2.2 等差数列
第2
课时：等差数列的性质及应用
编写：皮旭光
【学习目标】
1． 进一步学习等差数列的项与序号之间的关系，探索发现等差数列的性质，掌握其应用技巧；
2．
能够灵活利用等差数列的性质解决综合问题。
【知识线索】 1．等差数列中的设元技巧：一般地，若三项成等差数列，我们常记该三项分别为
d a a d a +-,,； 四个数时,设为：a －3d,a －d ，a ＋d ，a ＋3d 。
2．等差数列的项与序号的关系：设等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，则
① d m n a a m n )(-+= （第二通项公式）；
② 若k q p n m a a a a a k q p n m 2,2=+=+=+=+则 ),,,(*∈N q p n m 。
3．等差数列的其它性质：
(1)若}{n a 是公差为d 的等差数列，则下列数列：
①}{c a n +(c 为任一常数)是公差为_____的等差数列；
②}{n a c ?(c 为非零常数)是公差为_______的等差数列；
③}{k n n a a ++是公差为_____的等差数列；
④}{n k a ?(k 为常数且*
∈N k )是公差为_______的等差数列。
（2）设}{n a ，}{n b 的公差分别为1d ，2d ，则}{n n qb pa +是公差为_______的等差数列（q p ,为常数）。
【知识建构】 1．已知数列}{n a 的公差为d ，你能证明：
d m n a a m n =--吗？由此你能得出哪些变形式子； 2．回答教材P39页第5题中的问题，你能归纳其中的结论吗，有什么特点呢？
3．回答教材P39页第４题中的问题，请你尝试探讨等差数列的性质。
【典例透析】
例1．在等差数列}{n a 中,（1）若3773=+a a ，则8642a a a a +++＝________；
(2)若815=a ，2060=a ，则75a ＝________；
（3)若===+n m n m a m a n a 则,,________。
高一必修5：第二章 数列 课时目标呈现 课前自主预习
课中师生互动
例2．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40,求这个等差数列。
例3．已知数列{}2log (1)()n a n N *-∈为等差数列，且133,9a a ==，求数列{}n a 的通项公式。
【课堂检测】
1.在等差数列{}n a 中，（1）若3456450a a a a +++=，则18a a += ；
（2）若1235a a a ++=，45610a a a ++=，则789a a a ++= 。 ２.（1）已知三个数成等差数列，其和为15，首末两数的积为9，求此数列；
（2）一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比。
【课堂小结】
课时训练 A 组 1、在等差数列{n a }中,若1201210864=++++a a a a a ,则12102a a -的值为 （ ）
A 、20
B 、22
C 、24
D 、28
２、已知数列{}n a 中32a =，71a =，又数列11n a ????+??
为等差数列，则11a 等于（ ）
A 、0
B 、
21 C 、3
7 D 、1- ３、若,,a b c 成等差数列，则二次函数2()2f x ax bx c =++的零点个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．不确定 课后训练提升
４、已知方程()()22220x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为
14的等差数列，则m n -等于（ ） A 、1 B 、34 C 、12 D 、38
B 组
5、在等差数列}{n a 中，（1）475a a +=，566a a =，则通项公式n a = ；
（2）103,a a 是方程2
x －3x －5＝0的两根，，则85a a +＝________。
6、如图（1）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成4个三角形（如图（2）），再分别连结图（2）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（如图（3））．依此类推，第n 个图中原三角形被剖分为n a 个三角形．则数列{}n a 的通项公式是 ；第100个图中原三角形被剖分为 个三角形？
C 组
7、若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，…，32313n n n a a a --++（ ）
A 、一定不是等差数列
B 、一定是递增数列
C 、一定是等差数列
D 、一定是递减数列
8、已知数列{}n a 中，917a =，131
n n n a a a +=+ （1）求证：数列1n a ??????
为等差数列；（2）求n a 。
9、如图，三个正方形的边,,AB BC CD 的长组成等差数列，且21AD cm ，这三个正方形的面积之和是1792cm ．
（1）求,,AB BC CD 的长；
（2）以,,AB BC CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
【纠错·感悟】
等差数列基础习题选（附有详细解答） 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣ 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（） A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D．
2.2 等差数列 第2 课时：等差数列的性质及应用 编写：皮旭光 【学习目标】 1． 进一步学习等差数列的项与序号之间的关系，探索发现等差数列的性质，掌握其应用技巧； 2． 能够灵活利用等差数列的性质解决综合问题。 【知识线索】 1．等差数列中的设元技巧：一般地，若三项成等差数列，我们常记该三项分别为 d a a d a +-,,； 四个数时,设为：a －3d,a －d ，a ＋d ，a ＋3d 。 2．等差数列的项与序号的关系：设等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，则 ① d m n a a m n )(-+= （第二通项公式）； ② 若k q p n m a a a a a k q p n m 2,2=+=+=+=+则 ),,,(*∈N q p n m 。 3．等差数列的其它性质： (1)若}{n a 是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①}{c a n +(c 为任一常数)是公差为_____的等差数列； ②}{n a c ?(c 为非零常数)是公差为_______的等差数列； ③}{k n n a a ++是公差为_____的等差数列； ④}{n k a ?(k 为常数且* ∈N k )是公差为_______的等差数列。 （2）设}{n a ，}{n b 的公差分别为1d ，2d ，则}{n n qb pa +是公差为_______的等差数列（q p ,为常数）。 【知识建构】 1．已知数列}{n a 的公差为d ，你能证明： d m n a a m n =--吗？由此你能得出哪些变形式子； 2．回答教材P39页第5题中的问题，你能归纳其中的结论吗，有什么特点呢？ 3．回答教材P39页第４题中的问题，请你尝试探讨等差数列的性质。 【典例透析】 例1．在等差数列}{n a 中,（1）若3773=+a a ，则8642a a a a +++＝________； (2)若815=a ，2060=a ，则75a ＝________； （3)若===+n m n m a m a n a 则,,________。 高一必修5：第二章 数列 课时目标呈现 课前自主预习 课中师生互动
等差数列第一个特征性质及应用 江西南昌市卫生学校 熊秋玲 内容提要：本文证明等差数列的一个重要性质：数列{a n }是等差数列的充要条件为：对于任意三个自然数q,p,r,恒有(q-r ）a p +(r-p)a q +(p-q)a r =0成立。并举实例说明其实用。 等差数列是中学数学的重要内容之一，有一个特征性质应用极为广泛，即 定理 数列{a n }是等差数列的充要条件为：对于任意三个自然数p,q,r,恒有(q-r ）a p +(r-p)a q +(p-q)a r =0 （1） 证明 必要性，设{a n }是一个等差数列，其首项为a 1,公差为d ，则 a p =a 1+(p-1)d,a q =a 1+(q-1)d, a r =a 1+(r-1)d,于是 （q-r ）a p +(r-p)a q +(p-q)a r =p(a r -a q )+q(a p -a r )+r(a q -a p ) =p(r-d)d+q(p-r)d+r(q-p)d =0。即(1)式成立。 充分性，若对任意三个自然数p,q,r,恒有（1）式成立。于是对任意的自然数n （n ≥2），取p=n-1,q=n,r=n+1,则由 （1）式，有 -a n-1+2a n -a n+1=0, 即a n-1+a n+1=2a n (n ≥2),这说明数列{a n }是一个等差数列。
定理的等式（1）是循环对称，用数列中的任意三项来刻画等差数列的特征。应用它来处理与等差数列有关的一些问题时，显得相当灵活方便，兹举几例说明之。 例1.在等差数列{a n}中，已知a p=1 q ,a q=1 p ,求a p+q 解：由（1）式，有 q?(p+q)?1 q +p+q?p?1 p +p?q a p+q=0 即 -p q +q p +(p?q)a p+q=0 ∴(p-q)a p+q=p q ?q p =p?q(1 p +1 q ) 故 a p+q=1 p +1 q 。 例 2.在等差数列{a n}中，已知a m+n=A,a m-n=B(m>n),求a m,a n。 解：由（1）式，有 n?(m+n)a m-n+[(m+n)-(m-n)a n+[(m-n)-n]a m+n=0 即–mB+2na n+(m-2n)A=0 故 a n=A+m 2n (B?A)。 同理可得 a m=(A+B) 2 。 例3.设a p,a q,a r;b p,b q,b r分别是两个等差数列中的第p，q，r项，求证：（b q-b r）a p+(b r-b p)a q+(b p-b q)a r=0。 证明：设等差数列{b n}的公差为d，易知b q-b r=(q-r)d,b r-b p=(r-p)d,b p-b q=(p-q)d.于是由（1）式得： （b q-b r）a p+(b r-b p)a q+(b p-b q)a r =d[(q-r)a p+(r-p)a q+(p-q)a r]
肥东锦弘中学高一年级数学公开课教案 授课教师：吴晗 班级：高一（11） 时间：3月31号下午第一节课 课题：等差数列前n 项和的性质及其应用 教学目标： （1） 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一 些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前n 项和公式研究n S 的最值。 （2） 经历公式应用过程。 （3） 通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又 服务于生活的实用性，引导学生善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学方法解决问题。 教学重点：熟练掌握等差数列求和公式。 教学难点：灵活应用求和公式解决问题。 教学方法：启发探究 学法指导：自主学习 教学用具：粉笔、黑板、PPT 教学过程： 一、复习回顾 （1） 等差数列的定义、通项公式、性质； （2） 等差数列前n 项和公式及其推导。 二、新课讲解 探究一：等差数列前n 项和公式可以转化为关于n 的一元二次方程， n d a n d d n n na S n )2 (22)1(121-+=-+=，反过来如果一个数列的前n 项和是关于n 的一元二次方程，那么这个数列一定是等差数列吗？ 例1、如果一个数列{}n a 的前n 项和为n n S n 2 1 2+=，求这个数列的通项公式， 这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？ 解：时，当2≥n 212)1(21)1(21221-=?? ? ???-+--+=-=-n n n n n S S a n n n 时，当1=n 2 3 11= =S a 也满足上式。 所以数列{} 2 12-=n a a n n 的通项公式为 由此可见，{}的等差数列，公差为是一个首项为数列22 3 n a 课堂练习
等差数列的概念及性质 一．选择题（共12 小题） 1．等差数列 { a n} 中， a2＝7， a6＝ 23，则 a4＝（） A ．11 B ．13C． 15D． 17 2．在等差数列 { a n} 中， a4＝ 6， a3+a5＝ a10，则公差 d＝（） A．﹣1 B ．0C． 1D． 2 3．等差数列 { a n} 的前 n 项和为S n，且 a8﹣ a5＝ 9， S8﹣S5＝ 66，则 a33＝（） A ．82 B ．97C． 100D． 115 4．在等差数列 { a n} 中，已知 a2+a5+a12+a15＝ 36，则 S16＝（） A ．288 B ．144C． 572D． 72 5．已知 { a n} 为递增的等差数列，a4+a7＝ 2， a5?a6＝﹣ 8，则公差 d＝（） A ．6B．﹣ 6C．﹣ 2D． 4 n1与 a11的等差中项是 15， a123＝9，则a9＝（）6．在等差数列 { a } 中，已知a+a +a A ．24 B ．18C． 12D． 6 7．已知等差数列 n n，且a18 12＝12，则S13＝（）{ a } 的前 n 项和为 S+a +a A ．104 B ．78C． 52D． 39 8．等差数列 { a n} 的前 n 项和为S n，若 a1＝ 3，S5＝ 35，则数列 { a n} 的公差为（）A．﹣2 B ．2C． 4D． 7 9．在等差数列 { a n} 中，若 a3+a5+2 a10＝4，则 S13＝（） A ．13 B ．14C． 15D． 16 10．在等差数列 { a n} 中，若2a8＝ 6+a11，则 a4+a6＝（） A ．6 B ．9C． 12D． 18 11．等差数列 { a n} 中， a2与 a4是方程 x 2 ﹣ 4x+3 ＝ 0 的两根，则a1+a2+a3+a4+a5＝（） A ．6 B ．8C． 10D． 12 12．等差数列 { a n} 满足 4a3+a11﹣ 3a5＝ 10，则 a4＝（） A．﹣5 B ．0C． 5D． 10二．填空题（共 5 小题） 13．数列 { a n} 中，若 a n+1＝ a n+3， a2+a8＝ 26，则 a12＝． 14．在等差数列 { a n} 中， a1+3a8+a15＝120，则 3a9﹣ a11的值为．
等差数列的概念及性质知识点及典例分析 一.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 二．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 考点一：等差数列的判定与证明. 例1.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是（ ） A.公差为2的等差数列 B. 公差为5的等差数列 C.首项为5的等差数列 D. 公差为n 的等差数列 例2．数列{}n a 满足：11a ＝，1()(1)1n n na n a n n ＋＝＋＋＋，* n ∈N ． （1）令n n a b n = ，求证：数列{}n b 为等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式． 考点二：等差数列的通项公式 例1．在数列{}n a 中，1211,4a a == ，若1{}n a 为等差数列，则数列{}n a 的第10项为（ ） A ． 122 B ．125 C ．128 D ．1 31 练习1：若{}n b 为等差数列，244,8.b b ==数列{}n a 满足*111,(),n n n a b a a n N +==-∈则8a = 练习2．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，221n n a a --＝1(n ∈N * )，那么使a n <5成立的n 的最 大值为_______． 例2．已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝12，a 8＝16. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若从数列{a n }中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{b n }，试求出{b n }的通项公式． 三．等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +?=+≥∈212+++=?n n n a a a 例1.已知,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边，若1,a b =角B 是角A 和角C 的等差中项，则sin A =________．