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克拉默法则

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第4讲_克拉默法则

第4讲_克拉默法则

第4讲_克拉默法则克拉默法则，又称克拉默法则(Cramer's Rule)，是线性代数中一种求解线性方程组的方法。

它是基于行列式的性质推导而来的，可以通过求解方程组的系数矩阵的行列式和一系列的余子式来求解方程组的解。

设线性方程组为：a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3对应的系数矩阵为：A=，a1b1c1a2b2ca3b3c假设A的行列式，A，≠0，即A可逆。

克拉默法则的步骤如下：1.求出系数矩阵A的行列式，A。

2.将线性方程组中的常数项d替换成对应的常量向量i，并构成矩阵Ai，其中Ai的第i列替换为常量向量。

3.求出Ai的行列式，Ai。

4.解方程组的解向量为：x=，Ai，/，Ay=，Ai，/，Az=，Ai，/，A克拉默法则的优点是求解方便，特别适用于方程组的规模较小的情况。

然而，它的缺点是计算量较大，需要求系数矩阵和每个常量向量的行列式，不适用于大规模的方程组求解。

以下是一个数值例子来说明克拉默法则的应用：假设有方程组：2x+y-z=14x-6y=-2-2x+7y+2z=3我们可以转换为系数矩阵和常数向量的形式：A=，21-14-6-27d=，1-首先，计算系数矩阵A的行列式，A。

A，=2(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(4)(7)=-12+0-28=-40然后，分别计算对应常量向量的行列式。

A1，=1(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(-2)(7)=12+0+14=26A2，=2(0)(2)+1(4)(-2)+(-1)(-2)(7)=0-8+14=6A3，=2(-6)(-2)+1(4)(7)+(-1)(-2)(0)=24+28+0=52最后，根据克拉默法则的公式，我们可以得出解向量：x=，A1，/，A，=26/-40=-0.65y=，A2，/，A，=6/-40=-0.15z=，A3，/，A，=52/-40=-1.3因此，方程组的解为x=-0.65，y=-0.15，z=-1.3总结来说，克拉默法则是一种通过求解行列式的方法来求解线性方程组的解的方法。

克拉默法则原理范文

克拉默法则原理范文

克拉默法则原理范文克拉默法则是高等数学中一种计算线性方程组解的方法，由法国数学家克拉默于18世纪末提出。

克拉默法则的原理基于行列式的性质，通过计算各个未知数所对应的行列式的值，从而得到线性方程组的解。

下面将详细介绍克拉默法则的原理。

假设有一个包含n个线性方程和n个未知数的线性方程组：a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ=b₁a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ=b₂...aₙ₁x₁+aₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ=bₙ其中aₙₙ是方程组中的系数，xₙ是未知数，bₙ是常数项。

根据克拉默法则，可以计算出方程组解的过程如下：首先，我们需要计算出方程组的系数行列式，记作D，即：D=，a₁₁a₁₂...a₁ₙa₂₁a₂₂...a₂..aₙ₁aₙ₂...aₙ然后，我们依次计算出将方程组中的第k个系数列替换为常数项列所得到的行列式，记作Dₙ，即：Dₙ=，a₁₁a₁₂...b₁...a₁ₙa₂₁a₂₂...b₂...a₂..aₙ₁aₙ₂...bₙ...aₙ最后，方程组的解可以表示为：xₙ=Dₙ/D，其中k=1,2,...,n1.行列式的乘法性质：如果把一个行列式的其中一列乘以同一个数k，得到的结果行列式等于原行列式乘以k。

2.行列式的加法性质：如果把一个行列式的其中一列的各个数分别乘以一些数，得到的结果行列式等于原行列式的各列与这些数的乘积的和。

3.行列式的行互换性质：如果行列式的两行交换位置，行列式变号。

4.行列式的零行性质：如果行列式的其中一行全为0，则行列式等于0。

由于行列式的计算比较繁琐，所以克拉默法则一般在求解小规模的线性方程组时使用，而不适用于大规模线性方程组的求解。

此外，如果方程组的系数行列式D等于0，则克拉默法则无法得到解。

克拉默法则的优点是简单易懂，计算方法也相对直观。

但它的缺点也是很明显的，由于每次求解时都需要计算n+1个行列式，所以当n较大时，计算量很大，效率低下。

因此，在实际应用中，一般使用其他更高效的方法来求解线性方程组，如高斯消元法、LU分解法等。

克拉默(Cramer)法则

克拉默(Cramer)法则

§7 克拉默(Cramer)法则现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理4 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, (1) 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211(2) 的行列式0||≠=A d那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为dd x d dx d d x n n ===,,,2211 , (3) 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n n j j n j j j==+-+-+- (4)定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1. 把),,,(21dd d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理5 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (10) 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0||=A .例2 求λ在什么条件下，方程组⎩⎨⎧=+=+0,02121x x x x λλ 有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 级行列式，这个计算量是很大的.。

carmer法则

carmer法则

carmer法则
克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，也称作克拉默法则。

这个法则是由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）在他的《线性代数分析导言》中于1750年发表的。

不过值得注意的是，尽管克莱姆是首位发表这个法则的数学家，但莱布尼兹和马克劳林等数学家在此之前也已经知晓这个法则。

克莱姆法则的核心内容是：对于一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，如果其系数行列式不等于零，那么方程组有唯一解，且每一个未知数的解可以由对应的行列式求得。

具体来说，每一个未知数的解等于常数项替换该未知数系数后所得到的行列式与原系数行列式之商。

然而，克莱姆法则并不总是计算线性方程组最有效的方法。

实际上，当方程组的规模（即未知数的数量）增加时，使用克莱姆法则进行计算会变得非常低效。

因为计算每一个未知数的解都需要计算n个n阶行列式，而计算一个n阶行列式的时间复杂度是O(n!)，这使得克莱姆法则对于大规模线性方程组的求解并不实用。

此外，克莱姆法则还存在数值稳定性的问题。

即使对于规模较小的线性方程组，由于计算过程中涉及大量的乘法和除法运算，可能会导致数值误差的累积，从而影响解的精度。

总的来说，克莱姆法则虽然在线性代数中具有重要的理论意义，但在实际应用中，我们通常会选择更高效、更稳定的算法来求解线性方程组。

克拉默法则

克拉默法则
§7
克拉默法则
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
D b1 b2 a12 a22
a11 a21
a12 a22 D2
(方程组的系数行列式)
D1
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 a12b2 D1 x1 a11a22 a12a21 D a11b2 b1a21 D2 x2 a11a22 a12a21 D
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn a11 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann 0 (1) 1
4 1 ( 2)( 3) 1
D
2 1
如果齐次方程组有非零解，则必有 D 0 .
2 3 时齐次方程组有非零解. 所以 0、、
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则 解方程组？为什么？此时方程组的解为何？
答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.
r1 2r2
r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13 c1 2c2 2 1 2 7 7 12 c3 2c2
3 5
3
0 1 0 27 0 7 7 2
2 D2 1 1 8 9 0 5 0 7 1 6 2 6

克拉默(Cramer)法则

克拉默(Cramer)法则

(1)
a11 a12 a1 n a 21 a 22 a 2 n 0 的系数行列式不等于零，即 D a n1 a n 2 a nn
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
D1 D2 D3 Dn x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
定理4 如果线性方程组（1）的系数行列式 D 0
则（1）一定有惟一解。
推论 如果线性方程组（1）无解或有两个不同 的解，则它的系数行列式一定为零。
定义
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
第七节
克拉默（Cramer)法则
一、克拉默法则 二、重要定理
三、小结、思考题
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a11 a1 , j 1 b1 a1 , j 1 a1 n D j a n 1 a n , j 1 bn a n , j 1 a nn
二、重要定理
2 5 λ 6 λ 4 λ 8 5 λ 5 λ λ 10 λ 16
5 λ λ 2 λ 8
由于 1 5, 2 2, 3 8 所以当

克拉默法则


解
5 2 2
D 2 6 0 (5 )(2 )(8 )
2 0 4
由D=0,得λ=2, λ=5, λ=8.
总结
1.用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
2.克拉默法则建立了线性方程组的解与已知的系 数与常数项之间的关系，它主要使用于理论推 导。

D4 D

27 27

1.
二、齐次与非齐次线性方程组的定义
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
(11)
an1x1 an2 x2 L ann xn bn
定义:线性方程组(11)右端的常数项b1, b2 , ∙ ∙ ∙, bn不 全为零时,线性方程组(11)叫做非齐次线性方程
定理3′ 如果齐次线性方程组(12)有非零解,则它的系 数行列式必为零.
定理4 齐次线性方程组（12）有非零解得充分必要 条件是它的系数行列式为零。
例 问λ取何值时,齐次线性方程组有非零解？
5 x 2 y 2z 0,

2x 6 y 0,

2x 4z 0
an1 L an, j1 bn an, j1 L ann
关于克拉默法则的等价命题
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LL
L
b2 L
(11)
an1x1 an2 x2 L ann xn bn

线性代数课件1-7克拉默法则


克拉默法则也可以用来判断线性方程 组的解的情况，通过计算系数行列式 和常数项的乘积，可以判断方程组是 否有唯一解、无解或无穷多解。
VS
如果系数行列式不为零，则方程组有 唯一解；如果系数行列式为零但常数 项的乘积不为零，则方程组无解；如 果系数行列式为零且常数项的乘积为 零，则方程组有无穷多解。
解决实际问题的应用
克拉默法则可以用来解线性方程组，通过将方程组转化为行列式形式，然后利用行列式的性质进行求 解。
具体步骤包括将方程组整理成标准形式，计算系数行列式和常数项的乘积，然后求解每个未知数的值。
需要注意的是，克拉默法则只适用于线性方程组有唯一解的情况，对于无解或无穷多解的情况不适用。
判断线性方程组的解的情况
克拉默法则可以作为迭代解法的一种基础算法， 用于计算迭代过程中的系数矩阵和常数矩阵。
3
求解步骤
在迭代解法中，需要设定合适的迭代初值，然后 通过迭代公式不断逼近方程的解，直到达到预设 的精度要求。
05
克拉默法则的注意事项与 限制
系数矩阵的行列式必须不为零
克拉默法则要求系数矩阵的行列式不为零，否则该法则无法应用。这是因为行列式为零意味着矩阵是奇异的，此时线性方程 组可能无解或有无穷多解，克拉默法则不再适用。
线性代数课件1-7克 拉默法则
目录
• 克拉默法则概述 • 克拉默法则的推导过程 • 克拉默法则的应用实例 • 克拉默法则的扩展与推广 • 克拉默法则的注意事项与限制
01
克拉默法则概述
克拉默法则的定义
克拉默法则定义
克拉默法则是指对于线性方程组，如果系数行列式不为0，则方 程组有唯一解，且其解可以通过系数行列式与常数列的转置矩 阵的行列式之商来求解。
克拉默法则给出了线性方程组解的表达式，该表达式基于 系数矩阵的行列式值和代数余子式。通过计算这些值，可 以得到线性方程组的解。

克拉默法则


则 即
A1 ( AX ) A1b
X A1b
故 A 1b 是方程组（9）的唯一解向量． | An | | A1 | | A2 | 1 , , , 最后证明 A b 的n个分量就是： | A| | A| | A| 1 1 1 1 Ab 由逆阵公式 A A ，有 x A b | A| | A| A11 A21 An1 b1 x1 x2 A12 A22 An2 b2 1 即 | A | xn A1n A2 n Ann bn
证明 把方程组（9）写成矩阵方程
Ax b
因 | A | 0 ，故 A 1存在.
1
（ 9）
代入（9）中有 首先证明（9）有解： 将 A b ，
A( A b) ( AA )b bБайду номын сангаас
故 A 1b 是（9）的解. 再证明（9）的解是唯一的： 设 X 是（9）的任意一个解，有
1
1
AX b
| A1 | 1 | A2 | | A| | An |
b1
a12 a1n
b2 a22 a2 n | A1 | bn an2 ann
例16 用克拉默法则解方程组
x1 x2 x3 2 2 x1 x2 3 x3 1 3 x 2 x 5 x 0 1 2 3
即有 x1 5, x2 0, x3 3
二、小结
克拉默法则 注：用克拉默法则求解方程组时要注意两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
三、作业
P.54. 15
| A3 | 9 | A2 | 0 | A1 | 15 3, 0, x3 x1 5, x2 | A| 3 | A| 3 | A| 3

1.4克拉默(Cramer)法则


1 时，方程组有非零解.
例 3：证明：方程组有惟一零解。
1 ( a11 2 ) x1 a12 x2 a1n xn 0 1 a 21x1 ( a 22 ) x2 a 2 n xn 0 2 1 a n1 x1 a n 2 x2 ( a nn ) xn 0 2
拉默法则仅具有理论上的意义。对于一般的线性方程组，
量个数与方程个数虽然相同，但系数行列式值等于零的
情形，我们将在后面作进一步的讨论。
第四节 克拉默（Cramer）法则
考虑方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
1 6 27 0 2 6
所以方程组有唯一解。又因为
8 9 D1 5 0
1 3 2 4
5 0 1 7
1 2 6 1 81 D2 2 0 6 1
8 9 5 0
5 0 1 7
1 6 108, 2 6
2 1 D3 0 1
1 3 2 4
8 9 5 0
则它的系数行列式必为0。
例 2：为何值时，方程组有非 零解？
x y z 0 x y z 0 2 x y z 0
解 若方程组有非零解,则其系数行列式为零,即

1
D 1 2
故当

1
1 1 3 1 0 1

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n1 x2 a nn xn bn
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142
线性代数讲稿
⎧λx1 + x 2 + x3 = 0 ⎪ ⎨ x1 + λx 2 + x3 = 0 ⎪ x + x + λx = 0 2 3 ⎩ 1
有非零解． 解：按题意要求方程组的系数行列式为零，即
λ 1 1 0 = 1 λ 1 ====== (λ + 2) 1 λ 1 再c1 ÷( λ + 2 ) 1 1 λ 1 1 λ === (λ + 2) 1 λ − 1 0 = (λ + 2)(λ − 1) 2 , j = 2,3 1 0 λ −1
线性代数讲稿
§1.4
一.基本概念
克拉默（Cramer）法则
关于 n 个待求量 xi 的 n 个线性方程联立而成的线性方程组：
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪a x + a x + L + a x = b ⎪ 21 2 22 2 2n n 2 ⎨ M M ⎪ ⎪ ⎩ a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
xj = Dj D
( j = 1,2, L , n)
（2）
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列换成（1）中右端的 b1,b2,…,bn 所构成的 n 阶行列式，
即
Dj =
a11 L a1 j −1 a 21 L a 2 j −1
b1 b2
a1 j +1 L a1n a 2 j +1 L a 2 n M a n j +1 M M L an n
c j −c1 c1 + ( c2 + c3 )
1 1
1
1
0
0
得
λ = -2 或λ = 1．
[讨论：易见，对 λ = 1，原三个方程，其实只是一个方程；三个变量中，有 两个变量是完全“自由1)；
2；
143
解：
D = 1 − 5 3 = −8 ， 1 −1 1 2 1 1 D2 = 1 2 3 = 9 ， 1 −1 1
D1 = 2 − 5 3 = 11 ， −1 −1 1 2 −4 1 D3 = 1 − 5 2 = 6 1 −1 −1
，
∴
x=−
11 , 8
y=−
9 3 , z=− 8 4
．
4.[P.31 例 3] 问 λ 为何值时，方程组
（1）；
若 bi = 0 ， (i = 1,2, L, n) 则称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组．n 阶 行列式
a11 D= a 21 M a n1 a12 a 22 M L a1n L a2n O M
a n 2 L a nn
称为方程组（1）的系数行列式． 二. Cramer （克拉默）法则 1.法则内容：若 n 元方程组（1）的系数行列式 D ≠ 0 ，则方程组有唯一解
a11 a 21
b1 b2
，
y=
2.三元线性方程组的 Cramer 法则
⎧ a11 x + a12 y + a13 z = b1 ⎪ ⎨a 21 x + a 22 y + a 23 z = b2 ． ⎪a x + a y + a z = b 22 33 2 ⎩ 21 a11 a 21 a 22 a 23 b1 b2 b3 x= D1 D a31 a 32 ， a33 a31 a32 ， a 33
,
b1 D1 = b2 b3 a11 D3 = a12 a13 D2 D
, z=
a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23
a31 a32 ， a 33 b1 b2 ， b3
解：本题
D = a12 a13 a11 D2 = a12 a13
若 D ≠ 0 ，则
y=
D3 ． D
⎧2 x − 4 y + z = 1 ⎪ 3. [P.3 例 l]： ⎨ x − 5 y + 3 z = 2 ⎪ x − y + z = −1 ⎩ 2 −4 1 1 −4 1
M M M M a n1 L a n j −1 bn
n
．
2.说明：①.本法则的证明，见教材 P.29-30；首先要习惯（1）式的缩写法
∑a
j =1
ij
x j = bi
(i = 1,2, L , n)
（3）
②. 证明(2)是(1)的解，就是把(2)代入(3)中，成立； ③. 证明(2)是(1)的唯一解，就是先设(1)有某解，再证明它是取(2)的形 式． 3.推论：若全部 bi = 0 ，即对齐次线性方程组， ①.若 D ≠ 0 ，则全部 xi = 0 ；②.若 xi 不全为零，则 D = 0 ．
141
线性代数讲稿
三.例题 1.二元线性方程组的 Cramer 法则
⎧ a11 x + a12 y = b1 ． ⎨ ⎩a 21 x + a 22 y = b2
解：本题 D = 若 D ≠ 0 ，则
a11 a 21
a12 a 22
x=
， D1 =
D1 D ,
b1 b2
a12 a 22
D2 ． D
， D2 =