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线性代数知识点全归纳线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射。
它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
下面将对线性代数的主要知识点进行全面归纳。
1.矩阵及其运算：矩阵是线性代数的基本概念之一，由若干行和列组成的方阵。
常见的矩阵运算有加法、减法、数乘、矩阵乘法和转置等。
2.向量及其运算：向量是一个有序数组，具有大小和方向。
常见的向量运算有加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。
3.线性方程组：线性方程组是线性代数的核心内容之一、包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
解线性方程组的方法有高斯消元法、克莱姆法则和矩阵求逆等。
4.向量空间与线性变换：向量空间是线性代数的基本概念之一，包含零向量、加法和数乘运算。
线性变换是一种保持向量空间结构的映射。
5.基与维度：基是向量空间的一组线性无关向量，可以由基线性组合得到向量空间中的任意向量。
维度是向量空间中基的数量。
6.线性相关与线性无关：向量组中的向量线性相关指存在非零的线性组合，其系数不全为零。
如果向量组中的向量线性无关，则任何线性组合的系数都为零。
7.线性变换与矩阵：线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量表示线性变换作用于基向量上后的结果。
矩阵乘法可以将多个线性变换组合为一个线性变换。
8.特征值与特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量，使得它在该线性变换下只发生伸缩而不发生旋转，那么这个向量称为该线性变换的特征向量，对应的伸缩比例为特征值。
9.二次型与正定矩阵：二次型是线性代数中的重要概念，是一个关于变量的二次函数。
正定矩阵是指二次型在所有非零向量上的取值都大于零。
10.内积与正交性：内积是向量空间中的一种运算，它满足线性性、对称性和正定性。
正交性是指两个向量的内积为零，表示两个向量互相垂直。
11.正交变换与正交矩阵：正交变换是指保持向量长度和向量之间夹角的变换。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的行向量和列向量两两正交，并且长度为112.奇异值分解与特征值分解：奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，另外两个是对角矩阵。
线性代数全公式基本运算①A B B A +=+②()()C B A C B A ++=++③()cB cA B A c +=+ ()dA cA A d c +=+ ④()()A cd dA c =⑤00=⇔=c cA 或0=A 。
()A A TT=()T T TB A B A ±=±()()T TA c cA =。
()T T TA B AB =()()()212112-==-n n C n n n τ n n A a A a A a D 2222222121+++=转置值不变A A T=逆值变AA11=- A c cA n =γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+()321,,ααα=A ，3阶矩阵 ()321,,βββ=B B A B A +≠+()332211,,βαβαβα+++=+B A332211,,βαβαβα+++=+B A B A BA B A =*=*0()()1,=c j i E有关乘法的基本运算nj in j i j i ij b a b a b a C +++= 2211 线性性质 ()B A B A B A A 2121+=+， ()2121AB AB B B A +=+ ()()()cB A AB c B cA == 结合律 ()()BC A C AB = ()T T TA B AB =B A AB =lk lkA A A +=()kl lkA A =()k k kB A AB =不一定成立！A AE =，A EA =()kA kE A =，()kA A kE =E BA E AB =⇔=与数的乘法的不同之处()k k kB A AB =不一定成立！无交换律 因式分解障碍是交换性一个矩阵A 的每个多项式可以因式分解，例如 ()()E A E A E A A +-=--3322无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当0=AB 时0=⇒/A 或0=B 由0≠A 和00=⇒/=B AB由0≠A 时C B AC AB =⇒/=（无左消去律） 特别的 设A 可逆，则A 有消去律。
线性代数-矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等⾏变换与三种初等列变换。
分别为：
对换变换，即i ⾏与j ⾏进⾏交换，记作r i <->r j ;数乘变换，⾮零常数k 乘以矩阵的第i ⾏，记作kr i ;倍加交换，矩阵第i ⾏的k 倍加到第j ⾏上，记作r j + kr i
对应关系换成列，即为三种初等列变换。
矩阵变换可以化简矩阵、解线性⽅程组、求矩阵的逆矩阵。
⾏阶梯形的定义：
1、对于⾏⽽⾔，若有零⾏，则零⾏均在⾮零⾏的下⽅；
2、从第⼀⾏开始，每⾏第⼀个⾮零元素前⾯的零逐⾏增加。
对于矩阵A，很显然符合⾏阶梯形的定义：
1234502456000070
对第⼀⾏作 r1 - r2 变换得到矩阵：
10−1−1−10245600007
继续作 0.5 r2 变换
10−1−1−10125/23000070
r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换10−1−100125/200000700000
1/7 r3 变换
10−1−100125/20000010
对于矩阵A mxn ，通过有限次初等变换可以转换成⾏阶梯形的形式。
A的最简形：⾮零⾏的第⼀个⾮零元素是1，且1所在的列，⾮零元素均为零。
显然最后⼀个⾏阶梯形矩阵符合A的⾏最简形定义。
A的标准型：左上⾓是⼀个r阶的单位矩阵，其余元素为零。
[
]
[
][
]
[][
]
Processing math: 100%。
线性代数矩阵运算矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
矩阵运算作为线性代数中的基础操作，对于理解和应用矩阵具有重要意义。
本文将介绍线性代数中常见的矩阵运算方法，包括矩阵的加法、减法、数乘、乘法、转置和逆等。
1. 矩阵的加法矩阵的加法是指同维数的两个矩阵相加。
设有两个m行n列的矩阵A和B，它们的和记为A+B，即每个对应位置的元素相加。
例如：```A = [a11, a12, a13][a21, a22, a23]B = [b11, b12, b13][b21, b22, b23]A +B = [a11+b11, a12+b12, a13+b13][a21+b21, a22+b22, a23+b23]```2. 矩阵的减法矩阵的减法与加法类似，也是同维数的两个矩阵相减。
设有两个m行n列的矩阵A和B，它们的差记为A-B，即每个对应位置的元素相减。
例如：```A = [a11, a12, a13][a21, a22, a23]B = [b11, b12, b13][b21, b22, b23]A -B = [a11-b11, a12-b12, a13-b13][a21-b21, a22-b22, a23-b23]```3. 数乘数乘是指一个数与矩阵的每个元素相乘。
设有一个m行n列的矩阵A和一个实数k，它们的数乘记为kA，即将A的每个元素都乘以k。
例如：```A = [a11, a12, a13][a21, a22, a23]k = 2kA = [2a11, 2a12, 2a13][2a21, 2a22, 2a23]```4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
设有一个m行n 列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记为AB，即对A的每一行与B的每一列进行内积运算。
例如：```A = [a11, a12][a21, a22]B = [b11, b12, b13][b21, b22, b23]AB = [a11*b11 + a12*b21, a11*b12 + a12*b22, a11*b13 + a12*b23] [a21*b11 + a22*b21, a21*b12 + a22*b22, a21*b13 + a22*b23]AB = [c11, c12, c13][c21, c22, c23]```需要注意的是，两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
线性代数中的基本概念和运算线性代数是现代数学的一个重要分支，也是许多学科中必不可少的一门基础课程。
它研究的是向量、矩阵、线性变换等概念及其相应的运算。
本文将介绍线性代数中的基本概念和运算。
一、向量与向量空间在线性代数中，向量是最基本的概念之一。
向量通常用一列有序数或者坐标来表示，也可以用一个点或者箭头来表示。
向量空间是一组具有相同性质的向量的集合，其中向量有加法和数乘两个运算，满足加法交换律、结合律和分配律，以及数乘分配律、结合律和单位元等基本性质。
二、矩阵与矩阵运算矩阵是由一组数排成的矩形阵列，用来表示一些现象或者数据的特征。
在线性代数中，矩阵是向量的一种运算形式，可以表示线性变换。
矩阵加法和数乘都是矩阵运算中的基本运算，同时还有矩阵乘法、矩阵求逆和行列式等基本运算。
三、线性变换和线性方程组线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足加法和数乘的线性性质。
它是线性代数中非常重要的概念，因为它涉及到矩阵乘法、特征值等许多重要的应用。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，它是解决问题的基础。
求解线性方程组需要用到矩阵的运算和高斯消元法等算法。
四、特征值和特征向量在线性代数中，特征值和特征向量是与线性变换密切相关的概念。
特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量。
在某些特定的线性变换下，一个向量的方向不变，只发生了伸缩操作。
此时，特征向量的方向不变，只是在同一方向上拉长或者缩短了，而特征向量对应的标量就是特征值。
五、广义逆与二次型广义逆也叫伪逆，是一种扩展了矩阵逆的概念。
在某些情况下，矩阵并没有逆矩阵。
此时，可以用广义逆来求解问题。
二次型是与矩阵有关的一种特殊的函数形式，它是向量的二次函数，而矩阵是二次型的系数矩阵。
二次型的求解可以用到特征值和特征向量等概念。
总之，线性代数是一门非常重要的数学课程，它涉及到许多领域的应用，包括物理学、工程学、计算机科学等。
掌握线性代数的基础概念和运算，有助于我们更好地理解和应用相关领域中的知识。
线性代数公式总结大全在线性代数中，有许多重要的公式被广泛应用于向量、矩阵和线性方程组的求解。
下面将对这些公式进行一个全面的总结，并说明它们的应用。
1. 向量的加法和减法- 向量加法：给定两个向量A和B，其加法可以表示为A + B = C，其中C的每个分量等于A和B对应分量的和。
- 向量减法：给定两个向量A和B，其减法可以表示为A - B = C，其中C的每个分量等于A和B对应分量的差。
2. 向量的数量积和向量积- 数量积：给定两个向量A和B，其数量积可以表示为A · B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角。
- 向量积：给定两个向量A和B，其向量积可以表示为A × B = |A| |B| sinθ * n，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角，n是垂直于A和B所在平面的单位向量。
3. 矩阵的基本运算- 矩阵加法：给定两个矩阵A和B，其加法可以表示为A + B = C，其中C的每个元素等于A和B对应元素的和。
- 矩阵减法：给定两个矩阵A和B，其减法可以表示为A - B = C，其中C的每个元素等于A和B对应元素的差。
- 矩阵数乘：给定一个矩阵A和一个标量k，其数乘可以表示为kA = B，其中B的每个元素等于A对应元素乘以k。
4. 矩阵的乘法- 矩阵乘法：给定两个矩阵A和B，其乘法可以表示为AB = C，其中矩阵C的元素等于A的行向量与B的列向量的数量积。
- 矩阵转置：给定一个矩阵A，其转置可以表示为A^T，其中A^T的第i行第j列元素等于A的第j行第i列元素。
- 矩阵的逆：给定一个可逆矩阵A，其逆可以表示为A^−1，其中AA^−1 = I，I是单位矩阵。
5. 线性方程组的解法- 列主元消去法：通过消去矩阵A的部分元素，将其转化为上三角矩阵，然后通过回代法求解线性方程组的解。
- 伴随矩阵法：利用矩阵的伴随矩阵和行列式的性质求解线性方程组的解。
线性代数总结知识点线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。
它是现代数学的基础工具之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学和社会科学等领域。
以下是线性代数的一些核心知识点总结：1. 向量与向量运算- 向量的定义：向量可以是有序的数字列表，用于表示空间中的点或方向。
- 向量加法：两个向量对应分量相加得到新的向量。
- 标量乘法：一个向量与一个标量相乘，每个分量都乘以该标量。
- 向量的数量积（点积）：两个向量的对应分量乘积之和，用于计算向量的长度或投影。
- 向量的向量积（叉积）：仅适用于三维空间，结果是一个向量，表示两个向量平面的法向。
2. 矩阵- 矩阵的定义：一个由数字排列成的矩形阵列。
- 矩阵加法和减法：对应元素相加或相减。
- 矩阵乘法：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的每个元素是两个矩阵对应行列的乘积之和。
- 矩阵的转置：将矩阵的行变成列，列变成行。
- 单位矩阵：对角线上全是1，其余位置全是0的方阵。
- 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。
3. 线性相关与线性无关- 线性相关：如果一组向量中的任何一个可以通过其他向量的线性组合来表示，则这组向量是线性相关的。
- 线性无关：如果只有所有向量的零组合才能表示为零向量，则这组向量是线性无关的。
4. 向量空间（线性空间）- 定义：一组向量，它们在向量加法和标量乘法下是封闭的。
- 子空间：向量空间的子集，它自身也是一个向量空间。
- 维数：向量空间的基（一组线性无关向量）的大小。
- 基和坐标：向量空间的一组基可以用来表示空间中任何向量的坐标。
5. 线性变换- 定义：保持向量加法和标量乘法的函数。
- 线性变换可以用矩阵表示，矩阵的乘法对应线性变换的复合。
6. 特征值和特征向量- 特征值：对应于线性变换的标量，使得变换后的向量与原向量成比例。
- 特征向量：与特征值对应的非零向量，变换后的向量与原向量方向相同。
线性代数考研公式大全线性代数考研公式大全(最新整理收集)线性代数部分基本运算①A B B A②A B C A B C③c A B cA cB c d A cA dA④cdA cd A⑤cA 0 c 0或A 0。
ATTAA B T AT BTcA Tc AT。
AB TBTATn n 1 21 C2n n 1 n2D a21A21 a22A22 a2nA2n转置值不变AT A逆值变A 11Acn, 1 2, , 1, , 2,A 1, 2, 3 ，3阶矩阵B 1, 2, 3A B A BA B 1 1, 2 2, 3 3A B 1 1, 2 2, 3 3A 0B A0BABE i,j c 1有关乘法的基本运算线性代数考研公式大全(最新整理收集) Cij ai1b1j ai2b2j ainbnj线性性质A1 A2 B A1B A2B，A B1 B2 AB1 AB2cA B c AB A cB 结合律AB C A BCAB TBTATABAkAl Ak lAklAklAB kAkBk不一定成立！AE A，EA AA kE kA，kE A kAAB E BA E与数的乘法的不同之处AB kAkBk不一定成立！无交换律因式分解障碍是交换性一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如A2 2A 3E A 3E A E无消去律（矩阵和矩阵相乘）当AB 0时A 0或B 0由A 0和AB 0 B 0由A 0时AB AC B C（无左消去律）特别的设A可逆，则A有消去律。
左消去律：AB AC B C。
右消去律：BA CA B C。
如果A列满秩，则A有左消去律，即①AB 0 B 0 ②AB AC B C可逆矩阵的性质i）当A可逆时，AT也可逆，且AT1A 1T。
线性代数考研公式大全(最新整理收集)Ak也可逆，且Ak1A 1k 1数c0，cA也可逆，cA1 1A。
cii）A，B是两个n阶可逆矩阵AB也可逆，且AB 1 B 1A 1。
矩阵与向量相乘规则
矩阵与向量相乘是线性代数中的基本运算之一，也是实际应用中经常用到的运算。
在进行矩阵与向量相乘时，需要遵循以下规则：
1. 矩阵的列数必须等于向量的行数，否则无法进行相乘。
2. 矩阵的第i行与向量的第i个元素进行点乘，得到的结果就是相乘后的向量的第i个元素。
3. 矩阵与向量相乘得到的结果是一个向量。
例如，对于以下矩阵A和向量x：
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
x = [1; 2; 3]
进行矩阵与向量的相乘，可以按照以下步骤进行：
1. 确认矩阵A的列数等于向量x的行数，即3等于3。
2. 矩阵A的第1行与向量x的第1个元素进行点乘，得到的结果为1*1+2*2+3*3=14，即相乘后向量的第1个元素为14。
3. 矩阵A的第2行与向量x的第2个元素进行点乘，得到的结果为4*1+5*2+6*3=32，即相乘后向量的第2个元素为32。
4. 矩阵A的第3行与向量x的第3个元素进行点乘，得到的结果为7*1+8*2+9*3=50，即相乘后向量的第3个元素为50。
5. 将得到的结果组成一个新的向量，即y=[14; 32; 50]。
因此，矩阵A与向量x的相乘结果为y=[14; 32; 50]。
需要注意的是，在进行矩阵与向量相乘时，必须按照上述规则进行，否则会得到错误的结果。
线性代数矩阵论——矩阵的基本运算——加、减、取负、乘、数乘、转置- 6DAN - 博客园线性代数矩阵论——矩阵的基本运算——加、减、取负、乘、数乘、转置1. 矩阵加法前提条件：同型矩阵操作数：两个m*n矩阵A=[aij]，B=[bij]基本动作：元素对应相加2. 矩阵减法前提条件：同型矩阵操作数：两个m*n矩阵A=[aij]，B=[bij]基本动作：元素对应相减3. 矩阵取负前提条件：无操作数：任意一个m*n矩阵A=[aij]基本动作：元素对应取负4. 矩阵乘法前提条件：左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等操作数：m*n矩阵A=[aij]，n*m矩阵B=[bij]，A是具有m行的行矩阵，，B是具有n列的列矩阵，基本动作：行列积5. 矩阵数乘前提条件：无操作数：任意一个m*n矩阵A=[aij]，数k基本动作：数k乘以每一个元素6. 矩阵转置前提条件：无，任意一个m*n矩阵A=[aij]基本动作：行列互换，第i行第j列的元素换为第j行第i列的元素，m*n的矩阵转置后为n*m矩阵，矩阵运算不满足交换律和消去率Matlab实现<table class="MsoNormalTable"style="border-collapse:collapse;border:none;mso-border-a lt:solid black .5pt;mso-yfti-tbllook:1184;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;mso-border-insideh:.5pt solid black;mso-border-insidev:.5pt solid black" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0">矩阵运算<td style="width:40.9pt;border:solid black 1.0pt;border-left:none;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="55">算符<td style="width:71.75pt;border:solid black 1.0pt;border-left:none;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="96">形式<td style="width:62.0pt;border:solid black 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="83">矩阵加法<td style="width:40.9pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="55">+<td style="width:71.75pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solidblack .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="96">A+B<td style="width:62.0pt;border:solid black 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="83">矩阵减法<td style="width:40.9pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="55">-<td style="width:71.75pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solidblack .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="96">A-B<td style="width:62.0pt;border:solid black 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="83">矩阵取负<td style="width:40.9pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="55">-<td style="width:71.75pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solidblack .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="96">-A<td style="width:62.0pt;border:solid black 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="83">矩阵乘法<td style="width:40.9pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="55">*<td style="width:71.75pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solidblack .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="96">A*B<td style="width:62.0pt;border:solid black 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="83">矩阵数乘<td style="width:40.9pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="55">*<td style="width:71.75pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solidblack .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="96">A*k或k*A<td style="width:62.0pt;border:solid black 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="83">矩阵转置<td style="width:40.9pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="55">’<td style="width:71.75pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solidblack .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="96">A’<td style="width:62.0pt;border:solid black 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="83">矩阵乘方<td style="width:40.9pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="55">^<td style="width:71.75pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solidblack .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="96">A^N<td style="width:62.0pt;border:solid black 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="83">数组加法<td style="width:40.9pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="55">+<td style="width:71.75pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solidblack .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="96">X+Y<td style="width:62.0pt;border:solid black 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="83">数组减法<td style="width:40.9pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="55">-<td style="width:71.75pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solidblack .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="96">X-Y<td style="width:62.0pt;border:solid black 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="83">数组乘法<td style="width:40.9pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="55"><td style="width:71.75pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solidblack .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="96">X.*Y<td style="width:62.0pt;border:solid black 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="83">数组除法<td style="width:40.9pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top"width="55">./或.\<td style="width:71.75pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solidblack .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="96">X./Y或X.\Y<td style="width:62.0pt;border:solid black 1.0pt;border-top:none;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="83">数组乘方<td style="width:40.9pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="55">.^<td style="width:71.75pt;border-top:none;border-left:none;border-bottom:solid black1.0pt;border-right:solid black 1.0pt;mso-border-top-alt:solidblack .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt" valign="top" width="96">X.^N。
111第5章 线性代数的基本运算本章学习的主要目的：1 复习线性代数中有关行列式、矩阵、矩阵初等变换、向量的线性相关性、线性方程组的求解、相似矩阵及二次型的相关知识.2学会用MatLab 软件进行行列式的计算、矩阵的基本运算、矩阵初等变换、向量的线性相关性的判别、线性方程组的求解、二次型化标准形的运算.5.1 行列式5.1.1 n 阶行列式定义由2n 个元素),,2,1,(n j i a ij 组成的记号D=nnn n n n a a a a a a a a a 212222111211称为n 阶行列式.其值是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n np 2p 21p 1a a a 的代数和,各项的符号由n 级排列n p p p 21决定,即112 D=∑-np p p n p p p 21nnp 2p 21p 1)21(a a a)1(τ,其中∑np p p 21表示对所有n 级排列求和,),,,(21n p p p τ是排列n p p p 21的逆序数.5.1.2 行列式的性质(1) 行列式与它的转置行列式相等. (2) 互换行列式的两行(列),行列式变号.(3) 若行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零. (4) 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式.(5) 若行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. (6) 若行列式的某一列(行)的元素是两数的和,则此行列式等于对应两个行列式之和.即nnnn ni n n i i nn n n ni n n i i nn n n ni ni n n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a21'21'22221'112112121222211121121'21'222221'111211+=+++(7) 若行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变.113(8) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即),,2,1(,0,1j k n i k i ki D A a D nj ij =⎩⎨⎧≠===∑=,或),,2,1(,0,1i n j k j kj D A a D nik ij =⎩⎨⎧≠===∑=(9) 设A,B 是n 阶方阵,则TA A =,A A n k k =,BA AB =,(10)若A 是n 阶可逆矩阵,则0≠A ,AA 11=-(11) 设n 21,,,λλλ 是n 阶方阵A 的特征值,则i nA λ1i =∏=,(12) 设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵,则2n *1≥=-n AA(13) 几种特殊行列式的计算:nn nna a a a a a 22112211000000=,nn nnnna a a a a a a a a 221122*********=nn nn n n a a a a a a a a a221121222111000=,112n 12)1(1222111211)1(000n n n n n na a a a a a a a a---=5.1.3 MatLab 计算行列式的命令 det(var) %计算方阵var 的行列式114 例1 计算行列式3833262290432231----的值在MatLab 命令窗口输入:A=[1,-3,2,2;-3,4,0,9;2,-2,6,2;3,-3,8,3] det(A) 执行结果:A = 1 -3 2 2 -3 4 0 9 2 -2 6 2 3 -3 8 3 ans = -50例2 计算行列式dc b 100110011001a ---的值,其中a,b,c,d 是参数.在MatLab 命令窗口输入: syms a b c dA=[a,1,0,0;-1,b,1,0;0,-1,c,1;0,0,-1,d] det(A) 执行结果:115A =[ a, 1, 0, 0][ -1, b, 1, 0] [ 0, -1, c, 1] [ 0, 0, -1, d]ans =a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+1 例3求方程0881441221111132=--x x x的根. (1) 先求行列式的值 在MatLab 命令窗口输入: syms xA=[1,1,1,1;1,-2,2,x;1,4,4,x*x;1,-8,8,x^3] y=det(A) 执行结果: A =[ 1, 1, 1, 1] [ 1, -2, 2, x] [ 1, 4, 4, x^2] [ 1, -8, 8, x^3]y =-12*x^3+48*x+12*x^2-48(2) 求3次方程的根.首先通过函数的图形确定根的大致范围,在MatLab命令窗口输入:grid onezplot(y)-12 x3+48 x+12 x2-48300020001000-1000-2000-6-4-20246图 1 观察图1,可知3个根大致在-2,0,4附近,下面求精确值, 在MatLab命令窗口输入:yf=char(y);g1=fzero(yf,-2)116117g2=fzero(yf,0) g3=fzero(yf,4) 执行结果: g1 = -2 g2 = 1.0000 g3 = 2.0000可知方程的3个根分别为-2,1,2. 5.1.4用MatLab 实现克拉默法则 (1)克拉默法则非齐次线性方程组方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111当其系数行列式0212222111211≠=nnn n n n a a a a a a a a a D 时,此方程组有唯一解,且可表示为DD x DD x DD x n n ===,,,2211其中),,2,1(n j D J =是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组118 右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式,即nnj n nj n n n j j j a a b a a a a b a a D1,1,111,111,111+-+-=对于齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 当其系数行列式0212222111211≠=nnn n n n a a a a a a a a a D时,此方程组有唯一零解;当D=0时,方程组有非零解. (2) 编写函数klm.m 实现用克拉默法则求解非齐次线性方程组.function x=klm(a,b) %参数a 代表方程组的系数矩阵,列矩阵b 代表方程组的常数列,%返回方程组的解[m,n]=size(a); if (m~=n)disp('克拉默法则不适用此方程组的求解!')119else d=det(a); if (d==0)disp('该方程组没有唯一解!') elsedisp('该方程组有唯一解!') for i=1:m e=a; e(:,i)=b; f=det(e); x(i)=f/d; end end end例4 用克拉默法则解下列方程组:12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩ 操作步骤:120 在MatLab 命令窗口输入:D=[1,1,1,1;1,2,-1,4;2,-3,-1,-5;3,1,2,11]; A=[5;-2;-2;0]; klm(D,A) 执行结果:该方程组有唯一解!ans = 1 2 3 -1 方程组的解为1,3,2,1x 4321-====x x x 例5 问a 取何值时,齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(3121321x a x x a x x x x a 有非零解? 根据齐次方程组有非零解,系数行列式为零,用MatLab 操作步骤如下:在MatLab 命令窗口输入: syms xA=[5-x,2,2;2,6-x,0;2,0,4-x];yy=det(A) ezplot(yy,[0,10])图20246810-5050grid on执行结果:行列式的值为:yy = 80-66*x+15*x^2-x^3作函数yy的图形,如图2观察图2,可知根大致在2,5,8附近,再输入命令:yf=char(yy);x1=fzero(yf,2)x2=fzero(yf,5)x3=fzero(yf,8)执行结果:x1 = 2x2 = 5x3 = 8即a取2，5，或8时,齐次方程组有非零解。
5.2 矩阵及其运算5.2.1 矩阵的定义121122 由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(a ij n j m i ==排成的m 行n 列的数表mnm m n n a a a a a a a a a112222111211称为m 行n 列矩阵,简称n m ⨯矩阵.记作⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 112222111211 5.2.2矩阵的运算设有两个n m ⨯矩阵)a (ij =A 和)b (ij =B ,则 (1)加法n m j i ij )b a (⨯+=+B AMatLab 对应求矩阵加法的操作符为”+” (2)数乘n m )ka (k ij ⨯=AMatLab 对应求矩阵数乘的操作符为”*” (3) 矩阵与矩阵相乘设矩阵)a (ij =A 是s m ⨯矩阵,)b (ij =B 是n s ⨯矩阵,则矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ⨯矩阵)c (ij =C ,其中),,2,1;,,2,1(,b ac s1k kj ik ij n j m i ===∑=把此乘积记作C=AB123MatLab 对应求矩阵乘积的操作符为”*” (4)矩阵的转置设矩阵)a (ij =A 是n m ⨯矩阵,把矩阵A 的行换成同序数的列得到一个m n ⨯矩阵,叫A 的转置矩阵,记作T A . 在MatLab 对应求矩阵转置的操作符为 “ ’ “ (5)方阵的行列式设矩阵)a (ij =A 是n n ⨯矩阵,由A 的元素构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A 的行列式,记作A 或detA. MatLab 对应求方阵行列式的命令为: det (var) %var 代表待求行列式的方阵 (6)方阵的逆矩阵 设矩阵)a (ij =A 是nn ⨯矩阵,若有一个n 阶矩阵B,使AB=BA=E,则说矩阵A 可逆,矩阵B 称为A 的逆矩阵.记为1-=A B逆矩阵的判别定理:若0≠A ,则矩阵A 可逆,且*11A AA =-,其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵，由行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的，124 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*. MatLab 对应求方阵逆的命令为:inv (var) %var 代表待求逆矩阵的方阵 下面按公式*11A AA =-,用MatLab 编写程序求矩阵的逆:function y=aij(A,i,j) %求方阵A 元素a ij 的代数余子式A ij, C=A; C(i,:)=[]; C(:,j)=[];y=(-1)^(i+j)*det(C);function y=axing(A) %求方阵A 伴随矩阵*A [m n]=size(A); for i=1:n for j=1:ny(i,j)=aij(A,j,i); end125end则方阵A 的逆等于axing(A)/det(A) 例6 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111111111A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=150421321B ,问3AB-2A T B 是否可逆?若该矩阵可逆求它的逆.在MatLab 创建m 文件knf.m 完成该问题的操作: A=[1,1,1;1,1,-1;1,-1,1]; B=[1,2,3;-1,-2,4;0,5,1]; C=3*A*B-2*A'*B; dc=det(C); if dc==0disp('此矩阵不可逆!') elsedisp('此矩阵可逆!其逆矩阵为:') inv(C) end在MatLab 命令窗口输入 knf 执行结果:此矩阵可逆!其逆矩阵为:ans =-0.3857 0.5143 0.50000.0857 -0.1143 00.0714 0.0714 05.3 矩阵的初等变换5.3.1下面三种变换称为矩阵A的初等行(列)变换:(1)对调i,j两行(列);(2)以数0k 乘矩阵A的第i行(列)中所有元素;(3)把第i行(列)所有元素的k倍加到第j行(列)的元素上去;用MatLab实现以上初等行变换:(1)A([i,j],:)=A([j,i],:)(2)A(i,:)=k*A(i,:)(3)A(j,:)=k*A(i,:)+ A(j,:)5.3.2 用矩阵初等变换化矩阵为行最简形.行最简形的特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全为0,126127每个台阶只有一行,台阶数即为非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元,非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0. MatLab 对应化矩阵为行最简形的命令为: rref (var) %var 代表待化为行最简形的矩阵 例7 把矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=341122121221A 化为行最简形矩阵。
