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线性代数向量组的极大线性无关组和秩

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4向量组的秩

4向量组的秩
若Ａ线性相关,则向量组Ｂ也线性相关；反之，若 向量组Ｂ线性无关，则向量组Ａ也线性无关. 定理 设向量组 A：1,2 ,L ,n , B：1, 2 ,L , n . 其中
i a1i a2i L ami T (i 1,2,L , n)
T
i a1i a2i L ami am1,i (i 1, 2,L , n) 若Ａ线性无关，则向量组Ｂ也线性无关；反之，若 向量组Ｂ线性相关，则向量组Ａ也线性相关.
7
三、向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义
a11
矩阵
A
a21
M
a12 L a22 L M
a1n
a2n
,
M
am1
am1
L
amn
Ａ的列向量组的秩称为列秩.
Ａ的行向量组的秩称为行秩.
8
定理3.11 A为m n矩阵,r(A) r的充分必要条件是：A
的行秩、列秩都为 r.
9
证 必要性.设A = (a1,a2 ,L ,am )，r( A) = r,并设r阶子式 Dr ¹ 0. 由Dr 0知所在的r列线性无关；
r 1 , 2 , s r1，2， n 由定理3.11知 rAB rA
类似，有 rAB rB
故，rAB minrA,rB.
17
五、向量空间的基与维数
定义 设Ｖ是一个向量空间，它的某ｒ个向量 1,2 ,L ,r 若满足：
① 1,2 ,L ,r 线性无关； ② j V , j ,1,2,L ,r 线性相关. 则称1,2 ,L ,r 为Ｖ的一个基.ｒ称为Ｖ的维数. 记作：dimＶ.
Ｖ中的任一向量均可以表示成基向量的线性组合，
且表达式唯一，其组合系数称为向量在该基下的坐标.
18
注意： 零空间的维数是0.

线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介

线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介

, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章 向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5

线性代数 3-6 第3章6讲-极大线性无关组和秩(2)

线性代数 3-6 第3章6讲-极大线性无关组和秩(2)

0 0
1 0
1 0
1 4
0
B
4
(3) 将其余向量用该极大无关组线性表示.
0 0 0 0
0
化为梯形阵后每个阶梯选一个向量得一个极大无关组：1,2,5 ；
(3) 把矩阵B继续作初等行变换：
1 0 3 2 1 1 0 3 2 1 1 0 3 1 0
B 0 1 1 1
0
0
1
1
1
0 0
1
1
1
0
0 0 0 4 4 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
所以向量组1，
，
2
， n 与向量组e1，e2，
，en等价.
5
本讲内容
01 极大线性无关组和向量组的秩 02 向量组的秩和矩阵的秩的关系
二、向量组的秩和矩阵的秩的关系
定理3.7 设A是一个m n矩阵，则A 的秩等于A 的行秩，也等于A 的列秩.
记1，
，
2
， n
是A
的列向量组 (m
维)，1，2，
，m是A
的行向量组 (n
维)，
则
r( A)
r
(1，
，
2
，n )
r
(1，
，
2
，m ).
7
二、向量组的秩和矩阵的秩的关系
例3 求向量组的秩与极大无关组：
1 (1,1, 4)T ,2 (1, 0, 4)T ,3 (1, 2, 4)T ,4 (1,3, 4)T .
1 1 1 1 1 1 1 1
解
A 1,2,3,4 1 0 2 3 0 1 1 2
b11
b1s
AB (1, 2,, s )=(1,2,, Nhomakorabean

极大无关组与向量组的秩

极大无关组与向量组的秩

提示: 极大无关组不唯一，但是所含向量的个数都相等
线性代数
16
例3 设矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
求矩阵A的列向量组的一个极大 无关组， 并把不属于极大无关组 的列向量用极大 无关组线性表示 .
0 1 0
即得
a 3 a1 a 2 , a5 4a1 3a 2 3a4
线性代数
20
练习：义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 V 为向量空间．
说明 1．集合V 对于加法及数乘两种运算封闭指
知R(a1 , a2 , a4 ) 3，故a1 , a2 , a4线性无关
要把a3 , a5用a1 , a2 , a4线性表示，必须将 A再变 成行最简形矩阵.
线性代数
19
A
初等行变换
~
1 0 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
验证a1 , a 2 , a 3 , 是R 3的一个基，并把 b1 , b2用这个基 线性表示.
线性代数
27
解 要证a1 , a2 , a3是R 的一个基，只要证 a1 , a2 , a3 线性无关，即只要证 A ~ E.
设
即 x11 (b1 , b2 ) (a1 , a 2 , a 3 ) x 21 x 31 记作B AX .
k1 k n 0时, 才有 k1 1 k 2 2 k n n 0 成立 .
线性代数
8
2. 对于任一向量组, 不是线性无关就是 线性相关 .

线性代数4-3

线性代数4-3

那么称向量组A0 是向量组 A 的一个最大线性无关 向量组 （简称最大无关组） ; 最大无关组所含向量个 数 r 称为向量组A 的秩，记作 A 。 R 只含零向量的向量组没 有最大无关组，规定它 的秩 为0。
1
矩 阵 的 秩 与 向 量 组 秩 的 关 系
定理１ 矩阵的秩等于它的列向 量组的秩，也等于
a1 a2 a3 a4 a5
2 4 4 9
~
1 r 0 0 0
b1 b2 b3 b4 b5
0 1 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
易知 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 a5 x5 o 与 b1 x1 b2 x2 b3 x3 b4 x4 b5 x5 o 同解, 故 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 与 b1 , b2 , b3 , b4 , b5有完全相同的线性关系
证一 设向量组 A 与向量组B 合成向量组C，
因为B能由A线性表示, 故 RA RC ,
而 RA RB , 故 RA RB RC ,
由定理 2 的推论可知，A 组与 B 组等价。
11
例2 设向量组 B 能由向量组A 线性表示 且它们的 ,
秩相等，证明向量组 与向量组 B 等价. A 证二 设两个向量组的秩都为，并设 A 组和 B 组的 r
说明
最大无关组不唯一; 若向量组 A 的秩为 r , 则 A 中任意 r 个线性无关的 向量都是A的一个最大无关组.
3
例1
全体 n 维向量构成的向量组记 R ，求 R 的 作
n n n
一个最大无关组及 的秩. R
解 因为n维单位坐标向量构成的 向量组
E : e1 , e2 , , en 是线性无关的， 知 R n 中的任意n 1 个向量都 又

线性代数课件chap33向量组的秩(2020)

线性代数课件chap33向量组的秩(2020)

命题
1. 向量组 1 , 2 ,..., m 线性无关
r 1 , 2 ,..., m m
2. 向量组 1 , 2 ,..., m
线性相关
r 1 , 2 ,..., m m
3. 等价向量组必有相同的秩
4. 若 r 1 , 2 ,..., m r则向量组中
的任意k行与B 的相应的k行具有相同的相关
性
即，矩阵的列变换不改变行的线性相关关系
例、 求向量组的秩和一个极大线性无关组，
并将其它向量用所求的极大线性无关组
线性表示。
1
1
0
1
2
1
2
1
3
6
1 , 2 , 3 4 5
1 1 0 2

0 0 1 3

0 0 0 0
1 2 3 4 5
所以， , , , , =
, , 为一个极大无关组
= + , = − − +
命题 设向量组 1 , 2 ,..., m
（3）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A+B) ≦ R(A)＋R(B)。
（4）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A-B) ？
例 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，n<m,
证明：(AB)X=0有非零解。
例 设矩阵 Anm , Bmn 满足 AB E ，
且 n<m. 证明： B 的列向量线性无关。
证明 其中任意m个向量构成的向量组的ห้องสมุดไป่ตู้ ≥r+m-s
三、向量组的秩与矩阵秩的关系

线性代数向量组的秩


512 24.
例2 求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并将 其余向量用此极大线性无关组线性表示
1 1 5 1
1
113,2
131,3
892,4
713.
解 1 1 5 1 1 1 5 1
1 1 2
3 1
1 3
8 9
3 1 7
0
0 0
2 2 4
7 7 14
r(A)r(B). AP1Br(A)r(B)
或用“初等变换不改变矩阵的秩”来证明。
例3 设 123 s,213 s, , s12 s1， 证 明 ： 向 量 组 1,2, ,s 与 向 量 组 1,2, ,s有 相 同 的 秩 。 (s2)
证 (1 ,2 , ,s) (1 ,2 , ,n )A ,
将向量组的秩的计算，转化为矩阵的秩的计算。
基本问题：
给定一个向量组，求它的一个极大无关组，并 将其余向量用这个极大无关组线性表示。
例1 设向量组
1
1
0
1
2
10 01,21 21,31 11,41 2 3,54 61,
求一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组
线性表示.
解
1 1 0 1 2
由等价的传递性可知, 一个向量组的任两个极大 无关组彼此等价, 由前面性质6可知,
向(6)量两组个任线意性两无个关极且大彼无此关等组价所的包向含量的组向，量必个含数有相相同同。 定个义数的向向量量组. 的任一极大无关组所包含的向量的个数 称为向量组的秩。
规定：只含零向量的向量组的秩为零. 性质：
(1) 若向量组(Ⅰ)能被向量组(Ⅱ)线性表出, 则秩(Ⅰ) 秩(Ⅱ).
10 3
det1T(,2T,3T) 0 1 1 1 0 ,

线性代数解题技巧及典型题解析01-向量组的秩及极大线性无关组的求法_12


行变换
0
0
10
4
2
,
0 0 0 3 9 3
0 0 0 1 3 1
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
2 = 1 ,5 71 43 34 ,6 1 23 4 .
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5 设 A为 m s 矩阵，B 为 s n 矩阵. 证明 r(AB) min{r(A), r(B)}.
此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来解决向量组的 问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来解决矩阵的问题.
r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
极大无关组. 由题设 j1,, js 可由i1,,is 线性表示，设表示式为
j1
a11
a1s
i1
,
js
a s1
a ss
is
1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一定的 条件后可以等价. 因此，一定要注意：向量组的等价仅由秩相 等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故 取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证 出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨 论对象.
极大无关组表示出来。
1
A
1
2
3
4
5
6
=
2 3
1 2 3
1 1 1
0 2 4
3 4 5
21
行变换
1 B= 0
3
0
1 0 0
1 1 0
0 2 3

线性代数课件-3.3向量组的秩


i , i ,, i 是向量组 1 , 2 ,, m 的一个极大线性无关组 i , i ,, i 满足：
1 2 r 1 2 r
（1） i1 , i2 ,, ir 是 1 , 2 ,, m 的部分组
（2）i1 , i2 ,, ir 线性无关
（3）任意r+1个向量构成的部分组线性相关，
1 , 2 ,, m 的两个极大无关组，则有
因为
i1 ,i 2 ,,ir ≌ j1 , j 2 ,, js i1 ,i 2 ,,ir ≌ 1 , 2 ,, m 1 , 2 ,, m ≌ j1 , j 2 ,, js
• 等价的性质：
（1）反身性：任一向量组与自身等价。
即
1 , 2 ,,பைடு நூலகம் m
≌ 1 , 2 ,, m
（2）对称性：若1 , 2 ,, m ≌ 1 , 2 ,, s
则
1 , 2 ,, s ≌ 1 , 2 ,, m
由于 3可由1， 2线性表示
1 , 2 , 3 线性相关。
定理3· 若向量组1 , 2 ,, m 可由向量组 8 1 , 2 ,, s 线性表示，且m>s, 则向量组 1 , 2 ,, m 线性相关。
证明： 因为1 , 2 ,, m可由 1 , 2 ,, s线性表示
故
1 , 2 ,, m ≌ i1 ,i 2 ,,ir
定理3· 向量组 1 , 2 ,, m 和它的极大无关组 7
i1 , i 2 ,, ir 等价。
推论：同一向量组的任意两个极大无关组等价。 即 若 i1 , i 2 ,, ir 和 j1 , j 2 ,, js 是向量组
二、等价 定义3· 9 设有两个向量组

大学线性代数：向量组的秩


10
例：设 α1 = ( 2,1, 2, 2, −4), α 2 = (1,1, −1, 0, 2), α 3 = (0,1, 2,1, −1),
α 4 = ( −1, −1, −1, −1,1), α 5 = (1, 2,1,1,1).
求秩和一个极大线性无关组。
解：转置后排列为矩阵得 ⎛ 2 1 0 ⎜ ⎜ 1 1 1 ⎜ 2 −1 2 ⎜ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 ⎝ ⎛1 ⎜ r3 ↔ r5 ⎜0 r2 ↔ r4 ⎯⎯⎯ →⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ −1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎟ ⎜ −1 2 ⎟ ⎜ 2 1 0 r1 ↔ r2 → ⎜ 2 −1 2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ r − 2 r ⎜ 0 3 2 r4 + r1 →⎜0 2 1 −1 3 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 −2 1 −3 ⎟ ⎜0 ⎜0 −2 2 0 0 ⎟ ⎠ ⎝ −1 2 ⎞ ⎛1 1 r5 + 2 r4 ⎟ 4 − r3 ⎜ −1 1 ⎟ r r3 − r2 ⎜ 0 −1 r2 − 2 r1 → ⎜ 0 −2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜0 1 ⎜0 2 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 3 −1 3 ⎟ → ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 0 −3 1 −3 ⎟ ⎜ 0 0 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎠ ⎝0 0 1 −1 2 ⎞ ⎟ − 2 1 −3 ⎟ 2 0 0⎟ ⎟ −1 0 0 ⎟ 1 −1 3 ⎟ ⎠ 1 −1 2 ⎞ ⎟ −1 0 0 ⎟ 3 −1 3 ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 0 0 0⎟ ⎠
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1 0 1 2 1 1 2 4 1 1 2 4 0 0 5 5 1 0 1 2 1 1 2 4 B 0 0 1 1 0 0 0 0
B有三个非零行， r (1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) 3.
B的1，2，4列是B的一个列极大无关组，
2 4 2 1 2 1 例：在向量组 1 , 2 , 3 中， 3 5 4 1 4 1 首先 1 , 2 线性无关， 又 1 , 2 , 3 线性相关，
3.向量组的秩
定义4.3.3 向量组的极大无关组所含向量的个数， 称为向量组的秩，记作 r (1, 2 ,, p ).
2 4 2 1 2 1 例：向量组 1 , 2 , 3 3 5 4 1 4 1
秩为2.
关于向量组的秩的一些结论： （1）零向量组的秩为0.
（2）向量组 1, 2 ,, p 线性无关
r (1, 2 ,, p ) p
向量组 1, 2 ,, p 线性相关
r (1,2 ,, p ) p （3）若向量组 1, 2 ,, p 可由向量组 1 , 2 ,, t
1 , 2 , 4 是C的一个列极大无关组
且
3 1 2 , 5 1 2 2 4 .
相应地有 3 1 2 ,5 1 2 2 4 .
步骤： （1）向量组 1, 2 ,, p 作列向量构成矩阵A.
B （阶梯形或行最简形矩阵） （2）A
齐次线性方程组
a11k1 a12 k2 a13k3 0 a21k1 a22 k2 a23k3 0
所含方程个数小于未知量的个数，必有非零 解. 因此 1 , 2 ,3 线性相关.
（逆否命题） 定理4.3.2 若线性无关向量组 1, 2 ,, p可由向量组
k11 k22 k33 0.
1 , 2 , 3 可由生成集 1, 2 线性表出： 由已知，
1 a111 2 a12 1 a 13 1 3 a21 2 a22 2 . a23 2
代入上式，整理得
k1a11 k2a12 k3a13 1 k1a21 k2a22 k3a23 2 0.
线性表出，则称向量组A可由向量组B线性表出. 若向量组A和向量组B可相互线性表出，称向量 组A与向量组B等价。 即
i ki11 ki 2 2 kit t , i 1,2,, p
i li11 li 22 lip p , i 1,2,, t
1 2
求向量组的秩和一个极大无关组. 并用该极大 无关组线性表出向量组中的其余向量.
解：
1 1 A 0 0 1 0 0 0
1 0 1 2 1 0 2 1 3 6 0 1 1 2 4 1 1 3 1 0 1 0 1 2 1 0 1 1 2 4 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
所以 1 , 2 组成的部分组是极大无关组。
还可以验证 2 , 3 也是一个极大无关组。 注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。
极大无关组的一个基本性质：
任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组 都与向量组等价，所以： 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 由于等价的线性无关的向量组必包含相同个数的 向量，可得 定理4.3.5 一个向量组的任意两个极大无关组 等价，且所含向量的个数相同。
1 , 2 , 4 是 1 , 2 , 3 , 4 , 5 的一个极大无关组. 所以，
思考：是否还有其他的极大无关组？
进一步化A为行最简形
1 0 A B 0 0
1 1 1 0 2 C 1 , 2 , 3 , 4 , 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0
r(A) = B的非零行的行数 （3）求出B的列向量组的极大无关组 （主元列） （4）A中与B的列极大无关组相对应部分的列向量组 即为A的极大无关组。
1, 2 ,, p 可由 1 , 2 ,, t 线性表出; 且 p t , 则向量组1, 2 ,, p 必线性相关.
证明：给出
p 2, t 3
时的证明.
为说明 1 , 2 ,3 线性相关，需找到三个不全 为零的数 k1 , k2 , k3 , 使
§4.3 向量组的极大无关线性组和 秩
问题
（1）一个向量组（含有限多个向量，或无限多 个向量）线性无关的向量最多有几个？
（2）如何找出这一组线性无关向量组？ （3）其余向量与这一组向量有何关系？
1.向量组的线性表出
定义4.3.1 如果向量组 A : 1, 2 ,, p 中的每个向量
i (i 1,2,, p) 都可以由向量组 B : 1, 2 ,, t
1 , 2 ,, t 线性表出，则 p t.
定理4.3.3 两个等价的线性无关向量组，必包含相同 个数的向量.
2.极大线性无关组
定义4.3.2 设 i1 , i2 ,, ir ( II ) 是 1, 2 ,, p ( I ) 的一个部分组. 如果 （1）（II）线性无关， （2）（I）中的任意向量可由（II）线性表出， 则称（II）是（I）的一个极大线性无关组. 在条件（1）下，（2）等价于 （2’）任意r＋1个向量（如果有）都线性相关. 注：（1）只含零向量的向量组没有极大无关组. （2）一个线性无关向量组的极大无关组为其本身.
线性表出，则
r (1, 2 ,, s ) r ( 1, 2 ,, t )
（4）等价的向量组必有相同的秩。 两个有相同的秩的向量组等价吗？ 不一定
思考：两个向量组有相同的秩，并且其中一个 可以被另一个线性表出，则这两个向量组等价.
4.向量组的秩、极大无关组的求法
1 1 0 1 2 1 2 1 3 6 例：1 , 2 , 3 , 4 , 5 0 1 1 2 4 0 1 1 3 1