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![1.5克拉默法则_线性代数_[共3页]](https://img.taocdn.com/s1/m/41f64f71f524ccbff02184c0.png)
线性代数（五）克拉默法则1.法则：的系数行列式不等于零，即，那么该方程组有唯一解。
是用非齐次项代替中第列元素后所得的行列式。
注意克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。
定理4 如果线性方程组的系数行列式，则它一定有解，且解是唯一的。
逆否定理如果线性方程组无解或有多个不同的解，则它的系数行列式必为零。
（三）线性方程组—线性方程组的解如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容的。
定理2 元齐次线性方程组（1）有唯一解，零解；（2）有非零解。
定理3（1）无解的充分必要条件是；（2）有唯一解的充分必要条件是；（3）有无穷多解的充分必要条件是基础解系齐次线性方程组为任意常数)，称通解式构成该齐次线性方程组的基础解系。
线性方程组的解法齐次线性方程组：将系数矩阵化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解.。
若有非零解，化成行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为，齐次线性方程组的通解可以表示成基础解系的“线性组合”。
非齐次线性方程组：将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解。
若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由基。
(为任意常数)，不带参数部分是非齐次方程组的一个解；带参数部分的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。
（三）线性方程组解的结构1. 解齐次线性方程组：{x 1+2x 2+x 3−x 4＝03x 1+6x 2−x 3−3x 4＝05x 1+10x 2+x 3−5x 4＝01.解：A=(12136−15101 −1−3−5)r 2+(−3)r 1；r 3+(−5)r 1→ (12100−400−4 −100)r 3+(−1)r 2；r 2÷(−4)→ (121001000 −100)r 1+(−1)r 2→ (120001000 −100) R(A)=2，基础解系中含有4-2=2个解向量，同解方程组为{x 1=−2x 2+x 4x 3=0令x 2=1，x 4=0，则x 1=−2所以ξ1=(−2100)，令x 2=0，x 4=1，则x 1=1所以ξ2=(1001)，所以方程的基础解系：(x 1x 2x 3x 4)=c 1(−2100)+c 2(1001)2. 解非齐次线性方程组：{x 1+x 2−3x 3−x 4＝13x 1−x 2−3x 3+4x 4＝4x 1+5x 2−9x 3−8x 4＝02.解：对增广矩阵B 进行初等变换B=(11−33−1−315−9 −1144−80)r 2+(−3)r 1；r 3+(−1)r 1→ (11−30−4604−6 −1171−7−1)r 3+(−1)r 2；r 2÷(−4)→(11−301−32000 −11−74−1400)r 1+(−1)r 2→ (10−3201−32000 3454−74−1400) R(A)=R(A, b)=2，方程组有解，同解方程组为 {x 1=32x 3−34x 4+54x 2=32x 3+74x 4−14x 3=x 3x 4=x 4它的一个特解为η∗=( 54−1400)，（解释一下基础解系如何求解？求基础解系只需把原本的非齐次线性方程组看成齐次线性方程组，即{x 1+x 2−3x 3−x 4＝03x 1−x 2−3x 3+4x 4=0x 1+5x 2−9x 3−8x 4＝0）{x 1=32x 3−34x 4x 2=32x 3+74x 4x 3=x 3x 4=x 4基础解系为ξ1=( 323210) ，ξ2=( −347401)所以通解：(x 1x 2x 3x 4)=c 1( 323210) +c 2( −347401) +( 54−1400)。
1 / 3同步自修1-5第五讲 克拉默法则一、温故而知新（微课后练习）1. 实现目标(1) 克拉默法则定理1.4.2 如果n 个方程的n 元线性方程组11112211211222221122,,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的系数行列式||0ij n D a =≠，则方程组必有惟一解：,1,2,,,j j D x j n D == 其中 111,111,111,1,11,1,1,1,2,,,j j n i i j i i j in j n n j n n j nn a a b a a a a b a a D j n a a b a a -+-+-+== 是将系数行列式D 中第j 列元素12,,,j j nj a a a 对应地换为方程组的常数项12,,,n b b b 得到的行列式。
(2) 齐次线性方程组只有零解条件 定理1.4.3 如果n 个方程的n 元线性方程组1111221211222211220,0,0,n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的系数行列式||0ij n D a =≠，则它只有零解(未知量全为零的解)，即120.n x x x ====2. 巩固练习利用克拉默法则求解下列线性方程组(1) 1231231230253104824x x x x x x x x x ++=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩ (2) 2214x y z x y x z -+=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩2 / 3二、拓展与延伸（自修新知识）1. 克拉默法则只适应求解系数行列式不为零的n 个方程n 个未知量的非齐次线性方程组（方程个数与未知量个数相同的方程组），克拉默法则公式记住后，关键还是行列式的计算。
