下载文档原格式
奇数和偶数内容精要整数可以分为奇数和偶数两大类。
能被2整除的数叫作偶数，不能被2整除的数叫作奇数。
偶数通常用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
因为0可以被2整除，所以0是偶数。
自然数是按一奇一偶顺序排列的，两个连续的自然数必定是一奇一偶。
如果n是一奇数，那么n-1与n+1都是偶数。
如果n是一偶数，那么n-1与n+1都是奇数。
相邻两数的和一定是奇数，积一定是偶数。
奇数和和偶数的运算性质：1.奇数±奇数＝偶数；奇数±偶数＝奇数偶数±偶数＝偶数；偶数±奇数＝奇数2.奇数个奇数的和（或差）为奇数，偶数个奇数的和（或差）为偶数。
任意多个偶数的和（或差）为偶数。
3.奇数×奇数＝奇数；偶数×偶数＝偶数；奇数×偶数＝偶数。
4.若干个数相乘，其中一个因数为偶数，则积为偶数。
如果所有的因数都是奇数，则积为奇数。
5.在整除的前提下，奇数不能被偶数整除，一个奇数如果能被某个奇数整除，其商必是奇数。
偶数若能被奇数整除，其商必是偶数。
偶数若能被偶数整除，其商可能是偶数，也可能是奇数。
6.偶数的的平方能被4整除，奇数的被4除余1.灵活运用以上这些性质，可以巧妙地解决许多有趣的问题。
例1.1+2+3+…+2003的和是奇数，还是偶数？例2.1111111111和999999999的乘积中有多少个数字为奇数？例3.有一文章共15篇，各篇文章的页数分别是1页，2页，3页，…，14页，15页的稿纸。
如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页的文章有多少篇？例4.算式1×2＋3×4＋5×6＋…＋99×100的得数是奇数还是偶数？例5.有一列数1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
那么在前1000个数中，有多少个奇数？例6.新年前夕，同学们相互送贺卡，每人只要接到别人赠送的贺卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺卡的人数是偶数还是奇数？为什么？例7.把3988张卡片分成两组，每组1999张，在每组1999张上分别写上1、2、3、……、1999，每次从两组中任意抽取两张，共得到1999对卡片，计算每对卡片上两个数的和，那么这1999个和的积是奇数还是偶数？例8.有7个杯口全部向上的杯子，每次将其中4个同时“翻转”。
偶数和奇数的区分数学中，我们常常会遇到偶数和奇数这两个概念。
偶数和奇数是整数的一种分类，用于表示一个数能否被2整除。
这两个概念不仅在我们的日常生活中，并且在其他领域中也有着广泛的应用。
本文将介绍偶数和奇数的概念及其特点，并探讨它们在不同领域的应用。
1. 偶数和奇数的定义及特点偶数定义：能够被2整除的数字称为偶数。
简单来说，偶数就是2的倍数，可以用公式表示为：偶数 = 2 ×自然数。
（自然数为0、1、2、3...）奇数定义：不能被2整除的数字称为奇数。
换句话说，奇数不是2的倍数，可以用公式表示为：奇数 = 2 ×自然数 + 1。
该区分的特点如下：- 奇数和偶数是它们之间的相对概念，即一个数是偶数，那么它就不是奇数；反之亦然。
- 0是唯一一个既是偶数又是奇数的数。
因为0能被2整除，所以它是偶数；同时，0不是2的倍数，也不是奇数。
- 任何一个整数都可以用奇数和偶数的和来表示。
例如，偶数加偶数得偶数，偶数加奇数、奇数加奇数均为奇数。
但奇数加偶数的结果是奇数。
2. 偶数和奇数在数学中的应用在数学中，偶数和奇数有许多重要的应用，其中包括：- 素数判断：除了数字2之外，所有的素数都是奇数。
因为除了1和自身之外，素数没有其他因子，而偶数都能被2整除。
- 数字运算：偶数和奇数的加减乘除有一些特殊的规律。
例如，偶数相加得到的结果仍然是偶数，偶数和奇数相乘得到的结果是偶数，但奇数相乘则得到奇数。
3. 偶数和奇数在计算机科学中的应用在计算机科学中，偶数和奇数也有着广泛的应用，例如：- 数字存储：计算机中使用二进制来表示数字，而最低位的二进制位决定了一个数的奇偶性。
如果最低位是0，那么这个数就是偶数；反之，如果最低位是1，则是奇数。
- 循环和分组：在编程中，经常会用到循环和分组操作。
例如，可以通过判断一个数的奇偶性来实现循环或将数据分组。
4. 偶数和奇数在生活中的应用除了在数学和计算机科学中的应用外，偶数和奇数在日常生活中也具有一定的意义：- 偶数和奇数的分配：在一些社交、抽奖或分组活动中，我们经常会采用奇偶数的方式进行分组，以便平均分配资源或者确保公平性。
25的倍数的特征教案人教版这是25的倍数的特征教案人教版，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。
25的倍数的特征教案人教版第1篇教学内容：2、5倍数的特征（P17~18及P20题1～3）教学目标：①让学生通过探索2、5倍数的特征过程，掌握2、5倍数的特征，并会正确的判断一个数是否是2、5的倍数。
②使学生知道奇数、偶数的意义，会判断一个数是奇数还是偶数。
③培养学生观察与分析能力，提高学生的思维水平。
教学重点：掌握2、5倍数的特征，理解奇数、偶数的概念。
教学过程：一、课前预习：自学内容 P17—18 做一做，P20的T1-31、什么叫偶数和奇数？举5个例子2、2的倍数有什么特点？举例说明3、5的倍数有什么特点？举例说明3、哪些数既是2的倍数又是5的倍数？尝试练习1、试着完成P18的做一做练习2、判断下列数哪些是2的倍数，哪些是5的倍数？你发现了什么？120 14 36 15 2024 25 40 50 86二、汇报展示：（一）导入1、请你说出因数与倍数的含义。
2、判断谁是谁的倍数？谁是谁的因数？（1）12和6 （2）28和7 （3）13和1（二）教学实施1．学习2的倍数的特征。
（1）反馈主题图。
提问：从这幅图中，你看到了什么？拿座号是多少的同学应该从双号入口进？（学生自由地说）（2）提问：先让学生自己去观察2的倍数，看他们有什么特征。
如观察有困难，可作提示：看他们的个位有什么特征。
（3）让学生反馈观察的特征。
（板书在黑板上）如：2＝1×24＝2×26＝3×28＝4×210＝5×2……（4）它们的个位数都有什么特点？（个位是0、2、4、6、8）个位是0、2、4、6、8的数都是2的倍数吗？学生口答后老师板书：个位上是 0，2，4，6，8的数，都是2的倍数。
检验：让学生说出几个较大的数对观察的结果进行检验看是否正确。
2．教学奇数和偶数的概念（1）提问：自然数中，2的倍数有多少个？教师：自然数中，是2的倍数的数，我们称它为偶数。
第五讲奇数和偶数一、基础知识整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.1.代数式中的奇偶问题例1. （★★）一个奇数的完全平方数先减去1再除以4，得到的是一个奇数还是一个偶数，请说明理由.【解】设这个奇数是2n+1,那么它的平方减1再除以4以后得n(n+1),连续2个整数必然是1个奇数1个偶数，那么乘积一定是偶数.例2（★★第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□□÷□＝□.【解】因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.例3 (★★第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数【解】由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x 也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）例4.(★★)在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.【解】因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数.例5. (★★)黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？（【解】开始是一奇数一个偶数，根据规则变成的新数是奇数*偶数+奇数+偶数，仍然是一个奇数，此时我们有2个奇数，一个偶数，如果还用奇数和偶数来进行运算的话我们新添的仍然是奇数，若用2个奇数进行运算，则新添的数是奇数*奇数+奇数+奇数，仍然是奇数。
《2、5倍数的特征》教学设计《2、5倍数的特征》教学设计1教学重点：掌握2、5倍数的特征及奇数、偶数的概念。
教学难点：灵活运用2、5倍数的特征进行综合判断。
教材分析：本节课内容是在学生学习了因数、倍数概念的根底上进行教学的，它不仅是求最大公因数、最小公倍数的重要根底，也是以后学习约分和通分的必要前提。
因此，熟练掌握2、5的倍数特征，对于本单元的学习具有十分重要的意义。
教学过程：一、创设情境，引出课题同学们，自从开展大课间活动以来，东关小学举办了多种活动〔课件出示照片〕，“每天锻炼一小时，健康学习一整天”，这就是我们的切身体会。
〔1〕请你说一说图中有哪些数学信息？生：跳交谊舞的2人一组，跳圆圈舞的5人一组，叠罗汉的3人一组。
〔2〕下周学校要举行比赛，如果让你选派人数，每项活动可以选派多少人？得出：跳交谊舞的人数都是2的倍数。
跳圆圈舞的人数都是5的倍数。
叠罗汉的人数是3的倍数。
〔板书〕小结：看来，无论选什么工程，我们所选派的人都应该是2、5、3的倍数。
今天我们研究的是2和5的倍数。
〔板书：2、5的倍数的特征〕二、合作探究：〔一〕、探索5的倍数的特征1、师：在自然数中，5的倍数有多少个？〔无数个〕我们不可能研究所有5的倍数，怎么办呢？那我们就先来研究100以内的5的倍数有什么特征吧！2、出示百数表：〔1〕、在百数表中用“△”圈出5的倍数。
〔2〕、观察5的倍数，你有什么发现？将你的发现在小组中交流。
〔四人小组，在组内交流并讨论〕学生汇报：板书：〔5的倍数：个位上的数是5或0〕〔3〕师：你们都发现了5的倍数与个位有关，那么与十位有没有关系？〔4〕举例验证。
〔5〕刚刚我们研究的是100以内5的倍数的特征，那100以上5的倍数也有这样的特征吗？谁能报一个数我们来试一试。
254是5的倍数吗？过渡：100以内个位上是0或5的数就是5的倍数，100以上的数也是一样。
〔6〕现在你能对5的倍数的特征下一个结论吗？过渡：知道5的倍数的特征你能快速判断一个数是不是5的倍数吗？〔7〕、出示卡片： 271、375、240、2357 64300这是5的倍数吗？〔学生判断，说明理由。
奇数偶数质数合数知识点归纳
奇数：奇数是指不能被2整除的整数，例如1、3、5、7等。
奇数的特点是个位数是1、3、5、7、9。
偶数：偶数是指能够被2整除的整数，例如2、4、6、8等。
偶数的特点是个位数是0、2、4、6、8。
质数：质数是指大于1且只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5、7等。
质数的特点是除了1和它本身以外没有其他因数。
合数：合数是指除了1和自身以外还有其他因数的正整数，例如4、6、8、9等。
合数的特点是除了1和它本身以外还有其他因数。
奇数是指不能被2整除的整数，偶数是指能够被2整除的整数，质数是只能被1和自身整除的正整数，合数是除了1和自身还有其他因数的正整数。
人教版数学五年级下册第３课２５的倍数的特征说课稿３篇〖人教版数学五年级下册第3课25的倍数的特征说课稿第【1】篇〗【教学内容】北师大版五年级数学上册第三单元第33页内容：《探索活动：2、5的倍数的特征》。
【教学目标】1.经历探索2、5的倍数的特征的过程，理解2、5的倍数的特征，能判断一个数是否为2或5的倍数。
2.了解奇数、偶数的含义，能判断一个非零自然数是奇数或偶数。
3.在观察、猜测和讨论过程中发展探索问题和解决问题的能力。
【教学重点】自主探究和发现2、5的倍数的特征。
【教学难点】灵活运用2、5的倍数的特点以及奇偶数概念进行综合判断。
【教具学具】多媒体课件、百数表、实物投影仪等。
【教学过程】一、复习1.根据乘法或除法算式说说：谁是谁的倍数谁是谁的因数。
6×12=7246÷2=2365×5=32585÷5=172.在30秒内写出5的倍数，看谁写得快又多。
师：能写完吗？为什么？理解：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
二、新授（一）在百数表中圈出5的倍数师启发：怎样写就不重不漏？（有序思考，按顺序写。
）（二）探索5的倍数的特征1.观察5的倍数，同桌讨论：它们有什么特征？（1）交流汇报；（2）举例验证；（3）得出结论：个位上是0或5的数是5的倍数。
2.师小结：我们既可以用乘法验证一个数是不是5的倍数，也能用除法来验证一个数是否是5的倍数。
3.练习：快速判断以下各数是否是5的倍数。
2455628502021（三）探索2的倍数的特征1.四人小组合作，利用百数表圈出2的倍数，观察：它们有什么特征？2.小组交流汇报。
3.验证得出结论：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数。
（四）认识奇偶数1.小组同学自学：什么是奇数，什么是偶数？2.代表发言，师板书：像2，4，6，8，…这样的数，是2的倍数，也叫偶数。
像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，也叫奇数。
§25奇数偶数将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m （m ∈Z ），任一奇数可表为2m+1或2m －1的形式.奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）奇数的平方都可表为8m +1形式，偶数的平方都可表为8m 或8m +4的形式（m ∈Z ）.（3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m2=的形式，其中m 为非负整数，l 为奇数. 这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题. 例题讲解1．下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□，□÷□＝□.2．已知n 是偶数，m 是奇数，方程组⎩⎨⎧=+=-m y x n y x 27111988的解⎩⎨⎧==qy p x 是整数，那么( )（A ）p 、q 都是偶数. （B ）p 、q 都是奇数.（C ）p 是偶数，q 是奇数 （D ）p 是奇数，q 是偶数3．在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.4．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？5．设a 、b 是自然数，且有关系式123456789=（11111+a ）（11111-b ）， ① 证明a-b 是4的倍数.6．在3×3的正方格（a ）和（b ）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.a7．设正整数d 不等于2，5，13.证明在集合｛2，5，13，d ｝中可以找到两个元素a ,b ，使得a b －1不是完全平方数.8．设a 、b 、c 、d 为奇数，bc ad d c b a =<<<<并且,0，证明：如果a +d =2k ，b+c=2m ，bk,m 为整数，那么a =1.9．设n a a a ,,,21 是一组数，它们中的每一个都取1或－1，而且a 1a 2a 3a 4+a 2a 3a 4a 5+…+a n a 1a 2a 3=0，证明：n 必须是4的倍数.课后练习1.填空题（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的多18，这五个偶数之和是____.（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？答____.2.选择题（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（）①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（2）若n是大于1的整数，则的值（）.（A）一定是偶数（B）必然是非零偶数（C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数（3）已知关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（）（A）不能确定奇数还是偶数（B）必然是非零偶数（C）必然是奇数（D）必然是零3.试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.7.一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.8.试证：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次幂整除.课后练习答案１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．（３）不能．２．Ｂ．Ｂ．Ａ３．１１９８６是奇数１，９１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，故最后为偶数．４．仿例５１２０３４６５８７９．５．设ａ１，ａ２，…，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０①ａ１·ａ２……ａｎ＝ｎ②。
假如ｎ为奇数，由②，所有ａｉ皆为奇数，但奇数个奇数之和为奇数，故这时①不成立，可见ｎ只能为偶数．由于ｎ为偶数，由②知ａｉ中必有一个偶数，由①知ａｉ中必有另一个偶数．于是ａｉ中必有两个偶数，因而由②知ｎ必能被４整除．６．设小三角形的个数为ｋ，则ｋ个小三角形共有３ｋ条边，减去ｎ边形的ｎ条边及重复计算的边数扣共有（３ｋ＋ｎ）条线段，显然只有当ｋ与ｎ有相同的奇偶性时，（３ｋ－ｎ）才是整数．７．设这个四位数是由于１≤ａ＜ｄ，ｄ是奇数所以ｄ≥３于是ｃ＝２（ａ＋ｄ）≥８，即ｃ＝８或ｃ＝９．因ｃ是偶数，所以ｃ＝８，由此得ａ＝１，ｄ＝３．又因ｂ＞ｃ，所以ｂ＝９因此该数为１９８３．８．当ｎ为奇数时，考虑（４－１）ｎ＋１的展开式；当ｎ为偶数时，考虑（２＋１）ｎ＋１的展开式．例题答案：1. 解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.2.分析 由于1988y 是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y ，所以p 是偶数，将其代入第二方程中，于是11x 也为偶数，从而27y=m-11x 为奇数，所以是y=q 奇数，应选（C ）)7(mod 0)7)(mod 1132(1173732721)122327()11047(3)197(21156257293642=+++=++⋅++⋅⋅++⋅⋅=++⋅++⋅⋅++⋅⋅=++⋅+⋅=C B A k k k k k k,,0Z k k ∈≥∀∴且对于153261616+++++k k k 都能被7整除；注：+∈≡⇒≡Z k b a b a k ),(mod 1)(mod 13.分析 因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+ (1992)=996×1993为偶数 于是题设的代数和应为偶数. 4.解 设70个数依次为a 1,a 2,a 3据题意有a 1=0, 偶a 2=1 奇a 3=3a 2-a 1, 奇a 4=3a 3-a2, 偶a 5=3a 4-a3, 奇a 6=3a 5-a4, 奇………………由此可知：当n 被3除余1时，a n 是偶数；当n 被3除余0时，或余2时，a n 是奇数，显然a 70是3k+1型偶数，所以k 必须是奇数，令k=2n+1，则a 70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.5.证明 由①式可知11111（a-b ）=ab+4×617 ② ∵a＞0,b ＞0,∴a -b ＞0首先，易知a-b 是偶数，否则11111(a-b)是奇数，从而知ab 是奇数，进而知a 、b 都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式①矛盾其次，从a-b 是偶数，根据②可知ab 是偶数，进而易知a 、b 皆为偶数，从而ab+4×617是4的倍数，由②知a-b 是4的倍数.6. 解 按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个.表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.7. 解 由于2×5－1=32，2×13－1=52，5×13－1=82，因此，只需证明2d －1，5d －1，13d －1中至少有一个不是完全平方数.用反证法，假设它们都是完全平方数，令2d －1=x 2 ①5d －1=y 2 ②13d －1=z 2 ③x,y,z ∈N *由①知，x 是奇数，设x =2k －1，于是2d －1=（2k －1）2，即d =2k 2－2k+1，这说 明d 也是奇数.因此，再由②，③知，y,z 均是偶数.设y=2m ,z =2n ,代入③、④，相减，除以4得，2d =n 2－m 2=(n+m)(n －m)，从而n 2－m 2为偶数，n ，m 必同是偶数，于是m+n 与m －n 都是偶数，这样2d 就是4的倍数，即d 为偶数，这与上述d 为奇数矛盾.故命题得证.8.首先易证：.22m k >从而ad d a d a c b a d m k 4)()(,(22+-=+->->于是因为22)(4)(c b bc c b +=+->.再由,222,2,22a b a b b c a d bc ad k m m k -=⋅-⋅-=-==可得 因而))(()2(2a b a b a b m k m -+=⋅-- ①显然，a b a b -+,为偶数，a b m k --2为奇数，并且a b a b -+和只能一个为4n 型 偶数，一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数，然而它们的差等于2a 不是4 的倍数），因此,如果设f e a b m k ⋅=--2，其中e,f 为奇数，那么由①式及a b a b -+,的特性就有（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21f a b e a b m 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21e a b f a b m 由f a b a b a b ef m k 222≤-<-≤-=- 得e=1，从而.2a b f m k --=于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分别变为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+--)2(2,21a b a b a b m k m 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--12),2(2m m k a b a b a b 解之，得1122-+-=⋅m m k a .因a 为奇数，故只能a =1.9.证明:由于每个i a 均为1和－1，从而题中所给的等式中每一项321+++i i i i a a a a 也只取1或－1，而这样的n 项之和等于0，则取1或－1的个数必相等，因而n 必须是偶数，设n=2m.再进一步考察已知等式左端n 项之乘积=(n a a a 21)4=1，这说明，这n 项中取－1的项（共m 项）也一定是偶数，即m=2k ，从而n 是4的倍数.。
