2.3.3~2.3.4 点到直线的距离、两条平行线间的距离(解析版).docx

2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行线间距离基础练巩固新知夯实基础1.点(2，5)到直线y＝2x的距离为()A.5 5B.255C.355D.52.已知点(3，m)到直线x＋3y－4＝0的距离等于1，则m等于()A.3B．－3C．－33D.3或－333.已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为()A．－6或12B．－12或1C．－12或12D．0或124.到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是() A．3x－4y＋4＝0B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0C．3x－4y＋16＝0D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝05.(多选)若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（）A．0B．103C．5D．－1036.直线5x＋12y＋3＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是________．7.已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________．8.已知直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程．能力练综合应用核心素养9.直线l 过点A (3，4)且与点B (－3，2)的距离最远，那么l 的方程为()A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝010.两平行线分别经过点A (3，0)，B (0，4)，它们之间的距离d 满足的条件是()A ．0<d ≤3B ．0<d ≤5C ．0<d <4D ．3≤d ≤511.直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是()A ．3x －2y －6＝0B ．2x ＋3y ＋7＝0C ．3x －2y －12＝0D ．2x ＋3y ＋8＝012.（多选）已知直线l 过()1,2P ，且()2,3A ，()4,5B -到直线l 的距离相等，则l 的方程可能是（）A ．460x y +-=B ．460x y +-=C ．3270x y +-=D ．2370x y +-=13.已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，且点A (5，0)到l 的距离为3，则直线l 的方程为________．14.已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，求l 1的方程．15.已知坐标平面上三点A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)，过点C 作AB 的平行线交x 轴于点D ．(1)求点D 的坐标；(2)求四边形ABCD 的面积．【参考答案】1.A 解析直线y ＝2x 可化为2x －y ＝0，由点到直线的距离公式得|2×2－5|22＋（－1）2＝15＝55.2.D 解析：由|3＋3m －4|2＝1，解得m ＝3或－33，故选D.3.A 解析：|3m ＋2＋3|m 2＋12＝|－m ＋4＋3|m 2＋12，即|3m ＋5|＝|7－m |，解得m ＝－6或12.4.D 解析：在直线3x －4y ＋1＝0上取点(1,1)．设与直线3x －4y ＋1＝0平行的直线方程为3x －4y ＋m ＝0，则|3×1－4×1＋m |32＋－42＝3，解得m ＝16或m ＝－14，即所求直线方程为3x －4y＋16＝0或3x －4y －14＝0.5.AB 解析：点A (a ，1)到直线3x －4y ＝1的距离为34115a --=，故3515a -=，解得0a =或103a =.故选：AB.6.126解析：直线10x ＋24y ＋5＝0可化为5x ＋12y ＋52＝0，所以两平行直线间的距离d ＝|3－52|52＋122＝126.7.(－12,0)或(8,0)解析：设P (a,0)，则有|3a －4×0＋6|32＋－42＝6，解得a ＝－12或8，∴点P 的坐标为(－12,0)或(8,0)．8.解：当直线l 过点A (1,2)且斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，原点到直线l 的距离为1，满足题意．当直线l 过点A (1,2)且斜率存在时，由题意设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0．因为原点到直线l 的距离为1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34．所以所求直线l 的方程为y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0．综上所述，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0．9.C 解析：由题意知直线l 与AB 垂直，且过A 点，∴k l ·k AB ＝－1，又∵k AB ＝4－23＋3＝13，∴k l ＝－3，∴l 的方程为y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.10.B 解析：当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0<d ≤5.11.D 解析：法一设所求直线的方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，由题意可知|2－3－6|22＋32＝|2－3＋c |22＋32.∴c ＝－6(舍)或c ＝8.故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0.法二令(x 0，y 0)为所求直线上任意一点，则点(x 0，y 0)关于(1，－1)的对称点为(2－x 0，－2－y 0)，此点在直线2x ＋3y －6＝0上，代入可得所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.12.AC 解析：由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点，当直线//l AB 时，AB 的斜率为35424+=--，l 的方程是()241y x -=--，即460x y +-=；当直线l 经过线段AB 的中点()3,1-时，l 的斜率为213132+=--，l 的方程是()3212y x -=--，即3270x y +-=，故选：AC13.4x －3y －5＝0或x ＝2x ＋y －5＝0，－2y ＝0，解得交点P (2，1)．当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为：x ＝2，则点A (5，0)到l 的距离为3，满足条件．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：y －1＝k (x －2)．∵点A (5，0)到l 的距离为3，∴|3k ＋1|k 2＋1＝3，解得k ＝43.∴直线l 的方程为：y －1＝43(x －2)，化为：4x －3y －5＝0.综上可得：直线l 的方程为：4x －3y －5＝0或x ＝2.14.解：方法1：∵l 1∥l 2，∴可设l 1的方程为x ＋y ＋c ＝0．在直线l 2上取一个点，如(1,0)，则点(1,0)到直线l 1的距离等于2，从而|1＋c |1＋1＝2，∴|c ＋1|＝2．∴c ＝1或c ＝－3．∴l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．方法2：∵l 1∥l 2，∴可设l 1的方程为x ＋y ＋c ＝0．∴l 1与l 2的距离为|c －(－1)|1＋1＝2，|c ＋1|＝2．∴c ＝1或c ＝－3．从而l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．15.解：(1)根据题意，A (5,1)，B (7，－3)，则k AB ＝1－(－3)5－7＝－2，又由AB ∥CD 知，k CD＝－2，则直线CD 的方程为y ＋8＝－2(x －2)，即2x ＋y ＋4＝0．令y ＝0，解得x ＝－2，则D (－2,0)．(2)因为|AB |＝25，|CD |＝45，AB ∥CD ，故四边形ABCD 为梯形，点A (5,1)到直线CD ：2x ＋y ＋4＝0的距离为|10＋1＋4|5＝35，所以四边形ABCD 的面积S ＝12×(25＋45)×35＝45．。

2．3.3 点到直线的距离公式2．3.4 两条平行直线间的距离1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )A ．1 B. 3 C ．2 D. 5答案 D解析 d ＝|0＋2×0－5|12＋22＝ 5. 2．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1与l 2之间的距离为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 B解析 d ＝|1－(－1)|12＋12＝ 2. 3．已知点(a ，2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )A. 2B.2－1C.2＋1D ．2－ 2答案 B解析 由点到直线的距离公式，得1＝|a －2＋3|1＋1， 即|a ＋1|＝ 2.因为a >0，所以a ＝2－1，故选B.4．已知直线3x ＋my －3＝0与6x ＋4y ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.21313 C.51326 D.71326答案 D解析 ∵3x ＋my －3＝0与6x ＋4y ＋1＝0平行，∴36＝m 4，∴m ＝2， 化6x ＋4y ＋1＝0为3x ＋2y ＋12＝0， ∴d ＝⎪⎪⎪⎪12－(－3)32＋22＝7213＝71326. 5．(多选)已知A (－2，－4)，B (1,5)两点到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值可能为( )A ．－3B ．3C ．－2D ．1答案 AB解析 由题意得|－2a －4＋1|a 2＋1＝|a ＋5＋1|a 2＋1，解得a ＝－3或a ＝3. 6．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．答案 －3或173解析 ∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4， ∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3或k ＝173. 7．已知点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为________．答案 (1,2)或(2，－1)解析 设点P 的坐标为(a ，5－3a )，由题意得|a －(5－3a )－1|12＋(－1)2＝2，解得a ＝1或2， 所以点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．8．经过点P (－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l 的方程为________________． 答案 x ＝－3或7x ＋24y －75＝0解析 (1)当直线l 的斜率不存在时，原点到直线l ：x ＝－3的距离等于3，满足题意；(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －4＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋4＝0.原点到直线l 的距离d ＝|3k ＋4|k 2＋(－1)2＝3， 解得k ＝－724. 直线l 的方程为7x ＋24y －75＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＝－3或7x ＋24y －75＝0.9．求过点P (0,2)且与点A (1,1)，B (－3,1)等距离的直线l 的方程．解 方法一 ∵点A (1,1)与B (－3,1)到y 轴的距离不相等，∴直线l 的斜率存在，设为k .又直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0.由点A (1,1)与B (－3,1)到直线l 的距离相等，得|k －1＋2|k 2＋1＝|－3k －1＋2|k 2＋1， 解得k ＝0或k ＝1.∴直线l 的方程是y ＝2或x －y ＋2＝0.方法二 当直线l 过线段AB 的中点时，直线l 与点A ，B 的距离相等．∵AB 的中点是(－1,1)，又直线l 过点P (0,2)，∴直线l 的方程是x －y ＋2＝0；当直线l ∥AB 时，直线l 与点A ，B 的距离相等．∵直线AB 的斜率为0，∴直线l 的斜率为0，∴直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足条件的直线l 的方程是x －y ＋2＝0或y ＝2.10．已知正方形的中心为直线x －y ＋1＝0和2x ＋y ＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x ＋3y －2＝0，求其他三边所在直线的方程．解 因为由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0， 所以中心坐标为(－1,0)．所以中心到已知边的距离为|－1－2|12＋32＝310. 设正方形相邻两边方程为x ＋3y ＋m ＝0和3x －y ＋n ＝0.因为正方形中心到各边距离相等，所以|－1＋m |10＝310和|－3＋n |10＝310. 所以m ＝4或m ＝－2(舍去)，n ＝6或n ＝0.所以其他三边所在直线的方程为x ＋3y ＋4＝0,3x －y ＝0,3x －y ＋6＝0.11．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( )A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0答案 C解析 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线，∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3， 由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.12．过两直线x －y ＋1＝0和x ＋y －1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条答案 B解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. ∴两直线交点坐标为(0,1)，由交点到原点的距离为1可知，只有1条直线符合条件．13．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是____________．答案 2x －y ＋1＝0解析 方法一 由题意可设l 的方程为2x －y ＋c ＝0，于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c －(－1)|22＋(－1)2， 即|c －3|＝|c ＋1|，解得c ＝1，则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.方法二 由题意知l 必介于l 1与l 2中间，故设l 的方程为2x －y ＋c ＝0，则c ＝3＋(－1)2＝1. 则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.14．已知x ＋y －3＝0，则(x －2)2＋(y ＋1)2的最小值为________．答案 2 解析 设P (x ，y )，A (2，－1)，则点P 在直线x ＋y －3＝0上，且(x －2)2＋(y ＋1)2＝|P A |.|P A |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋(－1)－3|12＋12＝ 2.15．已知入射光线在直线l 1：2x －y ＝3上，经过x 轴反射到直线l 2上，再经过y 轴反射到直线l 3上．若点P 是直线l 1上某一点，则点P 到直线l 3的距离为( )A ．6B ．3 C.655 D.9510答案 C解析 如图所示，结合图形可知，直线l 1∥l 3，则直线l 1上一点P 到直线l 3的距离即为l 1与l 3之间的距离．由题意知l 1与l 2关于x 轴对称，故l 2的方程为y ＝－2x ＋3，l 2与l 3关于y 轴对称， 故l 3的方程为y ＝2x ＋3.由两平行线间的距离公式，得l 1与l 3间的距离d ＝|3－(－3)|12＋22＝655， 即点P 到直线l 3的距离为655. 16．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)．(1)在直线l 上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|P A ||最大．解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2，n ＝8， 故A ′(－2,8)．因为P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， 故所求的点P 的坐标为(－2,3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|P A ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|P A ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10， 故所求的点P 的坐标为(12,10)．。

A ・1 C. 3 公式章1节1课时同步练一、单选题点（1,2）到直线3x+4y-l = 0的距离为（若点（2Q 到直线5.r-12y+6=O 的距离是4,则M 勺值是（）点A （0-3）关于直线/:x+y — 3 = 0的对称的点坐标为（过点M （—2,l ）,且与点4（一1,0）』（3,0）距离相等的直线方程是（A. x + 3y-\ = 010.若动点）分别在直线A ：x + y-7 = 0和Z 2：x + y-5 = 0上移动，则线段A3的中点M 到原点的距离的最小值为（）D ・ 4>/211.已知点A （2,0）、B （0,—2）・若点P 在函数y =的图象上,则使得△PAB 的而积为2的点P 的个数为（）233〜234点到直线的距离、两条平行线间的距离 A ・1B. 2C. 3D. 41. 2. A. 1B ・-3 D.・3或卩 33. A. (5,2) B. (6,3) C. (3,6) D ・(6,-3)4. 两条平行线h»2y 一亘=0与/2:2x-4y + 3x/5= 0间的距离为（） 2A. 3B. 25. 若光线从点卩（-3,3）射到y 轴上，经y 轴反射后经过点0（-1.-5），则光线从点P 到点Q 泄过的路程为（ ）A. 10B. 5+V17C. 475 D ・ 2^/176. 已知实数满足2x+y + 5 = 0•那么的最小值为（B. 57. 两条平行直线3x + 4y — 12 = 0与or + 8y + ll = 0之间的距离为（23 B.— 10 C ・7 D.8. 若直线厶：y = k （x-4）与直线"关于点（2,1）对称,则直线“过左点（A ・(0,4)B. (0,2)C. (-2,4)D. (4-2)9. B ・ y = l C. * + 3，一1 = 0或$ = 1D ・兀=一2或y = lB ・ 2x/2A. 5 B・4 D・3二、填空题13.________________________________________________________ 直线l:x + 2y-l = 0关于点A( 1,2)的对称直线方程为14.________________________________________________________ 若两平行直线3x-y+/n=O.6x+nv+7=O之间的距离为迥,则川的值为__________________________________________________________________ .415 •点)到直线- + - = 1的距离等于_____________________ ・m n16.一条光线从点A(—l, 1)出发射向x轴，经过x轴上的点P反射后经过点8(2,5),则点P的坐标为_________ .17.________________________________________________________ 点P(3,3)到直线/:xcos<9 + ysin <9-2 = 0的距离的最大值等于.18.在平面直角坐标系中,若动点戶⑺")到两直线厶:y = x和“ =—x + l的距离之和为2血,则“2+b2的最大值是_______________________三、解答题19.已知点M(d, /?)在直线3x + 4y = 10上，求后R的最小值.20.已知A ABC的三个顶点分别为4(1,2),5(4,1),C(3,6).(1)求BC边上的中线所在直线的一般式方程.(2)求厶ABC的而积.21.已知直线l:loc-y + \-2k=0.(1)若已知直线/不经过第二象限，求k的取值范囤；(2)已知点4(0,1)”(1,5),若点久B到直线/的距离相等，求直线/的方程.22.直线l l:y = mx +\J2:x = -my +1 相交于点P,其中|/n| < 1.(1)求证：h、J分别过泄点人、皮并求点4、3的坐标；(2)求ZkABP的而积S：(3)问加为何值时,S最大？。

2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离学习目标核心素养1.了解点到直线的距离公式的推导方法．(重点)2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点)3.初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点) 通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离呢？点到直线和两条平行线间的距离名称点到直线的距离两平行线间的距离概念过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离条件点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2d＝|C1－C2|A2＋B2(2)在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？[提示](1)要求直线的方程应化为一般式．(2)两条平行直线的方程都是一般式，且x, y对应的系数应分别相等．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当A＝0或B＝0或点P在直线l上时，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式仍然适用．( )(2)当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．( ) (3)在用两平行线间的距离公式时，两方程中x ，y 的系数对应成比例即可． ( ) (4)点P (x 0，y 0)到x 轴的距离是d ＝y 0. ( )[提示] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．点P (1,2)到直线y ＝2x ＋1的距离为( ) A ．55 B ．255 C ． 5 D ．2 5A [d ＝|2×1－2＋1|22＋－12＝55.] 3．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ． 12C [d ＝|－7－－12|32＋42＝1.]4．若第二象限内的点P (m,1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2，则m 的值为________． －4 [由|m ＋1＋1|12＋12＝2，得m ＝－4或m ＝0，又∵m <0，∴m ＝－4.]点到直线的距离【例1】 (1)已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为________．(2)求点P (3，－2)到下列直线的距离： ①y ＝34x ＋14；②y ＝6；③x ＝4. (1)2－1 [由点到直线的距离公式得 |a －2＋3|12＋－12＝1，解得a ＝±2－1，∵a ＞0，∴a ＝2－1.](2)[解] ①把方程y ＝34x ＋14写成3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式得d ＝|3×3－4×－2＋1|32＋－42＝185.②法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝|0×3＋－2－6|02＋12＝8.法二：因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8.③因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.点到直线距离的求解方法(1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．(2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．[跟进训练]1．求点P0(―1,2)到下列直线的距离：(1)2x＋y―10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y―1＝0.[解](1)根据点到直线的距离公式得d＝|2×－1＋2－10|22＋12＝105＝2 5.(2)直线方程可化为x＋y―2＝0，所以d＝|－1＋2－2|12＋12＝22.(3)因为直线y―1＝0平行于x轴，所以d＝|2―1|＝1.两条平行线间的距离12A．4 B．213 13C．51326D．71020(2)已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．[思路探究](1)先由l1∥l2，求出m的值，再求距离．有以下几种思路：①直接利用两平行直线间的距离公式求解；②在l1上取一点M，求点M到l2的距离；③求原点到l1与l2的距离，再利用图形，确定求和(或差)，即得所求．(2)分斜率存在和不存在两种情况讨论．(1)D[∵l1∥l2，∴3×m－6×1＝0，∴m＝2.∴直线l2的方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋12＝0.法一：根据两平行直线间的距离公式，得d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－1232＋12＝71020.法二：在l1上取一点M(0,3)，则点M到l2的距离d＝|6×0＋2×3＋1|62＋22＝71020即为所求．法三：设原点O到直线l1、l2的距离分别为|OE|、|OF|，画出图形(图略)易得l1，l2之间的距离d＝|OE|＋|OF|＝|0＋0－3|32＋12＋|0＋0＋1|62＋22＝71020.](2)[解]当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1、l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|1＋k2＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝125，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.求两条平行直线间的距离的两种思路(1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．(2)利用两条平行直线间的距离公式求解．[跟进训练]2．已知直线l的方程为2x－y＋1＝0.(1)求过点A(3,2)，且与直线l垂直的直线l1的方程；(2)求与直线l平行，且到点P(3,0)的距离为5的直线l2的方程．[解](1)∵直线l的斜率为2，∴所求直线斜率为－1 2，又∵过点A(3,2)，∴所求直线方程为y－2＝－12(x－3)，即x＋2y－7＝0.(2)依题意设所求直线方程为2x －y ＋c ＝0， ∵点P (3,0)到该直线的距离为5， ∴|6＋c |22＋－12＝5，解得c ＝－1或c ＝－11，所以，所求直线方程为2x －y －1＝0或2x －y －11＝0.距离公式的综合应用1．若过点P (x 0，y 0)的直线l ′与l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，那么点P 到l 的距离与l ′与l 的距离相等吗？[提示] 相等．平行线间的距离处处相等． 2．求点到直线的距离应注意什么？[提示] 要注意先把直线方程化成一般式方程． 3．怎样理解两平行线间的距离？[提示] 公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2可以理解为坐标原点到两条平行线间的距离之差(同侧时)或之和(异侧时)．【例3】 已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l 的方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．[思路探究] 先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l 平行或垂直求解．[解] 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边所在的直线方程为l 1：x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－5)． 由⎩⎨⎧2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0，得正方形的中心坐标为P (－1,0)， 由点P 到两直线l ，l 1的距离相等，得|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0.又正方形另两边所在直线与l 垂直，∴设另两边所在直线的方程分别为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋－12＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或a ＝－3， ∴另两条边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0.∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0.1．[变结论]本题条件不变，求正方形的面积．[解] 由⎩⎨⎧2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标为P (－1,0)．由点到直线的距离公式得点P (－1,0)到直线x ＋3y －5＝0的距离 d ＝|－1＋3×0－5|12＋32＝3105. 这时正方形的边长为6105，所以正方形的面积为S ＝⎝⎛⎭⎪⎫61052＝725. 2．把本例条件改为“直线2x －y ＋2＝0和直线x ＋y ＋1＝0为平行四边形的两条邻边”，求以(1,1)为中心平行四边形的另两边的所在直线方程．[解] 由⎩⎨⎧2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得E (－1,0)又E (－1,0)关于(1,1)的对称点为(3,2)．根据平行四边形的性质知，另两边交点为(3,2)，把(3,2)分别代入2x －y ＋m ＝0，x ＋y ＋n ＝0，并解得m ＝－4，n ＝－5.故平行四边形的另两边所在直线方程为2x －y －4＝0和x ＋y －5＝0.1．求参数问题利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． 2．求方程的问题立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．3．最值问题(1)利用对称转化为两点之间的距离问题．(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．(3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．1．对点到直线的距离公式的两点说明(1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离．(2)结构特点：公式中的分子是用点P (x 0，y 0)的坐标代换直线方程中的x ，y ，然后取绝对值，分母是直线方程中的x ，y 的系数的平方和的算术平方根．提醒：在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式． 2．对两条平行直线间的距离的两点说明(1)这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点)． (2)两条平行直线间的距离公式．除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条平行直线间的距离公式d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2.1．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．2A [直线x ＋2＝0，即x ＝－2为平行于y 轴的直线，所以点(5，－3)到x ＝－2的距离d ＝|5－(－2)|＝7.]2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A ．423 B ．823 C ．4 2D ．2 2B [∵l 1∥l 2，∴⎩⎨⎧a a －2－3＝0，2a －6a －2≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823.]3．已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是________． 2x －y ＋1＝0 [设l 的方程为2x －y ＋m ＝0，由题意知|m －3|5＝|m ＋1|5，解得m ＝1. 故所求直线方程为2x －y ＋1＝0.]4．点P (a,0)到直线3x ＋4y －6＝0的距离大于3，则实数a 的取值范围为________． a >7或a <－3 [根据题意，得|3a －6|32＋42>3，解得a >7或a <－3.]5．已知直线l 1：3x ＋4ay －2＝0(a ＞0)，l 2：2x ＋y ＋2＝0.(1)当a ＝1时，直线l 过l 1与l 2的交点，且垂直于直线x ―2y ―1＝0，求直线l 的方程； (2)求点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，1到直线l 1的距离d 的最大值．[解] (1)当a ＝1时，直线l 1：3x ＋4y ―2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0，则⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝02x ＋y ＋2＝0， 解得交点(―2,2)．又由直线l 垂直于直线x ―2y ―1＝0，直线x ―2y ―1＝0的斜率k ＝12， ∴k l ＝―2.∴直线l 的方程为y ―2＝―2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 1：3x ＋4ay ―2＝0(a ＞0)过定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，1，∴点M 到直线l 1的距离d 的最大值为|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53－232＋1－02＝ 2.。

2．3.3点到直线的距离公式2．3.4两条平行直线间的距离知识梳理知识点点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2题型探究题型一、求点到直线的距离1．已知点()2,1P 和直线:2l y x =+，则点P 到直线l 的距离为_______.【答案】322【详解】由:2l y x =+可得20x y -+=，则点P 到直线l 的距离为222123221(1)d -+==+-，故答案为：322.2．(1)求点P (2，－3)到下列直线的距离．①y ＝43x ＋13；②3y ＝4.(2)求垂直于直线x ＋3y －5＝0且与点P (－1,0)的距离是3105的直线l 的方程．【详解】(1)①y ＝43x ＋13可化为4x －3y ＋1＝0，则点P (2，－3)到该直线的距离为|4×2－3×(－3)＋1|42＋(－3)2＝185.②3y ＝4可化为3y －4＝0，则点P (2，－3)到该直线的距离为|－3×3－4|02＋32＝133.(2)设与直线x ＋3y －5＝0垂直的直线的方程为3x －y ＋m ＝0，则由点到直线的距离公式知，d ＝|3×(－1)－0＋m |32＋(－1)2＝|m －3|10＝3105.所以|m －3|＝6，即m －3＝±6.得m ＝9或m ＝－3，故所求直线l 的方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.题型二、由点到直线的距离求参数或范围1．已知(2,0),(4,)-A B a 两点到直线:3410l x y -+=的距离相等，则=a （）A ．2B ．92C ．2或8-D ．2或92【答案】D【详解】因为(2,0),(4,)-A B a 两点到直线:3410l x y -+=的距离相等，所以有22223(2)0(4)13441134523(4)3(4)a a a ⨯-+⨯-+⨯-+=⇒-=⇒=+-+-，或92a =，故选：D2．已知直线():22l y k x =-+，当k 变化时，点()1,2P -到直线l 的距离的取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．[]0,2C ．[]0,3D ．[)0,3【答案】D【详解】由题意知直线():22l y k x =-+过定点()2,2A ，且不与x 轴垂直，当直线():22l y k x =-+经过点()1,2P -时，，点()1,2P -到直线l 的距离最小为0，当过点()2,2A 的直线垂直于x 轴时，点()1,2P -到该直线的距离最大,最大值为3，如图示：由于():22l y k x =-+的斜率存在，故点()1,2P -到直线l 的距离小于3，即点()1,2P -到直线l 的距离的取值范围是[)0,3，故选：D.3．已知点()M a b ，在直线34200x y +-=上,则22a b +的最小值为_____.【答案】4【详解】根据题意知，22a b +表示原点到直线34200x y +-=上的点的距离，∴22a b +大于等于原点到直线34200x y +-=的距离，原点到直线34200x y +-=的距离为2045=，∴224a b + ，∴22a b +的最小值为4．故答案为：4．题型三、两平行线间的距离1．直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为_________.【答案】524【详解】因为直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：平行,而直线22210l x y +-=：可化为2102l x y +-=：，故直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为1|2()|52242d --==，故答案为：5242．两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=之间的距离为（）A ．235B ．2310C ．72D ．27【答案】C【详解】因为直线34120x y +-=与直线8110ax y ++=平行,所以8113412a =≠-,解得6a =,将68110x y ++=化为113402x y ++=,所以两平行直线34120x y +-=与113402x y ++=之间的距离为2211|12|72234--=+.故选：C3．若直线230x y +-=与直线420++=x y a 之间的距离不大于5，则实数a 的取值范围为（）A ．4a ≤B ．164a -≤≤C ．416a -≤≤D ．16a ≤或4a ≥【答案】B【详解】直线230x y +-=化为4260x y +-=，则两直线之间的距离226542a d +=≤+，即610a +≤，解得164a -≤≤.所以实数a 的取值范围为164a -≤≤.故选：B.4．过点(1,0)A 的直线1l 与过点(1,4)B -的直线2l 平行，且它们之间的距离为2，求直线1l 和2l 的方程．【答案】1:10l x y +-=，2:30l x y +-=；或1:770l x y +-=，2:730l x y ++=【详解】当两直线的斜率不存在时，方程分别为1x =，1x =-，此时它们之间的距离为2，不满足题意；当两直线的斜率存在时，设方程分别为(1)y k x =-与()14=++y k x ，即kx y k 0--=，40kx y k -++=．它们之间的距离为2，22421+∴=+k k ，化简得287=0++k k ，解得1k =-，或7k =-，∴这两条直线的方程为1:10l x y +-=，2:30l x y +-=；或1:770l x y +-=，2:730l x y ++=题型四、距离的综合应用1．两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，并且各自绕着A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d .求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．【详解】(1)如图，显然有0<d ≤|AB |.而|AB |＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310.故所求的d 的变化范围为(0,310]．(2)由图可知，当d 取最大值时，两直线与AB 垂直．而k AB ＝2－(－1)6－(－3)＝13，所以所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.2．已知△ABC 的顶点坐标为A (1,1)，B (m ，m )，C (4,2)，1<m <4.当m 为何值时，△ABC 的面积S 最大？【详解】|AC |＝(4－1)2＋(2－1)2＝10，直线AC 的方程为y －12－1＝x －14－1，即x －3y ＋2＝0.因为点B (m ，m )到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|12＋(－3)2，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |·d ＝12|m －3m ＋2|＝12|m －322－14|.因为1<m <4，所以1<m <2，所以0<|m －322－14|≤14，0<S ≤18.所以当m ＝32，即m ＝94时，△ABC 的面积S 最大．跟踪训练1．点(1，2)到直线:3450l x y ++=的距离为___．【答案】165【详解】由点线距离公式有(1，2)到直线:3450l x y ++=的距离为22|31425|16534⨯+⨯+=+.故答案为：1652．在第一象限的点()1,A a 到直线4310x y +-=的距离为3，则a 的值为__________．【答案】4【详解】()1,A a 在一象限，所以0a >，点()1,A a 到直线4310x y +-=的距离为3，则43135a +-=，解得：4a =或6a =-.因为0a >，所以4a =.故答案为：4.3．在平面角坐标系xOy 中，直线l ：(21)10k x ky -++=，则当实数k 变化时，原点O 到直线l 的距离的最大值为_____________．【答案】5【详解】由直线(21)10k x ky -++=可化为(1)(2)0x k x y -++=，联立方程组1020x x y -=⎧⎨+=⎩，解得x 1,y 2==-，即直线过定点(1,2)P -，由于直线(21)10k x ky -++=经过定点(1,2)P -，又221(2)5OP =+-=所以原点到直线l 的距离的最大值为5.4．已知点(,)M a b 在直线3410x y +=上，则22a b +的最小值为______【答案】2【详解】由点(,)M a b 在直线上得3410x y +=上，且22a b +表示点M 与原点的距离∴22a b +的最小值为原点到直线3410x y +=的距离，即2210234d ==+∴22a b +的最小值为2故答案为25．两条平行线4310x y +-=与8630x y ++=之间的距离是___________.【答案】12【详解】直线4310x y +-=可化为8620x y +-=，又直线8620x y +-=与直线8630x y ++=的距离为22|3(2)|8+6--，所以平行线4310x y +-=与8630x y ++=之间的距离是12，故答案为：12.6．已知直线1l ：10ax y ++=，2l ：10x ay ++=．若12l l ∥，则=a ___________，此时1l 与2l 之间的距离为___________．【答案】1-2【详解】直线1l ：10ax y ++=，2l ：10x ay ++=．若12l l ∥，所以10a a ⋅-=，解得1a =±，当1a =时，1l ：10x y ++=，2l ：10x y ++=，此时1l 与2l 重合，故舍去；当1a =-时，1l ：10x y -++=，2l ：10x y -+=，此时1l 与2l 平行；故1a =-；若12l l ∥，即1l ：10x y -++=，即1l ：10x y --=，2l ：10x y -+=，所以1l 与2l 之间的距离为()()2211211--=+-.故答案为：1-，2.7．若直线1:21l y x =-与直线2l 平行，且它们之间的距离等于5，则直线2l 的方程为___________.【答案】240x y -+=或260x y --=【详解】设直线2:2l y x b =+，将直线1l 与直线2l 化为一般式可得1:210l x y --=，2:20l x y b -+=，故它们之间的距离为22152(1)b +=+-，解得4b =或6-，故直线2l 的方程为240x y -+=或260x y --=.故答案为：240x y -+=或260x y --=.8．已知直线l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．【答案】x ＋2y －3＝0【详解】当两条平行直线与A ，B 两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)．所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为－12，所以直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.高分突破1．与点()21M ,之间的距离为2，且在x 轴上的截距为4的直线是（）A ．4x =B ．34120x y --=C ．4x =或34120x y --=D ．4y =或34120x y --=【答案】C【详解】4x =与()21M ,的距离为2，在x 轴上的截距为4，故4x =符合要求；对于直线34120x y --=，有22|324112|23(4)d ⨯-⨯-==+-且0y =时4x =，故也符合要求；4y =与()21M ,的距离为3且x 轴无交点，不符合要求.∴4x =、34120x y --=都是与点()21M ,距离为2且在x 轴上的截距为4的直线.故选：C2．直线1l ：230x y --=与2l ：3610x y -+-=之间的距离为（）A ．455B ．253C ．4515D ．5【答案】B【详解】由3610x y -+-=可得1203x y -+=，即1l 与2l 平行，故1l 与2l 之间的距离为2231331(252)--=+-.故选：B.3．已知直线330x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（）A ．4B ．1020C ．104D ．71020【答案】D【详解】由直线平行可得360m -=，解得2m =，则直线方程为6210x y ++=，即1302x y ++=，则距离是221371022031+=+.故选：D.4．冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为2，竹签所在的直线方程为20x y +=，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（）A ．220x y +±=B ．250x y +±=C ．240x y +±=D ．2250x y +±=【答案】D【详解】由题可设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为20x y c ++=，则22221c =+，∴25c =±，∴与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为2250x y +±=.故选：D.5．①点()3,2P -到直线:34210l x y +-=的距离是___________.②两平行直线3210x y --=和6430x y --=间的距离是___________.【答案】41326【详解】①()3,2,:34210P l x y -+-=；则点P 到直线l 的距离()22334221204534d ⨯+⨯--===+.②6430x y --=即为33202x y --=，所以两平行直线3210x y --=和6430x y --=间的距离22311322632d -==+.6．点P 为直线3420x y +=-上任意一个动点，则P 到点(3,1)-的距离的最小值为___________.【答案】3【详解】由题意得当点P 和点(3,1)-的连线和直线3420x y +=-垂直时距离最小，此时距离等于点(3,1)-到直线3420x y +=-的距离()223341233(4)⨯-⨯-+=+-，故P 到点(3,1)-的距离的最小值为3.故答案为：3.7．点(2,3)P 到直线(1)30mx m y +-+=的距离等于4，则实数m ___________.【答案】47或4【详解】由题意可得：22|23(1)3|4(1)m m m m +-+=⇒+-2103267m m -+=，解得47=m 或4．故答案为：47或4．8．两平行线1:340l x y m ++=与2:680l x y n ++=之间的距离为______．【答案】210m n -【详解】因为直线1:340l x y m ++=，即为1:6820l x y m ++=，所以两平行直线1:340l x y m ++=与2:680l x y n ++=之间的距离为22221068m n m n d --==+.故答案为：210m n-.9．设3450x y +-=，则22x y +的最小值是___________.【答案】1【详解】22xy +表示直线3450x y +-=上任意点(,)P x y 到原点的距离的平方，显然原点到直线3450x y +-=上的点的最小距离就是原点到直线3450x y +-=的距离，即2203045134d ⨯+⨯-==+，所以22x y +的最小值是2211d ==.故答案为：110．已知ABC 的三个顶点的坐标为()3,3A 、()2,2B -、()7,1C -，试求：(1)BC 边上的高所在的直线方程；(2)ABC 的面积．【答案】(1)360x y --=；(2)24【详解】(1)因为2112(7)3BC k --==---，则BC 边上的高的斜率为3，又经过A 点，故方程为()333y x -=-，化简得360x y --=．(2)()2227(21)310BC =++--=，直线BC 方程为12(2)3y x +=--，整理得340x y ++=，则A 到BC 的距离为223334161013+⨯+=+，则ABC 的面积为11631024210⨯⨯=.11．求与直线3240x y -+=平行且距离等于3的直线．【答案】3243130x y -++=或3243130x y -+-=.【详解】设所求直线方程为320x y m -+=，由()22|4|332m -=+-，得4313m =+或4313m =-，所以与直线3240x y -+=平行且距离等于3的直线方程为3243130x y -++=或3243130x y -+-=.12．两平行直线1l ，2l 分别过()1,0A ，()0,5B .(1)1l ，2l 之间的距离为5，求两直线方程；(2)若1l ，2l 之间的距离为d ，求d 的取值范围.【答案】(1)12:0,:5l y l y ==或12:51250,:512600l x y l x y --=-+=；(2)(0,26⎤⎦【详解】(1)当1l ，2l 斜率不存在时，易知12:1,:0l x l x ==，1l ，2l 之间的距离为1，不合题意；当1l ，2l 斜率存在时，设斜率为k ，则12:(1),:5l y k x l y kx =--=，化为一般式得1:0l kx y k --=，2:50l kx y -+=，由1l ，2l 之间的距离为5，可得()22551k k --=+-，解得0k =或512k =，当0k =时，12:0,:5l y l y ==；当512k =时，12:51250,:512600l x y l x y --=-+=.故两直线方程为12:0,:5l y l y ==或12:51250,:512600l x y l x y --=-+=.(2)如图：当1l ，2l 旋转到和AB 垂直时，1l ，2l 之间的距离d 最大为()2210(05)26-+-=，当1l ，2l 旋转到和AB 重合时，距离为0，又两平行直线1l ，2l 不重合，故(0,26d ⎤∈⎦.13．已知直线1:320l x y ++=与2:20l mx y n ++=平行，且直线1l 与直线2l 之间的距离为10，求m 、n 的值．【详解】因为直线1:320l x y ++=与2:20l mx y n ++=平行，所以2312m n =≠，解得6m =，4n ¹，又因为直线1l 与直线2l 之间的距离为10，所以2241062n -=+，解得24n =或16n =-.综上，m 的值为6；n 的值为24或16-.14．已知(4,3)A -､(2,1)B -和直线:4320l x y +-=，若坐标平面内存在一点P ，使PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，求点P 的坐标.【详解】设点P 的坐标为(,)a b .∵(4,3)A -，(2,1)B -，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3,2)-.而AB 所在直线的斜率31142AB k -+==--，∴线段AB 的垂直平分线方程为23y x +=-，即50x y --=.∵点(,)P a b 在直线50x y --=上，∴50a b --=……①；又点(,)P a b 到直线4320x y +-=的距离为2，∴22432243a b +-=+，即43210a b +-=±……②.联立①②，解得1,4,a b =⎧⎨=-⎩或27,78.7a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故所求点P 的坐标为(1,4)-或278,77⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为(1,4)-或278,77⎛⎫- ⎪⎝⎭15．已知平行四边形ABCD ，(1,2)A 、(2,4)B 、1(,5)2C ，求：(1)点D 的坐标及点A 到直线CD 的距离；(2)平行四边形ABCD 的面积．【详解】(1)设点00(,)D x y ，则有线段BD 的中点坐标为00(1,2)22x y ++，依题意，线段AC 中点坐标为37(,)42，由平行四边形性质知：0031247222x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得001,32x y =-=，所以点D 的坐标为1(,3)2D -；直线CD 的斜率53211()22k -==--，直线CD 的方程为152()2y x -=-，即240x y -+=，所以点(1,2)A 到直线CD 的距离22|2124|4552(1)d ⨯-+==+-.(2)由（1）知，线段CD 长2211||()(35)522CD =--+-=，所以平行四边形ABCD 的面积45||545S CD d =⋅=⨯=.。