标的关系，同时注意判别式大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解．如本题利用中垂线得到关于参数k的方程，然后求解即可．注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用．21．（Ⅰ）切线方程为；（Ⅱ）当时，无极值点；当时，有２个极值点；当时，有１个极值点；（Ⅲ）证明过程详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导函数，并求出x=0时的导数即切线的斜率，然后由直线的点斜式求出切线方程；（Ⅱ）求出导函数，并讨论其等号函数，从三种情况讨论，并在当时，导函数等于零时的根于区间端点-1的大小为分类标准进行讨论求解；（Ⅲ）构造函数函数，利用导数法证明即恒成立．取即可证明．试题解析：（Ⅰ）当时，，则，曲线在原点处的切线方程为（Ⅱ），令当时，，所以０，则０，所以在上为增函数，所以无极值点；当时，，所以０，则０，所以在上为增函数，所以无极值点；当时，，令０，则，当时，，，此时有２个极值点；当时，，，此时有１个极值点；综上：当时，无极值点；当时，有２个极值点；当时，有１个极值点； 8（Ⅲ）对于函数，令函数则，，所以函数在上单调递增，又时，恒有即恒成立．取，则有恒成立，即不等式恒成立．考点：①求切线方程；②讨论函数的极值点个数； 证明不等式．【方法点睛】利用导数证明不等式：构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导函数研究函数的单调性或最值，从而证明不等式，而构造函数是用导数证明不等式的关键．构造辅助函数的一般方法及解题程序如下：1．移项（有时需要作简单的横等变形），使不等式的一端为零，另一端即为所构造的函数;2．求，并验证在指定区间上的单调性；3．求出区间端点的函数值（最值），作比较即得所证． 22．（1）BD=9；（2）证明过程详见解析． 【解析】试题分析：（1）通过已知条件可推出△OBD ∽△AOC ．∴，并结合已知线段长即可求解；（2）通过推理只需证明∠AOD=∠ADO 即可求证．试题解析：（1）∵OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ，∴∠OCA=∠ODB ． ∵∠BOD=∠A ，∴△OBD ∽△AOC ． ∴，∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．（2）证明：∵OC=OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD=∠BOD=∠A ． ∴∠AOD=180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ． ∴AD=AO考点：几何证明及求线段长．23．（1）4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩()α为参数；（2）【分析】(1)先设出点P 的坐标,然后根据点P 满足的条件代入曲线1C 的方程即可求出曲线2C 的方程;（2）根据(1)将求出曲线1C 的极坐标方程,分别求出射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为1ρ,以及射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为2ρ,最后根据21||AB ρρ=-求出所求.【详解】（1）设(),P x y ,则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭.由于M 点在1C 上, 所以2cos 2()22sin 2xy ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩()α为参数 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩()α为参数. (2)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=, 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=.所以21||AB ρρ=-=【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题.求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解，关键是掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系，是基础题． 24．（Ⅰ）6m =；（Ⅰ）7(,)3-+∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）两次使用均值不等式即可证明，但要注意等号成立的条件；（Ⅰ）解绝对值不等式的思路是去绝对值，然后转化为一元一次不等式组求解集即可． 试题解析：（Ⅰ）,,a b c R +∈，3331113a b c abc∴++≥=333111333abc abc a b c abc ∴+++≥+Ⅰ而336abc abc +≥=Ⅰ 33336a b c abc∴+++≥Ⅰ 当且仅当a b c ==时， Ⅰ式等号成立；当且仅当33abc abc=时，Ⅰ式等号成立； 则当且仅当1a b c ===时，Ⅰ式等号成立，即3333a b c abc+++取得最小值6m =． （Ⅰ）由（Ⅰ）知6m =，则126x x +-<，即162x x +<+，62162x x x ∴--<+<+，621{162x x x x --<+∴+<+解得7{35x x >->-∴原不等式的解集为7(,)3-+∞． 考点：Ⅰ均值不等式证明不等式；Ⅰ解绝对值不等式．。
内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2021届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。
3.做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|02A x x =<<，{}2|340B x x x =+->，则()R AC B 等于（ ）A. {}|01x x <≤B. {}|12x x ≤<C. {}|02x x <<D.{}|12x x -≤<【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式求得集合B ,再进行补集交集运算【详解】由题{}()()2|3401,,4B x x x =+->=+∞⋃-∞-故{}|41R C B x x =-≤≤，(){}|01R A C B x x =<≤.故选A【点睛】本题考查集合的运算，准确求得集合B 是关键，是基础题2.复数2(1)12i i i-+（i 为虚数单位）等于（）A.1355i - B.1355i + C.3155i - D.3155i + 【答案】B【解析】 【分析】根据复数的四则运算，化简2(1)131255i i i i -=++ ，即可求解．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数2(1)(1)(12)1313125555i i i i i i i --+-+===++，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.已知向量a ，b 的夹角为3π，若a c a =，b d b=，则c d ⋅=（ ）A.14B.12D.34【答案】B 【解析】 【分析】直接利用数量积定义求解即可 【详解】由题1c d ==，则1cos 32c d π⋅==. 故选B【点睛】本题考查数量积的定义，是基础题4.已知0a >，0b <，则“0a b +>”是“22a b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用充分必要条件结合不等式性质即可得解【详解】∵0a >，0b <，∴0a b ->，∵0a b +>，∴()()220a b a b a b -=+->，∴22a b >，反之，22a b >时，()()0a b a b +->，∵0a b ->，∴0a b +>. 故选C【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查推理能力结合不等式性质求解是关键 5.观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选D【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题6.若幂函数()y f x =的图象过点(8,，则函数()()21f x f x --的最大值为（ ）A.12B. 12-C. 34-D. -1【答案】C 【解析】 【分析】t =，转化为二次函数求最值即可【详解】设幂函数()y f x x α==，图象过点(8,，故318=2=2ααα 故()f x =()()21f x f x x --=t =，则()21y t t =-+，0t ≥，∴12t =时，max 34y =-.故选C【点睛】本题考查幂函数的解析式，考查二次函数求值，是基础题，注意换元时新元的范围 7.已知()f x 是周期为2的奇函数，当10x -<≤时，()2x af x x b +=+，若7225f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则+a b 等于（ ） A. -1 B. 1C. -2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用周期性和奇偶性得1225f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合()00f =得a,b 的值即可求解 【详解】由()f x 周期为2,则4也为周期故711212==222525f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=∴-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即122154a b -=-+ 又()00f =，∴0a =，1b =，故1a b +=. 故选B【点睛】本题考查利用周期性与奇偶性求值，考查推理能力，注意()00f =的应用 8.在正方形ABCD 中，点O 为ABC ∆内切圆的圆心，若AO xAB yAD =+，则xy 的值为（ ）A.214B.324- C.214D.212【解析】 【分析】连OB 并延长到与AC 相交于点H ,设正方形ABCD 的边长为1,求得ABC ∆内切圆的半径为r ，再利用平面向量基本定理求解【详解】连OB 并延长到与AC 相交于点H ，设正方形ABCD 的边长为1，则1222BH BD ==，设ABC∆内切圆的半径为r，则()22212BH OH OB r r r =+=+=+=，可得222r -=. 设ABC ∆内切圆在AB 边上的切点为E ，则()1AO AE EO r AB r AD=+=-+22222211222AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫--=-+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有2x =，21y =-，故22211222xy ⎛⎫-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选D【点睛】本题考查平面向量基本定理，数形结合思想的应用，考查推理能力，准确求得内切圆半径是关键，是中档题9.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若228m m S S =，2181m m a ma m =-，则数列{}n a 的公比q 为（ ） A. 3 B. 2 C. -3 D. -2【答案】A【分析】讨论1q =不成立，当1q ≠直接利用等比数列的通项公式和前n 项和公式列式求出结果．【详解】由1q =时，2112228m m S ma S ma ==≠，故1q ≠.∵()()21211112811m m m mm a q S q q S a q q--==+=--，∴27mq =.又2181m m m a m q a m ==-，解得3m =，3q =. 故选A【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式和前n 项和公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.执行如图所示的程序框图，若输入的50t =-，则输出的n 的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】 分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．【详解】输入的50t =-，1,0,1;S n m === 第一次循环，0,2,1,S m n === 满足50S >- 第二次循环，2,4,2,S m n =-==满足50S >- 第三次循环，6,8,3,S m n =-==满足50S >- 第四次循环，14,16,4,S m n =-==满足50S >- 第五次循环，30,32,5,S m n =-==满足50S >-第六次循环，62,64,6,S m n =-==不满足50S >-，退出循环，输出n =6 故选C【点睛】本题考查的知识点是程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理，属于基础题． 11.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 是b 和c 的等比中项，则sin sin tan tan A AB C+=（ ） A. 1 B.12C.23D.34【答案】A 【解析】 【分析】 切化弦得sin sin cos cos sin tan tan sin sin A A B C A B C B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，通分,结合两角和的正弦公式及正弦定理求解即可 【详解】由题意有a bc=2，sin sin cos cos sin tan tan sin sin A A B C A B C B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22sin sin sin 1sin sin sin sin A B C A a B C B C bc+====. 故选A【点睛】本题考查等比中项的应用，两角和的正弦公式及正弦定理边角互化的应用，切化弦是突破点，是中档题12.已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是02，第二项是1，接着两项为02，12，接着下一项是2，接着三项是02，12，22，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前n 项和为n S ，则满足3000n S >的最小的正整数n 的值为（ ） A. 65 B. 67C. 75D. 77【答案】C 【解析】 【分析】由题将数列分组，得每组的和，推理3000n S >的n 的大致范围再求解即可【详解】由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1，2，4，8，16，5）…，则第t 组的和为01122221t t t t -++⋅⋅⋅++=-+，数列共有()()32312t t t +++⋅⋅⋅++=项，当()32t t n +=时，()()()121211221222t t nt t t t S t +-+-=-+=+--,随t 增大而增大， 10t =时，65n =，6520484522091S =+-=，11t =时，77n =，7740965524194S =+-=，第65项后的项依次为02，12，22，…，102，11，02，12，…，又0211222222112mm m --+++⋅⋅⋅+==--，921511-=，10211023-=，20915113000+<，209110233000+>，∴满足条件的最小的n 值为651075+=.故选C【点睛】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考查计算能力，属于难题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题14.已知tan 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】210【解析】 【分析】 由两角和的余弦公式及二倍角公式求得()2cos 2cos 2sin 242πθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭22222cos sin 2sin cos cos sin θθθθθθ-+=+转化为1tan 2θ=的齐次式求解即可 【详解】由题)2cos 2cos 2sin 24πθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭22222cos sin 2sin cos cos sin θθθθθθ-+=+221tan 2tan 1tan θθθ-+==+.故答案为10【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，正切齐次式求值，熟记公式，准确化为二次齐次式是关键，是中档题15.已知正实数x 、y 满足()()1216x y ++=，则4x y +的最小值为______. 【答案】10 【解析】 【分析】由()()44126x y x y +=+++-⎡⎤⎣⎦结合基本不等式求解即可【详解】由()()44126x y x y +=+++-⎡⎤⎣⎦610≥=（当且仅当1x =，6y =时取“=”）.故答案为10【点睛】本题考查了变形利用基本不等式的性质，准确配凑出定值是关键，属于基础题． 16.已知函数()23,145,1x x f x x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，()()()ln g x x a a R =+∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围是______.【答案】()34,e【解析】 【分析】画出函数()f x 的图像，讨论()y g x =图象与其相交的临界位置求解即可【详解】由()()23,121,1x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()f x 简图如图所示：若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则函数()y g x =图象所在的临界位置恰好在虚线所在的函数①②的位置.（1）当函数()y g x =处于①的位置时，点()0,3在函数()y g x =的图象上，有()0ln 3g a ==，得3a e =；（2）当函数()y g x =处于②的位置时，此时函数()y g x =与直线3yx 相切，设切点P 的坐标为()00,x y ，有()00000113ln x a y x y x a ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：00304x y a =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，由（1）（2）知实数a 的取值范围是()34,e . 故答案为()34,e【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查导数的应用，考查数形结合以及一元二次函数，对数函数的性质进行求解，注意临界位置的考查．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos sin sin 13A B A B C -=.（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的面积为323c =，求+a b 的值. 【答案】（1）3C π=（2）6a b +=【解析】 【分析】（1）利用两角和的余弦公式及内角和定理得cos 13C C -=，由二倍角公式得2cos cos 222C C C=，进而求得C; （2）利用面积公式得8ab =，结合余弦定理得()2220a b ab +-=，则+a b 可求【详解】（1）∵()cos 1A B C +=，∴cos 1C C -=，22cos 11cos 222C C C ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，2cos cos 222C C C =.∵0C π<<，故tan23C =，26C π=，3C π=.（2）由ABC ∆的面积为3C π=，知1sin 232ABCS ab C ∆，∴8ab =，由余弦定理知2222cos 12c a b ab C =+-=，故2220a b +=，()2220a b ab +-=， 解得6a b +=.【点睛】主要考查两角差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．18.已知函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=->的图象与直线2y =-的相邻两个交点之间的距离为1. （1）求函数()f x 的增区间； （2）当1163x -≤≤时，求函数()f x 的最大值、最小值及相应的x 的值. 【答案】（1）()15,1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）112x =-时，函数()f x 的最小值为-2；13x =时，函数()f x . 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简()f x =2sin 23x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而得1T =及ωπ=则解析式可求； （2）由1163x -≤≤得22333x ππππ-≤-≤，利用正弦函数的图像及性质得值域即可 【详解】（1）由()())2sin 22cos 1f x x x ωω=-()()sin 222sin 23x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由函数()f x 的图象与直线2y =-的相邻两个交点之间的距离为1，有1T =，有212πω=，得ωπ=，故()2sin 23f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令()222232k x k k Z ππππππ-≤-≤+∈，得()151212k x k k Z -≤≤+∈. 故函数()f x 的增区间为()15,1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）当1163x -≤≤时，22333x ππππ-≤-≤. 则当232x πππ-=-，即112x =-时，函数()f x 的最小值为-2；当233x πππ-=，即13x =时，函数()f x .【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想． 19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n n b a -=⋅，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足258n T =的正整数n 的值.【答案】（1）2n a n =（2）5 【解析】 分析】（1）利用112a S ==，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=求得通项 （2）由错位相减求和即可 【详解】（1）由题112a S ==.当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦.由12a =符合2n a n =，故数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由1222n nn b n n -=⨯=⋅，212222n n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()23121222122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅作差得：23122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅得：()()112122222112n n n n nT n n ++-=⋅-=⋅---得：()1122n n T n +=-⋅+，又()()211122122120n n n n n T T n n n ++++-=⋅+--⋅-=+>故数列{}n T 单调递增，且65422258T =⨯+=，故满足258n T =的正整数n 的值只有一个为5.【点睛】本题考查数列的通项和前n 项和的关系，考查错位相减求和，准确计算是关键，属于中档题．20.已知函数()()22log 1log f x ax x =--．（1）若关于x 的方程()22log 0f x x -=有解，求实数a 的最小整数值；（2）若对任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2（2）10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）化简方程得21a x x=+，问题转化为求()21g x x x =+的最小值，对()g x 求导，分析导函数的正负得()g x 的单调性，从而得出()g x 的最小值，可得解；（2）分析函数()f x 的定义域和单调性，得出()f x 在[],1t t +的最小值和最大值，由已知建立不等式2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫---≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，再构造新函数，求导分析其函数的单调性，得其最值，从而得解.【详解】（1）()22log 0f x x -=化为()22log 13log ax x -=，0x ∴>，31ax x -=，21a x x∴=+．令()21g x x x =+，0x >，则()3'2212120x g x x x x -=-=>，x >()g x ∴的单调减区间为⎛ ⎝，单调增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，()g x g ≥=33212>，332732244=<=，12∴<<． a ∴的最小整数值为2．（2）()2221log (1)log log f x ax x a x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，0x >，10ax ->，1x a >．．0a ∴>，()f x 的定义域为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，且()f x 在()0,∞+是增函数． 则1t a >，()f x 在[],1t t +上的最大值为()211log 1f t a t ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭，最小值为()21log f t a t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由题意知2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫---≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，11021a a t t ⎛⎫∴<-≤- ⎪+⎝⎭． 211a t t ∴≥-+， 令()211h t t t =-+，()()()22'2222212(1)101211t t h t t t t t t -+⎛⎫=-+=<≤≤ ⎪⎝⎭++． ()h t ∴在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，()h t ∴最大值为12104233h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．103a ∴≥，112a <，a ∴的取值范围是10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题综合考查运用导函数分析原函数的单调性、最值解决求参数的范围等问题，解决问题的关键是构造函数，对其求导，分析导函数的正负，得其构造函数的单调性和最值，属于难度题.21.已知函数()()ln 21f x x a x =-+，a R ∈. （1）当()20,x e∈时，()f x 有2个零点，求a 的取值范围；（2）若不等式()2f x ax <-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）21111,222a e e ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭（2）(]1,0- 【解析】 【分析】（1）分离参数构造新函数()ln xh x x=，求导求最值即可得a 的取值范围 （2）不等式()2f x ax <-，得()221ln 0ax a x x -++<，构造函数()()221ln g x ax a x x =-++，求导讨论a 的正负确定函数的最值即可求解【详解】（1）()20,x e ∈时，由()0f x =得ln 21xa x+=， 令()ln x h x x =，则()21ln 'xh x x -=， 0x e <<时，()'0h x >，x e >时，()'0h x <.∴()h x 在(]0,e 上是增函数，在[),e +∞上是减函数， 又()10h =，()1h e e=，()222h e e =，∴当22121a e e <+<时，()f x 在()20,e 上有2个零点，∴21111,222a e e ⎛⎫∈--⎪⎝⎭. （2）因为不等式()2f x ax <-即为()2ln 21x a x ax -+<-， 得()221ln 0ax a x x -++<，设()()221ln g x ax a x x =-++，则不等式()2f x ax <-等价于()0g x <.从而()()()222111'221ax a x g x ax a x x-++=-++=()()211ax x x --=，0x >. 当0a ≤时，()0,1x ∈时，()'0g x >；()1,x ∈+∞时，()'0g x <， 所以函数()g x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，此时()()max 11g x g a ==--.由题意，若()0g x <恒成立，则()max 0g x <，即10a --<，解得1a >-. 所以10a -<≤； 当0a >时，存在12x a=+使得()21411124212ln 2g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11144422ln 2a a a a a ⎛⎫=++----++ ⎪⎝⎭1ln 20a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭. 故不可能满足()0g x <恒成立. 综上，实数a 的取值范围是(]1,0-.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，准确求得最值是关键，是一道综合题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，C 的极坐标方程为8cos ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）经过点()1,1Q 作直线l 交曲线C 于M ，N 两点，若Q 恰好为线段MN 的中点，求直线l 的方程.【答案】（1）228x y x +=.（2）320x y --=.【解析】【分析】（1）由8cos ρθ=，得28cos ρρθ=即可得直角坐标方程；（2）直线l 的方程为()11y k x -=-，利用QC MN ⊥得1QC k k ⋅=-求解即可【详解】（1）由8cos ρθ=，得28cos ρρθ=，根据公式cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，得228x y x +=，故曲线C 的直角坐标方程是228x y x +=.（2）设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为()11y k x -=-. 而曲线C ：228x y x +=化为标准方程是()22416x y -+=， 故圆心()4,0C .因为Q 恰好为线段MN 的中点， 所以QC MN ⊥.所以1QC k k ⋅=-，即01141k -⋅=--，解得3k =. 故直线l 的方程是()131y x -=-，即320x y --=.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的转化，考查圆的几何性质，根据Q 恰好为线段MN 的中点转化为1QC k k ⋅=-是关键，是基础题23.已知函数()231f x x m =--+-，()3132g x x x =++-. （1）解不等式()7g x >；（2）若12,x x R ∀∈，都有()()12f x g x <恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）()4,-+∞ 【解析】 【分析】（1）利用零点分段去绝对值解不等式即可；（2）先求得两函数的最值，转化为()()max min f x g x <求解即可 【详解】（1）由()7g x >，得31327x x ++->， ①当1x <-时，()()31327x x -+-->，得43x <-； ②当213x -≤≤时，()()31327x x +-->，得57>，即x ∈∅； ③当23x >时，()()31327x x ++->，得1x >； 综上，不等式()7g x >解集是()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. （2）若12,x x R ∀∈，都有()()12f x g x <恒成立， 则()()max min f x g x <， 而()max 1f x m =-，易知()31323332g x x x x x =++-=++-()33325x x ≥+--=，当且仅当()()33320x x +-≤等号成立则()min 5g x =.则15m -<，解得4m >-. 故实数m 的取值范围是()4,-+∞.【点睛】本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查分类讨论，正确运用绝对值不等式求得函数的最值是关键，是中档题。
赤峰二中2022级高三上学期第二次月考数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ，集合{}50,2x A x B x x x ⎧⎫-=<=>⎨⎬⎩⎭，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}25x x <<B.{}25x x ≤<C.{}02x x << D.{}02x x <≤2.命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是（）A.3(,0),0x x x ∀∈-∞+<B.3(,0),0x x x ∀∈-∞+≥C.[)30,,0x x x ∞∃∈++< D.3[0,0x x x ∃∈+∞+≥),3.已知0a b c >>>，则下列不等式正确的是（）A.2a c b +> B.2b ac> C.()()110a b --> D.()()a c a b c b->-4.设0.13592,lg,log 210a b c ===，则（）．A.b c a>> B.b a c>> C.a c b>> D.a b c>>5.数列{}n a 满足11a =，且对于任意的n *∈N 都满足131nn n a a a +=+，则数列{}1n n a a +的前n 项和为（）A.131n + B.31+n n C.132n - D.32n n -6.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温25C 下，某种绿茶用85C 的水泡制，经过min x 后茶水的温度为C y ，且()0.9227250,R xy k x k =⋅+≥∈.当茶水温度降至60C 时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（）（参考数据：ln20.69,ln3 1.10,ln7 1.95,ln0.92270.08≈≈≈≈-）A.6minB.7minC.8minD.9min7.函数||()1x f x e =-的大致图象为A.B.C.D.8.若定义在R 上的函数()f x 满足()()4()2f x x f f ++=，()21f x +是奇函数，11()22f =则（）A.17111(22k f k =-=-∑B.1711()02k f k =-=∑C.171117()22k kf k =-=-∑ D.171117()22k kf k =-=∑二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题求的，全部选对的得6分，有选错的得0分)9.已知p ：260x x +-=；q ：10ax +=.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的值可以是（）A .﹣2B.12-C.13D.13-10.已知0,0a b >>且2a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.²²a b +的最小值为2B.12a b+的最小值为3+C.ab 的最大值为1D.的最大值为211.设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项正确的是（）A.4945S S q S =+B .若20252020T T =，则20231a =C.若194a a =，则当2246a a +取得最小值时，1a =D.若21()n n n a T +>，则11a <三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)12.若曲线e x y =在点(0,1)处的切线也是曲线()ln 1y x a =++的切线，则a =_________.13.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[3]3=.若1111222x x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则x 的取值范围是_________.14.已知实数()()1,0ln 1,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，若关于x 的方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，则t 的取值范围为___________.四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知()sin cos ,0,π5θθθ+=∈.（1）求sin cos θθ-的值；（2）求()()cos 22025πtan 2025πθθ+++的值.16.已知数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，其中11a =，且112n n a S -=.（1）求{}n a 的通项公式.（2）设n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T .17.已知函数31()3x x f x a+=+为奇函数．（1）解不等式()2f x >；（2）设函数33()log log 39x xg x m =⋅+，若对任意的1[3,27]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得12()()g x f x =成立，求实数m 的取值范围．18.已知函数()2ln f x x mx =-，()212g x mx x =+，R m ∈，令()()()F x f x g x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值.19.对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为n a ；若n 为奇数，则对31n +不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为n a .若1n a =，则称正整数n 为“理想数”.（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知9m a m =-.求m 的值；（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()*7N 3n S n <∈.赤峰二中2022级高三上学期第二次月考数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ，集合{}50,2x A x B x x x ⎧⎫-=<=>⎨⎬⎩⎭，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}25x x <<B.{}25x x ≤<C.{}02x x << D.{}02x x <≤【答案】D 【解析】【分析】确定集合A ，然后根据文氏图的概念及集合的运算求解．【详解】由题意5{|0}{|05}x A x x x x-=<=<<，{|2}U B x x =≤ð阴影部分为{|02}U A B x x =<≤ ð.故选：D ．2.命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是（）A.3(,0),0x x x ∀∈-∞+<B.3(,0),0x x x ∀∈-∞+≥C.[)30,,0x x x ∞∃∈++< D.3[0,0x x x ∃∈+∞+≥),【答案】C 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定判断即可.【详解】命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是[)30,,0x x x ∞∃∈++<.故选：C3.已知0a b c >>>，则下列不等式正确的是（）A .2a c b+> B.2b ac> C.()()110a b --> D.()()a c a b c b->-【答案】D 【解析】【分析】运用特殊值判断A,B,C,运用不等式性质推断D.【详解】取4a =，3b =，1c =，则2a c b +<，故A 错误；取5a =，2b =，1c =，则2b ac <，故B 错误；取2a =，12b =，则()()110a b --<，故C 错误；因为0a b c >>>，所以a c b c ->-，所以()()a c a b c b ->-，故D 正确．故选：D4.设0.13592,lg ,log 210a b c ===，则（）．A.b c a >>B.b a c>> C.a c b>> D.a b c>>【答案】D 【解析】【分析】依题意可得1a >，01b <<，0c <，进而可得结果.【详解】因为0.10221a =>=，50lg lg1012b <=<=，339log log 1010c =<=，所以a b c >>.故选：D.5.数列{}n a 满足11a =，且对于任意的n *∈N 都满足131nn n a a a +=+，则数列{}1n n a a +的前n 项和为（）A.131n + B.31+n n C.132n - D.32n n -【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列{}n a 的通项，再利用裂项相消法求和即可.【详解】依题意，由131n n n a a a +=+，得1113n na a +=+，故数列1{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，所以113(1)32n n n a =+-=-，则111111()(32)(31)33231n n a a n n n n +==--+-+，所以数列{}1n n a a +的前n 项和为11111111111[(()()()](1)31447710323133131n n n n n -+-+-++-=-=-+++ .故选：B6.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温25C 下，某种绿茶用85C 的水泡制，经过min x 后茶水的温度为C y ，且()0.9227250,R xy k x k =⋅+≥∈.当茶水温度降至60C 时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（）（参考数据：ln20.69,ln3 1.10,ln7 1.95,ln0.92270.08≈≈≈≈-）A.6min B.7minC.8minD.9min【答案】B 【解析】【分析】根据初始条件求得参数k ，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间x ．【详解】由题意可知，当0x =时，85y =，则8525k =+，解得60k =，所以600.922725x y =⨯+，当60y =时，60600.922725x =⨯+，即70.922712x =，则0.92277ln7ln 7ln1212log 12ln 0.9227ln 0.9227x -===ln 72ln 2ln 3 1.9520.69 1.107ln 0.92270.08---⨯-=≈≈-，所以茶水泡制时间大的为7min.故选：B.7.函数||()1x f x e =-的大致图象为A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】先研究函数的奇偶性，得到()f x 是偶函数，研究当0x ≥时函数的单调性，又(0)0f =，即得解.【详解】||||()2||12||1()x x f x e x e x f x --=---=--= 故()f x 是偶函数，当0x ≥时，()21x f x e x =--，()2x f x e '=-，令()0f x '>，解得ln 2x >；令()0f x '<，解得ln 2x <即()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，又(0)0f =，故选：C【点睛】本题考查了通过函数的奇偶性，单调性研究函数的图像和性质，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.8.若定义在R 上的函数()f x 满足()()4()2f x x f f ++=，()21f x +是奇函数，11()22f =则（）A.17111(22k f k =-=-∑B.1711()02k f k =-=∑C.171117()22k kf k =-=-∑ D.171117()22k kf k =-=∑【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 的周期，及(1)(1)0f x f x -+++=和(2)()0f x f x ++=，再逐项计算判断得解.【详解】由()4(()2)f f f x x ++=，得()4((24))f x x f f +++=，则(4)()f x f x +=，即函数()f x 的周期为4，由(21)f x +是R 上的奇函数，得(21)(21)f x f x -+=-+，即(1)(1)0f x f x -+++=，于是13()()022f f +=，5751()()()()02222f f f f +=+-=，即1357(()()()02222f f f f +++=，因此17113571()()(2()](16)22222111()4[()22k f k f f f f f f =-==++++=+∑，AB 错误；由()4((24))f x x f f +++=，取0x =，得(2)0f =，则(4)(0)(2)0f f f ==-=，因此(2)()0f x f x ++=，取32x =，得37((022f f +=，于是1357135737(2(3()4()[(()]3[()()](()022********f f f f f f f f f f +++=+++++=，则17113571()2()3()4()]17(16)2222117()4[222k k f f f f f f k =++=+-=++∑，C 错误，D 正确.故选：D【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题求的，全部选对的得6分，有选错的得0分)9.已知p ：260x x +-=；q ：10ax +=.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的值可以是（）A.﹣2B.12-C.13D.13-【答案】BC 【解析】【分析】根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】由题意得{: 3 2}p A =-，，当0a =时，q B =∅：，当0a ≠时，1q B a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭：，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以0a =时满足题意，当13a -=-或12a -=时，也满足题意，解得13a =或12a =-，故选：BC.【点睛】本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题.10.已知0,0a b >>且2a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.²²a b +的最小值为2B.12a b+的最小值为3+C.ab 的最大值为1D.的最大值为2【答案】ACD 【解析】【分析】配方后使用基本不等式可判断A ；利用常数代换可判断B ；直接使用基本不等式可判断C ；先利用基本不等式求2的最大值，然后可判断D .【详解】对A ，()22²²24222a b a b a b ab +⎛⎫+=+-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，A 正确；对B ，()(1211212133222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当21b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,2a b =-=-时等号成立，B 错误；对C ，212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，C 正确；对D，()224a b a b =+++=，当且仅当1a b ==时等号成立，2+≤，D 正确.故选：ACD11.设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项正确的是（）A.4945S S q S =+B.若20252020T T =，则20231a =C.若194a a =，则当2246a a +取得最小值时，1a =D.若21()n n n a T +>，则11a <【答案】AB 【解析】【分析】由前n 项和的定义以及等比数列性质分析判断A ；由题意结合等比数列性质分析判断B ；根据题意结合基本不等式知：当且仅当462a a ==时，2246a a +取得最小值，进而可得结果判断C ；举反例说明即可D.【详解】由数列{}n a 为正项等比数列，得10,0,0n a q T >>>，对于A ，9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()4441234545S q a a a a a S q S =+++++=+，即4945S S q S =+，A 正确；对于B ，由20252020T T =，得5202520212022202320242025202320201T a a a a a a T =⋅⋅⋅⋅==，则20231a =，B 正确；对于C ，由19464a a a a ==，得22446628a a a a +≥=，当且仅当462a a ==时取等号，若2246a a +取得最小值，则462a a ==，即34156122a a q a a q ⎧==⎨==⎩，解得121a q =⎧⎨=⎩，C 错误；对于D ，例如11,2a q ==，则12n n a -=，()101112121222222n n n n n nT a a a --++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==，得22(1)2221()(2)2,[2]2n n n n nn nnn naT --+====，而*n ∈N ，22n n n >-，则2222n n n->，即21()n n n a T +>，符合题意，但11a =，D 错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题判断选项D 的真假，构造符合条件的数列，计算判断是关键.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)12.若曲线e x y =在点(0,1)处的切线也是曲线()ln 1y x a =++的切线，则a =_________.【答案】1【解析】【分析】先求出曲线e x y =在(0,1)的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为0(x ,0ln(1))x a ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x 表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解【详解】由e x y =，得e x y '=，001|e x y ==='，故曲线e x y =在(0,1)处的切线方程为1y x =+；由()ln 1y x a =++，得11y x '=+，设切线与曲线ln(1)y x a =++相切的切点为0(x ,0ln(1))x a ++，由两曲线有公切线得0111y x '==+，解得00x =，则切点为(0,)a ，切线方程为y x a =+，根据两切线重合，解得1a =．故答案为：1．13.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[3]3=.若1111222x x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则x 的取值范围是_________.【答案】[)1,3【解析】【分析】依题意可得则112x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦且11022x ⎡+⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，从而得到不等式组，解得即可.【详解】解：依题意，因为1111222x x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若102x +⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，则11022x ⎡+⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，不符题意；若122x +⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦，则11122x ⎡+⎤⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，不符题意；若112x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则11022x ⎡+⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，满足条件，则1122x +≤<.解得13x ≤<，即[)1,3x ∈.故答案为：[)1,3.【点睛】本题考查新定义运算，不等式的解法，属于中档题.14.已知实数()()1,0ln 1,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，若关于x 的方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，则t 的取值范围为___________.【答案】[)0,1【解析】【分析】画出 uli 的图象，根据图象特点，要想方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，需要令()f x m =，这样2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，才会有四个交点.【详解】当0x ≤时，()()ln 1f x x =-，单调递减，当0x >时，()1x e f x x -=，()()121x e x f x x--'=，当1x >时，()0f x ¢>，()1x e f x x -=单调递增，当01x <<时，()0f x ¢<，()1x e f x x-=单调递减，在1x =时， uli 取得最小值，()11f =画出 uli的图象如图所示：令()f x m =，则方程为2340m m t -+=，要想方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，结合 uli 的图象可知需要满足：2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，令()234g m m m t =-+，则()()161201000t g g ∆=->⎧⎪<⎨⎪≥⎩，解得：01t ≤<t 的取值范围[)0,1故答案为：[)0,1【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知()10sin cos ,0,π5θθθ+=∈.（1）求sin cos θθ-的值；（2）求()()cos 22025πtan 2025πθθ+++的值.【答案】（1）sin cos 5θθ-=（2）115-【解析】【分析】（1）已知式平方后，结合平方关系确定sin ,cos θθ的符号后，再利用平方关系求得sin cos θθ-；（2）（1）小题结论与已知联立方程组解得sin ,cos θθ，由商数关系得tan θ，再利用诱导公式、二倍角公式化简变形后求值．【小问1详解】因为sin cos θθ+=22(sin cos )5θθ+=，所以212sin cos 5θθ+=，即32sin cos 05θθ=-<.因为()0,πθ∈，则sin 0θ>，所以cos 0,sin cos 0θθθ<->，因为28(sin cos )12sin cos 5θθθθ-=-=，所以210sin cos 5θθ-=.【小问2详解】由10sin cos ,5210sin cos ,5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得sin ,cos 1010θθ==-，所以sin tan 3cos θθθ==-；所以()()229111cos 22025πtan 2025πcos2tan sin cos tan 310105θθθθθθθ+++=-+=-+=--=-.16.已知数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，其中11a =，且112n n a S -=.（1）求{}n a 的通项公式.（2）设n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21,113,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）132(2)()2n n T n -=+-⋅【解析】【分析】（1）根据题意，得到2n ≥时，132n n a a +=，再由211122a S ==，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）得到21,113,222n n n b n n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，结合乘公比错位法求和，即可求解.【小问1详解】由112n n a S -=，可得12n n a S -=，则12n n a S +=，两式相减，可得122n n n a a a +-=，即123n n a a +=，又由211111222a S a ===，易知0n a ≠，所以当2n ≥时，132n n a a +=，所以数列{}n a 的通项公式为21,113,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】因为n n b na =，可得21,113,222n n n b n n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则01221313131312(3(4(()22222222n n T n -=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅ ，所以123133131313132(3(4((2222222222n n T n -=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅ ，两式相减得12321111333313[()()()()]()222222222n n n T n ---=+++++-⋅⋅ 212133[1()]11131331322([1()]()322222222212n n n n n n -----=+⨯-⋅⋅=-⋅--⋅⋅-，所以21133313[()1]()2(2)()222n n n n T n n ---=--⋅-+⋅=+-⋅.17.已知函数31()3x x f x a+=+为奇函数．（1）解不等式()2f x >；（2）设函数33()log log 39x x g x m =⋅+，若对任意的1[3,27]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得12()()g x f x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(0,1)；（2）94m ≥.【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义直接可得参数值，化简不等式，结合指数函数性质解不等式.（2）由（1）可得2()f x 的值域A ，再利用换元法设3log t x =，可得1()g x 的值域B ，根据B A ⊆，列不等式可得解.【小问1详解】函数31()3x x f x a+=+中，30x a +≠，由()f x 是奇函数，得()()0f x f x +-=，即3131033x x x x a a--+++=++，整理得(1)(332)0x x a -+++=，解得1a =-，函数312()13131x x x f x +==+--定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，由()2f x >，得21231x +>-，即2131x >-，整理得0312x <-<，解得01x <<，所以不等式()2f x >的解集为(0,1).【小问2详解】因为函数31x y =-在(]0,1上单调递增，故当01x <≤时，0312x <-≤，由（1）得31()31+=-x x f x 在(0,1]x ∈的值域[2,)A =+∞，又3333g 39()log log (log 1)(lo 2)x x g x m x x m =⋅+=--+，[3,27]x ∈设3log t x =，则[]1,3t ∈，2(1)(2)32y t t m t t m =--+=-++，当32t =时，min 14y m =-+，当3x =时，max 2y m =+，因此函数()g x 在[3,27]x ∈上的值域1[,2]4B m m =-++，由对任意的1[3,27]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得12()()g x f x =成立，得B A ⊆，于是124m -+≥，解得94m ≥，所以实数m 的取值范围是94m ≥.18.已知函数()2ln f x x mx =-，()212g x mx x =+，R m ∈，令()()()F x f x g x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）2【解析】【分析】（1）求导，分0m ≤与0m >分类讨论，然后利用导函数的正负来确定单调性即可；（2）构造函数()()()()211ln 112G x F x mx x mx m x =--=-+-+，利用导数求函数()G x 的最大值，然后将恒成立问题转化为最值问题即可；【小问1详解】因为()()2ln 0f x x mx x =->，所以()21122mx f x mx x x -='=-，当0m ≤时，()0f x '>，所以()f x 在区间 t h ∞上单调递增；当0m >时，令()0f x '>，即2120mx ->，又0x >，解得202x m<<，令()0f x '<，即2120mx -<，又0x >，解得22x m>，综上，当0m ≤时，()f x 的增区间为 t h ∞，无减区间；当0m >时，()f x 的增区间为20,2m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为2,2m ∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【小问2详解】令()()()()211ln 112G x F x mx x mx m x =--=-+-+，所以()()()21111mx m x G x mx m x x-+-+=-+-='．当0m ≤时，因为l t ，所以()0G x '>．所以()G x 在()0,∞+上是单调递增函数，又因为()()2131ln11112022G m m m =-⨯+-+=-+>，所以关于x 的不等式()0G x ≤不能恒成立，即关于x 的不等式()1F x mx ≤-不能恒成立．当 t 时，()()()21111m x x mx m x m G x x x⎛⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭=='．令()0G x '=，得1x m =，所以当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x '>；当1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0G x '<．因此函数()G x 在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是增函数，在1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭是减函数．故函数()G x 的最大值为()2111111ln 11ln 22G m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令()1ln 2h m m m =-，()2112h m m m=-'-，当()0,m ∞∈+时，()0h m '<所以()h m 在()0,m ∞∈+上是减函数，又因为()1102h =>，()12ln204h =-<，所以当2m ≥时，()0h m <，所以()0G x <恒成立，即()1F x mx ≤-恒成立所以整数m 的最小值为2．【点睛】关键点点睛：第（1）小问的关键是分0m ≤与0m >进行分类讨论，第（2）的关键是通过移项构造函数()()21=ln 112G x x mx m x -+-+，把恒成立问题转化为求函数()G x 的最值问题.19.对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为n a ；若n 为奇数，则对31n +不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为n a .若1n a =，则称正整数n 为“理想数”.（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知9m a m =-.求m 的值；（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()*7N 3n S n <∈.【答案】（1）2和5为两个质数“理想数”（2）m 的值为12或18（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道9m a m =-必为奇数，则m 必为偶数，结合整除知识得解；（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19，212=，故21a =，所以2为“理想数”；33110⨯+=，而1052=，故3不是“理想数”；35116⨯+=，而41612=，故5是“理想数”；37122⨯+=，而22112=，故7不是“理想数”；311134⨯+=，而34172=，故11不是“理想数”；313140⨯+=，而4058=，故13不是“理想数”；317152⨯+=，而52134=，故17不是“理想数”；319158⨯+=，而58292=，故19不是“理想数”；2∴和5为两个质数“理想数”；【小问2详解】由题设可知9m a m =-必为奇数，m ∴必为偶数，∴存在正整数p ，使得92p m m =-，即9921p m =+-：921p ∈-Z ，且211p -≥，211p ∴-=，或213p -=，或219p -=，解得1p =，或2p =，1991821m ∴=+=-，或2991221m =+=-，即m 的值为12或18．【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如()*2k k ∈N 的整数，下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：((((022*******,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦ ，若奇数1m >，不妨设(2222,2k k m -⎤∈⎦，若m 为"理想数"，则(*3112s m s +=∈N ，且)2s >，即(*213s m s -=∈N ，且)2s >，①当(*2s t t =∈N ，且)1t >时，41(31)133t t m -+-==∈Z ；②当()*21s t t =+∈N 时，2412(31)133t t m ⨯-⨯+-==Z ；(*413t m t -∴=∈N ，且)1t >，又22241223t k k --<<，即1344134k t k -⨯<-≤⨯，易知t k =为上述不等式的唯一整数解，区间(2222,2k k -]存在唯一的奇数"理想数"(*413k m k -=∈N ，且)1k >，显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为()*413k m k -=∈N ，∴所有的奇数"理想数"的倒数为()*341k k ∈-N ，1133134144441k k k ++<=⨯--- 1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯= ⎪⎝⎭-- ，即()*73n S n <∈N ．【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。
【全国百强校】内蒙古赤峰二中2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z 满足12i i z +=，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为A B ．i - C ．1- D ．12．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a ，b)内可导且单调递增，则在(a ，b)内，'()0f x > 恒成立．因为3()f x x =在(－1，1)内可导且单调递增，所以在(－1，1)内，2()30f x x =>'恒成立．以上推理中( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论正确D ．推理形式错误 3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有偶数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）A ．假设a ，b ，c 不都是偶数B ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 都不是偶数4．0sin xdx π⎰的值为（ ） A ．2π B ．π C ．1 D ．2 5．①已知a 是三角形一边的边长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长1，半径r 分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积12lr ；②由2211,132=+=2,1353++=，可得到213521n n ++++-=，则①、②两个推理依次是A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理 6．用数学归纳法证明：“12213521n n n n n n n N ”时，从n k =到1n k =+，等式的左边需要增乘的代数式是（）A ．21k +B ．211k k ++C ．231k k ++D ．()221k + 7．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，P 为抛物线C 上任意一点，若1(3,)2M ，则PM PF +的最小值是（ ）A ．6B ．112C ．92D ．728．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是( )A B ．12 C ．14 D ．09．将正整数排成下表：则在表中，数字2017出现在（ ）A ．第44行第80列B ．第45行第81列C ．第44行第81列D ．第45行第80列10．函数f(x)＝lnx －x 2的图像大致是( ) A ． B ． C ． D ．11．已知双曲线22x a －22y b =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线的右支上,且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．53B ．43C ．2D ．7312．设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()()()f x f x x R >∈，2(2)f e =（e 为自然对数的底数），则不等式2(2ln )f x x <的解集为（ ）A ．)eB ．C ．(0,)eD ．(1,)e二、填空题 13．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为____________. 14．已知i 为虚数单位，复数z 满足(2+2i)z̅=1−i ，则|z|=_________．15===== ，则推测a b +=_____． 16．若函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围是____．三、解答题 17．已知函数f (x )＝x －1＋x a e(a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，求l 的直线方程．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（Ⅰ）求证：PD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.19．已知函数()()12ln 2f x a x ax x=-++ . （1）当2a =时，求函数()f x 的极值；（2）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性．20．已知四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为直角梯形，CD ⊥平面ABC ，侧面ABC 是等腰直角三角形，90EBC ABC ∠=∠=︒，22BC CD BE ===，点M 是棱AD 的中点．（1）证明：平面AED ⊥平面ACD ；（2）求锐二面角B CM A --的余弦值．21．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，长轴长为4， 12PF F ∆（1）求椭圆的标准方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆于,M N 两点,且OM ON OM ON +=-,求OMN 的面积.22．已知函数()1ln x f x x ax-=+ （Ⅰ）若函数() f x 在1[,)2+∞上为增函数，求正实数a 的取值范围； （Ⅱ）若关于 x 的方程12ln 20x x x mx -+-=在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根，求实数m 的取值范围．参考答案1．C【解析】()()12i i 12i 2i iz +==-⋅+=-,虚部为1-,故选C. 2．A【分析】函数f(x)在(a ，b)内可导且单调递增,()0f x '≥.【详解】()f x 在(a ，b)内可导且单调递增，则在(a ，b)内，()0f x '≥恒成立，故大前提错误，故选A.【点睛】函数在某个区间内的单调性与函数在这个区间的导函数之间关系：（1）若函数在某个区间内有()()0()0f x f x ''><，则函数在这个区间内单调递增（递减）；（2）若函数在某个区间内是增函数（减函数），则()()0()0f x f x ''≥≤.3．D【解析】试题分析：“,,a b c 中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设,,a b c 都不是偶数”，故选D.考点：命题的否定.4．D【解析】 试题分析：0sin cos 0xdx x ππ=-⎰2=．考点：微积分基本定理．5．A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．故选A ．点睛：本题考查的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，熟练掌握三种推理方式的定义及特征是解答本题的关键．6．D【分析】根据条件分别求出n k =和1n k =+时左边的式子，从而可求得由n k =到1n k =+时需要增乘的代数式.【详解】当n k =时，左边()()()12k k k k =++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左边()()()()()111211111k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅++-+++++， 所以由n k =到1n k =+时，等式左边应该增乘的代数式是()()()1112211k k k k k k +++++=++.故选：D【点睛】 本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.7．C【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =进而把问题转化为求PM PD +取得最小，进而可推断出当D P M ,,三点共线时PM PD +最小，即可求出结果．【详解】抛物线2:6C y x =的准线为32x =-，设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，PM PF PM PD +=+，要求PM PF +取得最小值，即求PM PD +取得最小，当D P M ,,三点共线时，PM PD +最小， 即PM PD +最小为39322⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即PM PF +的最小值是92. 故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D P M ,,三点共线时，PM PD +最小最小是解题的关键．8．C【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,)B，)12B ，()0,1,0C ， 向量()13,1,2AB =-,()12BC =--， 11cos ,A B B C <>1111A B B C A B B C⋅=⨯=14=. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B【分析】由图可知第n 行有21n -个数字，前n 行的数字个数为()2135...21n n ++++-=个，进而根据2244,45与2017大小关系进而判断出2017所在的行数，再根据202520178-=和第45行的数字个数，从而求得2017所在的列.【详解】由图可知第n 行有21n -个数字，前n 行的数字个数为()2135...21n n ++++-=个， 22441936,452025==，且19362017,20252017，2017∴在第45 行，又202520178-=，且45行有245189⨯-=个数字，2017∴在第89881-=，数字2017出现在第45行第81列，故选B . 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式，以及归纳推理的应用，属于中档题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 10．B 【解析】 【分析】先对函数求导，判断函数的单调性并求函数极值，由单调性和极值即可得到函数图像. 【详解】∵f′(x)＝1x－x ＝0在(0，＋∞)上的解为x ＝1，且在x ∈(0，1)时，f′(x)>0，函数单调递增；在x ∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，函数单调递减．故x ＝1为极大值点，f(1)＝－12<0，故选：B. 【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 11．A 【分析】先设P 的坐标（x ，y ），焦半径得丨PF 1丨＝ex +a ，丨PF 2丨＝ex ﹣a ，根据|PF 1|＝4|PF 2|，进而可得e 的关于x 的表达式．根据p 在双曲线右支，进而确定x 的范围，得到e 的范围． 【详解】设P （x ，y ），由焦半径得丨PF 1丨＝ex +a ，丨PF 2丨＝ex ﹣a ，∴ex +a ＝4（ex ﹣a ），化简得e ＝53ax， ∵p 在双曲线的右支上， ∴x ≥a ， ∴e ≤53，即双曲线的离心率e 的最大值为53. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线定义的灵活运用．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造,,a b c 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中,,a b c 与椭圆中,,a b c 的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出,a c 的值,可得e ；（2）建立,,a b c 的齐次关系式,将b 用,a c 表示,令两边同除以a 或2a 化为e 的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围． 12．C 【解析】 【分析】令()()xf xg x e =，由()()()20()x f x x f x g x e '='->，即函数()g x 为单调递增函数，令2ln ,0t x x =>，则2t x e =，把不等式转化为()1g t <，进而转化为()()2g t g <，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 满足'()()f x f x >，即'()()0f x f x ->，令()()x f x g x e =，则()()()20()x f x x f x g x e '='->，即函数()()xf xg x e =为单调递增函数， 令2ln ,0t x x =>，则2t x e =，所以不等式2(2ln )f x x <，即22(ln )f x x <，转化为()tf t e <，即()1tf t e <，即()1g t < 又由()22f e =，所以()()2221f g e==，所以不等式可转化为()()2g t g <，所以2t <，即2ln 2x <，解得0x e <<， 即原不等式22(ln )f x x <的解集为()0,e ，故选C.【点睛】本题主要考查了构造新函数，利用导数判定函数的单调性，求解不等式问题，其中解答中，根据题意构造新函数，利用导数得到新函数的单调性，合理利用新函数的单调性求解不等式是解答的关键，着重考查了构造思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 13．4 【分析】试题分析：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为 0，曲线3y x =与直线4y x =在第一象限所围成饿图形的面积是23242001(4)(2)|8444x x dx x x -=-=-=⎰，即围成的封闭图形的面积为 4．考点：利用定积分求解曲边形的面积. 14．12 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z̅，求得z ,再代入复数模的计算公式求解. 【详解】由(2+2i )z =1−i ，得z =12×1−i 1+i=12×(1−i )(1−i )(1+i)(1−i)=12×−2i 2=−12i ，∴z=12i,|z|=12，故答案为12.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.15．109.【解析】分析：本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知中的等式，分析根号中分式分子和分母的变化规律，得到a，b值．详解：由已知中，…，归纳可得：第n个等式为：(1n=+当n+1=10时，a=10，b=99，故a+b=109，故答案为109.点睛：归纳推理是数学中一种重要的推理方法，是由特殊到一般、由个别到全部的推理，常见的是在数列中的猜想，其关键在于通过所给前几项或前几个图形，分析前后联系或变化规律，以便进一步作出猜想．16．0123t t <<<<或 【详解】此题考查导数的应用；2343(1)(3)()4x x x x f x x x x x -+--=-+-'=-=-，所以当(0,1),(3,)x ∈+∞时，原函数递减，当(1,3)x ∈原函数递增；因为在[],1t t +上不单调，所以在[],1t t +上即有减又有增，所以0113{{01231131t t t t t t <<<<∴<<<<<+<+或或17．（1）e （2）（y ＝(1－e)x －1. 【分析】（1）依题意，f′（1）=0，从而可求得a 的值；（2）设切点为（x 0，y 0），求出函数的切线方程，求出k 即可得到结论． 【详解】解 (1)f ′(x )＝1－，因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝1－＝0，解得a ＝e.(2)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋，f ′(x )＝1－. 设切点为(x 0，y 0)，∵f (x 0)＝x 0－1＋＝kx 0－1，① f ′(x 0)＝1－＝k ，②①＋②得x 0＝kx 0－1＋k ，即(k －1)(x 0＋1)＝0. 若k ＝1，则②式无解，∴x 0＝－1，k ＝1－e. ∴l 的直线方程为y ＝(1－e)x －1. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义的应用，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，要求熟练掌握导数的应用．18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3． 【详解】分析：（1）先证明AB PD ⊥，PA PD ⊥，再证明PD ⊥平面PAB .(2)利用向量方法求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.详解：（Ⅰ）因为，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ，所以AB PD ⊥， 又因为PA PD ⊥，所以PD ⊥平面PAB ； （Ⅱ）取AD 的中点O ，连结PO ，CO ， 因为PA PD =，所以PO AD ⊥.又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO CO ⊥. 因为AC CD =，所以CO AD ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，由题意得，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()2,0,0C ，()0,1,0D -，()0,0,1P .设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则00n PD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020y z x z --=⎧⎨-=⎩， 令2z =，则1x =，2y =-. 所以()1,2,2n =-.又()1,1,1PB =-，所以cos ,n PB n PB n PB⋅==-. 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.点睛：（1）本题主要考查线面位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法）→证（定义）→指→求（解三角形），其关键是找到直线在,平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）•sin AB n AB nα=，其中AB 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，α是直线和平面所成的角. 19．（1）f （x ）的极小值为4，无极大值．（2）当a ＜﹣2时f （x ），的递减区间为（0，﹣1a）和（12，+∞），递增区间为（﹣1a ，12）；当a=﹣2时，f （x ）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a ＜0时，f （x ）的递减区间为（0，12）和（﹣1a ，+∞），递增区间为（12，﹣1a ）．【分析】(1)当2a =时，求出函数()f x 的导数，由()'0f x =求方程的根，判断所求根两边导函数的符号即可得到函数的极值；(2) 求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间. . 【详解】（1）依题意知f （x ）的定义域为（0，+∞），当a=2时，()14f x x x =+，()222141'4x f x x x -=-=， 令f′（x ）=0，解得x=12， 当0＜x ＜12时，f′（x ）＜0； 当x ≥12时，f′（x ）＞0 又∵f （12）=2+2=4∴f （x ）的极小值为4，无极大值．（2）()()22222121'2ax a x a f x a x x x+---=-+= 当a ＜﹣2时，﹣1a ＜12， 令f′（x ）＜0 得 0＜x ＜﹣1a 或x ＞12，令f′（x ）＞0 得﹣1a ＜x ＜12；当﹣2＜a ＜0时，得﹣1a ＞12，令f′（x ）＜0 得 0＜x ＜12或x ＞﹣1a ，令f′（x ）＞0 得 12＜x ＜﹣1a；当a=﹣2时，()()2221'0x f x x-=-≤，综上所述，当a ＜﹣2时f （x ）的递减区间为（0，﹣1a ）和（12，+∞），递增区间为（﹣1a，12）； 当a=﹣2时，f （x ）在（0，+∞）单调递减； 当﹣2＜a ＜0时，f （x ）的递减区间为（0，12）和（﹣1a ，+∞），递增区间为（12，﹣1a）． 【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.20．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)12. 【解析】试题分析：（1）BF ⊥平面ACD ，又EM//BF ，所以EM ⊥平面ACD ，所以平面AED ⊥平面ACD ；（2）建立空间直角坐标系，求得两个法向量()0,1,1n =-,()1,1,0BF =，求出二面角． 试题解析：（I ）证明：取AC 的中点F ，连接BF ，因为AB ＝BC ，所以BF AC ⊥，CD ⊥平面ABC,所以CD BF ⊥. 又CD AC C ，⋂=所以BF ⊥平面ACD.① 因为AM=MD ，AF=CF ，所以1//2MF CD MF CD =，. 因为//BE CD ，12BE CD =，所以BE //MF ， 所以四边形BFME 是平行四边形.所以EM//BF.②由①②,得EM ⊥平面ACD ，所以平面AED ⊥平面ACD ； （II ）BE ⊥平面ABC ，,,BE BC BE BA ∴⊥⊥又BC AB ⊥，∴以点B 为原点，直线BC 、BA 、BE 分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系B-xyz.由22BC CD BE ===，得B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，D(2,0,2).由中点坐标公式得()()1,1,1,1,1,0M F ，()()2,0,0,1,1,1BC BM ==,()1,1,0BF =，设向量(),,n x y z =为平面BMC 的一个法向量，则0,0.BM n BC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x x y z =⎧⎨++=⎩令y=1,得x=0，z=－1，即()0,1,1n =-,由（I ）知，()1,1,0BF =是平面ACD 的一个法向量. 设二面角B －CM －A 的平面角为θ， 则||1cos 20n BF n BFθ⋅===，又二面角B －CM －A 为锐二面角，故1cos 2θ=. 21．（1）2214x y +=；（2 【分析】⑴由已知条件长轴长为4求出a 的值，12PF F 面积最大时P 点位于短轴的顶点，故可列出方程组求出b c ，的值，可以得到椭圆的标准方程⑵设()()1122,,,M x y N x y 设直线l的方程，由OM ON OM ON +=-，计算出0OM ON ⋅=，表示出三角形面积1212OMNSy y =-代入点坐标计算结果 【详解】由题意长轴长为4，则24a =，可得2a =，12PF F ∆即得224bc b c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得1bc =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的标准方程：2214x y +=（2）设直线l的方程为x my =与椭圆2214x y +=联立并化简得()22410m y++-=设()()1122,,,M x y N x y ，则1212214y y y y m -+==+由OM ON OM ON +=-得0OM ON ⋅=(()()212121212121213OM ON x x y y my my y y m y y y y ⋅=+=+=+++2211404m m -==+，解得2114m =所以1212OMNSy y =-==【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，并求解三角形面积，在解题过程中联立直线与椭圆方程，运用韦达定理来求三角形的面积． 22．（Ⅰ）2a ≥;（Ⅱ）13{|ln2}22e m m --<≤. 【解析】分析：（Ⅰ）先求出函数()f x 的增区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭应为其子集，故可求实数a 的范围.（Ⅱ）方程在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个实数根可以转化为直线y m =与函数()1ln 2xg x x x -=+的图像有两个不同的交点，利用导数刻画()g x 的图像后可以得到实数m 的取值范围. 详解：（Ⅰ）22111()ax f x x ax ax='-=-， 因为a 为正实数，由定义域知0x >，所以函数的单调递增区间为1,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 因为函数()f x 在1[,)2+∞上为增函数，所以1102a <≤，所以2a ≥. （Ⅱ）因为方程12ln 20x x x mx -+-=在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根，故方程1ln 02x x m x -+-=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根即 方程1ln 2x x m x -+=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根.令()1ln 2x g x x x-=+，则221121()22x g x x x x -'=-+=，当11,2x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x < ，()g x 在11,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数； 当1,2x e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0g x > ，()g x 在1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭为增函数. 111()ln 10222e e eg e e e e e --+=+=+=> 111112()ln ln 20122222g -=+=-<⨯ 111113()ln 10()1222e e e g g e e e e---=+=-=<<⨯ ()y g x =的图像如图所示：要使函数()1ln 2x g x x x -=+的图象与函数y m =的图象在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个交点，则要满足11()()2g m g e <≤，所以m 的取值范围为13ln 222e m --<≤. 点睛：含参数的方程的解的个数的讨论，可以参变分离后转化为动直线与定曲线的交点的个数.定曲线的刻画需以导数为工具讨论函数的单调性、极值及区间端点处的函数值等.。
2021年内蒙古赤峰二中高三上12月月考文科数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数1i i－2（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A ．5i －2＋ B ．5i －2－ C ．5i 2－ D ．5i 2＋ 2．设集合A ＝{1,2,4}，集合{|}B x x a b a A b A +∈∈＝＝，，，则集合B 中的元素个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．73．a ，b 是两个向量，1a =，2b =，且()a b a +⊥，则a ，b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120 D ．1504．在一次某地区中学联合考试后，汇总了3217名文科考生的数学成绩，用12,,,a a ⋅⋅⋅3217a 表示，我们将不低于120的考分叫“优分”，将这些数据按右图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3217名考生的（ ）n = n+1= m+1是a 结束输出 m 3217a n否m = = 1开始A ．平均分B ．“优分”人数C ．“优分”率D ．“优分”人数与非“优分”人数的比值5．等差数列{}n a 的公差不为零，首项11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是（ ）A ．90B ．100C ．145D ．1906．将函数y ＝sin （2x ＋3π）的图像向右平移ϕ（0＜ϕ＜2π）个单位后的图像关于y 轴对称，则ϕ ＝（ ）A ．12πB ．6πC ．3πD ．512π 7．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3BC ．D ．38．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，cos （A －B ）cosB －sin （A －B ）sin （A ＋C ）＝35，则角B 的大小为A ．6πB ．4πC ．3πD ．56π 9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6， 1O 为正方形1111A B C D 的中心，则四棱锥1O ABCD -的外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．324πC ．81πD ．2432π 10．记111122ln ,ln ,ln 22a b c e e e e e e=-=-=-，其中e 为自然对数的底数，则,,a b c 这三个数的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b c a >>D ．b a c>>11．若x,y 满足约束条件{x +y ≥1x −y ≥−13x −y ≤3，目标函数z =ax +2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．[−6,2]B ．(−6,2)C ．[−3,1]D ．(−3,1)12．已知双曲线()22221024x y b b b -=<<-与x 轴交于,A B 两点，点()0,C b ，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8二、填空题13．双曲线221412x y -=的离心率为 ． 14．从{1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数m,n(m >n)，则n m 能够约分的概率为 ．15．数列{}n a 中，143a =-，211n n a a +=+，则7a = ． 16．已知x x x x f ln )(+=，若Z k ∈且)()2(x f x k <-对任意2>x 恒成立则K 的最大值 ．三、解答题17．已知数列{}n b 的前n 项和n n S n 22+= )(+∈N n ．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n T ． 18．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）19．已知四棱锥，其中，，，∥，为的中点．（Ⅰ）求证：∥面； （Ⅱ）求证：面； （Ⅲ）求四棱锥的体积．20．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，直线y x =与抛物线C 相交于不同的两点O ，N ，且||ON =（1）求抛物线C 的方程．（2）若直线l 过点F 交抛物线于不同的两点A ，B ，交x 轴于点M ，且MA aAF =，MB bBF =，对任意的直线l ，a b +是否为定值?若是，求出a b +的值；否则，说明理由．21．已知函数：()3(0)f x lnx ax a =--≠（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若对于任意的[1a ∈，2]，若函数23()[2()]2x g x x m f x =+-'在区间(,3)a 上有最值，求实数m 的取值范围．22．选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的半径为6，线段AB 与圆O 相交于点C,D ，AC =4，∠BOD =∠A ，OB 与圆O 相交于点E ．（1）求BD 长；（2）当CE ⊥OD 时，求证：AO =AD ．23．在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值．24（1）当2m =时，解不等式：()1f x ≤； （2）若不等式()2f x ≤的解集为{}|2x x ≤-，求m 的值．参考答案1．B【解析】 试题分析：复数1i i －2i i i 5152521+-=+=)(，所以其共轭复数552i --，故选B ． 考点：复数运算．2．C【解析】集合A ＝{1,2,4}，集合{|}B x x a b a A b A +∈∈＝＝，，， 所以{}234568B ＝，，，，，，共6个元素. 故选C.3．C【解析】试题分析：因为()a b a +⊥，所以20a a b +⋅=，则1a b ⋅=-，所以1cos ,2a b a b a b ⋅<>==-⋅．又由向量夹角范围得，a ，b 的夹角为120． 考点：①向量数量积的运算律；②夹角公式；③垂直的充要条件．4．C【解析】试题分析：根据框图知，该程序是统计3217名同学中成绩不低于120分的“优分”的人数与总人数的比值即“优分”率．故选C ．考点：程序框图的应用．5．B【解析】试题分析：设公差为d ，则由2a 是1a 和5a 的等比中项得到d=2，然后由等差数列的前n 项和公式得10010=s ．故选B ．考点：等差数列的基本量运算及数列求和．6．D【解析】试题分析：将函数y ＝sin （2x ＋3π）的图象向右平移ϕ（0＜ϕ＜2π）个单位后的图象的解析式为)sin(ϕπ232-+=x y ．已知平移后图像关于y 轴对称，所以z k ∈⋅+=,21)2k (2-3πϕπ．又因0＜ϕ＜2π，所以当k=-1时512πφ=．故选D ．考点：图像平移及由函数性质求参数值．7．D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图：四棱锥的一个侧面SAB 与底面ABCD 垂直，过S 作SO AB ⊥ ，垂足为O ，SO ∴⊥底面22ABCD SO ，=⨯底面为边长为2的正方形，∴几何体的体积1223V =⨯⨯= 故选D ． 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的几何特征及数据所对应的几何量是关键．8．A【解析】试题分析：由cos （A －B ）cosB －sin （A －B ）sin （A ＋C ）＝35，得53=A cos 54=∴A sin ,．又正弦定理得，21=B sin ，解得6π=B 或65π．因为a ＝4，b ＝52，所以B A b a >∴>,，则6π=B ．故选A ．考点：运用正弦定理解三角形．9．C【解析】试题分析：如下图所示，易知圆心在'OO ，假设圆心是点E ，半径为r ，则在三角形OBE 中，由勾股定理得，222236)()(+-=r r ，解得29=r ，则ππ8142==r s ．故选C ．考点：多面体与球的外接问题．10．D【解析】试题分析：构造函数)(,ln )(0>-=x x x x f ，则xx x f 1-=)('，可得函数在区间),(10上单调递减，在区间),(+∞1上单调递增．显然121210<<<<e e e ，所以)()()(e f e f e f 2121<<，即b a c >>．故选D ．考点：单调性比大小．【方法点睛】构造函数法并利用函数单调性比大小．首先题目中a ，b ，c 的形式可启发我们构造函数)(,ln )(0>-=x x x x f ，然后求出导函数，并判断其单调性．显然变量均在均在区间（0，1）内，从而利用函数的单调性比大小．构造函数法的难点是如何构造函数，希望同学们多观察多总结多感悟，一定能突破这一难关．11．D【解析】考点：简单线性规划．专题：常规题型．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=ax+2y ，再利用z 的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y 过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a 的取值范围即可．解答：解：可行域为△ABC ，如图，当a=0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax+2y-z=0的斜率k=-a 2＞k AC =-1，a ＜2． 当a ＜0时，k=-a 2＜k AB =2 a ＞-4．综合得-4＜a ＜2，故选D ．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．12．B【解析】试题分析：易知点A 、B 是双曲线的两个顶点，从而可得2b -42AB =．又因20<<b ，所以2244421222=≤-=-==∆)(b b b b b AB s C B A ，当且仅当2=b 时取得最大值．故选B ．考点：均值不等式求最值．【方法点睛】均值不等式（),(002>>≥+b a ab b a ）求最值：①使用条件“一正、二定、三相等”．"一正"是指00>>b a ,；“二定”是指a 与b 的和为定值或积为定值；“三相等”等号成立的条件成立．②灵活运用题中已知，创造使用条件．例如．本题中将面积的变形)(2224421b b b b b AB s C B A -=-==∆，即创造出和为定值，从而使用均值不等式求最值．③当形式上看似能用均值不等式求最值，但等号成立的条件不成立，则应利用函数的单调性求最值．13．2【解析】试题分析：24121=+=e ． 考点：求双曲线的离心率． 14．【解析】试题分析：从{1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数m,n(m >n)，基本事件总数n =C 62=15，其中nm ，能够约分，包含的基本事件有：{4，2}，{6，2}，{6，4}，{6，3}，即m=4，∴n m能够约分的概率p =m n=415．考点：古典概型及其概率计算公式 15．2 【解析】试题分析：将143a =-代入递推公式求出-3=3a ，再将3a 代入递推公式得，215-=a ，同理继续代入得到，27=a ． 考点：由递推公式求数列的项．【思路点睛】由递推公式求数列的项，如果求项数比较小的项时，可以依次代入得到结果即可，如本题．如果求项数比较大的项时，一般两种思路：①看是否有周期性；②由递推公式求出数列的通项公式，然后再求解．注：应掌握几种常见的递推公式求通项公式的类型和方法． 16．4 【解析】试题分析：设2-+=x xx x x g ln )(，所以不等式)()2(x f x k <-对任意2>x 恒成立⇔2-+<x x x x k ln 对任意2>x 恒成立⇔min )(x g k <．接下来求函数2-+=x xx x x g ln )(在2>x 上的最小值．可得，2242)(ln )('---=x x x x g ，设其同号函数42--=x x x h ln )(，则02>-=xx x h )('，即函数)(x h 在），（∞+2上单调递增，验证知存在),(980∈x 使00=)(x h 即0024x x ln =-…①，所以在区间），（0x 2函数)(x h 0<即0<)('x g 也即此时函数)(x g 单调递减，在区间),(+∞0x 上0>)(x h 即0>)('x g 也即此时函数)(x g 单调递增，所以由①得，222000000000x x x x x x x x x x g x g =-⋅+=-+==24-ln )()(min ),(294∈，所以20xx g k =<min )(),(294∈．又因z k ∈，所以k 的最大之为4．考点：由不等式恒成立求参数范围．【方法点睛】在不等式恒成立条件下，求参数范围问题的解法：在不等式恒成立条件下，求参数范围，一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数的形式．其中对于不等式验证区间端点成立的情形，一般采用不分离参数法．（1）若函数)(x f 在区间D 上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，则：①不等式)(x f a <在区间D 上恒成立min )(x f a <⇔；②不等式)(x f a ≤在区间D 上恒成立min )(x f a ≤⇔；③不等式)(x f b >在区间D 上恒成立max )(x f b >⇔；④不等式)(x f b ≥在区间D 上恒成立max )(x f b ≥⇔．（2）若函数)(x f 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为（m ，n ），则：①不等式)(x f b >（或)(x f b ≥）在区间D 上恒成立b n ≤⇔；②不等式)(x f a <（或)(x f a ≤）在区间D 上恒成立m a ≤⇔． 17．（1）12+=n b n ； （2）96+=n nT n ．【解析】试题分析：（1）已知数列前n 项和n s ，求通项公式的步骤：①求当2≥n 时，1--=n n n s s b ；②当1=n 时，11s b =；③验证1=n 是否满足2≥n 时的解析式，总结答案；（2）由通项公式的特征，运用裂项法求和即可．试题解析：（1）当2≥n 时，1--=n n n s s b 12+=n ； 当1=n 时，311==s b ，同样适合上式， 所以数列的通项公式为12+=n b n ．（2）由（1）得 ，)())((321121213212111+-+=++=+n n n n b b n n ， )()]()()[(32131213211217151513121+-=+-+++-+-=n n n T n 96+=n n 考点：①求数列通项公式；②裂项法求数列的前n 项和． 18．（1）0.9；（2）0.085a =，0.125b =；（3）第4组. 【解析】试题分析：（1）由频率分布表知，100人中有10人阅读时间不少于12小时，所以由对立事件的概率计算公式得p=；（2）由频率分表知，阅读时间在[4，6）的共17人，所以样本落在该组的概率为0．17，则频率分布直方图中样本落在[4，6）的小矩形的面积为0．17，从而求出矩形的高即a 的值，同理得到b 的值；（3）可以通过频率分布表或频率分布直方图求出平均数即可知平均数在那一组．试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是；（2）课外阅读时间落在[4，6）的有17人，频率为0．17，所以， 课外阅读时间落在[8，10）的有25人，频率为0．25，所以，（3）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． 考点：频率分布表和频率分布直方图的应用．【方法点睛】频率分布直方图的几个常用结论：（1）所有小矩形的面积和为1；（2）小矩形的高等于样本落在该组的概率除以组距；（3）最高的小矩形的所在组的区间的中点值即为众数；（4）每个组的区间中点值乘以所在组的概率之和即为平均数；（4）样本取值m ，两侧的样本数据的概率相等且为，则m 即为中位数．19．（Ⅰ）、（Ⅱ）证明过程详见解析；（Ⅲ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）取AC 中点G ，连结FG 、BG ，可知四边形EFBG 是矩形，所以得到EF ∥BG ，从而由直线与平面平行的判定方法得证；（Ⅱ）易证明BG ⊥面ADC ，从而由平面与平面垂直的判定方法即可证明；（Ⅲ）由第二问的证明知，将四棱锥分为两个小三棱锥求解比较容易，即．当然直接按照四棱锥的体积公式求解也可．试题解析：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG∥CD，且FG=DC="1" ．∵BE∥CD ∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．∴∥面（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC又∵DC⊥面ABC，BG面ABC ∴DC⊥BG∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，∴BG⊥面ADC ．∵EF∥BG ∴EF⊥面ADC∵EF面ADE，∴面ADE⊥面ADC ．（Ⅲ）连结EC，该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和E－ADC ．．考点：①直线与平面平行的判定；②平面与平面垂直的判定；③求几何体的体积．20．（1）x2=4y；（2）a+b=-1．【解析】试题分析：（1）直线方程与抛物线方程联立求解即可求出点N的坐标，然后由两点间的距离公式即可用参数p表示出ON的长，从而求出p的值，进而求出抛物线方程；（2）设直线l 的方程为y=kx+1，并与抛物线方程联立求解，利用韦达定理表示出A、B点的坐标关系，同时求出点M 的坐标，然后利用MA aAF =得到参数a 与k 的关系，同理得到b 与k 的关系，最后用k 将a+b 表示出来，整理即知结论．试题解析：（1）联立方程2y x,x 2py,=⎧⎨=⎩得x 2-2px=0，故O （0，0），N （2p ，2p ）， 所以|ON|=224p 4p 22p,+=由22p=42，得p=2， 所以抛物线C 的方程为x 2=4y ．（2）显然直线l 的斜率一定存在且不等于零，设其方程为y=kx+1，则直线l 与x 轴交点为1M(,0),k- 7分设点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2），由2y kx 1,x 4y,=+⎧⎨=⎩得x 2-4kx-4=0， 所以Δ=（4k ）2-（-16）=16（k 2+1）>0， 所以x 1+x 2=4k ，x 1·x 2=-4． 由=a，得111(x ,y )k+=a （-x 1，1-y 1）， 所以1111y kx 1a ,1y kx +==--同理可得22kx 1b .kx +=- 所以=+b a 12211212kx 1kx 1x x ()(2)1,kx kx kx x +++-+=-+=- 考点：①求抛物线方程；②求是否为定值问题．【方法点睛】1．求抛物线的标准方程，只需找到一个等量关系即可．2．方程直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于x （或y ）的一元二次方程，设出交点坐标A （11y x ,）、B （22y x ,），利用韦达定理得出坐标的关系，同时注意判别式大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解．如本题1111y kx 1a ,1y kx +==--从而得到=+b a 12211212kx 1kx 1x x ()(2)kx kx kx x +++-+=-+，然后由韦达定理即可知道结论．注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用． 21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）321932m -<<-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）对()f x 求导，1()f x a x'=-，分0a >，0a <两种情况写出函数的单调区间； （Ⅱ）对函数()g x 求导得2()3(2)1g x x m a x =++-'，根据()g x 在区间(,3)a 上有最值，得到()g x 在区间(,3)a 上总不是单调函数，从而得到()0(0)1(3)0g a g g '<⎧'=-∴⎨'>⎩，另由对任意[1a ∈，2]，g '（a ）223(2)?1510a m a a a ma =++-=+-<恒成立，分离参数即可求得实数m 的取值范围． 【详解】解：（Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()f x a x'=-， 当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a ，减区间为1(,)a+∞； 当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间；（Ⅱ）2332()[2()]()22x mg x x m f x x a x x =+-++'=-，2()3(2)1g x x m a x ∴=++-'， ()g x 在区间(,3)a 上有最值，()g x ∴在区间(,3)a 上总不是单调函数，又()0(0)1(3)0g a g g <⎧=-∴⎨>'''⎩由题意知：对任意[1a ∈，2]，g '（a ）223(2)?1510a m a a a ma =++-=+-<恒成立，∴21515a m a a a-<=-，因为[1a ∈，2]，所以∴192m <-，对任意[1a ∈，2]，g '（3）32660m a =++>恒成立，∴323m >-∴321932m -<<-【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，体现了对分类讨论和化归转化数学思想的考查，特别是问题()II 的设置很好的考查学生对题意的理解与转化，创造性的分析问题、解决问题的能力和计算能力． 22．（1）BD=9；（2）证明过程详见解析．【解析】试题分析：（1）由题意可证得ΔOBD ∽ ΔAOC ，得对应边成比例，由此可求得BD 的值；（2）利用对边相等可证明底角相等.试题解析：（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ． ∵∠BOD =∠A ，∴ΔOBD ∽ ΔAOC ，∴BDOC =OD AC，∵OC =OD =6,AC =4，∴BD 6=64，∴BD =9．（2）∵OC =OE,CE ⊥OD ，∴∠COD =∠BOD =∠A ．∴∠AOD =1800−∠A −∠ODC =1800−∠COD −∠OCD =∠ADO ． ∴AD =AO ． 考点：三角形相似.23．（1）曲线1C 的普通方程为：，曲线2C 的直角坐标方程为:08=-+y x ；（2【解析】试题分析：（1）利用y x y x ==+=θρθρρsin ,cos ,222，即可将极坐标方程化为平面直角坐标系方程；消去参数α即可将曲线1C 的的参数方程化为普通方程；（2）设点P 的坐标为，然后由点到直线的距离公式得到试题解析：（1）由曲线1C ：即：曲线1C 的普通方程为：由曲线2C ：即：曲线2C 的直角坐标方程为:08=-+y x （2）由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点，到直线08=-+y x 的距离为时，d 的最小值为考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离． 24．（1（2）{2|}x x ≤- 【解析】试题分析：（1）当2m =()1f x ≤可得 ①12241x x x ≥-+≤⎧⎨⎩，或 ② 12241x x x <-+≤⎧⎨⎩，分别求出①②的解集，再取并集，即得所求．（2），可得连续函数()f x 在R 上是增函数，故有()22f -=，分当m 的值，即为所求． 试题解析：（1）当2m =()1f x ≤可得 ①12241x x x ≥-+≤⎧⎨⎩，或② 12241x x x <-+≤⎧⎨⎩．解①可得x ∈∅，解②可得（2，连续函数()f x 在R 上是增函数，由于()2f x ≤的解集为{2|}x x ≤-，故()22f -=，时，有()222m ⨯-+=，解得6m =． 时，则有()622m ⨯--=，解得 14m =-． 综上可得，当6m =或14m =-时，f （x ）≤2的解集为{2|}x x ≤-． 考点：解绝对值不等式．。
赤峰二中2021级高三年级第三次月考数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题: 本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，B=，则( )A. B. C. D.2.若，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的（）A. 充分没必要要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也没必要要条件3.为了规定工时定额，需要肯定加工零件所花费的时间，为此进行了5次实验，取得5组数据：，，，，.按照搜集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则的值为（）A. 75B. 155.4C. 375D. 466.24.中国古代数学高作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每一个月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为（）A. 35B. 65C. 70D. 605.已知实数知足，则的最大值为（）A. B. C.2 D.46.若双曲线的一条渐近线方程为，则的值为（）A. B. C. D.7.函数的图像在点处的切线斜率的最小值是（）A.1B.C.2D.8.如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）A. B.0 C. D.10.已知中，，P为线段AC上任意一点，则的范围是（）A. [1，4]B. [0,4]C. [－2,4]D.11.已知，是椭圆和双曲线的公共核心，P是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率别离为，，则，的关系为（）A. B. C. D.12.已知概念在上的函数知足，当时，，其中，若方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知展开式中所有项的系数的和为243，则该展开式中含项的系数为__________．14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长边长是15.抛物线（）的核心为，已知点，为抛物线上的两个动点，且知足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为__________．16.已知数列知足：，记为的前项和，则__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17.己知别离为三个内角A，B，C的对边，且．（1）求角A的大小；（2）若b+c=5，且的面积为，求a的值．18.为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念，电话APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，杨老师的微信朋友圈内有600位老友参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信老友(女20人，男20人)，统计其在某一天的走路步数，其中，女性老友的走路步数数据记录如下：5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 98608753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980男性老友走路的步数情况可分为五个类别：(说明：“”表示大于等于0，小于等于2000，下同)，，，，，且，，三种类他人数比例为，将统计结果绘制如图所示的条形图，若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型”，不然被系统认定为“进步型”.（1）若以杨老师选取的老友当天行走步数的频率散布来估量所有微信老友每日走路步数的概率散布，请估量杨老师的微信老友圈里参与“微信运动”的600名老友中，天天走路步数在5001～10000步的人数；（2）请按照选取的样本数据完成下面的列联表并据此判断可否有95%以上的把握认定“类型”与“性别”有关？卫健型进步型总计男20女20总计40（3）若按系统认定类型从选取的样本数据中在男性老友中按比例选取10人，再从中任意选取3人，记选到“卫健型”的人数为，女性老友中按比例选取5人，再从中任意选取2人，记选到“卫健型”的人数为，求事件“”的概率.附：，19.如图1,在正方形中，是的中点，点在线段上,且.若将,别离沿折起，使两点重合于点,如图2.(1)求证: 平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值20.已知椭圆：（）的短轴长为2，且椭圆的极点在圆：上. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的上核心作彼此垂直的两条弦、，求的最小值.21.已知函数(e为自然对数的底数)．（1）若的单调性；（2）若，函数内存在零点，求实数a的取值范围．请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数，).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴成立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.23.已知概念在上的函数，且恒成立.（1）求实数的值；（2）若，求证：.赤峰二中2021级高三年级第三次月考数学试题（理科）参考答案1.A2.C3.C4.C5.B6.A7.B8.D9.B 10.D 11.C 12.B13.20 14. 15.1 16.44017.（Ⅰ）由正弦定理得，，∵，∴，即．∵∴，∴∴．（Ⅱ）由：可得∴，∵，∴由余弦定理得：，∴.18.(1)在样本数据中，男性老友类别设为人，则由题意可知…，可知，故类别有2人，类别有6人，类别有8人，走路步数在5001～10000步的包括，两类别共计9人；女性老友走路步数在5001～10001步共有16人.用样本数据估量所有微信老友每日走路频数的概率散布，则：人.(2)按照题意选取的40个样本数据的列联表为：卫健型进步型总计男14 6 20女8 12 20总计22 18 40得：，故没有95%以上的把握以为“认定类型”与“性别”有关.(3)在男性老友中“卫健型”与“进步型”的比例为，则选取10人，恰好选取“卫健型”7人，“进步型”3人；在女性老友中“卫健型”与“进步型”的比例为，选取5人，恰好选取“卫健型”2人，“进步型”3人；“”包括“，”，“，”，“，”，“，”，,，，，故.19.（1）证明：设正方形的边长为4，由图1知,,,,,,即由题意知，在图2中，,,平面,平面,且,平面,平面,.又平面,平面,且,平面（2）解：由（1）知平面，则成立如图所示空间直角坐标系，过点作，垂足为，在中，,,从而,,,,,.设平面的一个法向量为，则，令，则，，.设直线与平面所成角为,则,.直线与平面所成角的正弦值为20.（Ⅰ）由题意可得，所以.椭圆的极点在圆：上，所以.故椭圆的方程为.（Ⅱ）当直线的斜率不存在或为零时，.当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，由得，设，，由根与系数的关系，得，，所以，同理可得，所以.令，则，，而，所以，综上，，故的最小值为.21.（I）概念域为故则(1)若，则在上单调递减；(2)若，令.①当时，则，因此在上恒有，即在上单调递减；②当时，，因此在上有，在上有；因此在上单调递减，在单调递增.综上，(1)当时，在上单调递减；(2)当时，在上单调递减，在单调递增．（Ⅱ）设,，设，则．(1)若,在单调递减，故此时函数无零点，不合题意.(2)若,①当时，，由（1）知对任意恒成立，故，对任意恒成立，②当时,，因此当时必有零点，记第一个零点为，当时，单调递增，.由①②可知，当时，必存在零点.(2)当，考察函数，由于在上必存在零点.设在的第一个零点为，则当时，，故在上为减函数，又，所以当时，，从而在上单调递减，故当时恒有.即，令，则在单调递减，在单调递增.即注意到，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数在上有零点，符合题意.综上可知，的取值范围是.22.(1)由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则到直线的距离，当，即时，，故点到直线的距离的最大值为.(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方，，恒成立，即（其中）恒成立，，又，解得，故取值范围为.23.（1）,要使恒成立，则，解得.又，.（2），即，当且仅当，即时取等号，故.。
