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线性代数的掌握与教学(I)-以克莱姆法则教学为例摘要：以克莱姆法则为研究载体，通过教师对克莱姆法则的不同教学处理，考察教师对数学知识的理解，探讨教师数学内容知识的掌握对教学的影响，通过莱姆法则的知识包，进一步分析教师的知识结构对数学教学的影响。
关键词：数学理解；知识包；克莱姆法则一缘起2006年4月2日起，孟岩在微博上连续发表了题为《理解矩阵》的博文，介绍学习线性代数课程的体会，引起大家的热烈讨论：（网友cqsjnhustccrdi）到后来学结构动力学的时候才知道原来矩阵是这么用的，但是基础都已经忘光了。
原因是在学矩阵的时候是鹦鹉学舌，根本没有理解其本质代表了什么。
（网友peimichae）很多老师最喜欢说“知其然还要知其所以然”，但是几乎所有教科书都对所以然绝口不提，有的老师自己都未必明白，叫我们学生怎么能完全把握住这个东西？（网友minszch）深刻！这种认识到底是要自己来悟，还是应有老师来早点开窍呢？作为一线教师和数学教学研究者，我对大学数学教师的数学知识已经形成了某些特定的期望。
读了孟岩的微博和网友的评论，陷入了深深的思考：我们的线性代数教学怎么了? 任课教师对线性代数的理解状况如何？怎样的教学才能让学生满意？……带着印证的目的，本研究试图调查了解任课教师对线性代数知识理解的现状，从教师和教学的角度寻找没能帮助学生真正理解线性代数内容的原因。
探索克服存在问题和改变这种教学现状的方法，为大学数学老师的专业成长提供帮助。
二为取得研究资料而设计的问题情境1．研究载体克莱姆法则（Cramer´s Rule ，1750年瑞士数学家克莱姆，发表在他的《线性代数分析导言》中）［1］。
克莱姆法则是一个关于求解线性方程组的定理，它给出了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系。
在线性代数教学中，克莱姆法则是一定会遇到的一个教学内容。
如果线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…………an1x1+an2x2+…+annxn=bn（1）的系数行列式不等于零，那么方程组(1)有唯一解xj=DjD,(j=1,2,…,n)（2）其中，Dj=a11...a1,j－1b1a1,j+1 (1)a21...a2,j－1b2a2,j+1 (1)…………………an1…an,j－1bnan,j+1…a1n(j=1,2,…,n)。
carmer法则
克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，也称作克拉默法则。
这个法则是由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）在他的《线性代数分析导言》中于1750年发表的。
不过值得注意的是，尽管克莱姆是首位发表这个法则的数学家，但莱布尼兹和马克劳林等数学家在此之前也已经知晓这个法则。
克莱姆法则的核心内容是：对于一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，如果其系数行列式不等于零，那么方程组有唯一解，且每一个未知数的解可以由对应的行列式求得。
具体来说，每一个未知数的解等于常数项替换该未知数系数后所得到的行列式与原系数行列式之商。
然而，克莱姆法则并不总是计算线性方程组最有效的方法。
实际上，当方程组的规模（即未知数的数量）增加时，使用克莱姆法则进行计算会变得非常低效。
因为计算每一个未知数的解都需要计算n个n阶行列式，而计算一个n阶行列式的时间复杂度是O(n!)，这使得克莱姆法则对于大规模线性方程组的求解并不实用。
此外，克莱姆法则还存在数值稳定性的问题。
即使对于规模较小的线性方程组，由于计算过程中涉及大量的乘法和除法运算，可能会导致数值误差的累积，从而影响解的精度。
总的来说，克莱姆法则虽然在线性代数中具有重要的理论意义，但在实际应用中，我们通常会选择更高效、更稳定的算法来求解线性方程组。
克莱姆法则系数行列式为0 -回复克莱姆法则是线性方程组求解中的一种常用方法，通过行列式来判断方程组是否有解以及解的个数。
克莱姆法则系数行列式为0这个条件则是一个重要的定理。
为了更好地理解该定理的含义，我们首先需要了解一些基本的线性代数知识。
在线性代数中，有一个重要的概念叫做矩阵。
矩阵可以看作是一个数表，其中的元素按照一定的规则排列成多行多列的形式。
一个线性方程组可以用矩阵的形式表示。
例如，对于一个包含两个未知数x和y的线性方程组：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂可以用矩阵表示为：⎡a₁b₁⎤⎡x ⎡= ⎡c₁⎤⎡a₂b₂⎦⎡y ⎡⎡c₂⎦在克莱姆法则中，我们通过计算系数行列式来求解线性方程组。
系数行列式表示的是由方程组中的系数所组成的矩阵的行列式。
对于上述的二元一次线性方程组，系数行列式为：D = ⎡a₁b₁⎤⎡a₂b₂⎦克莱姆法则定理是指，当系数行列式D等于0时，线性方程组无解或者有无数解。
为了证明这个定理，我们先来看当系数行列式D不等于0时，方程组有唯一解的情况。
假设系数行列式D不等于0，那么根据矩阵的性质，D的逆矩阵D⁻¹存在。
根据克莱姆法则，线性方程组的解可以表示为：⎡x ⎡⎡D₁⎡⎡y ⎡= ⎡D₂⎡其中，D₁和D₂分别是由方程组中的常数项所组成的矩阵的行列式。
通过简单的推导，我们可以得到：x = D₁/Dy = D₂/D其中，D表示系数行列式D。
由于D不等于0，所以D的逆矩阵D⁻¹存在。
我们可以将x和y表示为：D₁/D = (1/D)⋅D₁= (D⁻¹⋅D₁)D₂/D = (1/D)⋅D₂= (D⁻¹⋅D₂)这说明，当系数行列式D不等于0时，线性方程组有唯一解，解的表达式为x = D⁻¹⋅D₁，y = D⁻¹⋅D₂。
下面我们来证明当系数行列式D等于0时，线性方程组无解或者有无数解。
对于无解的情况，假设在方程组中存在两个不同的解x₁和x₂。
克莱姆法则及其应用前 言克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士数学家。
生于瑞士，卒于法国。
在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。
克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。
例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
1. 预备知识若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。
现在就给介绍一下系数行列式。
设含有n 个未知量n 个方程的111122112212222212n n n n nn n a x a x a b a x a x a b a a a b +++=+++=+++=（1-1）其系数构成的行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =称为方程组（1-1）的系数行列式。
1. 克莱姆法则的定义克莱姆法则（Cramer Rule ）：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式0D ≠时，有且仅有一个解：1212,,,.n n D D D x x x D D D === （1-2）期中JD 是将D 的第j 列换成常数项21,,,nb b b 而其余列不变的行列式。
即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=1122,(1,2,).j j n nj b A b A b A j n =+++=2. 克莱姆法则的证明方法克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是2.1克莱姆法则的一般证明方法2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。
