江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十对数与对数函数文含解析苏教版

第七节 对数与对数函数课时作业练1.函数f(x)=√1-lg x 的定义域为 . 答案 (0,10]解析 要使函数f(x)=√1-lg x 有意义,则{x >0,1-lg x ≥0,即{x >0,lg x ≤1,解得0<x≤10,故其定义域为(0,10].2.(2019江苏泰州模拟)函数f(x)=lo g 12(x 2-4)的单调增区间是 .答案 (-∞,-2)3.已知函数f(x)=ln 1+xx1-3x 为奇函数,则实数a 的值为 . 答案 ±3解析 由f(x)是奇函数可得f(-x)+ f(x)=ln (1-xx 1+3x·1+xx 1-3x)=0,解得a=±3.4.(2017江苏扬州中学阶段性测试)函数y=2log a (x-2)+3(a>0,且a≠1)的图象恒过的定点的坐标为 . 答案 (3,3)5.已知a=log 36,b=log 510,c=log 714,则a,b,c 的大小关系为 .(用“>”连接) 答案 a>b>c解析 a=log 36=1+log 32,b=1+log 52,c=1+log 72,由对数函数的性质知log 32>log 52>log 72,所以a>b>c. 6.(2018江苏无锡调研)函数f(x)=lg1|x +1|的大致图象为 .(填序号)答案 ④ 解析 f(x)=lg 1|x +1|=-lg|x+1|的图象可由偶函数y=-lg|x|的图象向左平移1个单位得到.由y=-lg|x|的图象可知④正确.7.(2018江苏泰州中学月考)如图,矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数y=lo g √22x,y=x12,y=(√22)x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴,若点A 的纵坐标为2,则点D 的坐标为 .答案 (12,14)解析 由2=lo g √22x 得A 点的横坐标是12,即A (12,2),由x 12=2得B 点的横坐标是4,即B(4,2),则点C 的横坐标是4,纵坐标y=(√22)4=14,故点D 的坐标为(12,14).8.(2018常州教育学会学业水平检测)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,若f(1)=0,则不等式f(ln x)<0的解集为 . 答案 (1e ,e )解析 由偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,得f(x)在[0,+∞)上单调递增,则不等式 f(ln x)<0⇔ f(|ln x|)< f(1)⇔|ln x|<1则-1<ln x<1⇒1e <x<e,故原不等式的解集为(1e ,e ).9.(2019江苏宿迁模拟)已知函数y=lo g 12(x 2-ax+a)在区间(-∞,√2]上是单调增函数,则实数a 的取值范围是 . 答案 [2√2,2√2+2)解析 令t=x 2-ax+a,由题意知t=x 2-ax+a 在区间(-∞,√2]上是单调减函数,且t=x 2-ax+a>0在区间(-∞,√2]上恒成立,则{x2≥√2,2-√2a +a >0,解得2√2≤a<2√2+2.10.(2018盐城模拟)若∃x∈R,a 3x-4≥2x2-x(a>0,且a≠1)成立,则实数a 的取值范围是 . 答案 (0,1)∪(1,√29]∪[2,+∞) 解析 由a3x-4≥2x2-x得log 2a3x-4≥log 22x2-x,所以(3x-4)log 2a≥x 2-x,当3x-4=0,即x=43时,(3x-4)log 2a≥x 2-x 不成立,故舍去. 当3x-4>0,即x>43时,log 2a≥x 2-x3x -4,令t=3x-4,t>0, 则x 2-x 3x -4=19(x +4x +5)≥1(当且仅当t=2时取等号), 所以log 2a≥1,解得a≥2.当3x-4<0,即x<43时,令t=3x-4,t<0,易得log 2a≤19,结合a>0,且a≠1得0<a<1或1<a≤√29. 综上,a 的取值范围是(0,1)∪(1,√29]∪[2,+∞).11.(2018江苏兴化中学第一学期期中)已知实数a>0,且满足不等式33a+2>34a+1.(1)解不等式:log a (3x+2)<log a (8-5x);(2)若函数f(x)=log a (x+2)-log a (x-1)在区间[2,4]上有最小值-1,求实数a 的值. 解析 (1)由题意得 3a+2>4a+1,∴0<a<1,∴{3x +2>8-5x ,3x +2>0,8-5x >0,解得x∈(34,85). (2)f(x)=log a (x+2)-log a (x-1)=log a x +2x -1=log a (1+3x -1),令t=1+3x -1,当x∈[2,4]时,3x -1∈[1,3],∴t=1+3x -1∈[2,4].∵0<a<1,∴y=log a t 在定义域内递减,∴f(x)min =log a 4=-1,∴a=14.12.(2019盐城中学模拟)已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x). (1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性; (2)记函数g(x)=10f(x)+3x,求函数g(x)的值域;(3)若不等式f(x)>m 有解,求实数m 的取值范围. 解析 (1)∵函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x), ∴{2+x >0,2-x >0,解得-2<x<2. ∴函数f(x)的定义域为(-2,2). ∵f(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=f(x), ∴f(x)是偶函数.(2)f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x 2). ∵g(x)=10f(x)+3x,∴g(x)=-x 2+3x+4=-(x -32)2+254(-2<x<2),∴g(x)max =g (32)=254,g(x)min =g(-2)=-6.∴函数g(x)的值域是(-6,254].(3)∵不等式f(x)>m 有解,∴m<f(x)max , 令t=4-x 2,由于-2<x<2,∴0<t≤4, ∴m<lg 4.∴实数m 的取值范围是{m|m<lg 4}. 13.已知函数f(x)=3-2log 2x,g(x)=log 2x.(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;(2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x 2)·f(√x )>k·g(x)恒成立,求实数k 的取值范围. 解析 (1)h(x)=(4-2log 2x)·log 2x=-2(log 2x-1)2+2. 因为x∈[1,4],所以log 2x∈[0,2], 故函数h(x)的值域为[0,2]. (2)由f(x 2)·f(√x )>k·g(x)得(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x.令t=log2x,因为x∈[1,4],所以t=log2x∈[0,2],所以(3-4t)(3-t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立.当t=0时,k∈R;当t∈(0,2]时,k<(3-4x)(3-x)x恒成立,即k<4t+9x-15恒成立,因为4t+9x≥12,当且仅当4t=9x ,即t=32时取等号,所以4t+9x-15的最小值为-3,则k<-3.综上,k∈(-∞,-3).基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.(2018宿迁第一学期期末)函数f(x)=lg(x-2)+√3-x的定义域为.答案(2,3]2.不等式2x2-x<4的解集为.答案{x|-1<x<2}解析不等式2x2-x<4可转化为2x2-x<22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为{x|-1<x<2}.3. (2018江苏苏州中学第一学期月考)已知集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为.答案0或1或-1解析由A∪B=A得B⊆A.当m=0时,B=⌀,符合题意;当m≠0时,1x=1或-1,所以m=1或-1,综上,m=0或1或-1.4.(2019江苏泰兴第一高级中学高三模拟)已知a>0且a≠1,函数y=log a(√2x-1)+2的图象恒过定点P,若P在幂函数f(x)的图象上,则f(3)= .答案9解析由题意知定点P的坐标为(√2,2),设f(x)=xα,则2=(√2)α, α=2,即f(x)=x2,∴f(3)=32=9.5.定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(-π),f(3), f(-4)由小到大的顺序是.答案 f(3)< f(-π)< f(-4)解析 因为f(x)是偶函数,所以f(-π)=f(π),f(-4)=f(4),又f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以f(3)< f(π)< f(4),即f(3)< f(-π)< f(-4).6.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则命题:①p∧q;②(¬p)∧(¬q);③(¬p)∨q;④p∧(¬q)中为真命题的是 .(只填序号) 答案 ④解析 由指数函数的图象可知命题p 是真命题,所以¬p 是假命题;“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,所以命题q 是假命题,所以¬q 是真命题.所以p∧q、(¬p)∧(¬q)和(¬p)∨q 都是假命题,p∧(¬q)是真命题,故真命题的序号是④.7.(2018江苏泰兴第一高级中学期中)函数y=x 2-3x-4的定义域为[0,m],值域是[-254,-4],则实数m 的取值范围是 . 答案 [32,3]解析 作出二次函数的图象(图略),结合函数图象可知32≤m≤3. 8.计算:(1)2log 23-log 2638+log 27-7log 72; (2)eln 2+813+lg 20-lg 2;(3)(lg 2)2+(lg 5)2+2lg 2·lg 5+log 89·log 2732+πlog π2+(338)-23.解析 (1)原式=log 29-log 2638+log 27-2 =log 2(9×863×7)-2 =3-2=1. (2)原式=2+2+lg 10=5.(3)原式=(lg 2+lg 5)2+lg9lg8·lg32lg27+2+(278)-23=1+2lg33lg2·5lg23lg3+2+(32)-2=3+109+49=419.。

____第14课__对__数__函__数____1. 理解对数函数的定义、图象和性质．2. 能用对数函数的性质比较两个对数的大小．3. 能用对数函数的图象和性质;解决简单的综合性问题.1. 阅读必修1第81～87页，完成以下任务：(1) 对数函数的概念是什么？通过第83页例1，掌握求对数函数定义域的方法． (2) 对数函数的图象和性质是怎样的？通过第83页例2，掌握比较对数大小的方法． (3) 通过第84～85页例3、例4，掌握对数函数图象的变换．2. 由重点题目第87页习题第8、14题进一步观察和探究对数函数的图象和性质.基础诊断1. 函数y ＝log 2(－2)的定义域是__(0，1)__，值域是__(－∞，－2]__， 单调增区间是__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2__．解析：由题意得，－2>0，解得0<<1，故函数y ＝log 2(－2)的定义域为(0，1)； 因为y ＝log 2(－2)＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤log 214＝－2，所以函数的值域为(－∞，－2]；因为y ＝log 2t 是单调增函数，所以函数g()＝－2的增区间即为原函数的增区间．因为g()＝－2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，故原函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.2. 函数f()＝1－2log 6x 的定义域为．解析：由题意得⎩⎨⎧x>0，1－2log 6x ≥0，解得0<≤6，故函数f()的定义域为(0，6]．3. 若－1<log a 34<1，则实数a 的取值范围为__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞__．解析：由－1<log a 34<1得log a 1a <log a 34<log a a.若0<a<1，则函数y ＝log a 在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >34>a ，解得0<a<34；若a>1，则函数y ＝log a 在(0，＋∞)上单调递增，所以1a <34<a ，解得a>43. 综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞.4. 已知a ∈R ，函数f ()＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a ，若关于的方程f ()＋log 22＝0的解集中恰有一个元素，则a 的值为__－14或0__．解析：由题意得log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a ＋log 22＝0，即log 2(a 2＋)＝0，即a 2＋－1＝0.当a ＝0时，解得＝1，符合题意； 当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，a 的值为0或－14.范例导航考向❶ 含对数式的大小比较例1 比较下列各组数中两个值的大小： (1) log 23.4，log 28.5； (2) log 0.31.8，log 0.32.7；(3) log a 5.1，log a 5.9(a>0，且a ≠1)．解析：(1) 根据函数y ＝log 2单调递增可得log 23.4<log 28.5. (2) 根据函数y ＝log 0.3单调递减可得log 0.31.8>log 0.32.7. (3) 函数y ＝log a 的单调性需分两种情况讨论： ①当0<a<1时，函数y ＝log a 单调递减， 所以log a 5.1>log a 5.9；②当a>1时，函数y ＝log a 单调递增， 所以log a 5.1<log a 5.9.比较下列各组数的大小． (1) log 323与log 565；(2) log 1.10.7与log 1.20.7；(3) 已知log 12b<log 12a<log 12c ，比较2a ，2b ，2c 的大小．解析：(1) 因为log 323<log 31＝0，log 565>log 51＝0，所以log 323<log 565.(2) 方法一：因为0<0.7<1，1.1<1.2， 所以0>log 0.71.1>log 0.71.2， 所以1log 0.71.1<1log 0.71.2，由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方法二：作出y ＝log 1.1与y ＝log 1.2的图象，如图所示，由两图象与直线＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7.(3) 因为y ＝log 12为减函数，且log 12b<log 12a<log 12c ，所以b>a>c.考向❷ 对数函数的图象(变换)与性质例2 已知函数f()＝log a (a>0且a ≠1)，若对于任意的∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f()|≤1成立，试求a 的取值范围．解析：因为f()＝log a ，则y ＝|f()|的图象如图所示．由图可知，要使∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f()|≤1,只需|f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a.当a>1时，a －1≤13≤a ，解得a ≥3；当0<a<1时，a －1≥13≥a ，解得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．(1) 已知函数f()＝|lg |，若0<a<b ，且f(a)＝f(b)，则a ＋2b 的取值范围为__(3，＋∞)__； 解析：画出函数f()＝|lg |的图象如图所示．因为0<a<b ，f(a)＝f(b)，所以0<a<1，b>1，所以lg a<0，lg b>0.又因为f(a)＝f(b)，所以－lg a ＝lg b ，即ab ＝1，所以a ＋2b ＝a ＋2a ，易证μ＝a ＋2a在区间(0，1)上单调递减，所以μ>3，即a ＋2b>3.(2) 已知函数f()＝log a ||在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)__<__f(a ＋1)．(填“<”“＝”或“>”) 解析：因为f()＝log a ||在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，所以a ＋1>2.因为f()是偶函数，所以f(－2)＝f(2)<f(a ＋1).考向❸ 对数函数的图象与性质的综合运用例3 已知函数f()＝log a (＋1)－log a (1－)，a>0且a ≠1. (1) 求f()的定义域；(2) 判断f()的奇偶性并予以证明； (3) 若a>1，求使f()>0的的解集． 解析：(1) 由题意得⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x>0，解得－1<<1. 故所求函数f()的定义域为{|－1<<1}． (2) 由(1)知f()的定义域为{|－1<<1}，且f(－)＝log a (－＋1)－log a (1＋)＝－[log a (＋1)－log a (1－)]＝－f()， 故f()为奇函数．(3) 因为当a>1时，f()在定义域{|－1<<1}上是增函数，所以由f()>0，得x ＋11－x >1，解得0<<1，所以使f()>0的的解集是{|0<<1}．自测反馈1. 设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为__a>b>c__． 解析：a ＝log 3π>1，b ＝12log 23，则12<b<1，c ＝12log 32<12，所以a>b>c.2. 已知函数f()＝ln 1＋ax1＋2x(a ≠2)为奇函数，则实数a ＝__－2__．解析：依题意有f(－)＋f()＝ln 1－ax 1－2x ＋ln 1＋ax 1＋2x ＝0，即1－ax 1－2x ·1＋ax1＋2x ＝1，故1－a 22＝1－42，所以a 2＝4.又a ≠2，故a ＝－2.3. 已知函数f()满足：当≥4时，f()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当<4时，f()＝f(＋1)，则f(2＋log 23)的值为__124__．解析：因为1<log 23<2，所以3<2＋log 23<4，所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)，因为4<3＋log 23<5，所以f(3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18×2log 23－1＝18×13＝124.4. 定义在R 上的偶函数f ()在[0，＋∞)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则满足f ⎝⎛⎭⎫log 18x >0的的取值范围是__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)__． 解析：由题意得，f (log 18)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，因为f ()为R 上的偶函数且在[0，＋∞)上单调递增可得，log 18>13或log 18<－13，解得0<<12或>2，故的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．1. 对数函数的底数与真数应满足的条件必须重视，对于含参数问题，一般都需分类讨论．2. 比较对数大小时，先与0比较分正负；正数与1比较，分大于1还是小于1.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用．3. 你还有哪些体悟，写下;：。

第七节对数与对数函数1．对数谨记运算法则有关口诀积的对数变加法；商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前.①对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．②在直线x ＝1的右侧，当a ＞1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0＜a ＜1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．③函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax 的图象关于x 轴对称.[熟记常用结论]1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a；(2)log am b n ＝n m log a b .其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，m ≠0，n ∈R.2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (2)log 2x 2＝2log 2x .( ) (3)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(4)若MN ＞0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(5)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 二、选填题1．函数y ＝lg|x |( )A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增解析：选B y ＝lg|x |是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．2．已知a ＞0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B 函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有B.3．函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为______．解析：要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －3＞0，log 0.5(4x －3)≥0，解得34＜x ≤1.答案：⎝⎛⎦⎤34，14．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________．解析：当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，且a ≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．答案：(2,2)5．计算：log 23·log 34＋(3)log 34＝________. 解析：log 23·log 34＋(3)log 34＝lg 3lg 2·2lg 2lg 3＋312log 34＝2＋3log 32＝2＋2＝4. 答案：4考点一 对数式的化简与求值[基础自学过关][题组练透]1．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m＋n的值为________．解析：由已知得a 2m ＋n ＝a 2log a 2＋log a 3＝a log a 4＋log a 3＝a log a 12＝12. 答案：122．已知log 189＝a,18b ＝5，则log 3645＝________(用关于a ，b 的式子表示)．解析：因为18b ＝5，所以log 185＝b ，又log 189＝a ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)1＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a. 答案：a ＋b2－a3．计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)(lg 3)2－lg 9＋1·(lg 27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)． 解：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. (2)原式＝(lg 3)2－2lg 3＋1·⎝⎛⎭⎫32lg 3＋3lg 2－32(lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1)＝(1－lg 3)·32(lg 3＋2lg 2－1)(lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1)＝－32.(3)原式＝log 32·log 43＋log 32·log 83＋log 92·log 43＋log 92·log 83 ＝lg 2lg 3·lg 32lg 2＋lg 2lg 3·lg 33lg 2＋lg 22lg 3·lg 32lg 2＋lg 22lg 3·lg 33lg 2＝12＋13＋14＋16＝54. [名师微点]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.考点二 对数函数的图象及应用[师生共研过关][典例精析][例1] (2019·合肥质检)函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( )[解析] 令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2＜x ＜2}，且f (－x )＝ln(2－|－x |)＝ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项C 、D.由对数函数的单调性及函数y ＝2－|x |的单调性知A 正确．[答案] A[例2] 当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 易知0＜a ＜1，函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图，则由题意可知只需满足log a 12＞412，解得a ＞22，∴22＜a ＜1，故选B. [答案] B [变式发散]1．(变条件)将例2中“4x ＜log a x ”变为“4x ＝log a x 有解”，a 的取值范围为__________． 解析：若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 与函数y ＝log ax 的图象在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点．由图象可知⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 12≤2，解得0＜a ≤22，即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，22.答案：⎝⎛⎦⎤0，22 2．(变条件)若例2变为：已知不等式x 2－log a x ＜0对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围为__________．解析：由x 2－log a x ＜0得x 2＜log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，不等式x 2＜log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可． 当a ＞1时，显然不成立；当0＜a ＜1时，如图所示，要使x 2＜log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12， 所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a12，解得a ≥116，所以116≤a ＜1. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1. 答案：⎣⎡⎭⎫116，13．(变条件)若例2变为：当0＜x ≤14时，x ＜log a x ，则实数a 的取值范围为________．解析：若x ＜log a x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，14上恒成立，则0＜a ＜1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，如图所示，由图象知14＜log a 14， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a 12＞14，解得116＜a ＜1.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1.答案：⎝⎛⎭⎫116，1 [解题技法](1)识别对数函数图象时，要注意底数a 以1为分界：当a ＞1时，是增函数；当0＜a ＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y 轴为渐近线．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[口诀记忆]对数增减有思路，函数图象看底数；底数只能大于0，等于1来也不行；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(1，0)点.[过关训练]1．若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是()解析：选B 若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的图象大致如图所示．故选B.2．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝0 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1解析：选D 作出y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的大致图象，如图．显然x 1＜0，x 2＜0.不妨令x 1＜x 2，则x 1＜－1＜x 2＜0， 所以10x 1＝lg(－x 1)，10x 2＝－lg(－x 2)， 此时10x 1＜10x 2， 即lg(－x 1)＜－lg(－x 2)， 由此得lg(x 1x 2)＜0，。

2.5对数与对数函数一、填空题(本大题共11小题，每小题5分，共55分)1．函数y ＝2－x lg x的定义域是__________________． 2．已知0<log a 2<log b 2，则a 、b 与1的大小关系是______________．3．(2020·天津改编)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系是____________．4．(2020·全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝||lg x ，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是__________．5．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，若g ⎝⎛⎭⎪⎫1a －1＝14，则a ＝________. 6．已知32a ＝49 (a >0)，则a 32log ＝________. 7．已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是________．8．函数f (x )＝21log (x 2－2x －3)的单调递增区间是__________．9．函数y ＝21log (x 2－6x ＋17)的值域是__________． 10．若函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧<->00212x x x x ),(log ,log ， 若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是______________．11．已知函数f (x )＝a log 2x －b log 3x ＋2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 011＝4，则f (2 011)的值为_____． 二、解答题(本大题共3小题，共45分)12．(13分)计算下列各题：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.13．(16分)已知f (x )＝log a 1＋x 1－x(a >0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)求使f (x )>0的x 的取值范围．14．(16分)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x的最值 及相应的x 的值．答案 1.{x |0<x <1或1<x ≤2} 2.a >b >1 3.b <a <c 4.(2，＋∞) 5.126.37.m >n8.(－∞，－1)9.(－∞，－3] 10.(－1,0)∪(1，＋∞) 11.012.解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1. (2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2－2lg 2＋1 ＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1|＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2＝1.13.解 (1)∵f (x )＝log a 1＋x 1－x ，需有1＋x 1－x>0， 即(1＋x )(1－x )>0，即(x ＋1)(x －1)<0，∴－1<x <1. ∴函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)f (x )为奇函数，证明如下：∵f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1 ＝－log a 1＋x 1－x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (3)log a 1＋x 1－x>0 (a >0，a ≠1)， ①当0<a <1时，可得0<1＋x 1－x<1， 解得－1<x <0.又－1<x <1，则当0<a <1时，f (x )>0的x 的取值范围为(－1,0)．②当a >1时，可得1＋x 1－x>1，解得0<x <1. 即当a >1时，f (x )>0的x 的取值范围为(0,1)． 综上，使f (x )>0的x 的取值范围是： a >1时，x ∈(0,1)；0<a <1时，x ∈(－1,0)．14.解 ∵y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0， 解得x <1或x >3，∴M ＝{x |x <1，或x >3}， f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x＝t ，∵x <1或x >3，∴t >8或0<t <2. ∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)． 由二次函数性质可知：当0<t <2时，f (t )∈⎝⎛⎦⎥⎤－4，43， 当t >8时，f (x )∈(－∞，－160)，当2x ＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43. 综上可知：当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．。

第七节 对数函数强化训练1.已知函数f (x )=log 2(1)x +,若()f α=1α,等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案:B解析:12α+=,故1α=,选B. 2.2log 510+log 50.25等于( )A.0B.1C.2D.4 答案:C解析:2log 510+log 50.25=log 5100+log 50.25=log 5252=. 3.已知f (x )=|log 2x |,则33()()82f f += .答案:2 解析:33()()82f f +=|log 238|+|log232|=|log 23-3|+|log 231-|=3-log 23+log2312-=.4.已知函数f (x )=12300log x x x x +⎧,≤,⎨,>,⎩则使函数f (x )的图象位于直线y =1上方的x 的取值范围是 .答案:{x |10x -<≤或x >2}解析:当0x ≤时,由131x +>,得x +1>0, 即x >-1.∴10x -<≤.当x >0时,由log 21x >,得x >2.∴x 的取值范围是{x |10x -<≤或x >2}.5.是否存在实数a ,使函数f (x )=log 2()a ax x -在区间[]24,上是增函数？如果存在，求出a 的取值范围；如果不存在，请说明理由.解:设2()g x ax x =-,并假设符合条件的实数a 存在,当a >1时,为了使f (x )=log 2()a ax x -在区间[2,4]上是增函数,需2()g x ax x =-在区间[2,4]上是增函数, ∴122x a =≤,解得14a ≥.又∵a >1,∴a >1.当0<a <1时,为了使f (x )=log 2()a ax x -在区间[]24,上是增函数，需2()g x ax x =-,在区间[2,4]上是减函数. ∴142x a =≥,解得18a ≤.又∵0<a <1,∴108a <≤.综上可知:当a >1或108a <≤时,函数f (x )=log 2()a ax x -在区间[2,4]上是增函数.见课后作业B题组一 对数的化简与求值1.设a =log 54(b ,=log 253)c ,=log 45,则( ) A.a <c <b B.b <c <a C.a <b <c D.b <a <c答案:D解析:a =log 54(01)c ∈,,=log 45(1)(b ∈,+∞,=log 253)(01)c ∈,,最大,排除A B .、又∵b =(log 253)<log 53<log 54a =,∴b <a <c .2.已知log 23a =,log 37b =,则用a ,b 表示log 1456为 . 答案:31ab ab ++解析:∵log 23a =,log 37b =,∴log 27ab =. ∴log 221422log 563log 7356log 141log 71ab ab ++===++. 题组二 对数函数的图象3.若函数y =f (x )是函数(0xy a a =>,且1)a ≠的反函数,其图象经过点)a ,则f (x )等于 ( ) A.log 2x B.12xC.log 12x D.2x答案:C解析:由题意f (x )=log a x ,∴a =log 1212a a =. ∴f (x )=log 12x .4.若函数f (x )=log ()a x b +的图象如图所示,其中a ,b 为常数,则函数g (x )=xa b +的大致图象是( )答案:D解析:由题意得0<a <1,0<b <1,则函数g (x )=xa b +的大致图象是D. 5.已知函数f (x )=2881651x x x x x -,≤,⎧⎨-+,>,⎩g (x )=ln x ,则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案:B解析:画出f (x )=2881651x x x x x -,≤,⎧⎨-+,>,⎩g (x )=ln x 的图象(图略),两函数图象的交点个数为2,故选B.题组三 对数函数的性质6.函数f (x )=lg(x -1)的定义域是( ) A.(2),+∞B.(1),+∞C.[1),+∞D.[2),+∞ 答案:B解析:f (x )的定义域需满足x -1>0,故x >1,选B.7.若点(a ,b )在y =lg x 图象上1a ,≠,则下列点也在此图象上的是( ) A.1()b a,B.(10a ,1-b )C.10(1)b a,+D.2(2)a b ,答案:D解析:由题意b =lg a ,2b =2lg a =lg 2a ,即2(2)a b ,也在函数y =lg x 的图象上.8.函数()xf x a =+log (1)a x +在[]01,上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 .答案:12解析:∵xy a =与y =log (1)a x +单调性相同且在[]01,上的最值分别在两端点处取得.最值之和:f (0)0(1)f a +=+log 1a a ++log 2a a =,∴log 210a +=. ∴12a =. 9.已知函数f (x )=lg 22[(1)(1)a x a x -+++1]. (1)若f (x )的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若f (x )的值域为R ,求实数a 的取值范围.解:(1)依题意22(1)(1)a x a x -+++1>0对一切x ∈R 恒成立. 当210a -≠时,必须有22210(1)4(1)0a a a ⎧->,⎨∆=+--<,⎩即a <-1或53a >.当210a -=时1a ,=±,当a =-1时,f (x )=0满足题意,当a =1时不合题意. 故1a ≤-或53a >.(2)依题意,只要22(1)(1)t a x a x =-+++1能取到(0),+∞的所有值,则f (x )的值域为R ,故有 22210(1)4(1)0a a a ⎧->,⎨∆=+--≥,⎩ 即513a <≤. 又当210a -=时1a ,=±.当a =1时t =2x +1符合题意,当a =-1时,不合题意. 故513a ≤≤.题组四 对数函数的综合应用10.已知函数f (x )满足:当4x ≥时1()()2xf x ,=;当x <4时,f (x )=f (x +1).则f (2+log 23)等于( ) A.124B.112C.18D.38答案:A解析:∵22342<<=, ∴1<log 232<. ∴3<2+log 234<.∴f (2+log 23)(3f =+log 23)(f =log 2221log 2424log log 242124)()222-===124=. 11.若函数f (x )=log 2(2)(01)a x x a a +>,≠在区间1(0)2,内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间是 . 答案:1()2-∞,-解析:定义域为1(0)()2,+∞⋃-∞,-,当1(0)2x ∈,时22(01)x x ,+∈,,因为01a a >,≠, 设u=220x x y +>,=log a u 在(0,1)上大于0恒成立,所以0<a <1, 所以函数f (x )=log 2(2)(01)a x x a a +>,≠的单调递增区间是212(()(0))2u x x x =+∈-∞,-⋃,+∞的递减区间,即1()2-∞,-.12.若2()f x x x b =-+,且f (log 2)a b =,log 2()2(f a a =>0且1)a ≠.(1)求f (log 2)x 的最小值及相应x 的值;(2)若f (log 2)(1)x f >且log 2()(1)f x f <,求x 的取值范围. 解:(1)∵2()f x x x b =-+,∴f (log 2)(a =log 22)a -log 2a b b +=. ∵log 20a ≠,∴log 21a =. ∴a =2.又∵log 2()2f a =, ∴f (a )=4. ∴24a a b -+=. ∴b =2.∴2()2f x x x =-+.∴f (log 2)(x =log 22)x -log 22(x +=log 2217)42x -+.∴当log 212x =,即x =,f (log 2)x 有最小值74.(2)由题意知22222()22log log (2)2log x x x x ⎧-+>,⎨-+<.⎩∴22201log log 024x x x x <>,⎧⎨<-+<.⎩或 ∴01212x x x <<>,⎧⎨-<<.⎩或∴0<x <1.▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生▃▄▅▆▇██■▓。

2.4对数与对数函数挖命题【考情探究】分析解读对数与对数函数是基本函数之一,是高考的一个热点,主要考查对数的运算、对数函数的图象与性质,也常与其他知识(如二次函数、导数等)综合命题,常常出现于填空题中,有时也会出现于解答题中.破考点【考点集训】考点一对数的计算1.(log29)·(log34)=.答案 42.lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2=.答案 2考点二对数函数的图象与性质1.函数f(x)=log a(x+2)-2(a>0,且a≠1)的图象必过定点.答案(-1,-2)2.(2019届江苏羊尖高级中学检测)函数f(x)=log2(-x2+2)的值域为.答案-3.若log a<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是.答案∪(1,+ )炼技法【方法集训】方法一对数运算问题的求解策略1.(2018江苏苏州期末)已知4a=2,log a x=2a,则正实数x=.答案2.计算:(1)lg22+lg 50·lg 4+lg25+lg 25;(2)log23·log34.解析(1)原式=lg22+(1+lg 5)·2lg 2+lg25+2lg 5=(lg 2+lg 5)2+2(lg 2+lg 5)=1+2=3.(2)原式=·==2.方法二比较对数式大小的策略1.若a=log23,b=log32,c=log46,则三者大小关系为.答案b<c<a2.(2018江苏启东检测)设e<x<10,记a=ln(ln x),b=lg(lg x),c=ln(lg x),d=lg(ln x),则a,b,c,d的大小关系是.答案c<b<d<a方法三与对数有关的单调性问题的解题策略1.(2019届江苏徐州高级中学检测)函数y=(lo x)2-lo+5在区间[2,4]上的最小值是.答案2.(2019届江苏板浦高级中学检测)函数f(x)=log a(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范围是.答案(1,3)过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组(2018江苏,5,5分)函数f(x)=-的定义域为.答案[2,+ )B组统一命题、省(区、市)卷题组考点对数与对数函数1.(2018天津文改编,5,5分)已知a=log3,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系为.(用“>”连接) 答案c>a>b2.(2018天津理改编,5,5分)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为.(用“>”连接) 答案c>a>b3.(2018课标全国Ⅰ文,13,5分)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=.答案-74.(2018课标全国Ⅲ理改编,12,5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则下列正确的是.①a+b<ab<0②ab<a+b<0③a+b<0<ab④ab<0<a+b答案②5.(2015课标Ⅰ改编,10,5分)已知函数f(x)=---且f(a)=-3,则f(6-a)=.答案-6.(2016课标全国Ⅰ改编,8,5分)若a>b>0,0<c<1,则log c a与log c b的大小关系为. 答案log c a<log c b7.(2015福建,14,4分)若函数f(x)=-(a>0,且a≠1)的值域是[4,+ ),则实数a的取值范围是.答案(1,2]C组教师专用题组1.(2013课标全国Ⅱ改编,8,5分)设a=log32,b=log52,c=log23,则a,b,c的大小关系为(用“>”连接). 答案c>a>b2.(2012课标全国改编,11,5分)当0<x≤时,4x<log a x,则a的取值范围是.答案【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2019届江苏启东一中检测)lg 8+3lg 5=.答案 32.(2019届江苏涟水中学检测)如果f(10x)=x,则f(3)=.答案lg 33.(2018江苏南京、盐城、连云港二模)函数f(x)=lg(2-x)的定义域为.答案(- ,2)4.(2018江苏盐城中学上学期第一次阶段测试,7)已知a=21.2,b=-,c=lo2,则a,b,c的大小关系为(用“<”连接).答案c<b<a5.(2018江苏海门中学检测)已知函数f(x)=x2,g(x)=lg x,若有f(a)=g(b),则b的取值范围是. 答案[1,+ )6.(2019届江苏启东中学检测)已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是. 答案(-,-2)∪(2,)7.(2019届江苏江阴第一中学检测)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为.答案(0,+ )8.(2019届江苏东山高级中学检测)设函数f(x)=log a|x|(a>0,且a≠1)在(- ,0)上单调递增,则f(a+1)与f(2)的大小关系是.答案f(a+1)>f(2)9.(2019届江苏姜堰第二中学检测)设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及函数y2=log2x+2的图象交于B,C两点,点A(m,n)位于函数y2=log2x+2的图象上,如图,若△ABC为正三角形,则m·2n=.答案1210.(2019届江苏如东栟茶中学检测)函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为.答案-二、解答题(共30分)11.(2018江苏南通一中期中)已知函数f(x)=-x+log2-.(1)求f+f-的值;(2)当x∈(-a,a],其中a∈(0,1)时,函数f(x)是否存在最小值?若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,请说明理由. 解析(1)由题意易得f(x)的定义域是(-1,1).由f(x)=-x+log2-,可得f(-x)=x+log2-=-(-x)+log2--=---=-f(x),即f(x)+f(-x)=0,所以f+f-=0.(2)令t=-=-1+,则t=-1+在(-1,1)内单调递减.又y=log2t在(0,+ )上单调递增,所以f(x)=-x+log2-在(-1,1)内单调递减,所以当x∈(-a,a],其中a∈(0,1)时,函数f(x)存在最小值f(a)=-a+log2-.12.(2019届江苏宜兴高级中学检测)已知函数f(x)=log a(x+1)-log a(1-x),a>0且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的解集.解析(1)要使函数f(x)有意义,则-解得-1<x<1.故函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)f(x)为奇函数.证明:由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=log a(-x+1)-log a(1+x)=-[log a(x+1)-log a(1-x)]=-f(x), 故f(x)为奇函数.(3)因为当a>1时, f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,所以f(x)>0⇔>1,解得0<x<1.-所以使f(x)>0的x的解集是(0,1).。

课时跟踪检测（十） 对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·淮安调研)函数f (x )＝log 2(3x －1)的定义域为________． 解析：由3x －1＞0，解得x ＞13，所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞2．函数f (x )＝log 3(x 2－2x ＋10)的值域为________．解析：令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9≥9，故函数f (x )可化为y ＝log 3t ，t ≥9，此函数是一个增函数，其最小值为log 39＝2，故f (x )的值域为[2，＋∞)．答案：[2，＋∞) 3．计算log 23log 34＋(3)3log 4＝________.解析：log 23 log 34＋(3)3log 4＝lg 3lg 2·2lg 2lg 3＋331log 42＝2＋33log 2＝2＋2＝4. 答案：44．(2019·长沙调研)已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b 的图象上，则f (log 32)＝________.解析：∵函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，将x ＝－2，y ＝－1代入f (x )＝3x ＋b ，得3－2＋b ＝－1，∴b ＝－109，∴f (x )＝3x －109，则f (log 32)＝33log 2－109＝2－109＝89. 答案：895．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4. 因为f (x )的值域为[4，＋∞)，所以当a ＞1时，3＋log a x ＞3＋log a 2≥4，所以log a 2≥1，所以1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，3＋log a x ＜3＋log a 2，不合题意．故a ∈(1,2]． 答案：(1,2]6．(2018·镇江期末)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )＜0的解集是________．解析：当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1，f (x )＜0，即log 2(－x )－1＜0，解得 －2＜x ＜0；当x ＞0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )＜0，即1－log 2x ＜0，解得x ＞2，综上，不等式f (x )＜0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．答案：(－2,0)∪(2，＋∞) 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·镇江中学调研)函数y ＝log 2x ＋log 2(4－x )的值域为________． 解析：由题意知，x ＞0且4－x ＞0，∴f (x )的定义域是(0,4)． ∵函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )＝log 2[x (4－x )]， ∴0＜x (4－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝4，当且仅当x ＝2时等号成立．∴log 2[x (4－x )]≤2，∴函数y ＝log 2x ＋log 2(4－x )的值域为(－∞，2]． 答案：(－∞，2]2．(2018·镇江中学学情调研)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则实数a 的值为________．解析：因为函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，所以当x ＞12时，1－a 2x ＞0，即a 2x ＜1，所以a＜2x，所以x ＞log 2a .令log 2a ＝12，得a ＝212＝2，所以实数a 的值为 2.答案： 23．若函数f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________． 解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在 (－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g ＞0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)．答案：[1,2)4．(2019·连云港模拟)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝________.解析：因为f (x )＝lg 1－x1＋x 的定义域为－1＜x ＜1，所以f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (－a )＝－f (a )＝－12.答案：－125．函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x ＞2且x ≠3，故函数定义域为(2,3)∪(3,4]．答案：(2,3)∪(3,4]6．(2018·苏州调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋8，x ≤2，log a x ＋5，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域为[6，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，f (x )∈[6，＋∞)，所以当x ＞2时，f (x )的取值集合A ⊆[6，＋∞)．当0＜a ＜1时，A ＝()－∞，log a 2＋5，不符合题意；当a ＞1时，A ＝(log a 2＋5，＋∞)，若A ⊆[6，＋∞)，则有log a 2＋5≥6，解得1＜a ≤2.答案：(1,2]7．函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－148．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12－x ，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12－a ＞log 2－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2－a＞log 2－a解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12－x ，x ＜0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5)．10．(2019·如东上学期第一次阶段检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)＋log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)若不等式f (x )≤c 恒成立，求实数c 的取值范围． 解：(1)因为f (1)＝2，所以2log a 2＝2， 故a ＝2，所以f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )，要使函数f (x )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，解得－1＜x ＜3，所以f (x )的定义域为(－1,3)．(2)由(1)知，f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2(－x 2＋2x ＋3) ＝log 2[－(x －1)2＋4]， 故当x ＝1时，f (x )有最大值2， 所以c 的取值范围是[2，＋∞)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·南京五校联考)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x ＜0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )，若函数f (x )图象上存在点P 与函数g (x )图象上的点Q 关于y 轴对称，则a 的取值范围是________．解析：设点P (x 0，y 0)(x 0＜0)，则点P 关于y 轴的对称点Q(－x 0，y 0)在函数g (x )的 图象上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20＋ex 0－12，y 0＝－x 02＋－x 0＋a ，消去y 0，可得x 20＋e x 0－12＝(－x 0)2＋ln(－x 0＋a )，所以e x0－12＝ln(－x 0＋a )(x 0＜0)．令m (x )＝e x－12(x ＜0)，n (x )＝ln(a －x )(x ＜0)，问题转化为函数m (x )与函数n (x )的图象在x ＜0时有交点．在平面直角坐标系中分别作出函数m (x )与函数n (x )的图象如图所示．当n (x )＝ln(a －x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，a ＝ e. 由图可知，当a ＜e 时，函数m (x )与函数n (x )的图象在x ＜0时有交点． 故a 的取值范围为(－∞，e)． 答案：(－∞，e)2．(2018·昆山测试)已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R)． (1)当k ＝0时，求函数f (x )的值域； (2)当k ＞0时，求函数f (x )的定义域；(3)若函数f (x )在区间[10，＋∞)上是单调增函数，求实数k 的取值范围． 解：(1)当k ＝0时，f (x )＝lg 11－x ，定义域为(－∞，1)．因为函数y ＝11－x (x ＜1)的值域为(0，＋∞)，所以f (x )＝lg 11－x 的值域为R.(2)因为k ＞0，所以关于x 的不等式kx －1x －1＞0⇔(x －1)(kx －1)＞0⇔(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k ＞0.(*) ①若0＜k ＜1，则1k＞1，不等式(*)的解为x ＜1或x ＞1k；②若k ＝1，则不等式(*)即(x －1)2＞0，其解为x ≠1； ③若k ＞1，则1k ＜1，不等式(*)的解为x ＜1k或x ＞1.综上，当0＜k ≤1时，函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，＋∞；当k ＞1时，函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1k ∪(1，＋∞)．(3)令g (x )＝kx －1x －1，则f (x )＝lg g (x )． 因为函数f (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，且对数的底数10＞1，所以当x ∈[10，＋∞)时，g (x )＞0，且函数g (x )在[10，＋∞)上是单调增函数． 而g (x )＝kx －1x －1＝k x －＋k －1x －1＝k ＋k －1x －1， 若k －1≥0，则函数g (x )在[10，＋∞)上不是单调增函数； 若k －1＜0，则函数g (x )在[10，＋∞)上是单调增函数． 所以k ＜1.①因为函数g (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，所以要使当x ∈[10，＋∞)时，g (x )＞0，必须g (10)＞0， 即10k －110－1＞0，解得k ＞110.②综合①②知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1.。

____第13课__对数与对数运算____1. 熟练进行对数式与指数式的互化，了解常用对数和自然对数两种常用形式的对数．2. 会运用对数的运算法则进行对数运算，并能将对数和指数的运算法则进行区分和联系．3. 用换底公式时，能根据条件正确选择以什么量为底，能进行不同底之间的转化运算.1. 阅读必修1第72～80页，完成以下任务：(1) 对数的概念；底数和真数有何要求？(2) 对数式与指数式是如何互化的？变与不变的有哪些？(3) 自然对数与常用对数是什么？(4) 对数的性质与运算法则有哪些？(5) 换底公式是如何推导;的？(6) 重点题目：第74页练习第7题；第80页习题第10、11、12题．2. 对数式与指数式的区别与联系？基础诊断1. 2log 510＋log 50.25的值为__2__．解析：原式＝log 5102＋log 50.25＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2.2. 已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则用a ，b 表示log 126＝__a ＋b 2a ＋b __． 解析：log 126＝lg 6lg 12＝lg （2×3）lg （4×3）＝lg 2＋lg 3lg 22＋lg 3＝lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3.因为lg 2＝a ，lg 3＝b ，所以原式＝a ＋b 2a ＋b. 3. 若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝__9__．解析：由已知得，lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2，即lg m ＝2lg 3，所以m ＝9. 4. 已知y ＝f()是定义在R 上的奇函数，且当>0时，f ()＝1＋2，则f (log 128)＝__－9__．解析：因为log 128＝－3，所以f (log 128)＝f (－3)．因为y ＝f ()是定义在R 上的奇函数，且当>0时，f ()＝1＋2，所以f (－3)＝－f (3)＝－(1＋23)＝－9，即f (log 128)＝－9.范例导航 考向❶ 对数式的化简与求值例1 求值：(1) (lg 5)2＋lg 2×lg 50；(2) (log 32＋log 92)×(log 43＋log 83)；(3) log 2.56.25＋lg 1100＋ln e ＋21＋log 23. 解析：(1) 原式＝(lg 5)2＋lg 2×(1＋lg 5)＝lg 5×(lg 2＋lg 5)＋lg 2＝1.(2) 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9×⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3×5lg 36lg 2＝54. (3) 原式＝log 2.5(2.5)2＋lg 10－2＋ln e 12＋2×2log 23＝2－2＋12＋6＝132.计算：log (2＋3)(2－3)．解析：方法一：利用对数定义求值设log (2＋3)(2－3)＝，则(2＋3)＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，所以＝－1.方法二：利用对数的运算性质求值 log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)12＋3＝log (2＋3)(2＋3)－1＝－1.考向❷ 对数运算与方程的简单综合例2 已知lg ＋lg y ＝2lg (－2y)，求log 2x y的值． 解析：因为lg ＋lg y ＝2lg (－2y)，所以lg (y)＝lg (－2y)2，所以y ＝(－2y)2，即2－5y ＋4y 2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋4＝0， 解得x y ＝4或x y ＝1(舍去)，所以log 2x y＝log 24＝4.已知2lg x －y 2＝lg ＋lg y ，求log (3－22)x y的值． 解析：由已知得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＝lg y ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＝y ，即2－6y ＋y 2＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－6⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋1＝0， 解得x y＝3±2 2. 因为⎩⎨⎧x －y>0，x>0，y>0，所以x y >1，所以x y ＝3＋22，所以log (3－22)x y＝log (3－22)(3＋22) ＝log (3－22) 13－22＝－1. 考向❸ 指数运算和对数运算的综合例3 已知，y ，均为正实数，且3＝4y ＝6.(1) 求证：1z －1x ＝12y； (2) 比较3，4y ，6的大小．解析：(1) 令＝3＝4y ＝6>1，则＝log 3，y ＝log 4，＝log 6，所以1x ＝log 3，1y ＝log 4，1z＝log 6， 所以1z －1x ＝log 6－log 3＝log 63＝log 2， 12y ＝12log 4＝log 2， 所以1z －1x ＝12y.(2) 由于，y ，>0，故>1.3x 4y ＝3log 3k 4log 4k ＝ 3lg k lg 34lg k lg 4 ＝3lg 44lg 3＝lg 43lg 34＝lg 64lg 81<1，所以3<4y. 4y 6z ＝2log 4k 3log 6k ＝ 2lg k lg 43lg k lg 6 ＝2lg 63lg 4＝lg 62lg 43＝lg 36lg 64<1， 所以4y<6.综上所述，3<4y<6.自测反馈1. 若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝3． 解析：因为a ＝log 43，所以4a ＝3，所以2a ＝3，所以2a ＋2－a ＝3＋13＝433. 2. 已知lg 6＝a ，lg 12＝b ，那么用a ，b 表示lg 24＝__2b －a__．解析：lg 24＝lg 1446＝2lg 12－lg 6＝2b －a. 3. 设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则a ，b 和c 的大小关系是__b<a<c__．解析：因为c ＝log 45>log 44＝1，即c>1；0<a ＝log 54<log 55＝1，即0<a<1；0<b ＝(log 53)2<log 53·log 54<log 54＝a ，即b<a ，所以b<a<c.4. 方程[log 2(－)]2＝log 22的解是__＝－4或＝－1__．解析：由题意得－>0，即<0，所以[log 2(－)]2＝log 2(－)2，即[log 2(－)]2＝2log 2(－)．令log 2(－)＝t ，则t 2＝2t ，解得t ＝0或t ＝2.当t ＝0时，log 2(－)＝0，解得＝－1；当t ＝2时，log 2(－)＝2，解得＝－4.故原方程的解是＝－1或＝－4.1. 指数式a b ＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．2. 指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．3. 你还有哪些体悟，写下;：。

课时作业(九) [第9讲 对数与对数函数][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg108＝________，lg 1825＝________(用a ，b 表示)．2．用“＜”“＞”填空：log 0.27________log 0.29；log 35________log 65；(lg m )1.9________(lg m )2.1(其中m >10)．3．函数y ＝log 2(x 2＋2x )的单调递增区间为________．4．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 为奇函数，则a 的值是________．能力提升5．函数f (x )＝log 2x 2＋2的值域为________．6．[2011·江苏卷] 函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．7．在同一坐标系中，三个函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象如图K9－1所示，那么a ，b ，c 的大小关系是________．8．设f (x )＝log 3(3x＋1)＋12ax 是偶函数，则a 的值为________．9．已知函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，若f (2)<f (3)，则实数a 的取值范围是________．10．已知函数f (x )＝a x＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________．11．[2011·宿迁模拟] 若函数f (x )＝log (a 2－3)(ax ＋4)在[－1,1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________．12．[2012·苏南四校联考] 已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n ＋m ＝________.13．(8分)(1)用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：log a xy z ；log a x 2y 3z；(2)求值：lg8＋lg125－lg2－lg5lg 10lg0.1.14．(8分)(1)若log a 45<1(a >0且a ≠1)，求实数a 的取值范围；(2)若log a 2<log b 2<0，求a 、b 、1三数的大小关系．15．(12分)在函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)中．(1)若其在[－1，＋∞)内有意义，求实数a 的取值范围； (2)若其在(－∞，1]内为增函数，求实数a 的取值范围． 16．(12分)[2012·东海调研] 设函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，对于任意正实数m ，n 恒有f (mn )＝f (m )＋f (n )，且当x >1时，f (x )>0，f (2)＝1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值； (2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)求方程4sin x ＝f (x )的根的个数．课时作业(九)【基础热身】1．2a ＋3b 3a ＋2b －2 [解析] lg108＝lg(22×33)＝2lg2＋3lg3＝2a ＋3b ， lg 1825＝lg18－lg25＝lg(2×32)－lg52＝lg2＋2lg3－2lg5＝lg2＋2lg3－2(1－lg2)＝3lg2＋2lg3－2＝3a ＋2b －2.2．＞ ＞ ＜ [解析] 对于log 0.27与log 0.29的大小比较，可利用函数y ＝log 0.2x 在定义域内单调减；对于log 35与log 65的大小比较，可先利用y ＝log 5x 单调增，再结合倒数法则；而对于(lg m )1.9与(lg m )2.1的大小比较，要对lg m 与1的大小关系进行讨论，因为m >10，所以填“＜”．3．(0，＋∞) [解析] 令y ＝log 2u ，u ＝x 2＋2x ，可知外函数为增函数，所以内函数也要为增函数且满足定义域，即：⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x 2＋2x >0，所以单调递增区间为(0，＋∞)．4．－1 [解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，解得：a ＝－1. 【能力提升】5.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ [解析] 令u ＝x 2＋2≥2，所以y ＝log 2u ≥12.6.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ [解析] 因为y ＝log 5x 为增函数，故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 7．a >c >b [解析] 在图象上作出直线y ＝1，则它与图象的交点的横坐标即为相应的a ，b ，c ，从左向右依次为b ，c ，a .所以a >c >b .8．－1 [解析] 由题意可得，f (－1)＝f (1)，即log 3(3－1＋1)－12a ＝log 3(3＋1)＋12a ，解得a ＝－1.9．a >1 [解析] 若a >1时，函数f (x )＝log a x 为单调递增函数，则f (2)<f (3)成立； 若0<a <1时，函数f (x )＝log a x 为单调递减函数，则f (2)<f (3)不成立． 则实数a 的取值范围是a >1.10．2 [解析] 无论a >1还是0<a <1总有a 1＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2.11．(－2，－3)∪(2,4) [解析] 首先由a 2－3>0，可得a >3或a <－ 3.当a >3时，函数g (x )＝ax ＋4在[－1,1]上是增函数，则需a 2－3>1，故a >2.又函数g (x )＝ax ＋4>0在[－1,1]上恒成立，故g (－1)＝4－a >0，即2<a <4.当a <－3时，函数g (x )＝ax ＋4在[－1,1]上是减函数，则需0<a 2－3<1，故－2<a <－3.又函数g (x )＝ax ＋4>0在[－1,1]上恒成立，故g (1)＝a ＋4>0，即a >－4.综上所述，实数a 的取值范围为(－2，－3)∪(2,4)．12.52[解析] 本题结合函数的性质考查数形结合方法的应用：由函数f (x )＝|log 2x |得到其图象如下图所示：又因为f (m )＝f (n )，所以mn ＝1，∴m <1，n >1.再结合图象可知，最大值出现在x ＝m2或x ＝n 处．当最大值出现在x ＝m 2时，即m 2＝14⇒m ＝12⇒f (m )＝1＝f (n )⇒n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝2，⇒m ＋n ＝52.当最大值出现在x ＝n 处时，即n ＝4⇒m ＝14，m 2＝116，f (m 2)>2，不符合题意．故m ＋n＝52. 13．[解答] (1)log a xy z＝log a (xy )－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ； log ax 2y3z＝log a (x2y )－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z .(2)原式＝3lg2＋3lg5－lg2－lg512×－1＝2lg2＋lg5－12＝－4lg10＝－4.14．[解答] (1)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是单调增函数，log a 45<log a a ，∴a >45，∴a >1.当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是单调减函数，log a 45<log a a ，∴0<a <45，∴0<a <45.综上所述：实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，45∪(1，＋∞)． (2)用倒数法则将不等式log a 2<log b 2<0改写成0>log 2a >log 2b ，由对数函数的单调性可求得0＜b ＜a ＜1.15．[解答] (1)命题等价于“u ＝g (x )＝x 2－2ax ＋3>0对x ∈[－1，＋∞)恒成立”．对函数g (x )的对称轴x 0＝a 进行讨论有：⎩⎪⎨⎪⎧ a <－1，g －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，Δ＝4a 2－12<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a >－2或⎩⎨⎧a ≥－1，－3<a <3，∴a 的取值范围是(－2，3)．(2)令g (x )＝x 2－2ax ＋3，原命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧gx 在－∞，1]上为减函数，g x >0对x ∈－∞，1]恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a ≥1，g 1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a <2，∴a 的取值范围是[1,2)．16．[解答] (1)令m ＝n ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)， ∴f (1)＝0.令m ＝2，n ＝12，则f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×12＝f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (1)－f (2)＝－1.(2)证明：设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1.∵当x >1时，f (x )>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0. ∴f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1×x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>f (x 1)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)∵y ＝4sin x又f (4)＝f (2×2)＝2，f (16)由y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，f (16)＝4， 可得y ＝f (x )的图象大致形状如上图所示，由图象在[0,2π]内有1个交点，在(2π，4π]内有2个交点，在(4π，5π]内有2个交点，又5π<16<6π，后面y ＝f (x )的图象均在y ＝4sin x 图象的上方．故方程4sin x ＝f (x )的根的个数为5个．。

第七节对数与对数函数．对数．反函数指数函数＝(＞且≠)与对数函数＝(＞且≠)互为反函数，它们的图象关于直线＝对称． [小题体验]．已知＞，且≠，函数＝与＝(－)的图象可能是(填序号)．答案：②．函数()＝(＋)－(＞，且≠)的图象必过定点．答案：(－，－)．函数()＝(＋)的单调增区间是．答案：．()－－＋＝；()－( ＋ )＝.答案：()－()．在运算性质α＝α中，要特别注意条件，在没有＞的条件下应为α＝α(α∈*，且α为偶数)．．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：()务必先研究函数的定义域；()注意对数底数的取值范围．[小题纠偏]．函数＝的定义域为．答案：．函数()＝(＋)(－)的单调递增区间是．答案：．已知函数＝(－)(＞，且≠)在[]上为减函数，则的取值范围为．解析：因为＞，所以()＝－为减函数，即任取，∈[]，且＜，有()＞()，又()＞()，所以＞.而又因为()＝－在[]恒大于，所以－＞，所以＜，综上，＜＜.答案：()对数式的化简与求值)[题组练透]．计算：()＝.()··＝.解析：()＝＝＝()原式＝)·)·)＝)·)·)＝.答案：() ()．计算()－ ))÷＝.解析：原式＝( －－)×＝×＝－×＝－×＝－.答案：－－＋＝.解析：－＋＝( － )－·· ＋( ＋ )＝( ＋ )＝.答案：[谨记通法]对数运算的一般思路()将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；()将同底对数的和、差、倍合并；()利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．对数函数的图象及应用)[典例引领]．(·苏北三市三模)如图，已知正方形的边长为，平行于轴，顶点，和分别在函数＝，＝和＝(＞)的图象上，则实数的值为．解析：设(，)，则＝，即＝，解得＝)，故－＝－＝，解得＝，即()，()，由＝，可得－＝，解得＝.答案：．若不等式＞(－)恰有三个整数解，则的取值范围为．解析：由不等式＞(－)恰有三个整数解，得＞.在同一直角坐标系中画出＝(＞)与＝(－)的图象，可知不等式的整数解集为{}，则应满足(\\(＞－，－，))解得≤＜.答案：[，)[由题悟法]研究对数型函数图象的思路()研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数＞或＜＜这两种不同情况．()一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[即时应用](·常州一中模拟)设()＝，，为实数，且＜＜.()若，满足()＝()，求证：＝；()在()的条件下，求证：由关系式()＝所得到的关于的方程()＝，存在∈()，使()＝.证明：()结合函数图象，由()＝()可判断∈()，∈(，＋∞)，从而－＝，即＝.故＝.()因为＜＜，所以＞＝.由已知可得＝，即＝＋＋，得＋＋－＝，()＝＋＋－，因为()＜，()＞，根据零点存在性定理可知，函数()在()内一定存在零点，即存在∈()，使()＝.对数函数的性质及应用)[锁定考向]高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．常见的命题角度有：()比较对数值的大小；()简单的对数不等式；()对数函数性质的综合问题．[题点全练]角度一：比较对数值的大小．已知＝－，＝＋，＝＋，则，，的大小关系为(用“＞”表示)．解析：＝－＝，＝＋＝，＝＋＝，因为函数＝是增函数，且＞＞，所以＞＞.答案：＞＞角度二：简单的对数不等式．(·启东联考)已知一元二次不等式()＞的解集为(－∞，)∪(，＋∞)，则( )＜的解集为．解析：因为一元二次不等式()＞的解集为(－∞，)∪(，＋∞)，所以一元二次不等式()＜的解集为()，由( )＜可得＜＜，从而解得＜＜，所以不等式的解集为()．答案：()角度三：对数函数性质的综合问题．(·盐城中学第一次检测)已知函数()＝(＋)＋(－)．()求函数()的定义域，并判断函数()的奇偶性；()记函数()＝()＋，求函数()的值域；()若不等式()＞有解，求实数的取值范围．解：()∵函数()＝(＋)＋(－)，∴(\\(＋＞，－＞，))解得－＜＜.∴函数()的定义域为(－)．∵(－)＝(－)＋(＋)＝()，∴()是偶函数．()∵()＝(＋)＋(－)＝(－)，∴()＝()＋＝－＋＋＝－＋(－＜＜)，∴()＝＝，()＝(－)＝－.∴函数()的值域是.()∵不等式()＞有解，∴＜()，令＝－，由于－＜＜，∴＜≤，∴＜ .∴实数的取值范围为(－∞， )．[通法在握]．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤．比较对数值大小的方法()若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．()若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．()若底数与真数都不同，则常借助等中间量进行比较．[演练冲关]．(·苏州模拟)已知函数()＝＋(＞，且≠)，若(－)＜()，则不等式(－)＜()的解集为．解析：易知函数()的定义域为(－∞，)∪(，＋∞)，∵(－)＝＋＝()，∴()在定义域上为偶函数，∴(－)＝()．∵(－)＜()，∴()＜()，∴＞，()在(，＋∞)上单调递增．故不等式(－)＜()满足(\\(－≠，－＜，))解得－＜＜，且≠，≠.故不等式(－)＜()的解集为(－)∪()∪()．答案：(－)∪()∪()．已知函数()＝(＋＋)．()若()＝，求()的单调区间；()是否存在实数，使()的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：()因为()＝，所以(＋)＝，因此＋＝，＝－，这时()＝(－＋＋)．由－＋＋＞，得－＜＜，函数()的定义域为(－)．令()＝－＋＋，则()在(－)上递增，在()上递减．又＝在(，＋∞)上递增，所以()的单调递增区间是(－)，递减区间是()．()假设存在实数，使()的最小值为，则()＝＋＋应有最小值，因此应有(\\(＞，,(－)＝，))解得＝.故存在实数＝，使()的最小值为.一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·淮安调研)函数()＝(－)的定义域为．解析：由－＞，解得＞，所以函数()的定义域为.答案：．函数()＝(－＋)的值域为．解析：令＝－＋＝(－)＋≥，故函数()可化为＝，≥，此函数是一个增函数，其最小值为＝，故()的值域为[，＋∞)．答案：[，＋∞)．计算＋()＝.解析：＋()＝)·)＋＝＋＝＋＝.答案：．(·长沙调研)已知函数＝(＋)－(＞，≠)的图象恒过定点，若点也在函数()＝＋的图象上，则()＝.解析：∵函数＝(＋)－(＞，≠)的图象恒过定点(－，－)，将＝－，＝－代入()＝＋，得－＋＝－，∴＝－，∴()＝－，则()＝－＝－＝.答案：．若函数()＝(\\(－＋，≤，＋，＞))(＞，且≠)的值域是[，＋∞)，则实数的取值范围是．解析：当≤时，＝－＋≥.因为()的值域为[，＋∞)，所以当＞时，＋＞＋≥，所以≥，所以＜≤；当＜＜时，＋＜＋，不合题意．故∈(]．答案：(]．(·镇江期末)已知函数()是定义在上的奇函数，当＞时，()＝－，则不等式()＜的解集是．解析：当＜时，()＝－(－)＝(－)－，()＜，即(－)－＜，解得－＜＜；当＞时，()＝－，()＜，即－＜，解得＞，综上，不等式()＜的解集是(－)∪(，＋∞)．答案：(－)∪(，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标．(·镇江中学调研)函数＝＋(－)的值域为．解析：由题意知，＞且－＞，∴()的定义域是()．∵函数()＝＋(－)＝[(－)]，∴＜(－)≤＝，当且仅当＝时等号成立．∴[(－)]≤，∴函数＝＋(－)的值域为(－∞，]．答案：(－∞，]．(·镇江中学学情调研)已知函数()＝的定义域是，则实数的值为．解析：因为函数()＝的定义域是，所以当＞时，－＞，即＜，所以＜，所以＞.令＝，得＝＝，所以实数的值为.答案：．若函数()＝(－＋＋)在区间(－∞，]上递减，则的取值范围为．解析：令函数()＝－＋＋＝(－)＋＋－，对称轴为＝，要使函数在(－∞，]上递减，则有(\\(＞，≥，))即(\\(－＞，≥，))解得≤＜，即∈[)．答案：[)．(·连云港模拟)已知函数()＝，若()＝，则(－)＝.解析：因为()＝的定义域为－＜＜，所以(－)＝＝－＝－()，所以()为奇函数，所以(－)＝－()＝－.答案：－．函数()＝＋的定义域为．解析：由(\\(－≥，,(－＋－)＞，))得(\\(－≤≤，＞且≠，))故函数定义域为()∪(]．答案：()∪(]．(·苏州调研)若函数()＝(\\(－＋，≤，＋，＞))(＞，且≠)的值域为[，＋∞)，则实数的取值范围是．解析：当≤时，()∈[，＋∞)，所以当＞时，()的取值集合⊆[，＋∞)．当＜＜时，＝，不符合题意；当＞时，＝(＋，＋∞)，若⊆[，＋∞)，则有＋≥，解得＜≤.答案：(]．函数()＝·()的最小值为．解析：依题意得()＝·(＋)＝()＋＝－≥－，当且仅当＝－，即＝时等号成立，因此函数()的最小值为－.答案：－．设函数()＝(\\(，＞，－，＜，))若()＞(－)，则实数的取值范围是．解析：由()＞(－)得(\\(＞，＞))或(\\(＜，－＞－，))即(\\(＞，＞－))或(\\(＜，,－－＞－))解得＞或－＜＜.答案：(－)∪(，＋∞)．已知函数()是定义在上的偶函数，()＝，当＞时，()＝.()求函数()的解析式；()解不等式(－)＞－.解：()当＜时，－＞，则(－)＝ (－)．因为函数()是偶函数，所以(－)＝()．所以函数()的解析式为()＝(\\(，＞，，＝，－，＜.))()因为()＝＝－，()是偶函数，所以不等式(－)＞－可化为(－)＞()．又因为函数()在(，＋∞)上是减函数，所以－＜，解得－＜＜，即不等式的解集为(－，)．．(·如东上学期第一次阶段检测)已知函数()＝(＋)＋(－)(＞且≠)，且()＝.()求的值及()的定义域；()若不等式()≤恒成立，求实数的取值范围．解：()因为()＝，所以＝，故＝，所以()＝(＋)＋(－)，要使函数()有意义，需有(\\(＋＞，－＞，))解得－＜＜，所以()的定义域为(－)．()由()知，()＝(＋)＋(－)＝[(＋)(－)]＝(－＋＋)＝[－(－)＋]，故当＝时，()有最大值，所以的取值范围是[，＋∞)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校．(·南京五校联考)已知函数()＝＋－(＜)与()＝＋(＋)，若函数()图象上存在点与函数()图象上的点关于轴对称，则的取值范围是．解析：设点(，)(＜)，则点关于轴的对称点(－，)在函数()的图象上，所以(\\(＝\()＋－()，＝－＋－＋，))消去，可得＋－＝(－)＋(－＋)，所以－＝(－＋)(＜)．令()＝－(＜)，()＝(－)(＜)，问题转化为函数()与函数()的图象在＜时有交点．在平面直角坐标系中分别作出函数()与函数()的图象如图所示．当()＝(－)的图象过点时，＝.由图可知，当＜时，函数()与函数()的图象在＜时有交点．故的取值范围为(－∞，)．答案：(－∞，)．(·昆山测试)已知函数()＝(∈)．()当＝时，求函数()的值域；()当＞时，求函数()的定义域；()若函数()在区间[，＋∞)上是单调增函数，求实数的取值范围．解：()当＝时，()＝，定义域为(－∞，)．因为函数＝(＜)的值域为(，＋∞)，所以()＝的值域为.()因为＞，所以关于的不等式＞⇔(－)(－)＞⇔(－)＞.(*)①若＜＜，则＞，不等式(*)的解为＜或＞；②若＝，则不等式(*)即(－)＞，其解为≠；③若＞，则＜，不等式(*)的解为＜或＞.综上，当＜≤时，函数()的定义域为(－∞，)∪；当＞时，函数()的定义域为∪(，＋∞)．()令()＝，则()＝ ()．因为函数()在[，＋∞)上是单调增函数，且对数的底数＞，所以当∈[，＋∞)时，()＞，且函数()在[，＋∞)上是单调增函数．而()＝＝＝＋，若－≥，则函数()在[，＋∞)上不是单调增函数；若－＜，则函数()在[，＋∞)上是单调增函数．所以＜.①因为函数()在[，＋∞)上是单调增函数，所以要使当∈[，＋∞)时，()＞，必须()＞，即＞，解得＞.②综合①②知，实数的取值范围是.。