北京人大附中高三数学中档题练习二

人大附中2023届高三再入境摸底练习数学第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上.）1.命题“22,4x x ∀≥≥”的否定为（）A.“22,4x x ∀≤≥”B.“2002,4x x ∃<<”C.“22,4x x ∀≥<”D.“20024x x ∃≥<,”2.若复数z 满足i 2i z =-+，则z 的虚部为（）A.2iB.2C.1D.i3.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若11a =，35a =，64n S =，则n =（）A.6B.7C.8D.94.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若123l l =，则12SS =（）A.5B.6C.7D.85.现有四个函数：()()()()21213453;log ;e e ;log x xf x x f x x f x f x x -===-=.如下图所示是它们在第一象限的部分图像，则对应关系正确的是（）A.①()1f x ，②()3f x ，③()2f x ，④()4f xB.①()1f x ，②()3f x ，③()4f x ，④()2f xC.①()3f x ，②()2f x ，③()4f x ，④()1f xD.①()3f x ，②()1f x ，③()4f x ，④()2f x 6.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.为了得到函数2cos3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A.向左平移3π10个单位长度 B.向右平移3π10个单位长度C.向左平移π10个单位长度 D.向右平移π10个单位长度8.已知双曲线221:18x C y -=的左焦点与抛物线22:C y ax =的焦点F 重合，Q 为抛物线2C 上一动点，定点()5,2A -，则QA QF +的最小值为（）A.5B.3C.4D.89.冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q 呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式0.00250etQ Q -=，其中0Q 是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，e 2.71828= .试估计（）年以后将会有一半的臭氧消失.()ln20.693≈A.267B.277C.287D.29710.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为1BB ，CD 的中点.则下列选项中错误的是（）A.直线//MN 平面11CB D B.三棱锥11A MND -在平面ABCD 上的正投影图的面积为4C.在棱BC 上存在一点E ，使得平面1AEB ⊥平面MNB D.若F 为棱AB 的中点，三棱锥M NFB -的外接球表面积为6π第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）11.已知向量,a b在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则43a b -= __________.12.已知()()565432643210511x x a x a x a x a x a x a x a +-=++++++，则5a 的值为______．13.若过点()2,1-的直线l 和圆222220x y x y +++-=交于,A B 两点，若弦长3AB =，则直线l 的方程为______.14.已知数列{}n a 为等差数列，其公差0d ≠，若数列{}n a 中的部分项组成的数列1k a ，2k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，其中11k =，25k =，317k =，则12n k k k +++= ______.15.设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在1x 、2x D ∈，12x x ≠，使得()()122f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的“保2区间”.（1）给出下面3个命题：①(),-∞+∞是函数31x y =+的“保2区间”；②ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数sin y x =的“保2区间”；③1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数 1.5log y x =的“保2区间”.其中正确命题的序号为______.（2）若[]π,2π是函数()()cos 0f x x ωω=>的“保2区间”，则ω的取值范围为______.三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.设ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且3b =，1c =，2A B =．（1）求a 的值；（2）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，E 为1BB 的中点，122AB CC BC ===.（1）证明：1AC C E ⊥；（2）求二面角1A EC B --的余弦值；（3）求点B 到平面1AEC 的距离.18.根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为i a ，1i =，2，⋯⋯，19，20其中110~a a 是男生，1120~a a 是女生），每位同学都各自独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表：学生科目1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13a 14a 15a 16a 17a 18a 19a 20a 政治111111111历史1111111111地理1111111111物理1111111111111化学111111111生物111111111（1）从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率；（2）从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记X 为“偏文”女生的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）记随机变量0,1,ξ""⎧=⎨""⎩选择科目偏理选择科目偏文，样本中男生的期望为1()E ξ，方差为1()D ξ；女生的期望为2()E ξ，方差为2()D ξ，试比较1()E ξ与2()E ξ；1()D ξ与2()D ξ的大小（只需写出结论）．19.设函数()()2ln f x x ax x a =+-∈R .（1）若1a =，求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)，点()2,1P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()3,0T 且斜率大于0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 和N ，直线PM 、PN 分别交x 轴于A 、B 两点，记PAT 、PBT 的面积分别为1S 、2 S ，求12 S S +的取值范围．21.定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.人大附中2023届高三再入境摸底练习数学第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上.）1.命题“22,4x x ∀≥≥”的否定为（）A.“22,4x x ∀≤≥”B.“2002,4x x ∃<<”C.“22,4x x ∀≥<” D.“20024x x ∃≥<,”【答案】D【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知:22,4x x ∀≥≥的否定为20024x x ∃≥<,故选：D2.若复数z 满足i 2i z =-+，则z 的虚部为（）A.2i B.2C.1D.i【答案】B【分析】根据复数的除法运算求得z ，即得答案.【详解】复数z 满足i 2i z =-+,故22i (2i)i12i i i z -+-+===+，故z 的虚部为2，故选：B3.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若11a =，35a =，64n S =，则n =（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【分析】根据11a =，35a =，求得公差d ，再代入等差数列的前n 项和公式,计算即可.【详解】∵11a =，35a =，∴31512312a a d --===-，∵1(1)(1)26422n n n n n S a n d n ⋅-⋅-=⋅+⋅=+=，解得：8n =.故选：C .4.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若123l l =，则12S S =（）A.5B.6C.7D.8【答案】D【分析】由条件可得3OA OB=，然后根据扇形的面积公式可得答案.【详解】设BOC α∠=，则123OA l l OB αα⋅==⋅，所以3OA OB =，所以2222221222211922812OA OB OA OB OB OB S S OB OB OB ααα⋅-⋅--====⋅，故选：D5.现有四个函数：()()()()21213453;log ;e e ;log x xf x x f x x f x f x x -===-=.如下图所示是它们在第一象限的部分图像，则对应关系正确的是（）A.①()1f x ，②()3f x ，③()2f x ，④()4f xB.①()1f x ，②()3f x ，③()4f x ，④()2f xC.①()3f x ，②()2f x ，③()4f x ，④()1f xD.①()3f x ，②()1f x ，③()4f x ，④()2f x 【答案】D【分析】根据函数恒过定点及其函数的单调性与奇偶性逐一进行判断即可【详解】已知()21f x x =，其为偶函数，所以关于y 轴对称，所以满足条件的为②图像；已知()3e e x x f x -=-，由于()()33e e x x f x f x --=-=-，所以()3f x 为奇函数，故其关于原点对称，因为e x y =是R 上的增函数，e x y -=是R 上的减函数，所以()3f x 是R 上的增函数，所以满足条件的为①图像；()45log f x x =过点()1,0，且在定义域内单调递增，所以满足条件的为③图像；()213log f x x=过点()1,0，且在定义域内单调递减，所以满足条件的为④图像；综上所述①()3f x ，②()1f x ，③()4f x ，④()2f x .故选：D6.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.7.为了得到函数2cos3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A.向左平移3π10个单位长度 B.向右平移3π10个单位长度C.向左平移π10个单位长度 D.向右平移π10个单位长度【答案】C【分析】通过诱导公式得ππ2sin 3105y x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，根据平移规律即可得结果.【详解】因为ππ3πππ2cos32sin 32sin 32sin 32510105y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向左平移π10个单位长度即可得到函数2cos3y x =的图象，故选：C.8.已知双曲线221:18x C y -=的左焦点与抛物线22:C y ax =的焦点F 重合，Q 为抛物线2C 上一动点，定点()5,2A -，则QA QF +的最小值为（）A.5B.3C.4D.8【答案】D【分析】求出点F 的坐标，可得出抛物线2C 的方程，写出抛物线2C 的准线l 的方程，过点Q 作QB l ⊥，垂足为点B ，由抛物线的定义可得QF QB =，可得出QA QF QA QB +=+，利用图形可知当AB l ⊥时，QA QF+取最小值.【详解】对于双曲线1C ，a =1b =，则3c ==，故点()3,0F -，所以，抛物线2C 的方程为212y x =-，抛物线2C 的准线为:3l x =，如下图所示：过点Q 作QB l ⊥，垂足为点B ，由抛物线的定义可得QF QB =，所以，QA QF QA QB +=+，当且仅当AB l ⊥时，QA QB +取最小值为358+=.故选：D.9.冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q 呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式0.00250etQ Q -=，其中0Q 是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，e 2.71828= .试估计（）年以后将会有一半的臭氧消失.()ln20.693≈A.267 B.277C.287D.297【答案】B 【分析】由0.0025001e2tQ Q -=可得，0.00251e 2t -=，求解整理可得ln 20.0025t =，代入数值，即可解出.【详解】令012Q Q =可得，0.0025001e 2t Q Q -=，即0.00251e 2t -=，则有10.0025lnln 22t -==-，解得ln 20.693277.20.00250.0025t =≈=.所以，估计277年以后将会有一半的臭氧消失.故选：B.10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为1BB ，CD 的中点.则下列选项中错误的是（）A.直线//MN 平面11CB D B.三棱锥11A MND -在平面ABCD 上的正投影图的面积为4C.在棱BC 上存在一点E ，使得平面1AEB ⊥平面MNB D.若F 为棱AB 的中点，三棱锥M NFB -的外接球表面积为6π【答案】B【分析】连接1DC ，交1D C 于点O ，连接1B O 、ON ，即可证明四边形1ONMB 为平行四边形，所以1//OB MN ，即可证明A ；连接BN ，则四边形ABND 为三棱锥11A MND -在平面ABCD 上的正投影，求出四边形ABND 的面积，即可判断B ；取BC 中点E ，连接AE ，1EB ，1AB ，可证⊥AE 平面MNB ，可判断C ；若F 为棱AB 的中点，MN 为三棱锥M NFB -的外接球的直径，求出表面积，可判断D ．【详解】解：对于A ：连接1DC ，交1D C 于点O ，连接1B O 、ON ，显然O 为1DC 的中点，又M ，N 分别为1BB ，CD 的中点所以1//ON CC 且11=2ON CC ，11//B M CC 且1112B M CC =，所以1//ON B M 且1ON B M =，所以四边形1ONMB 为平行四边形，所以1//OB MN ，又MN ⊄平面11CB D ，1OB ⊂平面11CB D ，所以//MN 平面11CB D ，故A 正确；对于B ：如图，连接BN ，则四边形ABND 为三棱锥11A MND -在平面ABCD 上的正投影，因为()112232ABND S =+⨯=，故B 错误；对于C ：取BC 中点E ，连接AE ，1EB ，1AB ，显然ABE BCN ≌，所以AEB BNC ∠=∠，又90NBC BNC ∠+∠=︒，所以90NBC AEB ∠+∠=︒所以AE BN ⊥，由正方体1111ABCD A B C D -，可得1BB ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，1BB AE ∴⊥，又1BB ，BN ⊂平面MNB ，1BB BN B = ，AE ∴⊥平面MNB ，又AE ⊂平面1AEB ，∴平面1AEB ⊥平面MNB ，故C 正确；对于D ：若F 为棱AB 的中点，MN ==2FN =，FM ==，所以222MN FN FM =+，即90MFN ∠=︒即FMN ，MNB 均为直角三角形，且MN 是公共斜边，由直角三角形的性质，可知MN 为三棱锥M NFB -的外接球的直径，故外接球的半径为116222R MN ==⨯，所以三棱锥M NFB -的外接球表面积24π6πS R ==，故D 正确.故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）11.已知向量,a b在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则43a b -= __________.【答案】10【分析】由图知||1,||2,,45a b a b ==<>=︒ ，应用向量数量积的运算律求得24310a b -= ，即可得结果.【详解】由图知：||1,||2,,45a b a b ==<>=︒ ，则12cos 451a b ⋅=︒=，又222431624916241810a b b b a a ⋅-=-=-++= ，则4310a b -= .1012.已知()()565432643210511x x a x a x a x a x a x a x a +-=++++++，则5a 的值为______．【答案】4-【分析】利用二项式展开式的通项进行求解即可.【详解】()51x -的展开式通项为515C (1)r rr r T x-+=-，所以115551C (1)1C (1)514a =⨯⨯-+⨯⨯-=-+=-，故答案为：4-13.若过点()2,1-的直线l 和圆222220x y x y +++-=交于,A B 两点，若弦长3AB =，则直线l 的方程为______.【答案】3420x y ++=或2x =-【分析】根据题意结合垂径定理求得1d =，再利用点到直线的距离公式运算求解，注意讨论直线的斜率是否存在.【详解】由题意可知：圆222220x y x y +++-=的圆心()1,1C --，半径2r =，设圆心()1,1C --到直线l 的距离为d ，若弦长23AB =22222423AB r d d =-=-=1d =，当直线l 的斜率不存在时，即直线l 为2x =-，故圆心()1,1C --到直线l 的距离为1d =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设为k ，则直线l 为()12y k x -=+，即120kx y k -++=，故圆心()1,1C --到直线l 的距离为()2221122111k k k d k k -++++===++-，解得34k =-此时直线l 为3420x y ++=；综上所述：直线l 为3420x y ++=或2x =-.故答案为：3420x y ++=或2x =-.14.已知数列{}n a 为等差数列，其公差0d ≠，若数列{}n a 中的部分项组成的数列1k a ，2k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，其中11k =，25k =，317k =，则12n k k k +++= ______.【答案】31n n --【分析】根据等比中项的性质化简可得12a d =，进而求得12,...n k k k a a a 的公比，再根据等差数列与等比数列的通项公式列等式化简求解即可得出n k 表达式，然后根据分组求和即可得出结果.【详解】由题意有2132k k k a a a =，即25117a a a =，所以2111(4)(16)a d a a d +=+，由0d ≠化简可得12a d =，所以5146a a d d =+=，所以等比数列的公比2151632k k a a dq a a d====，由于n k a 是等差数列{}n a 的第n k 项，且是等比数列的第n 项，故()111111n n n k n k a a k d a q a q--=+-==，所以111(1)1231n n n a q k d---=+=⋅-．所以1121112231231231n n k k k ---+++=⋅-+⋅-++⋅- ()()11113213323113nn nn n n -⨯-=⨯+++-=⨯-=--- .故答案为：31n n --.15.设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在1x 、2x D ∈，12x x ≠，使得()()122f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的“保2区间”.（1）给出下面3个命题：①(),-∞+∞是函数31x y =+的“保2区间”；②ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数sin y x =的“保2区间”；③1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数 1.5log y x =的“保2区间”.其中正确命题的序号为______.（2）若[]π,2π是函数()()cos 0f x x ωω=>的“保2区间”，则ω的取值范围为______.【答案】①.③②.{}[)23,⋃+∞【分析】（1）利用“保2区间”的定义判断①②③，可得出结果；（2）根据定义和余弦函数的性质可知存在1k 、2k ∈Z 使得11222π2πx k x k ωω=⎧⎨=⎩，分4ω≥、04ω<<两种情况讨论，可得出关于ω的不等式（组），综合可得出正实数ω的取值范围.【详解】（1）对于①，对任意的x ∈R ，310x y =+>，对任意的1x 、2x ∈R ，则121231312xxy y +=+++>，①错；对于②，当,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]sin 1,1y x =∈-，不妨设1x 、2ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12x x <，即12ππ22x x -≤<≤，所以，121sin sin 1x x -≤<≤，则1212sin sin 2y y x x +=+<，②错；对于③，假设存在1x 、21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且12x x ≠，使得()12 1.51 1.52 1.512log log log 2y y x x x x +=+==，可得1294x x =，可取198x =，22x =满足条件，③对；（2）当π2πx ≤≤且0ω>，则π2πx ωωω≤≤，若存在1x 、[]2π,2πx ∈且12x x ≠使得()()122f x f x +=，则12cos cos 1x x ωω==，所以，存在1k 、2k ∈Z 使得11222π2πx k x k ωω=⎧⎨=⎩，不妨设12x x <，即12π2πx x ≤<≤，因为0ω>，所以，12π2πx x ωωωω≤<≤，所以，12222k k ωω≤<≤，即在区间[],2ωω上存在两个不同的整数.①当24ωω-≥时，即当4ω≥时，区间[],2ωω上必存在两个相邻的整数，合乎题意；②当04ω<<时，028ω<<，而12k 、22k 为偶数，则12k 、{}222,4,6k ∈，当122224k k =⎧⎨=⎩时，则022404ωωω<≤⎧⎪≥⎨⎪<<⎩，解得2ω=，当122426k k =⎧⎨=⎩时，则042604ωωω<≤⎧⎪≥⎨⎪<<⎩，解得34ω≤<.综上所述，实数ω的取值范围是{}[)23,⋃+∞.故答案为：（1）③；（2）{}[)23,⋃+∞.【点睛】关键点点睛：本题第（2）问根据新定义求ω的取值范围，在讨论04ω<<时，要确定12k 、22k 的取值，进而可得出关于ω的不等式组，进而求解.三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.设ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且3b =，1c =，2A B =．（1）求a 的值；（2）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（1）a =（2）87218+-【分析】(1)根据已知条件2A B =，转化为sin sin 22sin cos A B B B ==，再结合正弦定理与余弦定理求边a.(2)用第一问计算得结果，求得sin 2,cos 2A A ，正弦的和角公式展开代入即可.【小问1详解】由2A B =，得sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理得2cos a b B =，又222219cos 22a c b a B ac a +-+-==，则21926a aa +-=，解得212a =，即a =.【小问2详解】(222222311cos 22313b c a A bc +-+-===-⨯⨯，由()0,A π∈，则22sin 3=A ，则sin 22sin cos 9A A A ==-，27cos22cos 19A A =-=-，78sin 2(sin 2cos 2)4229918A A A π⎛⎫+⎛⎫+=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，E 为1BB 的中点，122AB CC BC ===.（1）证明：1AC C E ⊥；（2）求二面角1A EC B --的余弦值；（3）求点B 到平面1AEC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）105（3）10【分析】（1）根据面面垂直的性质可得AC ⊥平面11BCC B ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点C 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（3）利用向量法求解即可.【小问1详解】因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，又平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B CC =，AC ⊂平面11ACC A ，所以AC ⊥平面11BCC B ，又1C E ⊂平面11BCC B ，所以1AC C E ⊥；【小问2详解】因为AC ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以ACBC ⊥，如图，以点C 为原点建立空间直角坐标系，因为122AB CC BC ===，所以AC =，则)()()()()1,0,1,0,0,0,0,0,0,2,0,1,1AB C C E ，因为AC ⊥平面11BCC B ，所以)CA = 即为平面11BCC B的一个法向量，)()112,0,1,1C A C E =-=-，设平面1AEC 的法向量为(),,n x y z =，则有11200n C A z n C E y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令2x =，则z y ==所以(n =，则cos ,5n CA ==，由图可知二面角1A EC B --为锐二面角，所以二面角1A EC B --的余弦值为105；【小问3详解】()AB =，则1cos ,2n AB n AB n AB ⋅==，所以点B 到平面1AEC的距离为cos ,10n AB AB n AB AB n AB⋅⋅=⋅=.18.根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为i a ，1i =，2，⋯⋯，19，20其中110~a a 是男生，1120~a a 是女生），每位同学都各自独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表：学生科目1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13a 14a 15a 16a 17a 18a 19a 20a 政治111111111历史1111111111地理1111111111物理1111111111111化学111111111生111111111物（1）从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率；（2）从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记X 为“偏文”女生的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）记随机变量0,1,ξ""⎧=⎨""⎩选择科目偏理选择科目偏文，样本中男生的期望为1()E ξ，方差为1()D ξ；女生的期望为2()E ξ，方差为2()D ξ，试比较1()E ξ与2()E ξ；1()D ξ与2()D ξ的大小（只需写出结论）．【答案】（1）3376（2）分布列见解析，3()5E X =（3）12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ<【分析】（1）根据表格计算出20人中偏理的人数，再利用古典概型的概率公式求解即可．（2）由表格可知取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为310，X 的所有可能取值为0，1，2，结合二项分布的概率公式求出相应的概率，得到X 的分布列，进而求出()E X 即可．（3）由男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，可知12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ<．【小问1详解】由表格可知，男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，则偏理共有11人，偏文共有9人，设恰有2名同学选择科目是“偏理”为事件A ，则P （A ）21119320C C 55933C 2019376⨯===⨯⨯．【小问2详解】由表格可知，抽取的20人中，偏文女生有6人，所以抽取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为632010=，则X 0=，1，2，2349(0)(1)10100P X ==-=，()123342211C 1101010050P X ⎛⎫==⨯⨯-== ⎪⎝⎭，239(2)(10100P X ===，所以X 的分布列为：X012P4910021509100492193()012100501005E X ∴=⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，则12()=30.3=0.9()=60.6=3.6E E ξξ⨯⨯，，12()=30.30.7=0.63()=60.60.4=1.44D D ξξ⨯⨯⨯⨯，，故12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ<．19.设函数()()2ln f x x ax x a =+-∈R .（1）若1a =，求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.【答案】（1）单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）1a ≤-（3）证明见解析，切点的横坐标为1【分析】（1）求出()f x '，由()0f x '<可得函数的减区间，由()0f x ¢>可得函数的增区间；（2）转化成()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立求解，即12a x x≤-对任意(]0,1x ∈恒成立，求出12x x -的最小值即可；（3）设出切点，结合导数的几何意义求出过切点的切线方程，利用切线过原点可求得切点坐标，即可得出结论．【小问1详解】1a =时，()2ln (0)f x x x x x =+->，∴()()()211121(0)x x f x x x x x-++-'==>，∵当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 为单调减函数．当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x ¢>，()f x 为单调增函数．∴()f x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；【小问2详解】∵()12fx x a x'=+-，()f x 在区间(]0,1上是减函数，∴()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，即120x a x+-≤对任意(]0,1x ∈恒成立，令()12g x x x=-，则()min a g x ≤，因为函数1,2y y x x==-在(]0,1上都是减函数，所以函数()g x 在(]0,1上单调递减，∴()()min 11g x g ==-，∴1a ≤-；【小问3详解】设切点为()()(),0M t f t t >，由题意得()12fx x a x'=+-，∴()12f t t a t'=+-,∴曲线在点切线方程为()()()y f t f t x t '-=-，即()()21ln 2y t at t t a x t t ⎛⎫-+-=+-- ⎪⎝⎭．又切线过原点，∴()210ln 20t at t t a t t ⎛⎫--+=+-- ⎪⎝⎭，整理得2ln 10t t +-=，设()()2ln 10t t t t ϕ=+->，则()()1200t t t tϕ'=+>>恒成立，()t ϕ在()0,∞+上单调递增，又()10ϕ=，∴()t ϕ在()0,∞+上只有一个零点，即1t =，∴切点的横坐标为1，∴切线有且仅有一条，且切点的横坐标为1.【点睛】方法点睛：对于导数的几何意义，要注意“曲线在点P 处的切线”和“曲线过点P 的切线”两种说法的区别.（1）“曲线在点P 处的切线”表示点P 为切点，且点P 在曲线上，过点P 的切线只有一条；（2）“曲线过点P 的切线”表示点P 不一定在曲线上，即使点P 在曲线上时也不一定为切点，此时过点P 的切线不一定只有一条．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)，点()2,1P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()3,0T 且斜率大于0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 和N ，直线PM 、PN 分别交x 轴于A 、B 两点，记PAT 、PBT 的面积分别为1S 、2 S ，求12 S S +的取值范围．【答案】（1）22163x y +=；（2）()1,3.【分析】（1）利用点在椭圆上，右焦点为)，得关于,a b 的方程，解出,a b 即可；（2）联立方程组，0∆>得1t >，将面积之和表示为关于t 的式子，表示出直线PM 、PN ，求出点A 、B 的坐标，得到112311A x TA x y -=-=+-，222311B x TB x y -=-=+-，即可表示出PAT 、PBT 的面积，再求面积中12122211x x y y --+--的范围，结合韦达定理()224(1)24441655t t t t t +-=->+++，利用反比例函数得出范围.【详解】（1）由题意知：223b a +=.将点P 代入得：22411a b +=.22223411b a ab ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，得2263a b ⎧=∴⎨=⎩故椭圆的方程为：22163x y +=；（2）如图所示：由题意知直线TM 的斜率大于0，所以可设直线方程为3x ty =+，设()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立：22326x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()222630t y ty +++=0∆>，即()22361220t t -+>，21t >，由于斜率大于0，1t ∴>12262t y y t -+=+，12232y y t =+直线PM 的斜率：1112y x --，PM 的方程：()111122y y x x --=--，令0y =，则11221A x x y -=+-直线PN 的斜率：2212y x --，PN 的方程：()221122y y x x --=--，令0y =，则22221B x x y -=+-112311A x TA x y -=-=+-，222311B x TB x y -=-=+-，()12112S S TA TB +=⨯⨯+12121222211x x y y ⎫⎛--=++⎪ --⎝⎭现求12122211x x y y --+--的取值范围：12122211x x y y --+--122112(2)(1)(2)(1)(1)(1)x y x y y y --+--=--将x 用y 表示代入：原式()()()121212122121ty y t y y y y y y +-+-=-++由韦达定理得：原式()2244165t t t t -=>++原式()224(1)24441655t t t t t +=-=->+++，所以12123(1)5S S t t +=->+，函数为递增，()121,3S S +∈.【点睛】表示出面积以后，将式子转化为关于t 的形式，利用1t >以及反比例函数的知识求范围.依题意逐步求解，特别注意计算准确性.21.定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.【答案】（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；{1，3}，{1，3，5}，{}|21,x x n n N *=-∈【分析】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，即可得出P 是“减0集”，同理可得P 不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，分当2x y xy +=-和2x y xy +≠-时，对x ，y 分类讨论即可举出反例，进而证明命题．（3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈．因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得所有的A ．【详解】（1）*P N ⊆ ，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，P ∴是“减0集”同理，*P N ⊆ ，{1}P ≠，112P +=∈，111P ⨯-∉，P ∴不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=，则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6，但是33A +∈，332A ⨯-∉，与A 是“减2集”，矛盾，当2x y xy +≠-时，则1x y xy +=-或()2x y xy m m +=->，若1x y xy +=-，M 为除1以外的最小元素，则1x M =-，1y =时，23xy M -=-小于M ，若要符合题意则4M =，此时取2,2x y ==时，22xy -=不属于A ，故不符合题意；m>2时，(1)(1)1x y m --=+，同样得出矛盾，综上所述，故不存在“减2集”.（3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．①假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈．因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得：{1A =，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈，所以满足条件A 的集合：{1，3}，{1，3，5}，{}|21,x x n n N *=-∈【点睛】本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题。

2019-2020学年北京市人大附中高三（下）统练数学试卷（二）（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.已知，则A. B. C. D.3.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. B. C. D.4.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A. B. C. 3 D. 25.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为A. B. C. D.6.记为等差数列的前n项和．已知，，则A. B. C. D.7.如图，点N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面平面ABCD，M是线段ED的中点，则A. ，且直线BM，EN是相交直线B. ，且直线BM，EN是相交直线C. ，且直线BM，EN是异面直线D. ，且直线BM，EN是异面直线8.关于函数有下述四个结论：是偶函数在区间单调递增在有4个零点的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.9.已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于A，B两点若，，则C的方程为A. B. C. D.10.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.i是虚数单位，则的值为______．12.的展开式中的常数项为______．13.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为14.已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，所得图象对应的函数为若的最小正周期为，且，则______．15.对于某种类型的口服药，口服t小时后，由消化系统进入血液中药物浓度单位与时间t小时的关系为，其中，为常数，对于某一种药物，，．口服药物后______小时血液中药物浓度最高．这种药物服药小时后血液中药物浓度如表n12345678一个病人．上午8：00第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在个单位以上，第三次服药时间是______时间以整点为准．三、解答题（本大题共3小题，共35.0分）16.在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且．求角A的大小；若为锐角，，，求b，c的值．17.已知函数Ⅰ若，求函数的极值和单调区间；Ⅱ若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数a的取值范围．18.已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上．求C的方程；设直线l不经过点且与C相交于A、B两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题．利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．【解答】解：，，．故选C．2.答案：B解析：【分析】本题考查了指数函数和对数函数的单调性运用，属基础题．由指数函数和对数函数的单调性易得，，，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：，，，，，故选B．3.答案：A解析：【分析】本题主要考查概率的求法，考查古典概型、组合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，则该重卦恰有3个阳爻的概率．故选A．4.答案：B解析：【分析】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力，属于中档题．判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：．故选B．5.答案：B解析：【分析】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．由，可得，进一步得到，然后求出夹角即可．【解答】解：，，，，，故选B．6.答案：A解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．根据题意，设等差数列的公差为d，则有，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．【解答】解：设等差数列的公差为d，由，，得，，，，故选：A．7.答案：B解析：【分析】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．推导出BM是中DE边上的中线，EN是中BD边上的中线，从而直线BM，EN是相交直线，设，通过计算得到．【解答】解：连接BD，点N为正方形ABCD的中心，则N为BD中点，又M是线段ED的中点，平面BDE，平面BDE，是中DE边上的中线，EN是中BD边上的中线，直线BM，EN是相交直线，取CD中点F，连接EF，BF，FN，则，平面平面ABCD，平面平面，EF在平面ECD内，平面ABCD，又BF、FN在平面ABCD内，，，设，则，，，，则，，，，，故选B．8.答案：C解析：【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．根据绝对值的应用，结合三角函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：，且的定义域为R，则函数是偶函数，故正确；当时，，，则为减函数，故错误；当时，，由，得，即或，由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在有3个零点，故错误；当，时，取得最大值2，故正确，故正确是，故选C．9.答案：B解析：【分析】本题考查了椭圆的定义以及方程、余弦定理，属中档题．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得，，可得椭圆的方程．【解答】解：，，又，，又，，，，则，所以A为椭圆短轴端点，在中，，在中，由余弦定理可得，根据，可得，解得，，．所以椭圆C的方程为：，故选B．10.答案：D解析：【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，是中档题．设，，，根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直，即可求外接球O的体积．【解答】解：设，，，因为E，F分别是PA，AB的中点，所以，，在中，，在中，，整理得，因为是边长为2的正三角形，所以，又，则，，由得，所以，所以，即，同理可得，，则PA、PB、PC两两垂直，则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为，所以球O的体积为．故选D．11.答案：解析：【分析】本题主要考查复数的模及复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题．利用复数四则运算先化简，再求模长．【解答】解：由题意，可知：，．故答案为．12.答案：28解析：【分析】本题主要考查二项式的展开式，通过通项中x的指数为0可算出常数项．本题属基础题．根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x的指数为0即可得到r的值，代入r的值即可算出常数项．【解答】解：由题意可知：此二项式的展开式的通项为：．当，即时，为常数项．此时．故答案为28．13.答案：2解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质，是中档题．由题意画出图形，结合已知可得，可得一条渐近线方程的倾斜角为，从而可得，进而求出离心率．【解答】解：如图，，且，，，则，则，所以一条渐近线的斜率为，所以，故答案为：2．14.答案：解析：解：函数是奇函数，所以，由于，所以．将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，所得图象对应的函数为．由于的最小正周期为，所以．故，由于，所以．则，则．故答案为：直接利用正弦型函数的性质和图象的平移变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.答案：ln2 15：00解析：解：当，，时，，则令，得，且当时，y单调递增；当时，，y单调递减，故当时，y最大即当服药后ln2小时血液中药物浓度最高；由表格可知，若第一次服药时间在上午8：00，则第二次服药时间在11：00，且第一次服药7小时候残留为，第二次服药后4小时残留为，则故第三次服药时间应为15：00，故答案为：ln2；15：00．根据条件得到，利用导数可求得其最值；根据表格中数据可得到第二次应在11：00服药，且第一次服药后7小时的残留与第二次服药后4小时的残留之后大于0，5，故可得第三次服药时间在第二次服药时间4小时之后本题考查函数模型的求解，待定系数法的应用，考查利用导数求函数最值，属于中档题．16.答案：解：，由正弦定理可得，且，，或；为锐角，可得，，可得：，又，，，联立，解得，或．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题．由正弦定理化简已知等式可得，进而可求sin A，可得A的值．由及已知可求，利用余弦定理可求得，利用三角形面积公式可求得，进而联立解得b，c的值．17.答案：解：因为，分当，，令，得，分又的定义域为，，随x的变化情况如下表：x1极小值所以时，的极小值为分的单调递增区间为，单调递减区间为；分因为，且，令，得到，若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可．分当时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，由，得，即分当时，若，则对成立，所以在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立分若，即时，则有x极小值所以在区间上的最小值为，由，得，解得，即舍去；当，即，即有在递增，可得取得最小值，且为1，，不成立．综上，由可知符合题意．分解析：Ⅰ求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数的导数和驻点，然后列表讨论，求函数的单调区间和极值；若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区间上的最小值，先求出导函数，然后讨论研究函数在上的单调性，将的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的计算能力．18.答案：解：根据椭圆的对称性，得到，，三点在椭圆C上．把，代入椭圆C，得，得出，，由此椭圆C的方程为．证明：当斜率不存在时，设l：，，，直线与直线的斜率的和为，解得，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．当斜率存在时，设l：，，，，联立，整理，得，直线与直线的斜率的和为，代入得：又，，此时，存在k，使得成立，直线l的方程为，当时，，过定点．解析：根据椭圆的对称性，得到，，三点在椭圆C上．把，代入椭圆C，求出，，由此能求出椭圆C的方程．当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：，，与椭圆方程联立，得，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点．本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．。

北京市人大附中高三数学中档题练习二 1．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下发芽成功的概率为21于是该学习团队分两个小组进行验证性实验. （Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；
（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次。

求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和数学期望.
2．在三棱锥M —ABC 中，CM ⊥平面ABC ，MA=MB ，NA=NB=NC.
（Ⅰ）求证：AM ⊥BC ；
（Ⅱ）若∠AMB=30°，求二面角M —AB —C 的余弦值.
3．已知向量]2
,2[),1,1(),2sin ,2(cos ),23sin ,23
(cos ππ−∈−=−==x c x x b x x a 其中 （Ⅰ）求证：)()(b a b a −⊥+；
（Ⅱ）设函数3|)(|3|(|)(22−+−+=c b c a x f )，求)(x f 的最大值和最小值 。

4．已知)(323
2)(23R a x ax x x f ∈−−=. （Ⅰ）若)(x f 在区间（－1，1）上为减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）试讨论y=)(x f 在（－1，1）内的极值点的个数.。

北京市人大附中高三数学中档练习题（一）至（五）参考答案练习题一1．解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有(7 - x )人，那么只会一项的人数是(7 - 2x )人．(I)∵7(0)(1)1(0)10P P P ξξξ>=≥=-==，∴3(0)10P ξ==． 即27227310xx C C --=．∴(72)(62)3(7)(6)10x x x x --=--．∴x = 2。

故文娱队共有5人． (II) ξ112325C C 3(1)C 5P ξ⋅===，2225C 1(2)C 10P ξ===，∴33101210510E ξ=⨯+⨯+⨯=45．2．解：(I) 由题设2a 3 = a 1 + a 2，即2a 1q 2 = a 1 + a 1q ，∵a 1 ≠ 0，∴2q 2- q - 1 = 0，∴q = 1，或q = -12．(II) 若q = 1，则2(1)32122n n n n nS n -+=+⋅=， 当n ≥ 2时，1(1)(2)02n n n n n S b S --+-==>，故S n > b n ．若q = -12，则2(1)192()224n n n n nS n --+=+-=， 当n ≥ 2时，1(1)(10)4n n n n n S b S ----==-，故对于n ∈ N *，当2 ≤ n ≤ 9时，S n > b n ；当n = 10时，S n = b n ；当n ≥ 11时，S n < b n ．3．解：(I) ∵f (x ) = mx 3 + nx 2，∴f '(x ) = 3mx 2+ 2nx ，由已知条件得：f '(2) = 0，∴3m + n = 0，即n = - 3m ． (II) ∵n = - 3m ，∴f (x ) = mx 3 - 3mx 2， ∴f '(x ) = 3mx 3- 6mx ，令f '(x ) > 0得3mx 3- 6mx > 0，当m > 0时，x < 0或 x > 2， ∴函数f (x )的单调递增区间为(- ∞，0)，(2，+ ∞)； 当m < 0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2)，综上：当m > 0时，函数f (x )的单调递增区间为(- ∞，0)，(2，+ ∞)； 当m < 0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2)．(III) 由(I)得：f (x ) = mx 3 - 3mx 2，f '(x ) = 3mx 3- 6mx ，l ：32211111(3)(36)()y mx mx mx mx x x --=--，令y = 0，由m ≠ 0，x 1 > 2，得21121233(2)x x x x -=-，2221111211123212182(3)333(2)3(2)3(2)x x x x x x x x x --+--=-==---， ∵x 1 > 2，(x 1 - 3 )2≥ 0，∴x 2 - 3 ≥ 0，即：x 2 ≥ 3．4．解：(I) ∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱，∴CC 1⊥底面ABC ， ∴CC 1⊥BC ，∵AC ⊥CB ， ∴BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴BC 长度即为B 点到平面A 1C 1CA 的距离，∵BC = 2， ∴点B 到平面A 1C 1CA 的距离为2．(II) 分别延长AC ，A 1D 交于G ，过C 作CM ⊥A 1G 于M ，连结BM ， ∵BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴CM 为BM 在平面A 1C 1CA 的内射影， ∴BM ⊥A 1G ， ∴∠GMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角， 平面A 1C 1CA 中，C 1C = CA = 2，D 为C 1C 的中点，∴CG = 2，DC = 1，在直角三角形CDG中，CMtan GMB即二面角B —A 1D —A 的大小为5arctan ．(III) 在线段AC 上存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ， 其位置为AC 中点，证明如下：∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱， ∴B 1C 1//BC ， ∵由(I)，BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ，∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ， ∵F 为AC 中点，∴C 1F ⊥A 1D ， ∴EF ⊥A 1D ，同理可证EF ⊥BD ，∴EF ⊥平面A 1BD ，∵E 为定点，平面A 1BD 为定平面，∴ 点F 唯一．练习题二1．解：（Ⅰ）)(x f ＝OP ·OQ ＝1sin 2cos cos cos 22-+-+x x x x=)4sin(2cos sin π+=+x x x ，则)(x f 的最小正周期为π2=T ．（Ⅱ）由·OQ ＜－１，得22)4sin(-<+πx ． 又)2,0(π∈x ，则47445πππ<+<x ，即23ππ<<x ．故x 的取值范围是（23,ππ）． 2．解: （Ⅰ）312)0(33===A p ξ; （Ⅱ）21)1(3313===A C p ξ，611)3(33===A p ξ，故其分布列为:111012 1.326E ξ=⨯+⨯+⨯=3．（Ⅰ）证明：三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，平面11111C B A A ABB 平面⊥，又点D 是等腰直角三角形111C B A 斜边11B A 的中点，则111B A D C ⊥，所以，BA B A D C 111平面⊥；（Ⅱ）过A 1作A 1E ⊥A C 1于E 点, 1111111,CC C B C A C B ⊥⊥Θ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ．又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1，∴平面AB 1C 1⊥平面A 1C 1CA ． 又∵A 1E ⊥AC 1, ∴A 1E ⊥平面AB 1C 1， ∴A 1E 就是A 1到平面AB 1C 1的距离．由已知，A C 1A 1E（Ⅲ）解：.BA B A 11平面内，过D 作1AB DE ⊥，垂足为E ，连结E C 1，则11AB E C ⊥．ED C 1∠是二面角111C AB A --的平面角，在1DEC Rt ∆中，2arctan ,22222tan 1111=∠===∠ED C D B DEDC ED C ，所以， 二面角111C AB A --的大小为2arctan .4．解：（Ⅰ）由题意知：n nMB MA K K =，由斜率公式得1122122---=--nn n a n ，解得：n a n 2=．（Ⅱ）由题设知： ()121+=+⋅⋅⋅++n n a a a n ，条件中的等式可化为：()()3212211-+=⋅⋅⋅++n n n b a b a b a n n ， ①有()()521112211--=⋅⋅⋅++--n n n b a b a b a n n ， ②①—②得()2,43≥-=n n b n 当1=n 时，()12111-⋅⋅=b a 得11-=b ．∴34,N n b n n *=-∈ n n b b b n 2523221-=+⋅⋅⋅++∴．练习题三1．（Ⅰ）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=θθθθΘ ∴由||||,AC BC =u u u r u u u r2222(cos 3)sin cos (sin 3)θθθθ-+=+-得, 即cos θ=sin θ.又),23,2(ππθ∈ ∴45πθ= （Ⅱ）由1-=⋅，得cos θ（cos θ－3）+sin θ（sin θ－3）=－1,即sin θ+cos θ=.32两边平方，得2sin θcos θ=95-. θθθθθθθθcos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222++=++∴95cos sin 2-==θθ2．（Ⅰ）∵,61)0(252===+n n C C P ξ ∴,0432=--n n 解得n =－1（舍去）或n =4.即袋中有4个黑球.（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，4. ∵,61)0(==ξP ,31)1(291314===C C C P ξ ,3611)2(29121423=⋅+==C C C C P ξ ,61)3(291213=+==C C C P ξ,361)4(2922===C C P ξ∴ξ的概率分布列为 .914361461336112311610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ξ0 1 2 3 4P6131 3611 61 361 3．（Ⅰ）∵PD=CD=1，PC=2，∴PD 2+CD 2=PC 2，即PD ⊥CD. ∴PD ⊥平面ABCD. （Ⅱ）如图，连结AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD. ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AC.∴AC ⊥平面PBD.过O 点作OE ⊥PB 于E ，连结AE ，则AE ⊥PB ，故∠AEO 为二面角A —PB —D 的平面角.由Rt △OEB ∽Rt △PDB ，得OE=66=⋅PB OB PD . ∴tan ∠AEO=,3=OEAO即∠AEO=60°4．（Ⅰ）2234)(a ax x x f -+-='（1分）令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为(－∞，a )和(3a ，+∞) ∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a +-当x=3a 时，)(x f 极小值=b. （Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得－a ≤－x 2+4ax －3a 2≤a .① ∵0<a <1， ∴a +1>2a .∴]2,1[34)(22++-+-='a a a ax x x f 在上是减函数 ∴.44)2()(.12)1()(min max -=+='-=+'='a a f x f a a f x f 于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于.154.12,44≤≤⎩⎨⎧-≥-≤-a a a a a 解得 又,10<<a ∴.154<≤a练习题四1．（I ）设在这5次种植物种子的发芽实验中，有x 次成功，至少有3次成功的概率为P ，包括3次、4次和5次成功，即：3324455555(3)(4)(5)11111()(1)()(1)()0.522222P P x P x P x C C C ==+=+==-+-+=E ξ=1×2+2×4+3×8+4×16+5×16=162．证明：（I ）∵NA=NB=NC∴N 是△ABC 外接圆的圆心，可得∠ACB=90°，即BC ⊥AC, ∵CM ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MC ⊥BC ， ∴BC ⊥面MAC ，∴BC ⊥MA ； （II ）（理）∵CM ⊥面ABC ，MA=MB ，∴CA=CB ，∴∠ANC=∠BNC=90°，∴AB ⊥CN连结MN ，AB ⊥MN ，∴∠MNC 为二面角M —AB —C 的平面角。

一、单选题二、多选题三、填空题1.对于函数，若存在常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不增函数”.若函数是“同比不增函数"，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 在曲线的所有切线中，与直线平行的共有（ ）．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3. 已知集合，则 ( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,2}4. 已知下列抽取样本的方式：①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．其中，不是简单随机抽样的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45. （ ）A．B．C．D．6. 已知单位向量和向量、满足，，则的最大值为（ ）A．B．C ．2D．7. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（ ）A．B．是的图象的一条对称轴C ．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为D ．在内恰有3个零点8. 已知函数， 则下列说法正确的有（ ）A ．在单调递增B．为的一个极小值点C．无最大值D．有唯一零点9.设向量，且，则___________.10.已知抛物线是上的两动点，且，则弦的中点的横坐标的最小值为__________.11. 已知，在第四象限，则______.北京市人大附中2022届高三3月数学统练（二）试题(2)北京市人大附中2022届高三3月数学统练（二）试题(2)四、解答题12.______.13. 如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，其中为正常数. 当点恰为椭圆的右顶点时，对应的.（1）求椭圆的离心率；（2）求与的值；（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.14.如图，在正方体中，为棱的中点.求证：（1）平面；（2）求直线与平面所成角的大小.15.已知点.（1）若直线过点，且原点到直线的距离为，求直线的方程；（2）是否存在直线，使得直线过点且原点到直线的距离为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.16. 圆：内有一点，过的直线交圆于，两点.(1)当为弦中点时，求直线的方程；(2)若圆与圆：相交于，两点，求的长度.。

北京市人大附中2018届高三2月内部特供卷（二）数学理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形 区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域 内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（ ） A ．14π-B ．12π-C ． 22π-D ． 4π解：该地点信号的概率=ADE CBF ABCD +扇形的面积扇形的面积矩形的面积=211224ππ⋅⋅=，所以该地点无．信号的概率是14π-，故选A ．(2013陕西卷) 2．已知复数12z =--，则||z z +=（ ） A．12-- B．12-+ C．12+ D．12解：12z =- ，1z =，12z z ∴+=+，故选C ． 3．若1cos()43απ+=，(0,)2απ∈，则sin α的值为（ ）A ．624- B ．624+ C ．187 D．32 解：0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 4απ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，sin sin 44αα⎡ππ⎤⎛⎫∴=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选A ． 4．集合2{|10}A x x =->，{|3,}xB y y x ==∈R ，则=B A （ ） A ．)1,(--∞B ．]1,(--∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞解：{}11A x x x =><-或，{}0B y y =>，{}1A B x x ∴=> ，故选C ．5．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 解：由三视图可知：该几何体是由一个三棱锥和一个圆锥的14组成的，如上图所示，则21111111(11)24332123V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，故选C ． 6．世界数学名题“31x +问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入的5N =，则输出i =（ ）A ．3B ．5C ．6D ．7 解：输入5N =为奇数，进入是，则16n =为偶数，2i =；此时16n =为偶数，则有8n =，3i =；进入否，此时8n =为偶数，则有4n =，4i =；进入否， 此时4n =为偶数，则有2n =，5i =；进入否，此时2n =为偶数，则有1n =， 6i =，进入是，则输出6i =，故选C ． 7．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f (0,0,||)A ωφ>><π的部分图象如图所示， 则函数)cos()(ϕω+=x A x g 图象的一个对称中心可能为（ ）A ．)0,2(-B ．)0,1(C ．)0,10(D ．)0,14(解：由题知A =，()2262ωπ=+，则8ωπ=，再把点(2,-代入可得34ϕπ=-，∴3())84g x x ππ=-，检验10x =，得53())044g x ππ=-=，故选C ． 8．函数sin e()xy x =-ππ≤≤的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．解：由函数()sin e xy x =-ππ≤≤不是偶函数，排除A 、C ；当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，sin y x =为单调递增函数，而外层函数e x y =也是增函数，所以()sin e xy x =-ππ≤≤在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上为增函数．故选D ．9．已知点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD的体积为3，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ） A ．254πB ．4πC ．8πD ．16π解：如图所示，设AC 的中点为M ．由已知AB ⊥BC ，所以底面三角形ABC 外接圆的圆心为M ，所以OM ⊥平面ABC ．又OM //DC ，所以DC ⊥平面ABC ．11(32DC =⨯⋅，则DC =23，所以DA =4，球的半径为2，由球的表面积公式 得球的表面积为24S r π==16π，故选D ．10．F 为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右焦点，M ，N 为双曲线上的点，四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B．C ．2D ．3解：设()0000 ,0,0M x y x y >>，．∵四边形OFMN 为平行四边形，∴02c x =． ∵四边形OFMN 的面积为bc ，∴0y c bc =，即0y b =，∴( )2cM b ，， 代入双曲线方程得2114e -=．∵1e >，∴e =B ．11．已知不等式组036060x y k x y x y -+⎧⎪--⎨⎪++⎩≥≤≥表示的平面区域恰好被圆222)3()3(:r y x C =-+-所覆盖，则实数k 的值是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6解：由于圆心(3,3)在直线360x y --=上，又由于直线0x y k -+=与直线60x y ++=互相垂直其交点为6262k x k y +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，直线360x y --=与60x y ++=的交点为(0,6)-． 由于可行域恰好被圆所覆盖，及三角形为圆的内接三角形圆的半径为r ==，解得6k =或6k =-（舍去），故选D ．12．已知0x 是方程222eln 0xx x +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01ex <C ．0ln 200=+x xD ．002e ln 0x x += 解：方程即为022002eln x x x =-，即()002ln 002e e ln x x x x -=-，令()e x f x x =，()()002ln f x f x ∴=-，则()()e 10x f x x '=+>，函数()f x 在定义域内单调递增，结合函数的单调性有002ln x x =-，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．5(1)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 ．（用数字表示） 解：5(1)x -展开式中含3x 项的系数为3510C =，含2x 项的系数为3510C -=-，所以()5(1)1x x +-展开式中含3x 项的系数为10-10=0．14．已知(1,)a λ= ，(2,1)b = ，若向量2a b + 与(8,6)c = 共线，则a 在b方向上的投影为 ．解：∵2(4,21)a b λ+=+，由题意知，468(21)λ⨯=+，解得1λ=，∴投影为||cos ,||a b a a b b ⋅<>===15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B c A b B b tan 2tan tan -=+，且8=a ，ABC △的面积为34，则c b +的值为 ． 解：tan tan 2tan b B b A c B +=- ，∴由正弦定理得1cos 2A =-，故23A π=． 8a = ，由余弦定理可得：()22264b c bc b c bc =++=+-．又因为ABC △面积1sin 2bc A =12=，则16bc =，∴b c += 16．如图所示，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是 ．解：易知圆()22216x y -+=的圆心为（2，0），正好是抛物线x y 82=的焦点．圆()22216x y -+=与抛物线x y 82=在第一象限交于点4(2)C ，．过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为点D ， 则AF AD =，则AF AB AD AB BD +=+=．当点B 位于圆()22216x y -+=与x 轴的交点（6，0）时，BD 取最大值8．由于点B 在实线上运动，因此当点B 与点C 重合时，BD 取最小值4，此时A 与B 重合，由于F 、A 、B 构成三角形，因此48BD <<，所以812BF BD <+<． 则FAB ∆的周长的取值范围是(8,12)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设n S 为数列}{n a 的前n 项和，且11=a ，)1()2(1+++=+n n S n na n n ，*n ∈N ． （1）证明：数列}1{+nS n为等比数列； （2）求n n S S S T +++= 21．解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以1()(2)(1)n n n n S S n S n n +-=+++，即12(1)(1)n n nS n S n n +=+++，则1211n n S Sn n+=⨯++， 所以112(1)1n n S S n n ++=++．又1121S+=， 故数列{1}n Sn +是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）知111(1)221n n n S Sn -+=+⋅=，所以2n n S n n =⋅-，故2(12222)(12)n n T n n =⨯+⨯++⋅-+++ ． 设212222nM n =⨯+⨯++⋅ ， 则231212222n M n +=⨯+⨯++⋅ ，所以212222nn M n +-=+++-⋅= 11222n n n ++--⋅，所以1(1)22n M n +=-⋅+，故1(1)(1)222n n n n T n ++=-⋅+-．18．如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，a AB 2=，120ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，BF DE //，DE BD ⊥，a BF DE 222==，平面⊥BDEF 底面ABCD ．（1）证明：平面⊥AEF 平面AFC ； （2）求二面角F AC E --的余弦值．解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．又平面BDEF ⊥底面ABCD ， 平面BDEF 平面ABCD BD =，因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥． 又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，由2AB a =，2DE BF ==，120ABC ∠=︒，可知AF ==，2BD a =，EF ==，AE ==，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥． 又AF AC A = ，所以EF ⊥平面AFC ．又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC ．（2）取EF 中点G ，由题可知OG DE ∥，所以OG ⊥平面ABCD ．又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA ，OB ，OG的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图所示），则(0,0,0)O，,0,0)A，(,0,0)C，(0,,)E a -，(0,)F a ，所以(0,,),0,0)AE a =--=(,,)a -，(,0,0),0,0)AC =-=(,0,0)-，(0,)(0,,)EF a a =--(0,2,)a =．由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC的法向量可取为(0,2,)EF a =． 设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0,y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，即,0,y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令z =，得4y =，所以(0,n = ． 从而cos ,n EF <>=||||n EF n EF ⋅==⋅． 故所求的二面角E AC F --．19．为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与，志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们 积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物，每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中 的某一项工作，相关统计数据如下表所示：（1）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（2）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的分布列及其数学期望． 解：（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是515010=， 所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有120210⋅=人，参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有130310⋅=人，故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是23257110C P C =-=．（2）女生志愿者人数0,1,2X =，则21222033(0)95C P X C ===，1112822048(1)95C C P X C ===，2822014(2)95C P X C ===． ∴X 的分布列为∴X 的数学期望为()01295959595E X =⋅+⋅+⋅=．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆940)2(:22=+-y x M的公共弦长为3104． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点)2,0(P 作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可得26a =，所以3a =．由椭圆C 与圆M ：2240(2)9x y -+=，恰为圆M 的直径，可得椭圆C经过点(2,，所以2440199b+=，解得28b =． 所以椭圆C 的方程为22198x y +=．（2）直线l 的解析式为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点为00(,)E x y ．假设存在点(,0)D m ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由222198y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(89)36360k x kx ++-=，故1223698k x x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+． 因为DE AB ⊥，所以1DE k k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k--==++． 当0k >时，89k k +=≥，所以0m <． 综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ， 且点D的横坐标的取值范围为0m <．21．已知函数e ()(ln )xf x a x x x=--．（1）当0a ≤时，试求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 在)1,0(内有极值，试求a 的取值范围．解：（1）2e (1)1()(1)x x f x a x x -'=--2e (1)(1)x x ax x x ---=2(e )(1)x ax x x--=． 当0a ≤时，对于(0,)x ∀∈+∞，e 0xax ->恒成立，所以()0f x '>，1x >；()0f x '<，01x <<． 所以单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)． （2）若()f x 在(0,1)内有极值，则()f x '在(0,1)x ∈内有解．令()2(e )(1)0x ax x f x x--'==，e 0xax -=，e x a x =． 设e ()xg x x =，(0,1)x ∈，所以()e (1)x x g x x-'=．当(0,1)x ∈时，()0g x '<恒成立，所以()g x 单调递减．又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞， 即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞，所以当e a >时，()2(e )(1)0x ax x f x x--'==有解． 设()e x H x ax =-，则()e 0xH x a '=-<(0,1)x ∈， 所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减．因为(0)10H =>，(1)e 0H a =-<，所以()e xH x ax =-在(0,1)x ∈有唯一解0x ．当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，不成立．综上，a 的取值范围为(e,)+∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C ：θρsin 12-=，直线⎩⎨⎧==ααsin cos :t y t x l （t 为参数，0α<π≤）．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点（A 在第一象限），当30OA OB +=时，求a 的值．解：（1）由21sin ρθ=-，得sin 2ρρθ=+，所以曲线C 的直角坐标方程为244x y =+；（2）设1(,)A ρα，则2(,)B ραπ+，0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12303OA OB ρρ+=⇔=，223()1sin 1sin αα⇔=-+1sin 2α⇔=，∴6απ=．- 11 -23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||1|f x x x =-++．（1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数)(x f y =的最小值记为m ，设a ，b ∈R ，且有m b a =+22， 试证明：221418117a b +++≥． 解：（1）因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-⎨⎪⎪>⎪⎩≤≤ 从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-．（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =． 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 从而221411a b +=++2222214[(1)(1)]()711a b a b ++++=++ 2222214(1)[5()]711b a a b ++++++≥218[577+=． 当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，有最小值， 所以221418117a b +++≥得证．。

北京市人大附中2018届高三数学2月特供卷（二）理注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A ．14π-B ．12π- C ．22π-D ．4π 2．已知复数12z =-，则||z z +=（ ） A．12-B．12-C．12+ D．12- 3．若1cos()43απ+=，(0,)2απ∈，则sin α的值为（ ） A ．624- B ．624+ C ．187 D ．32 4． 集合2{|10}A x x =->，{|3,}xB y y x ==∈R ，则=B A （ ）A ．)1,(--∞B ．]1,(--∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞5．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 6．世界数学名题“13+x 问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入的5=N ，则输出=i （ ）A ．3B ．5C ．6D ．77．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f (0,0,||)A ωφ>><π的部分图象如图所示，则函数)cos()(ϕω+=x A x g 图象的一个对称中心可能为（ ）A ．)0,2(-B ．)0,1(C ．)0,10(D ．)0,14(8．函数sin e()xy x =-ππ≤≤的大致图象为（ ）A ．B ．2C ．D ．9．已知点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ） A ．254πB ．4πC ．8πD ．16π10．F 为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右焦点，M ，N 为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．22C ．2D ．311．已知不等式组036060x y k x y x y -+⎧⎪--⎨⎪++⎩≥≤≥表示的平面区域恰好被圆222)3()3(:r y x C =-+-所覆盖，则实数k 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．612．已知0x 是方程222e ln 0xx x +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01ex <C ．0ln 200=+x xD ．002e ln 0xx +=第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．5(1)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 ．（用数字表示）14．已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则a 在b 方向上的投影为 ． 15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B c A b B b tan 2tan tan -=+，且8=a ，ABC △的面积为34，则c b +的值为 ．16．如图所示，点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A ，B 分别在抛物线x y 82=及圆16)2(22=+-y x 的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB △的周长的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设n S 为数列}{n a 的前n 项和，且11=a ，)1()2(1+++=+n n S n na n n ，*n ∈N ． （1）证明：数列}1{+nS n为等比数列； （2）求n n S S S T +++= 21．18．如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，a AB 2=，120ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，BF DE //，DE BD ⊥，a BF DE 222==，平面⊥BDEF 底面ABCD ．（1）证明：平面⊥AEF 平面AFC ； （2）求二面角F AC E --的余弦值．19．为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与，志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物，每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：（1）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（2）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的分布列及其数学期望．320．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆940)2(:22=+-y x M 的公共弦长为3104． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点)2,0(P 作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知函数e ()(ln )xf x a x x x=--．（1）当0a ≤时，试求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 在)1,0(内有极值，试求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C ：θρsin 12-=，直线⎩⎨⎧==ααsin cos :t y t x l （t 为参数，0α<π≤）．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点（A 在第一象限），当30OA OB +=时，求a 的值．23．选修4-5：不等式选讲 已知函数|1||12|)(++-=x x x f ． （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数)(x f y =的最小值记为m ，设a ，b ∈R ，且有m b a =+22，试证明：221418117a b +++≥．4答 案一、选择题 1．【答案】A【解析】几何概型 2．【答案】C【解析】12z =-+，1z =，12z z ∴+=+．故选C ．3．【答案】A 【解析】0,2απ⎛⎫∈⎪⎝⎭，sin 4απ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭sin sin 4αα⎡π⎛⎫∴=+ ⎪⎢⎝⎭⎣， 故选A ． 4．【答案】C【解析】{}11A x x x =><-或，{}0B y y =>，{}1A B x x ∴=>5．【答案】C【解析】C ． 6．【答案】C 7．【答案】C【解析】由题知A =，(226ωπ=34ϕπ=-， ()384g x x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，故选8．【答案】D排除A 、C ，当,22x ⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，sin y x =e x 也是增函数，所以()sin e xy x =-ππ≤≤在中点，从而有AC 垂直CD ，4AD =，所以球为平行四边形，∴02cx =，∵四边形OFMN ，∴ 2c M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入双曲线方程得2114e -=，∵1e >，∴e =B ．11．【答案】D【解析】由于圆心(3,3)在直线360x y --=上，又由于直线0x y k -+=与直线60x y ++=互相垂直其交点为6262k x k y +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，直线360x y --=与60x y ++=的交点为(0,6)-．由于可行域恰好被圆所覆盖，及三角形为圆的内接三角形圆的半径为r ==，解得6k =或6k =-（舍去）．故选D ．12．【答案】C【解析】方程即为022002eln x x x =-，即()002ln 002e e ln x x x x -=-，令()e x f x x =，()()002ln f x f x ∴=-，则()()e 10x f x x '=+>，函数()f x 在定义域内单调递增，结合函数的单调性有：002ln x x =-，故选C ． 二、填空题13．【答案】0【解析】5(1)x -展开式中含3x 项的系数为3510C =，含2x 项的系数为3510C -=-，所以()5(1)1x x +-展开式中含3x 项的系数为10-10=0．14．【答案】【解析】由题知1λ=． 15．【答案】【解析】tan tan 2tan b B b A c B +=-，∴由正弦定理1cos 2A =-，23A π=， 8a =，由余弦定理可得：()22264b c bc b c bc =++=+-，又因为ABC △面积1sin 2bc A=12=，16bc =，b c +=． 16．【答案】8,12（）【解析】易知圆()22216x y -+=的圆心为（2，0），正好是抛物线x y 82=的焦点，圆6()22216x y -+=与抛物线x y 82=在第一象限交于点4(2)C ，，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为点D ，则AF AD =，则AF AB AD AB BD +=+=，当点B 位于圆()22216x y -+=与x 轴的交点（6，0）时，BD 取最大值8，由于点B 在实线上运动，因此当点B 与点C 重合时，BD 取最小值4，此时A 与B 重合，由于F 、A 、B 构成三角形，因此48BD <<，所以812BF BD <+<． 三、解答题17．【答案】（1）因为11n n n a S S ++=-， 所以1()(2)(1)n n n n S S n S n n +-=+++， 即12(1)(1)n n nS n S n n +=+++，则1211n n S Sn n+=⨯++， 所以112(1)1n n S S n n ++=++，又1121S+=， 故数列{1}n Sn+是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）知111(1)221n n n S Sn -+=+⋅=，所以2n n S n n =⋅-， 故2(12222)(12)n n T n n =⨯+⨯++⋅-+++．2n n ++⋅，12n n +++⋅2n n ++-1122n n n ++--⋅，AC BD⊥，平面ABCD BD =， 因此AC ⊥平面BDEF，从而AC EF ⊥．又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，由2AB a =，2DE BF ==，120ABC ∠=︒， 可知AF ==，2BD a =，EF ==，AE ==，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥．又AFAC A =，所以EF ⊥平面AFC ．又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC ．（2）取EF 中点G ，由题可知OG DE ∥，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA ，OB ，OG 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图所示），则(0,0,0)O，,0,0)A，(,0,0)C，(0,,)E a -，(0,)F a ， 所以(0,,),0,0)AE a a a =--=(,,)a -，(,0,0),0,0)AC =-=(,0,0)-，(0,)(0,,)EF a a =--(0,2,)a =．由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC的法向量可取为(0,2,)EF a =． 设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0,y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，即,0,y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令z =，得4y =，所以(0,n =． 从而cos ,n EF <>=||||63n EF n EF⋅==⋅ 故所求的二面角E AC F --． 19．【答案】（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是515010=， 所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有120210⋅=人，8参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有130310⋅=人， 故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是23257110C P C =-=．（2）女生志愿者人数0,1,2X =，则21222033(0)95C P X C ===，1112822048(1)95C C P X C ===，2822014(2)95C P X C ===∴X 的分布列为∴X 的数学期望为(E 20．【答案】（1由椭圆C 与圆M ：(x 可得椭圆C 经过点(2,11(,)x y ，22(,)B x y ，AB 的中点为00(,)E x y ．假AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由0=，故1223698k x x k +=-+，所以021898k x k -=+，002298y kx k =+=+．因为DE AB ⊥，所以1DEk k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k--==++． 当0k >时，89k k+=≥，所以0m <．综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为0m <． 21．【答案】（1）2e (1)1()(1)x x f x a x x -'=--2e (1)(1)x x ax x x ---=2(e )(1)x ax x x --=． 当0a ≤时，对于(0,)x ∀∈+∞，e 0xax ->恒成立， 所以()0f x '>，1x >；()0f x '<，01x <<．所以单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)．（2）若()f x 在(0,1)内有极值，则()f x '在(0,1)x ∈内有解．令()2(e )(1)0x ax x f x x --'==，e 0xax -=，e x a x =．设e ()xg x x=(0,1)x ∈，所以()e (1)x x g x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<恒成立，所以()g x 单调递减．又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞， 即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞，所以当e a >时，()2(e )(1)0x ax x f x x --'==有解．设()e x H x ax =-，则()e 0xH x a '=-<(0,1)x ∈， 所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减．因为(0)10H =>，(1)e 0H a =-<，所以()e xH x ax =-在(0,1)x ∈有唯一解0x ．所以当当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，不成立．综上，a 的取值范围为(e,)+∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4—4：坐标系与参数方程 【答案】（1）由21sin ρθ=-，得sin 2ρρθ=+，所以曲线C 的直角坐标方程为244x y =+； （2）设1(,)A ρα，则2(,)B ραπ+，0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12303OA OB ρρ+=⇔=，102231sin 1sin αα⎛⎫⇔= ⎪-+⎝⎭1sin 2α⇔=，∴6απ=． 23．选修4-5：不等式选讲．【答案】（1）因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-⎨⎪⎪>⎪⎩≤≤从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-．（2）证明：由图可知函数()y f x ==187． 所以221418117a b +++≥得证．。

一、单选题二、多选题1.设集合，则满足条件的集合的个数是A ．1B ．3C ．4D ．82.下列函数中，在上单调递减的是（ ）．A．B．C．D．3. 已知复数，则的虚部是（ ）A．B．C ．1D ．4.已知等差数列中，，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是（ ）A．B．C．D．5.一数字电子表显示的时间是四位数，如，那么在一天（24小时制）内，所显的四个数字和是23的概率是（ ）A．B．C．D．6. 若，则（ ）A ．3B．C ．2D ．47. 已知的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ）A ．80B ．160C ．240D ．3208.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移得到函数，则函数的解析式为（ ）A．B．C．D．9. 对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ）A ．若且，则B．若且，则C ．若且，则D ．存在，使得10. 已知在棱长为1的正方体中，为正方体内及表面上一点，且，其中，，则下列说法正确的是（ ）A．当时，对任意，恒成立B．当时，与平面所成的最大角的正弦值为C ．当时，线段上的点与线段上的点的距离最小值为D．当时，存在唯一的点，使得平面平面11. 已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（ ）北京市人大附中2022届高三3月数学统练（二）试题(1)北京市人大附中2022届高三3月数学统练（二）试题(1)三、填空题四、解答题A．B ．是偶函数C ．关于中心对称D．12.如图，在长方体中，，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则以下结论正确的为（）A ．平面B ．不存在点，使得平面C．点和点到平面的距离相等D ．直线与平面所成角的最大值为13. 已知关于的方程在上有两个不相等的实很，则实数的取值范围是________.14. 一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92，则h ＝________．15. 已知正顶等比数列{}中，，记数列{}的前n 项和为T n ，则T 20=__________．16. 某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知从左至右前四组的频率依次为0.05，0.10，0.25，0.35，结合该图提供的信息回答下列问题：(1)抽取的学生人数共有______人，体重不低于58千克的学生有______人；(2)这部分学生体重的中位数落在第______组；(3)在这次抽样测试中，第一组学生的体重分别记录如下：40，40，41，42，43．如果要从这组学生中随机抽取2人，求被抽到的2人体重都不低于41千克的概率．17. 某学校食堂中午和晩上都会提供两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晩上还选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晩上选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为.(1)若同学甲晩上选择类套餐，求同学甲中午也选择类套餐的概率；(2)记某宿舍的4名同学在晩上选择类套餐的人数为，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求的分布列及数学期望.18. 已知函数（1）当时，求的单调区间，并证明此时成立；（2）若在上恒成立，求的取值范围.19. 已知数列的奇数项依次成公比为2的等比数列，偶数项依次成公差为4的等差数列，数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.20. 已知函数（为常数）.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，都存在使得不等式成立，求实数的取值范围.21. 某高校筹办大学生运动会，设计两种赛事方案：方案一､方案二､为了了解运动员对活动方案是否支持，对全体运动员进行简单随机抽样，抽取了名运动员，获得数据如表：方案一方案二支持不支持支持不支持男运人人人人动员女运人人人人动员假设所有运动员对活动方案是否支持相互独立.（1）根据所给数据，判断是否有的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关？（2）在抽出的名运动员中，按是否支持方案二分层抽样抽出了人，从这人中随机抽取人，求抽取的人都支持方案二的概率.附：，.。

2]号场考号证考准密不订装 只 名姓级班 卷此北京市人大附中高三2月内部特供卷文科数学（二）Word 版含答案2018届高三2月份内部特供卷高三文科数学（二）注意事项：1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。

2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.如图为几何体的三视图，则其体积为（2. 3. 4. B . 2432已知i 是虚数单位，复数 ---1 iB . i若|a | 1 ,|b| 2，且(a b)6.函数f (x)在(0, 的x 的取值范围是（2,2]）单调递增，且f （x 2）关于x 2 对称，若 f ( 2) 1，则 f(x 2[2,)C . 7.,0] [4,)2为双曲线：22yb 2 1(a为平行四边形，且四边形 D • [0,4]0,b 0）右焦点，M N 为双曲线上的点, 四边形OOFMN 的面积为be ,则双曲线的离心率为（B . 2 2 x 2y8.已知变量x,y 满足x < 2x y 2> 01 3 [4,2]A • [1,3]2 C . 2D .4>0，则y 1的取值范围是（x 2C . 1 [41]D .1 (,4]C.的虚部为（ C .a ，则a 与b 的夹角为（C . 23△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b ,C . 1 或 3已知5. 设集合A {2,4}{2 ,4,6,8} , BB . {4,6} {x|2 x w 7}，则 AIC . {6,8} 或332 a 46, c 3, cos A 一3D .无解D • {2,8}9.世界数学名题“ 3x 1问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以 2,它是奇数，我们就把它乘 3再加上1,在这样一个变换下，我们就得到了一个新的 自然数果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算 后，最后结1,现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入 的N 3，则输出iA . 5B . 7C . 8D . 9x 2 110 .函数f(x) x x 1的图象大致为()e三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知｛a n｝是首项为1的等比数列，数列｛b n｝满足b 2 , b2 5，且a n b n 1 a n b n a n 1.(1) 求数列｛a n｝的通项公式；(2) 求数列｛b n｝的前n项和.18. 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，得到如图的频率分布直方图(图1).的体积为12，球心o恰好在棱DA上，则这个球的表面积为( ) 325A . B. 4 C. 8 D . 164第U卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.H it J0.10<1025001()0 005k 3.S41 5 02411•将函数f(x) 2sin(2x 6)的图象向左平移!2个单位'再向下平移1个单位'得到g(x)的图象，若g(xJg(X2)9，且为压［2 ,2 ］，则2x i X2的最大值为( )55 12 B. 5312C.2517412.已知点A , B , C , D在同一个球的球面上，AB BC 2 , AC2，若四面体ABCD田11 -50951 *1000 4132 9r in 图2(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1〜50名和951〜1000名的学生进行了调查，得到图2中数据，根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩13 .已知tan( -)3，则tan ____________ .41 -- 14 .从圆x2 y24内任意一点P，则P到直线x y 1的距离小于一2的概率2为_________ .1 x2 1 15. 已知函数f (x) (x R)满足f (1) 1且f (x)的导数f (x)，则不等式f(x2)2 2 2的解集为__________ .16. 已知抛物线C:y2 2px(p 0)的焦点为F ,点M(X o,2.2)(x。

北京人大附中2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=2．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0B ．3C ．－1D ．43．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．925．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则ST （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 7．复数432iz i +=-的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-8．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}69．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。