最新高三数学综合测试题试题以及答案教学内容

2023年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学本试卷共5页､22小题､满分150分､考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前､考生务必川黑色字迹的钢笔或签字色将自己的姓名､考生号､试室号､座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦下净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数34i z =-，则zz=（）A.34i 55+ B.34i 55- C.34i 55-+ D.34i 55--【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出复数z 的共轭复数及模，即可计算作答.【详解】复数34i z =-，则i 34z =+，||5z ==，所以34i 55z z =+.故选：A2.已知集合{}2Z230A x x x =∈--<∣，则集合A 的子集个数为（）A.3B.4C.8D.16【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A 作答.【详解】解不等式2230x x --<，得13x -<<，因此{}3Z{0,1,12}A x x -<<=∈=∣，所以集合A 的子集个数为328=.故选：C3.函数()3sin xf x x x=-在[]π,π-上的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.【详解】函数3sin ()xf x x x=-定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，而33sin()sin ()()()x xf x x x f x x x--=--=--≠-，且()()f x f x -≠-，即函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD ；而当πx =时，()(π)πf x f ==，排除选项A ，选项B 符合要求.故选：B4.已知θ为第一象限角.3sin cos 3θθ-=，则tan2θ=（）A.223B.255C.223-D.5-【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，两边平方求出sin 2θ，判断cos 2θ的正负并求出，再利用同角公式计算作答.【详解】因为θ为第一象限角，3sin cos 03θθ-=>，则sin cos 0θθ>>，22cos 2cos sin 0θθθ=-<，21(sin cos )3θθ-=，即11sin 23θ-=，解得2sin 23θ=，cos 23θ==-，所以sin 225tan2cos 25θθθ==-.故选：D5.“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（）A.100个B.125个C.225个D.250个【答案】C 【解析】【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再由0出现的次数分类求解作答.【详解】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：最多1个0，取奇数字有15A 种，取能重复的偶数字有14A 种，它们排入数位有22A 种，取偶数字占百位有15A 种，不同“回文数”的个数是11215425A A A A 200=个，最少2个0，取奇数字有15A 种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有15A 种，不同“回文数”的个数是1155A A 25=个，由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有20025225+=个.故选：C6.已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 任x 铀上，过点()2,0的且线交C 于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，线段PQ 的中点为M ，则直线MF 的斜率的取大值为（）A.6B.12C.22D.1【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，设出抛物线C 及直线PQ 的方程，借助垂直关系求出抛物线方程及点M 的坐标，再用斜率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.【详解】依题意，抛物线C 的焦点在x 轴的正半轴上，设C 的方程为：22,0y px p =>，显然直线PQ 不垂直于y 轴，设直线PQ 的方程为：2x ty =+，点221212(,),(,)22y y P y Q y p p，由222x ty y px=+⎧⎨=⎩消去x 得：22240y pty p --=，则有2124y y p =-，由OP OQ ⊥得：22121244022y y y y p p OP OQ p⋅=⋅+=-= ，解得1p =，于是抛物线C ：22y x =的焦点1(,0)2F ，弦PQ 的中点M 的纵坐标为22ptt =，则点2(2,)M t t +，显然直线MF 的斜率最大，必有0t >，则直线MF的斜率22633622t k t t t ==≤++，当且仅当32t t =，即62t =时取等号，所以直线MF 的斜率的取大值为66.故选：A7.已知三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O的球面上，4PB PC AB AC ====，2PA BC ==，则球O 的表面积为（）A.316π15 B.79π15C.158π5D.79π5【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，证明PA ⊥平面ABC ，再确定球心O 的位置，求出球半径作答.【详解】在三棱锥-P ABC 中，如图，22220AB PA PB +==，则PA AB ⊥，同理PA AC ⊥，而,,AB AC A AB AC =⊂ 平面ABC ，因此PA ⊥平面ABC ，在等腰ABC 中，4,2AB AC BC ===，则112cos 4BC ABC AB ∠==，sin 4ABC ∠==，令ABC 的外接圆圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ，112sin AC O A ABC =⋅=∠，有1//OO PA ，取PA 中点D ，连接OD ，则有OD PA ⊥，又1⊂O A 平面ABC ，即1O A PA ⊥，从而1//O A OD ，四边形1ODAO 为平行四边形，11OO AD ==，又11OO O A ⊥，因此球O 的半径2222221179115R OA O A O O ==+=+=，所以球O 的表面积23164ππ15S R ==.故选：A8.已知,,a b c 均为正实数，e 为自然对数的底数，若e ,ln ln ca b a b =>，则下列不等式一定成立的是（）A.a b ab +<B.b a a b <C.a bc a b-<+ D.21a c >+【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值法当1,1b c ==时，e a =，排除选项A ，B ，C ；再证明选项D 成立.【详解】已知,,a b c 均为正实数，e ,ln ln ca b a b =>,当1,1b c ==时，e a =，满足ln 1ln 0a b =>=成立，对于A ，e 1e a b ab +=+>=，故A 错误；对于B ，e >1b a a b ==，故B 错误；对于C ，e 11e 1a b c a b --=>=++，故C 错误，对于D ，由已知0e e c b a b b >==，则，l n n 0l a b ->.由ln ln a b >则()()22ln ln 0a b ->，所以ln ln 0a b +>，即1ab >，得1b a >，1e e cc a b a>=，即2e c a >.下面证明e 1c c >+，0c >.设()=e 1c f c c --，()=e 10c f c '->，所以()f c 在区间()0,∞+上单调递增，所以()=e 1c f c c -->0(0)e 10=-=f ，即e 1c c >+.所以21a c >+，故D 正确，故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg ）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）A.频率分布直方图中a 的值为0.07B.这100名学生中体重低于60kg 的人数为60C.据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62D.据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5【答案】AC 【解析】【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及频数、百分位数、平均数计算公式计算即可.【详解】对于A 项，因为5(0.010.060.040.02)1a ⨯++++=，解得：0.07a =，故A 项正确；对于B 项，(0.010.070.06)510070++⨯⨯=人，故B 项错误；对于C 项，因为0.0150.0750.0650.7⨯+⨯+⨯=，0.0150.0750.0650.0450.9⨯+⨯+⨯+⨯=，0.70.780.9<<，所以第78百分位数位于[60,65)之间，设第78百分位数为x ，则0.0150.0750.065(60)0.040.78x ⨯+⨯+⨯+-⨯=，解得：62x =，故C 项正确；对于D 项，因为0.01547.50.07552.50.06557.50.04562.50.02567.557.25⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，即：估计该校学生体重的平均数约为57.25，故D 项错误.故选：AC.10.已知函数ππ()sin(2)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线π8x =对称，则（）A.函数()y f x =的图像关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称B.函数()y f x =在[0,]π有且仅有2个极值点C.若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为π4D.若ππ1882f f αβ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()cos21cos2αβαβ-=++【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数图象的对称性求出ϕ，再结合正弦函数的图象与性质逐项分析、计算判断作答.【详解】依题意，ππ2π,Z 82k k ϕ⨯+=+∈，即ππ,Z 4k k ϕ=+∈，而ππ22ϕ-<<，则π4ϕ=，π()sin(2)4f x x =+，对于A ，因为πππ()sin[2()0884f -=-+=，于是函数()y f x =的图像关于点()π8,0-对称，A 正确；对于B ，当[0,π]x ∈时，ππ9π2444x ≤+≤，而正弦函数sin y x =在π9π[,44上有且只有两个极值点，所以函数()y f x =在[0,]π有且仅有2个极值点，B 正确；对于C ，因为max min ()1,()1f x f x ==-，又()()122f x f x -=，因此12,x x 中一个为函数()f x 的最大值点，另一个为其最小值点，又函数()f x 的周期为2ππ2=，所以12x x -的最小值为π2，C 错误；对于D ，依题意，ππ1()()sin 2sin 2882f f αβαβ--==，则()()cos2cos2(cos 2cos 2sin 2sin 2)(cos 2cos 2sin 2si n 2)αβαβαβαβαβαβ--+=+--2sin 2sin 21αβ==，因此()()cos21cos2αβαβ-=++，D 正确.故选：ABD11.已知函数()()()220,e (0)xf x x xg x a a -=+≥=>，点,P Q 分別在函数()y f x =的()y g x =的图像上，O 为坐标原点，则下列命题正确的是（）A.若关于x 的方程()()0f x g x -=在[]0,1上无解，则3e a >B.存在,P Q 关于直线y x =对称C.若存在,P Q 关于y 轴对称，则02a <≤D.若存在,P Q 满足90POQ ∠=，则0a <≤【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，求出方程()()0f x g x -=在[]0,1上有解的a 范围判断A ；设出点,P Q 的坐标，由方程有解判断B ；设出点,P Q 的坐标，建立函数关系，求出函数的值域判断CD 作答.【详解】函数()()()220,e (0)xf x x xg x a a -=+≥=>，对于A ，方程()()20(2e)0xf xg xh x a x --=⇔=-=+在[]0,1上有解，显然函数()h x 在[]0,1上单调递增，则有1(0)20(1)3e 0h a h a -=-≤⎧⎨=-≥⎩，解得23e a ≤≤，因此关于x 的方程()()0f x g x -=在[]0,1上无解，则02a <<或3e a >，A 错误；对于B ，设点(,e )t Q t a -，依题意，点Q 关于直线y x =对称点(e ,)t a t -在函数()22f x x =+的图象上，即关于t 的方程222e t t a -=+有解，即222(e )t a t =-有解，此时2t >，令函数222()(e ),t t t t ϕ=>-，23()(2e )0t t t ϕ-'=>，即函数()t ϕ在(2,)+∞上单调递增，()(2)0t ϕϕ>=，而函数2,e 2t t y y -==在(2,)+∞上都单调递增，它们的取值集合分别为4(0,),(e ,)+∞+∞，因此函数()t ϕ的值域为(0,)+∞，又20a >，于是222(e )t a t =-在(2,)+∞有解，所以存在,P Q 关于直线y x =对称，B 正确；对于C ，设点2(,2),0P u u u +≥，则点P 关于y 轴对称点2(,2)u u -+在函数()e (0)x g x a a -=>的图象上，即222e e 2uu a u u a +=+⇔=，令2e2(),0uu F u u +=≥，2222(1)1()e 0e u u u u u F u -+--+'==-<，即函数()F u 在[0,)+∞上单调递减，max ()(0)2F u F ==，又[0,)u ∀∈+∞，恒有()0F u >，因此02a <≤，C 正确；对于D ，令22112(,2),(,e)x P x x Q x a -+，由90POQ ∠=得22121e (2)0x OP OQ x x a x -⋅=++=，显然120x x ≠，且120,0x x ><，212212e x x x a x --=⋅+，令(),0ex x G x x =>，1()e xx G x -'=，当01x <<时()0G x '>，函数()G x 单调递增，当1x >时，()0'<G x ，函数()G x 单调递减，因此max 1()(1)eG x G ==，即有10()e G x <≤，2210e e x x --<≤，而12102x x <≤=+，当且仅当2x =2122102e x x x x --<⋅≤+0a <≤D 正确.故选：BCD12.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)M -，(2,0)N ，动点P 满足||||5PM PN ⋅=，则下列结论正确的是（）A.点P的横坐标的取值范围是⎡⎣B.OP 的取值范围是[]1,3C.PMN 面积的最大值为52D.PM PN +的取值范围是⎡⎤⎣⎦【答案】BC 【解析】【分析】设出点P 的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断A ；利用几何意义并结合求函数值域判断B ；利用三角形面积公式计算判断C ；取点计算判断D 作答.【详解】设点(,)P x y ，依题意，2222[(2)][(2)]25x y x y ++-+=，对于A ，2222222225[(2)][(2)](2)(2)(4)x y x y x x x =++-+≥+-=-，当且仅当0y =时取等号，解不等式22(4)25x -≤得：33x -≤≤，即点P 的横坐标的取值范围是[3,3]-，A 错误；对于B ，2222[(4)4][(4)4]25x y x x y x +++++-=，则224x y ++=显然209x ≤≤，因此||[1,3]OP ==，B 正确；对于C ，PMN 的面积115||||sin ||||222S PM PN MPN PM PN =∠≤=，当且仅当90MPN ∠= 时取等号，当90MPN ∠=时，点P 在以线段MN 为直径的圆224x y +=上，由222244x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得39454x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以PMN 面积的最大值为52，C 正确；对于D ，因为点(3,0)在动点P 的轨迹上，当点P 为此点时，516PM PN +=+=，D 错误.故选：BC【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,2,3,,a b x a == 与a b +共线，则a b -=r r __________.【答案】【解析】【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.【详解】由题意知，(4,2)a b x +=+又因为//()a a b +，所以1(2)24x ⨯+=⨯，所以6x =，所以(3,6)b = ，所以(2,4)a b -=--，所以||a b -==故答案为：14.已知n *∈N ，将数列{}21n -与数列{}21n -的公共项从小到大排列得到新数列{}n a ，则1210111a a a +++= __________.【答案】1021【解析】【分析】分析可知{}21n -是正奇数列，根据题意求得241=-n a n ，然后利用裂项相消法可求得1210111a a a +++ 的值.【详解】因为数列{}21n -是正奇数列，对于数列{}21n -，当n 为奇数时，设()21n k k *=-∈N，则()()22121141nk k k -=--=-为偶数；当n 为偶数时，设()2n k k *=∈N ，则22141nk -=-为奇数，所以，241=-n a n ，则()()211111141212122121n a n n n n n ⎛⎫===- ⎪--+-+⎝⎭，因此，12101111111111110112335192122121a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ .故答案为：1021.15.已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，若()10xf x '-<.(e)2f =，则关于x 的不等式1)(e x f x <+的解集为__________.【答案】(1,)+∞【解析】【分析】根据给定条件，构造函数()()ln ,0g x f x x x =->，再利用函数探讨单调性，求解不等式作答.【详解】令函数()()ln ,0g x f x x x =->，则1()1()()0xf x g x f x x x'-''=-=<，因此函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，(e)(e)ln e 1g f =-=，因此1))))(e 1(e (e (e x x x f x g f x g -<+<⇔<⇔，即e e x >，解得1x >，所以不等式1)(e x f x <+的解集为(1,)+∞.故答案为：(1,)+∞16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E F ､分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11ADD A 上的动点.且1PC //平面AEF ，则点P 的轨迹长为__________.点P 到直线AF 的距离的最小值为__________.【答案】①.2②.3【解析】【分析】根据给定条件，作出平面AEF 截正方体所得截面，再确定点P 的轨迹，计算长度即可；再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接111,,BC FD AD ，如图，对角面11ABC D 为矩形，因为点E F ､分别是棱1,BC CC 的中点，则11////EF BC AD ，而112EF AD =，即平面AEF 截正方体所得截面为梯形1AEFD ，显然过点1C 与平面1AEFD 平行的平面交平面11BCC B 、平面11ADD A 分别于1,BC MN ，因此11////MN BC AD ，连1MC ，平面1BMNC 、平面1AEFD 与平面11ACC A 分别交于1MC ，AF，因此1//MC AF ，而1//AM FC ，即四边形1AMC F 为平行四边形，于是112AM FC ==，即点M 为1AA 的中点，同理N 为11A D中点，2MN =，因为动点P 始终满足1PC //平面AEF ，于是1PC ⊂平面1BMNC ，又P 在侧面11ADD A 上，所以点P 的轨迹是线段MN ，轨迹长为22；以点D 为原点建立空间直角坐标系，则111(1,0,),(,0,1),(1,0,0),(0,1,)222M N A F ，则1111(,0,(0,0,),(1,1,)2222MN AM AF =-==- ，令11(,0,)22MP tMN t t ==- ，则有11(,0,)22tAP AM MP t +=+=- ，1313114,3426||2tt AP AF AP AF AF ++⋅⋅===+ ，于是点P 到直线AF的距离23d ==，当且仅当0=t 时取等号，所以点P 到直线AF的距离的最小值为3.故答案为：2；3【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221nn n S a +=+（1）求1a ，并证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列：（2）若222k k a S <，求正整数k 的所有取值.【答案】（1）11a =，证明见解析（2）1,2,3【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩证明1122n n nn a a ---为定值即可；（2）先根据（1）求出n a ，再利用错位相减法求出n S ，从而可得222,k k a S ，再根据函数的单调性即可得解.【小问1详解】由221nn n S a +=+，得221nn n S a =-+，当1n =时，111221S a a ==-+，所以11a =，当2n ≥时，111221n n n S a ----=+，两式相减得1122n n n n a a a --=--，即112n n n a a --=+，所以111222n n n n a a --=+，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1122a =为首项，12为公差的等差数列；【小问2详解】由（1）得22n n a n=，所以12n n a n -=⋅，21122322n n S n -=+⨯+⨯++⋅ ，232222322n n S n =+⨯+⨯++⋅ ，两式相减得()23112122222212112nn nn n n S n n n ---=+++++-⋅=⋅=--- ，所以()121nn S n =-+，则()2222122121,22kk k k S k k a -=-+=⋅，由222k k a S <，得()221222121k k k k -⋅<-+，即22114202k k k --+-<，令()2211422x f x x x -=-+-，因为函数221142,2x y x x y -=-+=-在()2,+∞上都是增函数，所以函数()2211422x f x x x -=-+-在()2,+∞上是增函数，由()()1311711420,248202288f f =-+-=-<=-+-=-<，()()557711113912210,416162202222f f =-+-=--<=-+-=->，则当4x ≥时，()0f x >，所以若222k k a S <，正整数k 的所有取值为1,2,3.18.记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知223cos cos 222C A a c b +=.（1）证明：sin sin 2sin A C B +=；（2）若2b =，3AB AC ⋅=uu u r uuu r，求ABC 的面积.【答案】（1）证明见解析（2）4ABC S =△【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换结合正弦定理化简可证得结论成立；（2）利用平面向量数量积的定义可得出cos 3bc A =，结合余弦定理以及24a c b +==可求得a 、c 的值，由此可求得ABC 的面积.【小问1详解】因为223coscos 222C A a c b +=，则()()1cos 1cos 322a C c Ab +++=，即cos cos 3ac a C c A b +++=，由正弦定理可得()()3sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin B A C A C A C A C A C =+++=+++()sin sin sin πsin sin sin A C B A C B =++-=++，因此，sin sin 2sin A C B +=.【小问2详解】因为sin sin 2sin A C B +=，由正弦定理可得24a c b +==，由平面向量数量积的定义可得cos 3AB AC cb A ⋅==，所以，2222242322b c a c a c bc +-+-⋅==，可得222c a -=，即()()()42c a c a c a -+=-=，所以，12c a -=，则94c =，74a =，所以，332cos 9324A bc ===⨯，则A为锐角，且5sin 3A ==，因此，1119535sin 2222434ABC S bc A ===⨯⨯⨯=△.19.如图，在四棱锥P -ABCD 中，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，,,224,BC AD CD AD AD CD BC PB ⊥====∥（1）求证：AD PB ⊥；（2）求平面PAB 与平面ABCD 交角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）取AD 中点E ，连接,BE PE ，可证明BE AD ⊥，PE AD ⊥，进而可证AD ⊥平面PEB ，则结论成立；（2）过P 做PO ⊥平面ABCD ，过O 做OH AB ⊥于H ，则PHO ∠为平面PAB 与平面ABCD 所成角，根据题中所给条件计算PO ，OH 的长，求出正切值，进而求出正弦值.【小问1详解】取AD 中点E ，连接,BE PE ，因为//BC AD ，且12BC AD ED ==，所以四边形EBCD 为平行四边形，即//C BE D ，因为CD AD ⊥，所以BE AD ⊥；因为△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，所以PE AD ⊥；PE BE E ⋂=，所以AD ⊥平面PEB ，PB ⊂平面PEB ，所以AD ⊥PB .【小问2详解】过P 做PO ⊥平面ABCD ，过O 做OH AB ⊥于H ，则PHO ∠为平面PAB 与平面ABCD 所成角，由（1）可知：AD ⊥平面PEB ，AD ⊂平面ABCD ，所以平面PEB ⊥平面ABCD ，平面PEB 平面ABCD BE =，则O ∈直线BE ，由题意可知2PE =，2BE =，又PB =，所以120PEB ∠= ，在直角三角形PEO中，60PEO ∠= ，所以PO =，1OE =，过E 做EF AB ⊥于F ，则//OH EF ，在AEB △中，BE AE ⊥，2BE AE ==，则AB =，12EF AB ==所以23EF BEOH BO==，所以322OH=，6tan32PHO∠==，则sin5PHO∠=.20.为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为34，各次答题结果互不影响.（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；（2）记甲第i次答题所得分数)N(iX i*∈的数学期望为()iE x.①写出()1iE X-与()iE x满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：②若()100iE x>，求i的最小值.【答案】（1）964；（2）①12((35))2i iE x E x-=+，N,2i i*∈≥，且135()2E X=；②5.【解析】【分析】（1）甲甲前3次答题得分之和为40分的事件是甲前3次答题中恰答对一次的事件，再利用相互独立事件概率的乘法公式计算作答.（2）①求出1()E x，再分析、写出1)(iE x-与()iE x满足的等量关系式作答；②利用构造法求出()iE x的通项，列出不等式并结合单调性作答.【小问1详解】甲前3次答题得分之和为40分的事件A是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，所以甲前3次答题得分之和为40分的概率123339()C(1)4464P A=⨯⨯-=.【小问2详解】①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为31,44，则13135()2010442E X=⨯+⨯=，甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为33131,,44444⨯⨯，则()233131115402010444444E X =⨯⨯+⨯⨯+⨯=，显然21313135()2(2010)10()444422E X E X =⨯+⨯⨯+⨯=+，N ,2i i *∈≥，甲第1i -次答题所得分数1i X -的数学期望为1)(i E x -，因此第i 次答对题所得分数为12)(i E x -，答错题所得分数为10分，其概率分别为31,44，于是甲第i 次答题所得分数i X 的数学期望为113135))10)4422(2((i i i E x E x E x --=⨯+⨯=+，所以1)(i E x -与()i E x 满足的等量关系式是：12((35))2i i E x E x -=+，N ,2i i *∈≥，且135()2E X =；②由①知，135()2E X =，当N ,2i i *∈≥时，13)5[)5](2(i i E x E x -+=+，而145()52E X +=，因此数列{(})5i E x +以452为首项，32为公比的等比数列，14533)5(15()222(i i i E x -+=⨯=⨯，于是3)15()5(2i iE x =⨯-，由315()51002i⨯->得：3(72i>，显然数列{3(2}i是递增数列，而453813243(7,()7216232=<=>，则有正整数min 5i =，所以i 的最小值是5.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，以C 的短轴为直径的圆与直线6y ax =+相切.（1）求C 的方程；（2）直线l ：(1)(0)y k x k =-≥与C 相交于A ，B 两点，过C 上的点P 作x 轴的平行线交线段AB 于点Q ，直线OP 的斜率为k '（O 为坐标原点），△APQ 的面积为1S .BPQ V 的面积为2S ，若21||||AP S BP S ⋅=⋅，判断k k '⋅是否为定值？并说明理由.【答案】（1）22184x y +=；（2）是定值，12.【解析】【分析】（1）利用椭圆离心率及圆的切线性质，建立关于,a b 的方程组，解方程组作答.（2）由给定的面积关系可得直线PQ 平分APB ∠，进而可得直线,AP BP 的斜率互为相反数，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算判断作答.【小问1详解】由椭圆C的离心率为2得：22212a b a -=，即有222a b =，由以C 的短轴为直径的圆与直线6y ax =+b =，联立解得228,4a b ==，所以C 的方程是22184x y +=.【小问2详解】k k '⋅为定值，且12k k '⋅=，因为21||||AP S BP S ⋅=⋅，则121||||sin ||||sin 21||||sin ||||sin 2AP PQ APQS AP AP APQBP S BP BPQBP PQ BPQ ∠∠===∠∠，因此sin sin APQ BPQ ∠=∠，而(0,π)APQ BPQ ABP ∠+∠=∠∈，有APQ BPQ ∠=∠，于是PQ 平分APB ∠，直线,AP BP 的斜率,AP BP k k 互为相反数，即0AP BP k k +=，设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，由22184(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2222(21)4280k x k x k +-+-=，即有212221224212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，而102010200AP BP y y y y k k x x x x --+=+=--，则()02102010(0)()()y y x x y y x x --+--=，即10202010[)(1)]()(][1)(k x y x x k x y x x ---+---120012002)(2)0()(kx x y kx k x x x y k =-+++++=于是220000222842()2()02121k k k y kx k x y k k k -⋅-++⋅++=++22200002(28)4()2()(21)0k k k y kx k x y k k ⇔--+++++=，化简得：20000021)(8)0(y x k x k x y -+-+=，且又因为00(,)P x y 在椭圆上，即2200184x y +=，即220028x y +=，22000028y x x x --+=-，从而222000000021)(20()y x k y x x k x y -+--++=，0000(2[1)0)(]y k x x k y ---=，又因为00(,)P x y 不在直线:(1)l y k x =-上，则有0020y k x -=，即0012y k k k x '⋅=⋅=，所以k k '⋅为定值，且12k k '⋅=.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知0a >，函数()()()1e 1xf x ax =--.（1）若1a =，证明：当0x >时，()()ln 1f x x <+：（2）若函数()()()ln 1h x x f x =+-存在极小值点0x ，证明：()00f x ≥【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）把1a =代入，构造函数()ln(1)(1)(e 1),0x g x x x x =+--->，借助导数确定单调性推理作答.（2）由给定条件确定a 的取值范围，再分段讨论函数()h x 的极小值点及极小值推理判断作答.【小问1详解】若1a =，则()(1)(e 1)x f x x =--，设()ln(1)(1)(e 1),0x g x x x x =+--->，1[(1)e 1]()[(e 1)(1)e 11]x x xx x g x x x x +-'=---+-=++，设()(1)e 1,0x x x x ϕ=+->，()(2)e 0x x x ϕ'=+>，则()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，即()0g x '>，于是()g x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0g x g >=，即()ln(1)f x x <+，所以当0x >时，()ln(1)f x x <+.【小问2详解】函数()ln(1)(1)(e 1),0x h x x ax a =+--->，其定义域为(1,),(0)0h -+∞=，1(1)(1)e (1)(1)[(1)e 1]()(1)e 111x x xx ax a ax a ax a x h x ax a a x x x ++--+-+-+-'=++--==+++，由（1）知()(1)e 1x x x ϕ=+-在(1,)-+∞上单调递增，(0)0ϕ=，当(1,0)x ∈-时，()0x ϕ<，当,()0x ∈+∞时，()0x ϕ>，则由()0h x '=，解得0x =或11=-x a ，其中111a->-且110a -≠，即0a >且1a ≠，否则恒有()0h x '≥，则()h x 在(1,)-+∞上单调递增，函数()h x 无极值点，不符合题意，若1110-<-<a ，即1a >，当1(1,1)(0,)x a∈--+∞ 时，()0h x '>，当1(1,0)x a ∈-时，()0h x '<，则()h x 在1(1,1),(0,)a--+∞上单调递增，在1(1,0)a-上单调递减，因此0x =是()h x 的极小值点，(0)0f =，若110a->，即01a <<，当1(1,0)(1,)x a ∈--+∞ 时，()0h x '>，当1(0,1)x a ∈-时，()0h x '<，则()h x 在1(1,0),(1,)a--+∞上单调递增，在1(0,1)a-单调递减，因此11=-x a 是()h x 的极小值点，111(1)(e 1)a f a a-=-，又101,10a a <<->，于是1(1)0f a ->，综上所述，函数()ln(1)()h x x f x =+-存在极小值点()00,0x f x ≥.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.。

浙江省春晖中学2025届高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0B ．1C ．2D ．32．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞3．复数5i12i+的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-4．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．5．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 7．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞8．已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≤D ．0a ≥9．已知(cos ,sin )a αα=，()cos(),sin()b αα=--，那么0a b =是()4k k Z παπ=+∈的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎣⎦B ．,1)3C ．(0,]3D ．[311．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届高三综合自主测试（9月）数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合()(){}140A x x x =+-<，{}20B x x a =+<，且{}13A B x x ⋂=-<<，则a =（）A.6B.4C.4- D.6-【答案】D 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】{}14A x x =-<<，2a B x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，∵{}13A B x x ⋂=-<<，∴32a-=，∴6a =-，故选：D.2.已知111i iz =-+，则z =（）.A.B.2C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】先根据复数的乘法运算求出复数z ，再根据共轭复数的定义和复数的模的公司及即可得解.【详解】由111i 1i iz =-=++，得()21i 2i z =+=，则2i z =-，所以2z =.故选：C .3.已知()()πsin 3f x x ωω⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N 的图象与直线y a =在区间[]0,π上存在两个交点，则当ω最大时，曲线()y f x =的对称轴为（）A.ππ244k x =+，k ∈Z B.ππ305k x =+，k ∈Z C.5ππ244k x =+，k ∈Z D.ππ65k x =+，k ∈Z【答案】D 【解析】【分析】先根据条件求出ω的取值范围，再求出对称轴.【详解】当[]0,πx ∈时πππ,π333x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，要使得()f x 的图象与直线y a =存在两个交点，则ππ11ππ232ω<-<，解得53566ω<<，又因为N ω∈，所以{}1,2,3,4,5ω∈，所以max 5ω=，此时曲线()y f x =的对称轴为ππ5π32x k -=+，k ∈Z ，解得ππ65k x =+，k ∈Z ，故选：D 4.函数()x x f x -=）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断选项.【详解】设())ln g x x =，对任意R x ∈x x >≥，0x ->，所以()g x 的定义域为R ，())lng x x-=xx+=)()lnx g x ==--=-，所以函数())ln g xx =为奇函数.令())ln 0gx x ==，1x -=1x =+，所以10x+≥，可得1x ≥-，1x =+可得()2211x x +=+，解得0x =，所以()x x f x -={}0x x ≠，又()()()2222()x x x xg x x g x --++--==-=-，所以函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，当0x>时，)lnx =是减函数，则))lnln0ln10x <==，220x x -+>，所以()0f x <，排除A 选项.故选：C5.若平面单位向量a ，b ，c 满足π6a b = ，，0b c ⋅=，0a c ⋅< ，则2b c a c+=+（）A.B.C.3D.3【答案】A 【解析】【分析】先根据题意确定2,3a c π= ，得到12a c ⋅=-，再根据2b c a c+=+进行求解，或在平面直角坐标系中设出a ，b ，c的坐标，利用坐标运算进行求解．【详解】解：法一由,6a b π= ，0b c ⋅= ，0a c ⋅< 得2,623a c πππ=+= ，所以12a c ⋅=- ，所以2b c a c +==+ ，故选：A ．法二由题意可设()1,0a =，1,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()cos ,sin c αα= （02απ≤<），则31cos sin 022b c αα⋅=+=，得tan α=，又cos 0a c α⋅=< ，则2π3α=，故13,22c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以2b c a c+=+故选：A6.石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABCD ，如图（2），砖雕厚度为6cm ，80cm AD =， 3CDAB =， CD 所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：2cm ）（）A.3200πB.480π960+C.6880π960+D.3680π960+【答案】C 【解析】【分析】先求出 60πcm CD =， 20πcm AB =，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环ABCD 的面积可得该梅花砖雕的表面积.【详解】延长DA 与CB 交于点O ．由 3CDAB =，80cm AD =，得40cm OA =，120cm OD =．因为 CD 所对的圆心角为直角，所以 60πcm CD =， 20πcm AB =．所以该梅花砖雕的侧面积 ()()26480π960cm S CDAB AD BC =+++=+侧，扇环ABCD 的面积为()()2221π120π403200πcm 4⨯-⨯=，则该梅花砖雕的表面积()2480π96023200π6880π960cm S =++⨯=+表面积．故选：C ．7.已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为()00,M x y ，且0||21,(,2)AB x Q t t =+--，若点P 在抛物线C 上，则||PQ 的最小值为（）A.324B.322C.334 D.32【答案】A 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，()00,M x y ，从而得到1202x x x +=，利用抛物线的定义得到0||2AB x p =+，解得1p =，根据题意可知点Q 在直线:20l x y ++=上，故将||PQ 的最小值转化为求与l 平行的切线与直线l 之间的距离.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由AB 的中点为()00,M x y ，得1202x x x +=，由抛物线的定义可得120||2AB x x p x p =++=+，又0||21AB x =+，所以1p =，故抛物线C 的方程为22y x =．易知点Q 在直线:20l x y ++=上，设与l 平行且与抛物线C 相切的直线方程为0x y m ++=，由202x y m y x++=⎧⎨=⎩，可得22(22)0x m x m +-+=，则22(22)40m m ∆=--=，得12m =，则切线与直线l 之间的距离即||PQ 的最小值，故||PQ324=．故选：A8.已知数列{}n a 满足1111113,2,4(1)(n n n n n n a a a b a a +++=-==-+，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，不等式()*3(35)n T n λλ<-∈N 恒成立，则λ的取值范围为（）A.1(,)10+∞ B.1(,)5+∞ C.11(,)102D.12(,55【答案】D 【解析】【分析】求出数列{}n a 的通项，再分奇偶求出n T 半探讨其范围，并建立关于λ的不等式求解即得.【详解】由113,2n n a a a +=-=，得数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，则21n a n =+，于是1111(1)(42123n n b n n +=⨯-⨯+++，当n 为偶数时，1111111111111435577991121212123n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111()4323n -+，当n 为奇数时，111114325n n n T T b n ++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭111111()()423254323n n n +=++++，当n 为偶数时，1111()432312n T n =-<+；当n 为奇数时，11112()432315n T T n =+≤=+，因此()max 215n T =，由不等式()*3(35)n T n λλ<-∈N 恒成立，得225153λλ<-，即2320525λλ-+<，解得1255λ<<，所以λ的取值范围为12(,)55.【点睛】易错点睛：利用裂项相消法求和时，应注意：（1）抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原项相等．二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知0,0a b >>，直线12:(2)10,:20l x a y l bx y +-+=+-=，且12l l ⊥，则（）A.01ab <≤B.2≤ C.222a b +< D.23b a b+≥【答案】ABD 【解析】【分析】利用12l l ⊥，找到2a b +=，结合基本不等式及不等式的性质逐一判断即可.【详解】12,1(2)10,2l l b a a b ⊥∴⨯+-⨯=∴+= ，且0,0a b >>，所以2012a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，故A 正确；22()4a b a b +=+++=，当且仅当a b =时等号成立，2≤，故B 正确；222222(2)2442(1)22a b a a a a a +=+-=-+=-+≥，故C 错误；2113b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥+=，当且仅当b a a b =，即1a b ==时等号成立，故D 正确．故选：ABD.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 、F 、G 分别在棱11D A 、11D C 、1A A 上，满足11111114D E D F D A D C ==，11(0)A GA Aλλ=>，记平面EFG 与平面11A B CD 的交线为l ，则（）A.存在(0,1)λ∈使得平面EFG 截正方体所得截面图形为四边形B.当34λ=时，三棱锥B EFG -体积为32C.当34λ=时，三棱锥1A EFG -的外接球表面积为34πD.当12λ=时，直线l 与平面ABCD所成的角的正弦值为33【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，对λ分情况讨论，图形展示即可；对于B ，当34λ=时，1111134A G A E A A A D ==，得出1//C B 平面EFG ，利用等体积可求体积；对于C ，当34λ=时，三棱锥1A EFG -的外接球心在过线段E 的中点，且垂直于平面11A D DA 的直线上，可求出2r =，得表面积；对于D ，求出l 的方向向量与平面ABCD 法向量，利用向量公式可得答案.【详解】设正方体的棱长为4，以D 为原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：对于A 选项，1λ=时，G 在A 点，11111114D E D F D A D C ==，由11//EF A C 可知//EF AC ，所以截面EFG 即为四边形EFCA ；(0,1)λ∈由图形知，截面EFG 为五边形或六边形．故A错误．对于B 选项，当34λ=时，1111134A G A E A A A D ==，所以11////EG D A C B ，所以1//C B 平面EFG ，11B EFG C EFG G C EF V V V ---==，又1GA ⊥平面1EFC ，所以11111133133322G C EF C EF V S GA -⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，三棱锥B EFG -体积为32，故B 正确．对于C 选项，当34λ=时，11A G A E =且11A B ⊥平面1A EG ，所以根据球的性质容易判断，三棱锥1A EFG -的外接球的球心在过线段EG 的中点，且垂直于平面11A D DA 的直线上，(1,0,4)E ，(4,0,1)G ，所以EG 的中点55,0,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，可记球心55,,22O t ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1,4)F ，外接球的半径r OE OF ====52=t，2r =，所以三棱锥1A EFG -的外接球表面积为43π，故C 错误．对于D 选项，当12λ=时，(4,4,0)B ，1(0,4,4)C ，(4,0,2)G ，(1,0,4)E ，(0,1,4)F ，所以1(4,0,4)BC =- ，(3,0,2)GE =- ，(1,1,0)EF =- ，设平面EFG 的一个法向量为()111,,p x y z =，则11113200p GE x z p EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令12x =，则12y =，13z =，所以可取(2,2,3)p = ，由1⊥BC 平面11A B CD 知，平面11A B CD 的法向量为1(4,0,4)BC =-，记平面EFG 与平面11A B CD 的交线l 的一个方向向量为()222,,m x y z =，则2221222230440m p x y z p BC x z ⋅=++=⎧⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令22x =，则25y =-，22z =，所以可取(2,5,2)m =- ，又平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n =，则2m n ⋅=r r，m =，1n =，设l 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin cos ,33m n m n m n θ⋅=〈〉===，故D 正确．故选：BD ．11.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()1f x g x +'=，()()43f x g x -'-=，若()g x 为奇函数，则（）A.()22f = B.()()042g g ''+=- C.()()13f f -=- D.()()44g g ''-=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意分析可知()g x '为偶函数，()()42'+-=-'g x g x ，且()g x '的周期为8，利用赋值法结合题意逐项分析判断.【详解】已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，因为()()1f x g x +'=，()()43f x g x -'-=，可得()()42'+-=-'g x g x ，又因为()g x 为奇函数，则()()g x g x =--，可得()()g x g x ''=-，即()g x '为偶函数，则()()42+=''--g x g x ，即()()42''++=-g x g x ，可得()()842''+++=-g x g x ，所以()()8x g x g ''+=，可知()g x '的周期为8.对于选项A ：因为()()42'+-=-'g x g x ，()()1f x g x +'=令2x =，则()()222''+=-g g ，()()221+='f g ，可得()21g '=-，()22f =，故A 正确；对于选项B ：因为()()42'+-=-'g x g x ，令0x =，可得()()042g g ''+=-，故B 正确；对于选项C ：因为()()42'+-=-'g x g x ，且()g x '为偶函数，则()()42''-++=-g x g x ，令1x =-，可得()()132''+=-g g ，又因为()()1f x g x +'=，令1,3x =-，则()()111'-+-=f g ，()()331+='f g ，可得()()()()13132'-++-+='f f g g ，可得()()134f f -+=，但由题设条件无法推出()()13f f -=-，故C 错误；对于选项D ：因为()g x '的周期为8，故()()44g g ''-=，故D 正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知n ∈Z ，且36n ≤≤，若31nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，则展开式中4x -的系数为______.【答案】6【解析】【分析】根据展开式通项公式及存在常数项确定4n =，再求出展开式中含4x -的项即可得解.【详解】31nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为341(1)C (1)C r r n r r r r n r r n n T x x x ---+=-⋅=-，36n ≤≤因为存在常数项，所以4n r =，故只有当1,4r n ==时满足题意，即求431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含4x -的项的系数，令444r -=-，即2r =，所以展开式中含4x -的项为22444(1)C 6x x ---=，所以展开式中4x -的系数为6.故答案为：613.已知()f x 是定义域为(4,4)-的奇函数.若以点(2,0)为圆心，半径为2的圆在x 轴上方的部分恰好是()y f x =图像的一部分，则()f x 的解析式为___________.【答案】()[)()0,44,0x f x x ∈=∈-⎪⎩【解析】【分析】求出给定圆的方程，再根据给定条件结合奇函数的定义求出()f x 的解析式.【详解】以点()2,0为圆心，半径为2的圆的方程为22(2)4x y -+=，则该圆在x轴上方的部分的方程为)04y x =<<，由()f x 是奇函数，得(0)0f =，当(4,0)∈-x 时，(0,4)x -∈，()()f x f x =--=，所以()f x 的解析式为()[)()0,44,0x f x x ∈=∈-⎪⎩.故答案为：()[)()0,44,0x f x x ∈=∈-⎪⎩14.如图，对于曲线G 所在平面内的点O ，若存在以O 为顶点的角α，使得对于曲线G 上的任意两个不同的点,A B 恒有AOB α∠≤成立，则称角α为曲线G 的相对于点O 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G 的相对于点O 的“确界角”.已知曲线C ：12e 1,011,016x x x y x x -⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩（其中e 是自然对数的底数），点O 为坐标原点，曲线C 的相对于点O 的“确界角”为β，则sin β=____________.【答案】1【解析】【分析】求过原点曲线的两条切线，求解两切线的夹角即可.【详解】函数12e 1,011,016x x x y x x -⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，因为110,0()e x x y x -'=>>+，所以该函数在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.过原点作1e 1x y x -=+的切线，设切点()1111,e1x A x x -+，由()11e x y x -=+'，则切线OA 的斜率为()11111e x k x -=+，直线()()()1111111:e11e x x OA y x x x x ---+=+-过()0,0，∴()11112111e1e x x x x x ----=--，∴11211e 10(0)x x x --=>，即1121e x x --=，由函数1e x y -=与2y x -=的图象在(0,)+∞有且只有一个交点，且当11x =时满足方程，故方程有唯一解11x =，则12k =；过原点作21116y x =+的切线，设切点2221,116B x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由81y x '=，得切线OB 的斜率2218k x =，则切线()222211:1168OB y x x x x ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭过原点(0,0)，则有22222)11116(80x x x -=≤--，∴24x =-，则212k =-，则有121k k =-，∴两切线垂直，曲线C 的相对于点O 的“确界角”为β，则π2β=，sin 1β=.故答案为：1.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.某校组织了科技展参观活动，学生自愿参观，事后学校进行了一次问卷调查，分别抽取男、女生各40人作为样本．据统计：男生参观科技展的概率为45，参观科技展的学生中女生占13．（1）根据已知条件，填写下列22⨯列联表，试根据小概率值0.01α=的独立性检验，分析该校学生参观科技展情况与性别是否有关．参观科技展未参观科技展合计男生女生合计（2）用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量X 表示女生人数，求X 的分布列和数学期望．参考公式和数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0．10．050．0250．010．001a x 2．7063．8415．0246．63510．828【答案】（1）列联表见解析，与性别有关（2）分布列见解析，2【解析】【分析】（1）根据概率可完善二联表，即可根据卡方公式计算，与临界值比较即可求解，（2）根据分层抽样可得抽男生8人，女生4人，即可利用超几何分布的概率公式求解概率，由期望公式即可求解.【小问1详解】因为男生参观科技展的概率为45，所以参观科技展的男生人数为440325⨯=．因为参观科技展的学生中女生占13，所以参观科技展的人数为3248113=-．则参观科技展的女生人数为483216-=．结合男、女生各有40人，填写22⨯列联表如下：参观科技展未参观科技展合计男生32840女生162440合计483280零假设为0H ：学生参观科技展情况与性别无关．根据列联表中的数据，计算得到()228032248164013.333 6.635404048323χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯．根据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为该校学生参观科技展情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．【小问2详解】用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，抽男生8人，女生4人，所以X 的可能取值为0，1，2，3，4，则()6084612C C 10C 33P X ===，()5184612C C 81C 33P X ===，()4284612C C 52C 11P X ===，()3384612C C 83C 33P X ===，()2484612C C 14C 33P X ===．所以X 的分布列为X 01234P 133833511833133所以()185810123423333113333E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．16.在ABC V 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，ABC V 的面积为S ，()2sin 213sin A B S b B ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦．（1）求角A ．（2）若ABC V 的面积为a =，D 为边BC 的中点，求AD 的长．【答案】（1）π3A =（2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角形面积公式求解角A 即可.（2）利用余弦定理得到2225b c +=，再结合向量中线定理转化求解即可.【小问1详解】由题意得2sin2cos cos2sin 13sin A B A B S b B +⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭()22222cos sin 2sin cos cos 2cos sin 2cos sin sin sin sin A A B A A B A B A C b b b B B B++=⋅=⋅=⋅，由正弦定理，得2432cos 3c A S b b =⋅，即431sin 2cos 32bc A bc A ⨯=，所以tan A =．又()0,πA ∈，所以π3A =．【小问2详解】因为ABC V 的面积为所以1πsin 23bc =，所以12bc =．因为a =，所以22π2cos 133b c bc +-=，即2213b c bc +-=，所以2225b c +=．因为D 是边BC 的中点，所以()12AD AC AB =+ ，所以()()2222211372cos 444AD b c bc A b c bc =++=++= ，所以2AD =uuu r ，所以AD 的长为2．17.如图（1），在ABC V 中，CD AB ⊥，224BD CD AD ===，点E 为AC 的中点．将ACD 沿CD 折起到PCD △的位置，使DE BC ⊥，如图（2）．（1）求证：PB PC ⊥．（2）在线段BC 上是否存在点F ，使得CP DF ⊥？若存在，求二面角P DF E --的余弦值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，64【解析】【分析】（1）先利用线线垂直推导线面垂直，得DE ⊥平面PCB ，即得DE PB ⊥；同法再证CD ⊥平面PDB ，得CD PB ⊥；则得PB ⊥平面PCD ，故PB PC ⊥；（2）根据题设条件和（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，由CP DF ⊥求得()DF = ，再分别求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得.【小问1详解】依题意可知点E 为PC 的中点，2PD CD ==，所以DE PC ⊥．又DE BC ⊥，BC PC C ⋂=，BC ，PC ⊂平面PCB ，所以DE ⊥平面PCB ．又PB ⊂平面PCB ，所以DE PB ⊥．依题意可知CD PD ⊥，CD BD ⊥，BD PD D = ，BD ，PD ⊂平面PDB ，所以CD ⊥平面PDB ．又PB ⊂平面PDB ，所以CD PB ⊥．因为CD DE D = ，CD ，DE ⊂平面PCD ，所以PB ⊥平面PCD ．又PC ⊂平面PCD ，所以PB PC ⊥．【小问2详解】由题意，得PC AC ===，BC ==，由（1）PC PB ⊥，所以PB ==．以点D 为坐标原点，DP ，DC 所在直线分别为x 轴、z 轴，过点D 且平行于PB 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0D ，()2,0,0P ，()0,0,2C ，()1,0,1E ，()2,B ．所以()2,0,2CP =- ，()2,0,0DP = ，()1,0,1DE = ．设()01BF tBC t =≤≤，即()2,,2BF tBC t t ==--，则()22,,2F tt -，()22,,2DF t t =- ．若存在点F ，使得CP DF ⊥，则480CP DF t ⋅=-=，解得12t =，则()DF = ．设平面PDF 的法向量为()111,,m x y z = ，则11110,20.m DF x z m DP x ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令11y =，得10x =，1z =，所以平面PDF 的一个法向量为(0,1,m = ．设平面DEF 的法向量为()222,,n x y z =，则222220,0.n DE x z n DF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 令21x =，得20y =，21z =-，所以平面DEF 的一个法向量为()1,0,1n=- ．所以6cos ,4m n m n m n ⋅=== ．由图可知，二面角P DF E --为锐角，故二面角P DF E --的余弦值为4．18.费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径MN 为6，且MN 与x 轴交于点()2,0-．平行于x 轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点2,0处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）（1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C ，试判断C 属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．（2）设曲线F 为解析式同C 的完整圆锥曲线，直线l 与F 交于A ，B 两点，交y 轴于点H ，交x 轴于点Q（点Q 不与F 的顶点重合）．若12HQ k QA k QB == ，1283k k +=-，试求出点Q 所有可能的坐标．【答案】（1）C 为双曲线的一部分，解析式为()221213y x x -=-≤≤-（2）()2,0或()2,0-【解析】【分析】（1）设()00,T x y ，根据光线经凸透镜至像点的总光程为定值建立等量关系，简、整理即可得解；（2）设出H ，Q 的坐标，根据向量的坐标运算得到A ，B 的坐标，将点A ，B 的坐标代入F 的方程，得到两个方程，根据根与系数的关系及1283k k +=-建立方程，解方程即可【小问1详解】设C 上任意一点()00,T x y ，00x <，光线从点N 至点2,0的光程为1δ，光线穿过凸透镜后从T 点折射到点2,0的光程为2δ，则115δ==，()20221x δ=⨯++，由题意得12δδ=，得()0225x ++=，化简得012x -=，2220000014444x x x x y ∴+-=+-+，220013y x ∴-=．令00y =，得01x =-，C ∴为双曲线的一部分，解析式为()221213y x x -=-≤≤-．【小问2详解】由题意知22:13y F x -=．设()0,H n ，()(),01Q m m ≠±，(),A A A x y ，(),B B B x y ，则(),HQ m n =- ，(),A A QA x m y =- ，(),B B QB x m y =- ，12HQ k QA k QB == ，()11A A m k x m n k y ⎧=-∴⎨-=⎩，()22B Bm k x m n k y ⎧=-⎨-=⎩，易知10k ≠，20k ≠，得111A A mk m x k n y k +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，222B B mk m x k n y k +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即111,mk mn A k k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，222,mk m n B k k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．将点A 的坐标代入2213y x -=，得22222112211213m k m k m n k k ++-=，化简整理得()22222111203n m k m k m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭．同理可得()22222221203n m k m k m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，1k ∴与2k 为方程()222221203n m x m x m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭的两个解，212221m k k m ∴+=--．由题知1283k k +=-，222813m m ∴-=--，解得2m =±，∴点Q 的坐标可能为2,0或()2,0-.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与直线的位置关系，关键是将向量坐标化，并将点代入曲线得到关于k 的二次方程，结合韦达定理求解.19.已知函数()()21e 2e 22x x f x a ax =+--．（1）若曲线()y f x =在30,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线方程为4210ax y ++=，求a 的值及()f x 的单调区间．（2）若()f x 的极大值为()ln2f ，求a 的取值范围．（3）当0a =时，求证：()2535e ln 22x f x x x x +->+．【答案】（1）1a =，单调递减区间是(),ln2-∞，单调递增区间是()ln2,+∞（2）(),2-∞-（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据点斜式求解切线方程，即可与4210ax y ++=对比可得1a =，即可利用导数的正负确定函数单调性，（2）求导得()()()e e 2x x f x a =+-'，即可对a 分类讨论求解导数的正负求解单调性，（3）将不等式变形为只需要证明222151e 2e 2ln e 222x x x x x x x +-->--，构造函数()2215e 2e 222x x h x x =+--，利用导数求证()0h x >，构造函数()ln x t x x =和()2e 12x x x ϕ=+，利用导数分别证明()()x t x ϕ>，即可求证21ln e 02x x x x >--，进而可求解.【小问1详解】由题意，得()()2e 2e 2x x f x a a -'=+-，所以()01f a '=--．因为曲线()y f x =在30,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为()312y a a x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，又4210ax y ++=，所以21a a -=--，所以1a =．所以()()()2e e 2e 2e 1x x x x f x =--=-+'．令()0f x '<，得ln2x <；令()0f x '>，得ln2x >．所以函数()f x 的单调递减区间是(),ln2-∞，单调递增区间是()ln2,+∞．【小问2详解】由题意得()()()()2e 2e 2e e 2x x x x f x a a a =+--=+-'．当0a ≥时，令()0f x '>，得ln2x >；令()0f x '<，得ln2x <．所以()f x 在(),ln2-∞上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增，此时()f x 只有极小值，不符合题意．当a<0时，令()0f x '=，得1ln2x =，()2ln x a =-．因为()f x 的极大值为()ln2f ，所以()ln2ln a <-，解得2a <-．综上，a 的取值范围为(),2-∞-．【小问3详解】当0a =时，()21e 2e 2x x f x =-．要证()2535e ln 22x f x x x x +->+，即证22135e 2e ln e 222x x x x x x +-->-，只需证222151e 2e 2ln e 222x x x x x x x +-->--．先证：2215e 2e 2022x x x +-->，0x >．设()2215e 2e 222x x h x x =+--，0x >，则()2e 2e 4x x h x x =+-'．设()2e 2e 4x x m x x =+-，0x >，则()()()22e 2e 42e 1e 20x x x x m x =+-=+'->．所以函数()m x 在()0,∞+上单调递增，则()()030m x m >=>，即()0h x '>，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()00h x h >=，所以2215e 2e 2022x x x +-->．再证：21ln e 02xx x x --<，0x >，即证2ln e 12x x x x <+．设()ln x t x x =，则()21ln x t x x -'=．当()0,e x ∈时，()0t x '>，()t x 单调递增；当()e,x ∈+∞时，()0t x '<，()t x 单调递减．所以()()1e et x t ≤=．设()2e 12x x x ϕ=+，0x >，则()()32e x x x xϕ-'=．当()0,2x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增．所以()()2e 1242x ϕϕ≥=+．所以22ln 1e 1e 1e 422x x x x ≤<+≤+，即2ln e 12x x x x <+．综上，222151e 2e 2ln e 222x x x x x x x +-->--得证．故()2535e ln 22x f x x x x +->+．【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

2024年合肥市第一中学高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．82．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦3．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1BCD4．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( ) A ．3π B ．23π C ．2π D ．π5．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–206．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．264- B ．264+ C ．624- D ．622+ 7．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ） A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>8．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．1699．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．5B ．3C ．32D ．210．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()UU A B ＝（ ）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}11．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ） A ．12B ．32C ．12±D ．32±12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．154C ．265D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023届高三综合测试（二）数学参考答案与评分标准评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半,如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.只给整数分数,选择题不给中间分。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 【解析】 化简得1,1,z i z i z =+=−=选B.2. 【解析】 依题意132x x >⎧⎪⎨<⎪⎩，即312x <<，选B.3. 【解析】 13EC EB BC AB AD =+=+,所以43u λ+=，选C. 4. 【解析】 按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，则椭圆方程为，令，有一个，所以有 ,选D.5. 【解析】 设棱台的上底面矩形边长分别为b a ，，则下底面矩形边长分别为b a 22，，则 棱台的体积为：63)44 (331=+⨯+⨯⨯=ab ab ab b a V ，所以9b =a ，棱台的上底面的周长为,124)2=≥+ab b a （ 当3==b a 时，上底面的周长最小值为22221(0)x y a b b a+=>>y c =−2b x a =2110244ac b a+=⎧⎪⎨=⎪⎩2211022a c a c a +=⎧⎪⇔⎨−=⎪⎩22110a c a −⇔=45c e a ⇔==12，选D.6. 【解析】 由图可知，1521433T =−=，所以4T =，π2=ω；一条对称轴为23x =，所 以π2ππ232k ϕ⨯+=+，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=；故()ππ3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以()π3sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以()g x 的图象的最小正周期为T π=，A 正确； 因为02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以42333x πππ≤+≤，B 错误； 对于C: 令π2π+()22123k x k x k Z πππ+=⇒=+∈，所以C 正确； 对于D ：令π2()3π26k x k x k Z ππ+=⇒=−∈，所以D 正确. 故选B. 7.【解析】 由方程5ln 0x x ++=和50x x e ++=，可得 ln 5x x =−−和5xe x =−−，因为方程的根分别是，且ln y x =与x y e =互为反函数，所以分别与ln y x =和x y e =的交点的横坐标为，故有5y x y x =⎧⎨=−−⎩，解得5252x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，所以5=-22αβ+， ，∴的单调递减区间是，故选A.8.【解析】 当时，，则；当时，，则；当时，，则； 当时，，则；,αβ5y x =−−,αβ222525()()5()24f x x x x x x αβαβαβαβ=+++=−+=−+−()f x 5(,]2−∞12n ≤≤0.5 1.5<<1f=1=36n ≤≤ 1.5 2.52f=12=712n ≤≤ 2.5 3.5<<3f=13=1320n ≤≤ 3.5 4.5<<4f=14=当，此时，包含 ，，，，共个整数，分组为，，，…，，第组有个数，且每一组中所有数之和为， )100(1)99(1)90(1)5(1)4(1)3(1)2(1)1(1f f f f f f f f +++++++++ ++++++++++++++++++++=41414141414141413131313131312121212111111111112468101218101923456910=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=，故选C.二、多项选择题：本题共2分，有选错的得0分.9. 【解析】对于A, 曲线C 表示双曲线，224,4a b λ== 24(1)c λ=+ ，A 正确; 对于B, 曲线C 表示椭圆， 224(),4a b λ=−= ，24(1)c λ=−−，B 不对; 对于C,1λ=−时，曲线C 表示圆224x y +=，C 不对;对于D, 曲线C 表示椭圆, 224,4a b λ==−, 24(1)c λ=+,D 正确 . 10.【解析】对于A, 由二项分布的期望公式，1()3E X n =，由期望的运算性质，(31)3()116E X E X n +=+=+=，则n=5，所以A 正确;对于B, 由正态分布曲线的性质可知，(4)10.70.3P X ≥=−=，根据对称性，(2)0.3P X ≤−=，于是(21)0.50.30.2P X −<<=−=，B 错误;对于C, 因为()()0,()0,(|)()()()()()P AB P A P B P B A P B P AB P A P B P A >>==⇒= ()212122k k k *−+<<∈N 1k =221144k k n k k −+<<++21k k −+22k k −+2k k +2k ()1,11111,,,2222⎛⎫ ⎪⎝⎭111111,,,,,333333⎛⎫ ⎪⎝⎭111,,n nn ⎛⎫⎪⎝⎭n 2n 122n n⨯=所以()(|)()()P AB P A B P A P B ==，所以C 正确; 对于D, 因为()12P A =，()14P B A =，所以()12P A =，()34P B A =，又因为()23P B A =， 由全概率公式，可得121317()()(|)()(|)232424P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=,故选：ACD.11. 【解析】 对于A, 由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =，故//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形，故A 不正确； 对于B, 连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EFBB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，平面⊥EMFN 平面''D DBB ，故B 正确； 对于C 选项，四棱锥A MENF −的体积,11113346M AEF N AEF AEF V V V DB S −−=+=⋅==△，故C 正确； 对于D 选项，由于四边形MENF 是菱形，所以周长222244442222+=+=+=MN MN EF MN l ，所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的周长最小，此时MN EF ==，即周长的最小值为4, 故D 不正确．故选：BC ．12.【解析】由()()4f x f x +=，所以()()()()()()4431F x f x f x f x f x F x +=+++=+−=， 所以()y F x =是以4为周期的周期函数，又(0)(0)(1)10F f f =+−=−≠，所以()y F x =不是是奇函数，A 错误.可求得23,211,10()21,011,12x x x y F x x x x −−−≤≤−⎧⎪−−≤≤⎪==⎨−≤≤⎪⎪≤≤⎩，所以函数()y F x =的最大值为1，B 正确.当()2022,2023x ∈时，()20242,1x −∈−−，所以()()202424045F x F x x =−=−+，单调递减，C 正确.因为()()x F x F −−=1，()F x 关于12x =−成轴对称，因为()()x F x F −=−1，()F x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，D 正确. 选BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.21 14. 552 15.π3416.22(3)(2)16x y −++= （2分）, （3分）13.【解析】所求概率 32324412A A P A == 14.【解析】由已知可得，tan 2α=，再由同角关系可得，sin 5α=，所以sin()πα−=15.【解析】设圆锥底面半径为R ，母线长为L ，则⎪⎩⎪⎨⎧==3222ππππLR RL 解得.6L 36R ==，,易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中3626===BC AC AB ，，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于334=AM ，故32433436221=⨯⨯=∆ABC S，设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△ r 212r 21⨯+⨯⨯=BC AB ,解得：33r =，其表面积：224443S r πππ===. 16.【解析】：过抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F 且斜率为1−的直线为1y x =−+，由241y x y x ⎧=⎨=−+⎩消去x ，得2610x x −+=，所以AB 的中点为(3,2)D −且128AB x x p =++=，所以以线段AB 为直径的圆的半径为4r =，方程为22(3)(2)16x y −++=，对圆D 内任意一点M ，必可作互相垂直的两直线与相交，故存在圆D 上两点,P Q ，使90PMQ ∠=；对圆D 外任意一点M ，,P Q 是圆D 上两点，当,MP MQ 与圆D 相切时，PMQ ∠最大，此时DPMQ 为矩形，DM ==，所以若以线段AB 为直径的圆上存在两点,P Q ，在圆22:()1T x a y −+=上存在一点M ，使得90PMQ ∠=，等价于以D 为圆心以DM ==为半径的圆与圆222:(2)(7)(0)T x y a a +++=>有公共点，所以a DT a −≤=≤，解得a ≤≤，所以填.四、解答题： 本题共 6 小题，共 70分． 17.（10分）解：（1）令{}n a 是等比数列，设公比为，，时，有当q a a a n 11211=+==………………………………………………………1分,11211+=+=≥−+n n n n S a S a n ，时，有当…………………………………………2分112n n n n na a a a a ++−==相减得:，有，,2=q 所以有 ………………………………3分………………………………………………………4分q .2,111−==n n a a 故有代入解得（2）由（1）知：()()n b n nn +−=−121 ……………………………………………………5分122222212122+−−=+=−−−n b n b n n n n ， …………………………………………7分141122+=+−−n n n b b ……………………………………………………………………8分∴ n n ……………………………………………………………………………10分 18. （12分）证明：（1）连接1CB 交1BC 于点F ，连接EF ,则F 是C B 1的中点 ……………………………………………………1分由于F E 、分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB ………………………………………………2分由于111,AB BEC EF BEC ⊄⊂面面，所以11//AB BEC 面 ………………………………………………4分（2）由点1B 在底面上的射影为点C ,所以ABC C B 平面⊥1 ……………………………5分在ABC ∆中5,2,1===AC BC AB BC AB ⊥∴过B 作C B 1的平行线为Z 轴易知,,AB CB Z 两两垂直，如图以B 为原点，分别以,,AB CB Z 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系…………………………………6分)0,1,21(220)0,2,0()0,0,1(),0,0,0(1E B C A B ），，，（，， BC C B =11，得），，（2401C ………………………………………………………7分 ），，（），，，（232101211−=−=EC AE )0,1,21(=BE ，)2,4,0(1=BC设平面E BC 1的法向量），，（z y x m =()()()()[]12123421214437(41)n n n n S b b b b b b n −−+++==+++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+−()()()[]134********(41)n n n b b b b n −−+++=++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+−21441(21)2143n n n n n n −−=++=++−0240211=+=⋅=+=⋅z y m BC y x m BE)2,1,2(−=∴m ………………………………8分设平面11A AEC 的法向量为),,(z y x n =2321211=++−=⋅=+−=⋅z y x n EC y x n AE)1,1,2(−=∴n …………………………………9分 设平面1BEC 与平面11A AEC 所成角为θ186691 cos ===n m θ………………11分183186311sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛−=θ 所以，平面1BEC 与平面11A AEC 所成角的正弦值为18318………………………12分19.（12分）解：（1） 在APB ∆中，23==PB PA，AB =， 由余弦定理得2223cos 22AB PB PA PBA AB PB +−∠==⋅36……………………………2分 又2π=∠ABCsin 3PBC ∠=…………………………………………3分 111sin 22322PBC S PB BC PBC ∆=⨯∠=⨯⨯112232⨯=…………………5分（2）法1：设PAB θ∠=，则(0,)4πθ∈，在APB ∆中，因为34APB π∠=，所以344PBA πππθθ∠=−−=−， ………6分由正弦定理，得sin sin PB ABPAB APB=∠∠，从而2sin PB θ= ，…………………7分在CPB ∆中，()244PBC πππθθ∠=−−=+， 由余弦定理得：2222cos()4PC PB BC PB BC πθ=+−⋅+ ………………………8分24sin 22sin cos()4πθθθ=+−⨯+=22cos 224sin (cos sin )θθθθ=−+−−62(2cos 2sin 2)θθ=−+6)θϕ=−+（其中tan 2,(0,)2πϕϕ=∈）， ……………………………10分 因为(0,)4πθ∈，所以2(,)2πθϕϕϕ+∈+， ………………………………………11分所以当22πθϕ+=时，222min 6211PC =−=−⨯，从而，min 1PC =。

新课程高三年级文科数学综合测试题与参考答案试题（一）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合{}{}211M x|x ,P x|x =>=>则下列关系中正确的是 （ ） A ．M P = B ．P M ⊆ C ．M P ⊆ D ．M P R ⋃=2. 设复数i z 431-=，i z 322+-=，则复数12z z -在复平面内对应的点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．已知向量(),m a b =，向量n m ⊥且n m =，则n 的坐标可以为 （ ） A ．(),a b B ．(),a b - C ．(),b a - D ．(),b a --4．已知双曲线)0,(212222e px y e x y 的焦点为，且抛物线的离心率为==-则p 的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．2D ．45．数列{a n }为等差数列，a 7＋a 9＝18，a 4＝5，则a 12＝（ ） A. 12 B. 13 C. 31 D. 46．某机床生产一种机器零件，10天中每天出的次品分别是：2，3， 1，1，0，2，1，1，0，1则它的平均数和方差（即标准差的平方）分别是 （ ） A ．1.2，0.76 B ．1.2，2.173 C ．1.2，0.472 D ．1.2，0.6877．已知偶函数()f x 在[]0,2上单调递减，若()1a f =-，0.51log 4b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()lg 0.5c f =，则,,a b c 之间的大小关系是 （ ）（A ）a b c >> （B ）c a b >> （C ）b a c >> （D ）c b a >>8. 已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且,a b αβ⊥⊥，则下列命题中为假命．．题．的是（ ） A ．若//a b ，则//αβ B ．若αβ⊥，则a b ⊥ C ．若,a b 相交，则,αβ相交 D ．若,αβ相交，则,a b 相交9．某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：⎪⎩⎪⎨⎧>≤<+≤≤=1005.1100101021014x x x x x xy ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试对象人数。

江苏省南通市通州区、海安县2025届高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．122．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =3．2(1i i +=- ) A ．132i + B ．32i + C ．32i - D ．132i -+ 4．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74 B ．32C ．2D ．54 5．已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ） A ．{}11x x -<< B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,16．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB AC λμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B ．72C ．7D ．77．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( ) A ．152- B ．512+ C ．512- D ．512+或512- 8．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米11．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．725-C ．1625D ．8512．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ）A ．13- B ．13 C ．12- D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学高中数学综合库试题答案及解析1.已知直线是过点，方向向量为的直线，圆方程（1）求直线的参数方程；（2）设直线与圆相交于两点，求的值.【答案】(1)；(2)【解析】(1)由直线方向向量，可求直线的斜率，进而求其倾斜角，代入直线的参数方程（t为参数）；（2）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，再将直线的参数方程代入，得关于t的一元二次方程，t的几何意义表示动点到定点的距离，故=,=，所以=，根据韦达定理可求.试题解析：（1）由方向向量为，故直线的斜率为，所以倾斜角，又直线过定点，故直线的参数方程为：（t为参数），即（t为参数）；（2）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，将直线的参数方程代入得，由t的几何意义知==.【考点】1、直线的参数方程及t的几何意义；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、韦达定理.2.(本小题共14分)已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，①方程有实数根；②函数的导数满足．（Ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立．试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；（Ⅲ）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，，，当，且时，.【答案】解：（Ⅰ）因为①当时，，所以方程有实数根0；②，所以，满足条件；由①②，函数是集合中的元素. …………5分（Ⅱ）假设方程存在两个实数根，，则，.不妨设，根据题意存在，满足.因为，，且，所以.与已知矛盾.又有实数根，所以方程有且只有一个实数根. …………10分（Ⅲ）当时，结论显然成立；当，不妨设.因为,且所以为增函数，那么.又因为，所以函数为减函数，所以.所以，即.因为，所以，（1）又因为，所以，（2）（1）（2）得即.所以.综上，对于任意符合条件的,总有成立.……14分【解析】本题是一道以集合为背景的创新题，考查函数的性质和不等式的证明。

考查学生的理解能力和分析能力。

高三数学综合测试题(含答案) 高三数学试题（理科）一、选择题1.已知复平面的平行四边形ABCD中，定点A对应的复数为i，向量BC对应的复数为2+i，则点D对应的复数为（）A。

2B。

2+2iC。

-2D。

-2-2i2.在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型1的相关指数为0.98，模型2的相关指数为0.80，模型3的相关指数为0.50，模型4的相关指数为0.25.其中拟合效果最好的模型是（）。

A。

模型1B。

模型2C。

模型3D。

模型43.设随机变量X的分布列如下表，且E(X)=1.6，则a-b=（）A。

-2B。

-1C。

-0.2D。

-0.44.若方程x²-3x+m=0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是（）A。

[-2,2]B。

[0,2]C。

[-2,0]D。

(-∞,-2)∪(2,+∞)5.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆的交点有（）A。

36个B。

72个C。

63个D。

126个6.函数f(x)=ax+x+1有极值的一个充分而不必要条件是（）A。

a<0B。

a>0C。

a<-1D。

a<17.若n∈N，且3ⁿ+3⁽ⁿ⁻¹⁾=84，则n=（）A。

4B。

3C。

2D。

18.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为（）A。

1/4B。

1/3C。

1/2D。

2/39.高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是（）A。

1/3B。

1/4C。

1/5D。

1/610.已知x与y之间的几组数据如表，假设根据如表数据所得线性回归直线方程为y=ax+b。

若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)得出的方程为y=2x-2，则他的线性回归直线方程的截距b应为（）A。

-2B。