4.1实数指数幂

【课题】4.1实数指数幂（2）【教学目标】知识目标：⑴掌握实数指数幂的运算法则；能力目标：⑴正确进行实数指数幂的运算；⑵培养学生的计算技能；【教学重点】有理数指数幂的运算．【教学难点】有理数指数幂的运算．【教学设计】⑴在复习整数指数幂的运算中，学习实数指数幂的运算；⑵通过学生的动手计算，巩固知识，培养计算技能；⑶通过“描点法”作图认识幂函数的图像，通过利用软件的大量作图，总结图像规律；⑷通过知识应用巩固有理数指数幂的概念.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】9例6:计算下列各式（式中字母都是正数）)3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a-÷-653121612132)]3()6(2[-+-+-÷-⨯=ba a ab 440==883841)()(-=n m 88341))(2(-nm 32-∙=nm 32nm =解：10课堂练习1、计算下列各式：834121)1(-aa a 63121))(2(-y x 3163)278)(3(--ba )221(2)4(323131---x x x11实数指数幂运算：方法规律总结一、（1）化负指数为正指数，（2)化根式为分数指数幂，（3）化小数为分数(4)遇乘积化同底或同指数幂二、对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数。

观察14==⨯⨯==⨯34132633252533333888）④（③②①b a 作业：求下列各式的值=+-+22121212121）⑥（）（⑤（b a b a b a15=+=-+2212121212121）⑥（））（⑤（b a b a b a ba b a -=-221221）（）（21212ba b a ++：这两个函数的定义域不同,在定义域内它们都是增函数．两个函数的图像都经过坐标原点和点指出幂函数2y x -=的定义域，并作出函数图像．考虑到221x x -=，因此定义域为21x，故函数为偶函数．其图像关于(0,)+∞内的图像，然后再利用对称性作出函数在区内的图像．的定义域为00-∞+ （，）（，数为偶函数．在区间(0,)+∞内，设值列表如下：以表中的每组,x y 的值为坐标，描出相应的点光滑的曲线依次联结各点，得到函数在区间像．再作出图像关于y 轴对称图形，从而得到函数图像，如下图所示．x (12)1 2…y…4114…这个函数在(0,)+∞内是减函数；函数的图像不经过坐标原点，但是经过点(1,1)．整体建构=具有如下特征：一般地，幂函数y xα随着指数α取不同值，函数y=和奇偶性会发生变化；＞0时，函数图像经过原点(0,0)时，函数图像不经过原点(0,0)，但经过(1,1)强化练习4.1.3用描点法作出幂函数4=的图像并指出图像具有怎样的对y x用描点法作出幂函数3=的图像并指出图像具有怎样的对y x强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？。

第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1 指数与指数函数4.1.1 实数指数幂及其运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．4．掌握实数指数幂的运算法则．1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．必备知识·探新知知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．(2)表示：n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0x＝__na__x＝__±na__0不存在思考：对于式子na中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．知识点根式(1)当n a 有意义时，na 称为根式，n 称为__根指数__，a 称为被开方数． (2)性质：①(na )n＝__a __；②nan＝⎩⎪⎨⎪⎧__a __，n 为奇数，__|a |__，n 为偶数.思考：(na )n与na n中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n中，a ∈R ．分数指数幂的意义 知识点正分数 指数幂n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n ＝__na __ 正分数m n，a m n ＝__(n a )m __＝n a m负分数 指数幂s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1as __思考：分数指数幂中的m n有什么规定？提示：m n为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数． 知识点无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t是一个确定的__实数__． 思考：当a ＞0时，式子a x 中的x 的范围是什么？ 提示：x ∈R ． 知识点实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R )(1)a r a s＝__ar ＋s__．(2)(a r )s ＝__a rs__． (3)(ab )r＝__a r b r__．关键能力·攻重难题型探究题型n 次方根的概念及相关问题┃┃典例剖析__■典例1 (1)求使等式a －3a 2－9＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围；(2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号． [解析] (1)a －3a 2－9＝a －32a ＋3＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]．(2)原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于na ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要na 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号． ┃┃对点训练__■1．(1)若4a －2＋(a －3)0有意义，则a 的 取值范围是__[2,3)∪(3，＋∞)__；(2)已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6x －26＝__1__．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －3≠0，得a ≥2，且a ≠3．(2)∵x ∈[1,2]，∴x －1≥0，x －2≤0，∴(4x －1)4＋6x －26＝x －1＋|x －2|＝x －1－(x －2)＝1．题型根式与分数指数幂的互化┃┃典例剖析__■典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15 ；a 34 ；a －23 ；(2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解．[解析] (1)a 15 ＝5a ；a 34 ＝4a 3；a －23 ＝1a 23 ＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63 ＝a 2；13a 2＝1a 23＝a －23 ．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．┃┃对点训练__■2．(1)用根式表示下列各式：x 35 ；x －13 ； (2)用分数指数幂表示下列各式： ①b 3a 2·a 2b 6(a ＞0，b ＞0)； ②a －4b 23ab 2(a ＞0，b ＞0)．[解析] (1)x 35 ＝5x 3；x －13 ＝13x．(2)①b 3a 2·a 2b 6＝b 3a 2·a b 3＝a －12 ． ②a －4b23ab 2＝a －4b 2·ab213 ＝a －4b 2a 13 b 23 ＝a －113 b 83 ＝a －116 b 43 ．题型有理(实数)指数幂的运算法则的应用┃┃典例剖析__■典例3 化简：(1)(5x －23 y 12 )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)；(2)0.064－13 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75；(3)32＋3×27－33； (4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×－14×－56·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ．(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716． (3)32＋3×27－33 ＝32＋3×(33)－33 ＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12 ＋(2)1－3＋1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14 ]＋2＝(2)14 ＋2＝2＋218 ．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．┃┃对点训练__■ 3．化简与求值(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338 －23 ＋(0.002)－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3a 32·a －3·a－5－12 ·a －1213．[解析] (1)原式＝(－1) －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23 ＋(500) 12 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679． (2)原式＝(a 32 ·a －23 )13 ·[(a －5)－12 ·(a －12 )13] 12 ＝(a 0) 13 ·(a 52 ·a －23 )12＝(a －4) 12 ＝a －2．易错警示┃┃典例剖析__■典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12 ．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14 ．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1． [正解] ∵(－a ) 12 存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14 ＝1 (－a)4．。

4.1.1 实数指数幂及其运算【自主学习】知识点1 根式 1．n 次方根：给定大于1的正整数n 和实数a ，如果存在实数x ，使得x n ＝a ，则x 称为a 的n 次方根． 2．根式：当n a 有意义的时候，n a 称为根式，n 称为根指数，a 称为被开方数．3．根式的性质：(1)⎝⎛⎭⎫n a n ＝a ；(2)当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时， . [微体验]1．已知m 10＝2，则m 等于( )A ．102B ．－102C ．210D ．±1022．若m <n ，则(m －n )2＝________.知识点2 分数指数幂1．定义：如果n 是正整数，那么：当n a 有意义时，规定a 1n ＝n a ；当n a 没有意义时，称a 1n 没有意义．对于一般的正分数m n，规定 . 2．有理数指数幂的运算法则(1)a s a t ＝ (a >0，s ，t ∈Q )；(2)(a s )t ＝ (a >0，s ，t ∈Q )；(3)(ab )s ＝ (a >0，b >0，s ∈Q )．[微体验]1．332 可化为( )A ．2B ．33C ．327D ．272．把根式a a 化成分数指数幂是( )A ．(－a ) 32B ．－(－a ) 32C ．a 32D ．－a 32知识点3 实数指数幂实数指数幂的运算法则(1)a s a t ＝ (a ＞0，s ，t ∈R )．(2)(a s )t ＝ (a ＞0，s ，t ∈R )．(3)(ab )s ＝ (a ＞0，b ＞0，s ∈R )．[微体验]1．式子a 2a ·3a 2(a ＞0)经过计算可得到( ) A ．a B ．－6a 5C ．5a 6D ．6a 52．若10x ＝3,10y ＝4，则102x －y ＝________.【互动探究】探究一 根式的性质[例1] 求下列各式的值：(1) 3(－7)3＋4(5－2π)4；(2)⎝⎛⎭⎫5a －b 5＋⎝⎛⎭⎫6b －a 6(b >a )．[方法总结]1．化简n a n 时，首先明确根指数n 是奇数还是偶数，然后再依据根式的性质进行化简． 2．化简(n a )n 时，关键是明确n a 是否有意义，只要n a 有意义，则(n a )n ＝a .[跟踪训练1] 求下列各式的值： (1) (π－4)2＋3(π－4)3；(2)|x |－x 2＋x 2|x |.探究二 根式与分数指数幂的互化[例2] 下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式(式中字母都是正数)．(1)3x 5；(2)1x 3；(3)x －34 ；(4)x 12 y －23 .[方法总结]根式与分数指数幂互化的规律与技巧(1)规律：根指数←→化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数←→化为分数指数的分子．(2)技巧：当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出.[跟踪训练2] 下列各式正确的是( )A ．3m 2＋n 2＝(m ＋n )23 B ．⎝⎛⎭⎫b a 2＝a 12 b 12 C ．6(－3)2＝(－3)13 D ．34＝213探究三 分数指数幂的运算法则及应用[例3] 用分数指数幂表示下列各式(a >0，b >0)，(1)a 2a ；(2) a a ；(3)3a 2·a 3；(4)(3a )2·ab 3.[方法总结] 将根式转化为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算法则进行化简． ,[跟踪训练3] 将下列各式化为分数指数幂的形式． (1)13x ·(5x 2)2(x >0)； (2)ab 3ab 5(a >0，b >0)．探究四 利用分数指数幂的运算法则化简、求值[例4] 下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫－338 －23 ＋0.002－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )．[变式探究] 已知a 12 ＋a －12 ＝5，求a 32－a －32a 12 －a －12的值．[方法总结](1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.[跟踪训练4] 设a 12 －a －12 ＝m ，则a 2＋1a＝( ) A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2 【课堂小结】1．当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. 2．在利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式的形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂．3．无理数指数幂a t (a ＞0，t 是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．【参考答案】【自主学习】知识点1 根式3． n a n ＝|a |[微体验]1．D [由m 10＝2，所以m ＝±102.]2．n －m [∵m <n ，∴m －n <0,(m －n )2＝|m －n |＝n －m .] 知识点2 分数指数幂1． a m n ＝⎝⎛⎭⎫n a m ＝n a m 2．(1) a s ＋t(2) a s _t ；(3) a s b s[微体验]1．D [332 ＝33＝27.] 2．C [由题意可知a ≥0，a ·a ＝a ·a 12 ＝a 32 .]知识点3 实数指数幂(1) a s ＋t(2)a s _t(3) a s b s[微体验]1．D [原式＝a 2a 12·a 23＝a 2a 12+a 23＝a 2a 76＝a 56 ＝6a 5.] 2．94 [∵10x ＝3,10y ＝4，∴102x －y ＝102x 10y ＝324＝94.] 【互动探究】探究一 根式的性质[例1] 解 (1)原式＝－7＋|5－2π|＝－7＋2π－5＝2π－12.(2)原式＝a －b ＋b －a ＝0.[跟踪训练1] 解 (1)原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.(2)原式＝|x |－|x |＋1＝1.探究二 根式与分数指数幂的互化[例2] 解 (1)3x 5＝x 53 . (2)1x 3＝1x 12＝x －23 . (3)x －34 ＝1x 34＝14x 3 . (4)x 12 y －23 ＝x 13y 2＝x 3y 2. [跟踪训练2] D [A ．(m ＋n )23 ＝3(m ＋n )2，因此不正确；B ．⎝⎛⎭⎫b a 2＝b 2·a －2，因此不正确；C ．6(－3)2＝632＝313 ，因此不正确；D ．34＝223 ×12 ＝213 ，正确．]探究三 分数指数幂的运算法则及应用[例3] 解 (1)原式＝a 2a 12 ＝a 2＋12 ＝a 52 .(2)原式＝ a ·a 12＝a 32＝a 34 . (3)原式＝a 23 ·a 32 ＝a 23 ＋32 ＝a 136 .(4)原式＝(a 13 )2·(ab 3) 12 ＝a 23 ·a 12 b 32 ＝a 23 ＋12 b 32 ＝a 76 b 32 .[跟踪训练3] 解 (1)原式＝13x ·(x 25)2＝13x ·x 45＝13x 95＝1(x 95)13＝1x 35＝x －35 . (2)原式＝[ab 3(ab 5)12 ]12 ＝(a ·a 12 ·b 3·b 52 )12 ＝(a 32 b 112 )12 ＝a 34 b 114 . 探究四 利用分数指数幂的运算法则化简、求值[例4] 解 (1)原式＝(－1)－23 ×⎝⎛⎭⎫338－23 ＋⎝⎛⎭⎫1500－12 －105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫278－23 ＋50012 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c.[变式探究] 解 因为a 32 －a －32 ＝(a 12 )3－(a －12 )3，所以a 32－a －32a 12 －a －12＝(a 12－a －12)(a ＋a 12·a －12＋a －1)a 12－a －12＝a ＋a －1＋1＝(a 12 ＋a －12 )2－2＋1＝52－1＝24. [跟踪训练4] C [将a 12 －a －12 ＝m 两边平方得⎝⎛⎭⎫a 12－a －122＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a ＝m 2＋2⇒a 2＋1a ＝m 2＋2.]。