2019年高考数学复习(文科)训练题：天天练 35含解析

天天练24 不等式的性质及一元二次不等式一、选择题1．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．ac >bd B ．ac <bd C ．ad <bc D ．ad >bc 答案：B解析：根据c <d <0，有－c >－d >0，由于a >b >0，故－ac >－bd ，ac <bd ，故选B.2．若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )>0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．d <a <c <bB ．a <d <c <bC ．a <d <b <cD ．d <c <a <b 答案：A解析：因为a <b ，(c －a )(c －b )<0，所以a <c <b ，因为(d －a )(d －b )>0，所以d <a <b 或a <b <d ，又d <c ，所以d <a <b .综上，d <a <c <b .3．(2018·河南信阳月考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，以下四个命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d ；③若a >b ，c >d ，则ac >bd ；④若a >b ，则1a >1b .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：B解析：因为ac 2>bc 2，可见c 2≠0，所以c 2>0，所以a >b ，故①正确．因为a >b ，c >d ，所以根据不等式的可加性得到a ＋c >b ＋d ，故②正确．对于③和④，用特殊值法：若a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝bd ，故③错误；若a ＝2，b ＝0，则1b 无意义，故④错误．综上，正确的只有①②，故选B.4．(2018·辽宁阜新实验中学月考)已知命题p ：x 2＋2x －3>0，命题q ：x >a ，若綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]答案：A解析：将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以命题p ：x >1或x <－3.因为綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，所以p 的一个充分不必要条件是q ，所以(a ，＋∞)是(－∞，－3)∪(1，＋∞)的真子集，所以a ≥1.故选A.5．(2018·南昌一模)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( )A ．T >0B ．T <0C ．T ＝0D ．T ≥0 答案：B解析：通解 由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三个数中一正两负，不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝ab ＋c (b ＋a )abc ＝ab －c 2abc，因为ab <0，－c 2<0，abc >0，所以T <0，故选B. 优解 取特殊值a ＝2，b ＝c ＝－1，则T ＝－32<0，排除A ，C ，D ，可知选B.6．不等式x2x －1>1的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 答案：A解析：原不等式等价于x2x －1－1>0，即x －(2x －1)2x －1>0，整理得x －12x －1<0，不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得12<x <1.故选A. 7．(2018·河南洛阳诊断)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235 答案：B解析：由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f (5)≥0，f (1)≤0，解得－235≤a ≤1，故选B.8．不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的必要不充分条件是( )A ．m >2B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1 答案：C解析：当不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立时，对于方程x 2－2x ＋m ＝0，Δ＝4－4m <0，解得m >1，所以m >1是不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的充要条件；m >2是不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的充分不必要条件；0<m <1是不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的既不充分也不必要条件；m >0是不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的必要不充分条件．故选C.二、填空题9．已知函数f (x )＝ax ＋b,0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，则2a －b 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52解析：设2a －b ＝mf (1)＋nf (－1)＝(m －n )·a ＋(m ＋n )b ，则⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝2，m ＋n ＝－1，解得m ＝12，n ＝－32，∴2a －b ＝12f (1)－32f (－1)，∵0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，∴0<12f (1)<1，－32<－32f (－1)<32，则－32<2a－b <52.10．(2018·江苏无锡一中月考)若关于x 的方程(m －1)·x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数的平方和不大于2，则m 的取值范围为________．答案：{m |0<m <1或1<m ≤2}解析：根据题意知方程是有两个根的一元二次方程，所以m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)·(－1)>0，得m 2>0，所以m ≠1且m ≠0.由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1·x 2＝11－m，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2，所以m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．11．(2018·内蒙古赤峰调研)在a >0，b >0的情况下，下面四个不等式：①2ab a ＋b ≤a ＋b 2；②ab ≤a ＋b 2；③a ＋b 2≤ a 2＋b 22；④b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .其中正确不等式的序号是________． 答案：①②③④解析：2ab a ＋b －a ＋b 2＝4ab －(a ＋b )22(a ＋b )＝－(a －b )22(a ＋b )≤0，所以2aba ＋b≤a ＋b2，故①正确；由基本不等式知②正确；⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－a 2＋b 22＝－(a －b )24≤0，所以a ＋b 2≤ a 2＋b 22，故③正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫b2a＋a 2b －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab ＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2)ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ，故④正确．综上所述，四个不等式全都正确．三、解答题12．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意可得m ＝0或⎝ ⎛m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围是(－4,0]．(2)要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0，所以m ＜67，则0＜m ＜67； 当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <67.。

天天练34 直线与圆锥曲线的综合一、选择题1．已知抛物线y 2＝16x ，直线l 过点M (2,1)，且与抛物线交于A ，B 两点，|AM |＝|BM |，则直线l 的方程是( )A ．y ＝8x ＋15B ．y ＝8x －15C ．y ＝6x －11D ．y ＝5x －9 答案：B解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，代入抛物线方程得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝16(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝16y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝2，所以k AB ＝8，故直线l 的方程为y ＝8x －15.2．已知直线y ＝kx ＋1与双曲线x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝82，则实数k 的值为( )A ．±7B ．±3或±413C ．±3D ．±413 答案：B解析：由直线与双曲线交于A ，B 两点，得k ≠±2.将y ＝kx ＋1代入x 2－y24＝1得(4－k 2)x 2－2kx －5＝0，则Δ＝4k 2＋4(4－k 2)×5>0，k 2<5.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 4－k 2，x 1x 2＝－54－k 2，所以|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 4－k 22＋204－k 2＝82，解得k ＝±3或±413. 3．(2018·兰州一模)已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m (m >0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3) 答案：A解析：直线y ＝kx －k －1恒过定点(1，－1)．因为直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m (m >0)恒有公共点，则曲线C 表示椭圆，点(1，－1)在椭圆内或椭圆上，所以12＋2×(－1)2≤m ，所以m ≥3，选A.4．(2018·宁波九校联考(二))过双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的两条渐近线分别交于B ，C ，且2AB→＝BC →，则该双曲线的离心率为( ) A.10 B.103C. 5D.52 答案：C解析：由题意可知，左顶点A (－1,0)．又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，若直线l 与双曲线的渐近线有交点，则b ≠±1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为y ＝－bx ，y ＝bx ，所以可得x B ＝－1b ＋1，x C ＝1b －1.由2AB →＝BC →，可得2(x B －x A )＝x C －x B ，故2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＋1＋1＝1b －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＋1，得b ＝2，故e ＝12＋221＝ 5.5．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足F A →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2p 答案：A解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫P 2，0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－p 2，y 3＝(0,0)，故y 1＋y 2＋y 3＝0.∵1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p (y 22－y 21)y 2－y 1＝y 2＋y 12p ，同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 3＋y 12p ，∴1k AB ＋1k BC ＋1k CA ＝2(y 1＋y 2＋y 3)2p＝0. 6．(2018·福建福州外国语学校适应性考试)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，抛物线y ＝14x 2＋14与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.x 28－y 22＝1B.x 22－y 28＝1C ．x 2－y 24＝1 D.x24－y 2＝1 答案：D解析：由题意可得c ＝5，得a 2＋b 2＝5，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .将渐近线方程和抛物线方程y ＝14x 2＋14联立，可得14x 2±b a x ＋14＝0，由渐近线和抛物线相切可得Δ＝b 2a 2－4×14×14＝0，即有a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝5，解得a ＝2，b ＝1，可得双曲线的方程为x24－y 2＝1.故选D.7．(2018·天津红桥区期末)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2 D ．3 答案：C解析：因为双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，所以双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x .又抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2，故A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±pb 2a .因为双曲线的离心率为2，所以c a ＝2，所以b 2a 2＝3，则b a ＝3，A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±pb 2a ＝±3p 2.又△AOB 的面积为3，x 轴是∠AOB 的平分线，所以12×3p ×p2＝3，解得p ＝2.故选C.8．(2017·新课标全国卷Ⅰ，10)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10 答案：A解析：因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k ，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1， 所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·2k 2＋4k 22－4＝4(1＋k 2)k 2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k 2＋4(1＋k 2)＝41k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，取得等号． 故选A.二、填空题 9．(2018·昆明二模)直线l ：y ＝k (x ＋2)与曲线C ：x 2－y 2＝1(x <0)交于P ，Q 两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4解析：曲线C ：x 2－y 2＝1(x <0)的渐近线方程为y ＝±x ，直线l ：y ＝k (x ＋2)与曲线C 交于P ，Q 两点，所以直线的斜率k >1或k <－1，所以直线l 的倾斜角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，由于直线l 的斜率存在，所以α≠π2，所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.10．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，则当|AF |＋4|BF |取得最小值时，直线AB 的倾斜角的正弦值为________．答案：223解析：易知当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1，x 2>0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2 ①，x 1x 2＝1 ②，1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝2k 2＋4k 2＋21＋2k 2＋4k 2＋1＝1.当直线的斜率不存在时，易知|AF |＝|BF |＝2，故1|AF |＋1|BF |＝1.设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则1a ＋1b ＝1，所以|AF |＋4|BF |＝a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋4b )＝5＋4b a ＋a b ≥9，当且仅当a ＝2b 时取等号，故a ＋4b 的最小值为9，此时直线的斜率存在，且x 1＋1＝2(x 2＋1) ③，联立①②③得， x 1＝2，x 2＝12，k ＝±22，故直线AB 的倾斜角的正弦值为223.11．(2018·广东揭阳一中、汕头金山中学联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a ＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.答案：14解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，所以p ＝8，所以m ＝±4.由对称性不妨取M (1,4)，A (－1,0)，则直线AM 的斜率为2，由题意得－a ×2＝－1，故a ＝14.三、解答题12．(2018·山西大学附属中学期中)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解析：(1)设F (c,0)，由条件知2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意当l ⊥x 轴时不合题意，故设直线l 的方程为y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－31＋4k 2， 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－31＋4k 2.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－31＋4k 2.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t ≤42t ·4t＝1，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ 的面积最72x－2或y＝－72x－2.大时，l的方程为y＝。

天天练函数的周期性与对称性及性质的综合应用一、选择题．若函数()＝＋＋对一切实数都有(＋) ＝ (－)则( )．()<()< ()．()<()< ()．()<()< ()．()<()< ()答案：解析：由已知对称轴为＝，由于抛物线开口向上，所以越靠近对称轴值越小．．(·黑龙江双鸭山适应性考试)函数()对于任意实数满足条件(＋)＝，若()＝－，则[()]＝( ) ．－．．－答案：解析：由题意得(＋)＝＝()，则()＝()＝－，所以[()]＝(－)＝(－)＝＝－.故选.．(·山东临沭一中月考)已知定义在上的函数()满足(－)＝－()，(－)＝()，则( )＝( ) ．－．．．答案：解析：∵(－)＝－()，∴(－)＝－(－)，且()＝.又∵(－)＝()，∴()＝－(－)，∵(－)＝－(－)，∴()＝(－)，∴()是周期为的函数，∴( )＝(×＋)＝()＝()＝.故选.．下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间(，＋∞)上单调递增的是 ( )．＝．＝－＋．＝．＝＋答案：解析：对于，函数＝关于原点对称且在(－∞，)和(，＋∞)上单调递减；对于，函数＝－＋关于轴对称且在(，＋∞)上单调递减；对于，函数＝无对称性且在上单调递增；对于函数＝＋关于＝－对称且在(－，＋∞)上单调递增；故选.．已知函数()为偶函数，且函数()与()的图象关于直线＝对称，若()＝，则(－)＝( )．－．．－．答案：解析：因为函数()与()的图象关于直线＝对称，且()＝，所以()＝.因为函数()为偶函数，所以(－)＝()＝.故选.．(·福建龙岩五校联考)若函数＝()在[]上单调递减，且函数(＋)是偶函数，则下列结论成立的是( )．()<(π)<() ．(π)<()<()．()<()<(π) ．()<(π)<()答案：解析：∵函数＝()在[]上单调递减，且函数(＋)是偶函数，∴(＋)＝(－＋)，()＝(－)，∴(π)＝(－π)，()＝()．∵<<－π<，∴(－π)<()<()，∴(π)<()<()．故选.．(·安徽合肥一中月考)已知定义在上的函数()满足：＝(－)的图象关于点()对称，且当≥时恒有()＝(＋)，当∈[]时，()＝－，则( )＋(－ )＝( )．－．－．－－．＋答案：解析：∵＝(－)的图象关于点()对称，∴()的图象关于原点对称．∵当≥时恒有()＝(＋)，∴函数()的周期为.∴( )＋(－)＝()－()＝－.故选.．定义在上的奇函数()满足(＋)＝－()，且在[)上单调递减，则下列结论正确的是( )．<()<() ．()<<()．()<<() ．()<()<答案：解析：由函数()是定义在上的奇函数，得()＝.由(＋)＝－()，得(＋)＝－(＋)＝()，故函数()是以为周期的周期函数，所以()＝(－)．又()在[)上单调递减，所以函数()在(－)上单调递减，所以(－)>()>()，即()<<()．故选.二、填空题．设()是定义在上的奇函数，且＝()的图象关于直线＝对称，则()＋()＋()＋()＋()＝ .答案：解析：∵()是定义在上的奇函数，∴()＝－(－)，又∵()的图象关于直线＝对称，∴()＝(－)＝－(－)＝－(－)⇒()＝(＋)，在()＝(－)中，令＝，∴()。

天天练推理与证明一、选择题．要证明＋<可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) ．综合法．分析法．反证法．归纳法答案：解析：综合法由已知条件入手开始证明，分析法从所求的结论入手寻找使其成立的条件，反证法适合证明含有“存在”“唯一”等字眼的题目，归纳法适合证明与正整数有关的题目．结合以上特点，本题的证明适合采用分析法．．(·洛阳一模)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无理数，结论——π是无限不循环小数．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无限不循环小数，结论——π是无理数．大前提——π是无限不循环小数，小前提——无限不循环小数是无理数，结论——π是无理数．大前提——π是无限不循环小数，小前提——π是无理数，结论——无限不循环小数是无理数答案：解析：中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故错误；、都不是由一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，所以、都不正确，只有正确，故选.．用数学归纳法证明＋＋＋…＋<(∈*，>)时，第一步应验证不等式( )．＋<．＋＋<．＋＋<．＋＋＋<答案：解析：本题考查数学归纳法．依题意得，当＝时，不等式为＋＋<，故选.．(·新课标全国卷Ⅱ，)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )．乙可以知道四人的成绩．丁可以知道四人的成绩．乙、丁可以知道对方的成绩．乙、丁可以知道自己的成绩答案：解析：由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“个优秀，个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选.．(·山东菏泽模拟)设，，都是正数，则＋，＋，＋三个数( )．都大于．都小于．至少有一个大于．至少有一个不小于答案：解析：依题意，令＝＝＝，则三个数为，排除，，选项，故选.．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于，因为是实数，所以的绝对值大于”，你认为这个推理( )．大前提错误．小前提错误．推理形式错误．是正确的答案：解析：大前提是任何实数的绝对值大于，显然是不正确的．故选.．(·合肥一模)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数，，中恰有一个是偶数”的正确假设为( )．自然数，，中至少有两个偶数．自然数，，中至少有两个偶数或都是奇数．自然数，，都是奇数．自然数，，都是偶数答案：解析：“自然数，，中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然数，，均为奇数或自然数，，中至少有两个偶数”．．(·大同质检)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设>>，且＋＋＝，求证：<”，则索的因应是( )．－> ．－>．(－)(－)> ．(－)(－)<答案：解析：要证<，需证－<，因为＋＋＝，所以即证(＋)－<，即证＋＋－－<，即证－＋＋<，即证－－>，即证(＋)(－)>，即证(－)(－)>.故选.二、填空题．(·河北唐山一中调研)用数学归纳法证明：(＋)(＋)…(＋)＝×××…×(－)(∈*)时，从“＝到＝＋”时，左边应增加的代数式为．答案：(＋)解析：首先写出当＝时和＝＋时等式左边的式子．当＝时，左边等于(＋)(＋)…(＋)＝(＋)(＋)…()，①当＝＋时，左边等于(＋)(＋)…(＋)(＋)(＋)，②∴从＝到＝＋的证明，左边需增加的代数式是由得到＝(＋)．．(·山东日照一模)有下列各式：＋＋>＋＋…＋>，＋＋＋…＋>，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：.答案：＋＋＋…＋>(∈*)解析：观察各式左边为的和的形式，项数分别为，…，∴可猜想第个式子中左边应有＋－项，不等式右边分别写成，，，…，∴猜想第个式子中右边应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：＋＋＋…＋>(∈*)．．(·长沙二模)在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则＝.推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体－的内切球体积为，外接球体积为，则＝.答案：解析：由平面图形类比空间图形，由二维类比三维，如图，设正四面体－的棱长为，为等边三角形的中心，为内切球与外接球的球心，则＝，＝.设＝，＝，则＝－，又在△中，＝＋，即＝＋，∴＝，＝，∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是，故正四面体－的内切球体积与外接球体积之比等于，即＝.三、解答题．(·安徽合肥测试)给出四个等式：＝；－＝－(＋)；－＋＝＋＋；－＋－＝－(＋＋＋)；……()写出第个等式，并猜测第(∈*)个等式；()用数学归纳法证明你猜测的等式．解析：()第个等式：－＋－＋＝＋＋＋＋；第个等式：－＋－＋－＝－(＋＋＋＋＋)；猜测第(∈*)个等式为－＋－＋…＋(－)－＝(－)－(＋＋＋…＋)．()证明：①当＝时，左边＝＝，右边＝(－)×＝，左边＝右边，等式成立；②假设当＝(∈*)时，等式成立，即－＋－＋…＋(－)－＝(－)－，则当＝＋时，－＋－＋…＋(－)－＋(－)(＋)＝(－)－·＋(－)(＋)＝(－)(＋)＝(－)，∴当＝＋时，等式也成立．根据①②可知，对于任何∈*等式均成立．。

天天练抛物线的定义、方程及性质一、选择题．抛物线＝的准线方程为( )．＝．＝－．＝－．＝答案：解析：将＝化为标准形式为＝，所以＝，＝，开口向右，所以抛物线的准线方程为＝－.．若抛物线＝(>)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为和，则抛物线的方程为( )．＝．＝．＝或＝．＝或＝答案：解析：因为抛物线＝(>)上一点到抛物线的对称轴的距离为，所以若设该点为，则(，±)．因为到抛物线的焦点的距离为，所以由抛物线的定义得＋＝①.因为在抛物线上，所以＝②.由①②解得＝，＝或＝，＝，则抛物线的方程为＝或＝.．(·广东广州天河区实验中学月考)抛物线＝上一点到焦点的距离为，则点到轴的距离为( ) ．．．．答案：解析：根据抛物线方程可求得焦点坐标为()，准线方程为＝－.根据抛物线定义，得＋＝，解得＝，代入抛物线方程求得＝±，∴点到轴的距离为.故选.．(·天水一模)过抛物线＝的焦点的直线交抛物线于，两点，点是坐标原点，若＝，则△的面积为( )．答案：解析：由题意得>>.设∠＝θ(<θ<π)，＝，则由点到准线：＝－的距离为，得＝＋θ⇔θ＝.又＝＋(π－θ)，得＝＝，所以△的面积＝×××θ＝×××＝.．直线－＋＝与抛物线＝的对称轴及准线相交于同一点，则该直线与抛物线的交点的横坐标为( )．－．．．答案：解析：由题意可得，直线－＋＝与抛物线＝的对称轴及准线交点的坐标为，代入－＋＝，得－＋＝，即＝，故抛物线的方程为＝.将＝与直线方程－＋＝联立可得交点的坐标为()．故选.．(·广东中山一中第一次统测)过抛物线＝的焦点作直线交抛物线于(，)，(，)两点．如果＋＝, 那么＝( )．．．．答案：解析：由题意知，抛物线＝的准线方程是＝－.∵过抛物线＝的焦点作直线交抛物线于(，)，(，)两点，∴＝＋＋.又∵＋＝，∴＝＋＋＝.故选.．(·湖南长沙模拟)是抛物线＝(>)上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点．当＝时，∠＝°，则抛物线的准线方程是( )．＝－．＝－．＝－．＝－答案：解析：过点作准线的垂线，过点作的垂线，垂足分别为，，如图．由题意知∠＝∠－°＝°，又因为＝，所以＝.点到准线的距离＝＋＝＋＝，解得＝，则抛物线＝的准线方程是＝－.故选.．(·福建厦门杏南中学期中)已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(，)．若点到该抛物线焦点的距离为，则＝( )．．．．答案：解析：由题意，抛物线关于轴对称，开口向右，设其方程为＝(>)．∵点(，)到该抛物线焦点的距离为，∴＋＝，∴＝.。

2019届高三文科数学测试题(三)附答案2019届高三文科数学测试题（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|1A x x =<，{}|e 1xB x =<，则（ ）A ．{}|1A B x x =<B ．R AB=RC ．{}|e AB x x =<D ．{}R |01AB x x =<<2．为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．如图所示的折线图是2016年1月至2017年12月的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A ．2016年各月的仓储指数最大值是在3月份 B ．2017年1月至12月的仓储指数的中位数为54% C ．2017年1月至4月的仓储指数比2016年同期波动性更大D ．2017年11月份的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好 3．下列各式的运算结果为实数的是（ ） A ．2(1i)+B ．2i (1i)-C ．2i(1i)+D ．i(1i)+4．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形的概率为（ ）A．332π B ．332πC ．322πD ．32π5．双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的离心率是5，过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，若OFM △的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（ ） A ．1B ．2C ．2D ．226．如图，各棱长均为1的直三棱柱111C B A ABC -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，且MN ∥平面11A ACC ，则这样的MN 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条7．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+≥-04242y y x y x ，则y x z 23-=的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．函数()()22cos xx f x x-=-在区间[]5,5-上的图象大致为（ ）9．已知函数()lg 4xf x x =-，则（ ） A ．()f x 在()0,4单调递减 B ．()f x 在()0,2单调递减，在()2,4单调递增C ．()y f x =的图象关于点()2,0对称D ．()y f x =的图象关于直线2=x 对称10．如图是为了求出满足201822221>+++n 的最小整数n ， ）19．（12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D （单位：分贝）与声音能量I （单位：2/cm W ）之间的关系，将测量得到的声音强度iD 和声音能量iI ，()1,2,,10i =数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．表中iiI W lg =，∑==101101i iW W ．（1）根据散点图判断，I b a D 11+=与Ib aD lg 22+=哪一个适宜作为声音强度D 关于声音能量I 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程；（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P 共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是1I 和2I ，且10211041=+I I ．已知点P 的声音能量等于声音能量1I 与2I 之和．请根据（1）中的回归方程，判断P 点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由． 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，，(),nnu v 其回归直线αβ+=u v 的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-．20．（12分）过抛物线()2:20C xpy p =>的焦点F 作直线l 与抛物线C交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，2AF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 的斜率为2，问抛物线C 上是否存在一点M ，使得MB MA ⊥，并说明理由．21．（12分）已知a ∈R ，函数()()2e2xf x x a ax =--．（1）若()f x 有极小值且极小值为0，求a 的值；（2）当x ∈R 时，()()0f x f x +-≥，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数，[]0,θ∈π），将曲线1C 经过伸缩变换：⎩⎨⎧==yy xx 3''得到曲线2C ．（1）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线l ：⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x （t 为参数）与1C ，2C 相交于A ，B 两点，且1AB =，求α的值．23．（10分）选【修4-5：不等式选讲】 已知函数()12f x x x =+--，2()g x xx a=--．（1）当5=a 时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]2,3，求a 的取值范围．高三文科数学（三）答案一、选择题．1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】A11．【答案】D12．【答案】A二、填空题．13．【答案】1014．【答案】012=+-yx15．【答案】552 16．【答案】3三、解答题．17．【答案】（1）见解析；（2）12-=nna，是．【解析】∵37a=，3232a a=-，∴32=a，∴121+=-nnaa，∴11=a，()11221-nnana+=≥+，∴{}1na+是首项为2公比为2的等比数列．（2）由（1）知，nna21=+，∴12-=nna，∴22212211--=---=++nnS nnn，∴()12222210n nn nn S a n n++-=+----=，∴nnaSn2=+，即n，n a，n S成等差数列．18．【答案】（1）见解析；（2）623S=+．【解析】（1）证明：三棱柱111CBAABC-的侧面B BAA11中，1AAAB=，∴四边形B BAA11为菱形，∴B AAB11⊥，又⊥BC平面B BAA11，⊂1AB平面B BAA11，∴BCAB⊥1，∵1A B BC B=，∴⊥1AB平面BCA1，⊂1AB平面CAB1，∴平面⊥CAB1平面BCA1（2）过1A在平面B BAA11内作⊥D A11BB于D，∵⊥BC 平面B B AA 11，⊂BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C C BB 11平面B B AA 11于1BB ，⊂D A 1平面B B AA 11，∴⊥D A 1平面C C BB 11．在11Rt A B D △中，211==AB B A ，11160A B B A AB ∠=∠=︒，∴31=D A ，∵11AA BB ∥，∴A 点到平面C C BB 11的距离为3．又四棱锥-A C C BB 11的体积332233131111=⨯⨯⨯==BC D A S V C C BB ，∴1=BC在平面C C BB 11内过点D 作DE BC ∥交1CC 于E ，连接E A 1，则1==BC DE ，22211=+=DE D A E A ，∴())1111226S A D DE A E AA =++⋅=+⨯=+19．【答案】（1）Ib a D lg 22+=更适合；（2）7.160ln 10ˆ+=I D ；（3）是，见解析． 【解析】（1）Ib aD lg 22+=更适合．（2）令iiI W lg =，先建立D 关于W 的线性回归方程， 由于10121()()5.1ˆ0.51()iii nii W W D D WW β==--==-∑∑，∴7.160ˆˆ=-=W D aβ， ∴D 关于W 的线性回归方程是7.16010ˆ+=W D，即D 关于I 的回归方程是7.160ln 10ˆ+=I D． （3）点P 的声音能量21I I I +=，∵10211041=+I I ，∴21I II +=()1010102112121241410105910I I I I I I I I ---⎛⎫⎛⎫=++=++≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据（2）中的回归方程，点P 的声音强度D 的预报值()10minˆ10lg 910160.710lg960.760D -=⨯+=+>，∴点P 会受到噪声污染的干扰． 20．【答案】（1）C ：yx42=；（2）存在M 点，见解析．【解析】（1）由抛物线的定义可得2212=⇒=+p p，故抛物线方程为yx42=．（2）假设存在满足条件的点()0,M x y ，则设直线1:+=kx y AB ， 代入yx 42=可得0442=--kx x，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x xk+=，124x x=-，因为()11,MA x x y y =--，()2020,MB xx y y =--，则由MB MA ⊥可得()()()()12010200x x xx y y y y --+--=，即()()()()120102011016x x xx x x x x ⎡⎤--+++=⎢⎥⎣⎦，也即()()1020160x x xx --+=，所以012402=++kx x，由于判别式()2164816430k∆=-=->，此时12x =-，26x =-，则存在点()2,1M -，()6,9M -，即存在点()0,M x y 满足题设．21．【答案】（1）21=a ；（2）(],1-∞．【解析】（1）()()()()'e2e 21e 2xx x f x a x ax x a=-+-=+-，x ∈R ，①若0≤a ，则由()'0f x =解得1-=x ，当(),1x ∈-∞-时，()'0f x <，()f x 递减；当()1,x ∈-+∞时，()'0f x >，()f x 递增；故当1-=x 时，()f x 取极小值()11e f a --=-，令1ea --=，得1ea =（舍去），若0>a ，则由e 20xa -=，解得()ln 2x a =．（i ）若()ln 21a <-，即102e a <<时，当()(),ln 2x a ∈-∞，()'0f x >，()f x 递增；当()()ln 2,1x a ∈-，()'0f x >，()f x 递增；故当1-=x 时，()f x 取极小值()11e f a --=-，令1e0a --=，得1ea =（舍去）． （ii ）若()ln 21a =-，即12e a =时，()'0f x ≥，()f x 递增不存在极值； （iii ）若()ln 21a >-，即12e a >时，当(),1x ∈-∞-时，()'0f x >，()f x 递增；当()()1,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，()f x 递减；当()()ln 2,x a ∈+∞时，()'0f x >，()f x 递增；故当()ln 2x a =时，()f x 取极小值()()()2ln 2ln 20f a a a =-=，得21=a 满足条件，故当()f x 有极小值且极小值为0时，21=a ． （2）()()0f x f x +-≥等价于()2ee 20xx x ax ---≥，即()2ee 2xx x ax --≥，当0=x 时，①式恒成立；当0≠x 时，()e e 0xx x -->，故当0≤a 时，①式恒成立；以下求当0>x 时，不等式()2ee 20xx x ax ---≥恒成立，且当0<x 时不等式()2e e 20xxx ax ---≤恒成立时正数a 的取值范围，令e xt =，()12ln g t t a t t =--以下求当1>t ，()12ln 0g t t a t t =--≥恒成立，且当10<<t ，()12ln 0g t t a t t =--≤恒成立时正数a 的取值范围， 对()g t 求导，得()22212211a t at g t t t t -+'=+-=，记()221h t tat =-+，244a∆=-，（i ）当10≤<a 时，0442≤-=∆a，()2210h t tat =-+≥，()'0g t >，故()g t 在()0,+∞上递增，又()10g =，故1>t ，()()10g t g >=，01t <<，()()10g t g <=，即当10≤<a 时，()2ee 2xx x ax --≥式恒成立；（ii ）当1>a 时，()010h =>，()1220h a =-<，故()h t 的两个零点即()'g t 的两个零点()10,1t ∈和()21,t∈+∞，在区间()12,t t 上，()0h t <，()'0g t <，()g t 是减函数， 又11<t，所以()()110g t g >=，当1>a 时①式不能恒成立．综上所述，所求a 的取值范围是(],1-∞．22．【答案】（1）[]()2222230,3cos sin 2cos 1ρθθθθ==∈π++；（2）3απ=或23απ=． 【解析】（1）1C 的普通方程为()2210xy y +=≥，把⎩⎨⎧==yy xx 3''代入上述方程得，()22''1'03y x y +=≥，∴2C 的方程为()22103y x y +=≥，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，第7页（共8页） 第8页（共8页） 所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,3cos sin 2cos 1ρθθθθ==∈π++． （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，由⎩⎨⎧==αθρ1，得1=A ρ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=αθθρ1cos 2322，得1cos 232+=αρB ， 而1211cos 232-=-+α，∴21cos ±=α，而[]0,α∈π，∴3απ=或23απ=．23．【答案】（1）⎡-⎢⎣⎦；（2）[)3,+∞．【解析】（1）当5=a 时，不等式()()f x g x ≥等价于2125x x x x +--≥--，①当1-<x 时，①式化为022≤--x x ，无解； 当21≤≤-x 时，①式化为0432≤--x x ，得21≤≤-x ； 当2>x 时，①式化为082≤--x x ，得23312+≤<x ，所以()()f x g x ≥的解集为⎡-⎢⎣⎦．（2）当[]2,3x ∈时，()3f x =，所以()()f x g x ≥的解集包含[]2,3，等价于[]2,3x ∈时，()3g x ≤， 又()2g x x x a =--在[]2,3上的最大值为()36g a =-， 所以()33g ≤，即36≤-a ，得3≥a ，所以a 的取值范围为[)3,+∞．。

2019年高考（文科）数学总复习解答题75分钟集训01时间：75分钟满分：70分17．(12分)设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为其前n项和，已知S3＝7，a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝a n＋ln a n，求数列{b n}的前n项和T n.18．(12分)某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如下图：(1)记事件A为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35 g的小龙虾”，求P(A)的估计值；(2)试估计这批小龙虾的平均重量；(3)为适应市场需求，制定促销策略．该经销商又将这批小龙虾分成三个等级，并制定出销售单价，如下表：19．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.(1)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积． (1)证明：在△ABD 中，20．(12分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．21．(12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)2ln(x ＋1)－x . (1) 求函数f (x )的单调区间；(2)设当x ≥0时，f (x )≥ax 2，求实数a 的取值范围．以下两题请任选一题：选修4－4：坐标系与参数方程选讲22．(10分)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．选修4－5：不等式选讲23．(10分)(1)如果关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －2|＜a 的解集不是空集，求参数a 的取值范围；(2)已知正实数a ，b ，且h ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a 2＋b 2，求证：0＜h ≤22.2019年高考（文科）数学总复习解答题75分钟集训 02时间：75分钟 满分：70分17．(12分)△ABC ，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C .(1)求角C 的大小；(2)若S △ABC ＝23，a ＝4，求c .18． (12分)为增强市民的环保意识，某市面向全市增招义务宣传志愿者．从符合条件的志愿者中随机抽取20名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄(岁)分成五组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]．得到的频率分布直方图(局部)如图所示．(1)求第4组的频率，并在图中补画直方图；(2)从20名志愿者中再选出年龄低于30岁的志愿者3名担任主要宣讲人，求这3名主要宣讲人的年龄在同一组的概率．19．(12分)如图，三棱锥P－ABC中，P A＝PC，底面ABC为正三角形．(1)证明：AC⊥PB；(2)若平面P AC⊥平面ABC，AB＝2，P A⊥PC，求三棱锥P－ABC的体积．20．(12分)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，顺次连接椭圆E的四个顶点得到的四边形的面积为16.(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的顶点P(0，b)的直线l交椭圆于另一点M，交x轴于点N，若|PN|、|PM|、|MN|成等比数列，求直线l的斜率．21．(12分)设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间及极值；(2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，e x＞x2－2ax＋1.以下两题请任选一题： 选修4－4：坐标系与参数方程22．(10分)将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C . (1)求出C 的普通方程；(2)设直线l ：x ＋2y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．选修4－5：不等式选讲23．(10分)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|. (1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x ；(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小．2019年高考（文科）数学总复习解答题75分钟集训 03时间：75分钟 满分：70分17．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ＝b －32c .(1)求角A 的大小；(2)若B ＝π6，AC ＝4，求BC 边上的中线AM 的长．18．(12分)据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．(1)地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y (万元/平方米)与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程；(2)若政府不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价．19．(12分)如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，∠ADE ＝90°，AF ∥DE ，DE ＝DA ＝2AF ＝2.(1)求证：AC ∥平面BEF ； (2)求四面体BDEF 的体积．20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴一个端点到右焦点F 的距离为2，且过点⎝⎛⎭⎫－1，－32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 为椭圆C 上不同的两点，A ，B 分别为椭圆C 上的左右顶点，直线MN 既不平行于坐标轴，也不过椭圆C 的右焦点F ，若∠AFM ＝∠BFN ，求证：直线MN 过定点．21．(12分)已知函数f (x )＝mxln x ，曲线y ＝f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线与直线2x ＋y ＋2＝0垂直(其中e 为自然对数的底数)．(1)求f (x )的解析式及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)是否存在常数k ，使得对于定义域内的任意x ，f (x )＞kln x ＋2x 恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．以下两题请任选一题： 选修4－4：坐标系与参数方程22．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ 2. (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |.选修4－5：不等式选讲 23．(10分)已知函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )．2019年高考（文科）数学总复习解答题75分钟集训04时间：75分钟满分：70分17．(12分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝2n＋1＋λ(λ∈R)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝1(2n＋1)log4(a n a n＋1)，求数列{b n}的前n项和T n.18．(12分)某校高三特长班的一次月考数学成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的损坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：(1)求分数在[70,80)之间的频数，并计算频率分布直方图中[70,80)间的矩形的高；(2)若要从分数在[50,70)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份在[50,60)之间的概率．19．(12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB与△P AD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点．(1)求证：AE ∥平面PCD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积．20．(12分)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝32，顶点为A 1、A 2、B 1、B 2，且A 1B 1→·A 1B 2→＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线B 2P 交x 轴于点Q ，直线A 1B 2交A 2P 于点E .设A 2P 的斜率为k ，EQ 的斜率为m ，试问2m －k 是否为定值？并说明理由．21．(12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－ax (a 为常数)有两个不同的极值点．(1)求实数a 的取值范围；(2)记f (x )的两个不同的极值点分别为x 1，x 2，若不等式f (x 1)＋f (x 2)＜λ(x 1＋x 2)恒成立，求实数λ的取值范围．以下两题请任选一题选修4－4：坐标系与参数方程22．(10分)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φy ＝3＋3sin φ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知倾斜角为135°且过点P (1,2)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求1|PM |＋1|PN |的值．选修4－5：不等式选讲23．(10分)已知函数f (x )＝|x －1|－|x ＋2|. (1)求不等式－2＜f (x )＜0的解集A ； (2)若m ，n ∈A ，证明：|1－4mn |＞2|m －n |.2019年高考（文科）数学总复习解答题75分钟集训 05时间：75分钟 满分：70分17． (12分)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＋2cos 2x . (1)求f (x )的最大值，并写出使f (x )取最大值时x 的集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f (B ＋C )＝32，b ＋c ＝2.求a 的最小值．18．(12分)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为27. (1)请完成下面的列联表：若按95%的可靠性要求，根据列联表的数据，能否认为“成绩与班级有关系”；(2)10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到10号的概率.19．(12分)已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，△P AB 与△ABC 是等腰三角形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AD ＝22，AC ⊥BA ，点E 是线段AB 上靠近点B 的一个三等分点，点F 、G 分别在线段PD ，P C 上．(1)证明：CD ⊥AG ；(2)若三棱锥E －BCF 的体积为16，求FDPD 的值．20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点M (4,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝x ＋m (m ≠－3)与椭圆C 交于P ，Q 两点，记直线MP ，MQ 的斜率分别为k 1，k 2，试探究k 1＋k 2是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21．(12分)已知f (x )＝e x －ax 2，g (x )是f (x )的导函数． (1)求g (x )的极值；(2)若f (x )≥x ＋(1－x )·e x 在x ≥0时恒成立，求实数a 的取值范围．以下两题请任选一题选修4－4：坐标系与参数方程22．(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝mty ＝3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4，直线l 过曲线C 的左焦点F .(1)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |；选修4－5：不等式证明选讲23．(10分)已知函数f (x )＝9sin 2x ＋4cos 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (x )≥t 恒成立． (1)求实数t 的最大值；(2)当t 取最大时，求不等式⎪⎪⎪⎪x ＋t5＋|2x －1|≤6的解集．答案及解析部分2019年高考（文科）数学总复习解答题75分钟集训 0117．(12分)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为其前n 项和，已知S 3＝7，a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋ln a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q (q ＞1)， 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7a 1(1－6q ＋q 2)＝－7， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝2n －1＋(n －1)ln 2，所以T n ＝(1＋2＋22＋…＋2n －1)＋[0＋1＋2＋…＋(n －1)]ln 2＝1－2n 1－2＋n (n －1)2ln 2＝2n －1＋n (n －1)2ln 2.18．(12分)某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如下图：(1)记事件A 为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35 g 的小龙虾”，求P (A )的估计值；(2)试估计这批小龙虾的平均重量；(3)为适应市场需求，制定促销策略．该经销商又将这批小龙虾分成三个等级，并制定出销售单价，如下表：解：(1)由于40只小龙虾中重量不超过35 g 的小龙虾有6＋10＋12＝28(只)， 所以P (A )＝2840＝710.(2)从统计图中可以估计这批小龙虾的平均重量为140(6×10＋10×20＋12×30＋8×40＋4×50)＝1 14040＝28.5 (g)．(3)设该经销商收购这批小龙虾每千克至多x 元．根据样本，由 (2)知，这40只小龙虾中一等品、二等品、三等品各有16只、12只、12只，约有1 140 g ，所以1 140x ≤16×1.2＋12×1.5＋12×1.8， 而16×1.2＋12×1.5＋12×1.81 140≈51.6，故可以估计该经销商收购这批小龙虾每千克至多51元．19．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.(1)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积． (1)证明：在△ABD 中，由于AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， 所以AD 2＋BD 2＝AB 2.故AD ⊥BD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面P AD ，又BD ⊂平面MBD ，故平面MBD ⊥平面P AD . (2)解：过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ， 由于平面P AD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD .因此PO 为四棱锥P －ABCD 的高， 又△P AD 是边长为4的等边三角形．因此PO ＝32×4＝2 3. 在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，所以四边形ABCD 是梯形，在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD 的面积为S ＝25＋452×855＝24.故V P －ABCD ＝13×24×23＝16 3.20．(12分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解：(1) ∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为433.∴2b 2a ＝433， ∵离心率为33，∴c a ＝33， 解得b ＝2，c ＝1，a ＝ 3. ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1；(2) 直线CD ：y ＝k (x ＋1)，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 由直线与椭圆消去y 得， (2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0， ∴x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，又A (－3，0)，B (3，0)，∴AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2，＝6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2，验证满足题意．21．(12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)2ln(x ＋1)－x . (1) 求函数f (x )的单调区间；(2)设当x ≥0时，f (x )≥ax 2，求实数a 的取值范围． 解：(1) f ′(x )＝2(x ＋1)ln (x ＋1)＋x ，当x ∈(0，＋∞)时，x ＋1＞1，ln (x ＋1)＞0，所以f ′(x )＞0， 当x ∈(－1,0]时，0＜x ＋1≤1，ln (x ＋1)≤0，所以f ′(x )≤0 所以f (x )在区间(－1,0]上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增． (2)设h (x )＝f (x )－ax 2＝(x ＋1)2ln (x ＋1)－x －ax 2(x ≥0)， 则h ′(x )＝2(x ＋1)ln (x ＋1)＋x －2ax ， 设φ(x )＝2(x ＋1)ln (x ＋1)＋x －2ax (x ≥0)， 则φ′(x )＝2ln (x ＋1)＋3－2a .①当3－2a ≥0时，即a ≤32时，对一切x ≥0，φ′(x )≥0所以φ(x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以φ(x )≥φ(0)＝0，即h ′(x )≥0； 所以h (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以h (x )≥h (0)＝0，符合题意； ②当3－2a ＜0时，即a ＞32时，存在x 0＞0，使得φ′(x 0)＝0，当x ∈(0，x 0)时，φ′(x )＜0.所以φ(x )在区间(0，x 0)上单调递减，所以当x ∈(0，x 0)时，φ(x )＜φ(0)＝0， 即h ′(x )＜0，所以h (x )在区间(0，x 0)上单调递减故当x ∈(0，x 0)时，有h (x )＜h (0)＝0，与题意矛盾，舍去． 综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，32. 以下两题请任选一题：选修4－4：坐标系与参数方程选讲22．(10分)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：∵点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，∴x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，∴点P (1,1)． ∵直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32，展开为12ρsin θ－32ρcos θ＝－32， ∴y －3x ＝－3，令y ＝0，则x ＝1，∴直线与x 轴的交点为C (1,0)． ∴圆C 的半径r ＝|PC |＝(1－1)2＋(1－0)2＝1.∴圆C 的方程为：(x －1)2＋y 2＝1，展开为：x 2－2x ＋1＋y 2＝1，化为极坐标方程：ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ.∴圆C 的极坐标方程为：ρ＝2cos θ. 选修4－5：不等式选讲23．(10分)(1)如果关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －2|＜a 的解集不是空集，求参数a 的取值范围；(2)已知正实数a ，b ，且h ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a 2＋b 2，求证：0＜h ≤22.(1)解：∵|x ＋3|＋|x －2|≥|(x ＋3)－(x －2)|＝5，当且仅当－3≤x ≤2时，等号成立，故|x ＋3|＋|x －2|的最小值为5， 如果关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －2|＜a 的解集不是空集，则a ＞5. (2)证明：∵已知正实数a ，b ，且h ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a 2＋b 2，∴0＜h ≤a,0＜h ≤ba 2＋b2，∴0＜h 2≤ab a 2＋b 2≤ab 2ab ＝12，∴0＜h ≤22.2019年高考（文科）数学总复习解答题75分钟集训 0217．(12分)△ABC ，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C .(1)求角C 的大小；(2)若S △ABC ＝23，a ＝4，求c . 解：(1)∵a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，∴a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，由正弦定理得：sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ， ∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0， ∴cos C ＝12，∴C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3，∵S △ABC ＝23，∴12ab ×32＝3b ＝23，解得b ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ×12＝12，∴c ＝2 3.18． (12分)为增强市民的环保意识，某市面向全市增招义务宣传志愿者．从符合条件的志愿者中随机抽取20名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄(岁)分成五组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]．得到的频率分布直方图(局部)如图所示．(1)求第4组的频率，并在图中补画直方图；(2)从20名志愿者中再选出年龄低于30岁的志愿者3名担任主要宣讲人，求这3名主要宣讲人的年龄在同一组的概率．解：(1)∵小矩形的面积等于频率，∴除[35,40)外的频率和为0.70.∴第4组的频率：1－0.70＝0.30，频率组距＝0.03.(2)用分层抽样的方法，则其中“年龄低于30岁”的人有5名，其中第一组有1人，第二组有4人，分别用a 表示第一组的一人，用A ，B ，C ，D 表示第二组的4人，则任选三人总的事件有aAB ，aAC ，aAD ，aBC ，aBD ，aCD ，ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，共10种，其中在同一组的有，ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，共4种，故这3名主要宣讲人的年龄在同一组的概率P ＝25.19．(12分)如图，三棱锥P －ABC 中，P A ＝PC ，底面ABC 为正三角形．(1)证明：AC ⊥PB ；(2)若平面P AC ⊥平面ABC ，AB ＝2，P A ⊥PC ，求三棱锥P －ABC 的体积． (1)证明：如图，取AC 中点O ，连接PO ，BO ， ∵P A ＝PC ，∴PO ⊥AC ，又∵底面ABC 为正三角形，∴BO ⊥AC ， ∵PO ∩OB ＝O ，∴AC ⊥平面POB ，则AC ⊥PB ；(2)解：∵平面P AC ⊥平面ABC ，且平面P AC ∩平面ABC ＝AC ， PO ⊥AC ，∴PO ⊥平面ABC ，又AB ＝2，P A ⊥PC ，可得PO ＝1，且S △ABC ＝12×2×3＝ 3.∴V P －ABC ＝13×3×1＝33.20．(12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，顺次连接椭圆E 的四个顶点得到的四边形的面积为16.(1)求椭圆E 的方程；(2)过椭圆E 的顶点P (0，b )的直线l 交椭圆于另一点M ，交x 轴于点N ，若|PN |、|PM |、|MN |成等比数列，求直线l 的斜率．解：(1)由题意可得：2ab ＝16，① 又由e ＝c a ＝32，c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ，②由①②解的a ＝4，b ＝2，所以椭圆E 的方程为 x 216＋y 24＝1. (2)由题意|PM |2＝|PN |·|MN |，故点N 在PM 的延长线上， 当直线l 的斜率不存在时，|PM |2≠|PN |·|MN |，不合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y ＝kx ＋2，令y ＝0，得x N ＝－2k，将直线l 的方程代入椭圆E 的方程x 216＋y 24＝1，得(4k 2＋1)x 2＋16kx ＝0，因为x p ＝0， 解得x M ＝－16k4k 2＋1，由|PM ||PN |＝|MN ||PM |，得x P －x M x P －x N ＝x M －x N x P －x M， 即16k 4k 2＋12k ＝2k －16k4k 2＋116k 4k 2＋1解得k 2＝180，即k ＝145，直线l 的斜率145＝520.21．(12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间及极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1. (1)解：∵f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，∴f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f 单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )，无极大值． (2)证明：设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a ＞ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x －x 2＋2ax －1＞0，故当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1. 以下两题请任选一题： 选修4－4：坐标系与参数方程22．(10分)将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C . (1)求出C 的普通方程；(2)设直线l ：x ＋2y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(x ，y )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝12y 1，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2cos θy 1＝2sin θ(θ为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，∴x 24＋y 2＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1x ＋2y －2＝0解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，所以P 1(2,0)，P 2(0,1)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，所求直线的斜率k ＝2， 于是所求直线方程为y －12＝2(x －1)，即4x －2y －3＝0.化为极坐标方程得：4ρcos θ－2ρsin θ－3＝0， 即ρ＝34cos θ－2sin θ.选修4－5：不等式选讲23．(10分)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|. (1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x ；(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小． 解：(1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ＜03，0≤x ≤32x －3，x ＞3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜03－2x ≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤33≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32x －3≥x ＋5， 解之得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8，所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[)8，＋∞. (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3，由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n )， 且m ≥3，n ≥3，所以m －2＞0,2－n ＜0，即(m －2)(2－n )＜0， 所以2(m ＋n )＜mn ＋4.2019年高考（文科）数学总复习解答题75分钟集训 0317．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ＝b －32c .(1)求角A 的大小；(2)若B ＝π6，AC ＝4，求BC 边上的中线AM 的长．解：(1)∵a cos C ＝b －32c ， 由正弦定理可得sin A cos C ＝sin B －32sin C ， ∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴cos A sin C ＝32sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝32， ∴A ＝π6，(2)由A ＝B ＝π6，则C ＝2π3，∴BC ＝AC ＝4，AB ＝43，∴BM ＝2，由余弦定理可得AM 2＝BM 2＋AB 2－2BM ·AB cos B ＝4＋48－163×32＝28， ∴AM ＝27.18．(12分)据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．(1)地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y (万元/平方米)与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程；(2)若政府不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价．参考数据：∑i ＝15x i ＝25，∑i ＝15y i ＝5.36，∑i ＝15(x i －x －)(y i －y －)＝0.64；回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －.解：(1)由题意，得出下表：计算x －＝15×∑i ＝15x i ＝5，y －＝15×∑i ＝15y i ＝1.072，∑i ＝15(x i －x －)(y i －y －)＝0.64，∴b ^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2＝0.64(3－5)2＋(4－5)2＋(5－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＝0.064，a ^＝y －－b ^x －＝1.072－0.064×5＝0.752，∴从3月到7月，y 关于x 的回归方程为y ^＝0.064x ＋0.752.(2)利用(1)中回归方程，计算x ＝12时，y ^＝0.064×12＋0.752＝1.52； 即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.52万元/平方米．19．(12分)如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，∠ADE ＝90°，AF ∥DE ，DE ＝DA ＝2AF ＝2.(1)求证：AC ∥平面BEF ； (2)求四面体BDEF 的体积．(1)证明：设AC ∩BD ＝O ，取BE 中点G ，连接FG ，OG ， 所以，OG ∥DE ，且OG ＝12DE .因为AF ∥DE ，DE ＝2AF ， 所以AF ∥OG ，且OG ＝AF ，从而四边形AFGO 是平行四边形，FG ∥OA . 因为FG ⊂平面BEF ，AO ⊄平面BEF ， 所以AO ∥平面BEF ，即AC ∥平面BEF . (2)解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF .因为AF ∥DE ，∠ADE ＝90°，DE ＝DA ＝2AF ＝2 所以△DEF 的面积为S △DEF ＝12×ED ×AD ＝2，所以四面体BDEF 的体积V ＝13·S △DEF ×AB ＝43.20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴一个端点到右焦点F 的距离为2，且过点⎝⎛⎭⎫－1，－32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 为椭圆C 上不同的两点，A ，B 分别为椭圆C 上的左右顶点，直线MN 既不平行于坐标轴，也不过椭圆C 的右焦点F ，若∠AFM ＝∠BFN ，求证：直线MN 过定点．(1)解：由题意可知：短轴一个端点到右焦点F 的距离为2，则a ＝2， 将⎝⎛⎭⎫－1，－32代入椭圆方程可得14＋34b 2＝1，解得b 2＝1，∴椭圆的标准方程x 24＋y 2＝1；(2)证明：由(1)可知：F (3，0)，设直线MN 的方程y ＝k 1x ＋m ，(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋m x 24＋y 2＝1，整理得：(1＋4k 21)x 2＋8k 1mx ＋4m 2－4＝0， x 1＋x 2＝－8k 1m 1＋4k 21，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 21， 由∠AFM ＝∠BFN ，则k FM ＋k FN ＝0，y 1x 1－3＋y 2x 2－3＝0，(k 1x 1＋m )(x 2－3)＋(k 1x 2＋m )(x 1－3)＝0， 整理得：2k 1x 1x 2－(m －3k 1)(x 1＋x 2)－2 3 m ＝0， 则2k 1×4m 2－41＋4k 21－(m －3k 1)⎝⎛⎭⎫－8k 1m 1＋4k 21－2 3 m ＝0， 解得m ＝－433k 1，∴直线MN 的方程为y ＝k 1⎝⎛⎭⎫x －433，则直线MN 过定点⎝⎛⎭⎫433，0.21．(12分)已知函数f (x )＝mxln x ，曲线y ＝f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线与直线2x ＋y ＋2＝0垂直(其中e 为自然对数的底数)．(1)求f (x )的解析式及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)是否存在常数k ，使得对于定义域内的任意x ，f (x )＞kln x ＋2x 恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵f (x )＝mxln x ，∴f ′(x )＝m (ln x －1)ln 2x ，由题意有：f ′(e 2)＝12，即m 4＝12，∴m ＝2∴f (x )＝2xln x ，∴f ′(x )＝2(ln x －1)ln 2x ，由f ′(x )＜0⇒0＜x ＜1或1＜x ＜e ，∴函数f (x )的单调递减区间为(0,1)和(1，e)由f ′(x )＞0⇒x ＞e ，∴函数f (x )的单调增区间为(e ，＋∞)． (2)要f (x )＞kln x ＋2x 恒成立，即2x ln x ＞k ln x ＋2x ⇔k ln x ＜2xln x－2x ①当x ∈(0,1)时，ln x ＜0，则要：k ＞2x －2x ln x 恒成立， 令h (x )＝2x －2x ln x ，则h ′(x )＝2x －ln x －2x， 再令g (x )＝2x －ln x －2，则g ′(x )＝x －1x＜0， 所以g (x )在(0,1)单调递减，∴g (x )＞g (1)＝0，∴h ′(x )＝2x －ln x －2x ＞0，∴h (x )在 (0,1)单调递增，∴h (x )＜h (1)＝2，∴k ≥2②当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＞0，则要k ＜2x －2x ln x 恒成立，由①可知，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x＞0， ∴g (x )在(1，＋∞)单调递增， ∴当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＞g (1)＝0，∴h ′(x )＝2x －ln x －2x ＞0，∴h (x )在(1，＋∞)单调递增，∴h (x )＞h (1)＝2，∴k ≤2综合①，②可知：k ＝2，即存在常数k ＝2满足题意． 以下两题请任选一题： 选修4－4：坐标系与参数方程22．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ 2. (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，…(*) 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)解法一：由(1)知，点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cosπ4y ＝2＋t sin π4(t为参数)，即⎩⎨⎧x ＝22t y ＝2＋22t (t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0.Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1852＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0，所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝185 2.解法二：直线l 的普通方程为y ＝x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2x 2＋9y 2＝9消去y ，得10x 2＋36x ＋27＝0， 于是Δ＝362－4×10×27＝216＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－185＜0，x 1x 2＝2710＞0，所以x 1＜0，x 2＜0，故|P A |＋|PB |＝2|x 1－0|＋2|x 2－0|＝2|x 1＋x 2|＝1825. 选修4－5：不等式选讲23．(10分)已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )． (1)解：不等式f (x )＜|2x ＋1|－1， 即|x ＋1|＜|2x ＋1|－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1－x －1＜－2x －1－1①， 或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤－12x ＋1＜－2x －1－1②，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－12x ＋1＜2x ＋1－1③. 解①求得x ＜－1；解②求得x ∈∅；解③求得x ＞1. 故要求的不等式的解集M ＝{x |x ＜－1或 x ＞1}． (2)证明：设a ，b ∈M ，∴|a ＋1|＞0，|b |－1＞0， 则 f (ab )＝|ab ＋1|，f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|.∴f (ab )－[f (a )－f (－b )]＝f (ab )＋f (－b )－f (a )＝|ab ＋1|＋|1－b |－|a ＋1| ＝|ab ＋1|＋|b －1|－|a ＋1|≥|ab ＋1＋b －1|－|a ＋1|＝|b (a ＋1)|－|a ＋1| ＝|b |·|a ＋1|－|a ＋1|＝|a ＋1|·(|b |－1)＞0， 故f (ab )＞f (a )－f (－b )成立．2019年高考（文科）数学总复习解答题75分钟集训 0417．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝2n ＋1＋λ(λ∈R )．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1(2n ＋1)log 4(a n a n ＋1)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)依题意，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝4＋λ， 故当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1；因为数列{a n }为等比数列，故a 1＝1，故4＋λ2＝1，解得λ＝－2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)依题意，log 4(a n a n ＋1)＝log 4(2n －1·2n )＝12(2n －1)，故b n ＝1(2n ＋1)log 4(a n a n ＋1)＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1，故数列{b n }的前n 项和T n ＝1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n2n ＋1.18．(12分)某校高三特长班的一次月考数学成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的损坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：(1)求分数在[70,80)之间的频数，并计算频率分布直方图中[70,80)间的矩形的高； (2)若要从分数在[50,70)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份在[50,60)之间的概率．解：(1)分数在[50,60)的频率为0.08， 由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频率为2， ∴全班人数为20.08＝25，分数在[70,80)之间的频数为10，∴频率分布直方图中[70,80)间的矩形的高为： 1025×110＝0.04. (2)将[60,70)之间的4个分数编号为1,2,3,4， [50,60)之间的2个分数编号为5,6，在[50,70)之间的试卷中任取两份的基本事件为： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)， (1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)， (3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个，∴至少有一份在[50,60)之间的概率为p ＝915＝35.19．(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 与△P AD 都是边长为2的等边三角形，E 是BC 的中点．(1)求证：AE ∥平面PCD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积．(1)证明：∵∠ABC ＝∠BAD ＝90°，∴AD ∥BC ， ∵BC ＝2AD ，E 是BC 的中点，∴AD ＝CE ， ∴四边形ADCE 是平行四边形，∴AE ∥CD ， 又AE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AE ∥平面PCD .(2)解：连接DE ，BD ，设AE ∩BD ＝O ，则四边形ABED 是正方形， ∴O 为BD 的中点，∵△P AB 与△P AD 都是边长为2的等边三角形， ∴BD ＝22，OB ＝2，OA ＝2，P A ＝PB ＝2， ∴OP ⊥OB ，OP ＝2，∴OP 2＋OA 2＝P A 2，即OP ⊥OA ，又OA ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，OA ∩BD ＝O ，∴OP ⊥平面ABCD . ∴V P －ABCD ＝13S 梯形ABCD ·OP ＝13×12(2＋4)×2×2＝2 2.20．(12分)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝32，顶点为A 1、A 2、B 1、B 2，且A 1B 1→·A 1B 2→＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线B 2P 交x 轴于点Q ，直线A 1B 2交A 2P 于点E .设A 2P 的斜率为k ，EQ 的斜率为m ，试问2m －k 是否为定值？并说明理由．解：(1)由e ＝32，则c a ＝32， 由题意及图可得A 1(－a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )， ∴A 1B 1→＝(a ，－b )，A 1B 2→＝(a ，b ) 又A 1B 1→·A 1B 2→＝3，则a 2－b 2＝3，∴c ＝ 3 ∴a ＝2，b ＝a 2－b 2＝1 ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1；(2)由题意可知A 1(－2,0)，A 2(2,0)，B 1(0，－1)，B 2(0,1)， 由A 2P 的斜率为k ，则直线A 2P 的方程为 y ＝k (x －2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)x 24＋y 2＝1，得 (1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0，其中xA 2＝2，则x P ＝8k 2－21＋4k 2，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－21＋4k 2，－4k 1＋4k 2，则直线B 2P 的方程为y ＝－4k 2－4k －18k 2－2x ＋1＝－2k ＋12(2k －1)x ＋1⎝⎛⎭⎫k ≠－12， 令y ＝0，则x ＝2(2k －1)2k ＋1，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(2k －1)2k ＋1，0 直线A 1B 2的方程为x －2y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0y ＝k (x －2)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ＋22k －1y ＝4k2k －1，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1， 则EQ 的斜率m ＝－4k 2k －12(2k －1)2k ＋1－2(2k ＋1)2k －1＝2k ＋14，∴2m －k ＝2·2k ＋14－k ＝12(定值)，2m －k 为定值12.21．(12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－ax (a 为常数)有两个不同的极值点．(1)求实数a 的取值范围；(2)记f (x )的两个不同的极值点分别为x 1，x 2，若不等式f (x 1)＋f (x 2)＜λ(x 1＋x 2)恒成立，求实数λ的取值范围．(1)解：f ′(x )＝x 2－ax ＋ax (x ＞0)，f (x )有2个不同的极值点，即方程x 2－ax ＋a ＝0有2个不相等的正根，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a 2－4a ＞0，解得：a ＞4； (2)证明：由(1)得x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝a ，a ＞4， ∴f (x 1)＋f (x 2)＝a ln x 1＋x 212－ax 1＋a ln x 2＋x 222－ax 2＝a ln (x 1x 2)＋(x 1＋x 2)22－x 1x 2－a (x 1＋x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫ln a －a2－1， 不等式f (x 1)＋f (x 2)＜λ(x 1＋x 2)恒成立， 即λ＞a ⎝⎛⎭⎫ln a －a2－1a ＝ln a －a2－1恒成立，记h (a )＝ln a －a2－1(a ＞4)，则h ′(a )＝1a －12＜0，则h (a )在(4，＋∞)递减，故h (a )＜h (4)＝ln 4－3， 即λ≥ln 4－3. 以下两题请任选一题选修4－4：坐标系与参数方程22．(10分)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φy ＝3＋3sin φ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知倾斜角为135°且过点P (1,2)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求1|PM |＋1|PN |的值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φy ＝3＋3sin φ(φ为参数)，消去参数得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －3)2＝9，即x 2＋y 2－6y ＝0， 即x 2＋y 2＝6y ，即ρ2＝6ρsin θ，故曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ.(2)设直线l ：⎩⎨⎧x ＝1－22ty ＝2＋22t (t 为参数)，将此参数方程代入x 2＋y 2－6y ＝0中，化简可得t 2－22t －7＝0，显然Δ＞0；设M ，N 所对应的参数分别为t 1，t 2，故⎩⎨⎧t 1＋t 2＝22t 1t 2＝－7，∴1|PM |＋1|PN |＝|PM |＋|PN ||PM |·|PN |＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝67. 选修4－5：不等式选讲23．(10分)已知函数f (x )＝|x －1|－|x ＋2|. (1)求不等式－2＜f (x )＜0的解集A ； (2)若m ，n ∈A ，证明：|1－4mn |＞2|m －n |.(1)解：依题意，f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2－2x －1，－2＜x ＜1－3，x ≥1，由不等式－2＜f (x )＜0，可得－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，故A ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. (2)证明：由(1)可知，m 2＜14，n 2＜14；因为|1－4mn |2－4|m －n |2＝(1－8mn ＋16m 2n 2)－4(m 2－2mn ＋n 2)＝(4m 2－1)(4n 2－1)＞0， 故|1－4mn |2＞4|m －n |2，故|1－4mn |＞2|m －n |.2019年高考（文科）数学总复习解答题75分钟集训 0517． (12分)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＋2cos 2x . (1)求f (x )的最大值，并写出使f (x )取最大值时x 的集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f (B ＋C )＝32，b ＋c ＝2.求a 的最小值．解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＋2cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫cos 2x cos 4π3＋sin 2x sin 4π3＋(1＋cos 2x ) ＝12cos 2x －32sin 2x ＋1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， ∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3最大值为1， ∴f (x )的最大值为2，要使f (x )取最大值，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝2k π(k ∈Z )， 解得：x ＝k π－π6(k ∈Z )，则x 的集合为{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }；(2)由题意，f (B ＋C )＝cos ⎣⎡⎦⎤2(B ＋C )＋π3＋1＝32， 即cos ⎝⎛⎭⎫2π－2A ＋π3＝12， 化简得：cos ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝12， ∵A ∈(0，π)，∴2A －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，5π3， 则有2A －π3＝π3，即A ＝π3，在△ABC 中，b ＋c ＝2，cos A ＝12，由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ＝4－3bc ，由b ＋c ＝2知：bc ≤⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号，∴a 2≥4－3＝1，则a 取最小值1.18．(12分)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为27. (1)请完成下面的列联表：若按95%的可靠性要求，根据列联表的数据，能否认为“成绩与班级有关系”；(2)10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到10号的概率.解：(1)∵全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为27，∴我们可以计算出优秀人数为27×105＝30，得乙班优秀人数 30－10＝20，列联表为：k 2＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.109＞3.841因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(2)设“抽到10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个．事件A 包含的基本事件有(4,6)，(5,5)，(6,4)，共3个，∴P (A )＝336＝112.19．(12分)已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，△P AB 与△ABC 是等腰三角形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AD ＝22，AC ⊥BA ，点E 是线段AB 上靠近点B 的一个三等分点，点F 、G 分别在线段PD ，P C 上．(1)证明：CD ⊥AG ；(2)若三棱锥E －BCF 的体积为16，求FDPD的值．(1)证明：依题意，因为AB ∥CD ，AC ⊥BA ，所以AC ⊥CD . 又因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ， 因为AC ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AC ， 因为AG ⊂平面P AC ，所以CD ⊥AG . (2)解：设点F 到平面ABCD 的距离为d ，则S △BEC ＝12·BE ·BC ·sin ∠EBC ＝12×23×22×22＝23，由V E －BCF ＝V F －BEC ＝13S △BEC d ＝16，得d ＝34，故FD PD ＝d P A ＝38. 20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点M (4,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝x ＋m (m ≠－3)与椭圆C 交于P ，Q 两点，记直线MP ，MQ 的斜率分别为k 1，k 2，试探究k 1＋k 2是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解：(1)依题意，e ＝ca＝1－b 2a 2＝32，则a 2＝4b 2， 由椭圆过点M (4,1)，代入椭圆方程：x 24b 2＋y 2b 2＝1，解得：b 2＝5，a 2＝20，∴椭圆的标准方程：x 220＋y 25＝1.(2)k 1＋k 2为定值0，下面给出证明， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 220＋y 25＝1，整理得：5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0， Δ＝(8m )2－4×5×(4m 2－20)＞0，解得：－5＜m ＜5，且m ≠－3， 则x 1＋x 2＝－8m5，x 1x 2＝4m 2－205，则k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4)，则(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)(x 1－4)， ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)，＝2×4m 2－205＋(m －5)⎝⎛⎭⎫－8m5－8(m －1)＝0， ∴k 1＋k 2＝0， ∴k 1＋k 2为定值0.21．(12分)已知f (x )＝e x －ax 2，g (x )是f (x )的导函数． (1)求g (x )的极值；(2)若f (x )≥x ＋(1－x )·e x 在x ≥0时恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝e x －ax 2，g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax ，g ′(x )＝e x －2a ， 当a ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，g (x )无极值； 当a ＞0时，g ′(x )＝0，即x ＝ln (2a )， 由g ′(x )＞0，得x ＞ln (2a )；由g ′(x )＜0， 得x ＜ln (2a )，所以当x ＝ln (2a )时，有极小值2a －2a ln (2a )．(2)f (x )≥x ＋(1－x )e x ，即e x －ax 2≥x ＋e x －x e x ，即e x －ax －1≥0， 令h (x )＝e x －ax －1，则h ′(x )＝e x －a ，当a ≤1时，由x ≥0知h ′(x )≥0，∴h (x )≥h (0)＝0，原不等式成立， 当a ＞1时，h ′(x )＝0，即x ＝ln a ，h ′(x )＞0， 得x ＞ln a ；h ′(x )＜0，得x ＜ln a ， 所以h (x )在(0，ln a )上单调递减， 又∵h (0)＝0，∴a ＞1不合题意， 综上，a 的取值范围为(－∞，1]． 以下两题请任选一题选修4－4：坐标系与参数方程22．(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝mty ＝3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4，直线l 过曲线C 的左焦点F .(1)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |； (2)设曲线C 的内接矩形的周长为c ，求c 的最大值．解：(1)曲线C ：x 24＋y 2＝1，∴F (－3，0)，曲线C 与直线联立得13t 2－23t －1＝0，。

高三文科数学高考复习试题（附答案）考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高三文科数学高考复习试题，请认真复习!高三文科数学高考复习试题一、选择题：每小题只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内.1.函数y=log2x-2的定义域是( )A.(3，+∞)B.[3，+∞)C.(4，+∞)D.[4，+∞)2.设集合A={(x，y) | }，B={(x，y)|y=2x}，则A∩B的子集的个数是( )A.1B.2C.3D.43.已知全集I=R，若函数f(x)=x2-3x+2，集合M={x|f(x)≤0}，N={x| <0}，则M∩∁IN=( )A.[32，2]B.[32，2)C.(32，2]D.(32，2)4.设f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+x，则当x<0时，f(x)=( )A.-(-12)x-xB.-(12)x+xC.-2x-xD.-2x+x5.下列命题①∀x∈R，x2≥x;②∃x∈R，x2≥x;③4≥3;④“x2≠1”的充要条件是“x≠1或x≠-1”.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.36. 已知下图(1)中的图像对应的函数为，则下图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是( )7.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )A.(1.4,2)B.(1,1.4)C.(1，32)D.(32，2)8.点M(a，b)在函数y=1x的图象上，点N与点M关于y轴对称且在直线x-y+3=0上，则函数f(x)=abx2+(a+b)x-1在区间[-2,2)上( )A.既没有最大值也没有最小值B.最小值为-3，无最大值C.最小值为-3，最大值为9D.最小值为-134，无最大值9.已知函数有零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：将正确答案填在题后横线上.10.若全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x-6=0}，则如图中阴影部分表示的集合为_______ _.11.若lga+lgb=0(a≠1)，则函数f(x)=ax与g(x)=-bx的图象关于________对称.12.设 ,一元二次方程有正数根的充要条件是 = .13.若函数f(x)在定义域R内可导，f(2+x)=f(2-x)，且当x∈(-∞，2)时，(x-2) >0.设a=f(1)，，c=f(4)，则a,b,c的大小为.14、已知。

天天练直线与圆锥曲线的综合一、选择题．已知抛物线＝，直线过点()，且与抛物线交于，两点，＝，则直线的方程是( )．＝＋．＝－．＝－．＝－答案：解析：设(，)，(，)(≠)，代入抛物线方程得＝，＝，两式相减得，(＋)(－)＝(－)，即＝，又＋＝，所以＝，故直线的方程为＝－.．已知直线＝＋与双曲线－＝交于，两点，且＝，则实数的值为( )．±．±或±．±．±答案：解析：由直线与双曲线交于，两点，得≠±.将＝＋代入－＝得(－)－－＝，则Δ＝＋(－)×>，<.设(，)，(，)，则＋＝，＝－，所以＝·＝，解得＝±或±.．(·兰州一模)已知直线＝－－与曲线：＋＝(>)恒有公共点，则的取值范围是( )．[，＋∞) ．(－∞，]．(，＋∞) ．(－∞，)答案：解析：直线＝－－恒过定点(，－)．因为直线＝－－与曲线：＋＝(>)恒有公共点，则曲线表示椭圆，点(，－)在椭圆内或椭圆上，所以＋×(－)≤，所以≥，选.．(·宁波九校联考(二))过双曲线－＝(>)的左顶点作斜率为的直线，若与双曲线的两条渐近线分别交于，，且＝，则该双曲线的离心率为( )答案：解析：由题意可知，左顶点(－)．又直线的斜率为，所以直线的方程为＝＋，若直线与双曲线的渐近线有交点，则≠±.又双曲线的两条渐近线的方程分别为＝－，＝，所以可得＝－，＝.由＝，可得(－)＝－，故×＝－，得＝，故＝＝.．(·太原一模)已知抛物线＝(>)的焦点为，△的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝，则＋＋＝( )．．．．答案：解析：设点(，)，(，)，(，)，，则＋＋＝()，故＋＋＝.∵＝＝＝，同理可知＝，＝，∴＋＋＝＝.．(·福建福州外国语学校适应性考试)已知双曲线：－＝(>，>)的焦距为，抛物线＝＋与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为( )－＝－＝．－＝－＝答案：解析：由题意可得＝，得＋＝，双曲线的渐近线方程为＝±.将渐近线方程和抛物线方程＝＋联立，可得±＋＝，由渐近线和抛物线相切可得Δ＝－××＝，即有＝，又＋＝，解得＝，＝，可得双曲线的方程为－＝.故选.．(·天津红桥区期末)已知双曲线－＝(>，>)的两条渐近线与抛物线＝(>)的准线分别交于，，三点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，△的面积为，则＝( ) ．．．答案：解析：因为双曲线方程为－＝，所以双曲线的渐近线方程是＝±.又抛物线＝(>)的准线方程是＝－，故，两点的纵坐标分别是＝±.因为双曲线的离心率为，所以＝，所以＝，则＝，，两点的纵坐标分别是＝±＝±.又△的面积为，轴是∠的平分线，所以××＝，解得＝.故选.．(·新课标全国卷Ⅰ，)已知为抛物线：＝的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则＋的最小值为( ) ．．．．答案：。