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奇数和偶数内容精要整数可以分为奇数和偶数两大类。
能被2整除的数叫作偶数，不能被2整除的数叫作奇数。
偶数通常用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
因为0可以被2整除，所以0是偶数。
自然数是按一奇一偶顺序排列的，两个连续的自然数必定是一奇一偶。
如果n是一奇数，那么n-1与n+1都是偶数。
如果n是一偶数，那么n-1与n+1都是奇数。
相邻两数的和一定是奇数，积一定是偶数。
奇数和和偶数的运算性质：1.奇数±奇数＝偶数；奇数±偶数＝奇数偶数±偶数＝偶数；偶数±奇数＝奇数2.奇数个奇数的和（或差）为奇数，偶数个奇数的和（或差）为偶数。
任意多个偶数的和（或差）为偶数。
3.奇数×奇数＝奇数；偶数×偶数＝偶数；奇数×偶数＝偶数。
4.若干个数相乘，其中一个因数为偶数，则积为偶数。
如果所有的因数都是奇数，则积为奇数。
5.在整除的前提下，奇数不能被偶数整除，一个奇数如果能被某个奇数整除，其商必是奇数。
偶数若能被奇数整除，其商必是偶数。
偶数若能被偶数整除，其商可能是偶数，也可能是奇数。
6.偶数的的平方能被4整除，奇数的被4除余1.灵活运用以上这些性质，可以巧妙地解决许多有趣的问题。
例1.1+2+3+…+2003的和是奇数，还是偶数？例2.1111111111和999999999的乘积中有多少个数字为奇数？例3.有一文章共15篇，各篇文章的页数分别是1页，2页，3页，…，14页，15页的稿纸。
如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页的文章有多少篇？例4.算式1×2＋3×4＋5×6＋…＋99×100的得数是奇数还是偶数？例5.有一列数1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
那么在前1000个数中，有多少个奇数？例6.新年前夕，同学们相互送贺卡，每人只要接到别人赠送的贺卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺卡的人数是偶数还是奇数？为什么？例7.把3988张卡片分成两组，每组1999张，在每组1999张上分别写上1、2、3、……、1999，每次从两组中任意抽取两张，共得到1999对卡片，计算每对卡片上两个数的和，那么这1999个和的积是奇数还是偶数？例8.有7个杯口全部向上的杯子，每次将其中4个同时“翻转”。
偶数和奇数的区分数学中，我们常常会遇到偶数和奇数这两个概念。
偶数和奇数是整数的一种分类，用于表示一个数能否被2整除。
这两个概念不仅在我们的日常生活中，并且在其他领域中也有着广泛的应用。
本文将介绍偶数和奇数的概念及其特点，并探讨它们在不同领域的应用。
1. 偶数和奇数的定义及特点偶数定义：能够被2整除的数字称为偶数。
简单来说，偶数就是2的倍数，可以用公式表示为：偶数 = 2 ×自然数。
（自然数为0、1、2、3...）奇数定义：不能被2整除的数字称为奇数。
换句话说，奇数不是2的倍数，可以用公式表示为：奇数 = 2 ×自然数 + 1。
该区分的特点如下：- 奇数和偶数是它们之间的相对概念，即一个数是偶数，那么它就不是奇数；反之亦然。
- 0是唯一一个既是偶数又是奇数的数。
因为0能被2整除，所以它是偶数；同时，0不是2的倍数，也不是奇数。
- 任何一个整数都可以用奇数和偶数的和来表示。
例如，偶数加偶数得偶数，偶数加奇数、奇数加奇数均为奇数。
但奇数加偶数的结果是奇数。
2. 偶数和奇数在数学中的应用在数学中，偶数和奇数有许多重要的应用，其中包括：- 素数判断：除了数字2之外，所有的素数都是奇数。
因为除了1和自身之外，素数没有其他因子，而偶数都能被2整除。
- 数字运算：偶数和奇数的加减乘除有一些特殊的规律。
例如，偶数相加得到的结果仍然是偶数，偶数和奇数相乘得到的结果是偶数，但奇数相乘则得到奇数。
3. 偶数和奇数在计算机科学中的应用在计算机科学中，偶数和奇数也有着广泛的应用，例如：- 数字存储：计算机中使用二进制来表示数字，而最低位的二进制位决定了一个数的奇偶性。
如果最低位是0，那么这个数就是偶数；反之，如果最低位是1，则是奇数。
- 循环和分组：在编程中，经常会用到循环和分组操作。
例如，可以通过判断一个数的奇偶性来实现循环或将数据分组。
4. 偶数和奇数在生活中的应用除了在数学和计算机科学中的应用外，偶数和奇数在日常生活中也具有一定的意义：- 偶数和奇数的分配：在一些社交、抽奖或分组活动中，我们经常会采用奇偶数的方式进行分组，以便平均分配资源或者确保公平性。
25的倍数的特征教案人教版这是25的倍数的特征教案人教版，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。
25的倍数的特征教案人教版第1篇教学内容：2、5倍数的特征（P17~18及P20题1～3）教学目标：①让学生通过探索2、5倍数的特征过程，掌握2、5倍数的特征，并会正确的判断一个数是否是2、5的倍数。
②使学生知道奇数、偶数的意义，会判断一个数是奇数还是偶数。
③培养学生观察与分析能力，提高学生的思维水平。
教学重点：掌握2、5倍数的特征，理解奇数、偶数的概念。
教学过程：一、课前预习：自学内容 P17—18 做一做，P20的T1-31、什么叫偶数和奇数？举5个例子2、2的倍数有什么特点？举例说明3、5的倍数有什么特点？举例说明3、哪些数既是2的倍数又是5的倍数？尝试练习1、试着完成P18的做一做练习2、判断下列数哪些是2的倍数，哪些是5的倍数？你发现了什么？120 14 36 15 2024 25 40 50 86二、汇报展示：（一）导入1、请你说出因数与倍数的含义。
2、判断谁是谁的倍数？谁是谁的因数？（1）12和6 （2）28和7 （3）13和1（二）教学实施1．学习2的倍数的特征。
（1）反馈主题图。
提问：从这幅图中，你看到了什么？拿座号是多少的同学应该从双号入口进？（学生自由地说）（2）提问：先让学生自己去观察2的倍数，看他们有什么特征。
如观察有困难，可作提示：看他们的个位有什么特征。
（3）让学生反馈观察的特征。
（板书在黑板上）如：2＝1×24＝2×26＝3×28＝4×210＝5×2……（4）它们的个位数都有什么特点？（个位是0、2、4、6、8）个位是0、2、4、6、8的数都是2的倍数吗？学生口答后老师板书：个位上是 0，2，4，6，8的数，都是2的倍数。
检验：让学生说出几个较大的数对观察的结果进行检验看是否正确。
2．教学奇数和偶数的概念（1）提问：自然数中，2的倍数有多少个？教师：自然数中，是2的倍数的数，我们称它为偶数。
第五讲奇数和偶数一、基础知识整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.1.代数式中的奇偶问题例1. （★★）一个奇数的完全平方数先减去1再除以4，得到的是一个奇数还是一个偶数，请说明理由.【解】设这个奇数是2n+1,那么它的平方减1再除以4以后得n(n+1),连续2个整数必然是1个奇数1个偶数，那么乘积一定是偶数.例2（★★第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□□÷□＝□.【解】因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.例3 (★★第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数【解】由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x 也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）例4.(★★)在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.【解】因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数.例5. (★★)黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？（【解】开始是一奇数一个偶数，根据规则变成的新数是奇数*偶数+奇数+偶数，仍然是一个奇数，此时我们有2个奇数，一个偶数，如果还用奇数和偶数来进行运算的话我们新添的仍然是奇数，若用2个奇数进行运算，则新添的数是奇数*奇数+奇数+奇数，仍然是奇数。
《2、5倍数的特征》教学设计《2、5倍数的特征》教学设计1教学重点：掌握2、5倍数的特征及奇数、偶数的概念。
教学难点：灵活运用2、5倍数的特征进行综合判断。
教材分析：本节课内容是在学生学习了因数、倍数概念的根底上进行教学的，它不仅是求最大公因数、最小公倍数的重要根底，也是以后学习约分和通分的必要前提。
因此，熟练掌握2、5的倍数特征，对于本单元的学习具有十分重要的意义。
教学过程：一、创设情境，引出课题同学们，自从开展大课间活动以来，东关小学举办了多种活动〔课件出示照片〕，“每天锻炼一小时，健康学习一整天”，这就是我们的切身体会。
〔1〕请你说一说图中有哪些数学信息？生：跳交谊舞的2人一组，跳圆圈舞的5人一组，叠罗汉的3人一组。
〔2〕下周学校要举行比赛，如果让你选派人数，每项活动可以选派多少人？得出：跳交谊舞的人数都是2的倍数。
跳圆圈舞的人数都是5的倍数。
叠罗汉的人数是3的倍数。
〔板书〕小结：看来，无论选什么工程，我们所选派的人都应该是2、5、3的倍数。
今天我们研究的是2和5的倍数。
〔板书：2、5的倍数的特征〕二、合作探究：〔一〕、探索5的倍数的特征1、师：在自然数中，5的倍数有多少个？〔无数个〕我们不可能研究所有5的倍数，怎么办呢？那我们就先来研究100以内的5的倍数有什么特征吧！2、出示百数表：〔1〕、在百数表中用“△”圈出5的倍数。
〔2〕、观察5的倍数，你有什么发现？将你的发现在小组中交流。
〔四人小组，在组内交流并讨论〕学生汇报：板书：〔5的倍数：个位上的数是5或0〕〔3〕师：你们都发现了5的倍数与个位有关，那么与十位有没有关系？〔4〕举例验证。
〔5〕刚刚我们研究的是100以内5的倍数的特征，那100以上5的倍数也有这样的特征吗？谁能报一个数我们来试一试。
254是5的倍数吗？过渡：100以内个位上是0或5的数就是5的倍数，100以上的数也是一样。
〔6〕现在你能对5的倍数的特征下一个结论吗？过渡：知道5的倍数的特征你能快速判断一个数是不是5的倍数吗？〔7〕、出示卡片： 271、375、240、2357 64300这是5的倍数吗？〔学生判断，说明理由。
奇数偶数质数合数知识点归纳
奇数：奇数是指不能被2整除的整数，例如1、3、5、7等。
奇数的特点是个位数是1、3、5、7、9。
偶数：偶数是指能够被2整除的整数，例如2、4、6、8等。
偶数的特点是个位数是0、2、4、6、8。
质数：质数是指大于1且只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5、7等。
质数的特点是除了1和它本身以外没有其他因数。
合数：合数是指除了1和自身以外还有其他因数的正整数，例如4、6、8、9等。
合数的特点是除了1和它本身以外还有其他因数。
奇数是指不能被2整除的整数，偶数是指能够被2整除的整数，质数是只能被1和自身整除的正整数，合数是除了1和自身还有其他因数的正整数。
人教版数学五年级下册第３课２５的倍数的特征说课稿３篇〖人教版数学五年级下册第3课25的倍数的特征说课稿第【1】篇〗【教学内容】北师大版五年级数学上册第三单元第33页内容：《探索活动：2、5的倍数的特征》。
【教学目标】1.经历探索2、5的倍数的特征的过程，理解2、5的倍数的特征，能判断一个数是否为2或5的倍数。
2.了解奇数、偶数的含义，能判断一个非零自然数是奇数或偶数。
3.在观察、猜测和讨论过程中发展探索问题和解决问题的能力。
【教学重点】自主探究和发现2、5的倍数的特征。
【教学难点】灵活运用2、5的倍数的特点以及奇偶数概念进行综合判断。
【教具学具】多媒体课件、百数表、实物投影仪等。
【教学过程】一、复习1.根据乘法或除法算式说说：谁是谁的倍数谁是谁的因数。
6×12=7246÷2=2365×5=32585÷5=172.在30秒内写出5的倍数，看谁写得快又多。
师：能写完吗？为什么？理解：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
二、新授（一）在百数表中圈出5的倍数师启发：怎样写就不重不漏？（有序思考，按顺序写。
）（二）探索5的倍数的特征1.观察5的倍数，同桌讨论：它们有什么特征？（1）交流汇报；（2）举例验证；（3）得出结论：个位上是0或5的数是5的倍数。
2.师小结：我们既可以用乘法验证一个数是不是5的倍数，也能用除法来验证一个数是否是5的倍数。
3.练习：快速判断以下各数是否是5的倍数。
2455628502021（三）探索2的倍数的特征1.四人小组合作，利用百数表圈出2的倍数，观察：它们有什么特征？2.小组交流汇报。
3.验证得出结论：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数。
（四）认识奇偶数1.小组同学自学：什么是奇数，什么是偶数？2.代表发言，师板书：像2，4，6，8，…这样的数，是2的倍数，也叫偶数。
像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，也叫奇数。
二年级奥数教程第26讲:奇数和偶数在数学中，像1，3，5，7，9，…，这样的数叫奇数，像2，4，6，8，10，…，这样的数叫偶数．对于奇数和偶数，我们已经学过了一些简单的性质．(1)偶数+偶数＝偶数；例如4+8＝12．(2)奇数+奇数＝偶数；例如9+5＝14．(3)偶数一偶数＝偶数；例如18—10＝8．(4)奇数一奇数＝偶数；例如15—9＝6。
(5)奇数+偶数＝奇数；例如21+6＝27．(6)奇数一偶数＝奇数；例如27—10＝17．(7)偶数一奇数＝奇数；例如24—11＝13．根据这些性质，我们可以解决很多有趣的问题．例1、下面两个算式中，每个方框代表一个整数，其中每个算式中至少有一个奇数，这6个整数中有几个是偶数?(1) □＋口＝口(2) 口一口＝口解一共有两个偶数，分别在(1)、(2)中各有1个．我们以算式(2)为例来说明．首先已知算式(2)中只有1个奇数，分三种情况：①奇数在第一个方格中，我们可以用图26—1来表示：由①、②和③知，算式(2)中的三个数中都有且只有一个偶数．算式(1)的情况也可做类似的分析．综上所述，每个式子中只出现一个偶数，因此一共有两个偶数．随堂练习1 下面的算式中，每个圆圈代表一个整数，其中每个算式中至少有一个偶数，这6个整数中最多有几个奇数?(1)○＋○＝○ (2) ○－○＝○例2、16根香蕉分给3个小朋友，要求分得尽量公平，应该怎么分?他们所得的香蕉根数是奇数还是偶数?解因为16不能分成三个相同数的和，为了公平，应尽量缩小三个人之间的差距．由于16＝5+5+6，其中一个人比另外两个人多分得一根香蕉，另两人分得的香蕉一样多，都是5根．其他的分法都会出现某两个人分得的香蕉数相差2的情况．因此三人分别得5、5、6根香蕉，这三个数分别是奇数、奇数、偶数．随堂练习2 把10个苹果分给4个小朋友，要求分得尽量公平，应该怎么分?每个小朋友得到苹果的个数是奇数还是偶数?例3、如图26—4，将一个5×5的正方形的每个小方格里填上一个数，这个数是这样产生的：将这个小方格所在的行数与它所在的列数加起来，这个和就是小方格里要填的数．例如：图中小方格中的A＝3+2＝5，因为A所在的小方格是在第3行第2列．按这个办法，我们将这个5×5的正方形中的每个小方格都填上数，那么这25个数中，奇数多还是偶数多?解将每个小方格里的数算出来，数一数奇数和偶数的个数，再比较一下，就知道是奇数多还是偶数多．如图26—5我们数出奇数有12个，偶数有13个，所以是偶数多．随堂练习3如图26—6，将一个6×6的正方形的每个小方格里填上一个数，填数的规则是：这个数等于它所在小方格的行数与列数的和．那么所填的36个数中，奇数多还是偶数多?多几个?例4、有一行数，第1个数是1，第2个数也是1，从第3个数开始，每个数是它前面两个数的和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，照这样写下去，第12个数是奇数还是偶数?第40个数呢?解我们将这一行数中每个数是奇数还是偶数写下来：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34，…奇奇偶奇奇偶奇奇偶…我们发现，对于这排数，奇偶数的规律是：奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，……也就是两个奇数后是一个偶数，每3个数循环出现，也就是说第3，6，9，12，15，…个数是偶数，其余的都是奇数．因此第12个数是偶数，第39个数是偶数，那么第40个数是奇数．随堂练习4 有这样一串数：1，4，7，10，13，16，19，22，…，这些数中第27个数是奇数还是偶数?第60个数呢?例5、1+3+5+7+9+11+13+15+17+19的和是奇数还是偶数?解这题不用计算能知道答案吗?能，因为奇数+奇数＝偶数，在这个算式中一共有10个奇数，如果2个奇数为一组，共5组．每组2个奇数的和都是偶数，而偶数+偶数＝偶数，所以这个算式的和是偶数．随堂练习5 不计算，你能知道5+7+9+1l+13+15+17的和是奇数还是偶数?为什么?例6、有10名同学排成一行，按1～10顺序报数，老师说：“请报奇数的同学出列．”剩下的同学不改变前后顺序，再从1开始报数，老师继续请报奇数的同学出列．就这样报了几次后，最后只剩下1个人，他第一次报的是几号?解第一次报数后，1号、3号、5号、7号和9号都出列，剩下的是2号、4号、6号、8号和10号，第二次报数后，原先的2号、6号、10号分别报1、3、5，因此都要出列，剩下的是4号和8号，第三次报数后，因为4号报1，所以必须出列，那么最后剩下的同学是8号．随堂练习6如果有17各同学排成一行，从l开始报数，每次都请报奇数的同学出列．那么报了几次后，最后只剩下1个人，这位同学第一次报的是几号?练习题1、下面的算式中，每个圆圈代表一个整数，其中4个整数中至少有一个是奇数，至少有一个是偶数．那么这4个整数中，奇数和偶数分别有几个?○＋○－○＝○2、从1开始写数，一直写到59，一共有59个数，其中是奇数多还是偶数多？多几个？3、12个足球，分别给5个班的同学玩，要求分得尽量公平，应该怎么分?每个班所得到的足球个数是奇数还是偶数?4、有25个皮球，分给5组小朋友做游戏，每组都分到单数只，而且只数都不相同．每组分别分到几只皮球?5、元旦前，同学们互相赠送贺年卡，如果每人收到一张贺卡后都要回送一张，那么所送贺卡的总数是奇数还是偶数?6、有一行数：第一个数是1×1，第二个数是2×2，第三个数是3×3，…，即：1，4，9，16，25，36，49，…，照这样写下去，第11个数是奇数还是偶数?第100个数呢?7、如图，将一个7×7的正方形的每个小方格里填上一个数，填数的规则是：这个数等于它所在小方格的行数与列数的和．那么所填的49个数中，奇数有多少个?偶数有多少个?8、有一列数：1，1，2，4，7，13，24，44，81，…，从第4个数开始，每个数都是前三个数的和，照这样写下去，第35个数是奇数还是偶数?9、不计算，你知道算式3+5+7+9+ll+13+15+17+19+2l的和是奇数还是偶数?10、妈妈带小胖和小亚去看电影，可是到了电影院却发现忘带电影票了，检票员说只要记得电影票是几排几座的，就可以进去．妈妈只记得三张电影票是24排的，座位是相连的，而且座位号的和也是24．你知道这三张票是24排几座呢?11、下面有一列算式：1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，l+ 2+3+4+5，l+2+3+4+5+6，…，那么1+2+3+4+5+6+…+18+19+20的和是奇数还是偶数?12、有50名同学排成一行按l～50顺序报数，老师说：“请报奇数的同学出列．”然后剩下的同学继续从1开始报数，报完后老师仍然请报奇数的同学出列．报了几次后，最后队伍里只剩下1个人，这个同学第一次报几号?。
第一讲 奇数和偶数定理1 两个奇数的和（或差）是偶数，两个偶数的和（或差）是偶数，即奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数．定理1的逆命题：如果两个整数的和或差是偶数，那么这两个数或者同为奇数，或者同为偶数． 定理1的逆命题也成立．定理2 一个奇数与一个偶数的和（或差）是奇数，即：奇数±偶数=奇数．它的逆命题同样成立，逆命题是：若两个整数的和（或差）为奇数，则这两个数一为奇数，一为偶数．定理3 奇数个奇数的和（或差）是奇数，偶数个奇数的和（或差）是偶数；任意多个偶数的 和是偶数．定理4 任意n 个奇数的积仍然是奇数．定理4的逆命题也成立，逆命题是：若n 个整数的积是奇数，则这n 个数都是奇数．作为特殊情况，一个奇数的n 次幂（n 是正整数）是奇数；反之，若一个整数的n 次幂（n 是正整数）是奇数，则这个整数是奇数．定理5 若任意多个整数中至少有一个偶数，那么它们的积是偶数；反之，若任意多个整数的 积是偶数，则这些因数中至少有一个是偶数．定理6 n 个偶数的积是2n的倍数．定理7 两个整数的和与差的奇偶性相同．例1：求证222010x y -=没有整数解．【分析】一般地，证明两任意整数的平方差不可能是42k +型数．因为 22()()x y x y x y -=+-，而x y +与x y -同奇偶．①若x y +与x y -同为奇数，则22x y -为奇数，即41k +型或43k +型数；②若x y +与x y -同为偶数，则22x y -是4的倍数，即4k 型．故22x y -不可能是42k +型．例2：有一批学生彼此写信，并且每个人只要接到对方的来信就一定回信，求证：写了奇数封信的学生有偶数个人．【分析】设有k 个学生写了奇数封信，分别为1n ,2n ,…,k n 封，其中1n ,2n ,…,k n 均为奇数； 又设有s 个学生写了偶数封信，分别为1m ,2m ,…,s m 封，其中1m ,2m ,…,s m 均为偶数． 由于写信是彼此的，故总封数为偶数，设为A ，则1212k s n n n m m m A ++++++= ，因为1m ,2m ,…,s m 和A 均为偶数所以12k n n n +++ 为偶数，若k 为奇数，则与定理3矛盾，故k 为偶数．例3：证明：四次多项式42200820002006x x x +++不可能分解为两个具有整系数a ，b ，c ，d 的二次三项式2x ax b ++和2x cx d ++的乘积．【分析】证明：若可以，则4222200820002006()()x x x x ax b x cx d +++=++++ 将等式右边展开比较，得0(1)2008(2)2000(3)2006(4)a c ac b d bc ad bd +=⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪=⎩ 因为2006是42k +型数，所以b 、d 必为一奇一偶，不失一般性，设b 为奇数，d 为偶数．再考察（3）：因为d 为偶数，2000为偶数，所以bc 为偶数，又因为b 为奇数，则c 必为偶数．又考察（2）：ac 、d 、2008为偶数，且b 为奇数，∴矛盾例4：把一个2009位的正整数122009a a a 的各位数字重新排列，再把所得到的数与原来的数相加，证明：无论怎样的2009位数，并且无论怎样排列各位数字，它们的和都不可能是2009999个． 【分析】假设存在这样的2009位数122009A a a a = 重新排列各数位的数字得''''112009A a a a = ，其和为'2009999A A +=则必有：'''112220092009()()()20099a a a a a a ++++++=⨯ ，于是A 的各位数字之和为200992⨯．因为20099⨯为奇数，所以200992⨯不可能为整数，矛盾． 例5：假设1a ,2a ,…,n a 是1,2,…,n 的任意一个排列，求证：若n 是奇数，则乘积12(1)(2)()n a a a n --- 是偶数．【分析】因为这n 个因式之和12(1)(2)()0n a a a n -+-++-=又n 为奇数，若11a -,22a -,…,n a n -都为奇数，则产生矛盾，所以11a -,22a -,…,n a n-中至少有一个是偶数，故其积为偶数例6：给定正整数a 和b ，（1）如果ab 是偶数，那么一定可以找到两个正整数c 和d ，使得2222a b c d ++=成立；（2）如果ab 是奇数，证明满足2222a b c d ++=的正整数c 和d 一定不存在．【分析】（1）因为ab 是偶数，所以,a b 至少一个为偶数. ①若,a b 一奇一偶，则22a b +一定为奇数，设2221a b k +=+，令1,d k c k =+=，则2222a b d c +=-；②若,a b 同为偶数，则22a b +为4的倍数，设224a b m +=，令1,1d m c m =+=-，则2222a b d c +=-.得证.（2）若ab 是奇数，则,a b 均为奇数，设21,21a t b s =+=+，则22224()2a b t t s s +=++++即22a b +为42k +型，若存在c 、d 满足条件，22d c -为42k +型，由例1知，矛盾.例7：一个正整数，如果加上100，是一个完全平方数，如果加上168，则是另一个完全平方数，求这个正整数．【分析】设所求的整数为x ，由条件有： 22100168x m x n⎧+=⎨+=⎩，相减得：2268,()()68n m n m n m -=+-=，因为68168234417=⨯=⨯=⨯而n m +与n m -同奇偶，所以34n m +=,2n m -=，18,16n m ==，216100156x =-=※例8：已知n 是整数，证明：如果2+【分析】设2m +=，则224(281)(2)n m +=-，224428m m n -=⨯，于是2m 必为4的倍数，m 为偶数.设2m k =，则22228k k n -=，则2k 必为偶数，k 为偶数，设2k p =，则222844n p p =-，27(1)n p p =-，而p 与1p -互质，所以其中必有一个为2A 型，另一个为27B 型.①若p 为27B 型，1p -为2A 型，不妨设p =27B ，1p -=2A ，则271B -=2A ，设7(0,1,2,,6)A q r r =+= ，则2227(72)A q q r r=++，由于2r 分别为0,1,4,9,16,25,36都不是71l -型，与2A 271B =-矛盾；②若p =2A ，1p -=27B ，由2244m k p A ===2(2)A =，知2+课后练习：1．把1，2，3，…，1982这1982个数的前面任意添上一个正号或负号，问它们的代数和是奇数还是偶数．2．有27人参加乒乓球单打赛，若每人都比赛3场，可能吗？为什么？3．方程20x px q ++=的系数p 和q 为奇数，求证：（1）此方程无相等实数根；（2）此方程无整数根．4．已知a ，b 为整数，x ，y 为未知数，求证：若有两个有理数满足方程组22200y x a y xy x b --=⎧⎨-+-=⎩，则这两个数一定是整数． 5．假设a ，b ，c ，d 是整数，且数ac ，bc ad +，bd 都能被某整数u 整除．证明：数bc 和ad 也能被u 整除．※6．若p 和q 为相邻奇数，求证p q p q +能被p q +整除．※7．有一张71982⨯个格的方格纸，和一些12⨯个格的卡片，在卡片的两个格上分别写上1+和1-，然后把这些卡片放在方格纸上．求证，不论怎样放置这些卡片（只要不重叠，并且这些卡片把方格纸放满），都不可能使得每行和每列的乘积全是1+．※8．设1a ，2a ，…，1981a 是1，2，…，1981的任意一个排列，为了配对，令19820a =． 从计算212i i i b a a -=-得到数列：1b ，2b ，…，991b ，为了配对，令9920b =． 再从计算212i i i c b b -=-得到数列：1c ，2c ，…，496c ， 从计算212i i i d c c -=-得到数列： 1d ，2d ，…，298d ，即, 8，…78a -，……如此一直计算下去，最后得到一个数x ，求证x 一定是奇数．《奇数与偶数》课后练习参考答案1．由于两个整数的和与差的奇偶性相同，所以在1，2，…，1982的前面任意添加正负号的代数和与121982+++ 的奇偶性相同，而1982(19821)1219822⨯++++=9911983=⨯是奇数，于是所求的代数和是奇数．2．比赛总场次为2732⨯不是整数，因而不可能． 3．（1）考虑判别式24p q ∆=-．因为p 为奇数，则2p 为奇数，4q 为偶数，所以240p q -≠，于是方程20x px q ++=无等根；（2）设方程20x px q ++=之二根为1x ，2x ．若方程有整数根，则1x ，2x 为整数．由韦达定理知12x x p +=-，12x x q ⋅=，由q 是奇数可得1x 和2x 都是奇数，因而12x x +是偶数，而p -是奇数，于是产生矛盾．所以方程20x px q ++=无整数根．4．设有理数1x ，1y 满足方程组，则有()()1122111120102y x a y x y x b --=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ 由（1）得：112y x a =+，代入（2）得221111(2)(2)0x a x a x x b +-++-=，2211330x ax a b ++-=，1x =． 由于1x 是有理数，则2123b a -应为完全平方数，不妨设：22123b a k -=，223(4)b a k -=，于是k 是3的倍数；不妨设3k t =，有2243b a t -=，2243b t a =+．显然a 和t 的奇偶性相同（否则，223t a +不可能是偶数）．由于13362a t a t x -±-±==以及a 和t 同奇偶，则a t -±是偶数，于是1x 是整数．又由112y x a =+知1y 是整数．5．由于22()()4bc ad bc ad acbd -=+-，则22()()4bc ad bc ad ac bd u u u u-+=-⋅． 由题设bc ad s u +=，ac p u =，bd q u =都是整数，即22()4bc ad s pq u-=-． 于是bc ad u -也是整数；令其为t ，则bc ad t u -=，224t s pq =-，224s t pq -=，()()4s t s t pq +-=，由于任意两整数的和与差具有相同的奇偶性以及4pq 是偶数，则s t +与s t -必为偶数，于是由bc ad s u +=，bc ad t u -=，解得：2bc s t u +=，2ad s t u -=． 因为2s t +，2s t -为整数，所以bc 和ad 都能被u 整除． 6．由p 和q 是相邻奇数，并假定p q >可得11p q -=+，121(1)(1)p p p p p p p ---=-+++ ．因为121p p p p --+++ 是奇数个（p 个）奇数的和，所以它为奇数，并设为21m +，则1(1)(21)p p p m -=-+ （1）同理：1(1)(21)q q q n +=++ （2）其中：12211q q n q q --+=-+- ．（1）和（2）相加得(1)(21)(1)(21)p q p q p m q n +=-++++(1)[222]p m n =-++ 2(1)(1)p m n =-++(11)(1)p p m n =-+-++(11)(1)p q m n =-++++()(1)p q m n =+++，即p q p q +能被p q +整除．7．假设能够按照要求放置这些卡片，由于每一行的数字之积为1+，则1-出现的次数为偶数次，于是在整个方格纸上，1-的个数为偶数，所以卡片一定有偶数个，即卡片总数为2m 个． 又因为每个卡片有两个方格，所以方格总数应是4的倍数，然而71982⨯不是4的倍数，所以题目的要求不可能实现．8．证法一：我们考虑另一种配对运算的方法：从'212i i i b a a -=+得到数列'1b ，'2b ，…，'991b ；令'9920b =，从'''212i i i c b b -=+得到数列'1c ，'2c ，…，'496b ；从'''212i i i d c c -=+得到数列'1b ，'2b ，…，'298b ，一直计算下去可得到数'x ．由于两个数的和与差有相同的奇偶性，于是x 和'x 有相同的奇偶性．又由于'1219811219811981991x a a a =+++=+++=⨯ ，所以'x 是奇数，因而x 也一定是奇数．证法二：实际上，x 是1，2，…，1981的代数和，即把1，2，…，1981的一些数用加号而另一些数用减号连在一起的代数和．由于两个数的和与差具有相同的奇偶性，所以x 的奇偶性与 '1219819911981x =+++=⨯ 的奇偶性相同，于是x 为奇数．。
25以内数的奇偶口诀
奇数跟偶数是数学中的基本概念之一。
我们可以通过一些简单的规则来判断一个数是奇数还是偶数。
在这份文档中，我们将介绍一些简单的奇偶口诀，帮助你快速判断25以内的数是奇数还是偶数。
奇数的特点
奇数是不能被2整除的数。
在25以内，所有以1、3、5、7、9结尾的数字都是奇数。
- 1是最小的奇数，它只能被1整除。
- 3、5、7和9都是奇数，因为它们只能被1和自身整除。
偶数的特点
偶数是能被2整除的数。
在25以内，所有以0、2、4、6、8结尾的数字都是偶数。
- 0是最小的偶数，因为它可以被任意整数整除。
- 2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22和24都是偶数，因为它们都可以被2整除。
奇偶数的关系
奇数和偶数之间有一些有趣的关系。
- 任何数加上一个偶数，结果都是奇数。
- 任何数加上一个奇数，结果都是偶数。
- 两个奇数相加的结果是偶数。
- 两个偶数相加的结果也是偶数。
- 一个奇数和一个偶数相加的结果是奇数。
这些简单的口诀可以帮助我们快速判断25以内的数是奇数还是偶数。
通过了解奇偶数的特点和关系，我们可以更好地理解数学中的基本概念，并应用到解决问题中。
希望这份文档对你有帮助！。
奇偶数公式数学中的奇偶数公式是一种基本的数学公式，它可以帮助我们快速判断一个数是奇数还是偶数。
在这篇文章中，我们将介绍奇偶数公式的定义、性质和应用。
一、奇偶数公式的定义奇偶数公式是指一个整数的奇偶性可以通过它的末位数字来判断。
具体来说，如果一个整数的末位数字是0、2、4、6或8，那么它就是偶数；如果末位数字是1、3、5、7或9，那么它就是奇数。
例如，数字123456789的末位数字是9，因此它是奇数；而数字987654321的末位数字是1，因此它也是奇数。
二、奇偶数公式的性质奇偶数公式有以下几个性质：1. 任何一个整数都可以表示为一个偶数加上一个奇数。
2. 任何一个奇数都可以表示为两个偶数之和。
3. 任何一个偶数都可以表示为两个奇数之和。
这些性质可以通过奇偶数公式的定义来证明。
例如，对于性质1，我们可以将一个整数表示为它的末位数字和其他位数字的和。
如果末位数字是偶数，那么这个整数就是偶数；否则，它就是奇数。
因此，我们可以将这个整数表示为一个偶数（其他位数字的和）加上一个奇数（末位数字）的形式。
三、奇偶数公式的应用奇偶数公式在数学中有许多应用。
以下是其中的一些例子：1. 判断一个数的奇偶性。
这是奇偶数公式最基本的应用。
通过判断一个数的末位数字，我们可以快速地判断它是奇数还是偶数。
2. 解决一些数学问题。
例如，有一个盒子里有100个球，其中99个是白色的，1个是黑色的。
现在我们要用一个称来判断哪个球是黑色的，但是这个称只能用一次。
我们可以将球的编号从1到100，然后将每个编号的末位数字表示为它对应的球的颜色（0表示白色，1表示黑色）。
这样，我们只需要将所有编号的末位数字加起来，就可以知道黑色球的编号了。
3. 加密和解密。
奇偶数公式可以用来加密和解密一些简单的信息。
例如，我们可以将一段文字中的每个字母转换为它的ASCII码，然后将每个ASCII码的末位数字表示为它对应的字母的奇偶性（0表示偶数，1表示奇数）。
小学5年级数学奇数与偶数练习题在小学五年级的数学课程中，了解和掌握奇数和偶数的概念是非常重要的。
本文将为大家提供一些关于奇数和偶数的练习题，帮助同学们巩固对奇数和偶数的理解。
练习题一：判断奇偶请判断以下数字是奇数还是偶数：1. 182. 273. 424. 555. 646. 79练习题二：奇偶相加计算以下奇数与偶数之和：1. 3 + 122. 17 + 83. 25 + 144. 39 + 65. 41 + 206. 53 + 16练习题三：奇偶相减计算以下奇数从偶数减去的结果：1. 14 - 72. 26 - 103. 35 - 184. 42 - 165. 55 - 296. 68 - 41练习题四：奇偶乘法计算以下奇数与偶数相乘的结果：1. 7 × 42. 9 × 63. 11 × 84. 15 × 105. 21 × 126. 25 × 16练习题五：奇偶除法计算以下偶数除以奇数的结果（结果保留一位小数）：1. 16 ÷ 32. 20 ÷ 53. 24 ÷ 74. 30 ÷ 95. 36 ÷ 116. 40 ÷ 13练习题六：数字填空将下列空格填上适当的数字，使得等式成立：1. __ + 5 = 182. __ × 3 = 423. __ - 6 = 334. __ ÷ 4 = 95. __ × 7 - 14 = 49练习题七：应用题小明有16张纸，他想将这些纸平均分成若干叠（每叠纸张数相同），请问他最多能分成几叠？练习题八：应用题班级里有30个学生，老师要将他们坐成几排，使得每排的学生数相同。
请问老师最多能将学生分成几排？以上练习题旨在帮助小学五年级的同学加深对奇数和偶数的理解，并提高计算能力。
同学们可以通过练习，巩固课堂上所学的知识，并在解题过程中培养逻辑思维和数学思维能力。
数的奇偶性（一）整数按照能不能被2整除，可以分为两类：（1）能被2整除的自然数叫偶数，例如0，2， 4, 6， 8…（2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如1，3，5，7，9…整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。
相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。
因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。
奇偶数有如下一些重要性质：（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。
反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。
（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。
任意多个偶数的和（或差）是偶数。
（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。
反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。
（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。
奇数肯定不能被偶数整除。
（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。
（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。
（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。
整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。
有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。
1. 已知两个质数的和是25，求这两个质数自然数只能表示为奇数（奇数+偶数）和偶数（奇数+奇数、偶数+偶数）这两种形式。
小学数学奇偶数练习题一：根据给出的数字，判断其是奇数还是偶数。
1. 252. 103. 474. 325. 556. 18练习题二：填写适当的数字，使得等式成立。
1. 8 + _______ = 152. 17 - ______ = 93. _______ + 5 = 134. 25 - _______ = 195. _______ + 12 = 22练习题三：将下列数字分别判断为奇数或偶数。
1. 632. 483. 924. 755. 32练习题四：将下列算式计算出结果，并判断结果为奇数还是偶数。
1. 8 × 52. 17 + 43. 9 - 64. 15 ÷ 35. 6 × 7练习题五：判断下列数字的奇偶性并填写相应的“奇数”或“偶数”。
1. 63 ：________2. 48 ：________3. 92 ：________4. 75 ：________5. 32 ：________练习题六：1. 判断以下数字中，有多少个是奇数？9， 14， 21， 26， 32， 37， 42， 49， 54， 63 2. 判断以下数字中，有多少个是偶数？17， 24， 35， 42， 53， 61， 72， 83， 92， 100 3. 将以下数字按奇偶性分为两组。
12， 15， 18， 21， 24， 27， 30练习题七：1. 请找出从1到50中的偶数。
2. 请找出从1到50中的奇数。
练习题八：1. 请将以下数字中的偶数相加。
12, 7, 8, 21, 36, 17, 48, 102. 请将以下数字中的奇数相加。
9, 14, 27, 35, 42, 51, 63, 78练习题九：1. 请计算以下算式的结果：(10 + 3) × 5 - 92. 请计算以下算式的结果：15 - (8 - 3) × 2练习题十：1. 请判断以下算式的结果是奇数还是偶数，并填写相应的“奇数”或“偶数”。
§25奇数偶数将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m （m ∈Z ），任一奇数可表为2m+1或2m －1的形式.奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）奇数的平方都可表为8m +1形式，偶数的平方都可表为8m 或8m +4的形式（m ∈Z ）.（3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m2=的形式，其中m 为非负整数，l 为奇数. 这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题. 例题讲解1．下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□，□÷□＝□.2．已知n 是偶数，m 是奇数，方程组⎩⎨⎧=+=-m y x n y x 27111988的解⎩⎨⎧==qy p x 是整数，那么( )（A ）p 、q 都是偶数. （B ）p 、q 都是奇数.（C ）p 是偶数，q 是奇数 （D ）p 是奇数，q 是偶数3．在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.4．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？5．设a 、b 是自然数，且有关系式123456789=（11111+a ）（11111-b ）， ① 证明a-b 是4的倍数.6．在3×3的正方格（a ）和（b ）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.a7．设正整数d 不等于2，5，13.证明在集合｛2，5，13，d ｝中可以找到两个元素a ,b ，使得a b －1不是完全平方数.8．设a 、b 、c 、d 为奇数，bc ad d c b a =<<<<并且,0，证明：如果a +d =2k ，b+c=2m ，bk,m 为整数，那么a =1.9．设n a a a ,,,21 是一组数，它们中的每一个都取1或－1，而且a 1a 2a 3a 4+a 2a 3a 4a 5+…+a n a 1a 2a 3=0，证明：n 必须是4的倍数.课后练习1.填空题（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的多18，这五个偶数之和是____.（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？答____.2.选择题（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（）①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（2）若n是大于1的整数，则的值（）.（A）一定是偶数（B）必然是非零偶数（C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数（3）已知关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（）（A）不能确定奇数还是偶数（B）必然是非零偶数（C）必然是奇数（D）必然是零3.试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.7.一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.8.试证：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次幂整除.课后练习答案１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．（３）不能．２．Ｂ．Ｂ．Ａ３．１１９８６是奇数１，９１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，故最后为偶数．４．仿例５１２０３４６５８７９．５．设ａ１，ａ２，…，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０①ａ１·ａ２……ａｎ＝ｎ②。
假如ｎ为奇数，由②，所有ａｉ皆为奇数，但奇数个奇数之和为奇数，故这时①不成立，可见ｎ只能为偶数．由于ｎ为偶数，由②知ａｉ中必有一个偶数，由①知ａｉ中必有另一个偶数．于是ａｉ中必有两个偶数，因而由②知ｎ必能被４整除．６．设小三角形的个数为ｋ，则ｋ个小三角形共有３ｋ条边，减去ｎ边形的ｎ条边及重复计算的边数扣共有（３ｋ＋ｎ）条线段，显然只有当ｋ与ｎ有相同的奇偶性时，（３ｋ－ｎ）才是整数．７．设这个四位数是由于１≤ａ＜ｄ，ｄ是奇数所以ｄ≥３于是ｃ＝２（ａ＋ｄ）≥８，即ｃ＝８或ｃ＝９．因ｃ是偶数，所以ｃ＝８，由此得ａ＝１，ｄ＝３．又因ｂ＞ｃ，所以ｂ＝９因此该数为１９８３．８．当ｎ为奇数时，考虑（４－１）ｎ＋１的展开式；当ｎ为偶数时，考虑（２＋１）ｎ＋１的展开式．例题答案：1. 解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.2.分析 由于1988y 是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y ，所以p 是偶数，将其代入第二方程中，于是11x 也为偶数，从而27y=m-11x 为奇数，所以是y=q 奇数，应选（C ）)7(mod 0)7)(mod 1132(1173732721)122327()11047(3)197(21156257293642=+++=++⋅++⋅⋅++⋅⋅=++⋅++⋅⋅++⋅⋅=++⋅+⋅=C B A k k k k k k,,0Z k k ∈≥∀∴且对于153261616+++++k k k 都能被7整除；注：+∈≡⇒≡Z k b a b a k ),(mod 1)(mod 13.分析 因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+ (1992)=996×1993为偶数 于是题设的代数和应为偶数. 4.解 设70个数依次为a 1,a 2,a 3据题意有a 1=0, 偶a 2=1 奇a 3=3a 2-a 1, 奇a 4=3a 3-a2, 偶a 5=3a 4-a3, 奇a 6=3a 5-a4, 奇………………由此可知：当n 被3除余1时，a n 是偶数；当n 被3除余0时，或余2时，a n 是奇数，显然a 70是3k+1型偶数，所以k 必须是奇数，令k=2n+1，则a 70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.5.证明 由①式可知11111（a-b ）=ab+4×617 ② ∵a＞0,b ＞0,∴a -b ＞0首先，易知a-b 是偶数，否则11111(a-b)是奇数，从而知ab 是奇数，进而知a 、b 都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式①矛盾其次，从a-b 是偶数，根据②可知ab 是偶数，进而易知a 、b 皆为偶数，从而ab+4×617是4的倍数，由②知a-b 是4的倍数.6. 解 按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个.表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.7. 解 由于2×5－1=32，2×13－1=52，5×13－1=82，因此，只需证明2d －1，5d －1，13d －1中至少有一个不是完全平方数.用反证法，假设它们都是完全平方数，令2d －1=x 2 ①5d －1=y 2 ②13d －1=z 2 ③x,y,z ∈N *由①知，x 是奇数，设x =2k －1，于是2d －1=（2k －1）2，即d =2k 2－2k+1，这说 明d 也是奇数.因此，再由②，③知，y,z 均是偶数.设y=2m ,z =2n ,代入③、④，相减，除以4得，2d =n 2－m 2=(n+m)(n －m)，从而n 2－m 2为偶数，n ，m 必同是偶数，于是m+n 与m －n 都是偶数，这样2d 就是4的倍数，即d 为偶数，这与上述d 为奇数矛盾.故命题得证.8.首先易证：.22m k >从而ad d a d a c b a d m k 4)()(,(22+-=+->->于是因为22)(4)(c b bc c b +=+->.再由,222,2,22a b a b b c a d bc ad k m m k -=⋅-⋅-=-==可得 因而))(()2(2a b a b a b m k m -+=⋅-- ①显然，a b a b -+,为偶数，a b m k --2为奇数，并且a b a b -+和只能一个为4n 型 偶数，一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数，然而它们的差等于2a 不是4 的倍数），因此,如果设f e a b m k ⋅=--2，其中e,f 为奇数，那么由①式及a b a b -+,的特性就有（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21f a b e a b m 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21e a b f a b m 由f a b a b a b ef m k 222≤-<-≤-=- 得e=1，从而.2a b f m k --=于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分别变为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+--)2(2,21a b a b a b m k m 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--12),2(2m m k a b a b a b 解之，得1122-+-=⋅m m k a .因a 为奇数，故只能a =1.9.证明:由于每个i a 均为1和－1，从而题中所给的等式中每一项321+++i i i i a a a a 也只取1或－1，而这样的n 项之和等于0，则取1或－1的个数必相等，因而n 必须是偶数，设n=2m.再进一步考察已知等式左端n 项之乘积=(n a a a 21)4=1，这说明，这n 项中取－1的项（共m 项）也一定是偶数，即m=2k ，从而n 是4的倍数.。
