圆的弧长和图形面积的计算跟踪练习

第四节 弧长、扇形面积的相关计算姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟︵1．(2021·黄石)如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 为⊙O 上一点，且∠ABD＝30°，BO ＝4，那么BD 的长为( )2 48A.3πB. 3πC ．2πD. 3π2．(2021·宁波)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB ＝4，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，︵)交边AB 于点D ，那么CD 的长为(1122 3A.6πB.3πC.3πD.3 π︵3．(2021·咸宁)如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O，连接OB ，OD ，假设∠BOD＝∠BCD，那么BD 的长为()A ．πB.3π C．2πD ．3π24．(2021·德州)如图，从一块直径为 2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，那么此扇形的面积为()1π23222A.2mB.2πm C．πm D．2πm5．(2021·原创)如图，在半径为3，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，那么阴影局部的面积是()A.5π39π9－B.－4 924C.9π99π9＋D.－4 4486．(2021·连云港)一个扇形的圆心角为120°，它的半径是3cm，那么扇形的弧长为________cm.7．(2021·郴州)如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，那么该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为________cm.(结果用π表示)8．(2021·原创)如图，等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC，BC︵分别交于D，E两点，那么劣弧DE的长为________．9．(2021·石家庄一模)如图，在边长为6的菱形ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，那么图中阴影局部的周长是________．(结果保存π)10．(2021·天水)如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．假设等边三角形的边长为a，那么勒洛三角形的周长为________．11．(2021·易错)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以点A为圆心，底边的高AD长为半径2作圆弧，交AB、AC于点E，F，那么图中阴影局部的面积为________．12．(2021·原创)如图，AB是⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，∠D＝60°.求∠BAC的度数；当BC＝4时，求劣弧AC的长．13．(2021·湖州)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC.求证：AE＝ED；︵(2)假设AB＝10，∠CBD＝36°，求AC的长．︵1．(2021·潍坊)如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D是BC的中点，作DE⊥AC交AB的延长线于点F，连接DA.求证：EF为半圆O的切线；(1)假设DA＝DF＝63，求阴影区域的面积．(结果保存根号和π)3︵2．(2021·廊坊二模)如图①，将长为 10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB，P是︵半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，连接PQ.(1)当∠POQ＝________度时，PQ有最大值，最大值为________；︵如图②，假设P是OB中点，且PQ⊥OB于点P，求BQ的长；如图③，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影局部面积；(4)如图④，将扇形 OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，假设OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．4参考答案【根底训练】1．ππ8.π4π9．6π10.π3－312．解：(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝180°－90°－60°＝30°；如解图，连接OC，∵OB＝OC，∠ABC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OC＝BC＝4，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°，120π×48︵∴劣弧AC的长为180＝3π.︵13．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，︵∴∠ADB＝90°.︵∵OC∥BD，︵∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD.︵∴AE＝ED；︵解：由(1)得，OC⊥AD，︵︵AC＝CD，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，︵∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，︵72AC的长为180π×5＝2π.【拔高训练】︵1．(1)证明：如解图，连接OD，∵D是BC的中点，5︵ ︵CD ＝BD ，∴∠CAD ＝∠BAD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠EAD ＝∠ODA ，∴AE ∥OD ，∵AE ⊥EF ，∴OD ⊥EF ，∵OD 是⊙O 的半径， EF 是⊙O 的切线．解：∵AD ＝DF ，∴∠DAF ＝∠DFA ， ∵∠DOF ＝2∠DAF ，∴∠DOF ＝2∠F ，∵∠ODF ＝90°，∴∠DOF ＋∠F ＝90°，∴∠F ＝30°，∴∠DOF ＝60°，如解图，连接OC ，CD ，∵∠DAF ＝∠F ＝30°，∴∠CAO ＝2∠DAF ＝60°，∴∠EAD ＝30°.∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC ＝60°，∴∠COD ＝60°，∵OC ＝OD ，∴△COD 是等边三角形，∴∠DCO ＝60°＝∠COA ， ∴CD ∥AB ，∴S △COD ＝S △CAD .在Rt △AED 中，∠EAD ＝30°，AD ＝DF ＝63，∴DE ＝33，AE ＝9，在Rt △DOF 中，∠ODF ＝90°，DF ＝63，∠F ＝30°，∴OD ＝6.1 n πr 21 260π·6273π. ∴S 阴影＝S △ADE －S 扇形COD ＝AE ·ED －360＝×33×9－＝－62236022．解：(1)90；102；如解图①，连接OQ ，BQ ，∵PQ ⊥OB ，OP ＝BP ，6︵︵∴OQ＝BQ，∵OB＝OQ，︵∴OB＝OQ＝BQ，︵∴△OBQ是等边三角形，图①︵∴∠QOB＝60°，60π×1010π∴BQ的长为＝；3如解图②，连接AB，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°.由折叠性质得AB′＝AB＝102，那么OB′＝AB′－AO＝10 2－10，图②∠OB′P＝∠OBA＝45°，∴∠OPB′＝∠OB′P＝45°，∴OP＝OB′＝102－10，S阴影＝S扇形AOB－2S△AOP＝1π·102－2×1×10×(102－10) 4225π＋100－1002；如解图③，过点O作OE⊥PQ于E，延长OE到O′，使得OE＝O′E，连接O′C交PQ于F，∵弧B′Q与AO相切，∴O′C⊥AO，且O′C＝OA＝10，图③∵BO⊥AO，∴O′C∥BO，∴∠FO′E＝∠POE，∵∠FEO′＝∠PEO，OE＝O′E，∴△O′EF≌△OEP，∴O′F＝OP＝6，∵∠O′EF＝∠O′CO＝90°，∠EO′F＝∠CO′O，∴△O′EF∽△O′CO，O′F O′E6O′E∴OO′＝O′C，即2O′E＝10，解得O′E＝30，即点O到PQ的距离为30.7。

图3-34BA5.9 弧长及扇形的面积【基础练习】 一、填空题：1. 在半径为5 cm 的圆中，30°的圆周角所对的弧长为 ；2. 如图3-34，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，若AB = 4 cm ，则（AC ⌒ +BD ⌒）的长等于 ；3. 已知扇形的半径为3 cm ，面积为6πcm 2，则该扇形的弧长等于 . 二、选择题：1. 如图3-35，矩形ABCD 中，AB = 1，AD = 3，以BC 的中点E 为圆心的弧MPN ⌒ 与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为（ ）； A.32πB.43π C.43π D. 3π 2. 已知：如图3-36，扇形AOB 的半径为12，OA ⊥OB ，C 是OB 上一点，以OA 为直径的半圆O 1和以BC 为直径的半圆O 2相切，则图中阴影部分的面积为（ ）.A. 6πB. 10πC. 12πD. 20π三、解答题：1. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为20πcm ，求扇形的面积（精确到1cm 2）2. 已知：如图3-37，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，且其内切圆的半径为2 cm ，求△ABC 的边长及扇形AOB 的面积.图3-35NO图3-37BAC【综合练习】1. 如图3-38，两个半圆中，大半圆的弦CD 与直径AB 平行且与小半圆相切，已知CD = 4 cm ，求图中阴影部分的面积.2. 如图3-39，⊙O 的直径EF = 10 cm ，弦AB = 6 cm ，CD = 8 cm ，且AB ∥EF ∥CD ，求由线段AE 、BE 和AB ⌒ 组成的图形及由线段CF 、DF 和CD ⌒ 组成的图形（图中阴影部分）面积的和.图3-39E参考答案【基础练习】一、1. 53πcm；2. 2πcm；3. 4πcm.二、1. A； 2. B.三、1. 942 cm2. 2. AB = 43cm，S扇形AOB = 163πcm2.【综合练习】1. 2πcm2. 2. 252πcm2.。

与圆有关的弧长、面积计算一 、填空题（本大题共9小题）1.，圆心角等于的扇形内部作一个正方形，使点在上，点在上，点在上，则阴影部分的面积为____________．2.如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=的图象上，则图中阴影部分的面积于 。

3.正n 边形内接于半径为R 的圆，这个n 边形的面积为23R ，则n 等于____________．4.如图，在等腰直角三角形中，，点为的中点，已知扇形和扇形的圆心分别为点、点，且，则图中阴影部分的面积为 （结果不取近似值）．5.如图，点在直径为的上，，则图中阴影部分的面积等于 ．（结果中保留π）．545︒AOB CDEF C OA D E 、OB F AB FCA ABC 90C ∠=︒D AB EADFBD A B 2AC =FEBAC A B C 、、23O 45BAC ∠=︒6.如图7，在Rt ABC ∆中，9042C AC BC ∠=︒==，，分别以AC BC ，为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．(结果保留)7.若一个扇形的圆心角为60°，面积为cm 2，则这个扇形的弧长为 cm （结果保留π）．8.将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，若，，则图中阴影部分面积为 cm 2．9.如图，等腰的直角边长为4，以为圆心，直角边为半径作弧1，交斜边于点，于点，设弧，，围成的阴影部分的面积为，然后以为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧围成的阴影部分的面积为，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积= ．OAπABC △B A BC ''△A B C '、、90BCA ∠=°4cm 30AB BAC ︒=∠=，A'C'ARt ABC △A AB BC AC 1C 11C B AB ⊥1B 1BC 11C B 1B B 1S A 1AB 22B C AC 2C 22C B AB ⊥2B 122221B C C B B B ，，2S 3S与圆有关的弧长、面积计算答案解析一 、填空题 1. 【解析】连结，由勾股定理可计算得正方形的边长为， 则正方形的面积为，等腰直角三角形的面积为， 扇形的面积为，所以阴影部分的面积为． 2.π【解析】根据反比例函数图像双曲线具有的性质，关于原点对称，从而可知把图中两块阴影归结在一个圆中，所以图中阴影部分的面积即为⊙A 或⊙B的面积．同时点A 、B 均在双曲线上1y x=，根据xy=1，且圆均与左边轴相切，可知圆的半径=1，所以阴影部分面积=π． 3.12 4.．【解析】用三角形ABC 的面积减去扇形EAD 和扇形FBD 的面积，即可得出阴影部分的面积．∵， ∴， ∵点为的中点， ∴321A5382π-OF CDEF 1CDEF 1COD 12AOB 21588π⋅=π5382π-22π-902BC AC C AC =∠=︒=，，AB =D AB AD BD ==∴【点评】本题考查了扇形面积的计算以及等腰直角三角形的性质，熟记扇形的面积公式：．5.3342-π 【解析】首先连接，，即可求得，然后求得扇形的面积与的面积，求其差即是图中阴影部分的面积．连接， ∵， ∴， ∵的直径为，∴， ∴∴ 【点评】此题考查了圆周角的性质，扇形的面积与直角三角形面积得求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 6.542π-【解析】观察图形可知：图中阴影部分面积可分隔成两部分求解．设C 点到AB 的距离为CD ，第一部分：半圆AC 的面积-ACD S ∆，第二部分：半圆BC 的面积-BCD S ∆，最后两部分求和即可．7.3π;解：设扇形的半径为R ，弧长为l ， 根据扇形面积公式得；＝，解得：R ＝1， ∵扇形的面积＝lR ＝，解得：l ＝π．=ABC FBD S S S -阴影扇形△24512222360π=⨯⨯-⨯22π=-2360n r s π=OB OC 90BOC ∠=︒OBC OBC △OB OC ，45BAC ∠=︒90BOC ∠=︒OBO CO =290313360422OBC OBCSS ππ⨯===扇形，△33=42OBC OBC S S S π-=-阴影扇形△8.3;【解析】此题需要把所在的圆补充完整，设它与线段的交点为，与的交点为．从而看出整个阴影部分可以割补成扇形的面积-扇形的面积．即．9.12-π; 【解析】每一个阴影部分的面积都等于扇形的面积减去等腰直角三角形的面积．此题的关键是求得的长．根据等腰直角三角形的性质即可求解． 根据题意，得． ∴． ∴． ∴． ∴阴影部分的面积． 【点评】此题综合运用了等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式．πBC AB D 'A B E 'ABA BDE 221(42)34ππ-=23AB AB 、14AC AB ==21AC AB ==322AC AB ==3AB =345412136022S ππ⨯-⨯=-。

圆的弧长与扇形面积综合练习题题1：已知一个半径为3cm的圆的弧长为12πcm，求扇形的面积。

题解：求扇形的面积时，需要知道扇形的圆心角和半径。

已知圆的弧长是12πcm，可以计算出圆心角的大小。

因为弧长等于半径乘以圆心角的弧度，所以可以得到12π = 3cm × 圆心角。

解方程可以得到圆心角为4π/3弧度。

扇形的面积等于圆心角占据的比例乘以整个圆的面积，所以扇形的面积为(4π/3)(π(3)^2) = 12π平方cm。

题2：若一个圆的半径是5cm，那么它的弧长和扇形面积各是多少？题解：已知圆的半径是5cm，它的弧长可以计算得出。

弧长等于半径乘以圆心角的弧度，所以弧长等于5cm ×圆心角。

圆心角的弧度可以通过圆弧长除以半径得到。

假设圆心角为θ弧度，则弧长为5θ。

要求扇形的面积，也需要知道圆心角的大小。

同样，我们可以利用扇形的面积公式，并确认圆心角的弧度为θ。

扇形的面积等于圆心角占据的比例乘以整个圆的面积。

所以扇形的面积为θ(π(5)^2) = 25θπ平方cm。

题3：已知一个扇形的半径是8m，扇形的面积是12π平方m，求圆心角和弧长各是多少？题解：已知扇形的半径是8m，扇形的面积是12π平方m。

要求圆心角的大小，可以利用扇形面积的公式，并确认圆心角的弧度为θ。

扇形的面积等于圆心角占据的比例乘以整个圆的面积，所以12π平方m = θ(π(8)^2)。

解方程可以得到θ = 3π/4。

要求弧长的大小，同样可以利用扇形的面积公式，但是需要先计算出圆心角的弧度。

扇形的面积等于圆心角占据的比例乘以整个圆的面积，所以12π平方m = (3π/4)(π(8)^2)。

解方程可以得到弧长为6πm。

题4：一个扇形的圆心角是π/2，弧长是4，求扇形的面积。

题解：已知扇形的圆心角是π/2，弧长是4。

要求扇形的面积，需要用到圆心角和半径的关系。

圆心角所占的比例乘以整个圆的面积就是扇形的面积。

所以扇形的面积等于(π/2)(πr^2)，其中r表示圆的半径。

24.4 弧长和扇形面积测试时间:25分钟一、选择题1.(2017广西南宁中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,BC=2,∠BAC=30°,则劣弧的长等于( )A. B. C. D.2.(2017四川绵阳中考)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB=8 cm,圆柱体部分的高BC=6 cm,圆锥体部分的高CD=3 cm,则这个陀螺的表面积是( )A.68π cm2B.74π cm2C.84π cm2D.100π cm23.(2017浙江丽水中考)如图,点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,AC=2,则图中阴影部分的面积是( )A.π-B.π-2C.π-D.π-4.(2017山东东营中考)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍,则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为( )A.60°B.90°C.120°D.180°二、填空题5.(2017甘肃白银中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,A C=1,AB=2,以点A为圆心、AC的长为半径画弧,交AB边于点D,则的长等于.(结果保留π)226.如图,正方形ABCD 中,扇形BAC 与扇形CBD 的弧交于点E,AB=6 cm,则图中阴影部分的面积为 cm 2.三、解答题7.如图,有一直径是m 的圆形铁皮,现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC.(1)求AB 的长;(2)求图中阴影部分的面积;(3)若用该扇形铁皮围成一个圆锥,求所得圆锥的底面圆半径.8.(2016四川攀枝花中考)如图,在矩形ABCD 中,点F 在边BC 上,且AF=AD,过点D 作DE⊥AF,垂足为点E.(1)求证:DE=AB;(2)以A 为圆心,AB 长为半径作圆弧交AF 于点G,若BF=FC=1,求扇形ABG 的面积.(结果保留π)324.4 弧长和扇形面积一、选择题1.答案 A 如图,连接OB 、OC,∵∠BAC=30°,∴∠BOC=2∠BAC=60°,又OB=OC,∴△OBC 是等边三角形,∴BC=OB=OC=2,∴劣弧的长为=.故选A.2.答案 C ∵圆锥体的底面圆的直径为8 cm,高为3 cm,∴圆锥体的母线长为5 cm,∴这个陀螺的表面积为π×4×5+42π+8π×6=84π(cm 2),故选C.3.答案 A 连接OC,过O 作OD⊥BC 于 D.∵点C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点,∴∠ACB=90°,∠AOC=60°,∠COB=120°,∴∠ABC=30°,∵AC=2,∴AB=2AC=4,BC=2,∵OC=OB=2,OD⊥BC,∠ABC=30°,∴OD=OB=1.∴阴影部分的面积=S 扇形BOC -S △OBC =-×2×1=π-,故选A.4.答案 C 设母线长为R,底面半径为r,∴底面周长=2πr,底面积=πr 2,侧面积=πrR,∵侧面积是底面积的3倍,∴3πr 2=πrR,∴R=3r.设圆心角为n°,有=2πr,∴n=120.故选C.二、填空题 5.答案44解析 ∵∠ACB=90°,AC=1,AB=2,∴∠ABC=30°,∴∠A=60°,又∵AC=1,∴的长==.6.答案 3π解析 正方形ABCD 中,∠DCB=90°,DC=AB=6 cm.∵扇形BAC 与扇形CBD 的弧交于点E,∴△BCE 是等边三角形,∴∠ECB=60°,∴∠DCE=∠DCB -∠ECB=30°.根据图形的割补,可得阴影部分的面积是扇形CDE 的面积,S扇形CDE ==3π(cm 2),故题图中阴影部分的面积为3π cm 2.三、解答题7.解析 (1)连接BC,∵∠BAC=90°,∴BC 为☉O 的直径,即BC= m, ∴AB=BC=1 m.(2)S 阴影=S 圆-S 扇形=π-=(m 2). (3)设所得圆锥的底面圆的半径为r m,根据题意得2πr=,解得r=. 故所得圆锥的底面圆的半径为 m.8.解析 (1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠FBA=90°,AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠AFB,∵DE⊥AF,∴∠AED=90°=∠FBA,在△ABF 和△DEA 中,∴△ABF≌△DEA(AAS),∴DE=AB.(2)∵BC=AD,AD=AF,∴BC=AF,∵BF=FC=1,∠ABF=90°,∴∠BAF=30°,由勾股定理得AB==,∴S扇形ABG ==.5。

1 / 4弧长以及扇形面积的计算副标题1. 如图，在中，，，以BC 的中点O为圆心分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，则的长为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：连接OE 、OD ，设半径为r ，分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，，，是BC 的中点，是中位线，，， 同理可知：，，，由勾股定理可知，，故选：B．连接OE 、OD ，由切线的性质可知，，由于O 是BC 的中点，从而可知OD 是中位线，所以可知，从而可知半径r 的值，最后利用弧长公式即可求出答案．本题考查切线的性质，解题的关键是连接OE 、OD 后利用中位线的性质求出半径r 的值，本题属于中等题型．2. 一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：一个扇形的弧长是，面积是，，即，解得：，，解得：，故选B利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．3.的圆心角对的弧长是，则此弧所在圆的半径是A. 3B. 4C. 9D. 18【答案】C【解析】解：根据弧长的公式得到：解得．故选C．根据弧长的计算公式，将n及l的值代入即可得出半径r的值．此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式，属于基础题，难度一般．二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）4.如图，已知等边的边长为6，以AB为直径的与边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧的长为______．【答案】【解析】解：连接OD、OE，如图所示：是等边三角形，，，，、是等边三角形，，，，的长；故答案为：．连接OD、OE，先证明、是等边三角形，得出，求出，再由弧长公式即可得出答案．3 / 4本题考查了等边三角形的性质与判定、弧长公式；熟练掌握弧长公式，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．三、解答题（本大题共1小题，共8.0分）5. 如图，AB 为半圆O 的直径，AC 是的一条弦，D 为的中点，作，交AB 的延长线于点F ，连接DA ．求证：EF 为半圆O 的切线；若，求阴影区域的面积结果保留根号和 【答案】证明：连接OD ，为的中点，，，，，，，，即，，为半圆O 的切线；解：连接OC 与CD ，，，， 又，，，，为等边三角形，，，，，， 在中，，， 在中，，，，，， 由，是等边三角形，，，， 故，．【解析】直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出，即可得出答案；直接利用得出，再利用，求出答案．此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法等知识，得出是解题关键．。

24.4 弧长和扇形面积一．选择题（共20小题）1．）A．3πB．6πC．9πD．12π2．（2018•黄石）如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4的长为（）A．2πD3．（2018•广安）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A﹣B C﹣D4．（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（）A B C D5．（2018•德州）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）．πm2D．2πm26．（2018•成都）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π7．（2018•绵阳）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（π m2B．40π m2C．（π m2D．55π m28．（2018•遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（）A．60π B．65π C．78π D．120π9．（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC 长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣810．（2018•沈阳）如图，正方形ABCD内接于⊙O，）A．πB C．2πD11．（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A B C．D．12．（2017•丽水）如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（）A B C D13．（2017•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8C．8﹣2πD．8﹣4π14．（2017•衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（）A B．10π C．24+4πD．24+5π15．（2017•宁夏）圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是（）A．12π B．15π C．24π D．30π16．（2017•绵阳）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB=8cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=3cm，则这个陀螺的表面积是（）A．68πcm2B．74πcm2C．84πcm2D．100πcm217．（2016•阿坝州）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A）A．πB．2πC．4πD．8π18．（2016•乌鲁木齐）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm19．（2016•包头）120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（）A．3 B．4 C．9 D．1820．（2016•朝阳）如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（）A．3πC．2π二．填空题（共10小题）21．（2018•安顺）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．（结果保留π）22．（2018•连云港）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为cm．23．（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）24．（2018•荆门）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为．25．（2018•乐山）如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为．26．（2017•济南）如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300πcm2，∠BAC=120°，BD=2AD，则BD的长度为cm．27．（2017•盘锦）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AB=4cm，分别以B、C为圆心，以BD、CD为半径画弧，交边AB、AC于点E、F，则图中阴影部分的面积是cm2．28．（2016•呼伦贝尔）小杨用一个半径为36cm、面积为324πcm2的扇形纸板制作一个圆锥形的玩具帽（接缝的重合部分忽略不计），则帽子的底面半径为cm．29．（2016•泰州）如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，，则图中阴影部分的面积为．30．（2016•邵阳）如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是．三．解答题（共5小题）31．（2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=1032．（2017•贵阳）如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．33．（2016•张家界）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（﹣2，1）、C（1，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．（1）△A1B1C1是△ABC绕点逆时针旋转度得到的，B1的坐标是；（2）求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．34．（2016•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E（1）求证：DE=AB；（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求扇形ABG的面积．（结果保留π）35．（2016•新疆）如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且O为圆心，OC OB于E点．（1）求⊙O的半径OA的长；（2）计算阴影部分的面积．参考答案一．选择题（共20小题）1．B．2．D．3．C．4．A．5．A．6．C．7．A．8．B．9．A．10．A．11．D．12．A．13．C．14．A．15．B．16．C．17．B．18．A．19．C．20．C．二．填空题（共10小题）21．22．2π23．12π．242526．20．27．（）．28．9．29．30三．解答题（共5小题）31．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，∴AE=ED；（2）∵OC⊥AD，，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，32．解：（1）连接OD，OC，∵C、D是半圆O上的三等分点，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，∴∠CAB=30°，∵DE⊥AB，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣30°=60°；（2）由（1）知，∠AOD=60°，∵OA=OD，AB=4，∴△AOD是等边三角形，OA=2，∵DE⊥AO，∴∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AODπ33．解：（1）△A1B1C1是△ABC绕点C逆时针旋转90度得到的，B1的坐标是：（1，﹣2），故答案为：C，90，（1，﹣2）；（2）线段AC旋转过程中所扫过的面积为以点C为圆心，AC为半径的扇形的面积．∵即线段AC34．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°=∠B，在△ABF和△DEA中∴△ABF≌△DEA（AAS），∴DE=AB；（2）解：∵BC=AD，AD=AF，∴BC=AF，∵BF=1，∠ABF=90°，∴由勾股定理得：∴∠BAF=30°，∴扇形ABG的面积35．解；（1）连接OD，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵CD∥OB，∴∠OCD=90°，在RT△OCD中，∵C是AO中点，∴OD=2CO，设OC=x，∴x2+2=（2x）2，∴x=1，∴OD=2，∴⊙O的半径为2．（2）∵sin∠∴∠CDO=30°，∵FD∥OB，∴∠DOB=∠ODC=30°，∴S阴=S△CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE×。

弧长和扇形面积练习题1. 弧长的计算弧长是指圆上的一段弧的长度。

要计算弧长，需要知道弧所对应的圆的半径和弧度值（或者度数）。

根据圆的性质，弧长与半径和弧度值之间存在以下关系：弧长 = 弧度值 ×半径假设半径为r，弧度值为θ，则弧长L可以表示为L = θr。

其中，弧度值θ可以用弧度制或度数制表示，但计算时需要统一使用一种制度。

例如，有一个半径为5cm的圆的弧度值为2.5弧度的弧段，可以通过以下计算得到弧长：L = 2.5 × 5 = 12.5cm2. 扇形面积的计算扇形是指由一条弧段和两个半径所围成的图形。

扇形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (弧度值/ 2π) × πr² = (θ / 360) × πr²其中，θ表示弧度值（或度数），r表示半径，π为圆周率。

举个例子，如果一个扇形的半径为8cm，弧度值为1.5弧度，可以通过以下计算得到扇形的面积：面积= (1.5 / 2π) × π × (8)² = (1.5 / 2) × 64 = 48cm²现在我们来进行一些弧长和扇形面积的练习题：1. 计算一个半径为10cm的圆的弧度值为1.2的弧长。

根据弧长的计算公式，可以得到：弧长 = 弧度值 ×半径弧长 = 1.2 × 10 = 12cm所以该弧段的弧长为12cm。

2. 计算一个扇形的半径为6cm，弧度值为1.8的扇形面积。

根据扇形面积的计算公式，可以得到：面积 = (弧度值/ 2π) × πr²面积= (1.8 / 2π) × π × (6)² = (1.8 / 2) × 36 = 27cm²所以该扇形的面积为27cm²。

3. 已知一个扇形的半径为12cm，面积为45cm²，求该扇形的弧度值。

课后强化训练26 圆的弧长和图形面积的计算一、选择题1．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18 cm ，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是(C )A. 6 cmB. 9 cmC. 12 cmD. 18 cm【解析】 根据圆锥侧面展开图扇形的圆心角计算公式θ＝rl ·360°，得240＝r18×360，∴r ＝12(cm)．(第2题)2．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为(C )A ．10π B.103C.103π D ．π 【解析】 由题意，得CA 的长为32＋12＝10， ∴点A 所经过的路径长＝60×π×10180＝103π.(第3题)3．将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为(A )A ．2 2 cm B. 2 cmC.10 cmD.32cm【解析】 过点O 作OC ⊥AB ，垂足为D ，交⊙O 于点C . 由折叠的性质可知，OD ＝12OC ＝12OA .∵OC ⊥AB ，∴∠OAD ＝30°.同理，∠OBD ＝30°.∴∠AOB ＝180°－∠OAD －∠OBD ＝120°， ∴AB ︵的长为120×π×3180＝2π(cm)．设围成的圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝2π，∴r ＝1cm. ∴圆锥的高为32－12＝22(cm)．(第4题)4．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条的夹角为120°，长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为(B )A ．175π cm 2B ．350π cm 2C.8003π cm 2 D ．150π cm 2 【解析】 ∵S 扇形ABC ＝120×π×252360＝6253π(cm 2)，S 扇形ADE ＝120×π×（25－15）2360＝1003π(cm 2)，∴S 贴纸＝2×⎝⎛⎭⎫6253π－1003π＝10503π＝350π(cm 2)． 5．如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a (a ≥23r )的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是(C )A.π3r 2 B. （33－π）3r 2C. (33－π)r 2D. πr 2(第5题) (第5题解)【解析】 如解图，当圆形纸片运动到与∠A 的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O 1作两边的垂线，垂足分别为D ，E ，连结AO 1.在Rt △ADO 1中，∵∠O 1AD ＝30°，O 1D ＝r ，∴AD ＝3r ，∴S △ADO 1＝12O 1D ·AD ＝32r 2， ∴S 四边形ADO 1E ＝2S △ADO 1＝3r 2.由题意，得∠DO 1E ＝120°，S 扇形O 1DE ＝120πr 2360＝π3r 2，∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为3⎝⎛⎭⎫3r 2－π3r 2＝(33－π)r 2. 二、填空题6．如图，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为__2π__(结果保留π)． 【解析】 ∵扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3， ∴该扇形的弧长为120×π×3180＝2π.（第6题）（第7题）7．现有一张圆心角为108°，半径为40 cm 的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，则剪去的扇形纸片的圆心角θ为__18°__．【解析】 由题意，得108°－θ360°×2π×40＝2π×10，解得θ＝18°.8．如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若AB ︵和BC ︵都经过圆心O ，则阴影部分的面积是__3π__(结果保留π)．（第8题）【解析】 如解图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连结AO，BO ，CO .(第8题解)由折叠的性质可知OD ＝12AO ，∴∠OAD ＝30°，∠AOD ＝60°， ∴∠AOB ＝2∠AOD ＝120°. 同理，∠BOC ＝120°， ∴∠AOC ＝120°.∴阴影部分的面积＝S 扇形OAC ＝120πr 2360＝3π.(第9题)9．如图，在正方形纸片ABCD 中，EF ∥AD ，M ，N 是线段EF 的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A 与点D 重合，此时，底面圆的直径为10 cm ，则圆柱上M ，N 两点间的距离是__53__cm.【解析】 根据题意，得EF ＝AD ，MN ＝13EF ，∴卷成圆柱后MN ︵对应的扇形圆心角为360°×13＝120°.∵底面圆的直径为10 cm ，∴底面半径为5 cm. ∴圆柱上M ，N 两点间的距离是 2×5×cos30°＝53(cm)．(第10题)10．如图，⊙P 的半径为5，A ，B 是⊙P 上任意两点，且AB ＝6，以AB 为边作正方形ABCD (点D ，P 在直线AB 两侧)．若AB 边绕点P 旋转一周，则CD 边扫过的面积为__9π__．(第10题解)【解析】 连结P A ，PD ，过点P 作PE ⊥AB 于点E ，延长PE 交CD 于点F ，如解图． ∵PE ⊥AB ， ∴AE ＝BE ＝12AB ＝3.又∵P A ＝5，∠AEP ＝90°， ∴PE ＝P A 2－AE 2＝4.∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ∥CD ，BC ＝AB ＝6. 又∵PE ⊥AB ，∴PF ⊥CD ， ∴EF ＝BC ＝6，DF ＝AE ＝3，∴PF ＝PE ＋EF ＝4＋6＝10.在Rt △PFD 中，∵PF ＝10，DF ＝3，∠PFD ＝90°，∴PD ＝PF 2＋DF 2＝109.∵CD 边扫过的图形是以PF 为内圆半径，PD 为外圆半径的圆环， ∴S ＝π·PD 2－π·PF 2＝109π－100π＝9π.三、解答题11．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝1. (1)求证：∠A ≠30°.(2)将△ABC 绕BC 所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积． 【解析】 (1)在△ABC 中，∵AB 2＝3，AC 2＋BC 2＝2＋1＝3， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴sin A ＝BC AB ＝13≠12＝sin30°，∴∠A ≠30°.(2)将△ABC 绕BC 所在直线旋转一周，所得几何体为圆锥，由题意，得r ＝2，l ＝3，∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×2×3＝6π，S 底＝πr 2＝π×(2)2＝2π，∴S 表面积＝S 圆锥侧＋S 底＝6π＋2π.(第12题)12．如图，在矩形ABCD 中，点F 在边BC 上，且AF ＝AD ，过点D 作DE ⊥AF ，垂足为E .(1)求证：DE ＝AB .(2)以点D 为圆心，DE 长为半径作圆弧交AD 于点G .若BF ＝FC ＝1，试求EG ︵的长． 【解析】 (1)∵DE ⊥AF ，∴∠AED ＝90°. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠DAE ＝∠AFB ，∠AED ＝∠B .又∵AD ＝F A ，∴△ADE ≌△F AB (AAS )． ∴DE ＝AB .(2)∵BF ＝FC ＝1，∴AD ＝BC ＝BF ＋FC ＝2. ∵△ADE ≌△F AB ，∴AE ＝FB ＝1，∴在Rt △ADE 中，AE ＝12AD ，∴∠ADE ＝30°.又∵DE ＝AD 2－AE 2＝22－12＝3， ∴EG ︵的长＝n πR 180＝30×π×3180＝36π.(第13题)13．如图，在△BCE 中，点A 是边BE 上一点，以AB 为直径的⊙O 与CE 相切于点D ，AD ∥OC ，F 为OC 与⊙O 的交点，连结AF .(1)求证：CB 是⊙O 的切线． (2)若∠ECB ＝60°，AB ＝6，求图中阴影部分的面积． 【解析】 (1)连结OD ，与AF 相交于点G . ∵CE 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥CE ，∴∠CDO ＝90°.∵AD ∥OC ，∴∠ADO ＝∠COD ，∠DAO ＝∠COB . ∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ，∴∠COD ＝∠COB . 在△CDO 和△CBO 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝CO ，∠COD ＝∠COB ，OD ＝OB ，∴△CDO ≌△CBO (SAS )． ∴∠CBO ＝∠CDO ＝90°.又∵OB 是⊙O 的半径，∴CB 是⊙O 的切线． (2)由(1)可知∠DCO ＝∠BCO ，∠COD ＝∠COB . ∵∠ECB ＝60°，∴∠DCO ＝∠BCO ＝30°， ∴∠COD ＝∠COB ＝60°，∴∠DOE ＝60°. ∵OA ＝OD ，∴△OAD 是等边三角形， ∴AD ＝OD ＝OF .在△ADG 和△FOG 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADG ＝∠FOG ，∠AGD ＝∠FGO ，AD ＝FO ，∴△ADG ≌△FOG (AAS )．∴S △ADG ＝S △FOG . ∵AB ＝6，∴⊙O 的半径为3， ∴S 阴影＝S 扇形ODF ＝60×π×32360＝32π.14．如图，半圆O 的直径AB ＝4，以长为2的弦PQ 为直径，向点O 方向作半圆M ，其中点P 在AQ ︵上，且不与点A 重合，但点Q 可与点B 重合．发现：AP ︵的长与QB ︵的长之和为定值l ，求l 的值．点M 到AB 的最大距离为__3__，此时点P ，A 间的距离为__2__；点M 到AB 的最小距离为__32__，此时半圆M 的弧与AB 所围成的封闭图形的面积为π6－34． 探究：当半圆M 与AB 相切时，求AP ︵的长． (注：结果保留π，cos 35°＝63，cos 55°＝33.)(第14题)【解析】 发现：连结OP ，OQ ，则OP ＝OQ ＝PQ ＝2.∴∠POQ ＝60°，∴lPQ ︵＝60×π×（4÷2）180＝2π3.∴l ＝12×π×4－2π3＝4π3.思考：当OM ⊥AB 时，点M 到AB 的距离最大，即为OM . 易得△OPQ 为等边三角形，∴OM ＝32PQ ＝ 3. ∵∠POM ＝12∠POQ ＝30°，OM ⊥AB ，∴∠AOP ＝60°，∴易得此时P A ＝2.当点Q 与点B 重合时，点M 到AB 的距离最小， 如解图①，过点M 作MD ⊥OB 于点D .(第14题解①)∵OM ＝3，BM ＝1，OB ＝2， ∴DM ＝1×32＝32.连结CM .易得S 扇形MBC ＝60×π×12360＝π6，S △CMB ＝12×1×32＝34，∴此时半圆M 的弧与AB 所围成的封闭图形的面积为S 扇形MBC －S △CMB ＝π6－34.分两种情况讨论：(第14题解②)①如解图②，半圆M 与AO 相切于点T 时，连结PO ，MO ，TM ， 则MT ⊥AO ，OM ⊥PQ .在Rt △POM 中，∵sin ∠POM ＝12，∴∠POM ＝30°.在Rt △TOM 中，∵TO ＝（3）2－12＝2， ∴cos ∠AOM ＝63，即∠AOM ＝35°， ∴∠POA ＝35°－30°＝5°， ∴lAP ︵＝5×π×2180＝π18.(第14题解③)②如解图③，半圆M 与BO 相切于点S 时，连结QO ，MO ，SM . 同①可得lBQ ︵＝π18.又∵l ＝4π3，∴lAP ︵＝4π3－π18＝23π18.综上所述，AP ︵的长为π18或23π18.课后强化训练18 概率的应用一、选择题1．如图，A ，B 是数轴上两点，在线段AB 上任取一点C ，则点C 到表示－1的点的距离不大于2的概率是(D )(第1题)A.12B.23C.34D.45【解析】 如解图，点C 1与点C 2到表示－1的点的距离均等于2，(第1题解)而AB 间的距离分为5段，C 1C 2占4段，∴P ＝45.2．一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30 s ，绿灯亮25 s ，黄灯亮5 s ，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是(C )A.112 B. 13 C. 512 D. 12【解析】 P ＝2530＋25＋5＝2560＝512.3．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为5次、10次、20次，200次，其中实验相对科学的是(D )A ．甲组B ．乙组C ．丙组D ．丁组【解析】 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近．根据此定义可知，实验相对科学的是次数最多的丁组．4．在一个不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球的个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋中大约有白球(B )A ．18个B ．28个C ．36个D ．42个【解析】 白球大约有8÷88400－8≈28(个)．(第5题)5．小刚与小亮一起玩一种转盘游戏，右图是两个完全相同的转盘，每个转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”“2”“3”表示，固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止(假设指针不落在边界上)．若两指针所指的数字之和为奇数，则小刚获胜，否则小亮获胜，则在该游戏中小刚获胜的概率是(B )A.12B.49C.59D.23 【解析】 列表如下：转盘2和转盘11 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3456∴P (小刚胜)＝P (和为奇数)＝49.6．某超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”“10元”“20元”“30元”的字样．规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球(每一次摸出后不放回)，并获得对应金额的购物券．某顾客刚好消费200元，则该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率为(C )A. 13B. 12C. 23D. 34 【解析】 列表如下：第二次 第一次 0 10 20 30 0 10 20 30 10 10 30 40 20 20 30 50 30304050从上表可以看出，共有12种等可能的结果，其中大于或等于30元的共有8种，∴P (不低于30元)＝812＝23.7．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数(如34，2469等)．任取一个两位数，是“上升数”的概率是(B )A. 12B. 25C. 35D. 518【解析】 1开头的“上升数”有12～19，共8个；2开头的“上升数”有23～29，共7个；3开头的“上升数”有34～39，共6个；4开头的“上升数”有45～49，共5个；5开头的“上升数”有56～59，共4个；6开头的“上升数”有67～69，共3个；7开头的“上升数”有78～79，共2个；8开头的“上升数”有89，共1个．故“上升数”共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．而两位数有10～99，共90个，∴P (是“上升数”)＝3690＝25.(第8题)8．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分能构成轴对称图形的概率是(C )A. 15B. 25C. 35D. 45【解析】 ②④⑤这3个小正方形能与图中阴影部分构成轴对称图形，∴所求概率为35.二、填空题(第9题)9．已知一包糖果共有五种颜色(糖果仅有颜色差别)，如图是这包糖果颜色分布百分比的统计图．在这包糖果中任取一粒糖果，则取出的糖果的颜色为绿色或棕色的概率是__12__．【解析】 取出的糖果的颜色为绿色或棕色的概率是1－20%－15%－15%＝50%＝12.10．一个盒中装着大小、外形一模一样的x 颗白色弹珠和y 颗黑色弹珠，从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率是13.如果再往盒中放入12颗同样的白色弹珠，取得白色弹珠的概率是23，则原来盒中有白色弹珠__4__颗．【解析】 由取得白色弹珠的概率是13，可得方程x x ＋y ＝13①.由再往盒中放进12颗白色弹珠，取得白色弹珠的概率是23，可得方程x ＋12x ＋y ＋12＝23②.联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋y ＝13，x ＋12x ＋y ＋12＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8.经检验，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8是方程组的解．∴原有白色弹珠4颗．11．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的n 个小球，其中5个黑球，从袋中随机摸出一个球，记下其颜色，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，这称为依次摸球试验．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：摸球试 验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑 球次数46487250650082499650007根据列表，可以估计出n 的值是__10___．【解析】 ∵大量重复试验后，摸出黑球的频率稳定在0.5附近，∴估计摸出黑球的概率为0.5，∴5n＝0.5，∴n ＝10.12．在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下：甲组，9，9，11，10；乙组，9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率是__516__． 【解析】 画树状图如解图．(第12题解)共有16种等可能的结果，两名同学的植树总棵数为19的有5种，∴这两名同学的植树总棵数为19的概率是516.三、解答题(第13题)13．某景区7月1日～7月7日一周的天气预报如图所示，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率．(1)随机选择一天，恰好天气预报是晴．(2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．【解析】 (1)随机选择一天，共有7种等可能的结果，恰好天气预报是晴的有4种，∴随机选择一天，恰好天气预报是晴的概率为47.(2)随机选择连续的两天，共有6种等可能的结果，恰好天气预报都是晴的有2种，∴随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴的概率为26＝13.14．四张扑克牌的牌面如图①，将扑克牌洗匀后，如图②背面朝上放置在桌面上，小明和小亮设计了A ，B 两种游戏方案：方案A ：随机抽一张扑克牌，牌面数字为5时小明获胜，否则小亮获胜．方案B ：随机同时抽取两张扑克牌，两张牌面数字之和为偶数时，小明获胜，否则小亮获胜．请你帮小亮选择其中一种方案，使他获胜的可能性较大，并说明理由．(第14题)【解析】 小亮选择方案B 可使他获胜的可能性较大．理由如下：方案A ：∵四张扑克牌的牌面是5的有2种情况，不是5的也有2种情况，∴P (小亮获胜)＝24＝12.方案B ：画树状图如解图．(第14题解)∵共有12种等可能的结果，两张牌面数字之和为偶数的有4种，不是偶数的有8种， ∴P (小亮获胜)＝812＝23.综上所述，小亮选择方案B 可使他获胜的可能性较大．15．我市某校开展了以“梦想中国”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将从中挑选的50件参赛作品的成绩(单位：分)统计如下：等级 成绩(用m 表示) 频数 频率 A 90≤m ≤100 x 0.08 B 80≤m ＜90 34 y C m ＜80 12 0.24 合计501请根据上表提供的信息，解答下列问题：(1)表中x 的值为__4__，y 的值为0.68(直接填写结果)．(2)将本次参赛作品获得A 等级的学生依次用A 1，A 2，A 3，…表示．现该校决定从本次参赛作品获得A 等级的学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，则恰好抽到学生A 1和A 2的概率为多少？【解析】 (1)x ＝0.08×50＝4，y ＝3450＝0.68.(2)A 等级共有4人，随机抽取两名学生，可能的结果有A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 2A 3，A 2A 4，A 3A 4，共6种可能，故恰好抽到学生A 1和A 2的概率为16.(第16题)16．在3×3的方格纸中，点A ，B ，C ，D ，E ，F 分别位于如图所示的小正方形的顶点上．(1)从A ，D ，E ，F 四点中任意取一点，以所取的这一点及B ，C 为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是__14__．(2)从A ，D ，E ，F 四点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及B ，C 为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率(用列表或画树状图的方法求解)．【解析】 (1)从A ，D ，E ，F 四点中任意取一点，以所取的这一点及B ，C 为顶点画三角形，有△ABC ，△DBC ，△EBC ，△FBC 这4种情况，但只有△DBC 这1种情况是等腰三角形，∴P (所画三角形是等腰三角形)＝14.(2)画树状图如解图．(第16题解)∵所有等可能的结果有12种，只有以A ，E ，B ，C 为顶点及以D ，F ，B ，C 为顶点所画的四边形是平行四边形，即所画四边形是平行四边形的有4种，∴P (所画的四边形是平行四边形)＝412＝13.17．某市为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康水平，决定推进“一校一球队、一级一专项、一人一技能”活动计划．某校决定对学生感兴趣的球类项目(A ：足球， B ：篮球， C ：排球，D ：羽毛球，E ：乒乓球)进行问卷调查，学生可根据自己的喜好选修一门，李老师对某班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图(如图)．(第17题)(1)求出该班学生人数． (2)将两幅统计图补充完整．(3)若该校共有学生3500名，请估计有多少人选修足球？(4)该班班委5人中，1人选修篮球，3人选修足球，1人选修排球，李老师要从这5人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的两人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．【解析】 (1)该班人数为8÷16%＝50(人)．(2)易得D 组人数占总人数的百分比为6÷50＝12%，∴A 组人数占总人数的百分比为1－16%－24%－12%－8%＝40%.∴A 组人数为50×40%＝20(人)，C 组人数为50×24%＝12(人)，E 组人数为50×8%＝4(人)．补全两幅统计图如解图．(第17题解)(3)选修足球的人数约为3500×2050＝1400(人)．(4)用“1”代表选修篮球，“2，3，4”代表选修足球，“5”代表选修排球，可以用下表列举出所有可能出现的结果．第一人 第二人 1 2 3 4 5 1 (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) 2 (1，2) (3，2) (4，2) (5，2) 3 (1，3) (2，3) (4，3) (5，3) 4 (1，4) (2，4) (3，4) (5，4) 5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)所有可能的结果有20种，并且它们出现的可能性相等，选出的两人1人选修篮球，1人选修足球(记为事件A )的结果有6种，即(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，∴P (A )＝620＝310.。