线性代数习题1.6克拉默法则

克拉默法则的公式“嘿，同学们，今天咱们来讲讲克拉默法则的公式。

”克拉默法则是用来解线性方程组的一种方法。

对于一个线性方程组，如果它有 n 个未知数，n 个方程，且系数行列式不等于零，那么这个方程组有唯一解。

具体来说，假设线性方程组为：a11x1 + a12x2 +... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 +... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 +... + annxn = bn那么未知数 xi 的解可以通过下面的公式来计算：xi = Di / D其中，D 是方程组的系数行列式，Di 是将 D 中的第 i 列换成方程组等号右边的常数项 b1, b2,..., bn 后得到的行列式。

举个例子吧，假设有这样一个线性方程组：2x1 + 3x2 = 84x1 + 5x2 = 14先计算系数行列式 D = |2 3| = 2*5 - 3*4 = -2。

然后计算 D1，把 D 中的第一列换成常数项 8 和 14，得到 D1 = |8 3| = 8*5 - 3*14 = -2。

计算 D2，把 D 中的第二列换成常数项 8 和 14，得到 D2 = |2 8| = 2*14 - 8*4 = 12。

那么 x1 = D1 / D = -2 / -2 = 1，x2 = D2 / D = 12 / -2 = -6。

所以方程组的解就是 x1 = 1，x2 = -6。

克拉默法则在很多领域都有应用。

比如在工程学中，当需要确定一些变量的值以满足特定的条件时，就可以用克拉默法则来求解线性方程组。

再比如在经济学中，分析一些经济模型时，常常会遇到线性方程组，克拉默法则就能派上用场。

同学们要记住，克拉默法则虽然好用，但它有个前提条件，就是系数行列式不能为零。

如果遇到行列式为零的情况，就得考虑其他方法来解方程组了。

总之，克拉默法则是线性代数中一个非常重要的工具，掌握好它对大家学习和解决问题都有很大的帮助。

克拉默法则典型例题行列式与它的转置行列式相等。

交换行列式的两行，行列式取相反数。

行列式的某一行的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。

行列式如果有两行元素成比例，则此行列式等于零。

1、三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。

计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型。

2、互换行列式中的两行（列于），行列式变号。

3、行列式中某行（列）的公因子，可以提出放到行列式之外。

4、行列式的某行除以a，提至另外一行，行列式维持不变，常用于解出某些元素。

5、若行列式中，两行（列）完全一样，则行列式为0；可以推论，如果两行（列）成比例，行列式为0。

6、行列式进行：行列式的值，等同于其中某一行（列于）的每个元素与其代数余子式乘积的和；但若就是另一行（列于）的元素与本行（列于）的代数余子式乘积议和，则其和为0。

7、在求解代数余子式相关问题时，可以对行列式进行值替代。

8、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式解方程。

9、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。

齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。

当d=0时，有非零解；当d!=0时，方程组无非零解。

①行列式a中某行(或列于)用同一数k乘,其结果等同于ka。

②行列式a等于其转置行列式at(at的`第i行为a的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列于);行列式则|αij|就是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列于),一个就是b1,b2,…,bn；另一个就是с1，с2,…,сn；其余各行（或列于）上的元与|αij|的全然一样。

④行列式a中两行（或列）互换,其结果等于-a。

⑤把行列式a的某行（或列于）中各元同乘一数后加进另一行（或列于）中各对应元上，结果仍然就是a。

线性代数（五）克拉默法则1.法则：的系数行列式不等于零，即，那么该方程组有唯一解。

是用非齐次项代替中第列元素后所得的行列式。

注意克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。

定理4 如果线性方程组的系数行列式，则它一定有解，且解是唯一的。

逆否定理如果线性方程组无解或有多个不同的解，则它的系数行列式必为零。

（三）线性方程组—线性方程组的解如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容的。

定理2 元齐次线性方程组（1）有唯一解，零解；（2）有非零解。

定理3（1）无解的充分必要条件是；（2）有唯一解的充分必要条件是；（3）有无穷多解的充分必要条件是基础解系齐次线性方程组为任意常数)，称通解式构成该齐次线性方程组的基础解系。

线性方程组的解法齐次线性方程组：将系数矩阵化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解.。

若有非零解，化成行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为，齐次线性方程组的通解可以表示成基础解系的“线性组合”。

非齐次线性方程组：将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解。

若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由基。

(为任意常数)，不带参数部分是非齐次方程组的一个解；带参数部分的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。

（三）线性方程组解的结构1. 解齐次线性方程组：{x 1+2x 2+x 3−x 4＝03x 1+6x 2−x 3−3x 4＝05x 1+10x 2+x 3−5x 4＝01.解：A=(12136−15101 −1−3−5)r 2+(−3)r 1；r 3+(−5)r 1→ (12100−400−4 −100)r 3+(−1)r 2；r 2÷(−4)→ (121001000 −100)r 1+(−1)r 2→ (120001000 −100) R(A)=2，基础解系中含有4-2=2个解向量，同解方程组为{x 1=−2x 2+x 4x 3=0令x 2=1，x 4=0，则x 1=−2所以ξ1=(−2100)，令x 2=0，x 4=1，则x 1=1所以ξ2=(1001)，所以方程的基础解系：(x 1x 2x 3x 4)=c 1(−2100)+c 2(1001)2. 解非齐次线性方程组：{x 1+x 2−3x 3−x 4＝13x 1−x 2−3x 3+4x 4＝4x 1+5x 2−9x 3−8x 4＝02.解：对增广矩阵B 进行初等变换B=(11−33−1−315−9 −1144−80)r 2+(−3)r 1；r 3+(−1)r 1→ (11−30−4604−6 −1171−7−1)r 3+(−1)r 2；r 2÷(−4)→(11−301−32000 −11−74−1400)r 1+(−1)r 2→ (10−3201−32000 3454−74−1400) R(A)=R(A, b)=2，方程组有解，同解方程组为 {x 1=32x 3−34x 4+54x 2=32x 3+74x 4−14x 3=x 3x 4=x 4它的一个特解为η∗=( 54−1400)，（解释一下基础解系如何求解？求基础解系只需把原本的非齐次线性方程组看成齐次线性方程组，即{x 1+x 2−3x 3−x 4＝03x 1−x 2−3x 3+4x 4=0x 1+5x 2−9x 3−8x 4＝0）{x 1=32x 3−34x 4x 2=32x 3+74x 4x 3=x 3x 4=x 4基础解系为ξ1=( 323210) ，ξ2=( −347401)所以通解：(x 1x 2x 3x 4)=c 1( 323210) +c 2( −347401) +( 54−1400)。

克拉默法则求解方程组例题克拉默法则是一种用于求解线性方程组的方法。

对于一个含有n 个未知数和n个线性方程的方程组，可以使用克拉默法则来求解每个未知数的值。

假设方程组为：ax + by + cz + ... = dax + by + cz + ... = dax + by + cz + ... = d...an + bny + cnz + ... = dn首先，我们计算方程组的系数矩阵A的行列式值，记作D。

然后，对于每个未知数的系数矩阵A中的每一列，将该未知数的系数用方程组的常数列替换，得到新的矩阵。

再计算新矩阵的行列式值，记作D、D、D...。

最后，每个未知数的解就等于对应的D、D、D...值除以D 的值。

例如，考虑以下方程组：2x + 3y = 54x - 2y = 10首先，计算系数矩阵A的行列式值D：D = |2 3||4 -2|= (2 * -2) - (3 * 4) = -16然后，对于未知数x的系数矩阵A，将其用方程组的常数列替换：A = |5 3||10 -2|计算新矩阵A的行列式值D：D = (5 * -2) - (3 * 10) = -20未知数x的解为D除以D的值：x = D / D = -20 / -16 = 5 / 4 = 1.25同样地，对于未知数y的系数矩阵A，将其用方程组的常数列替换：A = |2 5||4 10|计算新矩阵A的行列式值D：D = (2 * 10) - (5 * 4) = 20 - 20 = 0未知数y的解为D除以D的值：y = D / D = 0 / -16 = 0因此，方程组的解为x = 1.25，y = 0。

克拉默法则的优点是可以直接得到每个未知数的解，但当方程组比较大时，计算行列式的值可能会变得很复杂，效率较低。

因此，对于大规模的线性方程组，其他求解方法可能更加实用。

《线性代数》克拉默法则克拉默法则是线性代数中的一种重要方法，它可以用于解决线性方程组的问题。

克拉默法则基于行列式的概念，通过计算各个未知数对应的行列式值来求解方程组。

本文将详细介绍克拉默法则的概念、原理和应用，以及该方法的优缺点。

克拉默法则是由法国数学家克拉默于18世纪创立的，它通过计算系数矩阵的各个子行列式对应的行列式值来求解线性方程组。

设线性方程组为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2......an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中a11, a12, ..., ann为系数矩阵，b1, b2, ..., bn为常数向量，x1, x2, ..., xn为未知数向量。

则克拉默法则的求解步骤如下：1.计算系数矩阵的行列式值D：D=，a11a12 (1)a21a22...a2........an1 an2 ... an2.计算常数向量和第i列系数矩阵替换的行列式值Di：将第i列系数替换为常数向量，得到新的矩阵Ai，然后计算行列式值Di=，a'11a'12...a'1na'21a'22...a'2........a'n1 a'n2 ... a'n3. 计算未知数xi的值：未知数xi的值等于Di除以D的商，即xi= Di / D。

4.重复步骤2和步骤3，求解所有的未知数。

克拉默法则的优点是简单易懂，可以直接通过计算行列式的值来求解未知数的值，不需要进行矩阵的运算。

同时，克拉默法则适用于各种大小的方程组，不论是2x2的方程组还是nxn的方程组都可以使用该方法求解。

此外，克拉默法则也可以用于求解非线性方程组，只需要将非线性方程线性化后，再使用克拉默法则求解即可。

然而，克拉默法则也存在一些缺点。

首先，克拉默法则在实际应用中计算量较大，特别是当方程组的规模较大时，求解时间会显著增加。